Basic differential geometry as a sequence of interesting problems

BASIC DIFFERENTIAL GEOMETR Y AS A SEQUENCE OF INTERESTING PR OBLEMS A. Sk openk o v Abstract. This b o ok is expository and is in Russian (sample English translation of tw o pages is giv en). It is show n how in the course of solutio n of int eresting geom etric problems (close to applicati ons) naturally app ear different notions of curvatur e , which distinguish given geometr y from the ‘ordinary’ one. Direct elemen tary definitio ns of these notions are presente d. The b o ok is accessible for studen ts familiar with analysis of sev eral v ariables, and could b e an in teresting easy reading for professional mathematici ans. The material is presen ted as a sequence of p roblems, whic h is p eculiar not only to Zen mon asteries but also to s erious mathematica l education. The mo dern world is ful l of the ories which ar e pr olifer ating at a wr ong level of gener ality, we’r e so go o d at the orizing, and one the ory sp awns another, ther e’s a whole industry of abstr act activity which p e ople mistake for thinking. I. Mur do ch, The Go o d Appr entic e. Main curv atures 1. Let A 1 , . . . , A s b e p oin ts in R 3 with masses m 1 , . . . , m s . The inertia mom entum of this system w.r.t. a line l is the num b er I ( l ) := m 1 | A 1 l | 2 + · · · + m s | A s l | 2 , whe re | A i l | is the distance from A i to l . (a) Let I + and I − b e the m aximal and the minimal v alue of the inertia momen ta w.r.t. lines in the plane pasing through a fixed p oin t O (p osibly , I + = I − ). T ake one of the lines l + suc h that I ( l + ) = I + . Then I ( l ) = I + cos 2 ϕ + I − sin 2 ϕ , г де ϕ = ∠ ( l l + ) . (b)* F o r eac h O ∈ R 3 there are lines l 1 , l 2 , l 3 passing through O and suc h that for each line l pasng through O w e hav e I ( l ) = I ( l 1 ) cos 2 ( l l 1 ) + I ( l 2 ) cos 2 ( l l 2 ) + I ( l 3 ) cos 2 ( l l 3 ) . P n ( P ) α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ α n ∩ Π α ∩ Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость Figur e: a normal and a ‘skew’ se ctions of a surfac e. A c o orientation of a surface Π ⊂ R 3 is a field of unit lengh v ectors n ( P ) normal to Π ; the field should contin uously depend on P ∈ Π . A curvatur e of a (non-p ar ametrize d) curve on a c o oriente d surfac e is the normal pro jection of the acceleration of the unit length velocity motion on this curv e. 1 Main curvatur es λ + and λ − of a co oriented surface Π ⊂ R 3 at P ∈ Π are the maximal and the minimal v alues of the curv atures at P of (non-para metrized) curv es on Π that are the in tersection of Π a nd planes passing t hro ug h n ( P ) . The corresp onding planes are denoted by α + and α − . 2. Ho w do main curv atures c hange under (a) c ha nge of the co orien tation to the opp osite? (b) dilatation of the space? 3. (a) The Euler formula. Let Π ⊂ R 3 b e a co orien ted surface and P ∈ Π . De note by k ( ϕ ) the cu rv ature at P of the curv e on Π that is the inte rsection o f Π and the plane passing through n ( P ) and making the angle ϕ to the plane α + (for whic h suc h a curv ature is maximal). Then k ( ϕ ) = λ + cos 2 ϕ + λ − sin 2 ϕ . (b) If λ + 6 = λ − , then α + ⊥ α − . 4. (a ) What is the ratio of curv atures f or the in t ersection curv es o f a surface with t wo planes ( α and α n in Fig. 2) containing P and inters ecting the tangen t plane b y the same line, if α n passes through the normal v ector at P and α mak es angle θ to the normal v ector? (b) The normal pro jection at P = γ (0) of the acce leration of a parametrized curv e γ on a surface Π dep ends only on the ve lo cit y γ ′ (0) of this curve at P . (c) State and pro ve the analogue of problems 3.a and 4.a for a co orien t ed 3-dimensional surface Π ⊂ R 4 . Hin t s. 1a and 3a. F ollow b ecause b oth inertia momen t and the curv ature ha ve the form f ( ϕ ) = A cos 2 ϕ + 2 B cos ϕ sin ϕ + C sin 2 ϕ . 1b and 4c. F ollo w b ecause b oth inertia momen t and the curv ature are quadratic forms (pro ve this!). 4. (a) Th e Meunieur The or em. k cos θ = k n . F ollo ws b y (b). (b) Denote n = n ( γ ( t )) . Then n · γ ′ = 0 ⇒ n ′ · γ ′ + n · γ ′′ = 0 ⇒ n · γ ′′ = − γ ′ · ∂ n/∂ γ ′ . A simple geometric definition of the scalar and the Ricci curv atures 1.* Let Π ⊂ R 3 b e a surface of rev olution. Denote b y L ( R ) the length of the circ le in Π of radius R cen tered at P ∈ Π . Prov e tha t (a) lim R → 0 2 π R − L ( R ) R 2 = 0 . (b) there exists τ := 6 lim R → 0 2 π R − L ( R ) R 3 . This is the scala r curv ature of Π at P . Let Π ⊂ R m b e an n -dimensional surface in R m (a reader not familiar with surfaces can consider surfaces of rev olution, which case is in teresting enough). If n = 2 , fo r P ∈ Π denote b y L Π ,P ( R ) the length of the circle in Π of radius R cen tered at P ∈ Π . The scalar curv ature o f Π at P is the num b er τ = τ Π ,P := 6 lim R → 0 2 π R − L Π ,P ( R ) π R 3 . One can prov e t ha t this limit indee d exists. One can pro v e that τ = 2 λ + λ − for 2-surfaces in R 3 . 2 A (non-parametrized) curv e Γ ⊂ Π is called a geo desic on Π , if Γ is lo c al ly shortest , i.e., if eac h p o int x ∈ Γ has a neigh b orho o d U ⊂ Π suc h that the distance (along Π ) b et wee n an y t wo p oints y 1 , y 2 ∈ U ∩ Γ is equ al to the length of a segmen t of Γ fr o m y 1 to y 2 . F or P ∈ Π denote b y T P the plane ta ngent to Π at the p oin t P . Define a ( geo desic) exp onen tial map exp = exp P : T P → Π b y exp( u ) := γ P ,u (1) , where γ P ,u : [ − 1 , 1] → Π is the geo desic for which γ P ,u (0) = P and γ ′ P ,u (0) = u . The R icci curv arure of Π at P ∈ Π is a bilinear form ρ = ρ P : T P × T P → R suc h that for eac h unit n -dimensional cub e A ⊂ T P with v ertex at P w e hav e V (exp P ( hA )) = h n − h n +2 6 Z A ρ ( u, u ) du + O ( h n +3 ) when h → 0 . One can pro v e that • suc h a quadratic for m indeed exis ts and is unique. • analogo us formula with h n replaced by h n V ( A ) ( h n +2 and h n +3 do not c hange) holds for eac h measurable subset A ⊂ T P . • τ = tr e ρ , where linear op erator e ρ : T P → T P is w ell-defined b y e ρ ( u ) · v = ρ ( u, v ) . • 2 ρ ( u, u ) = P i τ i , where | u | = 1 , e 1 , . . . , e n − 1 is an orthonormal base in the orthogonal complemen t to u in T P and τ i is the scalar curv ature at P of the 2- dimensional surface exp P h u, e i i . [1] L. Bessieres, G. Bes son, M. Boileau, La preuv e de la conjecture de P oincar´ e d’apres G. P erelman, Images des Mathematiques, 2006. http://ww w.math.cnrs.fr/imagesd esmaths/IdM2006.h tm 3 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИА ЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ В И НТЕРЕСНЫ Х ЗАДА ЧАХ 1 А. Б. Ск опенк ов 2 Аннот ация Пок а зано, как при решении интересных геометрических проблем, близких к прило- ж ениям, естественно возник ают различные по нят ия кривизны , отли чающей изучаемую геометрию от ’обычной’. Приведены прямые элемент а рные определения этих понятий. Брошюра предназна чена сту дент а м, аспирант ам, раб о тник ам науки и образова ния, изу- чающим и применяющим дифференциальную геометрию. Д ля ее изучен ия дост ат очно владения основами анализа функций неск ольких переменных (а во многих мест ах не нуж- но даж е этого). Материал препо днесен в в иде циклов зада ч. Это характерно не только для дзенских монастырей, но и для серьезного изучения математики. The mo dern world is ful l of the ories which ar e pr olifer ating at a wr ong level of gener ality, we’r e so go o d at the orizing, and one the ory sp awns another, ther e’s a whole industry of abstr act activity which p e ople mistake for thinking. I. Mur do ch, The Go o d Appr entic e. Со дер ж ание Введение 6 0.1 Зачем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.2 Советы и сог лашения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.3 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1 Кривизны кривых 9 1.1 Кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Кривизна кривы х . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Кручение пространственных кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Ук азания и решения к нек от орым задачам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Элементы геометрии повер хностей 17 2.1 Элементы сферическ ой геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Определение и примеры повер хностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Длины кривых на повер хностях и изометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Площа дь повер хности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 Г е о дезические . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6 Уравнение гео дезических и экс поненциальное отображ ение . . . . . . . . . . 25 2.7 Параллельный пере нос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Ук азания и решения к нек от орым задачам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 Прошлая в е рсия опубликована в издательств е МЦНМО, Мо сква, 2009 и 2 010. Д анная обно вленная версия выложена на http://arxiv.or g/abs/0 801.1568 с разрешения издат ельства . 2 Московский Физик о-Т ехнический Институт , Независимый Московский Университет , Инфо: www.mccme.ru/˜skop enko. 4 3 Числовые кривизны поверх ностей 31 3.1 Ск алярная кривизна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 3.2 Г лавны е кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 Полная средняя кривизна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.4 Средняя кривизна в точк е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.5 Полная га у ссова кривизна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.6 Г а у ссова кривизна в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.7 Секционная кривизн а . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Ук азания и решения к нек от орым задачам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4 Полилинейные кривизны повер хностей 45 4.1 Риманова метрика. Применение к в нутренним изометриям. . . . . . . . . . . 45 4.2 Оператор Вейнг артена (в т орая кв а дратичная форма) . . . . . . . . . . . . . 47 4.3 Билинейная форма Риччи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.4 Т ензор кривизны Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Ук азания и решения к нек от орым задачам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5 Ковариантное дифференцирование 55 5.1 Примеры тензорны х полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2 Кова риантное дифференцирование функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.3 Коммутатор векторных полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.4 Кова риантное дифференцирование векторных полей . . . . . . . . . . . . . . 58 5.5 Кова риантное дифференцирование тензорных полей . . . . . . . . . . . . . . 59 5.6 Общ ее понятие тензора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Ук азания и решения к нек от орым задачам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6 Обобщение на римановы многообразия 64 6.1 Элементы гиперболическ ой геометрии Лоба чевск ого . . . . . . . . . . . . . . 64 6.2 Г еометрия на римановых многообразиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5 Введение 0.1 За чем Приво димые зада чи подобраны так, что в процес се их решения (и обсуждения) читатель увидит , как при решении интересн ых геометрических проблем, близких к прило ж ениям, естественно возник ают различные понятия кривизны , отл ичающей изучаемую геометрию от ’обычной’. 3 Особенность этого текст а — возмо жность познак омитьс я с нек оторыми мотивиров- ками и и деями дифференциальной геометрии при сведении к необ х оди мому минимуму ее языка . Я ст аралс я давать определения т ак, чтобы сразу было ясно, ч то о пределяемый объект интер есен. А мето ды вычисления уж е интер есных (по самому их определени ю) объ- ектов форму лировать в виде т еорем. (Часто изучение материала затру дняетс я тем, что вычисл ительные фор мулы препо дносятс я в виде определ ений , которые ст ановятся немоти- вированными.) Вместо абстр актных общих понятий (например, тензора и к овариантно- го дифференцирования) рассматриваютс я их конкретные испо льзуемые в курсе частные сл учаи , а обобщение остаетс я в виде задач, к оторые естественны и легки для читателя, разобравшегос я с частными случаями. 4 Простейшие кривизны — чис ловые поля, более сло жные — поля квадратичных форм, а тензор кривизны Римана (’это ма леньк ое чу довище полилинейной алгебры’ по словам М. Громов а) — поле четырехлинейных форм. В этом курсе дают ся пр ямые геометриче- ские опред еления сна чала первых, затем вторых и потом третьего. Конечно, простейшие кривизны выражаютс я через более сло жные (и такие выраж ения часто у добны для вы- чис ления простейших кривизн), но определение простых понятий через более слож ные затру дняет изу чение ма т ериала. Ввиду прозра чной геометрическ о й мотивиров а нности изучаемых понятий изло же ние в основном синтетич но и беск оо р динатно. Несмотр я на стремление к ясности и ориентиро- ванность на прило же ния (а точнее, к ак раз в силу т ак ого стремления), я старалс я поддер- ж ать достаточно высоки й уровень строгости. Например, различаютс я параметризованные и непараметризованные кривые и повер хности (о тсутствие их четкого различения мешает на чинающим, х отя допус тимо и у добно для специалистов; см. такж е сноску в §1.1). Принятый стиль изло же ния отвечает духу К. Ф. Г ау сса (и других первооткрывате- лей), много занимавшегос я прило жени ями и превратившего о дин из разделов географии в данный раздел математики. Излож ение ’от простого к слож ному’ и в форме, б лизкой к форме рожде ния материала, продолж а ет у стную традицию, восх о дящ ую к Лао Цзы и Платону , а в современном преподавании математики предст ав ленную, например, книг а ми Д. Пойа и журналом ’Квант’. Мне каж етс я, принятый стиль излож ения не только с делает материал более доступ- ным, но позволит сильным сту дентам (для к оторых доступно даже абстрактное изло- ж ение) приобрести математический вку с с тем, чтобы разумно выбирать проблемы для 3 Т ем са мым он освоит основы дифференциальной г е ометрии (в частност и, б´ ольшую ча с т ь курсов , изу- чаемых на факу льтете инноваций и выс о ких техноло гий Моск овского Физико-технического Института и на механик о -математическом ф а ку льтете Московского Г о су дарственно го Университета им. М. В. Ло- моносова — кро ме интегриров ания дифференциаль ных форм и о снов топологии). Да льнейшие знания читатель смож ет почерпнуть в книгах из списка лите ра туры. 4 Изучение ’от общего к частному’ часто приводит к аб сурдному эф фекту: с дающие курс воспроизводят громоздкое определение, но не мог ут по это му определению прив ести ни одного содер ж ательного примера определяемого объ екта. 6 исследования, а т акже ясно излаг ать собственные открытия, не скрывая ошибок (или известности полученного резу ль т ата) за чрезмерным фо рмал измом. К со ж алению, т ак о е (бессознательное) сокрытие ошибки часто проис хо дит с молод ыми математик ами, вос- пит анными на чрезмерно формальных курсах (проис х од ило и с авто ром этих строк; к счастью, почти в се мои ош ибки исправлялись перед публик ациями). Чтение этого тек ста и решение зада ч потребуют от большинства читателей у силий (впрочем, нек оторые чит атели данного тек ст а жаловались, что в нем нет серьезных задач , а есть лишь тривиальные упражнения). Однак о эти у силия бу дут сполна оправданы тем, что вслед за великими математиками в процессе изучения интересных геометрических проблем чит атель откроет нек о торые основные понятия и т еоремы дифференциальной геометрии. Надеюсь, это помож ет читателю совершить собственные настольк о ж е полез- ные открытия (не обязательно в математик е)! Этот т ек ст основан на лекциях и семинарах, к оторые автор вел на мехмате МГУ в 2004- 2007 го дах, в летней шк оле ’Современная Математик а’ в 2007 го ду и на ФИВТ МФТИ в 2013 го ду . Его фрагменты были предст авлены на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и прило жени й мехмат а МГУ (рук. А.Т . Фоменко) и на семинаре по геометрии в МЦНМО (рук. В.Ю. Прот а сов ) . Благодарю А. Ива но в а, А. К лименко, С. Марк елова, А. Ошемк ова, А. Пляшечник а, В. Прасолова, А. Т олченник о ва, Ю. Т ор х ова, Г . Челнок о- ва и в сех слушателей (точнее, решателей) курсов за полезные замечания и обсуждения. Благо дарю А. Ошемк о в а и В. Прасолова за предост авление тех-файлов их материалов. 0.2 Советы и сог лашения Для понимания ус ловий и для решения зада ч дост аточно уверенного владения основами анализа функций не ск ольких переменных (и, чем дальш е, тем больше, линейной а лгебры). Все необ хо димые новые определения приво дятс я здесь. Кое-гд е требу ется т акж е теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. Важные фа кты выделены словом ‘теорема’ или ‘следствие’. Иногда подс к азками я в ля- ютс я соседние зада чи; указания даются в к онце к аждой темы. Фа кты, для доказательства к от о рых чит ателю мож ет понадобиться литература (или к онсу льт ация специалист а), при- во дятс я со ссылк ами. Если ус ловие задачи является форму лировкой утверж дения, то в зада че требу етс я это утвер ждение доказать. Р ассматриваемые понятия и факты интересны, полезны и нетривиальны даж е для по- вер хностей вра щ ения и график ов функций (в основном в трехмерном пространстве), а т а кж е для поверхн остей многогранник о в. Например, инвариант Дена, с помощью к о т оро- го была решена 3 - я проблема Гильберта, тесно связан со средней кривизной поверх ности многогранник а. П о этому не приво дитс я примеров более сло жных повер хностей (кроме плоск ости Лоба чевск ого в самом конц е). Однако для х орошего понимания материала чи- т а телю бу дет полезно изучить т акие приме ры [Ra03 , MF04]. Определения даются в предполо ж ении, что определяемы е объекты (в частности, пре- делы, произво дные и интегралы) существуют . Задачи т акж е форму лируютс я в предполо- ж ении, что заданные в их у словиях о бъекты существуют . Заданные в у словиях функции предполаг аютс я беск онечно дифференциру емыми, если не оговорено прот ив ное. Векторы и вектор-функции обозначаютс я обычными (не жирны- ми) буквами без стрелочек. Чит атель легк о о тличит их от ск аляро в по к онтексту . Через · , × и ∧ обозна чают ся скалярное, векторное и смешанное (для в екторов) или внешнее (для дифференциальных форм) произведения, соответственно. 7 Приво димые в §3, §4 опред еления кривизн независимы друг от друга . Поэтому после изучения пов ер хностей мо жно сразу изучать любую из вво димых здесь кривизн (для ска- лярной, средней и г а усс овой кривизн необх одимо еще понятие площади, для секционной и риманов о й — параллельного пер еноса, а для риччиевой — гео дезических и эк споненци- ального ото б раж ения). При этом, естественно, задачи о связи изучаемой кривиз ны с еще не изученными приде тс я от ложить на потом. Сту дент ам, изучающим курс. Задач и составлены так, что их решение (вместе с изучение м лекционного курса) помож ет не только у спешно с дать за чет и экзамен, но т ак- ж е освоить основы дифференциальной геометрии и в о обще ст ать разумным человек ом. Нек ото рые задачи — на лекционный материал. Как и для других зада ч, нужно быть го- товым расск азать у доски решения — включая детали доказательств, которые мо г ли не разбиратьс я на лекции. По этому , если не оговорено прот ив но е, то теоремами, доказан- ными на лекциях, пользоваться без доказательства в решениях нельзя (при этом иног да проще не повторить док азательство лекционной теоремы и использовать ее для решения зада чи, а повто рить необ х одимы й фрагмент док азат ельства на примере решения зада чи). 0.3 Литература [BBB06] L. Bessiere s, G. Besson, M. Boileau, La preuv e de la conjecture de Poincar ´ e d’apres G.P erelman, Images des Mathematiques , 200 6, h ttp://www.math.cnrs.fr/imagesdesm aths/IdM2006.h tm . Есть ру с. перево д. [Ca28] E. Cartan, G´ eom ´ etrie des espaces de Riemann, P aris, 1928. Ру с. перево д: Э. Карт ан, Г еометрия римановых пространств, Ленинг рад, 19 36. [Gr90] A. Gray , T ub es. A ddison-W esley , 1990. Ру с. перево д: А. Грей, Трубки, На ук а, Москва, 1997. [Gr94] M. Gromov, Sign and geometric meaning o f curv a ture, Rend. Sem. Mat. F is. Milano 61 (1991 ), 9-123 (1994). Ру с. перево д: М. Громов, Знак и геометрический смысл кривизны, НИЦ ’Р егу лярная и х аотическ ая динамик а’, Иже вск, 20 00. [GV00] Н.Б. Васильев, В.Л. Гутенмахе р, Прямые и кривые, Москва, МЦНМО, 20 0 0, h ttp://www.math.ru/prkr [MSF04] А. С. Мищенк о, Ю. П. Соловьев и А. Т . Фоменк о, Сборник зада ч по диффе- ренциальной геометрии и топологии, Москва, Физмат лит , 200 4. [MF04] А. С. Мищенко и А. Т . Фоменко, Краткий курс дифференц иальной ге ометрии и топологии, Москва, Физмат лит , 2004. [Pr] В. В. Прасолов , Курс дифференциальной геометрии, готовитс я к публик а ции. [PS] В. Прасолов и А. Ск о пенк ов, Р а змышления о признании геометрии Ло ба чевск ого, предст авлено к публик ации, h ttp://arxiv.org/abs/1307 .4 902 [Ra03] П. К. Рашевский , Курс дифференциальной геоме трии, Москва, УРСС, 2003. [Ra04] П. К. Рашевский, Риманова геометрия и тензорны й а нализ, Москва, УРСС, 2004. [Sk10] А. Ск опенк ов, Объемлемая о дноро дность, Москва, МЦН МО, 2012, h ttp://a rxiv.org/abs/1003.5278 [T a89] С. Л. Т абачник ов, О кривизне, Квант , 198 9 , N5; Дифференциальная геометрия вокруг нас, Квант , 1989, N11. http://kv a nt.mirror0.mccm e.ru/ [T o82] Дж. Т орп, Н а чальные г лавы дифференциальной геометрии, Москва, Мир, 1 982. [Vi92] Н. Я. Виленкин, О кривизне, Квант , 1992, N4 . h ttp://kv ant.m irror0.mccme.ru/ 8 1 Кривизны кривых 1.1 Кривые Бу дем обо зна чать т о чк ой произво дную по t , а штрихом произво дную по натур альном у пар аметру (к огда это понятие по явитс я). 