Geometric Graphs with Unbounded Flip-Width

📝 Abstract

We consider the flip-width of geometric graphs, a notion of graph width recently introduced by Toruńczyk. We prove that many different types of geometric graphs have unbounded flip-width. These include interval graphs, permutation graphs, circle graphs, intersection graphs of axis-aligned line segments or axis-aligned unit squares, unit distance graphs, unit disk graphs, visibility graphs of simple polygons, $β $-skeletons, 4-polytopes, rectangle of influence graphs, and 3d Delaunay triangulations.

💡 Analysis

We consider the flip-width of geometric graphs, a notion of graph width recently introduced by Toruńczyk. We prove that many different types of geometric graphs have unbounded flip-width. These include interval graphs, permutation graphs, circle graphs, intersection graphs of axis-aligned line segments or axis-aligned unit squares, unit distance graphs, unit disk graphs, visibility graphs of simple polygons, $β $-skeletons, 4-polytopes, rectangle of influence graphs, and 3d Delaunay triangulations.

📄 Content

우리는 토루니크가 최근에 도입한 그래프 폭의 한 종류인 **플립‑폭(flip‑width)**을 기하학적 그래프에 적용하여 연구한다. 본 논문에서는 다양한 종류의 기하학적 그래프들이 플립‑폭이 제한되지 않음, 즉 무한히 커질 수 있음을 증명한다. 구체적으로, 다음과 같은 그래프들을 포함한다.

• 구간 그래프(interval graphs)
• 순열 그래프(permutation graphs)
• 원 그래프(circle graphs)
• 축에 평행한 선분 혹은 축에 평행한 단위 정사각형들의 교차 그래프(intersection graphs of axis‑aligned line segments or axis‑aligned unit squares)
• 단위 거리 그래프(unit distance graphs)
• 단위 원판 그래프(unit disk graphs)
• 단순 다각형의 가시성 그래프(visibility graphs of simple polygons)
• β‑골격(β‑skeletons)
• 4‑차원 다면체(4‑polytopes)
• 영향 사각형 그래프(rectangle of influence graphs)
• 3차원 델로네 삼각분할(3d Delaunay triangulations)

각 그래프 종류에 대해, 해당 그래프가 어떤 기하학적 객체들의 교차 혹은 인접 관계를 나타내는지, 그리고 이러한 관계가 플립‑폭을 무한대로 만들 수 있는 구조적 특성을 어떻게 포함하는지를 상세히 논한다.

예를 들어, 구간 그래프는 실수선 위의 구간들의 교차 관계를 정점과 간선으로 표현한다. 구간들의 배치가 충분히 복잡해지면 플립 연산을 반복 적용했을 때 그래프의 폭이 제한 없이 증가한다는 것을 보인다.

순열 그래프는 두 순열 사이의 교차 쌍을 정점으로 삼고, 교차가 존재하는 쌍을 간선으로 연결한다. 순열의 길이가 커짐에 따라 플립‑폭도 무한히 커질 수 있음을 증명한다.

원 그래프는 원 위에 배치된 선분들의 교차 관계를 나타내며, 선분들의 배치를 적절히 선택하면 플립‑폭이 제한되지 않음을 확인한다.

축에 평행한 선분 혹은 단위 정사각형들의 교차 그래프는 평면에 축에 평행한 직선 혹은 정사각형을 배치하고, 이들 간의 교차 여부에 따라 간선을 정의한다. 이러한 배치가 충분히 복잡해지면 플립‑폭이 무한히 증가한다.

단위 거리 그래프와 단위 원판 그래프는 각각 두 점 사이의 거리가 정확히 1이거나 반지름 1인 원 안에 포함되는 경우에 간선을 두는 그래프이며, 점들의 배치를 적절히 설계하면 플립‑폭이 제한되지 않음을 보인다.

단순 다각형의 가시성 그래프는 다각형 내부에서 두 점 사이에 직선이 다각형의 경계와 교차하지 않을 때 간선을 두는 그래프이다. 다각형의 형태를 복잡하게 만들면 플립‑폭이 무한히 커질 수 있다.

β‑골격은 점 집합에 대해 특정 거리 비율 β에 따라 연결을 정의하는 그래프이며, β값과 점들의 배치에 따라 플립‑폭이 무한히 커지는 경우가 존재한다.

4‑차원 다면체는 4차원 공간에서의 다면체의 1‑스켈레톤을 그래프로 생각할 수 있는데, 이러한 고차원 구조 역시 플립‑폭이 제한되지 않음을 보인다.

영향 사각형 그래프는 두 정점 사이에 사각형 영역이 다른 정점들을 포함하지 않을 때 간선을 두는 그래프이며, 이 그래프 역시 복잡한 배치에서는 플립‑폭이 무한히 커진다.

마지막으로, 3차원 델로네 삼각분할은 3차원 공간에서 점들의 볼록 껍질을 기반으로 한 삼각분할 구조이며, 점들의 배치를 적절히 선택하면 플립‑폭이 제한되지 않음을 증명한다.

따라서 위에 열거한 모든 그래프 종류는 플립‑폭이 유계가 아니라 무한히 커질 수 있음을 확인하였다.