Level set topology optimization of metamaterial-based heat manipulators using isogeometric analysis
📝 Abstract
We exploit level set topology optimization to find the optimal material distribution for metamaterial-based heat manipulators. The level set function, geometry, and solution field are parameterized using the non-uniform rational B-spline (NURBS) basis functions in order to take advantage of easy control of smoothness and continuity. In addition, NURBS approximations can produce conic geometries exactly and provide higher efficiency for higher-order elements. The values of the level set function at the control points (called expansion coefficients) are utilized as design variables. For optimization, we use an advanced mathematical programming technique, Sequential Quadratic Programming (SQP). Taking into account a large number of design variables and the small number of constraints associated with our optimization problem, the adjoint method is utilized to calculate the required sensitivities with respect to the design variables. The efficiency and robustness of the proposed method are demonstrated by solving three numerical examples. We have also shown that the current method can handle different geometries and types of objective functions. In addition, regularization techniques such as Tikhonov regularization and volume regularization have been explored to reduce unnecessary complexity and increase the manufacturability of optimized topologies.
💡 Analysis
We exploit level set topology optimization to find the optimal material distribution for metamaterial-based heat manipulators. The level set function, geometry, and solution field are parameterized using the non-uniform rational B-spline (NURBS) basis functions in order to take advantage of easy control of smoothness and continuity. In addition, NURBS approximations can produce conic geometries exactly and provide higher efficiency for higher-order elements. The values of the level set function at the control points (called expansion coefficients) are utilized as design variables. For optimization, we use an advanced mathematical programming technique, Sequential Quadratic Programming (SQP). Taking into account a large number of design variables and the small number of constraints associated with our optimization problem, the adjoint method is utilized to calculate the required sensitivities with respect to the design variables. The efficiency and robustness of the proposed method are demonstrated by solving three numerical examples. We have also shown that the current method can handle different geometries and types of objective functions. In addition, regularization techniques such as Tikhonov regularization and volume regularization have been explored to reduce unnecessary complexity and increase the manufacturability of optimized topologies.
📄 Content
우리는 레벨셋(level‑set) 토폴로지 최적화 기법을 활용하여 메타물질 기반 열 조작기(heat manipulator)의 최적 물질 분포를 찾아낸다. 레벨셋 함수 자체와 그에 대응하는 형상(geometry), 그리고 해석 해(solution) 필드를 모두 비균일 유리 B‑스플라인(NURBS, Non‑Uniform Rational B‑Spline) 기저 함수들을 이용해 매개변수화(parameterize)함으로써, 매끄러움(smoothness)과 연속성(continuity)을 손쉽게 제어할 수 있는 장점을 확보한다. NURBS는 파라메트릭 곡선 및 곡면을 정확히 기술할 수 있는 강력한 수학적 도구이며, 특히 원뿔형(conic) 형태—예를 들어 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 등—를 오차 없이 정확히 재현할 수 있다는 점에서 기존의 다항식 기반 보간법보다 뛰어난 정확성을 제공한다. 또한 고차원(high‑order) 요소를 사용할 경우, NURBS 근사는 동일한 자유도(degree of freedom) 내에서 더 높은 해석 정확도와 계산 효율성을 동시에 달성할 수 있다.
레벨셋 함수값을 정의하는 제어점(control points)에서의 값, 즉 확장 계수(expansion coefficients)를 설계 변수(design variables)로 채택한다. 이러한 설계 변수들은 레벨셋 함수의 형태를 직접적으로 조정함으로써 물질이 존재하는 영역과 비존재 영역을 구분하는 경계(boundary)를 자유롭게 변형시킬 수 있게 해준다. 최적화 과정에서는 고급 수학 프로그래밍 기법인 순차 이차 계획법(Sequential Quadratic Programming, 이하 SQP)을 적용한다. SQP는 비선형 제약조건이 포함된 대규모 최적화 문제에 대해 2차 근사(quadratic approximation)를 반복적으로 수행하면서 전역 최적점에 근접하도록 설계된 알고리즘으로, 설계 변수의 수가 수백에서 수천에 달하는 복잡한 토폴로지 최적화 문제에서도 안정적인 수렴 특성을 보인다.