0. Нарису йте приближ енно следующие траектории и кривые на плоск ости или в про- странстве. Найдите их уравнения r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t )) или r ( t ) = ( r ( t ) , ϕ ( t )) в дек артовых или полярных к оор динатах на плоск ости; r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t )) или r ( t ) = ( r ( t ) , ϕ ( t ) , z ( t )) или r ( t ) = ( r ( t ) , ϕ ( t ) , θ ( t )) в дек артов ых, цилиндрических или сферических к оор динатах в про- странстве. Систему коор динат выберите сами. Все ск о рости в этой задаче предполаг а ют ся нену левыми. (0) Пар абола — траектория мя чик а, брош енного со ск оростью, параллельной земле, движущийс я по д действием силы тяж ести (без учет а сопротивления воздух а etc.), или мно жес тво точек плоск ости, равноу даленных от данной пр ямо й ( директрисы ) и данной точки ( фокус а ). (a) Луч O A равно мерно вращаетс я в округ своего непо движного нач ала O с уг ловой ск оростью ω . Т очка M равномерно движетс я по лу чу O A , на чиная из точки O , со скоро- стью v . Описываемая точк ой M траектория называетс я сп ир алью Архимеда . (b) Винтовая линия — траектория к онца стерж ня длины 2 r , равномерно со ск оростью v падающего на землю, ост ающегос я параллельным поверхн ости земли и одновремен но вращающегос я в горизонт альной плоск ости вокруг своей середины равномерно с уг ловой ск оростью ω . (c) Колесо радиу са R к атится рав но мерно без проск альзывания по прямой. Описыва- емая точкой на обо де к о леса траектория называетс я циклоидой . (d) Эллипс — мно ж ество то чек плоск ости, сумма рассто яний от которых до двух дан- ных точек ( фокусов ) равна фик сированной в еличине d , больш ей рассто яния f между фо- ку сами. (e) По как ой траектории движ етс я электрон в постоянном ма гнитном поле, если на- чальная ск орость электрона не параллельна и не перпендику лярна напр яже нности H , где H — постоянный вектор? (Зак он Био-Савара-Лапласа движен ия электрона утвер ждает , что ¨ r = ˙ r × H .) (f ) Логарифмиче ская спир аль (или изогональная спираль) — плоск ая кривая, к асатель- ная в к аждой точке X к оторой образу ет с вектором O X один и то т ж е угол α . Здесь O и α — наперед заданные точк а плоск ости и уг ол. Интересно, что этот вид спирали часто встречаетс я в приро де. Например, в растущих формах, по добных раковинам моллюск ов, шляпк а м по дсолнечник ов, спиралям циклонов и г алактик. По этой кривой бабочк а в ночи движе тс я к лампе. (g)* Цепная линия — кривая, форму к от орой по д действием силы т яж ести прин имает нераст яжимая нить с закрепленными концами. (h) Кривая Вивиани — пересечение сферы радиу са R и пр ямого кругового цилиндра диаметра R , о дна из о бразующих к о т орого про хо дит через центр сферы. (i)* Астроида — кривая, для к ото ро й длина отрезк а к асательной в произвольной точк е, заключенного между осями к оординат , постоянна и ра в на a . (j) Окружность радиу са R к атится без проск альзывания снаружи по окружности т о- го же радиу са R . Траектория, описываемая т очк ой на внешней окружности, на зываетс я кардиоидой . 9 1. Дайте ‘определение ’ о т ображ ения. Дайте определение равных отображений , обра- за множ ества при ото б раж ении, прообраза множ ества при отоб раж ении, инъекции (т .е. взаимно о днозна чного от о браж ения), сюръекции (т .е. отображ ения на) и биекции (т .е. взаимно однозн а чного отображ ения на, или взаимно одн озна чного соответствия). Пу сть D = [ a, b ] или D = [ a, + ∞ ) или D = R . Параметризованн ой гла дк ой регу лярной кривой на плоск ости называетс я беск о- нечно дифференциру емое отоб раж ение r : D → R 2 (или, что то ж е самое, упор я доченная пара от ображ ений x, y : D → R ) , произво дная (ск орость) ˙ r ( t ) которого нену левая в любой точк е t ∈ [ a, b ] . Непараметризован ной г ладк ой кривой на плоск ости называется по дмно же ство Π ⊂ R 2 , для любой точки P ∈ Π к ото рого существу ет так ая ее замкнут ая о крестность O P в R 3 , что Π ∩ OP являетс я образом r [0 , 1] нек от о рой инъективной параметризованной г ладкой регу лярной кривой r : [0 , 1] → R 2 . 5 Далее прилаг ательные ‘гладк ая регу лярная’ и ‘гл адк ая’ опу скаютс я. (Иног да непара- метризованную кривую называют кривой или тр аекторией .) Непараметризованные кривые интересны с точки зрения геометрии. С этой точки зре- ния параметризованные кривые — средство изучения непараметризованных. Кроме того, параметризованные кривые интер есны с то чки зрения физики. Пар аметрическим ур авнением или пар аметризацией непараметризованной кривой Γ ⊂ R 2 называетс я т а кая пара метризованная кривая r : D → R 2 , что Γ = r ( D ) . 2. (a) Приведите приме р не взаимно о днозна чной параметризации о кружности. (b) Приведите пример двух разных взаимно однозна чных параметризаций о дной непа- раметризованной кривой. (d)* Постройте беск онечно дифференциру емое отображ ение r : [ − 1 , 1] → R 2 , образом к от о рого является пр ямой угол (т .е. объединение отрезк ов 0 × [0 , 1] и [0 , 1 ] × 0 ). Длиной параметризованной кривой r : [ a, b ] → R 2 называетс я число L ( r ) := sup {| A 0 A 1 | + | A 1 A 2 | + · · · + | A m − 1 A m | : m ∈ N , a = a 0 ≤ a 1 ≤ · · · ≤ a m = b, A k := r ( a k ) } . 3. (a ) Длина график а дважды дифференциру емой функции y : [ a, b ] → R равна R b a p 1 + ˙ y ( t ) 2 dt . (b) Т еорема. Длина пара метризованной кривой r = ( x, y ) : [ a, b ] → R 2 равна L ( r ) = Z b a p ˙ x ( t ) 2 + ˙ y ( t ) 2 dt = Z b a | ˙ r ( t ) | dt. 4. Вычислите длины параметризованных кривых от r ( a ) до r ( b ) для выбранных Вами параметризаций (ук ажите параметризацию яв но!) (a) винтовой линии; (b) параболы; (c) спирали Ар химеда; (d ) циклоиды. 5. Найдите форму лу для длин ы параметризованной кривой r : [ a, b ] → R 2 в (a) полярных; (b) сферических; (c) цилиндрическ их к оо рдинат ах. Длиной непараметризованной кривой называется длина нек оторой ее в заимно одно- зна чной параметризации. 5 Т аким обра зом, для непараметризова нных кривых свойст в о ‘регу лярности’ включается в понятие ‘гладк ост и’. Эт о мотивировано тем, что непараметризов а нные кривые — частный случай подмногообра- зий, а не о тображений. Частным случаем отоб ражений являются параметризованные кривые. 10 6. (a) Если r : R → R 2 — взаимно однозна чная параметризация параболы y = x 2 и r (0) = ( 0 , 0) , r (2) = (2 , 4 ) , то 0 < r − 1 (1 , 1) < 2 . (b) Ес ли r 1 , r 2 : [ a, b ] → R 2 — взаимно однозн а чные параметризации одн ой неп арамет- ризованной кривой, т о о тображ ение r 1 r − 1 2 : [ a, b ] → [ a, b ] взаимно одн озна чно и монотонно. (с) Т еорема. Приведе нное определение длины к орректно, т .е. если r 1 и r 2 — две вза- имно о днозна чные параметризации одной непараметризованной кривой, то L ( r 1 ) = L ( r 2 ) . Предостережение: если при док а зат ельстве Вы использу ете форму лу для длины пара- метризации, то не забу дь те док азать, чт о отображение r 1 r − 1 2 : [ a, b ] → [ a, b ] имеет в к аждой точк е положительну ю произво дную. Впрочем, проще доказы вать по опреде лению длины параметризованной кривой и использу я (b). Аналогично определяютс я кривые и их длины в пространстве. В вышеприведенны х определениях и т еоремах нужно заменить R 2 на R 3 (или на R n ). 1.2 Кривизна кривых В задачах с яв ным физическим сод ер жани ем следу ет пренебрег ать размерами движущих- с я объектов (т .е. счит ать их материальными точк ами) и т . п. 0. Если велосипедист движе тс я по криволинейной дороге с постоянной по моду лю ск о- ростью, то в любой точке его у ск орение перпен дику лярно его ск о рости (т .е. их ск алярное произведение равно ну лю). 1. (a) Велотрек имеет форму в инто в ой линии c параметрами r = 10 м, v = 100 м/с и ω = 2 π c − 1 , ось к оторой параллельна повер хности Земли (см. зада чу 1.1.0.b). Велосипедис т едет по ней с посто янной по мо ду лю ск о ростью и во время движ ения нах о дится ‘со стороны’ оси винтовой линии от велотрека. При к ак ом зна чении мо ду ля ск орости он не оторветс я от велотрек а в ‘вер хней’ то чке велотрек а (иными словами, мо ду ль у ск орения велосипедист а в ‘верх ней’ точке велотрека ра в ен g )? Предостережение: уравнение винтовой линии не обяз ательно бу дет уравнением дви- ж ения велосипедис т а . Предостережение: эт а зада ча не пре тенду ет на адекватность математическ ой мо дели и реальной ситуации . (b) Америк анск а я горк а имеет форму циклоиды, нах одящейс я в вертик альной плос- к ости. Вагончик движ етс я по ней со ск оростью 1 м/с. При к а к ой высоте циклоиды в ее вер хней точке клиент бу дет чувствова ть невесомость? Почему нереалистичен полученный Вами ответ? (c) Автомо биль едет по отрезку спирали Ар химеда r = ϕ · 1 м со скоростью 1 м/с, не пересек ая реку , т .е. луч ϕ = 0 . С к ак ой уг ловой ск оростью вра щ аетс я берег реки в системе отсчет а автомобиля, к ог да тот нах одитс я в то чке с ϕ = π / 2 ? (d) Дан эллипс с пара метрами d = 2 и f = 1 . Найдите радиу с соприк асающейс я окруж- ности в одной из двух точек эллипса, равноу даленных от фоку сов. Окружность называетс я соприкас ающейся с кривой в точке A кривой, если эт а окруж- ность лучше всех окружностей приближ ает кривую, т .е. если эт а окружность про х одит через точку A , имеет общую с кривой к асательную в точк е A и общее с кривой уск о рение в точке A при натуральной (см. далее) параметризации обеих кривы х. (Если в некоторой декартовой системе к оо р динат дуг а о кружности, со дер ж ащая точку A , имеет уравнение y = g ( x ) , и дуг а кривой, со держ ащая точку A , имеет уравнение y = 11 f ( x ) , то условие соприк асания равносильно тому , что для нек о торого x 0 ∈ R выполнено A = ( x 0 , f ( x 0 )) = ( x 0 , g ( x 0 )) , f ′ ( x 0 ) = g ′ ( x 0 ) , f ′′ ( x 0 ) = g ′′ ( x 0 ) .) Скоростью (или производной ) параметризованной кривой r = ( x, y ) : [ a, b ] → R 2 в точк е t ∈ [ a, b ] называется в ектор ˙ r ( t ) = ( ˙ x ( t ) , ˙ y ( t )) . Параметризованная кривая называетс я натур альной , если мо ду ль ее скорости равен 1 в любой точке. По задаче 1.1.3.a это эквивалентно тому , что е е длина от 0 до s равна s для любого s . Натуральную параметризованную кривую бу дем обозначать через σ (а не r ). У скорением (или второй производной ) параметризованной кривой r = ( x, y ) : [ a, b ] → R 2 в точке t ∈ [ a, b ] называетс я вектор ¨ r ( t ) = ( ¨ x ( t ) , ¨ y ( t )) . 2. (a) Для натуральной кривой уск о рение перпендику лярно ск орости в любой точке. (b) Найдите натуральную параметризацию в интовой линии в виде σ ( s ) = ( x ( s ) , y ( s ) , z ( s )) . (c) Т о ж е для цикл оиды ( t − cos t, sin t ) , t ∈ [ − π / 2 , π / 2] , в виде σ ( s ) = ( x ( s ) , y ( s )) . (c’) Существу ет ли натуральная параметризация циклоиды ( t − cos t, sin t ) , t ∈ [0 , π ] ? (d) Непараметризованная кривая, имеющая взаимно однозна чную регу лярную пара- метризацию, имеет единственную ( с точностью до с двиг а и симметрии) натуральную па- раметризацию. (e) Приведите пример непараметризованной кривой с одн ой ‘т очк ой самопересечения’, имеющей не единственну ю (даже с точностью до с двиг а и симметрии) натуральную пара- метризацию. k < 0 k > 0 Рис. 1: Кривизна кривой Зафик сиру ем ориентацию плоскос ти. К ривизной в точк е s 0 плоск ой натуральной па- раметризованной кривой σ называется число k ( s 0 ) , равное по моду лю числу | σ ′′ ( s 0 ) | и совпадающее с ним (или противоположное ему) по знаку , если векторы σ ′ ( s 0 ) и σ ′′ ( s 0 ) об- разуют полож ительный (отрицательный) базис. Иными словами, k ( s 0 ) := σ ′ ( s 0 ) ∧ σ ′′ ( s 0 ) . Кривизной в точке A = σ ( s 0 ) непараметризованной кривой Γ с натуральной параметри- зацией σ называетс я чис ло k ( A ) := k ( s 0 ) . 3. (a) Кривизна натуральной параметризованной кривой равна уг лово й ск орости вра- щения вектора скорости. (b) Т еорема. Кривизна непараметризованной кривой, имеющей параметризацию r , в точк е r ( t ) равна отношению проекции у скорен ия ¨ r ( t ) на прямую , перпендику лярную ск орости ˙ r ( t ) , к квадрату мо ду ля ск орости: k ( r ( t )) = ˙ r ∧ ¨ r | ˙ r | 3 = ¨ x ˙ y − ˙ x ¨ y | ˙ x 2 + ˙ y 2 | 3 / 2 , г де аргумент t функций в правых част ях пропущен. Два по дмно же ства пространства R n называютс я объ е мле мо изометричными , е сли меж- ду ними существу ет объемле мая изометрия (движ ение), т .е. сохр аняющее расстояния (в R n !) отоб ра жение R n → R n , перево дящее первое по дмно ж ество во вт орое. 12 4. (a) Т еорема. Для любой функции k : R → R существу ет и единственна (с точностью до объемлемой изометрии) плоск ая натуральная параметризованная кривая σ : R → R 2 , для к оторой k ( σ ( s )) = k ( s ) . (b) Следствие. Две плоские не самопересек ающиес я непараметризованные кривые объ - емлемо изометричны тог да и только тог да, ког да функ ции кривизны их натуральных па- раметризаций от личаютс я с двигом и, во зможно, знак о м, т .е. ког да существу ет число a , для к оторого либо σ 2 ( s ) = σ 1 ( s + a ) при любом s , либо σ 2 ( s ) = σ 1 ( − s + a ) при любом s . (c) Т о ж е, что в (b), для замкнутых кривых. (d)* Функция k : S 1 → R кривизны замкнутой плоск ой параметризованной кривой r : S 1 → R 2 имеет по крайней мере четыр е (нестрогих) эк стремума. (e)* Для любой функции k : S 1 → R , имеющей по крайней мере четыре (нестрогих) эк стремума, существу ет и единственна (с точностью до объемлемой изометрии) замкнут ая плоск ая натуральная параметризованная кривая σ : S 1 → R 2 , для к оторой k ( σ ( s )) = k ( s ) . (f ) Какие г ладкие плоские несамопересек ающиес я кривые N имеют следующее свой- ство: для любых двух точек x, y ∈ N существу ет движе ние плоск ости, перево дящее x в y , а N в себ я? Ср. [Sk10]. (g) Т о же для пространственного случая. Ск орость параметризованной кривой и натуральная параметризация о пределяютс я для пространства R 3 (или R n ) аналогично слу чаю плоск о сти. Кривизной в точк е s 0 пространственной натуральной параметризованной кривой σ называетс я число k ( s 0 ) := | σ ′′ ( s 0 ) | . Кривизна пространственной непараметризованной кри- вой определяетс я дословно так же, как плоск ой. Заметим, что кривизна кривой, рассматриваемой как кривая в плоск ости, мо ж ет от- личатьс я знак ом от кривизны той ж е кривой, рассматриваемой в пространстве. 5. k ( r ( t )) = | ˙ r × ¨ r | / | ˙ r | 3 для пространственной параметризованной кривой r : D → R 3 . 6. Найдите кривизну в то чк е (1 , 1 , 1) кривой пересечен ия повер хностей z = xy и y 2 + z 2 = 2 . 1.3 Кручение пространственных кривых Уг ловая ск орость вращ ения плоскости равна уг ловой ск орост и вращ ения вектора, нор- мального к этой плоскости. Уг ловая ск орость вращения вектора a ( t ) равна      a ( t ) | a ( t ) |  ′ t     . (Эти фразы можно счит ать определе ниями.) 1. В невес омости мотоциклист едет со ск оростью 1 по винтово й линии c параметрами r , v и ω (см. зада чу 1.1.0.b). На йдите угловую ск орость Ω( t ) вращения плоск ости к олеса (со держ а щ ей векторы ск орости и у ск орения) в зав исимости от времени. Параметризованная кривая r : D → R m называетс я бирегуляр ной , ес ли векторы ˙ r ( t ) и ¨ r ( t ) линейно независимы для любого t . Непараметризованная кривая r называетс я бире- гулярной , если она имеет бирегу лярную пара метризацию. 2. (a) Приведите пример (гладк ой регу лярной) непараметризованной кривой, не явля- ющейс я бирегу лярной. (b) Две параметризованные кривые с о динак овым образом бирегу лярны или нет одно- временно. (c) Р егу лярная непараметризованная кривая бирегу лярна тог да и тольк о тог да, ког да ее кривизна о тлична от ну ля в любой то чке. 13 3. (a) При к аких a образ параметризованной кривой r ( t ) = ( e t , 2 e − t , e at ) лежит в нек о- торой плоск ости? (b) Образ параметризованной б ирегу лярной кривой r лежит в нек оторой плоскости тог да и только тогд а, ког да ˙ r ( t ) ∧ ¨ r ( t ) ∧ ... r ( t ) = 0 для любого t . Пу сть σ — бирегу лярная натуральная параметризованная кривая. В оставшейс я части этого пункт а производ ные берутс я по ее параметру s , который всю ду опус к ается. Обозна- чим через v := σ ′ , n := σ ′′ / | σ ′′ | и b := v × n вектора скорости , и главной нормали и бинор мали . Они образуют репер Ф рене . Кручением в точк е s 0 пространственной бирегу лярной натуральной параметризо- ванной кривой σ называетс я число − b ′ · n . Это уг ловая скорость (со знаком) вращ ения ориентированной соприк асающейс я плоск о сти. Соприкас ающаяся плоск о сть — плоск ость, со держ ащ ая векторы ск орости σ ′ = v и уск о рения σ ′′ = k n ; она ориентирована репером v , n . 4. (a) На пиш ите о пределение круче ния непараметризованной бирегу лярной кривой. (b) Найдите кру чение в точк е ( − 1 / 2 , − 1 / 2 , 1 / 4) кривой пересечения повер хностей z = xy и z = ( x + 1)( y + 1) . 5. (a) σ ′′ 6 = 0 (т .е. определение вектора нормали к орректно). (b) n ′ = − k v для плоск ого случая. Эт а форму ла вместе с форму лой v ′ = k n называются фор мулами Френе на плоскости. (e) b ′ = − κ n . (c) κ равно проекции вектора n ′ на направленную ось, перпендику лярную векторам ск орости и у ск орения: κ = n ′ · ( v × n ) = v ∧ n ∧ n ′ . (d) n ′ = − k v + κ b . Форму лы из пп. (d) и (e) вместе с форму лой v ′ = k n называютс я фор мулами Френе в простр анстве . 6. (a) κ = σ ′ ∧ σ ′′ ∧ σ ′′′ k 2 для бирегу лярной натуральной параметризованной кривой σ (аргумент s функций в право й части пропущен). (b) κ ( r ( t )) = ˙ r ∧ ¨ r ∧ ... r | ˙ r × ¨ r | 2 для бирегу лярной параметризованной кривой r : D → R 3 (не об язательно натуральной; аргумент t функций в правой части пропущен). (c) Т еорема. Для любых функций k : R → (0 , + ∞ ) и κ : R → R существу ет и единственна (с точностью до объемлемой изометрии) пространственная бирегу лярная на- туральная параметризованная кривая σ : R → R 3 , для к оторой k ( σ ( s )) = k ( s ) и κ ( σ ( s ) ) = κ ( s ) . (d) Сформу лируйте и докажите аналог следствия 1 .2 .4 .b для пространственных кри- вых. 14 Ук азания и реше ния к нек оторым зада чам 1.1.0. (f ) r ′ ( ϕ ) = r ( ϕ ) ctg α . 1.1.3. (a) Используйте теорему Лагранж а ( y ( x 2 ) − y ( x 1 ) = y ′ ( θ )( x 2 − x 1 ) ). Не забу дь те аккуратно обосновать перех од о т супремума к пределу интег ральных сум м. (b) Используйте теорему Кош и ( y ( t 2 ) − y ( t 1 ) x ( t 2 ) − x ( t 1 ) = y ′ ( θ ) x ′ ( θ ) ). 1.1.6. (a) Аналогично (b). (b) Обозначим Γ := r 1 [ a, b ] . Для k = 1 , 2 о пределим отображ ение r k : [ a, b ] → Γ форму- лой r k ( t ) := r k ( t ) . Т ак как r 1 и r 2 биекции, то и r 1 r − 1 2 биекция. Т а к как r 1 и r 2 непрерывны (определите, что это т ак ое! при это м используйте расстояния ‘по плоскости’, а не ‘по кри- вой Γ ’), то и r 1 r − 1 2 непрерывно (док ажите!). Зна чит , по теореме о промежуточном зна чении непрерывной функции r 1 r − 1 2 = r 1 r − 1 2 есть монотонная биекция. 1.2.1. (a) Для уравнения винтовой линии из задачи 1.1.0.b моду ль ск о ро сти посто янен. (b) Можн о использовать резу льт ат задачи 1.2.2.c, но иск а т ь вторую произво дную в явном виде громоздк о. Л учше сна ча ла док азать форму лу 1.2.3.b. (c) См. 1.2.3.a. (d) Док ажите, что этот радиу с равен 1 /k , г де k — о пределенная ниже кривиз на. Для по дсчета кривизны докажи те форму лу 1.2.3.b 1.2.2. (с) Пу сть уравнение циклоиды r ( t ) = ( t − sin t, cos t ) . Вычислите l ( t ) := R t 0 | ˙ r ( t ) | dt . Найдите натуральную параметризаци ю σ из уравнения σ ( l ( t )) = r ( t ) . (c’) Нет . (d) Пу сть r : [ a, b ] → R 2 — взаимно о днозна чная параметризация заданной непарамет- ризованной кривой. Для t ∈ [ a, b ] обо зна чим l ( t ) := R t 0 | ˙ r ( t ) | dt . Т ак к а к параметризация r ( t ) регу лярная, то функция l строго монотонна. Док ажите, что параметризация σ непарамет- ризованной кривой r [ a, b ] является натуральной тог да и то льк о т ог да, ког да σ ( l ( t )) = r ( t ) для любого t ∈ [ a, b ] . Т ог да существование и единственность натуральной параметризации бу дут вытек ать из строгой монотонности функции l . (e) Пример можно построить в виде ‘восьмерки’. 1.2.3. (a) Пус ть σ — наша кривая. Обозна чим α ( s ) := ∠ ( σ ′ ( s ) , O x ) . Т ог да σ ′ ( s ) = (cos α ( s ) , sin α ( s )) . Зна чит , σ ′′ ( s ) = ( − sin α ( s ) , cos α ( s )) α ′ ( s ) . Поэтому α ′ ( s ) = k ( σ ( s )) . (b) В этом решении производ ные вектор-функции r берутс я по параметру t в точк е t , а производн ые вектор-функции σ берутс я по параметру s в т очк е l ( t ) := R t 0 | ˙ r ( t ) | dt . Т ак как | σ ′ | = 1 , то ˙ r = σ ′ | ˙ r | . (Интегриру я это соотношение, получаем σ ( l ( t )) = r ( t ) .) Дифференциру я это соот ношение и использу я ˙ l = | ˙ r | , получаем ¨ r = σ ′′ | ˙ r | 2 + σ ′ | ˙ r | ′ t . Из этого и σ ′′ ⊥ ˙ r вытек ает ¨ r ∧ ˙ r = σ ′′ | ˙ r | 2 ∧ ˙ r = − k | ˙ r | 3 . 