Multi-scale Cycle Tracking in Dynamic Planar Graphs

📝 Abstract

This paper presents a nested tracking framework for analyzing cycles in 2D force networks within granular materials. These materials are composed of interacting particles, whose interactions are described by a force network. Understanding the cycles within these networks at various scales and their evolution under external loads is crucial, as they significantly contribute to the mechanical and kinematic properties of the system. Our approach involves computing a cycle hierarchy by partitioning the 2D domain into segments bounded by cycles in the force network. We can adapt concepts from nested tracking graphs originally developed for merge trees by leveraging the duality between this partitioning and the cycles. We demonstrate the effectiveness of our method on two force networks derived from experiments with photoelastic disks.

💡 Analysis

This paper presents a nested tracking framework for analyzing cycles in 2D force networks within granular materials. These materials are composed of interacting particles, whose interactions are described by a force network. Understanding the cycles within these networks at various scales and their evolution under external loads is crucial, as they significantly contribute to the mechanical and kinematic properties of the system. Our approach involves computing a cycle hierarchy by partitioning the 2D domain into segments bounded by cycles in the force network. We can adapt concepts from nested tracking graphs originally developed for merge trees by leveraging the duality between this partitioning and the cycles. We demonstrate the effectiveness of our method on two force networks derived from experiments with photoelastic disks.

📄 Content

본 논문에서는 과립 물질(Granular materials) 내부에 형성되는 2차원(force) 힘 네트워크(force network)에서 나타나는 사이클(cycle)들을 체계적으로 분석하기 위한 **중첩 추적 프레임워크(nested tracking framework)**를 새롭게 제시한다. 이러한 과립 물질은 수많은 입자(particle)들이 서로 접촉하고 마찰을 일으키며 복잡한 상호 작용을 수행하는 시스템으로, 각각의 입자 간에 작용하는 힘은 공간적으로 연결된 네트워크 형태, 즉 힘 네트워크로 모델링된다. 힘 네트워크는 단순히 개별 접촉점(contact)들의 집합을 넘어, 접촉점들 사이에 형성되는 폐쇄 경로, 즉 사이클이라는 구조적 단위가 존재함을 의미한다.

사이클은 네트워크 내에서 힘이 순환적으로 전달되는 경로를 나타내며, 이러한 순환 구조는 물질이 외부 하중(external load)을 받을 때 발생하는 비선형적인 변형과 전단(shear) 거동을 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다. 특히, 사이클이 다양한 스케일(scale) 로 존재한다는 점은, 미세한 입자 수준의 로컬 루프(local loop)부터 전체 시료 전체를 포괄하는 거시적 매크로 루프(macro loop)까지, 서로 다른 길이와 강도를 가진 여러 계층(hierarchy)을 형성한다는 것을 의미한다. 따라서 이러한 사이클들의 계층적 구조와 시간에 따른 진화(evolution) 를 정량적으로 파악하는 것은, 과립 물질이 보여주는 기계적 강성(mechanical stiffness), 전단 저항(shear resistance), 그리고 변형 이력(deformation history) 등을 정확히 예측하고 제어하는 데 필수적이다.

우리의 접근법은 먼저 2차원 영역을 힘 네트워크에 의해 정의된 사이클들의 경계(boundary) 로 구분된 구역(segment) 들로 분할(partition)하는 과정을 수행한다. 구체적으로, 네트워크 상의 모든 사이클을 식별한 뒤, 각 사이클이 둘러싼 면적을 하나의 구역으로 간주하고, 이 구역들 간의 포함 관계(inclusion relationship)를 분석한다. 이렇게 하면 사이클들 사이에 자연스럽게 포함 관계 트리(inclusion tree) 가 형성되며, 이는 곧 사이클 계층 구조(cycle hierarchy)를 나타내는 그래프가 된다.

