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이 논문에서는 SSL(Strictly Stable Logic)에 대한 새로운 접근 방법을 제시하고, 이를 통해 SSL의 결정 문제를 해결하는 방법을 설명합니다. 특히, 이 논문은 SSL의 공식 $f_ ssl(w)$가 주어진 입력 문자열 $w$에 대해 만족 가능한지 여부를 판단하는 알고리즘을 개발했습니다. 이를 통해 SSL의 복잡성을 줄이고 효율적인 해결책을 제시합니다.
함수 역산은 임의의 함수 $f [M] to [N]$가 주어졌을 때, 이미지 $y$의 사전 영상(pre-image) $f^{-1}(y)$를 찾는 문제입니다. 이 연구에서는 예처리 모델에서 이 문제를 재검토합니다. 이 모델에서는 함수 $f$에만 의존하는 보조 정보 또는 조언(advice) 크기 $S$를 계산할 수 있습니다. 이것은 고전적인 설정에서 잘 연구된 문제지만, 양자 알고리즘이 어떻게 더 나은 성능을 내는지 명확하지 않습니다. 특히 Grover의 알고리즘 외에는 예처리의 힘을 활용하지 못합니다. Nayebi 등은 $ST^2 ge tilde Omega(N)$에 대한 하한 값을 양자 알고리즘이 역순열(permutation)을 역산하는 데 사용되는 하한 값으로 증명했습니다. 그러나 이들은 조언이 고전적인 경우만 고려했습니다. Hhan 등은 그 결과를 완전히 양자 알고리즘에 대한 결과로 확장했습니다. 본 연구에서는 $M = O(N)$인 범위에서 함수 역산을 위한 완전히 양자 알고리즘에 대해 동일한 점근적 하한 값을 제공합니다. 이러한 경계를 증명하기 위해 Ambainis 등이 처음으로 소개했던 양자 랜덤 액세스 코드의 개념을 일반화하여, 우리가 주어진 (필연적으로 독립적이지 않은) 임의 변수 목록을 길이가 가변적인 인코딩으로 압축하고 이 인코딩만으로 임의의 요소를 높은 확률로 검색할 수 있도록 합니다. 우리의 주요 기술적 업적 중 하나는 이러한 일반화된 양자 랜덤 액세스 코드에 대한 거의 최하한 값을 (넓은 매개변수 범위에서) 증명하는 것입니다.
이 논문에서는 다항식 $ sum_{i = 1}^n x_i^n$을 계산하는 어떤 대수 분기 프로그램(ABP)이 최소한 $ Omega(n^2)$개의 정점이 필요하다는 것을 보여줍니다. 이 결과는 Baur와 Strassen의 고전적인 결과로부터 나온 $ Omega(n log n)$보다 더 강력하며, [K19]에서 증명된 동일한 다항식을 계산하는 균일 ABP에 대한 2차 하한선을 확장합니다. 우리의 증명은 행렬 견고성(context)에서 유사한 주장을 볼 수 있는 깊이 감소의 개념에 기반하고 있습니다. 이 논문에서는 작은 ABP가 다항식 $ sum_{i=1}^n x_i^n$을 계산할 때, 거의 균일한 ABP로 깊이를 줄여 계산하는 방법을 보여줍니다. 또한, 우리는 이러한 아이디어를 사용하여 $n$개의 변수에 대한 도수가 0.1$n$인 기본 대칭 다항식을 계산하는 대수 공식의 크기에 대한 $ Omega(n^2)$ 하한선을 증명합니다.
우리는 새로운 변형된 엣지 매칭 퍼즐의 계산 복잡도를 분석합니다. 먼저 인접 타일 사이의 부등식(등식 대신) 제약 조건을 분석하여, 엄격한 부등식에 대해 문제는 NP-완전하지만 비엄격한 부등식에 대해서는 다항시간 해결 가능함을 증명했습니다. 두 번째로 세 가지 유형의 삼각형 엣지 매칭을 분석하였으며, 그 중 하나는 다항시간 해결이 가능하고 나머지는 NP-완전합니다; 모든 세 가지 경우가 #P-완전합니다. 세 번째로 목표 형태를 지정하지 않은 경우에 대해 분석하여, 단순히 엣지가 일치하게 타일을 배치하는 문제는 NP-완전함을 밝혔습니다. 네 번째로 1 x n 엣지 매칭 기반의 네 가지 2인용 게임을 고려하였으며, 이 모두가 PSPACE-완전합니다. 우리의 대부분의 NP-난해성 환원은 절약형이며, 예를 들어 1 x n 엣지 매칭에 대한 #P 및 ASP 완전성을 새로 입증하였습니다.
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