1.2.4. (a) Пу сть σ — иск омая кривая. Возьмем систему к оор динат O xy , для к оторой σ (0) = (0 , 0) и ось O x сонаправлена с σ ′ (0) . О пределим функции x, y : R → R равен- ством σ ( s ) = ( x ( s ) , y ( s )) . Обозначим α ( s ) := ∠ ( σ ′ ( s ) , O x ) . Т ог да σ ′ ( s ) = ( x ′ ( s ) , y ′ ( s )) = (cos α ( s ) , sin α ( s )) . По зда че 1.2.3.a α ′ ( s ) = k ( σ ( s )) . П о этому для иск омая кривая одн о- зна чно определяетс я соотношениями α ( s ) = Z s 0 k ( s ) ds, x ( s ) = Z s 0 cos α ( s ) ds и y ( s ) = Z s 0 sin α ( s ) d s. 1.2.6. Тригонометрическ ая параметризация у добна для вычислений, а радик альная — нет . 15 1.3.1. Если плоск ость со дер жит векторы ск орости и уск о рения, то но рмальный к ней вектор равен векторному произведению векторов ск орости и у ск орения. Уравнение вин- товой линии r ( t ) = ( r cos ω t, r s in ω t, v t ) . О б озна чим ω := ω | ˙ r ( t ) | = ω √ r 2 ω 2 + v 2 . Т ог да урав- нение движ ения мотоцикла σ ( s ) = ( r cos ω s, r sin ω s, v s ω ω ) . Нахо дим σ ′ ( s ) = ( r ω sin ω s, r ω c os ω s, v s ω ω ) , σ ′′ ( s ) = ( − r ω 2 cos ω s, r ω 2 sin ω s, 0) . Отсю да получаем ответ Ω( t ) = v ω √ v 2 + r 2 ω 2 . 1.3.2. (a) Прямая. (b) У словие бирегу лярности лок а льно е. Поэтому и в в иду регу лярности можно счит ать, что обе кривые взаимно одн озна чны (инъективны). Замена пара метра меняет тольк о к а- сательную составляющую в ектора ск орости. 1.3.4. (a) Кручение м в то чке A = σ ( s 0 ) непараметризованной кривой Γ с нат ураль- ной па ра метризацией σ называетс я число κ ( A ) := κ ( s 0 ) . Кручение м в точке A простран- ственной бирегу лярной непараметризованной кривой Γ называетс я кручение κ (0) так ой натуральной параметризации σ кривой Γ , для которой σ (0) = A . (b) 0, ибо кривая леж ит в плоскос ти. 1.3.5. (b) Угл овая ск орость в ращ ения вектора n ра в на уг ловой ск орости вращения вектора v , поск ольку эти векторы перпендику лярны. (e) Т ак к ак | b | = 1 , то b ′ ⊥ b . Имеем b ′ · v = − ( v ′ × n ) · v − ( v × n ′ ) · v = 0 . З на чит , b ′ ⊥ v . Поэтому b ′ || n . Отсю да b ′ = ( b ′ · n ) n = − κ n . (c) κ = − b ′ · n = − ( v ′ × n ) · n − ( v × n ′ ) · n = v ∧ n ∧ n ′ . (d) Т ак к ак | n | = 1 , то n ′ ⊥ n . Поэтому n ′ = ( n ′ · v ) v + ( n ′ · b ) b = k v + κ b по (c). 1.3.6. (b) В этом решении производные функции r берутс я по параметру t в то чк е t , а произво дные вектор-функций σ и b берутс я по параметру s в точк е l ( t ) := R t 0 | ˙ r ( t ) | dt . Т ак к ак плоск ости, об разов а нные парами векторов ( σ ′ , σ ′′ ) и ( ˙ r , ¨ r ) , совпадают , то ˙ r × ¨ r = ν b , где ν := | ˙ r × ¨ r | . Дифференциру я по t , получаем ˙ r × ... r = ν b ′ | ˙ r | + ν ′ t b . Умно жая ск алярно на ¨ r и использу я 1.3.5.e, получаем ˙ r ∧ ¨ r ∧ ... r = ν | ˙ r | b ′ · ¨ r = ν | ˙ r | κ ν | ˙ r | = ν 2 κ . (с) Для заданных функций k и κ тройк а векторов ( v , n, b ) о днозна чно определе на ввиду форму л Френе v ′ = k n , n ′ = − k v + κ b и b ′ = − κ n ( 1 .3.5.de). 16 2 Элементы геометрии повер хностей 2.1 Элементы сферическ ой геом етрии 1. (a) Человек прошел 10 километров на юг , потом 10 километров н а восток и потом 10 километров на север. В ито ге он верну лс я в исх о дное полож ение. Найдите все на чальные точки, при которых т ак ое могло быть. (b) Если все в ремя идти на северо-во сто к, т о ку да придешь? (c) Локсодро мия — траектория путешес твенник а, движущегос я по повер хности Земли (к от о рая считаетс я сферой) все время под уг лом α к текущему меридиану . Здесь α — наперед заданный угол. Напишите уравнение лок со дромии в сферических к оординат ах, если широта путешественник а возраст ает равномерно. Интересно, что на работ е с т акими кривыми основана мерк ат оровск ая к артографиче- ск ая проекция. Ср. с задачей 1 .1 .0 .f. Обозна чим S 2 := { ( x, y , z ) | x 2 + y 2 + z 2 = 1 } . Ра сстояние м по с фере между т о чк ами сферы называетс я длина наимен ьшей дуги большо- го круг а, соединяющей эти точки. Круг и окружность на сфере определяютс я аналогично случаю плоск ости (через расстояние по сфере). Стереогр афической проекцией называетс я отображ ение из S 2 − { (0 , 0 , 1) } в плоск ость z = 0 , являющеес я центральной проекц ией из точки (0 , 0 , 1 ) . 2. (a) При стереографическ ой проекции о кружности перех о дят в окружности. (b) В какую точку плоск ости перех одит при стереографическ ой проекции центр т ой сферическ ой окружности, к оторая перех о дит в окружность x 2 + ( y − 2) 2 = 1 при стерео- графическ ой проекции? 3. (a) Грузы масс m 1 , m 2 на сфере соединены невесомым отрезк ом сферическ о й пр я- мой. В к акой точк е надо закрепить этот отрезок, чтобы полученные ‘весы’ нах одились в равновесии? Грузы прит ягиваютс я к центру сфер ы с силами, пропо рциональными ма ссам. (b)* Определите центр ма сс системы n точек на сфер е и докажи те теорему о гру ппи- ровк е (на чните с n = 3 ). Из произвольной точки M , леж ащей внутри данного трехгранного уг ла O AB C , опу- стим перпендику ляры M A 1 , M B 1 и M C 1 на грани O B C , O AC и O AB , соот ветственно. Двойственным (или полярным) к трехгранному угл у O AB C называется трехгранны й угол M A 1 B 1 C 1 с вершиной M . 4. (a) Длина окружности радиу са R на сфере равна 2 π sin R . (b) Люб о й трехгранный угол являетс я двойственным к сво ему д в ойственному , т .е. дву- кратное применение операции построения двойственного уг ла приводит к ис х о дному т рех- гранному уг лу . (c) Если все двугранные уг лы трехг ранного уг ла пр ямые, т о и в се плоские уг лы тож е пр ямые. (d) Выразите плоские уг лы двойственного угл а через двугранные уг лы исх одного и наоборот . 5. (a) Выполнены ли три призн ак а равенства треугольник о в для сферических тре- угольник ов? (b) Сферические треугольники равны ‘по трем уг лам’. 17 (c) Если в сферическ ом треугольник е две стороны равны, то равны и противолеж ащ ие им уг лы (и обратно). Стороны и противолеж ащ ие им уг лы сферическ ого т реугольник а обозна чаютс я α , β , γ и A, B , C соответственно. Т ам, где это осмысленно, нужно выяснить и док азать, в как ое утвер ждение плоск о й евклидовой геометрии перех одит доказываемая теоpема в пределе при α 2 + β 2 + γ 2 → 0 . 6. (a) α + β ≥ γ ; (b) α ≥ | β − γ | ; (c) α + β + γ ≤ 2 π ; (A) π + C ≥ A + B ; (B) C + | A − B | ≤ π ; (C) A + B + C ≥ π . 7. Сумма уг лов, образованных диагональю пр ямоугольного параллелепипеда с его реб- рами, меньше π . 8. (a) В тетраэ дре S AB C все уг лы при вершине C прямы е, а ∠ B S C = ∠ AS C = π / 4 . Найдите ∠ AS B и ∠ ( C B S, AB S ) . (b) Прямоуго льный треугольник. Если C = π / 2 , то cos γ = cos α c os β ( теоре ма Пиф а- гор а для с феры ), sin α = sin γ sin A , tg α = tg γ cos B = tg A sin β , cos B = sin A cos β . (c) Т еоре ма синусов. sin α sin A = sin β sin B = sin γ sin C . (d) Первая теорема косинусов. cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos A . (e) Втор ая теорема косинусов. cos A = − cos B cos C + sin B sin C cos α . (f )* Если a, b, c уг лы между ребрами трехгранного уг ла и противо поло жными гранями, то sin α sin a = sin β sin b = sin γ sin c . 9. В правильной n -угольной пирамиде (двугранный) угол при бо ковом ребре равен ϕ . Найдите: ( α ) угол α при ребре основания; ( β ) плоский угол β при в ершине; ( γ )* угол γ между бок овым ребром и основанием. 10. В правильной 6-угольной пирамиде угол при бок овом ребре равен ϕ . Найдите уг лы между к аждой парой граней. 11. Если AL б иссектриса сферическ ого треугольник а AB C , то sin B L sin B A = sin C L sin C A . 12. В любом сферическ ом треугольник е в одной т очк е пере сек аются: (a) биссектрисы (т .е. существу ет вписанная окружность); (b) срединные перпендику ляры к сторонам (т .е. существу ет описанная окружность); (c) медианы; (d) высоты. 13. Высоты в любо м сфер ическ ом треугольник е существую т . Всег да ли к аждая высо- т а единственна? В связи с этим: всег да ли и в к ак ом смысле справедливо утвер ждение пункт а (d) предыдущей задач и? 14. Сформу лируйте и док ажите сферическ ие аналоги (a) критериев вписанности и описанности четыре хугольник ов. (b) теорем Чевы и Менел ая. 15.* Р ешите систему: ctg x ctg y − 5 = cos z sin x sin y ; ctg y ctg z + 11 = cos x sin y sin z ; ctg z ctg y + 7 = cosy sin x sin z . 18 2.2 Определение и примеры повер хностей По д (непар аметризованной) поверхностью далее мож но понимат ь по в ер хность вращ ения (график а беск онечно дифференциру емой положи тельной функции f : R → R ) или график (беск онечно дифференцир у емой функции f : R 2 → R ). Приведем более общее о пределен ие. Пу сть D — дек а рт о во произведение интервалов (к онечных или беск онечных) на пр ямой. Г ладк ой регу лярной параметризованн ой повер хностью называетс я беск онечно дифференциру емое отображен ие r : D → R 3 (или, что то ж е самое, упор ядоченная тройка отображ ений x, y , z : D → R ), произво дная к оторо го невырож дена в любой точк е (т .е. пара векторов r u ( u, v ) , r v ( u, v ) линейно независима при любых ( u, v ) ∈ D ). Далее слова гладкая регулярная опу скаютс я. Г ладк ой непараметризованной повер хностью называетс я по дмно ж ество Π ⊂ R 3 , для любой точки P ∈ Π к о т орого существу ет так ая ее замкнутая окрестность O P в R 3 , что Π ∩ O P являетс я образом r ([0 , 1] 2 ) инъективной параметризованной повер хности r : [0 , 1] 2 → R 3 . Далее слова гладкая непар аметризованная опу скаютс я. Ср. со сноск ой в §1.1. Пар аметрическим ур авнени е м и ли пар аметризацией повер хности Π ⊂ R 3 называетс я т а к ая параметризованная повер хность r : D → R 3 , что r ( D ) = Π . Системой координат с коор динатным пространством D на по в ер хности Π ⊂ R 3 назы- ваетс я т акая инъективная параметризованная повер хность r : D → R 3 , что r ( D ) ⊂ Π . Рис. 2: Т ор, лента Мебиу са и цилиндр 1. Нарисуйте следу ющие по дмнож ества в R 3 . Док ажите, что они являютс я поверхн о- ст ями. (a) Квадрат со стороной a на плоск о сти. (b) Бок о вая повер хность прямого кругового цилиндр а радиу са R и высоты h (рис. 2 ). (c) Бок ов ая по в ер хность пр ямого кругового у сеченного к онус а с радиу сами оснований R, r и высотой h . (d) Сфера радиу са R . (e) Неформально, т ор — поверх ность б ублик а, рис. 2 слева. Формально, стандартным торо м с р адиус ами R и r называетс я фигура, образованная вращ ением окружности ( x − R ) 2 + y 2 = r 2 вокруг оси O y . Эт а фигура получена из (двумерного) квадрата склейк ой пар его противоположн ых сторон ‘с о динаковыми направлениями’, т .е. без пово рот а . (f ) Стандартной лентой Мебиус а называетс я поверх ность в R 3 , заметаемая стерж нем длины 2, равномерно враща ющ имс я отно сительно своего центра, при рав номерном дви- ж ении этого центра по окружности радиус а 9, при котором стерж ень делает по л- оборота, рис. 2. Эт а фигура получена из длинной пр ямоугольной полоски склейк ой двух ее проти- вополо жных сторон ‘с противоположным направлением’, т .е. с поворотом на 1 8 0 ◦ . 19 (h) Поверх ность вращения графика бесконе чно дифференциру емой поло жительной функции f : R → R . (i) Седлообразная повер хность (гиперболический параболоид) z = xy . (j) Двуполостный гиперболоид z 2 = x 2 + y 2 + 1 . (k) Однополостный гиперболоид z 2 = x 2 + y 2 − 1 . (l) График беск онечно дифференциру емой функции f : D → R . (m) Прообраз ну ля при беск онечно дифференциру емой функции f : R 3 → R , произ- во дная (=градиент) которой нену левая в к аждой т очк е. 2. (a) Пр яма я движ ется поступательно с посто я нной скоростью, пересек а я другую пря- мую под пр ямым уг лом, и о дновременно равномерно в ращ аетс я вокруг этой пр ямой. По- вер хность, которую описывает движущаяс я пр ямая, называетс я прямым геликоидо м . Со- ст ав ьте ее уравнение. Везде ли это регу лярная повер хность? (b) Р ассмотрим две параболы A ( t ) = (1 , t, t 2 ) и B ( t ) = ( − 1 , − t, t 2 ) . Напишите парамет- рическ ое уравнение повер хности, замет аемой пр ямой A ( t ) B ( t ) . (с) Напишите неявное уравне ние поверх ности из (b). (d) Сост ав ьте уравнение поверхн ости, образованной г лавными нормалями (т .е., векто- рами у ск орений при равномерном движе нии) винтов о й линии. (e) Пу сть k > 0 и γ : [0 , 1] → R 3 — параметризованная кривая, кривизна к от орой в любой то чке не меньше k . Через к аждую точку кривой проведена нормальная плоскость, и в этой плоск ости построена окруж ность с центром на кривой и заданным радиу сом R , причем 0 < R < 1 / k . ‘Трубк ообразная’ повер хность, замет а емая этими окружност ями в пространстве называетс я трубкой или кан аловой повер хностью . Н апишите ее уравнение. (f ) Докажите, что любая нормаль к трубк е пересек ает образ кривой γ и перпендику- лярна вектору скорости это й кривой. 3.* На круговом то ре в ращения, кроме параллелей и меридианов, являющих ся плос- кими окружност ями, существу ет еще два семейства плоских окружностей, называемых окружностями Виларсо . Они полу чаютс я пересечением тора его к асательной плоск остью, к асающейся тора в двух т о чк ах. Напишите уравнения этих окружностей. Проверь те, что все они имеют один и тот ж е радиу с и пересек ают все параллели т ора под постоянным уг- лом. ( Углом между пересек ающимися непараметризованными кривыми в их общей точк е называетс я угол между их касательными в этой то чке.) Повер хности произвольной размерности в евклидовом пространстве R m размерности m определяютс я ана ло гично. Они называютс я такж е гладкими подмногоо бр азиями в R m . 4. (a) Любая поверх ность в R 3 ст анов итс я повер хностью в R 4 , если рассмотреть R 3 к ак по дмнож ество в R 4 . (b) Р ассмотрим в R 4 окружность x 2 + y 2 = 1 и семейство ее нормальных трехмерны х плоск остей. Бутылкой Клейна (ст андартной) K называетс я повер хность в R 4 , заметаемая окружностью ω , центр к оторой равномерно описывает окружность x 2 + y 2 = 1 , а окруж- ность ω в то ж е время равномерно повора чиваетс я на угол π (пово рачиваетс я в движущей- с я нормальной трехмерной плоск ости относительно своего диаметра, движущегос я вместе с нормальной трехме рной плоск остью). Эт а фигура получ ена из пр ямоугольной полоски т а к ой склейк ой ее пар противополо жных сторон, при к оторой одна пара склеиваетс я ‘с о динаковым направлением’, а дру г ая ‘с противополо жным направлением’. (c) О б раз от ображ ения S 2 → R 4 , заданного форму лой ( x, y , z ) 7→ ( x 2 , xy , y z , z x ) , явля- етс я повер хностью. 20 5. Не являются поверх ност ями ни объединение двух (или трех) коор динатных плоск о- стей в R 3 , ни кону с z 2 = x 2 + y 2 в R 3 . 6. Пу сть f : R n → R — г ладк ая функция и grad f ( x ) 6 = 0 для всех то чек x ∈ f − 1 (0) . Т ог да (a) f − 1 (0) — гл адк ое по дмногооб разие в R n . (b) Это подмногообразие ориентиру емо (т .е. коориентир у емо, см. §3.2). 7. Докажите, что следую щие мно ж ества матриц являют ся по дмногоо бразиями в мно- ж естве R n 2 всех матриц размера n × n : (а) GL ( n, R ) = { вещественные n × n -матрицы A : det A 6 = 0 } . (b) S L ( n, R ) = { вещественные n × n -матрицы A : det A = 1 } . (c) S O ( n, R ) = { вещественные n × n -матрицы A : AA T = E , det A = 1 } . (d) S U (2 ) = { комплек сные 2 × 2 - матрицы A : A A T = E } . (e) S O (1 , 1) = { вещественные 2 × 2 -мат рицы A : AI A T =  1 0 0 − 1  } . Для к а ждого из этих многообразий найти размерность, число к омпонент связности, а т а кж е выяснить являетс я ли оно ограниченным. 2.3 Длины кривых на повер хност ях и изоме трии 1. (a ) Найдите форму лу для длины параметризованной сферическ ой кривой γ : [ a, b ] → S 2 в сферических коор динат ах ϕ, θ . (b) Т о ж е в дек артовых коор динат а х x, y . (c) Т о ж е в стереогр афических координатах : паре чисел ( p, q ) соо т ветству ет точка сферы, к оторая перех одит в т очку ( p, q , 0) при центральной проекции из точки (0 , 0 , 1 ) . (d)* Т о ж е в меркаторовских к оординатах , к оторые определяютс я т ак. На карте в в о- дятс я пр ямо угольные коор динаты ( u, v ) т акие, что любая пр ямая на к арте соответству ет лок содромии (т .е. линии посто янного азимут а — ф иксированного полож ения стрелки к ом- паса) на поверх ности земного шара. 2. Выр азите длину кривой [ a, b ] ( u,v ) → R 2 r → R 3 через функции u и v ( в форму ле мо жно использовать не тольк о алгебраические выраже ния, но произво дные и интегралы) для (a) r ( u, v ) = (cos u, sin u , v ) — цилинд р с цилиндрическ ой системой коор динат . (b) r ( u, v ) = ( v cos u, v sin u, v ) — к ону с с к о ническ ой систем ой к оор динат . (с) r ( u, v ) = ( ( 2 + cos v ) cos u, (2 + cos v ) sin u, sin v ) — тор с торическ ой системой коор- динат . (d) r ( u, v ) = ( f ( v ) cos u, f ( v ) sin u , h ( v )) — пов ерхн ость вращ ения. 3. Т еорема. Длина кривой [ a, b ] ( u,v ) → R 2 r → R 3 равна Z b a p r 2 u ( u ′ t ) 2 + 2 r u · r v u ′ t v ′ t + r 2 v ( v ′ t ) 2 dt. В этой форму ле пропущены аргументы t функций u, v , u ′ t , v ′ t ; r u = r u ( u ( t ) , v ( t )) и анало- гично для r v . Угло м между пересек ающимис я параметризованными кривыми в их общ ей точк е на- зываетс я угол между их касательными в этой точке. 4. (a) Угол между параметризованными кривыми не зависит от их па раметризации. 21 (b) Найдите угол между r -образами кривых v = u + 1 и v = 3 − u для r ( u, v ) = ( v cos u, v sin u, v 2 ) ( r -образом об ласти D являетс я часть параболоида z = x 2 + y 2 ). Напомним, что два по дмнож ества пространства R n называютс я объемле мо изометрич- ными , если между ними существу ет объе мле мая изометрия (движ ение), т .е. со храняющее рассто яния (в R n !) отображ ение R n → R n , перево дящее первое во в т орое. Две (непараметризованные) повер хности называютс я внутренне изометричными , ес- ли между ними существу ет внутренняя изометрия , т .е. отображен ие од ной в другую, со храняющее длины всех кривых. Большая часть дальнейшего материала мотивирована следующими двумя проблемами: определить, являются ли данны е (непараметризованные) повер хности • внутренне изометричными? • объемлемо изометричными? 5. (a) Пр ямоугольник на плоск ости внутренне изометричен нек оторой части любого т а к ого цилиндра, у к оторого диаметр бо льш е стороны пр ямоугольник а. (a’) Пр ямоугольник на плоскос ти внутренне изометричен нек ото рой части пр ямого кругового кону са. (b) Единичный ква драт на плоскос ти в нутренне изометричен нек ото ро й части т ора, задаваемого в R 4 уравнениями x 2 1 + x 2 2 = x 2 3 + x 2 4 = 1 . (c) Прямоугольник на плоск ости не является объемлемо изометричным ник акой части ник акого цилиндра. 6. (a) Сфера и плоск ость не я в ляютс я внутренне изометричными. (b) Никак ой круг на плоск ости не является в нутренне изометричным ник акой части сферы. (c) Никак ой круг на сфере одного радиу са не являетс я внутренне изометричным ни- к акой части сферы другого радиу са. 2.4 Площадь повер хности Площадью называетс я отображение S из семейства всех двумерных поверх ностей в луч [0 , + ∞ ) , для к оторого выполнены следующие у словия. (аддитивность) Если Π , Π ′ и Π ∪ Π ′ повер хности, причем Π ∩ Π ′ являетс я об ъ единением не более чем сче тного се мейства кривых, т о S (Π ∪ Π ′ ) = S (Π) + S (Π ′ ) . (монотонность) Если f : Π → f (Π) — не увеличивающее длины кривых о тображ ение между повер хност ями, то S ( f (Π)) ≤ S (Π) . (нормировк а) Площадь единичного квадрата на плоск ости рав на 1. Т еорема о площади. Т акое отобр ажение существует и единственно. В следующих зада чах 6 (кроме 4b d) мо жно по льзов а тьс я существованием из теоремы о площади (а такж е аналогичной теоремой и всеми дру гими резу льт атами для площадей плоских фигур). В предполо жении существования мо жно найти площадь произвольной повер хности и этим док азать единственность . Далее, не используя предпо ложение о су- ществовании, мо жно проверить выполнени е свойств площ ади для на йденного отображ е- ния S и этим до казать существование. 1. Внутренняя изометрия сохраняет площади. 6 Р ешения задач из это й темы особенно по лезно проверить с преподавателем. 22 2. (a) Площадь сферическ о го двуугольник а с уг лом α и диаметрально противополо ж- ными вершинами равна 2 α . (b) Т еорема. Площа дь сферич еск ого т реугольник а с у г лами α , β и γ равна α + β + γ − π . (c) Т еорема. Площадь сферическ ого многоугольник а с уг лами α 1 , . . . α n равна α 1 + · · · + α n − ( n − 2) π . 3. (a) Площ адь круг а радиу са R на сфере равна 2 π (1 − cos R ) . (b) Площадь по в ер хности, образова нной вращением график а функции f : [ a, b ] → [0 , + ∞ ) вокруг оси O x , равна 2 π R b a f ( x ) p 1 + f ′ ( x ) 2 dx . (c) Первая теоре ма Гюл ьдена. Если поверхн ость об ра зов а на вращением вокруг о си нек оторой линии, леж ащей в о дной плоскос ти с осью и целик ом по одну сторону от оси, то площадь повер хности равна произведению длины линии на длину окружности, описанной центром тяж ести линии. (d) Втор ая теорема Гюльдена. Если тело образовано вращением вокруг оси нек о торой плоск ой фигуры, леж ащей в одной плоскости с осью и целик ом по о дну сторону от оси, то объем этого тела равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной центром тяж ести фигуры. 