About attenuation of videopulse in nonlinear transmission lines with ideal dielectric

1 О затух ании видеоимпульса в нелинейных линиях передачи с идеальным диэле ктриком А. С. Кюрегян Всероссийский Эле ктротехнический институт им. В. И. Ленина, 111250, Москва, Россия E-mail: semlab@yandex.ru Затухание видеоимпульса с монотонно нарастающим напряжением ( ) 0 U t на вхо- де в линию передачи с идеальным диэлектриком можно охара ктеризовать «омическим » падением напряжения ( ) U t σ вдоль электродов с конечной проводимостью σ . Для вы- числения ( ) U t σ в коаксиальной и полосковой линиях получены точные аналитические формулы без учет а и с уч етом сильного скин-эффекта, которые не зависят от дисперсии и степени нелинейност и диэлектрика и поэтому пригодны для оценки затухания у дарных электромагнитных вол н. Пусть на вход незаряженной коакс иальной линии передачи с идеальным диэлектриком 1 подается монотонно нарастающий видеоимп ульс напря жения ( ) 0 U t . Распространение сигнала при известных [1 ] усло виях описывается системой телеграфных уравнений 0 U I L E z t σ ∂ ∂ + + = ∂ ∂ , (1) 0 I Q z t ∂ ∂ + = ∂ ∂ , (2) с начальным и граничным условиями ( ) ( ) 0, 0 0, U z I z = = , ( ) ( ) 0 , 0 U t U t = , (3) где ( ) , U U t z = и ( ) , Q Q t z = - разность потенциалов межд у электродами и линейная плотность заряда, ( ) ( ) , , E E t z E t z σ σ σ + − = − , ( ) , E t z σ ± - тангенциальные компоненты на пряженности поля на границ ах между диэлектриком и электродами, об условленные протеканием вдоль линии тока ( ) , I I t z = , 0 ln 2 e i r L r µ π = - погонная индуктивность, 0 µ магнитная постоянн ая, , e i r - внешний и внутр енни й ради усы диэлектриче- ской трубки. Буд ем считать, что толщина электродов много больше 2 1 ns 8 m D t t σ µ ⋅ ∼ , а ток ( ) , I t z мало изменяется на расстоянии порядка 2 D t σ , где 2 0 1 160 cm /s D σ µ σ = ∼ – коэффициент магнитной диф- фузии, σ - проводимость электродов. В этом случае оправдано приближение сильного планарного скин-эффекта и, исполь зуя теорию дифф узии магнитного поля в металле ( см., например, [2]), нетр удно получить соотношение ( ) ( ) , , z t t t d I t z E z L t σ σ θ ϑ π θ = − ∫ , (4) где 2 2 ln e i e M e i i r r r t D r r r σ π   =   +   , ( ) z f t t z = - время достиже ния передним фронтом сигнала плоскости z . Ин- тегрирование (4) по z приводит к уравнению Абеля [3] 1 Мы называем идеальн ым диэлектрик, проводимо сть которого равна нулю. 2 ( ) ( ) ( ) 0 0 , t z t d L U I t z dz t t t σ σ θ π θ θ = ≡ Φ − ∫ ∫ (5) для «омического » п адения напряжения ( ) ( ) 0 , t z U t E t z dz σ σ = ∫ на обоих электродах межд у входом линии и передним фронтом сигнала ( ) t f z z t = , дальше которого 0 U I = = . При монотонно нарастающей функции ( ) 0 U t напряжение ( ) U t σ характеризует затух ание видеоимпульса в линии. Так как ( ) 0 0 Φ = , то решение (5) имеет вид [3] ( ) ( ) 0 1 t d d U t d t σ θ θ π θ θ Φ = − ∫ . (6) Из определения ( ) t Φ и урав нения (1) следует, что ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , t t t d t dz I t z L U t z U t U t dt dt t σ σ π Φ   = − + −     , (7) где t dz dt - скорость распространения фронта видеоимпульса. Во всех реалистичных случаях два пер- вых слагаемых в правой части (7) равны нул ю, поэтому р авенство (6) является ур авнением Абеля вто- рого рода ( ) ( ) ( ) 0 0 0 t t d d U t U t U t t σ σ σ θ θ θ θ θ θ + = − − ∫ ∫ (8) для функции ( ) U t σ . Его решение имеет вид [3] ( ) ( ) ( ) 0 exp t t U t F t F d t t σ σ σ π θ θ π θ   − = +     ∫ , (9) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 1 1 t t d d d F t U U t t t t θ σ σ θ τ θ θ τ θ θ τ θ     = −   − − −   ∫ ∫ ∫ (10) В качестве примера рассмотрим сл учай трапецеидального нарастания напряжения на входе в ли- нию ( ) 0 0 0 0 при 1 при t t t t U t V t t <  =  >  , (11) для которого получаетс я ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2 0 0 0 0 0 4 2 3 V F t t t t H t t t t t H t t t t t σ σ π         = − − − − − − −           , (12) где ( ) H t - ступенчатая ф ункция Хевисайда. Зависимости ( ) F t и ( ) U t σ для этого случ ая изображены на Рис. 1. Видно, что второе слагаемое в правой част и (9) пренебрежимо мало в акт уальном диапазоне значений 0.3 U V σ < , поэтому для расчет а ( ) U t σ можно использ овать простую формул у ( ) ( ) U t F t σ ≈ . В простейшем слу чае сту пенчатого сигнала или при 0 0 t t → ( ) 2 t t F t V t t σ σ π   = −       (13) и для ( ) U t σ получа ется формула 3 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 t 0 / t σ 0 10 -4 10 -3 10 -2 F / V , U σ / V t / t σ Рис. 1. Зависимости ( ) U t σ (линии) и ( ) F t (символы), рассчитанные по форм улам (9), (11) и (12) для четырех значений отношения 0 t t σ ( ) 1 exp erfc 2 t t t t t U t V V t t t σ σ σ σ σ π π <<     = − ≈         , (14) где ( ) erfc x - дополнительная функция ошибок. Форму лы (9)-(14) пригодны и для полосковой линии передачи, ширина которой много больше расстояния d между электродами, однако в этом слу чае сле- дует положить 2 M t d D σ π = . Если толщина электродов много меньше 2 D t σ , то можно пренебречь скин-эффектом и перепи- сать ура внение (1) в виде 0 R E U t E z t σ σ ∂ ∂ + + = ∂ ∂ , (15) где R t L R = и R - су мма погонных сопротивлени й электродов. Легко показать, что в этом случа е ( ) ( ) 0 exp t R R t d U t U t t σ σ θ θ θ   − =     ∫ , (16) и для трапецеидального входного сигнала при 0 t t > ( ) 0 0 1 exp 1 exp R R R t t t U t V t t t σ           = − − −                   (17) Получ енные форму лы позволяют вычислить время ра спространения сигнала t δ , за которое от- ношение U V σ достигнет заданной допустимой величины δ . Примеры зави симостей t δ от 0 t для тра- пецеидального входного сигнала приведены на Рис. 2. При 0 , R t t t δ σ << << из (14) и (17) след ует, что 2 4 t t δ σ δ ≈ и R t t δ δ ≈ соответственно. Следует отметить, что обычно [2,4,5] затуха ние ступенч атого виде оимпульса характеризуется величиной ( ) 1 f U t V ∆ = − , где ( ) ( ) , f f U t U t z = - скачек напряжения на фро нте. Однако для вычисле- ния ∆ нужно иметь полное решение задачи Коши (1)-(3). Насколько нам известно, точное ре шение бы- ло получено только для линейной линии передачи без у чета скин-эффекта [4,6]. Из него, как нетрудно показать следует, что 4 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 -3 10 -2 10 -1 δ = 0. 05 δ = 0.2 δ = 0.1 t δ / t σ t 0 / t σ Рис. 2. Зависимости времен t δ достижения отнош ением U V σ величин δ от длитель- ности фронта 0 t импульса на входе в линию, рассчитанные по формул ам (9), (11) и (12). ( ) ( ) 1 exp 2 R t t t ∆ = − − . (18) тогда как ( ) ( ) 1 exp R t t t δ = − − . (19) Эта последняя форму ла, разумеется, полу чается и из (17) в пределе 0 0 t → 2 . Т аким образом напряжение на фронте f U у меньшается со временем в два р аза медленнее, чем возра стает «о мическое» падение на- пряжения U σ . Причина этого очевидна: рост U σ приводит к уменьшение со временем тока ( ) , I t z вдоль линии, так что второе слага емое в (1) частично (в этом простейшем сл учае - ровно наполовину) компенсирует «омичес кое» поле E σ и замедляет уменьшение напряжения U с ростом z . С учетом сильного скин-эффек та было полу чено прибли женное решение [5,7], верное только при t t σ << , когда ( ) 1 2 t t t σ ∆ ≈ , (20) то есть в этом случ ае ∆ в 4 раза меньше δ (см. (14)). На первый взгляд, предложенный метод оценки затухания видеосигнала менее нагляден, чем обычный. Однако у нег о есть два с ущественных преим ущества. Во- первых, величина δ , равная в пер- вом приближении относительной по тере мощности, сохраняет свой ясный смысл при любом соотноше- нии между t и характерным временем 0 t нарастания напряжения на входе в линию, а не только при 0 0 t → . Во-вторых, при вычислении δ ура внение (2) не использовалось, поэтому пол ученные выше точные резу льтаты справедливы и при сложной взаимосвязи между напряжением U и плотн остью за- ряда Q , когда необходимое для рас чета ∆ полное аналитическое решение задачи Коши (1)-(3) невоз- можно даже без у чета скин-эффекта. В частности, это позволяет дать оценку величины зат ухания удар- ных электромагнит ных волн в нелиней ных лин иях передачи [8]. Автор благодарен А. В. Горбатюку за об сужде ние резу льтатов. Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 16-08-01292). 2 В этом пределе два первых слагаемых в правой части (7) отличны от нуля, но их сумма равна н улю, так как 1 t dz d t LC = и ( ) ( ) , , t t U t z I t z L C = . Поэтому уравнение (8) и его решение (9) справедливо и для с тупенча- того входного сигнала. 5 Литера тура 1. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988. С. 100-115. 2. Кнопфель Г. Сверхсильные имп ульсные ма гнит ные поля. М.: Мир , 1972. С. 68. [Knoepfel H. Pulsed high magnetic fields. Am sterdaм: North-Holland Publi shing Соmраnу, 1970]. 3. Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным ур авнениям: точные р ешения. М.: Факториал, 1998. С. 20, 120. [ Pol yanin A. D. , Manzhirov A. V. Handbook of integral equations. CRC Press, 2008 ]. 4. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. М.: Высшая школа, 1996. С. 399. [ Bessonov L. A. Theoretical bases of el ectrical engin eering. Moscow, USSR: High schoo l, 1996, p.399 ]. 5. Smith P. W. Transient Electronics. Pulsed Circuit Technolo gy. Chiche ster: John Wiley & Sons Ltd., 2002. pp. 237-266. 6. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. М етоды теор ии ф ункций комплексного переменного. М.: На ука, 1987. С. 534. 7. Wigington R. L., Nah man N. S. // Proc. IRE. 1957. V. 45 (2), P. 166-174. 8. Кюрегян А. С. ФТП. 2018. Т. 52. в печати