The Determination of the Bursa-Wolf Parameters

arXiv:1112.5288v1 [physics.geo-ph] 22 Dec 2011 MINISTERE DE L’EQUIPEMENT Office de la Topographie et du Cadastre Note sur la Détermination des paramètres du Modèle de Bursa-Wolf Par Abdelmajid BEN HADJ SALEM Ingénieur Général à l’Office de la Topographie et du Cadastre Novembre 2011 Version 1. Office de la Topographie et du Cadastre www.otc.nat.tn Ingénieur Général, Chef de la Division de la Coopération Technique et le Développe- ment des Ressources Humaines. Office de la Topographie et du Cadastre (OTC), BP 156, 1080 Tunis Cedex, Tunisie Email : benhadjsalema@yahoo.co.uk. 1 2 NOTE SUR LA DÉTERMINATION DES PARAMÈTRES DU MODÈLE DE BURSA-WOLF ABDELMAJID BEN HADJ SALEM 1. Introduction Avec le développement de la technologie de positionnement spatial (GPS, GLONASS, Galileo, ComPass), laquelle fournit à l’utilisateur sa position (X, Y, Z) tridimensionnelle dans un système géocentrique mondial donné, par exemple pour la technologie GPS c’est le système dit WGS84 (World Geodetic System 1984), il est nécessaire de savoir la transformation de pas- sage du système géodésique mondial au système géodésique national ou local. Nous présentons ci-après en détail comment déterminer manuellement les pa- ramètres du modèle de Bursa-Wolf de transformations de passage entre les systèmes géodésiques. Nous utilisons par la suite les notations suivantes : - (X1, Y1, Z1) les coordonnées cartésiennes 3D dans le système géocen- trique (O, X1, Y1, Z1)(système 1), - (X2, Y2, Z2) les coordonnées cartésiennes 3D dans le système local (sys- tème 2) (O′, X1, Y1, Z1). 2. Le Modèle de BURSA - WOLF Ce modèle s’écrit sous la forme vectorielle : (1) X 2 = T + (1 + m).R(rx, ry, rz).X 1 où : - X 2 est le vecteur de composantes (X2, Y2, Z2)T , T désigne transposée, - T = O’O est le vecteur translation de composantes (TX, TY , TZ)T entre les systèmes 1 et 2, - 1 + m est le facteur d’échelle entre les 2 systèmes, - R(rx, ry, rz) est la matrice de rotation (3 × 3) pour passer du système 1 au système 2, - X 1 est le vecteur de composantes (X1, Y1, Z1)T . En développant (1), on obtient : (2)   X2 Y2 Z2  =   TX TY TZ  + (1 + m)   1 −rx ry rx 1 −rz −ry rz 1     X1 Y1 Z1   avec (rx, ry, rz) les rotations comptées positivement dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. Comment déterminer les paramètres modèle (1) ? NOTE SUR LA DÉTERMINATION DES PARAMÈTRES DU MODÈLE DE BURSA-WOLF3 3. Détermination de l’échelle 1 + m On suppose donné un ensemble de points Pi pour i = 1, n connus dans les deux systèmes S1 et S2. On écrit l’équation (1) pour deux points Pj et Pk, d’où : X (Pj)2 = T + (1 + m).R(rx, ry, rz).X (Pj)1 (3) X (Pk)2 = T + (1 + m).R(rx, ry, rz).X (Pk)1 (4) Par différence, on obtient : (5) (PjPk)2 = (1 + m).R(rx, ry, rz).(PjPk)1 On prend la norme des deux membres de (5) et que 1 + m > 0 : (6) ∥(PjPk)2∥= ∥(1+m).R(rx, ry, rz).(PjPk)1∥= (1+m)∥R(rx, ry, rz).(PjPk)1∥ Comme R est une matrice de rotation, donc son application à un vecteur est une isométrie, c’est-à-dire qu’elle laisse invariant la norme ou la longueur du vecteur soit : (7) ∥R.X ∥= ∥X ∥ ∀X On a donc : (8) ∥(PjPk)2∥= (1 + m)∥(PjPk)1∥ Soit : (9) 1 + m = 1 N N X ∥(PjPk)2∥ ∥(PjPk)1∥ N désigne le nombre de couples de points PjPk, j ̸= k. 4. Détermination des rotations (rx, ry, rz) Connaissant (1 + m), pour un couple de points Pj, Pk, on a : (PjPk)2 = (1 + m).R(rx, ry, rz).(PjPk)1 Détaillons la matrice R : (10) R =   1 −rx ry rx 1 −rz −ry rz 1  =   1 0 0 0 1 0 0 0 1  +   0 −rx ry rx 0 −rz −ry rz 0  = I3 + Q avec I3 la matrice Unité et Q la matrice : (11) Q =   0 −rx ry rx 0 −rz −ry rz 0   Alors l’équation (5) devient : (12) (PjPk)2 = (1 + m).(I3 + Q(rx, ry, rz)).(PjPk)1 4 ABDELMAJID BEN HADJ SALEM Soit comme m << 1 et m << 1 : (13) Q(rx, ry, rz).(PjPk)1 = (1 −m).(PjPk)2 −(PjPk)1 En posant : (14) (PjPk)2 =   ∆X′ jk ∆Y ′ jk ∆Z′ jk  ; (PjPk)1 =   ∆Xjk ∆Yjk ∆Zjk  ; v =   v1 = (1 −m)∆X′ jk −∆Xjk v2 = (1 −m)∆Y ′ jk −∆Yjk v3 = (1 −m)∆Z′ jk −∆Zjk   Alors, on obtient l’équation : (15) Q(rx, ry, rz).(PjPk)1 = v ou encore : (16)   −∆Yjk ∆Zjk 0 ∆Xjk 0 −∆Zjk 0 −∆Xjk ∆Yjk  .   rx ry rz  =   v1 v2 v3   Or le déterminant de la matrice Q′ : (17) Q′ =   −∆Yjk ∆Zjk 0 ∆Xjk 0 −∆Zjk 0 −∆Xjk ∆Yjk   est nul. Pour passer de cette conséquence, on utilise pour chaque ligne du système (16) un couple de points ij ce qui donne le système : (18)   −∆Xjk ∆Zjk 0 ∆Xlm 0 −∆Zlm 0 −∆Xin ∆Yin  .   rx ry rz  =   vjk1 vlm2 vin3   Le système (18) devient résolvable ce qui permet de déterminer les trois rotations rx, ry et rz. 5. Détermination des composantes de la Translation T Les composantes Tx, Ty, Tz du vecteur translation sont déterminées à partir des coordonnées des points Pj connus dans les deux systèmes à partir de : Txj = X2j −(1 + m)(X1j −rxY1j + ryZ1j) (19) Tyj = Y2j −(1 + m)(rxX1j + Y1j −rzZ1j) (20) Tzj = Z2j −(1 + m)(−ryX1j + rzY1j + Z1j) (21) NOTE SUR LA DÉTERMINATION DES PARAMÈTRES DU MODÈLE DE BURSA-WOLF5 Les composantes Tx, Ty, Tz sont obtenues

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