📝 Original Info
- Title: Caract`eres de Chern, traces equivariantes et geometrie algebrique derivee
- ArXiv ID: 0903.3292
- Date: 2011-02-15
- Authors: Researchers from original ArXiv paper
📝 Abstract
The purpose of this work is to provide details about the construction of the Chern character for categorical sheaves mentioned in our previous work "Chern character, loop spaces and derived algebraic geometry". For this, we introduce and study the notion of rigid symmetric monoidal \infty-category. We show how trace maps can be constructed in this higher categorical setting, and using a recent work of Hopkins-Lurie we prove the existence of a "cyclic trace", which is the main ingredient in the construction of the Chern character. Our Chern character is then constructed for any pair (T,A), consisting of a \infty-topos T and a stack of rigid symmetric monoidal \infty-categories A on T. We propose two main applications of this construction. First of all, we show how to recover the Chern character of perfect complexes on schemes, with values in cyclic homology, and show how it can be extended to an interesting new Chern character for Artin stacks. Our second application provides invariants of famillies of dg-categories. A consequence of the existence of these invariants is the construction of a Gauss-Manin connexion on the cyclic homology complex of such a familly, generalizing previous constructions by Getzler and of Dolgushev-Tamarkin-Tsygan. Another consequence is the construction of the "character sheaf" associated to a representation of an algebraic group into a dg-category, which is a categorification of the character function of a linear representation. Finally, for a familly of saturated dg-categories we construct a "secondary Chern character", taking values in a new cohomology theory called "secondary cyclic homology".
💡 Deep Analysis
Deep Dive into Caract`eres de Chern, traces equivariantes et geometrie algebrique derivee.
The purpose of this work is to provide details about the construction of the Chern character for categorical sheaves mentioned in our previous work “Chern character, loop spaces and derived algebraic geometry”. For this, we introduce and study the notion of rigid symmetric monoidal \infty-category. We show how trace maps can be constructed in this higher categorical setting, and using a recent work of Hopkins-Lurie we prove the existence of a “cyclic trace”, which is the main ingredient in the construction of the Chern character. Our Chern character is then constructed for any pair (T,A), consisting of a \infty-topos T and a stack of rigid symmetric monoidal \infty-categories A on T. We propose two main applications of this construction. First of all, we show how to recover the Chern character of perfect complexes on schemes, with values in cyclic homology, and show how it can be extended to an interesting new Chern character for Artin stacks. Our second application provides invariants
📄 Full Content
Résumé L'objectif de ce travail est de donner un traitement détaillé de la construction du caractère de Chern pour certaines familles en catégories (esquissée dans l'article ). Pour cela nous introduisons, et étudions, la notion d'∞-catégorie monoïdale symétrique rigide. Nous construisons un morphisme de trace dans ce cadre, qui est un morphisme de l'∞-groupoïde des endomorphismes d'objets dans une telle ∞-catégorie vers celui des endomorphismes de l'unité. En utilisant le travail récent d'Hopkins-Lurie sur l'hypothèse du cobordisme (voir [Lu2]) nous montrons de plus que ce morphisme de trace satisfait une propriété remarquable d'invariance cyclique. Nous utilisons l'existence de cette trace cyclique afin de construire un caractère de Chern, défini pour tout couple (T, A) formé d'un ∞-topos T et d'un champ A en ∞-catégories monoïdales symétriques rigides. Nous présentons deux applications de notre construction générale, obtenues en spécifiant le couple (T, A). Nous montrons d'une part comment on peut retrouver le caractère de Chern des complexes parfaits à valeurs dans l'homologie cyclique et comment notre construction permet de l'étendre de façon pertinente au cas des complexes parfaits sur des champs algébriques d'Artin. Enfin, nous montrons comment notre caractère de Chern permet de construire des invariants de familles algébriques de dg-catégories. Une conséquence de l'existence de ces invariants est la construction d'une connexion de Gauss-Manin sur le complexe d'homologie cyclique d'une telle famille généralisant les constructions de [Ge, Do-Ta-Ts]. Nous montrons aussi comment on peut construire le faisceaux des caractères d'une représentation d'un groupe algébrique dans une dg-catégorie, qui est catégorification de la fonction caractère d'une représentation linéaire ainsi qu'une extension au cas dg-catégorique de la construction de [Ga-Ka]. Pour finir, lorsque l'on dispose d'une famille de dg-catégories saturées nous construisons un caractère de Chern secondaire, dont l'existence était annoncée dans [To-Ve1], et à valeurs dans une nouvelle théorie cohmologique que nous appelons l'homologie cyclique secondaire.
L’objectif de ce travail est de donner un traitement détaillé de la construction du caractère de Chern pour certaines familles en catégories. Plus spécifiquement, nous présentons ici un formalisme très général dans lequel il est possible de démontrer l’existence d’un caractère de Chern défini suivant les grandes lignes de [To-Ve1], mais dont le domaine d’application dépasse largement le contexte des faisceaux catégoriques dérivés de l’article en question. Avant d’entrer dans des détails plus techniques nous nous permettons de commencer cette introduction par un bref survol de plusieurs contextes d’applications de notre construction. Elle nous permet d’une part de retrouver le caractère de Chern des fibrés vectoriels et des complexes parfaits (à valeurs dans l’homologie cyclique), sur des schémas, des espace analytiques, des variétés différentielles etc. mais aussi sur des champs algébriques pour les quels il donne une version du caractère de Chern orbifold (dans le style de To1]). Mais il permet aussi de construire certains invariants de faisceaux en dg-catégories, comme la construction d’une connexion de Gauss-Manin sur l’homologie cyclique périodique d’une famille algébrique de dgcatégories, ou comme le faisceau des caractères associé à une représentation dg-catégorique d’un groupe algébrique, qui est une version catégorique de la fonction des caractères associée à une représentation linéaire ainsi qu’une extension au cadre dg-catégorique de la construction de [Ga-Ka]. Pour les faisceaux catégoriques dérivés parfaits notre construction permet bien évidemment de construire le caractère de Chern à valeurs dans l’homologie cyclique secondaire (une nouvelle théorie homologique) dont l’existence est affirmée, sans arguments réellement solides, dans . Le degré de généralité de notre construction permet probablement de trouver de nombreux autres champs d’applications, par exemple pour définir un caractère de Chern dans des contextes non-additifs, comme ceux apparaissant dans l’étude des schémas sur le corps à un élément, ou plus généralement en géométrie relative de ; nous n’avons cependant pas explorer cette voie dans ce travail.
La construction dans ses grandes lignes -Avant d’entrer plus en détails dans la description du contenu de ce travail nous souhaitons présenter, en quelques mots, les grandes lignes de la construction de notre caractère de Chern. Nous espérons que cela pourra eclaircir et expliquer le point de vue adopté, à savoir celui des ∞-catégories, qu’il nous semble difficile d’éviter (même si l’on souhaite ne considérer que le caractère de Chern des fibrés vectoriels). La construction se résume probablement le plus aisément dans le cadre algébrique (notons cependant qu’un peu d’imagination permet aussi de concevoir des analogues dans le cadre différentielle, ou encore complexe anal
…(Full text truncated)…
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Reference
This content is AI-processed based on ArXiv data.