4. (a) * Т еорема. Площа дь элемент арной непараметризованной повер хности r ( D ) рав- на S ( r ( D )) = R R D | r u × r v | dudv [Ra03]. (b) Док ажите без использования теоремы о площ а ди, что предыдущее выраж ение не зависит от выбора параметризации r . (c) Док а жите единственность в теореме о площади (предполаг ая существование). (d)* Док а жите существование в теореме о площади (не предполаг ая единственности!). Для проверки монот онности полезно понятие римановой метрики (§4.1) [Gr94]. (e) Найдите площадь пересечения цилинд ра x 2 + y 2 ≤ 1 и гиперболоида z = xy . Аналогично площади двумерных повер хностей определяетс я n -мерный объем n - мерных повер хностей. Аналогично двумерному случаю док азываетс я теорема о существовании и единственности n -мерного об ъема, а т акж е следующий резу льт ат: n -мерный объем эле мент арной н епар аметризованной поверхности r : D → R m р авен V ( r ( D )) = R . . . R D | r u 1 ∧ · · · ∧ r u n | du 1 . . . d u n . Здесь | r u 1 ∧ · · · ∧ r u n | — n -мерный объем n - мерного параллелепипеда, натянутого на векторы r u 1 , . . . , r u n . 2.5 Г ео де зические Ра сстояние м по поверхности Π между т о чк ам P , X ∈ Π называется инфимум | P , X | длин кривых на этой поверх ности, соединяющих P и X . Ясно, что внутренн яя изометрия сохр аняет р асстояния по поверхности. Обратное (т .е. то, что отображение , сохр аняющее расстояния по поверхн ости, со храняет длины всех кривых на повер хности) доказано ниже с использованием римановой метрики (теорема 4.1.4). Непараметризованная кривая Γ на повер хности Π называетс я гео дезическ ой на по- вер хности Π , если она локально кр атчайшая , т . е. если любая точк а x ∈ Γ имеет т акую окрестность U в пов ер хности, что расстояни е по повер хности между любыми точками y 1 , y 2 ∈ U ∩ Γ равно длине отрезк а кривой Γ от y 1 до y 2 . 0. В этой задаче рассматриваются гео дезические на повер хностях многогранник о в. Их определение аналогично. (a) Нарисуйте на кубе гео дезическу ю, соединяющую его против ополо жные в ершины. 23 (b) На рисуйте гео дезиче скую на пр ямоугольном параллелепипеде a × b × c , соединяю- щую середины пара ллельных ребер, не леж а щих в о дной грани. (c) Сумма плоских уг ло в выпуклого многогранного уг ла не превосх одит 2 π . (d) Г еоде зическ ая на повер хности выпуклого многогранник а не про х оди т через его вершины (т .е. мож ет в них только начинатьс я или заканчи ваться) и про х оди т через ребра по закону ‘угол падения ра в ен уг лу отраж ения’. 1. (a) К рат чайшая кривая, соединяющая заданные две т очки, явля ется геоде зическ ой. (b) Г еоде зическ ая не обязательно является крат ча йш ей. (c)* Любые две т о чки к омпактной повер хности мо жно соеди нить кратчайш ей кривой (d)* Для любой к омпактной повер хности существу ет т ак ое ε > 0 , что любая геоде зи- ческ ая длины менее ε является кратчайшей. (e) Найдите уравнение (в дек артовых к оорди нат а х в R 3 ) х от я бы одной гео дезическ ой на поверх ности z = xy . Производной ото б раж ения f : R k → R n в точке x 0 ∈ R k называетс я линейное от о бра- ж ение A : R k → R n , что f ( x ) = f ( x 0 ) + Ax + o ( x ) при x → x 0 . Бу дем называть производн ой т а кж е аффинное отображен ие x 7→ f ( x 0 ) + Ax . Кас ател ьной плоскостью T P = T P Π к повер хности Π в т очк е P ∈ Π называетс я образ плоск ости R 2 при производ ной в точке r − 1 ( P ) для нек оторого отображ ения r : D → R 3 из определения поверх ности. 2. (a) Этот образ есть плоск ость , про хо дящая чере з P и со дер ж ащая векторы r u ( r − 1 ( P )) и r v ( r − 1 ( P )) . (b) Это определение к орректно, т .е. не зависит от выбора отображени я r . 3. (a) Внутренняя изометрия пере во дит геоде зические в гео дезические . (b)* Т еорема. Об раз параметризованной кривой γ : [ a, b ] → Π с постоянной по мо- ду лю скорос тью яв ляетс я геоде зическ ой на повер хности Π тог да и только тог да, к огда γ ′′ ( t ) ⊥ T γ ( t ) Π для любого t (т .е. ког да в ектор у скорен ия γ ′′ ( t ) перпендику лярен плоскос ти, к асательной к повер хности в точк е γ ( t ) для любого t ). Эвристическое пояснение к прямо му доказательству части ‘т о лько тогда’. Пус ть, напротив, γ ′′ ( t ) не перпендику лярно поверх ности в нек оторой точк е t . Т ог да проекция кривой γ на касательную плоск ость в точке γ ( t ) имеет нену левую кривизну . З на чит , эту проекцию можн о ‘спр ямить’. Т о г да и ис х о дную кривую можно ‘спр ямить’. Доказательство получаетс я из уравнения Эйлера-Лагранж а для ф ункционала длины или его квадрата [Ra03]. (c)* При движ ении по геоде зическ ой правое и левое коле са узк ого авто мобиля про- делают од инак овый путь с точностью до малых порядк а квадрата ширины автомобиля. (Это следу ет из минимальности геод езически х.) (d)* Нарису ем на яйце (г ладк ой повер хности, леж ащей по о дну сторону от любой к а- сательной плоскости и пересек ающей эту плоск ость ровно в о д ной точке ; на пример, по- вер хности вращения графика выпуклой функции) произвольную кривую. Прокатим яйцо по плоск ости (без вращения) вдоль этой кривой. Кривая на яйце являетс я гео дезическ ой тог да и только то г да, к ог да соответствующая кривая на плоск ости является пр ямой. (Это следу ет из предыдущего пункт а.) Параметризованная кривая γ : [ a, b ] → Π называетс я пар аметризованной геодезиче- ской на повер хности Π , если γ ′′ ( t ) ⊥ T γ ( t ) Π для любого t . (Иными словами, если для му- равья, живущего в поверх ности и не видящего объемлемого пространства и нормальных сост авляющ их векторов, вектор у ск орения ну левой, т .е., ск о рость ‘постоянна’.) 24 Т еорема 3b означает , что непар аметризованная кривая на поверхности являе тся гео- дезической тогда и тол ько тогд а, когда она имеет пар аметризацию, являю щуюся пар а- метризованной гео дезической. В дальнейших задач ах этой теоремой можно пользовать с я без док азательства. Ясно, что параметризованная гео дезичес к ая имеет постоянную по моду лю ск о рость. (От величины постоянного мод у ля ск орости свойство параметризованной кривой быть па- раметризованной гео дезическ ой не зависит .) В дальней шем на геодез ических рассматрива- ютс я параметризации с постоянной по мо ду лю скоростью, и по д геодез ическ ой понимаетс я либо гео дезичес к ая, либо параметризованная гео дезическ а я (возник ающие шеро х оват ости форму лировок решатель легк о исправит). 5. Найдите все геоде зические на повер хност ях из зада ч 2.2.1 .a b cd. (Для (a ,b,d) нуж ен ‘явный’ от в ет , для (c) — уравнение.) 4. (a) Прямая на повер хности — гео дезическ ая. (b) Меридиан повер хности вращ ения — гео дезическ а я. (c) Параллель повер хности вращения яв ляетс я геоде зическ ой тог да и тольк о тог да, к огда к асательная к меридиану в ее точк ах параллельна оси вращ ения. (d)* Кривая, являющаяся связной к омпонентой мно жества непо движных точек нек о- торой изометрии пов ерхн ости, я в ляетс я гео дезическ ой. 6. Т еорема Клеро . Для пара метризованной геоде зическ ой γ : R → Π на поверх ности вращения Π величина r ( t ) sin ∠ ( γ ′ ( t ) , m ( t )) не зависит от t . Здесь r — расстояние до оси вращения и m — меридиан. 2.6 Уравнение гео дезических и эк споненциальное отображение 0. Напишите уравнение параметризованных гео дезически х на пов ер хности z = xy (в вы- бранной Вами сис теме к оор динат на этой повер хности). 1. Пус ть x 1 , x 2 : R → R и γ = r ( x 1 , x 2 ) — параметризованная кривая на парамет- ризованной повер хности r : D → R 3 . Бу дем далее пропу ск ать аргумент ( x 1 ( t ) , x 2 ( t )) у функции r и ее частных произво дных, а такж е обозна чать ш трих ом дифференцирование по t , а индек сами у r (но не у Γ и g ) — частное дифференцирование по соответствующей переменной (решателю бу дет полезно первое в ремя кроме индек сов писать еще штрихи). (a) Кривая γ является параметризованной гео дезическ ой то г да и только тог да, к ог да γ ′′ · r 1 = γ ′′ · r 2 = 0 для любого t . (b) γ ′ = r 1 x ′ 1 + r 2 x ′ 2 — вектор скорости кривой γ в точк е r ( x 1 ( t ) , x 2 ( t )) . (c) γ ′′ = x ′′ 1 r 1 + x ′ 1 r ′ 1 + x ′′ 2 r 2 + x ′ 2 r ′ 2 . (d) r ′ 1 = r 11 x ′ 1 + r 12 x ′ 2 . (e) Т еорема. Уравнение пара метризованной геоде зическ ой (на функции x 1 и x 2 через данную функцию r ) ( − x ′′ 1 = Γ 1 11 ( x ′ 1 ) 2 + (Γ 1 21 + Γ 1 12 ) x ′ 1 x ′ 2 + Γ 1 22 ( x ′ 2 ) 2 − x ′′ 2 = Γ 2 11 ( x ′ 1 ) 2 + (Γ 2 21 + Γ 2 12 ) x ′ 1 x ′ 2 + Γ 2 22 ( x ′ 2 ) 2 или x ′′ k + X i,j Γ k ij x ′ i x ′ j = 0 , гд е g ij = r i · r j и Γ k ij := g 3 − k , 3 − k r k · r ij − g k , 3 − k r 3 − k · r ij det g — символы Кристоффеля . 2. (a) С ледствие. Через кажду ю точку в к аждом направлении на поверх ности про- х одит ровно одна геодез ическ ая. 25 (b) Вычислите символы Кристоффеля для сферическ ой системы к оор динат на сфере. Круг и окружнос ть на по в ер хности определяютс я аналогично случаю плоск ости (чере з рассто яние по поверхности ). 3. (a) Окружность дост ат очно малого радиус а на повер хности являетс я кривой (зна чит , ее длина опреде лена). (b) Круг достаточно ма лого радиу са на повер хности являетс я повер хностью (зна чит , его площадь определена). (с) Обо значим через S Π ,P ( R ) площадь круг а на Π радиу са R с центром в точке P ∈ Π , а через L Π ,P ( R ) длину окружности на Π радиу са R с центром в точке P ∈ Π . Т ог да L Π ,P ( R ) = S ′ Π ,P ( R ) . γ ( t ) exp A X exp A Π T P γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X γ (1) = exp X − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) − − → P X = ˙ γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) P = γ (0) Рис. 3: Экс поненциальное о т ображ ение и кв а дратичная форма Риччи Далее в этом пункте Π ⊂ R m — повер хность размерности n . Для P ∈ Π определим (геодезическое) экспоненциальное отобр ажение exp = exp P : X → Π форму лой exp( a ) := γ P ,a (1) , г де γ P ,a : [ − 1 , 1] → Π — та гео дезичес к ая, для к оторой γ P ,a (0) = P и γ ′ P ,a (0) = a . Здесь X ⊂ T P — множ ество тех в екторов a , для которых определено γ P ,a (1) . Для n = 1 эк споненциальное о тображ ение являетс я натуральной параметризацией. 4. (a) Для единичной сферы S 2 при экспоне нциальном отображени и T (1 , 0 , 0) → S 2 по- лярные к оор динаты перех одят в сферические: exp(1 , ρ cos ϕ, ρ sin ϕ ) = (cos ρ ′ , sin ρ ′ cos ϕ, sin ρ ′ sin ϕ ) , г де ρ ′ := π 2 − ρ. (b) Обобщ ите этот рез у льт ат для по в ер хностей вращения. 5. (a) Пр я ма я, про х од ящая через P , перех о дит при эк споненциальном о тображ ении exp P в гео дезическую. (b) Верно ли, что для любой поверх ности и точки на ней об раз любой прямой при эк споненциальном отображ ении являетс я ге о дезическ ой? (c) Образом ш а ра (в T P ) радиу са R с центром в P при экс поненциальном отображ ении exp P являетс я шар (на повер хности) радиу са R . (d) Верно ли, что для любой повер хности и точки на ней образ любого шара при эк споненциальном отображ ении являетс я шаром? 26 2.7 Параллельный перенос Все знают , что так ое параллельный перенос на плоск ости. Мо жно о пределить параллель- ный перенос и на искривленной пов ер хности. Более того, это определение необх о димо для решения интересных зада ч из ге ографии и ф изики. На чнем с повер хности многогранник а. (Заметим, что она не являетс я повер хностью в смысле определения, принятого в данной книге.) Рас смотрим две соседние грани данного многогранник а. Если повернуть плоск ость одной из них вокруг их о б щего ребра, то она совместитс я с плоск остью другой грани [T a 89, рис. 15]. Этот поворот мо жно рассматри- вать к ак перек атывание многогранник а с одной грани на другую через его ребро. Если на первой грани нарисовать вектор, то после поворота он отпечатаетс я на плоск о сти вто- рой грани. Т ак ой перенос вектора с о дной грани на другую называетс я пар алле льны м переносо м вектора через ребро [T a 89, рис. 1 6 , 17]. 1. (a) Замкнут ая ломаная на выпуклом многогранник е не соде р жит вершин и ограни- чивает область, сумма плоских угл ов в вершинах к оторой рав на S . После параллельного переноса вдоль этой ломаной в ектор повернетс я на угол − S . Здесь повер хность многогранник а ориентирована, имеется в виду ориентированный угол на ориентированной повер хности и ломаная направлена так, что ее направление в ме- сте с нормальным к ребру ломаной вектором, к асающимс я грани многогранник а, дает данную ориент ацию на повер хности многогранник а. Зна чит , от выбора ориент ации по- вер хности многогранник а угол не зависит . (b)* Этот угол поворота рав ен (с точностью до 2 π n ) сумме величин телесных уг лов , двойственных к многогранным угл ам A 1 , . . . , A n . Приведем два неформальных описания параллельного переноса на повер хност ях (уж е в смысле это й книги). Муравей живет в повер хности и не видит об ъемлемого пространства, в частности, нормальных составляющих векторов. Ка сат ельное к поверхн ости Π векторное поле v ( t ) = ~ A ( t ) B ( t ) , A ( t ) ∈ Π , пар алле льно , если вектор v ′ t ( t ) ну левой, т .е., векторное поле ‘постоянно’, с точки зрения мур авья. Нарису ем на повер хности кривую и проведем кас ательную к пов ер хности плоск ость в нек оторой точке кривой. Параллельный перенос касательной плоскости вдоль кривой на поверх ности — это к ачение к асательной плоск ости вдоль кривой без проск альзывания (при к оторо м плоск ость остаетс я к асательной). Это движ ение к а сат ельной плоск ости по непо движной повер хности задаетс я следующим у словием: мгновенная ось вр ащения кас а- тельной плоскос ти кас ается поверхности и перпендикулярна данной кривой. Формально, пу сть дана пов ер хность Π ⊂ R 3 и параметризованная кривая γ : [ a, b ] → Π . Касательное к повер хности Π векторное поле v ( t ) на кривой γ [ a, b ] называетс я параллель- ным вдоль данной кривой (в смысле Леви-Чивита), если вектор v ′ t ( t ) перпендику лярен (плоск ости, к асательной к) повер хности в точк е γ ( t ) при любом t . Вектор v ( γ ( b )) называетс я вектором , полученным из вект ор а v ( γ ( a )) п ар алле льным переносо м вдо ль данной кривой . 2. (a) Какие к асательные векторы к плоск ости, леж ащей в трех мерном пространстве, получаютс я друг из друг а параллельным переносом? (b) Поле в екторов ск орости параметризованной кривой на пов ерхн ости являетс я па- раллельным вдоль этой кривой то гда и тольк о то г да, ког да эта кривая являетс я парамет- ризованной гео дезичес к ой. 27 (c) Параллельность вдоль параметризованной кривой с данным обр азом не зависит от выбора этой кривой. (d) Р езу льт ат параллельного переноса вдоль кривой с данн ыми концами мож ет зави- сеть от выбора этой кривой. Векторное поле на повер хности называетс я пар алле льным вдоль непар аметризованной кривой , если оно параллельно вдоль любой ее параметризации. Это определение коррек тно ввиду зада чи 2c. 3. (a) Непре рывное семейство векторов о динаковой длины на меридиане поверх ности вращения, касающих ся параллелей, параллельно вдоль меридиана. (b) Дана поверх ность вращения г ладк ой положительной функции f . На как ой угол в R 3 повернетс я вектор, к асательный к меридиану , при параллельном переносе из точки ( a, f ( a ) , 0) в точку ( b, f ( b ) , 0) в доль меридиана? (c) При объемлемой изометрии повер хностей се мейство векторов, пара ллельное вдоль нек оторой кривой, перех одит в семейство в екторов, параллельное вдоль образа этой кри- вой. 4. Если на данной пов ерхн ости семейства векторов u и v параллельны вдоль данной кривой, то (a) | v ( x ) | = | v ( y ) | . (b) u ( x ) · v ( x ) = u ( y ) · v ( y ) . (c) ∠ ( u ( x ) , v ( x )) = ∠ ( u ( y ) , v ( y )) . (d) Семейства u + v и 3 u параллельны вдоль то й ж е кривой. 5. (a) Т еорема. Параллельный перенос на данной повер хности вдоль данной кривой определяет ортогональное ото браж ение касательных пространств. (b) Семейство векторов является параллельным вдоль гео дезическ ой тог да и то льк о тог да, ког да моду ль вектора семейства и угол между вектором семейства и вектором ск о - рости гео дезичес к ой посто янны вдоль геоде зическ ой. 6. Пу сть v ( t ) = a 1 ( t ) r 1  x 1 ( t ) , x 2 ( t )  + a 2 ( t ) r 2  x 1 ( t ) , x 2 ( t )  — к асательный к повер хно- сти вектор в т о чк е r ( x 1 ( t ) , x 2 ( t )) . Бу дем далее обозначать штрихом производн ую по t и пропу ск ать аргуме нты функций. (a) v ′ = a ′ 1 r 1 + a 1 r ′ 1 + a ′ 2 r 2 + a 2 r ′ 2 . (b) Семейство v параллельно вдоль кривой γ = r ( x 1 , x 2 ) тогда и только тогда, к ог да v ′ · r 1 = v ′ · r 2 = 0 . (c) Т еорема. Уравнение параллельного переноса (на функции a 1 и a 2 через данные функции r, x 1 , x 2 ) ( − a ′ 1 = ( Γ 1 11 x ′ 1 + Γ 1 21 x ′ 2 ) a 1 + (Γ 1 12 x ′ 1 + Γ 1 22 x ′ 2 ) a 2 − a ′ 2 = ( Γ 2 11 x ′ 1 + Γ 2 21 x ′ 2 ) a 1 + (Γ 2 12 x ′ 1 + Γ 2 22 x ′ 2 ) a 2 или a ′ k + X i,j Γ k ij x ′ i a j = 0 . (d) Любой вектор можно параллельно перенести вдоль любой криво й. При внут ренней изометрии поверхностей сем ейство векторов, пар алле льное вдо ль некоторой кривой, переходит в семейство векторов, пар ал ле льное вдоль обр аза этой кри- вой. Э то док азано в теореме 4.1.6.c с использованием римановой метрики. Объяснение феномена маятник а Фук о с использованием параллельного переноса при- во дитс я в [T a89]. 7. На как ой угол поверне тс я к асательный вектор при параллельном переносе вдоль (a) параллели на цили ндре? (b) к онт ура треугольник а с уг лами α , β , γ на сфере? (c) параллели z = 1 на кону се z 2 = x 2 + y 2 ? 28 γ  2 10  γ  1 10  γ  9 10  γ (0) γ (1) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) σ (Π) ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π ∂ Π Рис. 4: Параллельный перенос вектора по замкнутому контуру Указание. Используйте ( доказанную ниж е) инвариантность параллельного переноса при внутренней изометри и. (d) параллели θ = θ 0 на сфере? (e) данной параллели данной повер хности вращ ения? Здесь пов ер хность ориентирована, имеетс я в виду ориентированный угол на ориенти- рованной повер хности, и кривая направлена т ак, что ее направление вместе с нормальным к кривой вектором, касающимс я поверх ности, дает данную ориент а цию на пов ер хности. Зна чит , о т выбора о риентации повер хности уг ол не зависит . 8. Пу сть N , N ′ — поверхн ости, к а сающ иес я вдоль кривой γ . Докажите, что резу ль тат параллельного переноса вдоль кривой γ о динак ов для N и N ′ . Ук азания и реше ния к нек оторым зада чам 2.1.1. (a) Ответ: объединение северного полюса и бесконе чного семейства параллелей. (b) Ответ: на северный полюс. Используйте (с). (c) Из малого прямоу гольного сферическ ого треугольник а с катет ами ‘ cos θ d ϕ ’ и ‘ dθ ’ получаем θ ′ = cos θ ctg α для θ := θ ( ϕ ) . (Треугольник мо жно счит ать плоским ввиду ма- лости, или использовать зада чу 8 b и перейти к пределу .) 2.1.4. (c) Используйте дво йственный трехгранный угол. 2.1.6. (a) Опус тите перпендику ляр из ребра на грань. (b) Следу ет из (a). (c) Опу стите перпенд ику ляр из вершины на треугольное сечение . (A,B,C) Используйте (a,b,c) и 4.d. 2.1.8. (c) Возьмем соответствующий трехгранн ый угол O A ′ B ′ C ′ , для которого O A ′ = O B ′ = O C ′ = 1 . Опус тим из A ′ перпендику ляр A ′ A 2 на плоск ость OB ′ C ′ , а такж е перпен- дику ляры A ′ B 1 и A ′ C 1 на пр ямую O B ′ и O C ′ , соответственно. ( A 2 не об язательно лежит внутри уг ла B ′ O C ′ , C 1 и B 1 не обязательно леж ат на лучах O ′ и O B ′ , соответственно.) По теореме о трех перпенд ику лярах A 2 B 1 ⊥ O B ′ и A 2 C 1 ⊥ O C ′ . Зна чит , ∠ A ′ B 1 A 2 = C и ∠ A ′ C 1 A 2 = B . Т ог да A ′ A 2 = A ′ B 1 sin C = sin β sin C и A ′ A 2 = A ′ C 1 sin B = sin γ sin B . (с) Другое решение. Вы разите sin 2 A из (d). (d) Возьмем соотв етств ующий трехгранный угол O A ′ B ′ C ′ , для к от орого O A ′ = O B ′ = O C ′ = 1 . Опу стим из C ′ и B ′ перпендику ляры C ′ C 1 и B ′ B 1 на пр ямую O A ′ ( C 1 и B 1 не обязательно лежат на луче O A ′ ). Обозначим a := ~ O A ′ , b := ~ O B ′ , c := ~ O C ′ . Т ог да 29 a · c = cos β , b · c = cos α и a · b = cos γ . Имеем ~ C ′ C 1 = − c + cos β a и ~ B ′ B 1 = − b + cos γ a . Зна чит , C ′ C 1 = sin β , B ′ B 1 = sin γ и ~ C ′ C 1 · ~ B ′ B 1 = cos α − cos β cos γ . Т ог да cos A = ~ C ′ C 1 · ~ B ′ B 1 C ′ C 1 · B ′ B 1 . (e) Используйте (d) и 4.d. 2.2.1. (f ) r ( u, v ) = ( (9 + u sin v ) cos 2 v , (9 + u sin v ) sin 2 v , u cos v ) , u ∈ [ − 1 , 1] , v ∈ [0 , π ] . Обозна чим через A ( t ) поворот пространства на t относительно оси z . Т ог да r ( u, v ) = A (2 v )[( 9 , 0 , 0) + u (sin v , 0 , cos v )] . Поэтому r u ( u, v ) = A (2 v )(sin v , 0 , cos v ) сонаправлено со стрежнем. Р аскрывая r v ( u, v ) по правилу Лейбница, получаем две нену левые перпендику- лярные составляющие, перпенди ку лярные стержн ю. Поэтому r u и r v линейно независимы. 2.2.2. (d) r ( u , v ) = (cos t, sin t, t ) − v (cos t, sin t, 0) . (e) r ( u, v ) = γ ( u ) + Rn ( u ) cos v + R b ( u ) sin v , где n ( u ) и b ( u ) — вектора нормали и би- нормали, см. §1.3. 2.3.1. Сна чала выразите коор динаты на сфере через дек арто вы к оор д инаты в R 3 . (c) Т очки ( x k , y k , z k ) ∈ R 3 , k = 1 , 2 , 3 , лежат на о дной пр ямо й тог да и только тог да, к огда x 1 − x 2 x 1 − x 3 = y 1 − y 2 y 1 − y 3 = z 1 − z 2 z 1 − z 3 . Здесь в знаменателе допус к ается 0: первое равенство нужно понимать как наг лядную запись равенства ( x 1 − x 2 )( y 1 − y 3 ) = ( y 1 − y 2 )( x 1 − x 3 ) . (d) Используйте резу льт ат зада чи 2.2 .1 .c. 2.3.5. (a,a’,b) Задайт е изометрию форму лой. Используйте теорему 3 . (c) При движ ении пространства плоск ости перех одят в плоск ости. 2.3.6. Используйте задач у 2.5.5 .d. (c) Аналогично (a,b). 