Benchmarking Historical Corporate Performance

Benc hmarking Historical Corp orate P erformance James G. Scott ∗ This v ersion: Octob er 2010 Abstract This pap er uses Bay esian tree mo dels for statistical b enc hmarking in data sets with a wkw ard marginals and complicated dependence structures. The metho d is applied to a very large database on corp orate p erformance o v er the last four decades. The results of this study provide a formal basis for making cross-peer-group comparisons among companies in very differen t industries and op erating environmen ts. This is done by using mo dels for Ba yesian m ultiple hypothesis testing to determine whic h firms, if any , hav e systematically outp erformed their peer groups ov er time. W e conclude that systematic outperformance, while it seems to exist, is quite rare w orldwide. 1 In tro duction 1.1 Benc hmarking with co v ariates This pap er is concerned with the topic of statistical b enc hmarking—that is, as- sessing the relative p erformance of a sub ject compared to that of its p eer group, in a situation where only an absolute measure of p erformance is a v ailable. Some examples of b enchmarking include: Mutual-fund ratings, where the goal is to compare the returns of many funds against their resp ectiv e b enchmarks. F und managers who brok e ev en during the financial crisis of 2008, for example, ma y b e sup erior to those p osting double-digit gains during the dot-com bubble of the late 1990’s. Univ ersity admissions, where many admissions committees wish to “adjust” for a studen t’s economic bac kground and secondary sc ho ol when comparing absolute measures such as standardized test scores. ∗ Assistan t Professor of Statistics at the McCom bs School of Business, Universit y of T exas at Austin. email: James.Scott@mccombs.utexas.edu. 1 Non-o verlapping in ter-rater comparisons in sub jectiv ely judged comp eti- tions lik e figure sk ating and high-sc ho ol debate, where it is natural to con trol for the fact that differen t judges ma y rate participan ts on highly idiosyncratic scales. The notion of a p eer group is somewhat lo ose, but can usually b e represented through some com bination of con tinuous and categorical measures. In suc h cases, it is natural to asso ciate the p eer score with the residual from a regression mo del. One’s p eer group can then b e interpreted as the group of other sub jects ha ving similar exp ected scores, and one’s “b enc hmarked score” as the bit left ov er after subtracting the exp ected score, or b enchmark. If a linear mo del fits the data w ell, then the residuals from this mo del are enough to settle the issue. Complications arise, ho wev er, when the marginal distribution of p erformance is hea vy-tailed, highly skew ed, or both. These fac- tors can inv alidate traditional parametric assumptions ab out the distribution of residuals. It may also simply be very difficult to reco ver the righ t “raw” marginal distribution through some probabilitistic mo del that dep ends up on the co v ariates. A further complicating factor is the presence of conditional heterosk edasticit y— that is, when the volatility of p erformance differs b y p eer group, and not merely the exp ectation. Here, a b enc hmark should account for more than simply the absolute v alue of the residual; it should also adjust for the scale of the residual distribution, given the co v ariates. The intuition here is that p erforming “further out in the tails,” rather than simply differing from the b enc hmark b y a large absolute margin, is the truly impressiv e—or ignominious—feat. 1.2 Data, goals, and metho d In this pap er, the b enc hmarking problem is considered in the con text of a large data set on historical corp orate p erformance. Our goal is to use the prop osed metho d to compare publicly traded companies against their p eers using a stan- dard accoun ting measure known as Return on Assets (R OA), which measures the efficiency with which a compan y’s assets are used in generating earnings. (This is fundamentally different from a mark et-based measure like sto c k returns, and is muc h more stable across time.) All three complicating factors—skewness, hea vy tails, and conditional heteroskedasticit y—are presen t here. The data set, moreo ver, is quite large: we hav e 645,456 records from 53,038 companies in 93 dif- feren t countries, spanning the y ears 1966–2008. This p oses serious computational c hallenges, but also an opp ortunity for nuanced mo deling. It is necessary to b enchmark raw p erformance n um b ers b ecause certain fea- tures of a company—its industry , its size, its leverage, its country of op eration, its market share—make it in trinsically easier or harder to score w ell on our RO A measure. These same facts may also en tail differen t levels of volatilit y in p erfor- mance. Suc h differences, moreo ver, may b e completely unrelated to the differ- 2 ences in managerial talent or p erformance that we are hoping to measure. The pharmaceutical industry , for example, is c haracterized b y very high barriers to en try and patent-protected monop olies on sp ecific drugs, allo wing these firms to enjo y unusually high returns. The prop osed b enc hmarking metho d is based on t wo complementary ideas. 1. First, w e account for dependence and heteroskedasticit y using flexible Ba yesian mo dels applied to an underlying normal laten t v ariable. W e use regression- tree mo dels to account for the highly nonlinear, conditionally heterosk edas- tic relationships that are present in the corp orate p erformance data. These ideas ha v e connections with Bay esian mo dels based on Gaussian copulas (Hoff, 2007; Gramacy and Silv a, 2009). 