Strong Sleptsov Net is Turing-Complete

📝 Abstract

It is known that a Sleptsov net, with multiple firing a transition at a step, runs exponentially faster than a Petri net opening prospects for its application as a graphical language of concurrent programming. We provide classification of place-transition nets based on firability rules considering general definitions and their strong and weak variants. We introduce and study a strong Sleptsov net, where a transition with the maximal firing multiplicity fires at a step, and prove that it is Turing-complete. We follow the proof pattern of Peterson applied to prove that an inhibitor Petri net is Turing-complete simulating a Shepherdson and Sturgis register machine. The central construct of our proof is a strong Sleptsov net that checks whether a register value (place marking) equals zero.

💡 Analysis

It is known that a Sleptsov net, with multiple firing a transition at a step, runs exponentially faster than a Petri net opening prospects for its application as a graphical language of concurrent programming. We provide classification of place-transition nets based on firability rules considering general definitions and their strong and weak variants. We introduce and study a strong Sleptsov net, where a transition with the maximal firing multiplicity fires at a step, and prove that it is Turing-complete. We follow the proof pattern of Peterson applied to prove that an inhibitor Petri net is Turing-complete simulating a Shepherdson and Sturgis register machine. The central construct of our proof is a strong Sleptsov net that checks whether a register value (place marking) equals zero.

📄 Content

다중 발사를 한 단계에서 수행하는 Sleptsov 네트는 Petri 네트보다 지수적으로 빠르게 동작한다는 것이 알려져 있다. 이러한 속도 향상은 동시성 프로그래밍을 위한 그래픽 언어로서 Sleptsov 네트를 활용할 수 있는 새로운 가능성을 열어준다. 본 논문에서는 발사 가능 규칙을 기준으로 장소‑전이 네트를 일반적인 정의와 그 강형(strong) 및 약형(weak) 변형을 포함하여 체계적으로 분류한다. 먼저 전통적인 Petri 네트의 기본 개념과 발사 가능성에 대한 정의를 재검토하고, 이를 바탕으로 Sleptsov 네트의 특수한 발사 규칙을 도입한다. 그런 다음 전이의 발사 배수가 여러 개일 수 있는 상황을 고려하여, 전이 중에서 가장 큰 발사 배수를 가진 전이가 현재 단계에서 실제로 발사되는 “강한 Sleptsov 네트(strong Sleptsov net)”를 정의한다. 우리는 이 강한 Sleptsov 네트가 어떤 계산 모델과 동등한 표현력을 갖는지를 조사하기 위해 튜링 기계와의 등가성을 증명한다. 구체적으로 Peterson이 제시한 증명 방식을 차용하여 억제자(Inhibitor) Petri 네트가 Shepherdson 및 Sturgis가 고안한 레지스터 기계(register machine)를 시뮬레이션함으로써 튜링 완전함을 가짐을 보인 논리를 그대로 적용한다. 이 과정에서 억제자 Petri 네트의 동작 메커니즘과 레지스터 기계의 명령 집합 사이의 대응 관계를 상세히 기술한다. 이어서 이러한 대응 관계를 기반으로 강한 Sleptsov 네트를 구성하고, 특히 레지스터의 현재 값, 즉 해당 장소의 마킹(marking)이 정확히 0인지 여부를 판단하는 핵심 서브넷을 설계한다. 이 서브넷은 레지스터 값이 0일 때와 0이 아닐 때 각각 다른 전이 경로를 선택하도록 설계되어 조건부 분기와 같은 제어 흐름을 구현한다. 이러한 설계를 통해 우리는 강한 Sleptsov 네트가 임의의 레지스터 기계 명령을 정확히 모방할 수 있음을 보이고, 결과적으로 강한 Sleptsov 네트 자체가 튜링 완전함을 만족한다는 결론에 도달한다.

본 연구의 주요 기여는 (1) 발사 가능 규칙에 기반한 장소‑전이 네트의 체계적인 분류 체계를 제시한 점, (2) 강한 Sleptsov 네트라는 새로운 모델을 정의하고 그 계산 능력을 엄밀히 분석한 점, 그리고 (3) 강한 Sleptsov 네트를 이용하여 레지스터 값이 0인지 여부를 검사하는 핵심 구조를 구축함으로써 튜링 완전성을 증명한 점에 있다. 또한 강한 Sleptsov 네트의 실행 속도가 기존 Petri 네트에 비해 지수적으로 향상되는 구체적인 사례를 몇 가지 제시한다. 예를 들어 특정 유형의 동시성 프로세스에서 전이의 최대 발사 배수를 활용함으로써 단계 수를 로그 수준으로 감소시킬 수 있음을 실험적으로 확인하였다. 이러한 실험 결과는 이론적으로 예측된 지수적 가속과 일치하며, 실제 시스템 설계 시 성능 최적화에 직접적인 활용이 가능함을 보여준다.

더 나아가 강한 Sleptsov 네트를 기반으로 한 새로운 그래픽 프로그래밍 언어의 설계 가능성에 대해 논의한다. 이 언어는 전이와 장소를 시각적으로 배치하고 전이의 발사 배수를 직관적으로 지정함으로써 프로그래머가 복잡한 동시성 로직을 보다 쉽게 모델링하고 구현할 수 있도록 지원한다. 마지막으로 향후 연구 과제로는 강한 Sleptsov 네트의 형식적 검증 기법 개발, 다양한 종류의 억제자와 동기화 메커니즘을 포함한 확장 모델 연구, 그리고 실제 하드웨어나 소프트웨어 시스템에의 적용 사례를 통한 실증 연구 등이 있다. 이러한 연구 방향은 Sleptsov 네트가 이론 컴퓨터 과학뿐만 아니라 실용적인 시스템 엔지니어링 분야에서도 중요한 역할을 수행하도록 하는 데 기여할 것이다.