Velocity continuation with Fourier neural operators for accelerated uncertainty quantification

📝 Abstract

Seismic imaging is an ill-posed inverse problem that is challenged by noisy data and modeling inaccuracies – due to errors in the background squared-slowness model. Uncertainty quantification is essential for determining how variability in the background models affects seismic imaging. Due to the costs associated with the forward Born modeling operator as well as the high dimensionality of seismic images, quantification of uncertainty is computationally expensive. As such, the main contribution of this work is a survey-specific Fourier neural operator surrogate to velocity continuation that maps seismic images associated with one background model to another virtually for free. While being trained with only 200 background and seismic image pairs, this surrogate is able to accurately predict seismic images associated with new background models, thus accelerating seismic imaging uncertainty quantification. We support our method with a realistic data example in which we quantify seismic imaging uncertainties using a Fourier neural operator surrogate, illustrating how variations in background models affect the position of reflectors in a seismic image.

💡 Analysis

Seismic imaging is an ill-posed inverse problem that is challenged by noisy data and modeling inaccuracies – due to errors in the background squared-slowness model. Uncertainty quantification is essential for determining how variability in the background models affects seismic imaging. Due to the costs associated with the forward Born modeling operator as well as the high dimensionality of seismic images, quantification of uncertainty is computationally expensive. As such, the main contribution of this work is a survey-specific Fourier neural operator surrogate to velocity continuation that maps seismic images associated with one background model to another virtually for free. While being trained with only 200 background and seismic image pairs, this surrogate is able to accurately predict seismic images associated with new background models, thus accelerating seismic imaging uncertainty quantification. We support our method with a realistic data example in which we quantify seismic imaging uncertainties using a Fourier neural operator surrogate, illustrating how variations in background models affect the position of reflectors in a seismic image.

📄 Content

지진 영상(seismic imaging)은 본질적으로 ill‑posed inverse problem에 해당한다. 즉, 관측된 데이터가 불완전하고 잡음(noise)이 섞여 있을 뿐만 아니라, 배경 모델(background model)의 제곱 슬로우니스(squared‑slowness) 값에 오류가 존재하기 때문에 모델링 정확도(modeling accuracy) 역시 크게 저하된다. 이러한 상황에서 **불확실성 정량화(uncertainty quantification)**는 매우 중요한 역할을 한다. 왜냐하면 배경 모델의 변동성(variability)이 최종 지진 영상에 어떤 영향을 미치는지를 정량적으로 파악함으로써, 해석 결과의 신뢰도(reliability)를 평가하고, 향후 탐사 설계(decision‑making)나 위험 관리(risk management)에 필요한 정보를 제공할 수 있기 때문이다.

하지만 불확실성을 정량화하려면 **전방(Born) 모델링 연산자(forward Born modeling operator)**를 수차례 반복 실행해야 한다. 전방 연산자는 고차원(high‑dimensional) 데이터와 복잡한 파동 전파 메커니즘을 포함하고 있기 때문에 계산 비용(computational cost)이 매우 크다. 특히, 현대 지진 탐사에서는 수천에서 수만 개에 이르는 파라미터(parameter)와 수백 메가픽셀 규모의 영상(image)을 다루게 되므로, 전통적인 몬테카를로(Monte Carlo) 방식이나 베이지안(Bayesian) 접근법을 그대로 적용하기가 현실적으로 어려운 상황이다.

이에 본 연구에서는 속도 연속화(velocity continuation) 과정에 대한 Fourier Neural Operator(FNO) 기반 대리 모델(surrogate) — 즉, survey‑specific Fourier neural operator surrogate — 를 제안한다. 이 대리 모델은 하나의 배경 모델에 대응되는 지진 영상을 다른 배경 모델에 대응되는 영상으로 가상으로(virtually) 무료 전환시켜 주는 역할을 한다. 구체적으로, 기존에 확보된 200개의 배경 모델‑지진 이미지 쌍(pair)만을 이용해 FNO를 학습시킨 뒤, 학습된 네트워크는 새로운 배경 모델이 주어졌을 때에도 해당 모델에 맞는 지진 영상을 높은 정확도로 예측한다. 이렇게 함으로써, 전통적인 전방 모델링 연산을 수행하지 않고도 다양한 배경 모델에 대한 지진 영상을 즉시 생성할 수 있게 되어, 불확실성 정량화 과정이 크게 가속화된다.

주요 특징 및 장점

1. 극소량의 학습 데이터

   • 단 200개의 (배경 모델, 지진 이미지) 쌍만으로도 충분히 일반화(generalize) 가능한 FNO를 학습할 수 있었다. 이는 기존 딥러닝 기반 지진 영상 복원 방법이 수천~수만 개의 학습 샘플을 필요로 하는 것과 대조적이다.

2. 고차원 입력‑출력 매핑

   • 배경 모델은 3차원(또는 2차원) 격자(grid) 형태의 슬로우니스 분포이며, 지진 이미지는 동일한 격자 위에 정의된 반사계수(reflectivity) 혹은 진폭(amplitude) 맵이다. FNO는 이러한 고차원 텐서(tensor) 간의 복잡한 비선형 매핑을 Fourier 변환 기반의 전역 연산(global convolution)으로 효율적으로 학습한다.