2.5.0. (c) Проведите через вершину уг ла луч, леж ащий внутри уг ла , и через то чку на этом луче (от личную от вершины уг ла) плоск ость, перпенди ку лярную лучу . 2.5.1. (e) x = z = 0 . 2.5.5. Для сферы используйте зада чи 4d или 2.6.2.a. Для цилиндра и кону са исполь- зуйте инвариантность при изоме трии. 2.5.6. Утвер ждение равносильно то му , что e ∧ γ ∧ γ ′ = const , г де γ — гео дезическ ая и e — единичный вектор, параллельный оси вра щ ения. Последнее у словие доказы ваетс я дифференцированием по правилу Лейбница, т .к. e ∧ γ ∧ γ ′′ = 0 . 2.6.0. См. 1. 2.6.3. (b) Следу ет из 5c. 2.7.7. (d) Используйте (c) и зада чу 8. 30 3 Числовые кривизны повер хностей 3.1 Ск алярная кривизна Ск алярной кривизной повер хности Π во внутренней точке P называетс я число τ = τ Π ,P := 6 lim R → 0 2 π R − L Π ,P ( R ) π R 3 . Далее для ск алярной и других кривизн P и Π пропу ск аютс я из обозначен ий, по скольку ясны из к онтек ста. R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P τ > 0 Π Рис. 5: Ск алярная кривизна повер хности 1. (ab cd) Найдите ск алярную кривизну в то чк ах повер хностей из зада ч 2.2.1.a b cd. (e)* Ск алярная кривизна в то чк е (0 , 0 , 0) о трицательна для седлообразной поверх ности z = xy . 2. (a) Ка к изменяетс я ск алярная кривизна при гомотетии пространства? (b) Внутренняя изометрия сохраняет скалярну ю кривизну . Для решения зада ч 3, 4, 6 ну жны задача 2 .6.3.c и 4.1.8.a, см. зада чу 4.1.9.a. 3. (a) lim R → 0 2 π R − L ( R ) R 2 = 0 . (c)* L Π ,P ( R ) = 2 π R − π τ R 3 6 + O ( R 5 ) [Gr90 , BBB06]. (d)* Существу ет ли о т ображ ение повер хностей, сох раняющее скалярну ю кривизну , но не являющеес я внутренней изометрие й? Т еорема. Элемент а рная непараметризованная двумерная пов ер хность внутренне изо- метрична нек оторой части плоск ости тогда и только тогд а, к о г да ее ск алярная (или сек- ционная, или га у ссова, см. далее) кривизна равна ну лю в каждой точк е [MF04, Ra04]. Для док азательства этой просто форму лиру емой теоремы, к а к и для получения ф о рму л для вычисления скалярной кривизны (задач а 4.1.9), нужно изу чить §4. 4. Обозна чим через S Π ,P ( R ) площадь круг а на Π радиу са R с центром в то чке P ∈ Π . (a) τ = 24 lim R → 0 π R 2 − S Π ,P ( R ) π R 4 . (b)* S Π ,P ( R ) = π R 2 − π τ 24 R 4 + O ( R 6 ) [Gr90 ]. Для трехмерной поверх ности Π ⊂ R m и точки P ∈ Π обозна чим через S Π ,P ( R ) площ адь сферы на Π радиу са R с центром в точк е P ∈ Π . Ск алярной кривизной повер хности Π в точке P называетс я число τ = τ Π ,P := 6 lim R → 0 4 π R 2 − S Π ,P ( R ) (4 / 3) π R 4 . 31 5. Вычислите скалярну ю кривизну точек следующих трехме рных поверхн остей в R 4 : (a) гиперплоск ости R 3 ; (b) цилиндра S 1 × R 2 ; (c) сферы S 3 ; (d)* цилиндра S 2 × R ; (e) кону са t 2 = x 2 + y 2 + z 2 ; (f )* то ра S 2 × S 1 . Пу сть n ≥ 2 и Π — n -мерная повер хность в пространстве R m . Обозначим через • V n n -мерный объем (§2.4) шара радиу са 1 в R n , • S n ( n − 1) -мерный объ ем повер хности ш ара радиу са 1 в R n , • V Π ,P ( R ) n -мерны й объем ш а ра на Π радиу са R с центром в точке P ∈ Π , • S Π ,P ( R ) ( n − 1) -мерный объем повер хности шара на Π радиу са R с центром в точк е P ∈ Π . Ск алярной кривизной пов ер хности Π в точк е P называетс я число τ = τ Π ,P := 6 lim R → 0 S n R n − 1 − S Π ,P ( R ) V n R n +1 . 6. (b) S Π ,P ( R ) = V ′ Π ,P ( R ) . (c) S n = nV n . (d) τ = 6 ( n + 2) lim R → 0 V n R n − V Π ,P ( R ) V n R n +2 . (e)* V P ( R ) = V n R n − τ 6( n + 2 ) V n R n +2 + O ( R n +4 ) [Gr90]. 7. Т еорема. Внутренняя изоме трия сох раняет ск алярную кривизну . (Док ажите с использованием n - мерного аналог а теоремы о площ ади.) 3.2 Г лавные кривизн ы 1. Пу сть задана система точек A 1 , . . . , A s с массами m 1 , . . . , m s . Моменто м инерции этой системы относительно прямой l назы ваетс я число I ( l ) = m 1 | A 1 l | 2 + · · · + m s | A s l | 2 , г де | A i l | — расстояние от точки A i до пр ямой l . (a) Пу сть I + и I − — наибольшее и на именьшее зна чения моментов инерции от носитель- но прямых на плоскос ти, прох о дящих через фик сированную точку O (возмо жно, I + = I − ). Возьмем одн у из прямы х l + , для которой I ( l + ) = I + . Т ог да I ( l ) = I + cos 2 ϕ + I − sin 2 ϕ , г де ϕ = ∠ ( l l + ) . (b) В пространстве существуют три таки е попарно перпендику лярные пр ямые l 1 , l 2 , l 3 , про хо дящие через O , что для любой пр ямой l , прох о дящ ей через O , выполнено I ( l ) = I ( l 1 ) cos 2 ( l l 1 ) + I ( l 2 ) cos 2 ( l l 2 ) + I ( l 3 ) cos 2 ( l l 3 ) . (c)* Могут ли пр ямые с т аким свойством не быть перпендику лярными для некоторых A 1 , . . . , A s , m 1 , . . . , m s ? Коориент ацией поверх ности Π называетс я семейство единичных векторов n ( P ) , нор- мальных к повер хности (т .е. перпендику лярных к к асательной плоск ости в точк е P , см. определение в пункте 2.5) и непреры вно завис ящих от т о чки P ∈ Π . Кривизной (непар аметризованной) кривой н а коориентированной поверхности назы - ваетс я проекц ия у ск орения на нормаль при движ ении по этой криво й с единичной скоро- стью. Кривизна в указанном смыс ле совпадает по мо ду лю, но не о б я зат ельно по знаку , с кривизной соответствующей непараметризованной кривой. Простейшие инварианты о б ъемлемой изометрии по я вились еще в XVI I I век е при реше- нии следующей проблемы (рис. 6). Выберем коориентированную поверх ность Π и точку 32 P n ( P ) α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n α n θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ α n ∩ Π α ∩ Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость кас ательная плоскость Рис. 6: Нормаль ное и ‘к осое’ сечения повер хности P на ней. Как зависит от плоскости α , про х од ящей через то чку P , кривизна в т о чк е P (непараметризованной) кривой α ∩ Π ? Г лавными кривизнами λ + и λ − к оо риентированной поверх ности Π в точк е P ∈ Π на- зываютс я наибольш ее и наименьшее зна чения кривизн в точк е P (непараметризованных) кривых пересечения повер хности с плоск остями, проведенными через норма ль в точк е P . Г лавным напр авлением к оориентированной поверх ности Π в точке P ∈ Π , отвечаю- щим данной г лавной кривизне λ ± , называетс я направление то й пр ямой (в к асательной плоск ости к Π в точк е P ), для к оторой кривизна пересечения повер хности с плоск остью, про хо дящую чере з эту пр ямую и нормаль, рав на λ ± . 2. Задав к о о риент ацию, найдите гл авные кривизны и главны е направления в точках повер хностей из зада чи 2.2.1.ab cde*f. 3. Как изменяютс я г лавные кривизны при (a) изменении к оориент ации на противоположну ю? (b) гомотетии пространства? 4. (a) Об ъ емлемая изометрия со храняет г лавные кривиз ны. (b) Внутренняя изометрия мож ет не со хранять главные кривизны. 5. Т еорема. (a) Если в точк е P повер хности Π главны е кривизны од ного знака, то для нек оторого ε > 0 пересе чение Π и шара B ( P , ε ) в R 3 с центром в P и радиу са ε лежит по о дну сторону от кас ательной плоск ости к Π в точк е P . (b) Если в то чке P пов ер хности Π г лавные кривизны разного знак а, то ни для как ого ε > 0 пересеч ение Π ∩ B ( P , ε ) не лежит по о дну сторону от к асательной плоск ости к Π в точк е P . 6. (0) На беск онечном круговом к о нусе с уг лом раство ра (т .е. максимальны м уг лом между образующими) π / 2 взята точка P (от личная от вершины). Через нормаль к кону су в точк е P проведена плоск ость по д углом π / 3 к образующей к о нуса (направленной от вершины). Найдите кривизну в точк е P кривой пересечения плоск ости и к ону са. (a) Найдите кривизну k ( ϕ ) в на ча ле к оор динат кривой пересечен ия повер хности z = ax 2 + 2 bxy + cy 2 с плоск о стью, проведенной через о сь O z под углом ϕ к оси O x . (b) Предполо жим, что повер хность z = f ( x, y ) к асаетс я плоск ости O xy в на чале к о- 33 ор динат O , т .е. что f ( 0 , 0) = f x (0 , 0) = f y (0 , 0) = 0 . Обозна чим через h =  f xx f xy f xy f y y  гессиан. Т ог да г лавные кривизны являютс я корнями уравнения ( λ − f xx )( λ − f y y ) = f 2 xy , т .е. det( h − λE ) = 0 , а г лавные направления соответствуют cобственными вектора м гессиана. (Инва риантное определение и геометрический смысл соответствующего оператора приведены в §4.2.) (c) Форму ла Эйлера. Пу сть Π ⊂ R 3 — к оориентированная повер хность и P ∈ Π . Пу сть k ( ϕ ) — кривизна в точке P кривой пересечени я повер хности с плоскостью, прове- денной через нормаль в точк е P по д уг лом ϕ к тому лучу , для которого эта кривизна мак си- мальна (т .е. к г лавному направлению, отвечающему λ + ). Т огда k ( ϕ ) = λ + cos 2 ϕ + λ − sin 2 ϕ . (d) Если гл авные кривизны различ ны, то г лавные направления ортогональны. (e)* Как вычислять г лавные кривизны для повер хностей, заданных в параметрическ ом виде? 7. (0) На беск онечном круговом к о нусе с уг лом раство ра (т .е. максимальны м уг лом между образующими) π / 2 взят а точк а P (от личная от вершины). Через точку P пров едена плоск ость под уг лом π / 3 к образующей кону са (направленной от вершины) и по д уг лом π / 3 к нормали к к ону су в точк е P . Найдите кривизну в точке P кривой пересечения плоск ости и к ону са. (a) Как от личаются (для повер хностей, рассмотренных в зада че 2) кривизны кривых пересече ния поверх ности с двумя плоск ост ями ( α и α n на рис. 6), со дер жащими точку P и пересек а ющ ими к асательную плоск ость к пов ерхн ости по о дной и той ж е пр ямой, о дна из к оторых прох одит через но рмаль , а друг ая под уг лом θ к нормали? Ук азание к ( 0 ,a): если не по лучается, то см. далее. (b) Проекция на нормаль в точк е P = γ (0) у ск орения параметризованной кривой γ на повер хности Π зависит только от ск орости γ ′ (0) этой кривой в точк е P . (c) Т еорема Менье. Обозна чим через k и k n кривизны кривых пересечения повер х- ности с двумя плоск о ст ями ( α и α n на рисунк е), содер ж ащ ими то чку P и пересек ающ ими к асательную плоск о сть к повер хности по о дной и той ж е пр ямой, одна из к о торых прох о- дит через нормаль, а друг ая по д уг лом θ к нормали. Т ог да k cos θ = k n . (d) Определим отобра жение d ( ε ) : Π → R 3 форму лой d ( ε )( P ) = P + εn . Т огда проекция из (b) рав на lim ε → 0 [ d ( ε ) ′ P ( a )] 2 − a 2 2 ε , г де a = γ ′ (0) . (e) Если г лавные кривизны в каждой то чк е повер хности равны ну лю, то эта повер х- ность является частью плоск ости. Мо жно док азать, что τ = 2 λ + λ − . Г лавные кривизны многомерных к оориентированных поверхн остей определяютс я бо- лее слож но, см. §4.2. 3.3 Полная средняя кривизна ε -окрестностью ф игуры M (на плоск ости или в пространстве) называетс я мно ж ество M ε точек, у даленных от нек оторой то чки фигуры M не более, чем на ε : M ε := { x : | x − y | < ε для нек оторой y ∈ M } . 34 0. Нарисуйте ε - о крестность в плоск ости и найдите ее периметр и площа дь для (a) квадрата со сто ро ной 1; (b) выпуклого многоугольник а площади S и периме тра P . (c) выпуклого множ ества площади S и пери метра P . 1. Нарисуйте ε -о крестность в пространстве и найдите ее об ъем и площадь ее п овер х- ности для (a) куба с ребром 1; (b) правильной треугольной призмы с длинами ребер 1; (с) правильного тетраэд ра с ребром 1; (d) произвольного выпуклого многогранник а (решите сами, к акие нужно задават ь дан- ные; аккуратно док ажите Ваше утверж дение о ст аршем коэффициен те). 2. (a) Коробки имеют форму пр ямоугольных параллелепипедов. Мо жно ли в од ной к о- робк е пронести другую к оробку с большей суммой измерений по длине, ширине и высоте? (b) Если выпуклый многогранник M с длинами ребер l i и двугранными угл ами α i со держ итс я в ша ре радиу са R , то P l i ( π − α i ) ≤ 8 π R . Повер хность (граница) фигуры F обозна чаетс я ∂ F . По лной средней кривизной выпуклого многогранник а M называетс я число H ( ∂ M ) := lim ε → 0 S ( ∂ M ε ) − S ( ∂ M ) ε . В зада че 2d Вы доказ али, что H ( ∂ M ) = P l i ( π − α i ) для выпукл ого многогранник а M с длинами ребер l i и двугранными уг лами α i . Т еперь рассмотрим поверх ность Π ⊂ R 3 с коориент ацией n : Π → R 3 . (Определение к оо риентации см. в пункте 3.2.) Обозначим через Π n,ε := { P + εn ( P ) } P ∈ Π повер хность, образованную конц ами векторов εn ( P ) , отло ж енных от точек P повер хности Π (рис. 7). Π Π ε P P + ε n ( P ) Рис. 7: Сдвиг повер хности вдоль семейства нормалей 3. (a) Если r : D → R 3 — параметризованная пов ер хность, n : r ( D ) → S 2 — коорие нт а- ция и r n,ε ( u, v ) := r ( u , v ) + εn ( r ( u, v )) , то r ( D ) n,ε = r n,ε ( D ) . (b) Π n,ε действительно повер хность. Полной с редней кривизной коориентированной повер хности Π называетс я число H (Π , n ) := lim ε → 0 S (Π ε,n ) − S ( Π) ε . Мо жно эвристически ‘док азать’, что полная средняя кривизна мыльной пленки (т . е. по- вер хности минимальной площади с данной границе й) рав на 0. 4. Задав к о ориент ацию, найдите полную среднюю кривизну повер хностей из зада чи 2.2.1ab cde. 35 5. Как изменяетс я полная средняя кривизн а при (a) изменении к оориент ации на противоположну ю? (b) гомотетии пространства? 6. (a ) По лная средняя кривизна аддитивна, т .е. H (Π 1 ∪ Π 2 ) = H (Π 1 ) + H (Π 2 ) , если ∂ Π 1 и ∂ Π 2 — замкнуты е кривые, пере сек ающиес я по кривой (из обозначе ний пропущены к оо риентации на Π 1 и Π 2 , полученные суж ением нек ото рой к оориент ации на Π 1 ∪ Π 2 ). (b) Объемлемая изометрия со храняет полную сре днюю кривизну . (c) Внутренняя изометрия мож ет не со хранять полную среднюю кривизну . 7. Использу ем обозна чения из задачи 3,5.a. Бу дем пропу ск ать в форму лах а ргумент ( u, v ) функций r u и r v , а т акж е вместо n ( r ( u, v )) писать n . (a) S ( r ( D )) = R R D r u ∧ r v ∧ n dudv для к оориент ации n ( r ( u , v )) = r u × r v / | r u × r v | . (a’) S ( r ( D )) = − R R D r u ∧ r v ∧ n du dv для к оориент ации n ( r ( u, v )) = − r u × r v / | r u × r v | . (b) Вектор n ( r ( u , v )) перпендику лярен повер хности r ( D ) n,ε в ее точке r ( u , v )+ ε n ( r ( u, v )) . Т .е. поле нормалей m ( n ( r ( u, v ))) := n ( r ( u, v )) задает к оориент ацию повер хности r ( D ) n,ε . (с) H ( r ( D ) , n ) = R R D ( r u ∧ n v ∧ n + n u ∧ r v ∧ n ) dudv для к оориент ации n ( r ( u, v )) := r u × r v / | r u × r v | . В частности, предел, определяющий полную среднюю кри- визну , дейс твительно существу ет . 8.* Для выпуклого ограниченного мно ж ества M ⊂ R 3 и его ε -окрестности M ε ( a ) V ( M ε ) = V ( M ) + S ( ∂ M ) ε + 1 2 H ( ∂ M ) ε 2 + 4 π 3 ε 3 . ( b ) S ( ∂ M ε ) = S ( ∂ M ) + H ( ∂ M ) ε + 4 π ε 2 . ( c ) H ( ∂ M ) = 2 lim ε → 0 V ( M ε ) − V ( M ) − S ( ∂ M ) ε ε 2 = lim R →∞ V ( M R ) − 4 π R 3 / 3 R 2 . 3.4 Средняя кривизна в точк е Приведем ‘физиче ск ое’ определение. Возьмем распределение масс на к оориентированной повер хности, при котором масса к аждого ее кус к а рав на полной средней кривизне этого ку ск а (таким образом, масса ку ск а мож ет быть отрицательной). Т огда средней кривизной повер хности в точк е называетс я плотность в этой точк е. Формально, средней кривизной к оориентированной повер хности Π в точк е P назы- ваетс я число H = H Π ,P ,n := lim diam(Π P ) → 0 H (Π P , n ) S (Π P ) , г де Π P — образы всевозмо жных прямоугольник о в , со дер ж ащие то чку P , при всевозмож- ных параметризациях повер хности. Полученное число я в ляетс я плотностью полной сред - ней кривизны относительно площади. 1. Задав к оо риентацию, найдите среднюю кривизну в точк ах пов е рхностей из зада чи 2.2.1.ab cd. 2. Задав коорие нт ацию, найдите знак средней кривизны точек (a) тора; (b) поверх ности вра щ ения функции f . 3. Как изменяетс я средняя кривизна в точк е при гомотетии пространства ? 4. (a) На пиш ите о пределение предел а lim diam(Π P ) → 0 H (Π P , n ) S (Π P ) ‘на язык е ε - δ ’. 36 (b) H ( r ( D ) , n ) = R R D H r ( D ) ,r ( u,v ) ,n | r u × r v | dudv . Эта фо рму ла дает эквивалентное о преде- ление полной сре дней кривизны, наиболее точно формализующее вышеприведенное ‘фи- зическ ое’ определен ие. (c) Напишите определения полной средней кривизны плоск ой кривой и средней кри- визны плоск ой кривой в точк е. (d)* Последняя равна об ычной кривизн е. 5. (ab c*) Т еорема. H P = r u ∧ n v ∧ n + n u ∧ r v ∧ n | r u × r v | = − f xx − f y y = ( r 2 v r uu + r 2 u r vv − 2( r u · r v ) r uv ) ∧ r u ∧ r v | r u × r v | 3 , г де первая и третья форму лы выполнены для к оо риент ации n = r u × r v / | r u × r v | , а вторая форму ла выполнена в точк е O для поверхн ости z = f ( x, y ) , к асающейс я плоск ости O xy в на чале к оординат и той коориент ации, для которой n O = (0 , 0 , 1) . При док азательстве первой ф о рму лы не забу дьте док азать существование предела, определяющего среднюю кривизну в то чк е. (d) Вычислите среднюю кривизну в каждой т о чк е повер хности в ра щ ения поло житель- ной функции f , ес ли нормали направлены к оси вращения. 6. Найдите среднюю кривизну повер хности z = xy в т очк е (1 , 1 , 1) . 7. Т еорема. Мину с половина средней кривизны равна полу сумме г лавных кривизн и равна среднему значе нию кривизны нормального сечения: − H 2 = λ + + λ − 2 = 1 π Z π 0 k ( ϕ ) dϕ. 3.5 Полная г а у ссова кривизна В этом пункте Π ⊂ R 3 — пов ер хность с коориен т а цией n : Π → R 3 . Поверхн ость Π n,ε определена в §3.3. Коориентированная повер хность Π ⊂ R 3 называетс я вы пуклой , ес ли лучи, определен- ные (закрепленными) нормалями в разных точк ах, не пересек а ют ся. (Это определение не сог ласу етс я с определением выпуклости мно ж ества, но это не должно привести к пут ани- це.) Следующий материал интересен даж е для выпу клых повер хностей. По лной гауссовой кривиз ной вы пуклой коорие нтированной повер хности Π называетс я число K (Π , n ) = lim R →∞ S (Π n,R ) R 2 . 1. Зада в к оориент ацию, найдите полную г ау ссову кривизну пов ер хностей из зада чи 2.2.1.ab cd. (e) то ж е для произвольной замкнутой в ыпуклой (т .е. ограничивающей в ыпуклое тело) повер хности. Полной г ау ссовой кривизной повер хности Π с к оориент ацией n называетс я число K (Π , n ) , для к от орого S (Π n,ε ) = S (Π) + H (Π , n ) ε + K (Π , n ) ε 2 ( ∗ ) при в сех тех ε , при к оторых для любых различных P , Q ∈ Π выполнено P + εn ( P ) 6 = Q + εn ( Q ) (т .е. к онцы но рмаль ных векторов длины ε , начала к оторых — различные точки повер хности, различны ). 37 2. (a) Это о пределен ие совпадает с преды дущим для выпуклы х повер хностей. (b) Найдите полную г а у ссову кривизн у то ра . 3. Как изменяетс я полная г а усс ова кривизна при (a) изменении к оориент ации на противоположну ю? (b) гомотетии пространс тва? 4. (a) Полная г ау ссова кривизна аддитивна, т .е. K (Π 1 ∪ Π 2 ) = K (Π 1 ) + K (Π 2 ) , если ∂ Π 1 и ∂ Π 2 — замкнуты е кривые, пере сек ающиес я по кривой (из обозначе ний пропущены к оо риентации на Π 1 и Π 2 , полученные суж ением нек ото рой к оориент ации на Π 1 ∪ Π 2 ). (b) Объемлемая изометрия со храняет полную г а у ссову кривизну . Т еорема Egregium Г ау сса утвер ждает , что внут ренняя и зо метрия сохр аняет полную гауссову кривизну. Она док азана в зада че 4.1.6.e с использованием римановой метрики и теоремы Г а у сса-Бонне. Рис. 8: Сферический образ повер хности Если от ло жить вектор n ( P ) от нач ала к о ор динат , т о его к онец бу дет лежать на еди- ничной сфере. Построенное от ображ ение n : Π → S 2 ⊂ R 3 называетс я сферическим или гауссовым . Cферическим о т ображ ением называетс я такж е к омпозиция n ◦ r : D → S 2 ⊂ R 3 . Повер хность n (Π) ⊂ S 2 ⊂ R 3 называетс я сферическим или гауссовым образом коори- ентированной повер хности Π (рис. 8 ). 5. Площа дь сфериче ск ого образа выпуклой повер хности равна ее полной г а усс овой кривизне. Пу сть нормали к различным точкам коориентированной повер хности не сонаправле- ны. Определим площадь с ферического отобр ажения (со знаком) к а к площ а дь сфериче- ск ого образа со знаком плюс (или мину с), если при обх о де границы повер хности по часо- вой стрелк е (относительно нормалей) граница сферическ ого образа обх о дится по часово й стрелк е (или против часовой стрелки). 6. Площадь сферическ ого отображени я отрицательна для седлообразной повер хности z = x 2 − y 2 , x 2 + y 2 ≤ 1 . Если коориен тированную повер хность можно разбить на конечное число частей, на к аждой из к о торых нормали к различным точкам не сонаправлены, то площ а дью ее сфе- рическ ого отображени я называется сумма площадей его суж ений на части. Корректность этого определения, т .е. независимость от разбиения повер х ности, фактически док азыва- етс я через его эквивалентность следующему определе нию. Далее в этом пункте r : D → R 3 — параметризованная повер хность (не об язательно инъективная!) с коориент ацией n : r ( D ) → R 3 . Ее площадью называетс я число S ( r ) := Z Z D r u ∧ r v ∧ n du dv . Здесь и далее в этом пункте пропу ск аем в форму лах аргумент ( u, v ) функций r u и r v , а т а кж е вместо n ( r ( u, v )) пишем n . 38 7. (a) Это число S ( r ) мож ет быть разным для разны х r при одинак овом r ( D ) . (b) Вектор n ( r ( u, v )) перпендику лярен поверхн ости n ( r ( D )) в ее точк е n ( r ( u, v )) . Т .е. поле нормалей m ( n ( r ( u , v ))) := n ( r ( u, v )) задает к оориент ацию повер хности n ( r ( D )) . 