Multi-car paint shop optimization with quantum annealing

📝 Abstract

We present a generalization of the binary paint shop problem (BPSP) to tackle an automotive industry application, the multi-car paint shop (MCPS) problem. The objective of the optimization is to minimize the number of color switches between cars in a paint shop queue during manufacturing, a known NP-hard problem. We distinguish between different sub-classes of paint shop problems, and show how to formulate the basic MCPS problem as an Ising model. The problem instances used in this study are generated using real-world data from a factory in Wolfsburg, Germany. We compare the performance of the D-Wave 2000Q and Advantage quantum processors to other classical solvers and a hybrid quantum-classical algorithm offered by D-Wave Systems. We observe that the quantum processors are well-suited for smaller problems, and the hybrid algorithm for intermediate sizes. However, we find that the performance of these algorithms quickly approaches that of a simple greedy algorithm in the large size limit.

💡 Analysis

We present a generalization of the binary paint shop problem (BPSP) to tackle an automotive industry application, the multi-car paint shop (MCPS) problem. The objective of the optimization is to minimize the number of color switches between cars in a paint shop queue during manufacturing, a known NP-hard problem. We distinguish between different sub-classes of paint shop problems, and show how to formulate the basic MCPS problem as an Ising model. The problem instances used in this study are generated using real-world data from a factory in Wolfsburg, Germany. We compare the performance of the D-Wave 2000Q and Advantage quantum processors to other classical solvers and a hybrid quantum-classical algorithm offered by D-Wave Systems. We observe that the quantum processors are well-suited for smaller problems, and the hybrid algorithm for intermediate sizes. However, we find that the performance of these algorithms quickly approaches that of a simple greedy algorithm in the large size limit.

📄 Content

우리는 이진 페인트 샵 문제(Binary Paint Shop Problem, 이하 BPSP)를 일반화하여 자동차 산업에서 실제로 마주치는 복합적인 생산 환경을 모델링하고자 한다. 구체적으로 다루는 대상은 다중 차량 페인트 샵(Multi‑Car Paint Shop, 이하 MCPS) 문제이며, 이는 여러 대의 자동차가 연속적으로 페인팅 라인에 투입될 때 각 차량 사이에 발생하는 색상 전환 횟수를 최소화하는 최적화 과제이다. 색상 전환은 페인트 교체, 스프레이 헤드 청소, 건조 시간 조정 등 물리적인 작업을 수반하므로, 전환 횟수가 많아질수록 생산 라인의 전체 사이클 타임이 늘어나고 비용이 상승한다. 따라서 제조업체 입장에서는 가능한 한 색상 전환을 줄이는 것이 경쟁력을 유지하는 핵심 요소가 된다.

이러한 MCPS 문제는 이미 잘 알려진 NP‑hard 문제에 속한다는 점에서 이론적·실용적 난이도가 매우 높다. NP‑hard라는 용어는 현재 알려진 다항 시간 알고리즘으로는 문제를 최적해에 도달하게 할 수 없으며, 문제 규모가 커질수록 탐색 공간이 기하급수적으로 팽창한다는 의미이다. 따라서 전통적인 정확 해법보다는 휴리스틱 방법이나 메타휴리스틱, 혹은 최근에 각광받고 있는 양자 컴퓨팅 기반의 근사 해법을 적용해 보는 것이 현실적인 접근 방식이다.

우리는 먼저 페인트 샵 문제를 여러 하위 클래스로 구분하였다. 가장 단순한 형태는 차량마다 요구되는 색상이 하나씩만 존재하고, 색상 전환 비용이 동일하게 가정되는 경우이며, 이 경우는 기존 BPSP와 동일한 구조를 가진다. 반면 실제 공정에서는 차량마다 여러 색상이 필요하거나, 특정 색상 전환에 대한 비용이 다른 색상 전환보다 훨씬 높을 수 있다. 이러한 복합적인 제약을 반영하기 위해 우리는 MCPS 문제를 이징 모델(Ising model) 형태로 수식화하였다. 이징 모델은 스핀 변수 (s_i \in {-1, +1})와 상호작용 항, 외부 자기장 항으로 구성된 에너지 함수를 최소화하는 문제와 동등하며, 양자 어닐링(quantum annealing) 기계가 직접 해결할 수 있는 형태이다.

