Implementation of the Logistic Map with FPGA using 32 bits fixed point standard

REALIZAÇÃO DO MAPA LOGÍSTICO EM FPGA USANDO PADRÃO PONTO FIXO DE 32 BITS DIEGO A. SILVA1, EDUARDO B. PEREIRA1, ERIVELTON G. NEPOMUCENO1. 1. Laboratório de Estudos em Sistemas Autônomos e Inteligentes, Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal de São João del-Rei Praça Frei Orlando, 170 – Centro – 36307-352 – São João del-Rei, MG, Brasil E-mails: diego.augusto.silva95@gmail.com, ebento@ufsj.edu.br, nepomuce- no@ufsj.edu.br Abstract⎯ This article presents a design of the logistic map by means of FPGA (Field Programmable Gate Array) under fixed-point standard and 32-bits of precision. The design was carried out with Altera Quartus platform. The hardware description language VHDL-93 has been adopted and the results were simulated by means of Altera ModelSim package. The main of the project was to produce a chaotic system with a low energy and time cost. Using the VHDL, it was possible to use only 1439 logical gates from 114480 availa- ble. The Lyapunov exponent has been calculated with good agreement with literature reference, which shows the effectiveness the proposed method. Keywords⎯ FPGA, Logistic Map, Fixed Point Standard, Round Modes, Chaos Theory. Resumo⎯ Este artigo apresenta a implementação do mapa logístico usando FPGA (Field Programmable Gate Array) no padrão de 32 bits com ponto fixo. O projeto foi desenvolvido utilizando o software Quartus da Altera. Utilizou-selinguagem de descri- ção de hardware VHDL-93 e a simulação do resultado final foi feita no software ModelSim, também da Altera. O projeto teve como elemento norteador a proposição de um sistema caótico com baixo consumo de energia e tempo. Usando a linguagem VHDL, foi possível utilizar apenas 1439 portas lógicas de um total de 114480. O expoente de Lyapunov calculado e apresentou boa concordância com os valores presentes na literatura, confirmando o êxito do projeto. Palavras-chave⎯ FPGA, Mapa Logístico, Padrão Ponto Fixo, Modos de Arredondamento, Teoria do Caos. 1 Introdução Sistemas caóticos são sistemas não-lineares de- terminísticos cujo comportamento dinâmico aparenta evoluir no tempo de maneira aleatória. Essa dinâmica complexa é extremamente sensível à variação de suas condições iniciais e paramétricas. Diversos sistemas de áreas do conhecimento distintas apresentam com- portamento caótico, como por exemplo na Biologia, Ciências Sociais, Engenharia e Economia (May, 1976). Na década de 1990, descobriu-se a possibilidade de sincronizar dois sistemas caóticos idênticos com condições iniciais diferentes, com aplicações em áreas como telecomunicações, simulações e cripto- grafia (Pecora and Carroll, 1990). Desde então, uma parte da comunidade científica da área de sistemas caóticos dedica seus esforços no intuito de represen- tar o comportamento caótico em sistemas eletrônicos. As implementações de sistemas caóticos utili- zando-se circuitos estão sujeitas a fatores como tem- peratura, umidade e envelhecimento de componentes que são capazes de gerar variações nos parâmetros destes sistemas. Para evitar esse tipo de problema, alguns pesquisadores passaram a utilizar implemen- tações digitais dos mesmos, as quais são mais robus- tas com relação a variação de parâmetros. Dentre as implementações digitais, as implementações em Field Programmable Gate Array (FPGA) vêm sur- gindo como uma alternativa competitiva, uma vez que se tratam de dispositivos flexíveis e que conso- mem baixas quantidades de potência (Aseeri et al, 2002). Atratores de Chen (Sadoudi et al, 2009), Lü (Sadoudi et al, 2009) e Lorenz (De Micco and Lar- rondo, 2011) foram implementados por meio de um FPGA. Estas implementações em meio digital vêm sen- do estudadas em uma grande quantidade de traba- lhos, tanto na construção de aplicações em hardware quanto em simulações computacionais. Porém, devi- do ao fato de esses sistemas utilizarem representa- ções numéricas finitas as órbitas apresentadas são diferentes das obtidas via representação matemática infinita. Galias (2013) adverte sobre a necessidade de avaliar esses erros, e a propagação deles em funções recursivas pode ocasionar em uma grande perda de confiabilidade em resultados de simulações. Persohn & Povinelli (2016) alertaram sobre como desconside- rar as limitações provenientes de representações finitas em aplicações de criptografia pode levar à realização de sistemas inseguros. Alguns trabalhos, como Nepomuceno (2014) e Nepomuceno e Martins (2016), apresentam estratégias que podem ser utili- zadas para avaliar o quanto uma simulação pode ser afetada por esses tipos de erros, criando métodos através dos quais pode-se rejeitar o resultado de uma simulação após certo ponto. Uma das possíveis aplicações de sistemas caóti- cos está na geração de números aleatórios e cripto- grafia (Dabal & Pelka, 2014), (Dabal & Pelka, 2011), (Pande & Zambreno, 2011). Com o crescimento do número de aplicações em sistemas embarcados, um aspecto que deseja-se

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