8. (a) При данны х Π и к оориент ации n : Π → R 3 площадь сферическ ого отображ ения n ◦ r : D → R 3 не зав исит о т инъективной параметризованной повер хности r : D → R 3 , для к оторой Π = r ( D ) . (b) Т еорема. Площадь сферич еск ого отобра жения к оориентированной пове р хности равна ее полной г а усс овой кривизне: K ( r ( D ) , n ) = R R D n u ∧ n v ∧ n du dv для к оо риент ации n = r u × r v / | r u × r v | . В частности, о пределени е г а усс овой кривизны о смысленно, т .е. S ( Π ε ) действительно выраж ается форму лой (*) с нек оторыми (не зависящими от ε ) H (Π , n ) и K (Π , n ) . 3.6 Г а у ссова кривизна в точк е Вновь на чнем с ‘физическ ого’ определения. Возьмем распределение масс на коориен тиро- ванной пов ер хности, при к отором масса к аждого ее ку ск а равна полной г ау ссовой кривиз не этого ку ск а (таким образом, масса ку ск а мож ет быть от рицате льной). Т ог да гауссовой кри- визной повер хности в точк е называетс я плотность в это й точке . Формально, га у ссовой кривизной к оориентированной непараметризованной по в ер х- ности Π в точке P называетс я число K = K Π ,P := lim diam(Π P ) → 0 K (Π P ) S (Π P ) г де Π P — образы всевозмо жных прямоугольник о в , со дер ж ащие то чку P , при всевозмож- ных параметризациях повер хности. Это плотность полной га у ссовой кривизны отно си- тельно площади. 1. Найдите г а усс ову кривизну в точк ах повер хностей из задач 2 .2.1.ab cd. 2. Найдите знак га у ссовой кривизны точек (a) тора; (b) поверх ности вра щ ения. 3. (a) Напишите определения ‘окружностного образа’ плоск ой кривой, полной г а ус со- вой кривизны плоск о й кривой и га у ссовой кривизны плоск о й кривой в точке. (b) Последняя равна обычной кривизн е. 4. Как изменяетс я г а ус сова кривизн а в т о чк е при гомотетии пространства? 5. (ab c) Т еорема. K P = n u ∧ n v ∧ n | r u × r v | = f xx f y y − f 2 xy = ( r uu ∧ r u ∧ r v )( r vv ∧ r u ∧ r v ) − ( r uv ∧ r u ∧ r v ) 2 | r u × r v | 4 , г де первая фо рму ла выполнены для к оориентации n = r u × r v / | r u × r v | , а в торая форму ла выполнена в точк е O для пов ерхн ости z = f ( x, y ) , к асающейся плоск ости O xy в на чале к оо рдинат . При док азательстве первой ф о рму лы не забу дьте док азать существование предела, определяющего г а усс ову кривизну в точк е. (d) Вычислите г а усс ову кривизну в каждой точке повер хности в ращ ения положите ль- ной функции f . 6. Найдите г а усс ову кривизну повер хности z = xy в т о чк е (1 , 1 , 1) . 39 7. (a) Следствие. Г лавные кривизны являются к орнями уравнения λ 2 + H λ + K = 0 . (b) Следствие. Г а у ссова кривизна рав на произведению главны х кривизн: K = λ + λ − . (c) В теореме 3.2.5 мо жно заменить у словие од инак ово сти (различности) знака г лавных кривизн на K > 0 ( K < 0 ). (d) Если га у ссова и средняя кривизны в к аждой точк е повер хности равны ну лю, то эт а повер хность являетс я часть ю плоск о сти. Т еорема. Для двумерной поверх ности в R 3 имеем τ = 2 K (г де τ — скалярная кривиз- на, см. §3.1). Это следу ет из Т еоремы Г а у сса-Бонне (задача 3.7.2.e) и ук азания к задаче 4.4.8. 3.7 Секционная кривизна Полной секционной кривизной σ (Π) двумерной повер хности Π с гл адк ой границей ∂ Π называетс я угол между к асательным вектором в точк е границы ∂ Π и вектором, получен- ным из него параллельным переносом вдоль кривой ∂ Π . Здесь пов ерхн ость Π ориентиро- вана, имеетс я в виду ориентированный угол на ориентированной повер хности, и кривая ∂ Π направлена т ак, что ее направление вместе с нормальным к ∂ Π вектором, к асающимс я повер хности Π , дает данную о риент ацию на Π . 1. (a) Об ъ емлемая изометрия со храняет полную секционную кривизну . (b) Т еорема. Внутренняя изоме трия сох раняет полную се кционную кривизну . Указание. Используйте ( доказанную ниж е) инвариантность параллельного переноса при внутренней изометри и. (c) Полная секционная кривизна аддитивна, т .е. σ (Π 1 ∪ Π 2 ) = σ (Π 1 ) + σ (Π 2 ) , если ∂ Π 1 и ∂ Π 2 — замкнутые кривые, пересек а ющ иес я по кривой. (На Π 1 и Π 2 рассматриваютс я ориент ации, полученны е суж ением нек от о рой ориент ации на Π 1 ∪ Π 2 ). (d) Полная секционная кривизна не зависит от ориент ации. Произво дной отображ ения n : Π → S 2 из повер хности в сферу называетс я семейство отображ ений d n P : T P → T n ( P ) к асательной плоскости T P (в точк е P к Π ) в к асательную плоск ость T n ( P ) (в точке n ( P ) к S 2 ), для которого n ( Q ) = n ( P ) + dn P (pr( Q − P )) + o ( | Q − P | ) при Π ∋ Q → P . Здесь pr : R m → T P — ортогональная проекция. 2. Определение сферическ ого отображен ия n : Π → S 2 дано в §3.5. (0) Найдите производну ю в точк е (0 , 0 , 1) в ращения R π / 2 x =0 : S 2 → S 2 . (a) Вектор, касающийс я поверхн ости Π в ее точке P , к асается сферы S 2 в т очк е n ( P ) . (b) Для любой точки X ∈ Π вектор dn P ( P X ) равен вектору P X к а к свободны й вектор. (c) При семейс тве отображений d n P (оно называетс я с ферическим отобр ажением кас а- тельных п ростр анств ) семейство векторов , параллельное вдоль нек оторой кривой, пере- х одит в семейство векторов, параллельное вдоль ее о браза при сферическ ом отображени и. (d) Угол по в орот а вектора при параллельном переносе вдоль замкнутой кривой ра- вен уг лу поворота вектора при параллельном переносе вдоль сферическ ого образа этой кривой: σ (Π) = σ ( n (Π)) . (e) Т еорема Г а усса-Бонне. Угол поворот а к асательного к двумерной повер хности в R 3 вектора при параллельном переносе вдоль границы повер хности равен полной г а у ссо- вой кривизне этой поверх ности: σ (Π) = K (Π) . (См. такж е теорему 3.5.8.b.) 40 Возьмем распределение масс на к оориентированной поверх ности, при к о тором масса к аждого ее кус к а равна полной секционной кривизне этого куск а (таким образом, мас- са куск а мож ет быть отрицательной). Т ог да секционной кривизной повер хности в точке называетс я плотность в этой т о чк е. Формально, секционной кривизной повер хности Π в точк е P называетс я число σ ( P ) := lim diam(Π P ) → 0 σ (Π P ) S (Π P ) , г де Π P — образы всевозмо жных прямоугольник о в , со дер ж ащие то чку P , при всевозмож- ных параметризациях повер хности. Это плотность полной секционной кривизны о тноси- тельно площади. 3. Как изменяетс я секционная кривизна в точк е при гомотетии пространства? Для двумерной повер хности в R m выполнено τ = 2 σ (г де τ — ск алярная кривизна, см. §3.1 и ук азание к зада че 4.4.8 ) . Итак, для двумерной повер хности в R 3 ск алярная, секционная и га у ссова кривизн ы совпадают (с точностью до мн о жителя 2). З аметим, что здесь скалярн ая и секционная кривизны определены для двумерной повер хности в R m при m > 3 , а га у ссова — нет . Ук азания и реше ния к нек оторым зада чам 3.1.1. (b,c) Используйте зада чи 2.b и 2.3.5.aa’. 3.1.2. (a) Уменьшается в k 2 раз, г де k — коэффициен т гомотетии. 3.1.5. (b) Используйте зада чу 2.b. 3.2.1. (a) Утвержде ние вытек ает из то го, что момент инерции есть функция вида A cos 2 ϕ + 2 B cos ϕ sin ϕ + C sin 2 ϕ = P cos 2 ϕ + R sin 2 ϕ + S = T cos 2( ϕ + ϕ 0 ) + S. (b) Докаж ите, что I ( l ) есть квадратичная фо рма от направляющего вектора пр я мо й l . 3.2.2. (f ) Г лобально главные кривизны не о пределены . 3.2.6. (a) Уравнение сечения есть γ ( t ) = ( t cos ϕ, t sin ϕ, t 2 ( a cos 2 ϕ + 2 b cos ϕ sin ϕ + c sin 2 ϕ )) . Примените теорему 1.2.3.b. (b) Провер яетс я вычислениями, аналогичными ( a ). Невычислительное доказательство этого рез у льт ата (а такж е форму л для H и K далее) получаетс я, если интерпретировать гессиан к ак матрицу второго диф ференциала фу нкции f (или второй квадр атичной фор- мы з адаваемой ей поверх ности, см. §4.2). (c) Дост аточно док азать для поверх ности z = f ( x, y ) , касающейс я плоск ости O xy в на чале к оординат O . См. ук а зание к зада че 3.2.1.a. (d) Следу ет из (c). (e) Напишите уравнение к асат ельной плоск ости и нормали для повер хности r ( u , v ) и используйте (b). 3.2.7. (a) Отв ет приведен в (c). (b) Обозна чим n = n ( γ ( t )) . Т ог да n · γ ′ = 0 ⇒ n ′ · γ ′ + n · γ ′′ = 0 ⇒ n · γ ′′ = − γ ′ · ∂ n ( P ) /∂ γ ′ . 41 Здесь ∂ n ( P ) /∂ γ ′ есть произво дная векторного поля n ( P ) в то чк е P = γ (0) по направлению вектора γ ′ (0) . Другое указ ание. Мо жно считать, что поверх ность задана уравнением z = f ( x, y ) , f (0 , 0) = f x (0 , 0) = f y (0 , 0) = 0 , а уравнение плоск ости z = x ctg θ . На кривой пересе чения рассмотрим параметр y . Д ифф еренциру я, получаем z y = f x x y + f y и z y = x y ctg θ . П оэтому в т очк е (0 , 0 , 0 ) имеем y y = 1 , z y = 0 и x y = 0 , т .е. ск оро сть кривой пересечен ия единичная. Проекция у скоре ния кривой пересечени я на ось O z рав на z y y = ( f xy + f xx x y ) x y + f x x y y + f y x x y + f y y . В точке (0 , 0 , 0) имеем z y y = f y y , что не зависит от θ . Поэтому проекция на о сь O z у скоре ния кривой пересечения в на чале к о о р динат не зависит от θ . А поск ольку это у ск орение лежит в проведенной плоск ости, оно равно k ( ϕ, θ ) = k ( ϕ, 0) / cos θ . (c) Следу ет из (b). (e) По форму ле Эйлера и теореме Менье любое плоск ое сечение есть пр ямая. 3.3.0. (b), (c) О твет: P ( M ε ) = P + 2 π ε , S ( M ε ) = S + P ε + π ε 2 . 3.3.1. (d) Ответ приведен после задачи 3. Перенесем пара ллельно к аждый сферический се ктор (являющийся частью ε -о крестности) т а к, чтобы вершина перешла в начало к оор динат . До кажите, что почти все лучи, вых одя- щие из на чала коор динат , пересек ают ровно один из перенесенных сферическ их секторов. Другое решение получаетс я, если построить на сфере точки, соотв етствующие (норма- лям к) граням мно гогранник а и дуги, соответствующие (норма лям к) ребрам многогр ан- ник а. 3.3.2. Используйте резу льт ат зада чи 1d. Заметим, что существу ет тетраэ др, со дер ж ащ ий тетраэдр б о льшего периметра. 3.3.4. (e) Найдите и используйте форму лу для площа ди повер хности тора радиу сов R и r . (На пример, использу я зада чу 2.4.3.b или 2.4.3.c.) 3.3.5. (a) Изменяетс я знак. Эвристическ ое рассужд ение: изменение нормали ‘равносильно’ перемене мест поверх - ностей Π ε и Π . Док а зательство получаетс я из форму лы зада чи 7c и аналогичной форму лы со знак ом ‘мину с’ для противополо жной нормали, ср. с зада чей 7a’. 3.3.6. Используйте аддитивность площа ди и (Π 1 ∪ Π 2 ) ε = Π 1 ,ε ∪ Π 2 ,ε , (Π 1 ∩ Π 2 ) ε = Π 1 ,ε ∩ Π 2 ,ε . 3.3.7. (a) r u ∧ r v ∧ n = ( r u × r v ) · n . (c) Используйте задач у 3,5.a . 3.4.2. Ввиду инвариантности и аддитивности полной средней кривизны, средняя кри- визна повер хности вращения в точке P равна lim x → 0 H (Π x ) S (Π x ) , г де Π x — повер хность, образо- ванная вращением x -окрестности точки P . Величины S (Π x ) и H (Π x ) можно вычислить, использу я зада чу 2.4.3.b или 2.4.3.c. 3.4.5 (a) Примените теорему о среднем. (b) Во зьмем r ( u , v ) := ( u, v , f ( u, v )) . Бу дем опу скать аргумент (0 , 0) ф ункций. Т ог да r u = (1 , 0 , f u ) и r v = (0 , 1 , f v ) . Т ак как | n ( u, v ) | = 1 , то n v ⊥ n = (0 , 0 , 1) . Значит , n v = ( n v, 1 , n v, 2 , 0) . Поэтому r u ∧ n v ∧ n = n v, 2 = n v · r v ∗ = − n · r vv = − f vv . Здесь ра в енство (*) получено дифференцированием равенства n ( u, v ) · r v ( u, v ) = 0 по v в точк е (0 , 0) . 42 (c) Обозначи м m := r u × r v . Т ог да n = m/ | m | . Значи т , n v = m v | m | − m | m | v | m | 2 . Поэтому r u ∧ n v ∧ n = r u ∧ m v ∧ m/ | m | 2 . Р аскрывая m v по форму ле Лейбница и учитывая, что a ∧ ( b × x ) ∧ ( a × y ) = ( a · b ) x ∧ a ∧ y , получаем иск омую форму лу . Или сна чала напишите уравнение к асательной плоск ости и нормали для повер хности r ( u, v ) . 3.4.6 И спользуйте первый абзац ук азания к 5с. Подс т ав ляйте конкретные значени я в те форму лы, которые уж е не нуж но бу дет дифференцировать. 3.5.1. (e) Р азбейте поверх ность на две части. Используйте 2a и 8b. 3.5.2. (a) Перейдите к пределу при ε → ∞ . (b) См. ук а зание к зада че 3.3.4.e. 3.5.3. (a) Не меняетс я. Доказательство аналогично зада че 3.3.5.a . 3.5.4. (a) Используйте зада чу 3.3.6 и ук азание к ней. 3.5.5. Используйте 8b. 3.5.8. (b) Аналогично задаче 3.3.7.c используйте задачу 3.3.3.a. Рис. 9: Г ау ссова кривизна т очек тора 3.6.2. Аналогично задаче 3.4.2 . (a) Ответ: см. рис. 9. 3.6.5. См. указ ание к 3.4. (c) Имеем K = n u ∧ n v ∧ n/ | m | = m u ∧ m v ∧ m/ | m | 4 . Нужны тожде ства ( a × x ) ∧ ( b × x ) ∧ ( c × x ) = 0 и ( a × x ) ∧ ( b × y ) ∧ ( x × y ) = ( a ∧ x ∧ y )( b ∧ x ∧ y ) . 3.6.6 См. указани е к 3.4 .6. 3.6.7. (d) Следу ет из (a) и зада чи 3 .2.7.e. 3.7.2. (d) Ввиду (c) достаточно доказать эту теорему для сферы. Это делаетс я при помощи аппрок симации сферическ ой области сферическими многоугольник ами. (e) Следу ет из (d). (e) Другое указ ание. Пу сть v P — семей ство единичных векторов на ∂ Π , параллельное вдоль ∂ Π , и a P и b P — произвольная ортонормирова нная пара в екторных полей на Π . Имеем (опуск а я аргумент P ) − sin ∠ ( v , a ) d ∠ ( v , a ) = d (cos ∠ ( v , a )) = d ( v · a ) = v · da + dv · a = v · d a = sin ∠ ( v , a ) b · da. 43 Т ог да σ (Π) = Z ∂ Π d ∠ ( v , a ) = − Z ∂ Π b · da = − Z ∂ D b · a u du + b · a v dv = Z Z D  ∂ ( b · a v ) ∂ u − ∂ ( b · a u ) ∂ v  dudv = = Z Z D ( b u · a v − b v · a u ) dudv = Z Z D n u ∧ n v ∧ n du dv = K (Π) . Здесь предпоследнее равенство справедливо, поск ольку   a b n   u =   0 ω 1 ω 2 − ω 1 0 ω 3 − ω 2 − ω 3 0     a b n   и   a b n   v =   0 ω ′ 1 ω ′ 2 − ω ′ 1 0 ω ′ 3 − ω ′ 2 − ω ′ 3 0     a b n   , отку да b u · a v − b v · a u = ω 2 ω ′ 3 − ω ′ 2 ω 3 = n u ∧ n v ∧ n . 44 4 Полилинейные кривизны повер хностей 4.1 Риманова метрик а. Применение к внутренним изометриям. Для повер хности Π и т о чки P ∈ Π обо значим через T P = T P , Π к асательную плоск ость к Π в точк е P . На по мним, что D — дек артово произведение интервалов (коне чных или беск онечных) на пр я мо й. Римановой метрик ой 7 (или первой квадратичной формой) на Π называетс я семей- ство билинейных форм g P : T P × T P → R ( P ∈ Π) , о пределенных форму лой g P ( a, b ) = a · b. 1. (a) Длина образа кривой γ : [ a, b ] → Π на пов ер хности Π равна R b a p g γ ( t ) ( γ ′ ( t ) , γ ′ ( t )) dt . (b) Косину с уг ла между параметризованными кривыми γ , β : [ − 1 , 1] → Π на повер хно- сти Π в точк е P = γ (0) = β (0) равен g P ( γ ′ , β ′ ) p g P ( γ ′ , γ ′ ) g P ( β ′ , β ′ ) . Здесь γ ′ := γ ′ (0) и β ′ := β ′ (0) . 2. Риманова метрик а симметрична и положител ьно определена. 3. (a) Т еорема. Матрица римановой метрики повер хности r ( D ) в точк е P = r ( u 1 , u 2 ) ∈ r ( D ) в ст андартном базисе ( r 1 , r 2 ) есть матрица скалярн ых произведений (т .е. мат рица Грама) этого ба зиса: g ij = r i · r j . (Здесь аргумент ( u 1 , u 2 ) функций r 1 , r 2 пропущен.) (b) Вычислите мат рицу римановой метрики поверхн ости r ( D ) в точк е r ( u, v ) в стан- дартном базисе для параметризованной повер хности r ( u, v ) = ( u, v , f ( u , v )) (через функ- цию f и ее частные производны е). (c) Т о ж е для параметризованной повер хности r ( u , v ) = ( x ( u, v ) , y ( u, v ) , z ( u, v )) (через функции x, y , z и их частные произво дные). (d) Т еорема. Для разных параметризаций r , e r : D → R 3 о дной непараметризованной повер хности и соот в етствующих матриц G, e G римановой метрики пов ер хности r ( D ) = e r ( D ) в точк е r ( u 0 , v 0 ) = e r ( e u 0 , e v 0 ) в базисах ( r u , r v ) и ( e r u , e r v ) выполнено e G = J T GJ , г де J = ( r − 1 ◦ e r ) ′ . Напомним, что внутренней из о метрией называетс я ото браж ение повер хностей, сох ра- няющее длины всех кривы х. 4. Т еорема. Следующие три у словия на отоб раж ение поверх ностей равносильны: (I) отображ ение являетс я внутренней изометрией. (R) отображ ение перево дит (точнее, его производная увлек ает) риманову метрику на второй в риманову метрику на первой. (D) отображени е со храняет рассто яния. 5. (a) Внутренняя изометрия ( т очнее, ее произво дная) со храняет длины кас ательных векторов. (b) Внутренняя изометрия сохраняет углы между кривыми. (c) Для поверх ности Π и точки P ∈ Π опред елим функцию f = f Π ,P : Π → R форму лой f ( X ) = | P , X | 2 , г де | P , X | — рассто яние по поверхн ости. Т огда f ′ ( P ) = 0 и второй дифференциал функции f совпадает с римановой метрикой. 7 Более точно, римановой метрикой, индуциров аноой из R 3 . 45 6. (a) Для параметризованной поверхн ости r : D → R 3 выразите r k · r ij через g ij := r i · r j и их производны е. (b) Внутренняя изометрия сохраняет символы Кристоффеля. (c) Т еорема. При внутренней изометрии повер хностей параметризованные геоде зиче- ские перех одят в параметризованные гео дезические . (Док ажите без использования задач и 2 .5.3.b.) (d) Т еорема. При внутренней изометрии повер хностей семейство векторов, парал- лельное вдоль нек оторой кривой, перех одит в семейство векторов, параллельное вдоль ее образа. (e) Т еорема Egregium Г а усса. Внутренняя изометрия сохраняе т га у ссову кривизну . Риманова метрик а на повер хности задается сопост авлением к аждой параметризации r : D → R 3 нек оторого ку ск а этой поверх ности семейства матриц G = g ij , в стандартном базисе (0 , 1 ) , (1 , 0) , билинейных форм g : R 2 × R 2 → R ( X ∈ D ) , определенных форму лой g ( a, b ) = r ′ ( X ) a · r ′ ( X ) b. (Эти билинейные формы обозначаютс я такж е g = r ′ ( X ) ∗ g и называютс я обр атными r - обр азами римановой метрики на r ( D ) .) Эти матрицы должны быть связаны на пересече- ниях ку ск ов, к ак в зада че 3d ниже. Заметим, что на всей повер хности (например, на сфере или листе Мебиу са) риманову метрику нельзя задать семейством матриц. 7. (a) Длина образа кривой γ = ( u 1 , u 2 ) : [ a, b ] → D на параметризованной поверх ности r : D → R 3 равна Z b a s X i,j g ij u ′ i · u ′ j dt = Z b a q g r ( γ ) ( γ ′ , γ ′ ) dt = Z b a q g r ( γ ) ( r ′ γ ′ , r ′ γ ′ ) dt. Здесь пропущены а ргументы t функций γ , u 1 , u 2 и аргумент ( u 1 ( t ) , u 2 ( t )) функций r ′ , g ij . (b) Т еорема. Матрица g ij в точк е ( u 1 , u 2 ) в стандартном базисе есть матрица ск аляр- ных произведений (т .е. матрица Грама ) базиса ( r 1 , r 2 ) : g ij = r i · r j . (c) det G = g 11 g 22 − g 2 12 > 0 в любой точке . (З десь и далее через det G обозна чаетс я определитель матрицы g ij (но не билинейной ф ормы g или e g = r ′ ( X ) ∗ g .) (d) Т еорема. Для разных параметризаций r , e r одной непараметризованной поверхн о- сти и соот ветствующих матриц G, e G выполнено e G = J T GJ , где J = ( r − 1 ◦ e r ) ′ . (e) Пу сть γ , β : [ − 1 , 1] → D — параметризованные кривые, причем γ (0) = β (0 ) = X . Обозна чим ( a 1 , a 2 ) := γ ′ (0) и ( b 1 , b 2 ) := β ′ (0) . Т о гда к о сину с уг ла между кривыми r ◦ γ и r ◦ β (на параметризованной повер хности r : D → R 3 ) в то чк е r ( X ) равен P i,j g ij a i b j q ( P i,j g ij a i a j )( P i,j g ij b i b j ) = g ( γ ′ , β ′ ) p g ( γ ′ , γ ′ ) g ( β ′ , β ′ ) = g r ( r ′ γ ′ , r ′ β ′ ) p g r ( r ′ γ ′ , r ′ γ ′ ) g r ( r ′ β ′ , r ′ β ′ ) . Здесь γ ′ и β ′ берутс я в точк е 0 , а r, r ′ , g ij в точк е X . (f ) | r u × r v | 2 = det G . (g) Площадь повер хности r ( D ) равна R R D p det G ( u,v ) dudv . 8. (a) Система к о ор динат эк споненциального отображ ения (§2.6 ) является евклидовой в точке P , т .е. g P ( u, v ) = u · v и g X ( u, v ) ′ X | X = P = 0 (или, в ортонормирова нном базисе в к асательной плоск ости, g ij ( P ) = δ ij и g ′ ij ( P ) = 0 ). 46 (b) Внутренняя изометрия со храняет эк споненциальное отображ ение: если f : Π → Π 1 — внутренняя изоме трия, то exp f ( P ) ( f ′ ( P ) u ) = f (exp P u ) . 9. (a) Существу ет предел, определяющий ск алярную кривизну (см. форму лу перед зада чей §3.1.6.a). (b) В системе к оор динат эк споненциального отображ ения τ = P i,k g ii,k k . (c) Найдите τ для повер хности r : D → R m . 4.2 Оператор Вейнг артена (вторая ква дратичная форма) Оператором Вейнг артена (или оператором формы) коориентированной пов ер хности Π ⊂ R 3 называетс я семейство операторов dn ( γ ( t )) dt γ ( t ) n ( γ ( t )) n ( P ) = n ( γ (0)) Рис. 10: Оператор Вейнг артена e q P : T P → T P ( P ∈ Π) , определенных форму лой e q P ( a ) := − ∂ n/∂ a = − ( n γ a ( t ) ) ′ t | t =0 . Здесь γ a : [ − 1 , 1] → Π — так ая кривая, что γ a (0) = P и γ ′ a (0) = a . (Эт а деривационная фор мула Вейнгартена записываетс я т акж е в виде n i = − q 1 i r 1 − q 2 i r 2 .) 1. (a) Приведенное определение к орректно, т .е. ∂ n/∂ a лежит в T P и не зависит от выбора кривой γ a . (b) Найдите оператор Вейнг артена сферы и цилиндра (т .е. для к аждой точки найдите его матрицу в выбранном Вами базисе). (c) Для заданной параметризации r : D → R 3 повер хности r ( D ) найдите матрицу оператора Вейнг артена в точк е r ( u, v ) в базисе r u ( u, v ) , r v ( u, v ) . Второй квадр атичной фор мой к оориентированной непараметризованной повер хности Π ⊂ R 3 называетс я семейство билинейных форм q P : T P × T P → R ( P ∈ Π) , о пределенных форму лой q P ( a, b ) := e q P ( a ) · b = − b · ∂ n/∂ a. (Формально, это семейство лучше было бы называть второй билинейной фор мой ). 2. (a) Вто рая квадратичная форма единичной сферы равна ее римановой метрик е. (b) Найдите вторую квадратичную форму цилинд ра. (c) Т еорема. Матрица второй квадратичной формы поверх ности z = f ( x, y ) , кас аю- щейс я плоск ости O xy в на чале к оо рдинат O = P , в ст а ндартном базисе являетс я гес сианом функции f . 47 (d) Для заданной параметризации r : D → R 3 повер хности r ( D ) найдите матрицу второй квадратичной фо рмы в точке r ( u, v ) в базисе r u ( u, v ) , r v ( u, v ) . 