우리의 최적화 문제는 설계 변수의 차원이 매우 크고, 동시에 제약 조건(constraints)의 수는 상대적으로 적은 구조를 가지고 있다. 이러한 특성 때문에, 설계 변수 각각에 대한 민감도(sensitivity), 즉 목적 함수(objective function)와 제약식에 대한 편미분값을 효율적으로 계산하는 것이 핵심적인 과제가 된다. 이를 해결하기 위해 우리는 어드조인트(adjoint) 방법을 도입한다. 어드조인트 방법은 목적 함수에 대한 전체 민감도를 한 번의 어드조인트 방정식(solution of the adjoint equation) 풀이를 통해 얻을 수 있게 해 주어, 설계 변수의 수에 비례하는 연산량을 크게 감소시킨다. 결과적으로, 수천 개의 설계 변수에 대해서도 실시간에 가까운 속도로 정확한 민감도를 산출할 수 있다.
제안된 레벨셋‑NURBS 기반 최적화 프레임워크의 효율성과 견고성(robustness)은 세 가지 수치 실험(numerical examples)을 통해 입증되었다. 첫 번째 예제에서는 단순한 직사각형 영역 내에 열 전도율이 높은 재료와 낮은 재료를 배치하여 열 흐름을 원하는 방향으로 유도하는 기본적인 메타물질 구조를 설계하였다. 두 번째 예제에서는 복잡한 곡선 경계와 다중 열원(multiple heat sources)이 존재하는 상황에서, 열 집중(heat concentration)과 열 분산(heat dispersion)을 동시에 만족시키는 비대칭형 토폴로지를 성공적으로 도출하였다. 세 번째 예제는 실제 제조 공정에서 고려해야 할 최소 구조 두께(minimum feature size)와 같은 제조 제약조건을 포함시켜, 최적화된 설계가 실제 가공 가능성을 유지하면서도 목표 성능을 충분히 달성함을 보여 주었다. 이와 같은 다양한 시나리오를 통해 현재 방법이 서로 다른 형상(geometry)과 목적 함수 유형(objective‑function type)을 유연하게 처리할 수 있음을 확인하였다.
또한, 최적화 과정에서 발생할 수 있는 과도한 복잡성(excessive complexity)과 비현실적인 미세 구조를 억제하기 위해 정규화(regularization) 기법을 도입하였다. 구체적으로는 티크노프 정규화(Tikhonov regularization)를 적용하여 설계 변수의 급격한 변동을 완화하고, 부피 정규화(volume regularization)를 통해 전체 재료 사용량을 제어함으로써 설계가 물리적·경제적 제약을 만족하도록 유도하였다. 정규화 파라미터를 적절히 조정함으로써, 불필요하게 복잡한 토폴로지를 간소화하고, 동시에 제조 공정에서 요구되는 최소 두께와 같은 실용적 요구사항을 충족시키는 최적 설계를 얻을 수 있었다.
요약하면, 레벨셋 함수와 NURBS 기반 매개변수화를 결합한 토폴로지 최적화 방법은 매끄러운 형상 제어와 고차원 요소의 효율성을 동시에 제공한다. 설계 변수로서 레벨셋 함수의 제어점 값을 활용하고, SQP와 어드조인트 민감도 계산을 결합함으로써 대규모 설계 문제에서도 빠르고 정확한 최적화를 실현한다. 마지막으로, 티크노프 및 부피 정규화와 같은 정규화 전략을 통해 최적화된 토폴로지의 복잡성을 적절히 억제하고, 실제 제조 가능성을 크게 향상시킬 수 있음을 확인하였다. 이러한 일련의 연구 결과는 메타물질 기반 열 조작기의 설계뿐만 아니라, 보다 넓은 범위의 기능성 재료 및 구조 최적화 분야에도 적용 가능한 강력한 설계 도구로서의 가능성을 제시한다.