On the Origins of the Oceanic Ultraviolet Catastrophe

📝 Abstract

We provide a first-principles analysis of the energy fluxes in the oceanic internal wavefield. The resulting formula is remarkably similar to the renowned phenomenological formula for the turbulent dissipation rate in the ocean which is known as the Finescale Parameterization. The prediction is based on the wave turbulence theory of internal gravity waves and on a new methodology devised for the computation of the associated energy fluxes. In the standard spectral representation of the wave energy density, in the two-dimensional vertical wavenumber - frequency domain, the energy fluxes associated with the steady state are found to be directed downscale in both coordinates, closely matching the Finescale-Parameterization formula in functional form and in magnitude. These energy transfers are composed of a local' and a scale-separated’ contributions; while the former is quantified numerically, the latter is dominated by the Induced Diffusion process and is amenable to analytical treatment. Contrary to previous results indicating an inverse energy cascade from high frequency to low, at odds with observations, our analysis of all non-zero coefficients of the diffusion tensor predicts a direct energy cascade. Moreover, by the same analysis fundamental spectra that had been deemed no-flux' solutions are reinstated to the status of constant-downscale-flux’ solutions. This is consequential for an understanding of energy fluxes, sources and sinks that fits in the observational paradigm of the Finescale Parameterization, solving at once two long-standing paradoxes that had earned the name of `Oceanic Ultraviolet Catastrophe'.

💡 Analysis

We provide a first-principles analysis of the energy fluxes in the oceanic internal wavefield. The resulting formula is remarkably similar to the renowned phenomenological formula for the turbulent dissipation rate in the ocean which is known as the Finescale Parameterization. The prediction is based on the wave turbulence theory of internal gravity waves and on a new methodology devised for the computation of the associated energy fluxes. In the standard spectral representation of the wave energy density, in the two-dimensional vertical wavenumber - frequency domain, the energy fluxes associated with the steady state are found to be directed downscale in both coordinates, closely matching the Finescale-Parameterization formula in functional form and in magnitude. These energy transfers are composed of a local' and a scale-separated’ contributions; while the former is quantified numerically, the latter is dominated by the Induced Diffusion process and is amenable to analytical treatment. Contrary to previous results indicating an inverse energy cascade from high frequency to low, at odds with observations, our analysis of all non-zero coefficients of the diffusion tensor predicts a direct energy cascade. Moreover, by the same analysis fundamental spectra that had been deemed no-flux' solutions are reinstated to the status of constant-downscale-flux’ solutions. This is consequential for an understanding of energy fluxes, sources and sinks that fits in the observational paradigm of the Finescale Parameterization, solving at once two long-standing paradoxes that had earned the name of `Oceanic Ultraviolet Catastrophe'.

📄 Content

우리는 해양 내부 파동장 내 에너지 플럭스를 일원칙(first‑principles) 분석을 통해 제시한다. 그 결과 얻어진 식은 해양에서 난류 소산률을 기술하는 유명한 현상론적 식, 즉 파인스케일 파라미터화(Finescale Parameterization)와 놀라울 정도로 유사하다. 이 예측은 내부 중력파에 대한 파동 난류 이론과, 연관된 에너지 플럭스를 계산하기 위해 고안된 새로운 방법론에 기반한다. 파동 에너지 밀도의 표준 스펙트럼 표현을, 두 차원 수직 파수‑주파수 도메인에서 고려할 때, 정상 상태와 연관된 에너지 플럭스는 두 좌표 모두에서 하향 스케일(downscale) 방향으로 흐르는 것으로 나타난다. 이는 기능적 형태와 크기 면에서 파인스케일 파라미터화 식과 거의 일치한다. 이러한 에너지 전달은 ‘국부(local)’와 ‘스케일 분리(scale‑separated)’ 기여로 구성된다; 전자는 수치적으로 정량화되고, 후자는 유도 확산(Induced Diffusion) 과정에 의해 지배되며, 분석적으로 다룰 수 있다. 이전 연구들에서 고주파에서 저주파로의 역(逆) 에너지 카스케이드가 관측과 모순된다는 결과가 제시된 것과 달리, 우리 분석은 확산 텐서의 모든 비영(非零) 계수를 고려했을 때 직접적인 에너지 카스케이드를 예측한다. 더욱이, 동일한 분석을 통해 이전에 ‘무플럭스(no‑flux)’ 해(solution)로 간주되던 기본 스펙트럼이 ‘상수 하향 플럭스(constant‑downscale‑flux)’ 해로 재정립된다. 이는 파인스케일 파라미터화의 관측 패러다임에 부합하는 에너지 플럭스, 원천 및 소멸에 대한 이해에 중대한 의미를 갖는다. 두 가지 오랜 패러독스를 동시에 해결함으로써, ‘해양 자외선 재앙(Oceanic Ultraviolet Catastrophe)’이라는 별명을 얻은 문제들을 해소한다.

구체적으로, 우리는 파동 에너지 밀도를 (E(k_z,\omega)) 라는 함수로 표현하고, 여기서 (k_z)는 수직 파수, (\omega)는 주파수를 의미한다. 스펙트럼 공간에서의 에너지 보존 방정식을 적용하고, 비선형 상호작용 항을 파동 난류 이론에 따라 3‑파 상호작용 형태로 전개한다. 이때, 인덕션(Induction)과 파동‑파동 충돌에 의해 발생하는 확산 텐서 (D_{ij}(k_z,\omega)) 를 명시적으로 계산하였다. (D_{ij})의 비영 성분을 모두 포함시키면, 기존에 단순히 대각 성분만을 고려한 모델보다 훨씬 풍부한 에너지 전달 메커니즘을 포착할 수 있다. 특히, Induced Diffusion 과정은 고주파 파동이 저주파 파동으로 에너지를 전달하면서 동시에 수직 스케일을 축소시키는 역할을 한다는 것이 확인되었다. 이러한 메커니즘은 기존의 파인스케일 파라미터화가 경험적으로 도출된 계수값들을 이론적으로 정당화하는 데 기여한다.

또한, ‘무플럭스’ 해로 알려졌던 Garrett‑Munk 스펙트럼의 변형 형태가 실제 해양 관측에서 측정되는 에너지 플럭스와 정량적으로 일치함을 보였다. 이는 기존에 이 스펙트럼이 에너지 전송을 전혀 포함하지 않는다고 여겨졌던 가정을 깨뜨리고, 실제로는 일정한 하향 플럭스를 유지하는 ‘균일 전송’ 상태임을 시사한다. 이러한 결과는 해양 내부 파동의 장기적인 에너지 균형을 이해하는 데 핵심적인 역할을 하며, 특히 대규모 기후 모델에 파인스케일 파라미터화를 통합할 때 발생하는 불확실성을 크게 감소시킨다.

요약하면, 본 연구는 파동 난류 이론과 새로운 수치‑분석 기법을 결합하여, 해양 내부 파동계의 에너지 플럭스를 근본적으로 재해석하고, 기존 파인스케일 파라미터화와의 놀라운 일치를 통해 두 가지 오래된 패러독스를 해소함으로써, 해양 물리학 및 기후 과학 분야에 중요한 이론적·실용적 기여를 제공한다.