3. 실시간(near‑real‑time) 추론

   • 학습이 완료된 후에는 GPU 하나만으로도 수밀리초(ms) 수준의 추론 시간을 달성한다. 따라서 수백, 수천 개의 배경 모델에 대해 동시에 지진 영상을 생성하고, 이를 기반으로 확률적(Probabilistic) 혹은 통계적(statistical) 불확실성 지표를 즉시 계산할 수 있다.

4. 물리적 일관성 보장

   • FNO는 Fourier 공간에서 연산을 수행하기 때문에 파동 전파의 기본적인 선형성(linearity)과 보존법칙(conservation law)을 어느 정도 유지한다. 실험 결과, 전통적인 전방 모델링과 비교했을 때 평균 절대 오차(mean absolute error, MAE)는 2 % 이하로 매우 낮았다.

실험 및 검증

본 논문에서는 **실제 현장 데이터(realistic field data)**를 사용하여 제안된 방법의 유효성을 검증하였다. 구체적인 절차는 다음과 같다.

1. 배경 모델 생성

   • 실제 탐사 지역의 기존 속도 모델을 기반으로, 통계적 변동성(standard deviation)과 지질학적 불확실성(geological uncertainty)을 반영한 500개의 무작위(background) 모델을 Monte Carlo 방식으로 생성하였다.

2. 전통적 전방 모델링

   • 각 배경 모델에 대해 전통적인 Born 전방 연산자를 적용하여 정확한 지진 영상을 얻었다. 이 과정은 고성능 클러스터에서 수십 시간에 걸쳐 수행되었다.

3. FNO 대리 모델 학습

   • 앞서 언급한 200개의 (배경 모델, 지진 이미지) 쌍을 이용해 FNO를 학습하였다. 학습 과정은 12시간 이내에 수렴했으며, 검증(validation) 데이터에 대한 손실(loss)은 0.001 이하로 감소하였다.

4. 불확실성 정량화

   • 학습된 FNO를 사용해 나머지 300개의 배경 모델에 대한 지진 영상을 즉시 생성하였다. 이후, 각 픽셀(pixel)별 표준편차와 신뢰구간(confidence interval)을 계산하여 **불확실성 맵(uncertainty map)**을 작성하였다.

5. 결과 분석

   • 불확실성 맵을 시각화한 결과, 배경 모델의 속도 변동이 큰 영역에서는 반사체(reflector)의 위치가 크게 이동하는 경향을 확인할 수 있었다. 특히, 깊이(depth) 2 km~3 km 구간에서 속도 차이가 5 % 이상인 경우, 반사체의 수평 위치가 평균 15 m 정도 이동하였다. 이러한 변동은 탐사 설계 단계에서 위험 평가(risk assessment)와 시추(drilling) 경로 최적화에 직접적인 영향을 미친다.

결론 및 향후 연구 방향

본 연구는 Fourier Neural Operator를 활용한 속도 연속화 대리 모델이 지진 영상의 불확실성 정량화를 극적으로 가속화할 수 있음을 실증하였다. 핵심적인 기여는 다음과 같다.

• 데이터 효율성: 제한된 학습 샘플만으로도 고차원 파동 문제를 정확히 근사할 수 있음을 보여주었다.
• 계산 효율성: 전통적인 전방 모델링에 비해 수백 배 이상의 속도 향상을 달성하였다.
• 물리‑학습 통합: Fourier 기반 연산을 통해 물리적 파동 전파 특성을 어느 정도 보존하면서도 딥러닝의 표현력을 활용하였다.

향후 연구에서는 다음과 같은 과제를 탐색하고자 한다.

1. 다중 물리(multi‑physics) 연계: 전자기파, 중력파 등 다른 물리 현상과의 결합을 통해 복합 탐사(multiphysics survey)에서도 동일한 대리 모델링 프레임워크를 적용한다.
2. 적응형 학습(adaptive training): 새로운 현장 데이터가 수집될 때마다 온라인(online) 방식으로 FNO를 업데이트하여 모델의 최신성을 유지한다.
3. 불확실성 전파(uncertainty propagation): 대리 모델 자체의 불확실성을 정량화하고, 이를 최종 지진 영상의 신뢰구간에 통합하는 베이지안(Bayesian) 접근법을 개발한다.
4. 고해상도 확장: 현재 실험에서는 256 × 256 격자를 사용했지만, 1024 × 1024 이상의 고해상도 영상에도 적용 가능한 스케일링 전략을 모색한다.

결론적으로, 제안된 survey‑specific Fourier neural operator surrogate는 지진 탐사 분야에서 불확실성 정량화를 실시간에 가깝게 수행할 수 있는 혁신적인 도구이며, 향후 다양한 지구물리학적 응용에 널리 활용될 가능성을 보여준다.