3. Р ассмотрим к оориентированную повер хность Π ⊂ R 3 . (a) П ро екция на нормаль n ( P ) в точке P = γ (0) у скоре ния γ ′′ (0) параметризованной кривой γ на пов ер хности равна вто рой квадратичной форме от вектора скорости этой кривой в точке P : n ( P ) · γ ′′ (0) = q P ( γ ′ (0) , γ ′ (0)) . (b) Определим отображение d ( ε ) : Π → R 3 форму лой d ( ε )( P ) = P + εn ( P ) . Т ог да 2 q P ( a, b ) = lim ε → 0 d ( ε ) ′ P ( a ) · d ( ε ) ′ P ( b ) − a · b ε . Вторая квадратичная фо рма на к оориентированной повер хности задаетс я сопост авле- нием к аждой параметризации r : D → R 3 нек оторого куск а это й поверх ности семейства матриц q ij , в стандартном базисе (0 , 1) , (1 , 0) , билинейных форм билинейных форм q : R 2 × R 2 → R ( X ∈ D ) , определе нных фо рму лой q ( a, b ) = q r ( X ) ( r ′ ( X ) a, r ′ ( X ) b ) . (Эти билинейные формы о б озна чаются т акж е q = r ′ ( X ) ∗ q и называютс я обр атными r - обр азами билинейной формы на r ( D ) .) Эти матрицы должны быть связаны на пере сече- ниях ку ск ов, к а к в зада че 4.1.3.d. 4. Вычислите мат рицу q ij в ст андартном базисе для (a) r ( u, v ) = (cos u cos v , cos u sin v , sin u ) ; (b) r ( u, v ) = ( a cos u cos v , a cos u sin v , c sin u ) ; (c) r ( u, v ) = (( 2 + cos u ) cos v , ( 2 + cos u ) sin v , sin u ) ; (d) r ( u, v ) = ( f ( u ) cos v , f ( u ) sin v , sin u ) . 5. Т еорема. Г лавные кривизны и направления в то чк е на повер хности являют ся соб- ственными числами и направлениями оператора Вейнг а ртена ( или пары первой и второй квадратичных форм g и q , т .е. корнями уравнения det( g − λq ) = 0 ) в этой точк е. Г лавными криви знами и главными напр авлениями многомерной повер хности в R m на- зываютс я собственные зна чения и собственные векторы ее опе ратора Вейнг а ртена (к ото- рый определяетс я аналогично). 6. Сформу лируйте и док ажите а налоги известных Вам теорем о г лав ных кривизнах и направлениях для трех мерных поверх ностей в R 4 . 7.* Пу сть q ij — матрица второй квадрат ичной формы в ст андартном базисе. (a) Деривационные форм улы Г аусс а. r ij = Γ 1 ij r 1 + Γ 2 ij r 2 + q ij n [Ra03 (528)]. (b) Т еорема Бонне. Две элемент арные непараме тризованные пов ерхн ости в R 3 объем- лемо изометри чны тог да и только тогд а, к ог да они имеют параметризации, индуцирующие о динаковые первые и вторые квадратичные формы (или о динак овые римановы метрики и операторы Вейнг артена) [Ra03, §81 ]. Ук азание. Примените теорему единственности для системы уравнений, сост авленных из деривационных ф орму л Г ау сса и Вейнг артена. Заметим, что реализуютс я не все пары форм, а то ль ко у довлетворяющие ур авнениям Г аусс а и Петерсона-Кодацци [Ra03, §82,§83]. 4.3 Билинейная форма Риччи Билинейная форма Риччи описывает иск а ж ение объема при экспоне нциальном ото браж е- нии. Билиней ной формой (тензором) Р иччи n -мерной повер хности Π ⊂ R m в точк е 48 P ∈ Π называетс я т а к ая симме тричная б илинейная форма ρ = ρ P : T P × T P → R , что V (exp( A )) = V ( A ) − 1 6 Z A ρ ( u, u ) du + O ( h n +3 ) при h = diam( A ∪ P ) → 0 по измеримым множ ествам A ⊂ T P . Или, эквивалентно, что для любого единичного n -мерного куба A ⊂ T P с вершиной в P выполнено V (exp( hA )) = h n − h n +2 6 Z A ρ ( u, u ) du + O ( h n +3 ) при h → 0 . Аналогичная форму ла справедлива с заменой куба A на любое измеримое множ ество A ⊂ T P и h n на h n V ( A ) ( h n +2 и h n +3 не меняютс я) . 1. (a) Т ак ая симметричная билинейная фо рма существу ет и единственна. (b) В системе к оор динат эк споненциального отображ ения ρ k l = P i g ii,k l . (c) Внутренняя изометрия сохраняе т билиней ную форму Ричч и. (d) Найдите компоне нты ρ ij для повер хности r : D → R m в базисе ( r u , r v ) . 2. Для симметричной билине йной формы ω : R n × R n → R (a) существу ет и единственен т ак ой оператор e ω : R n → R n , что e ω ( u ) · v = ω ( u , v ) для обычного ск алярного произведения в R n . (b) ( n + 2) R B n ω ( u , u ) du = V n tr e ω = V n P i ω ( e i , e i ) , г де B n — единичный шар в R n и V n — его n -мерный объем. (c) R A ω ( u , u ) du = 1 3 tr e ω + 1 4 P i 0 для a 6 = 0 . 4.1.3. (d) Ибо риманов а метрик а — б илинейная форма. 4.1.4. Ч а сть ‘ ( R ) ⇒ ( I ) ’ вытек ает из зада чи 1a. Часть ‘ ( I ) ⇒ ( R ) ’ вытекает из зада чи 5a и тожде ства поляризации 2 g ( x, y ) = g ( x + y , x + y ) − g ( x, x ) − g ( y , y ) . Часть ‘ ( I ) ⇒ ( D ) ’ вытек ает из определения расстояни я. Часть ‘ ( D ) ⇒ ( R ) ’ вытек а ет из задачи 5c. 4.1.5. (a ) Пу сть r : Π 1 → Π 2 — внутренняя изометрия, P ∈ Π и X ∈ T P Π . Во зьмем любую кривую γ : [0 , 1] → Π , для которой γ (0) = P и γ ′ (0) = ~ P X . Т о гда r ′ ( P ) ~ P X = 51 ( r ◦ γ ) ′ (0) . Т ак как r внутренняя изометрия, то L ( γ [0 , t ]) = L (( r ◦ γ )[0 , t ]) . Дифференциру я по t это равенство (по правилу дифференцирования интеграла из задачи 1 .1 .3 .b по вер хнему пределу) получаем | γ ′ (0) | = | ( r ◦ γ ) ′ (0) | . Т .е. P X = | r ′ ( P ) ~ P X | . (b) Следу ет из (a) и зада чи 1b. (c) Используйте задач у 2.6.2.a. 4.1.6. (a) Отв ет . Знак скалярног о произведения опу ск ается. 2 r i r ii = ( g ii ) ′ i , 2 r i r ij = ( g ii ) ′ j , 2 r i r j j = 2 ( g ij ) ′ j − ( g j j ) ′ i , г де i 6 = j. Другой способ: g ij = r i r j , зна чит 2 r k r ij = ( g k i ) ′ j + ( g k j ) ′ i − ( g ij ) ′ k . (b) Следу ет из (a) и теоремы 4. (с) Следу ет из (b) и теоремы 2.6.1.e. (d) Следу ет из (b) и теоремы 2 .7.6.c. (e) Следу ет из (d) и теоремы 3.7.2.e Г ау сса-Бонне. 4.1.8. (a) Обозначи м e := exp P : T P → Π . Т ог да g A ( u, v ) = e ′ A u · e ′ A v для A, u, v ∈ T P . (Или, в коор динат ах, g ij,A = e ′ A a i · e ′ A a j , где T P ото ждествлено с R n при помощи некоторого ортонормированного базиса a 1 , . . . , a n .) Т ак к ак e ′ ( P ) = id T P , то g P ( u, v ) = u · v . (Или, в к оор динат ах, g ij (0) = a i · a j = δ ij .) Т ак к ак γ u ( t ) := e ( P + ut ) — гео дезичес к ая, то e ′′ P ( u, u ) = γ ′′ u (0) ⊥ T P для любого u ∈ T P . Т ог да e ′′ P ( u, v ) ⊥ T P для любых u, v ∈ T P . Значит , для u, v , w ∈ T P имеем g P + w ( u, v ) ′ w = g P + w t ( u, v ) ′ t | t =0 = ( e ′ P + w t u · e ′ P + w t v ) ′ t | t =0 = e ′′ P ( w , u ) · e ′ P v + e ′ P u · e ′′ P ( w , v ) = 0 , поск ольку ( e ′ P + w t ) ′ t | t =0 u = e ′′ P ( w , u ) . Замечание. Т о ж е доказательство равенства g ′ ij = 0 мо жно изложить и к оор динатно. Кривая γ ( t ) := e ( at, bt, 0 , . . . , 0) яв ляетс я гео дезическ ой для любых a и b . Т ог да γ ′′ ( t ) · e k = ( a 2 e 11 + 2 abe 12 + b 2 e 22 ) · e k = 0 для любого k . (До гадайтесь сами, что так ое e k .) Отсю да e 11 · e k = e 12 · e k = e 22 · e k = 0 . Аналогично e ij · e k = 0 для любых i, j, k . Т ог да в этом базисе ( g ij ) ′ k = ( e i · e j ) ′ k = e ik · e j + e j k · e i = 0 . Замечание. Равенство g ′ ij ( P ) = 0 равносильно тому , что в ε -окрестности т очки P с точ- ностью до o ( ε ) параллельный перенос коммутир у ет с экс поненциальным отображен ием, или орто гональности оператора e ′ u . 4.1.9. (a) Возьмем ортонормированный базис v 1 , . . . , v n в T P . Поск ольку гео дезичес к ая система коор динат евклидова (8a ) , то g ij ( u ) = δ ij + o ( | u | ) . П оэтому q det g ij ( u ) = p 1 + o 1 ( | u | ) = 1 + o 2 ( | u | ) . Зна чит , V Π ,P ( R ) = Z B ( R ) q det g ij ( u ) du = V n R n + o ( R n +1 ) . Ввиду беск онечной дифференциру емости функции V Π ,P ( R ) получаем требу емое. (b) Аналогично, начи ная с равенства g ij ( u ) = δ ij + P k ,l g ij,k l u k u l + o ( | u | 2 ) . См. детали в решении задачи 4.3.1.b; используй те 4.3 .2.b. (c) Используйте (b). 4.2.3. (a) Доказано в зада че 3 .2.7.b. 4.3.1. Возьмем о рто нормированный б а зис v 1 , . . . , v n в T P . 52 (a) Аналогично зада че 4.1.9.a p det g ij ( u ) = 1+ o ( | u | ) . Т ак как V (exp( A )) = R A p det g ij ( u ) du , то ввиду беск онечной дифференциру емости функции V (exp( hA )) получаем т ребу емое. (b) Поск о льку гео дезическ ая система к оор динат евклидова ( 4 .1.8.a), т о g ij ( u ) = δ ij + R ij ( u, u ) + o ( | u | 2 ) , г де R ij — квадратичная форма по u ( т очнее, R ij ( u, u ) = P k ,l g ij,k l u k u l ). Поэтому q det g ij ( u ) = s 1 + 2 X i R ii ( u, u ) + o 1 ( | u | 2 ) = 1 + X i R ii ( u, u ) + o 2 ( | u | 2 ) . Т ак как V (exp ( A )) = R A p det g ij ( u ) du , то ф орму ла из о пределения билинейной формы Риччи бу дет верна, если поло жить ρ ( u, v ) := P i R ii ( u, v ) = P i,j,k g ii,k l u k v l . (c) Очевидно по о пределени ю. А такж е след у ет из (b). (d) Используйте (b). Замечание к (a). Использу ем ук азание к задаче 4.1.8.a . Поск ольку гео дезическ ая си- стема к оор динат евклидова, то по форму ле Т ейлора e ′ u v i = v i + e ′′′ u ( u, u, v i ) 2 + o ( | u | 2 ) , 2 R ij ( u, u ) = v j · e ′′′ u ( u, u, v i ) + v i · e ′′′ u ( u, u, v j ) и 2 ρ ( u, u ) = X i v i · e ′′′ u ( u, u, v i ) . Объясним смыс л выраж ения e ′′′ u ( u, u, v i ) . Обозна чим через [ L, L ′ ] векторное пространство линейных операторов из векторного пространства L в в екторное пространство L ′ (все векторные пространства рассматриваются на д R ). Т огда e ′ : T P → [ T P , T P ] ( e ′ не обя- зательно линейно). Значит , e ′′ u : T P → [ T P , T P ] — линейный оператор, или отображени е e ′′ u : T P × T P → T P , линейное по второму аргументу . Т ог да e ′′ : T P → [ T P , [ T P , T P ]] ( e ′′ не обязательно линейно). П о этому e ′′′ u : T P → [ T P , [ T P , T P ]] — линейный оператор, или отображ ение e ′′′ u : ( T P ) 3 → T P , линейное по второму и третьему а ргумент ам. 4.3.3. (a) Следу ет из 2b. (c) Следу ет из (a,b). 4.4.1. (a) По опред елению секционной кривизны (§3.7) и оператора σ ( A ) . (b) Следу ет из (a) и S (exp( hA u,v )) = (1 + o (1 ) ) S ( hA u,v ) = h 2 u ∧ v + o ( h 2 ) . (c) Р ассмотрите сферу в R 3 (или окружность в R 2 ). 4.4.3. (a) Возьмем ‘естес твенную’ кривую γ : [0 , 4 h ] → D , для которой γ (0) = γ (4 h ) = P и γ [0 , 4 h ] = exp P ( h∂ A u,v ) . Обозна чим через w ( t ) = P i a i ( t ) r i ( γ ( t )) резу ль тат переноса вектора w (0) вдоль отрезк а γ [0 , t ] . Да лее пропу скаем аргумент t функций w ( t ) , a ( t ) , γ ( t ) и их произво дных, а т акж е аргумент γ ( t ) отображ ений r i и dr i = r ′ i . Далее ш трих о бозна чает произво дную по t . Напомним, что r ′ i ( γ ( t )) : R n → T γ ( t ) — линейный о ператор. Для любого j имеем 0 = w ′ · r j = X i [ a ′ i r i · r j + a i ( r ′ i γ ′ ) · r j ] . Для фик сированной параметризации r это у равнение параллельного переноса мо жно пред- ст ав ит ь в в иде a ′ = F γ ( γ ′ ) a , г де F P ( x ) : R n → R n — линейный оператор. Т о гда w (1 ) = exp[ − R 4 h 0 F γ ( γ ′ ) dt ] w (0) . Имеем 4 h Z 0 F γ ( γ ′ ) dt = h Z 0 F vh − vt ( v ) d t + h Z 0 F uh + v h − ut ( u ) dt − h Z 0 F uh + v t ( v ) d t − h Z 0 F ut ( u ) dt. 53 Т еперь нужное утвер ждение получатс я путем взятия на ча льных членов р яда Т ейлора эк споненты оператора и оператора F P ( x ) . (b) σ ( hA u 1 + u 2 ,v ) = σ ( hA u 1 ,v ) σ ( hA u 2 ,v ) . (d) Используйте инвариантность параллельного пер еноса при внутренне й изометрии. 4.4.4. (a) Следу ет из ортогональности оператора σ ( A ) . (b) Имеем σ ( hA v,u ) σ ( hA u,v ) = E . Разлаг а я с т очностью до o ( h 2 ) , получаем требуе мое. (d) Следу ет из (ab c). 4.4.5. (a) Следу ет из евклидовости метрики. (d) Следу ет из (a,c). (e) Используйте (d). 4.4.7. (a) Используйте 7b. (b) Вытек ает из 1a. (c) Вытек ает из 7d. (d) Следу ет из 5cd и задачи 4.3.1.b. 4.4.8. Из 1a и 7d вытек ает ρ = σ g , т .е. e ρ = σ id . Отсюд а и из τ = tr e ρ (4.3.3.a) получаем τ = 2 σ и 2 ρ = τ g . Было бы интересно найти пр ямое доказательство (ср. с 4.3.1.b, 4.3.3.a). 54 5 Ковариантно е дифференцирование 5.1 Примеры тензорных полей Собир аются, стягиваются с р азных мест выз ываем ые предметы, приче м иным приходится преодо левать не т о лько даль, но и давность... В. Набоков, Коро лек. Векторным поле м на повер хности Π называетс я семейство к асательных векторов v P ∈ T P ( P ∈ Π ), непре рывное по P . 1. На сфере без северного и южн ого полюсов задано в екторное поле. При стереогра- фическ ой проекции из северного полюса (точнее, при ото браж ении, индуцированном этой проекцией) это поле перех о дит в постоянн ое векторное поле на плоск ости. Перех о дит ли это поле в посто янное векторное поле на плоск ости при стереографическ ой проекции из южного полю са? Опер аторным по ле м на повер хности Π называетс я семейство линейны х операторов A P : T P → T P ( P ∈ Π ), непре рывное по P . Ковекторным поле м на повер хности Π называетс я семейс тво к овекторов (=линейны х функционалов) ϕ P : T P → R ( P ∈ Π ), непрерывное по P . По ле м билинейных отобр ажений (=форм) на повер хности Π называетс я семейство билинейных отобра жений ω P : T P × T P → R ( P ∈ Π ), непрерывное по P . По ле м k -линейн ых отобр ажений (=фор м) на повер хности Π называетс я семейство k - линейных отображений ω P : ( T P ) k → R ( P ∈ Π ), непрерывное по P . Более точно, определенн ые выше векторные поля называютс я кас ательными вектор- ными полями. Аналогичное замечание справедливо для операторных и других рассмат- риваемых полей. 2. Существу ет ли на торе в R 3 поле (a) нену левых векторов? (b) нену левых к овекторов? (с) невыро жденных операторов? (d) полож ительно определенных симметричных билинейных форм (билинейная фо рма B : V × V → R называетс я полож ительно определенной , если B ( a, a ) > 0 для любого a ∈ V − { 0 } )? (e) невыро жденных к ососимметричных билинейных форм (билинейная форма B : V × V → R называетс я невырожденной , если для любого a ∈ V − { 0 } найдетс я так ой x ∈ V , что B ( a, x ) 6 = 0 ) ? (f )* операторов I P : T P → T P , для которых I 2 P = − E ? 3. (ab cdef ) Т о же, что и в зада че 2, но для листа Мебиу са. 4. (a)* Т еорема о еж е. На с фере S 2 не существует (кас ательного) вект орного по ля из ненулевых векторов. (b) Выведите из (a), что на сфере S 2 не существу ет ковекторного поля из нену левых к ов екторов . (def ) Т о же, что в задаче 2def, но для сферы S 2 . 5. (a b ef ) Т о ж е, что в 2ab ef, но для сферы S 3 = { ( x, y , z , w ) ∈ R 4 | x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1 } , плюс (g) невыро жденных трилинейн ых форм; (h) невыро жденных векторных произведений. 55 5.2 Ковариантное дифференцирование функций 0. Для функции f : R 2 → R напишите опреде ления частной произво дной, произво дной в направлении вектора ( a, b ) , градиент а и произво дной — в се в точк е ( x 0 , y 0 ) . Имеют ли эти определения смысл для функции f : S 2 → R ? Здесь и далее Π ⊂ R m — повер хность и f : Π → R — функц ия. Для P ∈ Π и u ∈ T P через γ u = γ u,P : [ − 1 , 1] → Π обозна чается произвольная кривая, для к оторой γ u (0) = P и γ ′ u (0) = u . Произво дной функции f : Π → R в точк е P ∈ Π по направлен ию к асательного вектора u ∈ T P (точнее, по касател ьному вектору u ∈ T P ) называется число ( ∇ u f ) P := [ f ( γ u ( t ))] ′ t | t =0 . 1. (a ) П риведенное определение произво дной к о рректно, т .е. не зависит от выбора кри- вой γ u . (Рек омендую сначала решить следующие пункты в предполо ж ении корректности.) (b) За дадим функцию f : S 2 → R форму лой f ( P ) = sin ∠ P O Z , где Z = (0 , 0 , 1) и O = (0 , 0 , 0) . Найдите произво дную этой функции в т очк е ( x, y , z ) = (1 / 2 , 0 , √ 3 / 2) по направлению касательного в ектора (0 , 1 , 0) . (c) ∇ u ( f 1 + f 2 ) = ∇ u f 1 + ∇ u f 2 . (d) ∇ u ( f g ) = ( ∇ u f ) g + f ∇ u g . (e) Пу сть r : D → Π — параметризация повер хности. Выразите ( ∇ u f ) P через к оо р ди- наты ( a, b ) в ектора u в базисе ( r x , r y ) . Произво дной ( =дифференци алом) функции f : Π → R называетс я семейство (=поле) ∇ f ковекторов (=линейных функционалов) { ( ∇ f ) P } P ∈ Π , заданных форму лой ( ∇ f ) P ( u ) := ( ∇ u f ) P . 2. (a) Отображ ение ( ∇ f ) P : T P → R действительно является лин ейным функционалом, т .е. ( ∇ f ) P ( λa + µb ) = λ ( ∇ f ) P ( a ) + µ ( ∇ f ) P ( b ) . (b) Найдите к оор динаты произво дной функции из задачи 1b в произвольной точк е P сферы и некотором базисе в T ∗ P (выберите и ук ажите б а зис сами). (c) ∇ ( f 1 + f 2 ) = ∇ f 1 + ∇ f 2 . (d) ∇ ( f g ) = ( ∇ f ) g + f ∇ g . (e) Пу сть r : D → Π — параметриз ация повер хности. Найдите к оординаты лине йного функционала ( ∇ f ) P в базисе ( r x , r y ) P . (f ) Пу сть ϕ : D → D — замена к оорди нат . Выразите базис ( ϕ ◦ r ) x , ( ϕ ◦ r ) y через произво дную отображ ения ϕ и базис r x , r y . (g) Как преобразуютс я к о ор динаты произво дной при замене к оор динат ϕ : D → D ? 3. (a) Существу ет единственный к асательный вектор гр адиента (grad f ) P в то чк е P , для к оторого ( ∇ u f ) P = u · (grad f ) P при любом u . (b) За пишите градиент функции в полярных к оо р динатах в R 2 , в сферических к оор- динат ах на сфере S 2 и в сферических к оор динатах в R 3 (соответственно для функций R 2 → R , S 2 → R и R 3 → R ). (c) Направление наибольшего рост а ф ункции в нек от орой точк е задаетс я в ектором ее градиент а в этой точке. (d) Линией уровня функции f : Π → R называетс я множ ество f − 1 ( c ) , г де c ∈ R . Градиент перпендику лярен линии уровня. (e) Как преобразуютс я к оор динаты градие нт а при замене коор динат? (f ) З апишите в произвольной системе коор динат форму лу для произво дной функции f в направлении вектора гради ент а функции g . 56 5.3 Коммут атор векторных полей Пу сть u и v — векторные поля на плоскос ти (или в R n , или на n -мерной поверх ности в R m ). При каких у словиях существу ет система к оор динат r : R 2 → R 2 (или r : R 2 → Π ), для к от о рой эти поля являютс я коор динатными ( т .е. u ( r ( X )) = r ′ X (1 , 0) и v ( r ( X )) = r ′ X (0 , 1) )? Р ешение этой просто фо рму лиру емой, но важной задачи приво дит к следующему понятию. Коммут атором векторных полей u и v на повер хности Π называетс я т ак ое векторное поле [ u, v ] , что ∇ u ∇ v f − ∇ v ∇ u f = ∇ [ u,v ] f для любой функци и f : Π → R . 1. (a) Т ак ое поле [ u, v ] существу ет и единственно. (b) Коммут атор обладает свойствами • [ u, v ] = − [ v , u ] , • [ λu, v ] = λ [ u , v ] и • [ u 1 + u 2 , v ] = [ u 1 , v ] + [ u 2 , v ] . (c) Векторное поле v в R n с дек артов ыми коор динат ами ( x 1 , . . . , x n ) называется линей- ным , если v i ( x 1 , . . . , x n ) = A i k x k , где A — нек ото рая постоянная матрица. Докажите, что к оммутатор линейных векторных полей ес ть снова линейное векторное поле, и выразите его матрицу через матрицы исх одных по лей. (d) Найдите выраж ение для коммут атора в произвольных к оординат ах. 2. Пу сть u 1 и u 2 — векторные поля на R n . (a) Обозна чим через • a 1 ( t ) интегральную кривую поля u 1 , для к оторой a 1 (0) = P , • a 2 ( t ) интегральную кривую поля u 2 , для к оторой a 2 (0) = P , • b 1 ,s ( t ) интегральную кривую поля u 1 , для которой b 1 ,s (0) = a 2 ( s ) , • b 2 ,t ( s ) интегральную кривую поля u 2 , для к оторой b 2 ,t (0) = a 1 ( t ) . Док а жите, чт о [ u 1 , u 2 ] = 0 тог да и только т ог да, к ог да b 1 ,s ( t ) = b 2 ,t ( s ) для любых P ∈ R n и достаточно малых t, s ∈ R . (b) Система к оординат r : R n → R n , для которой u 1 ( r ( X )) = r ′ X (1 , 0 , 0 , 0 , . . . , 0) , u 2 ( r ( X )) = r ′ X (0 , 1 , 0 , 0 . . . , 0) и т .д. существу ет т о г да и только тогда, ког да все эти век- торные поля u i линейно независимы в к аждой точк е и все их попарные к оммут ат о ры ну левые. 3. (a) Пу сть u, v — векторные поля на R m , к асающиеся поверх ности Π ⊂ R m . Т огда векторное поле [ u, v ] т о же к асаетс я поверх ности Π и его ограниче ние [ u, v ] | Π на Π совпадает с полем [ u | Π , v | Π ] , г де u | Π и v | Π — ограничения на Π полей u и v . (b) На единичной сфере S 3 = { ( x, y , z , w ) ∈ R 4 | x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1 } рассмотрим векторные поля u = ( − y , x, − w , z ) , v 1 = ( − w , − z , y , x ) и v 2 = ( − w , z , − y , x ) . Вычислите коммут аторы [ u, v 1 ] и [ u, v 2 ] . 4. (a) Любое ли нен у левое векторное поле на R m мо жно ’выпр ямить’, т . е. найти систему к оо рдинат , в к оторой компонен ты этого поля бу дут постоянны? (b) А ковекторное? 57 (с)* Пус ть A — операторное поле на R n . Каждой паре векторных полей u , v на R n сопост ав им векторное поле N ( u, v ) = A 2 [ u, v ] − A [ Au, v ] − A [ u, Av ] + [ Au , Av ] . Ясно, что о т ображ ение N : T P × T P → T P являетс я билинейным. Докажи те, что если существу ет система к оординат , в которой матрицы о ператоро в семейства A од инак овы, то N = 0 . 5. (a) Приведите пример двух коммутиру ющих векторных полей на S 3 , линейно неза- висимых во всех точк ах. (b)* Любые три попарно к оммутирующие векторные поля на трехмерной сфере S 3 линейно зависимы в некоторой точк е сферы S 3 . 5.4 Ковариантное дифференцирование векторных полей 0. Найдите к оор динаты (в выбранной Вами системе к оор динат) векторного поля на еди- ничной сфере без северного полюса, к о торое при стереографическ ой проек ции из северного полюса (т о чнее, при отображе нии, индуцированном этой проекцией) перех одит в посто- янное векторное поле (0 , 1) на плоск ости z = 1 . Обозна чим через pr T P ортогональную проекцию на к асательную плоскость T P . Ковариантной производ ной векторного поля v на поверхн ости Π в точк е P ∈ Π по направлению к асательного вектора u ∈ T P называетс я вектор ( ∇ u v ) P := pr T P ( v γ u ( t ) ) ′ t | t =0 . 