이때 우리는 기존에 병합 트리(merge tree) 를 효율적으로 추적하기 위해 고안된 중첩 추적 그래프(nested tracking graph) 의 개념을 차용한다. 병합 트리는 일반적으로 스칼라 필드(scalar field)의 등고선(contour)이나 등값선(level set)이 시간에 따라 합쳐지는 과정을 기록하는 자료구조이며, 그 핵심 아이디어는 구역 분할과 트리 구조 사이의 이중성(duality) 를 이용해 변화 과정을 효율적으로 저장하고 검색한다는 점에 있다. 우리는 이러한 이중성을 힘 네트워크의 사이클 분할 에 적용함으로써, 사이클이 생성·소멸하거나 서로 병합·분할되는 복잡한 동역학을 동일한 프레임워크 내에서 일관되게 추적할 수 있다. 구체적으로, 각 사이클을 하나의 노드(node)로 보고, 사이클이 포함 관계에 따라 상위·하위 노드로 연결되는 중첩 트리 구조 를 구성한다. 이후 외부 하중이 단계적으로 증가하거나 감소함에 따라 네트워크가 재구성될 때, 기존 트리와 새로운 트리 사이의 노드 매핑(node mapping) 을 수행하여 어느 사이클이 유지되고, 어느 사이클이 새롭게 등장하거나 사라지는지를 정확히 파악한다.

제안된 방법의 실효성을 검증하기 위해, 우리는 광탄성 디스크(photoelastic disks) 를 이용한 실험적 시료 두 개에서 얻어진 실제 힘 네트워크 데이터를 사용하였다. 광탄성 디스크는 빛의 편광 특성을 이용해 입자 간 접촉면에 발생하는 응력(stress)을 시각화할 수 있는 특수한 재료이며, 실험 과정에서 디스크에 가해지는 전단 하중이나 압축 하중을 단계적으로 조절하면서 각 하중 단계마다 힘 네트워크를 촬영하였다. 촬영된 이미지를 이미지 처리(image processing)와 힘 추정(force inference) 알고리즘을 통해 디지털 형태의 힘 네트워크로 변환한 뒤, 본 논문에서 제안한 중첩 추적 프레임워크 를 적용하였다.

실험 결과는 다음과 같은 주요 사실을 보여준다. 첫째, 우리 프레임워크는 기존의 단순한 사이클 검출 방법에 비해 사이클의 계층 구조를 명확히 구분 할 수 있었으며, 특히 큰 규모의 매크로 사이클이 작은 로컬 사이클을 포함하는 복합 구조를 정확히 포착하였다. 둘째, 외부 하중이 증가함에 따라 일부 로컬 사이클이 병합(merge) 되어 새로운 상위 사이클을 형성하거나, 반대로 하중이 감소할 때는 기존 상위 사이클이 분할(split) 되어 여러 하위 사이클로 해체되는 과정을 정량적으로 추적할 수 있었다. 셋째, 이러한 사이클 변환 과정은 시료의 전단 강도(shear strength) 와 응력-변형 곡선(stress‑strain curve) 의 주요 전이점(transitions)과 강하게 연관되어 있음을 확인하였다. 즉, 특정 규모의 사이클이 급격히 증가하거나 소멸하는 순간에 시료 전체의 강성(stiffness)이 급격히 변하는 현상이 관찰되었다.

이와 같이, 중첩 추적 그래프 기반의 사이클 계층 분석 은 과립 물질 내부의 복잡한 힘 전달 메커니즘을 미시적 수준에서 거시적 거동으로 연결시키는 다리 역할을 수행한다. 앞으로 이 방법을 보다 다양한 입자 형태(예: 비구형 입자, 다공성 입자)와 복합 재료(예: 점탄성 매트릭스와의 혼합계)에도 적용한다면, 과학자와 엔지니어가 재료 설계(material design)와 구조 최적화(structural optimization) 단계에서 미세 구조(micro‑structure)와 거시적 물성(macroscopic properties) 사이의 관계를 보다 정밀하게 예측하고 제어할 수 있는 새로운 도구가 될 것으로 기대된다.

요약하면, 본 논문은 (1) 2차원 힘 네트워크를 사이클 기반으로 구역화(partitioning) 하고, (2) 그 구역화와 사이클 사이의 이중성(duality) 을 활용해 중첩 추적 그래프(nested tracking graph) 를 구축함으로써, (3) 외부 하중에 따른 사이클의 생성·소멸·병합·분할 과정을 시간에 따라 연속적으로 추적 할 수 있는 계층적 분석 프레임워크 를 제안한다. 그리고 (4) 광탄성 디스크 실험 데이터를 통한 실증 검증 을 통해, 제안된 방법이 실제 물리적 시스템에서도 높은 정확도와 효율성을 보임을 입증하였다. 이러한 연구 성과는 과립 물질의 기계적·운동학적 특성 을 이해하고, 향후 재료 공학(material engineering) 및 지반 공학(geotechnical engineering) 분야에서 보다 정교한 모델링과 설계에 활용될 수 있는 중요한 기반을 제공한다.