String Diagrammatic Trace Theory

📝 Abstract

We extend the theory of formal languages in monoidal categories to the multi-sorted, symmetric case, and show how this theory permits a graphical treatment of topics in concurrency. In particular, we show that Mazurkiewicz trace languages are precisely symmetric monoidal languages over monoidal distributed alphabets. We introduce symmetric monoidal automata, which define the class of regular symmetric monoidal languages. Furthermore, we prove that Zielonka’s asynchronous automata coincide with symmetric monoidal automata over monoidal distributed alphabets. Finally, we apply the string diagrams for symmetric premonoidal categories to derive serializations of traces.

💡 Analysis

We extend the theory of formal languages in monoidal categories to the multi-sorted, symmetric case, and show how this theory permits a graphical treatment of topics in concurrency. In particular, we show that Mazurkiewicz trace languages are precisely symmetric monoidal languages over monoidal distributed alphabets. We introduce symmetric monoidal automata, which define the class of regular symmetric monoidal languages. Furthermore, we prove that Zielonka’s asynchronous automata coincide with symmetric monoidal automata over monoidal distributed alphabets. Finally, we apply the string diagrams for symmetric premonoidal categories to derive serializations of traces.

📄 Content

우리는 모노이달 범주(monoidal category) 안에서 정의되는 형식 언어 이론(theory of formal languages)을 기존의 단일 정렬(single‑sorted) 및 비대칭(non‑symmetric) 설정을 넘어 **다중 정렬(multi‑sorted)**이면서 동시에 **대칭(symmetric)**인 경우로 일반화한다. 이와 같은 일반화는 단순히 정의상의 확장에 그치지 않고, **동시성(concurrency)**이라는 복잡한 현상을 그래픽(시각적) 방식으로 다룰 수 있는 강력한 도구를 제공한다는 점에서 의미가 크다. 구체적으로 말하면, 모노이달 범주가 제공하는 텐서 곱(tensor product)과 단위 객체(unit object)의 구조를 다중 정렬 체계에 맞게 조정하고, 그 위에 대칭성(즉, 객체들의 교환 법칙)을 부여함으로써, 여러 종류의 알파벳(또는 기호 집합)이 동시에 존재하고 서로 교환될 수 있는 상황을 자연스럽게 모델링할 수 있게 된다.

특히, **마주르키에비치 트레이스 언어(Mazurkiewicz trace languages)**가 정확히 **대칭 모노이달 언어(symmetric monoidal languages)**이며, 그 알파벳이 모노이달 분산 알파벳(monoidal distributed alphabets) 위에 정의된다는 사실을 증명한다. 여기서 “모노이달 분산 알파벳”이란, 각각의 정렬에 대응하는 알파벳 집합이 텐서 곱을 통해 결합될 수 있는 구조를 가지면서도, 각 정렬 간에 독립적으로 분산(distributed)될 수 있는 특수한 형태의 알파벳 체계를 의미한다. 이러한 관점에서 마주르키에비치 트레이스는 단순히 문자열의 집합이 아니라, 텐서 곱과 교환 법칙에 의해 얽혀 있는 대칭 모노이달 구조를 갖는 언어로 재해석될 수 있다.

우리는 또한 **대칭 모노이달 자동기(symmetric monoidal automata)**라는 새로운 계산 모델을 도입한다. 이 자동기는 전통적인 유한 자동기(finite automaton)의 전이 규칙을 모노이달 범주의 텐서 구조와 대칭성에 맞게 확장한 것으로, **정규 대칭 모노이달 언어(regular symmetric monoidal languages)**의 전체 클래스를 정확히 기술한다. 즉, 어떤 대칭 모노이달 언어가 정규 언어인지 여부는 해당 언어를 인식하는 대칭 모노이달 자동기의 존재 여부와 동치임을 보인다. 이 자동기의 정의는 상태(state)와 전이(transition)를 각각 다중 정렬 객체로 취급하고, 전이 라벨(label)을 모노이달 분산 알파벳의 원소로 두어, 텐서 곱을 통해 여러 전이를 동시에 수행할 수 있게 설계되었다.

더 나아가, **지엘론카(Zielonka)의 비동기 자동기(asynchronous automata)**가 모노이달 분산 알파벳 위에 정의된 대칭 모노이달 자동기와 정확히 일치한다는 정리를 증명한다. 지엘론카의 비동기 자동기는 기존에 동시성 이론에서 “프로세스 간의 비동기적 상호작용”을 모델링하기 위해 고안된 강력한 도구였으며, 각 프로세스가 독립적인 알파벳을 사용하면서도 전체 시스템 수준에서는 동기화된 행동을 보이는 특성을 갖는다. 우리의 증명은 이러한 비동기적 행동이 모노이달 텐서 구조와 대칭 교환 법칙에 의해 자연스럽게 포착될 수 있음을 보여 주며, 결과적으로 두 모델이 수학적으로 동일한 표현력을 가진다는 것을 확인한다. 이는 기존의 동시성 모델링 기법과 최신의 범주론적 접근법 사이에 깊은 연결 고리가 존재함을 의미한다.

마지막으로, **대칭 프리모노이달 범주(symmetric premonoidal category)**에 대한 **스트링 다이어그램(string diagrams)**을 활용하여 트레이스(trace)의 직렬화(serialization) 과정을 도출한다. 스트링 다이어그램은 객체와 사상(arrow)을 선과 박스로 시각화함으로써 복잡한 텐서 연산과 교환 관계를 직관적으로 표현할 수 있는 그래픽 언어이다. 우리는 이러한 다이어그램을 이용해, 트레이스가 갖는 부분 순서(partial order) 구조를 선형(시리얼) 순서로 변환하는 구체적인 절차를 제시한다. 이 과정에서 각 교환 가능한 사건(event)들은 다이어그램 상에서 서로 교차(cross)하거나 병렬(parallel)로 배치될 수 있으며, 최종적으로는 모든 가능한 직렬화 결과가 다이어그램의 변형을 통해 일관되게 얻어짐을 증명한다. 따라서, 대칭 프리모노이달 범주의 시각적 도구는 동시성 시스템의 행동을 분석하고, 그 행동을 순차적인 실행 흐름으로 변환하는 데 있어 매우 유용한 수단이 된다.

요약하면, 본 연구는 다중 정렬·대칭 모노이달 범주라는 일반화된 수학적 틀 안에서 형식 언어, 자동기, 동시성 트레이스 등을 통합적으로 다루는 새로운 이론을 제시한다. 이를 통해 마주르키에비치 트레이스 언어와 지엘론카의 비동기 자동기라는 기존의 핵심 개념들을 범주론적 관점에서 재해석하고, 스트링 다이어그램을 활용한 직렬화 기법을 제공함으로써, 동시성 이론과 범주론 사이의 교량 역할을 수행한다. 이러한 결과는 향후 동시성 시스템의 모델링, 검증, 최적화 등에 있어 범주론적 방법론이 보다 폭넓게 적용될 수 있는 토대를 마련한다.