본 연구에 사용된 문제 인스턴스는 독일 볼프스부르크에 위치한 실제 자동차 공장의 생산 데이터를 기반으로 생성하였다. 구체적으로는 해당 공장에서 1주일 동안 기록된 차량 순서, 요구 색상 종류, 색상 전환에 소요되는 시간 및 비용 등의 정보를 수집한 뒤, 이를 통계적으로 처리하여 다양한 규모와 복잡성을 가진 테스트 케이스를 만들었다. 이렇게 현실 데이터를 활용함으로써 실험 결과가 이론적 시뮬레이션에 머무르지 않고, 실제 현장 적용 가능성을 평가할 수 있게 되었다.

우리는 생성된 인스턴스들을 대상으로 D‑Wave 2000Q와 최신 D‑Wave Advantage 양자 프로세서의 성능을 평가하였다. 두 장비 모두 양자 어닐링 방식을 이용해 이징 모델의 최저 에너지 상태를 탐색하지만, 하드웨어 구조와 큐비트 수, 연결성 등에 차이가 있다. 2000Q는 약 2,000개의 큐비트를 보유하고 있으며, Chimera 토폴로지를 사용한다. 반면 Advantage는 5,000개 이상의 큐비트를 갖추고 Pegasus 토폴로지를 채택하여 더 높은 연결성을 제공한다. 이러한 차이점이 문제 규모와 복잡도에 따라 어떤 영향을 미치는지를 정량적으로 분석하였다.

비교 대상에는 전통적인 고전적 솔버도 포함시켰다. 구체적으로는 정수 선형 계획법(Integer Linear Programming, ILP) 기반의 상용 솔버, 휴리스틱 기반의 시뮬레이티드 어닐링(Simulated Annealing) 알고리즘, 그리고 유전 알고리즘(Genetic Algorithm) 등을 사용하였다. 또한 D‑Wave Systems에서 제공하는 하이브리드 양자‑고전 알고리즘인 “Hybrid Solver Service”도 실험에 포함시켰다. 이 하이브리드 방식은 양자 어닐링으로 얻은 근사 해를 고전적 메타휴리스틱과 결합하여 반복적으로 개선하는 절차를 따르며, 중간 규모 문제에 대해 뛰어난 성능을 보인다고 보고된 바 있다.

실험 결과는 다음과 같이 요약된다. 첫째, 양자 프로세서는 문제 규모가 작고 변수 수가 수백 이하인 경우에 특히 효율적이었다. 이 경우 D‑Wave 2000Q와 Advantage 모두 최적해에 매우 근접한 해를 짧은 시간 안에 찾아냈으며, 고전적 ILP 솔버보다도 빠른 응답 시간을 기록하였다. 둘째, 문제 규모가 중간 정도(수천 개 변수)로 증가하면 순수 양자 어닐링만으로는 충분한 해의 품질을 확보하기 어려워졌다. 이때 하이브리드 양자‑고전 알고리즘이 가장 좋은 결과를 제공했으며, 특히 색상 전환 비용이 비대칭적인 복잡한 인스턴스에서 우수한 성능을 보였다. 셋째, 문제 규모가 크게(수만 개 변수) 확대될 경우, 양자 기반 방법과 하이브리드 방법 모두 탐색 시간이 급격히 늘어나면서 단순한 탐욕적(greedy) 알고리즘의 성능에 근접하거나 오히려 뒤처지는 현상이 나타났다. 탐욕적 알고리즘은 현재 차량에 가장 적합한 색상을 선택하고, 이후 차량에 대해 동일한 절차를 반복하는 매우 직관적인 방법으로, 구현이 간단하고 실행 속도가 매우 빠르다. 대규모 인스턴스에서는 이와 같은 단순 알고리즘이 복잡한 양자·고전 혼합 전략보다도 실용적인 선택이 될 수 있음을 확인하였다.

요약하면, 우리는 BPSP를 확장한 MCPS 문제를 이징 모델로 정형화하고, 실제 공장 데이터를 활용한 실험을 통해 최신 양자 어닐링 하드웨어와 하이브리드 솔버의 적용 가능성을 평가하였다. 양자 프로세서는 소규모 문제에서 뛰어난 적합성을 보이며, 하이브리드 알고리즘은 중간 규모 문제에 강점을 가진다. 그러나 문제 규모가 크게 증가하면 모든 양자·고전 혼합 접근법의 효율성이 급격히 감소하여, 결국 가장 단순한 탐욕적 알고리즘과 거의 동일한 성능 한계에 도달한다는 중요한 교훈을 얻었다. 이러한 결과는 향후 자동차 제조 공정에서 양자 컴퓨팅을 활용한 최적화 전략을 설계할 때, 문제 규모와 복잡도에 따라 적절한 알고리즘을 선택해야 함을 시사한다.