1. (b) Найдите к овариантную произво дную векторного поля v ( r , ϕ ) = (cos ϕ, − (sin ϕ ) /r ) на плоск ости в точк е (0 , 2 ) в направлении вектора (1 , 1) . (a,c,d1,d2,e1,e2,g) Сформу лируйте и докажите аналоги задач 5.2.1.a,c,d,e,g для вектор- ных полей. У зада чи 1d два аналог а: ∇ u ( f v ) = ( ∇ u f ) v + f ∇ u v и ∇ u ( v 1 · v 2 ) = ( ∇ u v 1 ) · v 2 + v 1 · ∇ u v 2 . Форму лу , аналогичную 1e, найдите (e1) при у словии g ij = δ ij в данной точке. (e2) для общ его случая. (f ) Даны линейно независимые вектора u, v и x в R 3 . Выразите через их попарные ска- лярные произведения коэффицие нты разло ж ения по базису u , v ортогональной проекции вектора x на плоскос ть, соде р жащую вектора u и v . 2. (a) К рива я на повер хности являетс я гео дезичес к ой тогда и т ольк о тог да, к огда равна ну лю к овариантная произво дная вектора ее скорости вдоль нее. (b) Семейство векторов являетс я параллел ьным вдоль кривой на по в ер хности то гда и тольк о т о г да, к огда ковариантная производная этого семейства вдоль этой кривой рав на ну лю. (c) [ u, v ] = ∇ u v − ∇ v u . 3. (a) Если риманова метрик а лок ально евклидова (см. определение в зада че 4.1.8.a), то ∇ u ∇ v w − ∇ v ∇ u w = ∇ [ u,v ] w . (b)* R ( u, v ) w = ∇ v ∇ u w − ∇ u ∇ v w + ∇ [ u,v ] w (см. определение тензора Римана в §4.4). 58 (с) Для повер хности r : D → Π найдите компоненты R i j kl тензора Римана в базисе ( r x , r y ) . Ковариантной произво дной векторного поля v на поверхн ости Π называетс я семейство линейных операторов ( ∇ v ) P : T P → T P , заданных форму лой ( ∇ v ) P ( u ) := ∇ u v . 4. (b) Найдите к овариантную произво дную векторного поля v ( r , ϕ ) = (cos ϕ, − (sin ϕ ) /r ) на плоск ости. (a,c,d1,d2,e1,e2,g) Сформу лируйте и докажите аналоги задач 5.2.2.a,c,d,e,g для вектор- ных полей. 5.5 Ковариантное дифференцирование тензорных полей Пу сть γ : [ a, b ] → Π — параметризованная кривая на повер хности Π . О ператорное поле A ( t ) : T γ ( t ) → T γ ( t ) называетс я параллельным вдоль данной кривой (в смысле Леви- Чивит а), если для любого векторного поля v ( t ) ∈ T γ ( t ) , параллельного вдоль кривой γ , векторное поле A ( v ( t )) параллельно вдоль кривой γ . 0. (a) Придумайте пример к а сательного операторного поля, параллельного вдоль лю- бой кривой. (b) Для любых точки P ориентированной единичн ой сферы в R 3 и к асательного век- тора v в этой точке обозна чим через R π / 2 P ( v ) вектор, полученный из v поворотом в к а са- тельной плоскости на π / 2 в поло жительном направлении. Т ог да операторное поле R π / 2 P параллельно вдоль любой кривой на сфере. (с) Сформу лируйте и док ажите аналоги теорем из §2.7 для операторных полей. Пу сть u, v ∈ T P — касательны е векторы. Здесь и далее v u ( t ) ∈ T γ u ( t ) — к асательное векторное поле, параллельное вдоль кривой γ u , для к оторого v u (0) = v . Ковариантной произво дной операторного поля A на поверхности Π в точк е P ∈ Π по направлению u ∈ T P называетс я оператор, сопоставляющий вектору v вектор ( ∇ u A ) P ( v ) := pr T P [ A γ u ( t ) ( v u ( t )) ′ t | t =0 ] . Ковариантной произво дной операторного поля A на пов ер хности Π называетс я семей- ство билинейных от о браж ений ( ∇ A ) P : T P × T P → T P , заданных фо рму лой ( ∇ A ) P ( u, v ) := ( ∇ u A )( v ) . 1. (b) Для любых точки P = ( x, y , z ) ориентированной единичной сферы в R 3 и каса- тельного вектора v в это й точке обозна чим через A P ( v ) вектор, полученный из xv пово ро- том в к асательной плоск ости на π / 2 в поло жительном направлении. Найдите ковариант- ную производну ю операторного поля A на сфере в точк е (1 , 0 , 0) по направ лению вектора (0 , 1 , 0) . (a,c,d1,d2,e1,e2,g) Сформу лируйте и док ажите аналоги задач 5.4.1.a,c,d1,d2,e1,e2,g для операторных полей. (f ) Фор мула Лейбница. Если v — векторное поле (не обязательно параллельное вдоль кривой γ u ), то ( ∇ u A ) P ( v P ) = [ ∇ u ( A ( v ))] P − A P ([ ∇ u v ] P ) . Напомним, что [ ∇ u ( A ( v ))] P = pr T P [ A γ u ( t ) ( v γ u ( t ) ) ′ t | t =0 ] . 59 2. (a,c,d1,d2,e1,e2,g) Сформу лируйте и док а жите аналоги задач 5.4.4.a,c,d1,d2,e1,e2,g для операторных полей . В e1,e2 обязательно ук ажите б а зис! 3. (a) Дайте о пределени е параллельности к овекторного поля вдоль кривой на поверх - ности. (b) Сформу лируйте и док ажите аналоги теорем из §2.7 для ковекторных полей. Ковариантной произво дной к овекторного поля ϕ на повер хности Π называетс я поле ( ∇ ϕ ) P : T P × T P → R ( P ∈ Π ) билинейных отображен ий, заданных форму лой ( ∇ ϕ ) P ( u, v ) = ( ∇ u ϕ ) P ( v ) := ϕ γ u ( t ) ( v u ( t )) ′ t | t =0 . 4. (b) Найдите матрицу (с ук а занием базиса) к овариантной произво дной к овекторно- го поля, являющегося производн ой ф ункции f ( x, y , z ) = x на сфере x 2 + y 2 + z 2 = 1 в произвольной точке сферы. (a,c,d1,d2,e1,e2,g) Сформу лируйте и док ажите аналоги задач 2a,c,d1,d2,e1,e2,g для к о- векторных полей. 5. Фор мула Лейбница. Если v ( t ) ∈ T γ ( t ) — произвольное векторное поле (не о б я зат ельно параллельное вдоль кривой γ u ), для к оторого v (0) = v , то ( ∇ u ϕ )( v ) = ϕ γ u ( t ) ( v ( t )) ′ t | t =0 − ϕ P (pr T P v ′ (0)) . 6. (a) Дайте опреде ление параллельности поля билинейны х форм вдоль кривой на повер хности. (b) Сформу лируйте и док ажите аналоги теорем из §2.7 для полей билине йных фо рм. Ковариантной произво дной поля ω билинейных отображ ений на повер хности Π называетс я семейство трилинейных отображ ений ( ∇ ω ) P : T P × T P × T P → R ( P ∈ Π ), заданных форму лой ( ∇ ω ) P ( u, v , w ) = ( ∇ u ω ) P ( v , w ) := ω γ u ( t ) ( v u ( t ) , w u ( t )) ′ t | t =0 . 7. (b) Найдите как ой-нибу дь р яд (из т рех элементов) трехмерной матрицы (с ук азанием базиса) к ов ариантной произво дной билинейной формы x 1 x 2 dx 3 ∧ dx 4 на сфере x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 = 1 в точке (0 , 0 , 0 , 1 ) сферы. По определению, эта билинейная форма сопоставляет паре к асательных векторов ( a, b ) в точк е ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) сферы число x 1 x 2 ( a 3 b 4 − a 4 b 3 ) . (a,c,d1,d2,e1,e2,g) Сформу лируйте и док ажите аналоги зада чи 2a,c,d1,d2,e1,e2,g для полей билинейных от о браж ений. (h) На йдите зна чение формы ϕdϕ ∧ d θ на паре касательны х векторов ( a, b, c ) и ( a ′ , b ′ , c ′ ) в точке ( 0 , 1 √ 2 , 1 √ 2 ) единичной сферы в R 3 . Симметризацией поля ψ P : T P × T P → R б илинейных отоб раж ений называетс я поле би- линейных отображен ий (Alt ψ ) P : T P × T P → R , определенных форму лой 2(Alt ψ ) P ( u, v ) := ψ P ( u, v ) − ψ P ( v , u ) . 8. (a) Система дифференциальных уравнений ∂ f /∂ x i = ϕ i ( x 1 , . . . , x n ) , i = 1 , 2 , . . . , n , разрешима тогда и тольк о тог да, к ог да Alt( ∇ ϕ ) = 0 (где ϕ рассматривается к ак к овектор- ное поле). (b) Выведите форму лу для Alt( ∇ ϕ ) в произвольных к оординат ах. (c) Alt( ∇ ϕ ) = ∇ u ( ϕ ( v ) ) − ∇ v ( ϕ ( u )) − ϕ ([ u, v ]) . 60 Диф ференциало м по ля ω дифферен циальных k -форм (=к о сосимметричны х k - линейных отображ ений) называетс я поле dω дифференциальных ( k + 1) -форм, опреде ленных фор- му лой ( dω ) P ( u 0 , . . . , u k ) := Σ σ ∈ S k +1 ( − 1) sg nσ ( ∇ ω ) P ( u σ (0) , . . . , u σ ( k ) ) . 9. (a) d ϕ = Alt ( ∇ ϕ ) для ковекторного поля ϕ . (b) Выведите форму лу для dω в произвольных к оорди нат а х. 5.6 Общее понятие тензора Т ензором типа ( p, q ) на линейном пространстве V (над R ) называетс я полилинейное отображ ение V p × ( V ∗ ) q → R . 1. Найдите размерность линейного пространства всех к ососимметрических тензоров на n -мерном линейном пространстве. Т ензор называетс я кососимметрическим , если к ак при перест ановке любых двух аргументов из V p , т а к и при перест ановк е любых двух аргументов из ( V ∗ ) q , его значен ие меняет знак. 2. (a) Линейное пространство всех линейных отоб ра жений V p → V q к анонически (т .е. независимо о т выбора базиса) изоморфно линейному пространству тензоров т ипа ( p, q ) на V , г де V 0 := R . Каноничность изоморфизма озна чает независимость от выбора базиса. Из к анонич- ности следу ет наличие изоморфизма не тольк о для од ного V , а даж е для семейства — например, для се мейства к асательных пространств к повер хности в R m . (b) Смешанное произведение в R 3 являетс я тензором типа (3 , 0) . Векторное произведе- ние в R 3 перех о дит в тензор типа (2 , 1) при изоморфизме из (a). Последний тензор такж е называют векторным произведением. (c) О пер ация опу скания и поднимания индексов. Для любого линейного по дпростран- ства V ⊂ R m линейное пространство всех тензоров типа ( p, q ) на V канонич ески изоморфно линейному пространству всех тензоров типа ( p − 1 , q + 1) на V . (d) Смешанное произведение перех о дит в векторное при изоморфизме из (c) (т .е. эти тензоры связаны операцией опу ск а ния и по днимания индек сов ). (e) Обозначим через T n m линейное пространство всех тензоров т ипа ( m, n ) . Линейное пространство всех линейных отоб раж ений T n m → T q p к анонически изоморфно линейному пространству T y x для нек оторых x, y . Базисом в V ∗ , двойственным к базису e 1 , . . . , e n в V , на зывается набор к овекторов f 1 , . . . , f n , определенны х форму лами f i ( e j ) = δ ij . 3. Это действительно ба зис в V ∗ . Компонент ами тензора T : V p × ( V ∗ ) q → R в базисе e 1 , . . . , e n в V называетс я массив чисел T j 1 ,...,j q i 1 ,...,i p ( e 1 , . . . , e n ) := T ( e i 1 , . . . , e i p , f j 1 , . . . , f j q ) , г де f 1 , . . . , f n — базис в V ∗ , двойственный к базису e 1 , . . . , e n в V . 4. (a) Выпишите к омпоненты смешанного и векторного произведений в стандартном базисе в R 3 . (b) Для любого набора к омпонент существу ет и единственен соответствующий тензор. 61 5. Об озна чим через e 1 , . . . , e n базис в линейном пространстве V и через f 1 , . . . , f n двой- ственный базис в V ∗ . Для базиса e 1 , . . . , e n в V тензор T : V p × ( V ∗ ) q → R обо значаетс я X i 1 ,...,i p ,j 1 ,...,j q T ( e i 1 , . . . , e i p , f j 1 , . . . , f j q ) f i 1 ⊗ · · · ⊗ f i p ⊗ e j 1 ⊗ · · · ⊗ e j q . (a) Найдите зна чение тензора f 1 ⊗ e 2 + f 2 ⊗ ( e 1 + 3 e 3 ) на паре e 1 + 5 e 2 + 4 e 3 , f 1 + f 2 + f 3 . (b) На йдите к омпоненты тензора f 1 ⊗ f 2 ⊗ e 1 + f 1 ⊗ f 2 ⊗ e 2 в базисе ( e e 1 , e e 2 ) := ( e 1 , e 2 )  1 1 2 3  . (c) Как меняютс я компоне нты тензора типа ( p, q ) при замене базиса с матрицей A ? 6. Пу сть f : Π → R — гладк ая функция на повер хности в R 3 , P ∈ Π и f ′ ( P ) = 0 . До кажите, что вторые частные производны е ( ∂ 2 f /∂ x i ∂ x j ) | P являютс я к о мпонент ами нек оторого тензора ранг а 2 и определить тип этого тензора. 7. Дайте определение параллельности вдоль кривой на поверх ности и к о вариантной произво дной поля (a) k -линейных о тображ ений. (b) тензоров типа ( p , q ) . 8.* ∇ m R i j kl + ∇ k R i j lm + ∇ l R i j mk = 0 (см. определени е тензора Римана в §4.4). 9. (a,c,d1,d2,e1,e2,g) Сформу лируйте и док а жите аналоги задач 5.4.2.a,c,d1,d2,e1,e2,g для тензоров типа ( p, q ) . См. подробнее http://ru.wiki p edia.org/wiki/Т ензор (24 . 1 1.2013 там опечатка) и h ttp://en.wikip edia.org/wiki/T ensor (24.11.20 13 т ам о печатк а исправлена). Ук азания и реше ния к нек оторым зада чам Ответ к 5.1.2a, 3a и 5a. Д а . Ук азание к пункт ам ( b) всех зада ч из §5.1. Если { v P } векторное поле, то к овек- торное поле можно определить форму лой ϕ P ( u ) := u · v P . Ук азание к пункт ам (c ) всех зада ч из §5.1. Да, A P ( v ) := v . Ук азание к пункт ам (d) всех зада ч из §5.1. Д а, B P ( u, v ) := u · v . 5.1.2e,4e. Да. Возьмите ориен тированную площ а дь. 5.1.2f,4f. Да. Возьмите пово ро т к асательной плоск ости на π / 2 для выбранной ориен- т а ции тора или сферы. Ответ к 5.1.3ef,5e. Нет . 5.1.2,5. Постройте два или т ри векторных поля, линейно независимых в кажд ой точке . Т ог да ну жные объекты достаточно построить в одн ой точке. 5.2.1. Обозна чим γ u ( t ) = r ( a ( t ) , b ( t )) , a = a ′ (0) , b = b ′ (0) . Т огд а ( ∇ u f ) P = [ f ( r ( a ( t ) , b ( t )))] ′ t | t =0 . (e) Ответ: если u = ar x + br y , то ( ∇ u f ) P = a ( f ◦ r ) x | r − 1 ( P ) + b ( f ◦ r ) y | r − 1 ( P ) . 5.2.2. (e) Ответ: ( ∇ f ) P = ( ( f ◦ r ) x | r − 1 ( P ) , ( f ◦ r ) y | r − 1 ( P ) ) . (g) От производной требуе тс я только то, что она являетс я ковектором. Используйте предыдущий пункт . 5.3.5.b. Ина че S 3 ∼ = S 1 × S 1 × S 1 . 62 5.4.1. (e1) Пу сть v r ( x,y ) = p ( x, y ) r x ( x, y ) + q ( x, y ) r y ( x, y ) — векторное поле на повер хности r ( x, y ) и γ u ( t ) = r ( a ( t ) , b ( t )) . Т о г да u = r x a ′ (0) + r y b ′ (0) и ∇ u v = r x  [ v r ( a ( t ) ,b ( t )) ] ′ t | t =0 · r x  + r y  [ v r ( a ( t ) ,b ( t )) ] ′ t | t =0 · r y  . (e2) Аналогично (e1) использу я (f ). Или используйте (e1) и (g). (g) От произво дной требуе тс я только т о, что она являетс я операто ром. Используй те за- к он изменения базиса в к а сат ельном пространстве при замене переменных на поверх ности (т .е. зада чу 5 .2.2.f ). 5.4.3.c. Используйте (b). Общее ук азание к 5.5. Аналогично резу льт атам о к овариантном дифференцирова- нии функций и векторных полей. 5.5.4e1,4e2,7e1,7e2. Используйте уравнение параллельного переноса векторных по- лей. 63 6 Обобщение на римановы многообра зия 6.1 Элементы гиперболическ ой ге ометрии Лоба чевск ого Назовем плоскостью Лоб ачевского полов инку z ≥ 0 двуполостного гипе рболоида z 2 = x 2 + y 2 + 1 . На зовем прямыми Лоб ачевского сечени я этой половинки пл оск остями, прох одящими через на чало коор динат . 1. (a) Через т очку плоск ости Лобачевск ого, не лежащую на данной пр ямой Лоб а чев- ск ого, прох одит бо лее одной пр ямой Ло ба чевск ого, не пересек ающей данной пр ямой Ло- ба чевск ого. (b) Через любые две точки плоск ости Лобачевск ого про х одит ровно о дна прямая Ло- ба чевск ого. (c) Для любой кривой ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t )) на плоскости Лоба чевск ого x t ( t ) 2 + y t ( t ) 2 − z t ( t ) 2 > 0 . Длиной Лоб ачевского кривой ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t )) , t ∈ [ a, b ] , на плоскос ти Лобачевск о го на- зываетс я число R b a p x t ( t ) 2 + y t ( t ) 2 − z t ( t ) 2 dt . (Или, выраж аясь на учно, назовем римановой метрикой Лоб ачевского суж ение псевдоримановой метрики ds 2 = d x 2 + d y 2 − dz 2 в R 3 на плоск ость Лобач евск ого.) Далее риманова метрик а g ij записывается в виде d s 2 = g ij dx i dx j . 2. (a) Плоск ость Лоба чевск ого изометрична вер хней полуплоск ости с римановой мет- рик ой Лобач евск ого ds 2 = − 4 dw d ¯ w ( w − ¯ w ) 2 (мо дель Пу анк а ре в вер хней полуплоск ости). Далее плоскостью Лоб ачевского называетс я верх няя полуплоск ость с римановой метрикой Ло- ба чевск ого. (b) Плоск о сть Лобачевск ого инвариантна от носительно преобразований p ( w ) = w + a и q ( w ) = − 1 /w . (c) c h | z 1 , z 2 | = 1 + | z 1 − z 2 | 2 2 Im z 1 Im z 2 . Ук азание: точки z 1 и z 2 перево дятся изометрией в то чки с о динак овыми абсциссами. (c) Выведите теорему Пиф агор а для плоскости Л о ба чевск ого: ch c = c h a ch b Ук азание: мо жно считать C = i , A = k i и B = cos ϕ + i sin ϕ . (d) Окружность Лоб а чевского я в ляетс я евклидовой окружн остью. (e)* Найдите длину окруж ности Лобачевск о го радиу са R . Ук азание: движ ением плоск ости Ло б а чевского центр окружности можно перевести в центр моде ли Пуанк аре в круге, затем найти связь евклидова р адиу са и радиу са Лобачев- ск ого... (f )* Сфера, плоскость и плоск о сть Лобачевск ого попарно локально не изометричны. (g)* Любая внутренняя изометрия метрики Лобачевс к ого, со храняющая ориент ацию, являетс я дробно-линейным преобразованием f ( z ) = az + b cz + d с определителем ad − bc = 1 (и вещественными a, b, c, d ). 6.2 Г еометрия на римановых многообра зиях Римановым многообразием (лок а льным) называетс я пара ( M , g ) из от крытого мно ж е- ства в R n и поля невыро жденных симметричных билинейны х форм g на нем. Это поле называетс я римановой метрикой. 64 При этом изометрическ ого вло ж ения M ⊂ R m не задано! Длины кривых и площади определяютс я через риманову метрику форму лами, полу- ченными ранее. Кас ател ьным простр анством T P в точке P ∈ M называется пространство R n . Скалярная кривизна, геодезические, экспоненциальное отобр ажение, тензор Риччи, ковариантное диф ференцирование функций, кас ательные век торные и тензорные поля на ( M , g ) определяютс я дословно т ак ж е, как для повер хностей в R m . 1. Вычислите скалярну ю кривизну в то чк ах (a) плоскости Ло ба чевск ого, т .е. вер хней полуплоск ости с риманов о й метрик ой ds 2 = − 4 dw d ¯ w ( w − ¯ w ) 2 . (b) плоск ости с римановой метрик ой ds 2 = λ ( x, y )( dx 2 + dy 2 ) . (c)* пространства R n с римановой метрик ой d s 2 = dx 2 1 + · · · + dx 2 n (1 + x 2 1 + · · · + x 2 n ) 2 . (d)* произвольного риманова многоо б разия. 2. (a)* Уравнение ге о дезическ ой x ′′ k + X i,j Γ k ij x ′ i x ′ j = 0 , гд е 2Γ k ij = X l g k l ([ g lj ] x i + [ g li ] x j − [ g ij ] x l ) . (b) Через кажду ю то чку в каждом направлении про хо дит ровно одна гео дезическ ая. 3. Найдите гео дезичес кие на вер хней полуплоск ости с римановой метрик ой (a) ds 2 = y ( dx 2 + dy 2 ) ; (b) ds 2 = − 4 dw d ¯ w ( w − ¯ w ) 2 ; (c) ds 2 = dx 2 + dy 2 x 2 + y 2 . 4.* Найдите все функции λ ( x, y , z ) , для которых все кривые { y = c 1 , z = c 2 } являютс я гео дезическими римановой метрики e λ ( x,y ,z ) ( dx 2 + dy 2 + dz 2 ) на R 3 . 5. Сформу лируйте и док ажите аналоги всех определений и теорем из §4.3. Касательное к M векторное поле v на кривой exp P ◦ γ : [0 , 1] → T P → M называется параллел ьным вдоль кривой exp P ◦ γ , если его прооб раз [exp ′ P ( γ ( t ))] − 1 v exp P ( γ ( t )) при произво дной эк споненциального отображ ения параллелен. 6. (a) Это о пределен ие совпадает с прежни м для по в ер хностей в R m . (b) Выпишите явно и решите уравнение параллельного переноса вдоль горизонт альной евклидовой пр ямой для плоскости Лоба чевск ого. (c) Т о ж е вдоль данной евклидовой окруж ности. Определение пар алле льного перенос а, секционной кривизн ы, тензор а Римана и кова- риантной производной поля k -линей ных фор м на ( M , g ) по в тор я ет приве денное выше. 7.* (a) Для двумерного риманова многообразия τ = 2 σ , т .е. угол поворот а к асательного вектора при параллельном переносе вдоль замкнутой кривой (ориентированной сог ласо- ванно с ориентаци ей многообра зия) и о граничивающей область A равен 1 2 R A τ d S . (b) Сформу лируйте и док ажите аналоги всех определений и теорем из §4.4. Ковариантной произво дной векторного поля v на M в точк е P ∈ M по на- правлению вектора u ∈ T P называетс я вектор ∇ u v := ( [exp ′ P ( ut )] − 1 v exp P ( ut ) ) ′ t | t =0 , т .е. произво дная (в точк е 0 ∈ R n по направлению вектора u ) прообраза векторного поля v при произво дной эк споненциального отображ ения. 8.* (a) Это о пределен ие совпадает с прежни м для по в ер хностей в R m . 65 (b) Напишите определ ение ковариантной произво дной векторного поля на римановом многообразии. (c) Матрица к ова риантной производн ой векторного поля v в точке P в системе к оор- динат эк споненциального отображени я есть ( ∂ v i ∂ x j ) . (d) Найдите эту мат рицу (с ук азанием базиса) для плоск ости Ло ба чевск ого. (e) Найдите эту матрицу в произвольных к оо рдинат ах. (f ) Докажи те эквивалентность приведенного определения определению к овариантного дифференцирования векторов из [Gr90, 2.2]. (g) Р азности Γ k ij − ˜ Γ k ij символов Кристоффеля двух римановых метрик g ij и ˜ g ij на о дном и том же M образуют тензор т ипа (1 , 2) . (h) Любой тензор типа (1 , 2 ) мо ж ет быть предст авлен таким образом. 9.* Сформу лируйте и док ажите аналоги всех определений и теорем из §5. 10.* Пу сть M — поверх ность в R m . Кривые γ 1 , γ 2 : [ − 1 , 1] → M с у словием γ 1 (0) = γ 2 (0) = P называютс я эквивалентны ми в точке P ∈ M , если для любого ε > 0 существу ет т ак ое δ > 0 , что при | t | < δ точки γ 1 ( t ) и γ 2 ( t ) можно соединить дугой (на повер хности) длины меньше εt . Кас ательным векторо м к M в точке P ∈ M называетс я класс эквивалентности таких кривых. Через T P обозна чим пространство всех касательных векторов к M в точк е P ∈ M . (a) Существу ет взаимно одн озна чное соответствие между T P M и R n . (b) Определите на этом пространстве операции сло ж ения и умно ж ения на число т ак, чтобы получилось векторное пространство (над R ). (c) Постройте аналог понятия риманова многообразия для пов ер хности M в R m . 11.* Определения аф финной связности и заданного ей ковариантного диф ференциро- вания см. , например, в [Ra0 4 , MF04]. (a) На плоск ости с к оординат ами u , v найдите афф инную связнос ть, относительно к о- торой векторны е поля ξ = ( e u , 1) и η = (0 , e v ) к овариантно посто янны (т .е. их к овариантная произво дная равна ну лю). (b) Найдите ( тензор кручения ) Γ k ij − Γ k j i для этой связности. (c) Существу ет ли риманова метрик а, порождающая эту аффинную свя зность? Указание к 2a. Док азываетс я при помощи вариационного исчисления. Ответ к 8e. ( ∂ v i ∂ x j + P k Γ i k j v k ) . Указание к 10b. Док ажите, что для любых двух т аких кривых γ 1 и γ 2 существу ет (единственная с точностью до эквивалентности) т акая кривая γ , что ∇ γ f = ∇ γ 1 f + ∇ γ 2 f для любой ф ункции f . Класс эквивалентности кривой γ называетс я суммой классов эк- вивалентности кривых γ 1 и γ 2 . 66