We express a general multiple polylogarithm of weight n as an explicit linear combination of multiple polylogarithms of weight n in n-2 variables. We express a general multiple polylogarithm of weight 4 as an explicit linear combination of multiple polylogarithms of type (3,1). We deduce a 4 parameters functional equation expressing a certain linear combination of multiple polylogarithms of type (3,1) as a linear combination of polylogarithms of weight 4.
Deep Dive into Sur la conjecture de Zagier pour n=4. II.
We express a general multiple polylogarithm of weight n as an explicit linear combination of multiple polylogarithms of weight n in n-2 variables. We express a general multiple polylogarithm of weight 4 as an explicit linear combination of multiple polylogarithms of type (3,1). We deduce a 4 parameters functional equation expressing a certain linear combination of multiple polylogarithms of type (3,1) as a linear combination of polylogarithms of weight 4.
Soit n un entier positif. Si a et b sont deux points sur une variété complexe X et ω 1 , • • • , ω n sont des formes holomorphes de dégré 1 sur X, l'intégrale itérée se définit par induction sur n par la formule b a
Les polylogarithmes multiples sont définis comme les intégrales itérées
C’est une fonction complexe multivaluée sur l’ensemble des (n + 2)-ulpes complexes (a 0 , • • • , a n+1 ) vérifiant a 0 = a 1 , a n = a n+1 (pour que l’intégrale converge). Elle est invariante par la transformée affine (a i ) i → (αa i + β) i , pour des nombres complexes α = 0 et β.
Le polylogarithme classique de poids n est la fonction complexe multivaluée sur C \ {0, 1} qui s’écrit Li n (z) = ∞ k=1 z k k n sur le disque unité |z| ≤ 1. On peut prouver que Li n (z) = -H(0|1, 0, • • • , 0|z), donc le polylogarithme classique est le polylogarithme multiple réduit à une seule variable.
Soit E un corps. On va définir les polylogarithmes multiples “a valeurs on E”. On note
On considère la coalgèbre de Lie B(E) = A(E)/A >0 (E) • A >0 (E) des éléments primitifs. On note δ = ⊕ n δ n : B(E) → B(E)⊗B(E) la codérivation. Suivant Zagier, on définit par induction l’espace vectoriel R n (E) ⊂ B n (E) des “rélations entre polylogarithmes multiples on E” et on pose
a été déjà défini pour k < n. Soit t une variable. On définit R n (E) comme le sous-espace vectoriel engendré par α(1) -α(0) pour tous les éléments α de K n (E(t)) pour lesquels α(1) et α(0) sont bien définies. L’application (pr ⊗ pr) • δ n se factorise à une application δ n : H n (E) → (H(E) ⊗ H(E)) n qui fait de H une coalgèbre de Lie graduée.
La conjecture de Zagier ([4]) affirme que la valeur en s = n de la fonction zêta de Dedekind d’un corps de nombre est le déterminant d’une matrice dont les termes sont des polylogarithmes de poids n évaluées dans des éléments du corps en question. Après des travaux de Goncharov et Zagier, la conjecture se réduit à une conjecture qui affirme que le régulateur de Beilinson est combinaison linéaire des polylogarithmes. On peut prouver que le régulateur de Beilinson est combinaison linéaire des polylogarithmes multiples. Il reste à trouver des formules exprimant les polylogarithmes multiples (en n variables) comme combinaisons linéaires de polylogarithmes (polylogarithmes multiples en 1 variable). L’article [1] donne une présentation synthetique de ces reductions. Dans le présent article on parcourt les premiers deux pas de la strategie: passer de n variables à n -2 variables.
Soit n un entier positif. On introduit une généralisation légère de la notion de polylogarithme multiple. Soient a 0 , a 1 , • • • , a n+1 , x des éléments de P 1 (C) vérifiant a 0 = a 1 , a 0 = x, a n = a n+1 , x = a n+1 . On choisit ω(a i , x) l’unique forme différentielle de dégré 1 holomorphe sur P 1 (C) -{a i , x} qui est nulle si a i = x et qui a un pôle d’ordre 1 de résidu +1 en a i et un pôle d’ordre 1 de résidu -1 en x si a i = x. On définit
Est une fonction invariante pour l’action de P GL(2, C) sur ((a i ) i , x). Le passage entre cette fonction et la fonction antérieure est clair:
(2)
dans lequel on remplace a j par a i dans toutes les positions j ∈ I. On définit
la somme étant prise sur toutes les sous-ensembles I de l’ensemble {1, • • • , n} conténant i et ayant le cardinal |I| ≥ 2. Les considérations du paragraphe précédent apliquées à y = a i sugérent la rélation dans H n (E):
On peut donc écrire A([a 0 |a 1 , • • • , a n //x|a n+1 ], i, I) comme somme alternée explicite des polylogarithmes multiples en ≤ n -2 variables. On remplace dans (3) et on obtient
n+1 ], i) est une somme alternée explicite des polylogarithmes multiples en ≤ n -2 variables.
Soient 1 ≤ i < j ≤ n deux entiers. En appliquant trois fois la rélation précédente pour les substitutions x → a i , a i → a j , a j → x, on obtient (4)
On déduit que, pour toute permutation σ de l’ensemble {1, • • • , n},
est une somme alternée explicite des polylogarithmes multiples en ≤ n -2 variables.
On suppose maintenant n ≥ 3. La rélation (1
dénote la partie entière du nombre réel x, on peut trouver une combinaison linéaire des rélations (4) qui, aditionée à la rélation (5), exprime [n/2][a 0 |a 1 , • • • , a n //x|a n+1 ] comme combinaison linéaire des polylogarithmes multiples en ≤ n -2 variables. On peut faire cela de maniere explicite. On note, pour 1 ≤ i < j ≤ n, A i,j = [a 0 |a σ(1) , • • • , a σ(n) |a n+1 ] pour la permutation σ qui met 1 sur la position i et 2 sur la position j. On note R(i-1, j|i, j) la rélation (4) pour A i-1,j +A i,j et de même pour R(i, j|i, j+1). On doit considérer la somme de la rélation (5) avec la combinaison linéaire
Francis Brown m’a comuniqué d’avoir prouvé que [a 0 |a 1 , • • • , a n |a n+1 ] peut s’écrire comme combinaison linéaire des polylogarithmes multiples de poids n en ≤ n -2 variables dans H n (E). Il n’est pas clair si sa méthode peut être rendue explicite.
Si n est impair on peut obtenir une formule plus simple. On utilise la rélati
…(Full text truncated)…
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