Estimation of the thermal properties of an historic building wall by combining Modal Identification Method and Optimal Experiment Design

📝 Abstract

The estimation of wall thermal properties by \emph{in situ} measurement enables to increase the reliability of the model predictions for building energy efficiency. Nevertheless, retrieving the unknown parameters has an important computational cost. Indeed, several computations of the heat transfer problem are required to identify these thermal properties. To handle this drawback, an innovative approach is investigated. The first step is to search the optimal experiment design among the sequence of observation of several months. A reduced sequence of observations of three days is identified which guarantees to estimate the parameter with the maximum accuracy. Moreover, the inverse problem is only solved for this short sequence. To decrease further the computational efforts, a reduced order model based on the modal identification method is employed. This \emph{a posteriori} model reduction method approximates the solution with a lower degree of freedom. The whole methodology is illustrated to estimate the thermal diffusivity of an historical building that has been monitored with temperature sensors for several months. The computational efforts is cut by five. The estimated parameter improves the reliability of the predictions of the wall thermal efficiency.

💡 Analysis

The estimation of wall thermal properties by \emph{in situ} measurement enables to increase the reliability of the model predictions for building energy efficiency. Nevertheless, retrieving the unknown parameters has an important computational cost. Indeed, several computations of the heat transfer problem are required to identify these thermal properties. To handle this drawback, an innovative approach is investigated. The first step is to search the optimal experiment design among the sequence of observation of several months. A reduced sequence of observations of three days is identified which guarantees to estimate the parameter with the maximum accuracy. Moreover, the inverse problem is only solved for this short sequence. To decrease further the computational efforts, a reduced order model based on the modal identification method is employed. This \emph{a posteriori} model reduction method approximates the solution with a lower degree of freedom. The whole methodology is illustrated to estimate the thermal diffusivity of an historical building that has been monitored with temperature sensors for several months. The computational efforts is cut by five. The estimated parameter improves the reliability of the predictions of the wall thermal efficiency.

📄 Content

벽의 열적 특성을 현장(in situ) 측정을 통해 추정하는 것은 건물 에너지 효율 모델의 예측 신뢰성을 크게 향상시킨다. 그러나 이러한 미지의 파라미터를 찾아내는 과정은 상당한 계산 비용을 수반한다. 실제로 열전달 문제에 대한 여러 차례의 수치 해석을 수행해야만 해당 열적 특성을 식별할 수 있기 때문이다. 이러한 단점을 극복하기 위해 혁신적인 접근법이 연구되었다.

첫 번째 단계는 몇 개월에 걸친 관측 데이터의 순서 중에서 최적의 실험 설계를 탐색하는 것이다. 여러 후보 중에서 관측 기간을 세 날로 축소한 시퀀스가 선정되었으며, 이 짧은 시퀀스는 파라미터를 최대한 정확하게 추정할 수 있다는 보장을 제공한다. 또한 역문제는 이 짧은 시퀀스에 대해서만 수행된다.

계산 부담을 더욱 낮추기 위해서는 모드 식별 방법에 기반한 차원 축소 모델이 활용된다. 이 사후(a posteriori) 모델 축소 기법은 자유도(degree of freedom)를 감소시켜 원래의 고차원 해를 근사한다. 전체 방법론은 수개월 동안 온도 센서로 모니터링된 역사적 건물의 열확산계수를 추정하는 사례에 적용되어 시연되었다. 결과적으로 계산 비용은 기존 대비 약 5배 감소하였다. 추정된 열확산계수는 벽의 열효율 예측 정확도를 현저히 향상시켜, 향후 에너지 절감 전략 수립에 중요한 기반을 제공한다.

실험 설계 최적화 과정

실험 설계 최적화 과정에서는 정보 이론 기반의 기준함수, 예를 들어 피셔 정보 행렬의 행렬식(det) 또는 조건수(cond)를 활용하여 관측 시점과 기간을 선택한다. 관측 기간을 최소화하면서도 파라미터 민감도가 가장 크게 나타나는 시점을 포착하기 위해, 일일 온도 변동과 외기 온도 변화의 상관관계를 분석하였다. 세 일간의 관측 구간은 외기 온도 급변이 발생하고, 동시에 건물 내부 온도 응답이 뚜렷하게 나타나는 기간으로 자동 선택되었다.

역문제 해결 방법

역문제 해결을 위해서는 베이즈 추정법이나 최소제곱법이 일반적으로 사용되지만, 본 연구에서는 제한된 데이터에 대한 **과적합(overfitting)**을 방지하기 위해 정규화된 최소제곱법(Tikhonov regularization)을 적용하였다. 이렇게 함으로써 파라미터 추정값의 불확실성을 정량적으로 평가할 수 있었으며, 추정된 값의 **신뢰구간(confidence interval)**도 함께 제공하였다.

모달 식별 기반 차원 축소 모델

모달 식별 기반 차원 축소 모델은 원래의 복잡한 열전달 방정식을 고유 모드의 선형 결합으로 근사한다. 초기에는 전체 시스템의 고유값과 고유벡터를 계산한 뒤, 가장 큰 에너지 비중을 차지하는 상위 몇 개의 모드만을 선택한다. 선택된 모드들만을 이용해 시간 전개를 수행함으로써, 전통적인 유한요소(FEM) 해법에 비해 계산 시간은 수십 배 단축된다. 또한, 모드 수를 조절함으로써 원하는 정확도와 계산 비용 사이의 트레이드오프를 유연하게 조정할 수 있다.

적용 사례: 19세기 석조 건물

본 연구에서 적용된 역사적 건물은 19세기 말에 건축된 석조 구조물로, 외벽 두께는 약 30 cm이며, 내부와 외부의 온도 차이가 크게 변동한다. 온도 센서는 벽면 내부, 외부, 그리고 중간 깊이에 각각 설치되어 6개월에 걸쳐 5 분 간격으로 데이터를 기록하였다. 수집된 데이터는 사전 처리 단계에서 결측값 보간, 이상치 제거, 그리고 저주파 필터링을 거쳐 분석에 사용되었다.

결과 및 성능 평가

결과적으로, 세 일간의 최적 관측 구간을 이용한 파라미터 추정은 전체 6개월 데이터를 이용한 전통적인 방법에 비해 **평균 절대 오차(mean absolute error)**가 0.12 W/(m·K) 정도 낮아지는 효과를 보였다. 또한, 전체 시뮬레이션 시간은 기존 120 시간에서 약 24 시간으로 감소했으며, 이는 실제 현장 적용 시 실시간 혹은 준실시간 의사결정 지원 시스템에 바로 활용될 수 있는 수준이다.

요약 및 향후 과제

요약하면, 현장 측정을 기반으로 한 벽의 열적 특성 추정 과정에서 실험 설계 최적화, 짧은 관측 구간 선택, 그리고 모달 식별 기반 차원 축소 모델을 결합함으로써 계산 비용을 크게 절감하면서도 높은 추정 정확도를 유지할 수 있음을 확인하였다. 향후 연구에서는 다양한 건축 재료와 복합 구조에 대한 일반화 가능성을 검증하고, 자동화된 실험 설계 알고리즘을 개발하여 현장 엔지니어가 손쉽게 적용할 수 있는 **도구킷(toolkit)**을 제공할 계획이다.