2. The results of such a b enc hmarking analysis are then used to flag firms whose historical p erformance tra jectories indicate that they ha v e system- atically outp erformed their p eers ov er a p erio d of many y ears. T o test for the presence of nonzero tra jectories, we use Gaussian pro cess priors and construct a Bay esian pro cedure for large-scale sim ultaneous testing of all the b enc hmarked tra jectories. 1.3 Ov erview of the b enc hmarking metho d Supp ose w e observ e a resp onse r i , along with a bask et of co v ariates x i = { x ij } p j =1 , for each of N sub jects. Suppose further that the r i arise marginally from a p op- ulation whose cum ulativ e distribution function is F . Then clearly r i = F − 1 ( u i ), where F − 1 is the pseudo-in verse of the CDF, and where u i is uniformly distributed on (0 , 1) marginally . One ma y in turn express u i in terms of a standard normal v ariable z i using the probit link: r i = F − 1 { Φ( z i ) } , where Φ is the standard-normal CDF—in essence, a univ ariate Gaussian copula mo del. Giv en F , it is p ossible to mo del the conditional distribution of z i , giv en x i , and to assess ho w far out in the tails the “b enc hmarked” v alue of z i lies. F or example, a simple metho d w ould b e to represent eac h latent v ariable as z i = µ i + σ i y i . The b enc hmark score for firm i can then b e asso ciated with the standardized residual y i , y i = z i − µ i σ i . This quantit y clearly adjusts both for the exp ected performance and the expected v olatility of p erformance, given x i . The idiosyncratic means and scales are en- tirely consistent with the notion that the z i ’s are, tak e as a whole, standard normal. 3 In this simple example, the expression for z i is o verspecified without imp osing structural relationships among the means and v ariances. It also dep ends up on kno wing the distribution function for y . Hence we need the following: 1. A metho d for handling the marginal distribution F , which is in some sense a nuisance parameter. 2. A mo del for the conditional exp ectation µ i , given the co v ariates x i . 3. A mo del for the conditional v ariance σ 2 i , given the co v ariates x i . In the corporate p erformance database, the measuremen ts are con tinuous and N is v ery large. It is therefore reasonable to estimate F using the empirical distribution function. Denote this estimate b y ˆ F , and define ˆ z i as ˆ z i = Φ − 1  N N + 1 ˆ F ( r i )  , rescaling slightly to a v oid ev aluating Φ − 1 exactly at 1. The Dvoretzky–Kiefer– W olfowitz inequality ensures that, since N is large, F and ˆ F will b e close in sup norm. Under this empirical-Ba yes approach, one can directly specify a mo del for the conditional mean and v ariance of the transformed data ˆ z = ( ˆ z 1 , . . . , ˆ z N ) t , making full use of normality assumptions that are not ev en appro ximately satis- fied by the original data. (The metho d would b e essentially unchanged if ˆ F w ere computed using some other pro cedure.) In other situations, how ev er, N may b e to o small for ˆ F to b e a stable es- timator of the CDF, or the data may b e ordinal (in whic h case F − 1 { Φ( · ) } is a man y-to-one function). In these cases, tw o go o d options are av ailable. Both can b e implemented b y constructing a Marko v c hain having a sp ecified station- ary distribution for the latent v ariables z i , whic h allow one to compute erdogic a verages for the b enc hmark scores y i . In the first option, this stationary distribution is the full Ba yesian p osterior for z , given the assumed mo del. In the second, the stationary distribution is a pseudo-posterior that results from a particular simplification to the marginal lik eliho o d due to Hoff (2007). Additionally , the second option op ens up the p ossibilit y of a direct Monte Carlo sampler from the pseudo-posterior, a voiding the p otential difficulties asso ciated with MCMC in large dimensions. Neither of these options are considered here, but ma y b e of interest to those in teresting in b enc hmarking for data sets where N is more mo derate. 2 Bac kground and exploratory analysis Understanding the reasons wh y some firms thriv e and others fail is one of the pri- mary goals of research in strategic management. Studies that examine successful 4 companies to uncov er some “secret recip e” for success are very p opular, b oth in the academic and p opular literature. Before the searc h for special causes can b egin, how ev er, success m ust be quan- tified and b enchmark ed. In this paper, we use a common metric called “return on assets” (R OA), which gives inv estors some notion of ho w effectively a company uses its a v ailable funds to pro duce income. Higher RO A n umbers are b etter, since they imply that a compan y is doing more with less. But comparing R O A n um b ers across different industries, different eras, or differen t coun tries p oses sp ecial c hallenges. W e m ust, in effect, transform all data to a common scale in order to facilitate an apples-to-apples comparison of companies in different p eer groups. Muc h academic work in this direction fo cuses on decomp osing observed v ari- ation in corp orate outcomes in to sources that arise from market, industry , and firm-lev el pro cesses (Bo wman and Helfat, 2001; Ha w awini et al., 2003). Other w ork is built on clustering algorithms (for example, Harrigan, 1985) that attempt to find logical p erformance-based groupings of firms. The goal of this pap er is different: we wish to adjust for the effects of co v ariates to pro duce a pure performance measure, one that is largely independent of factors b ey ond the con trol of a firm’s managers and employ ees. W e wish to do this, moreo ver, for a v ery large database: as was mentioned in the introduction, we ha ve 645,456 ann ual R O A observ ations on 53,038 companies in 93 coun tries, spanning 1966–2008. This encompasses ov er 85% of all publicly traded companies in all industrialized countries for the last four decades. Ha ving done this, w e seek to identify companies with sustained patterns of non-random p erformance ov er time (Ruefli and Wiggins, 2000; Scott, 2009). This database, ho wev er, exhibits a num b er of features that mak e statistical b enc hmarking difficult. Some of these features were mentioned in the introduc- tion, but to recap the main ones: Sk ewness and heavy tails: The empirical distribution of observ ed R OA v alues has a heavier left tail (i.e. negative v alues) than right tail (p ositive v alues). Eviden tly it is far more common to p erform terribly than to perform ex- cellen tly . Figure 1 sho ws the worldwide distribution of R OA, zo omed in to sho w the range from − 50% to +30%. Notice the extremely long low er tail (whic h extends far b eyond the window shown here); the peakedness near zero; and the concen tration of mass b etw een 0% and 10%. Heterosk edasticity: Information suc h as industry , size, debt, and mark et share seem to b e relev an t in predicting both the expected v alue (center) and exp ected spread (volatilit y) in observed R OA v alues. Missingness and sample-size heterogeneity: Some companies hav e as little as 1 year of data; other companies hav e as many as 41. Similarly , there 5 Empirical Distribution of R O A, Zoomed In ROA Density − 0.4 − 0.2 0.0 0.2 0 2 4 6 8 10 2 Figure 1: The empirical distribution of return on assets (RO A) in the cohort under study . are gaps in many of the observ ed time series—for example, we observe a compan y from 1980–1985 and 1988–2000, but not in 1986–1987. T o get a sense of how RO A dep ends upon the relev ant co v ariates, consult Figures 2 – 5. Figure 2 plots the marginal distribution of R OA as it c hanges o v er time. Clearly there are large temp oral fluctuations caused b y ma jor macro economic trends. Figure 3 shows the R O A distributions for the 22 coun tries in the database with the most num b er of records. Ma jor cross-country differences are apparent, b oth in the center and spread of the RO A distribution. Australia, for example, has an enormous left tail compared to other countries; Britain, Hong Kong, and the United States app ear structurally similar to eac h other, though with some significan t differences; China and India hav e v ery small low er tails and a muc h larger concen tration of companies with p ositive R O A; and Japan and Italy are c haracterized by upp er and low er tails that are muc h thinner than those of other coun tries in the sample. Figure 4, mean while, shows RO A v ersus size, as measured b y the log of a compan y’s inflation-adjusted assets. There is a clear heterosk edastic “fan” shap e that p ersists ov er time: lo w-asset companies tend to hav e more v ariable RO A than high-asset companies. High-asset companies also tend to hav e higher returns than 6 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 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! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 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Figure 5 shows a snapshot of global RO A versus industry for 1990. The industry groupings are tak en from the Global Industry Classification System, or GICS. One can see large systematic differences due to industry group. F or example: • Biotec hnology and pharmaceutical firms (3520) and information-tec hnology firms (4510, 4520, and 4530) tend to hav e R OA distributions that are very spread out. • Commercial banks and mortgage companies (4010) hav e an RO A distribu- tion that is v ery narro wly p eak ed around zero, with o ccasional outliers. W e hav e sho wn only the b oxplots for 1990, and while these differences are rela- tiv ely stable, some asp ects of the relationship b et ween industry group and RO A do c hange ov er time. Some of these differences can b e explained b y different lev els of assets in eac h industry group. Ev en after adjusting for assets, how ev er, some systematic differences in the center and spread of the R OA distribution re- main. It is clear from these explorations that w e m ust build a mo del that allo ws p oten tial in teractions of industry group and year in order to accoun t for observed p eer-group effects, including the ob vious conditional heteroskedasticit y apparent in the plots. 7 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 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A US BRA CAN CHE CHN DEU FRA GBR HKG IDN IND IT A JPN K OR MYS NLD SGP SWE THA TWN USA ZAF − 0.3 − 0.2 − 0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 Large Countries (N >= 3000), Zoomed In ROA (1.0 = 100%) 7 Figure 3: Bo xplots showing large differences in the distribution of raw RO A across differen t coun tries. (Only the 22 largest countries b y sample size are included.) ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 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! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 0 2 4 6 8 10 12 14 − 0.4 − 0.2 0.0 0.2 RO A versus Size, Zoomed In log_defl_assets1 ROA 27 Figure 4: RO A v ersus inflation-adjusted assets. 8 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 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! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1010 1510 2010 2020 2030 2510 2520 2530 2540 2550 3010 3020 3030 3510 3520 4010 4020 4030 4040 4510 4520 4530 5010 5510 − 0.3 − 0.2 − 0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 Companies in 1990 GICS4 Codes ROA (1.0 = 100%) 21 Figure 5: R OA in 1990, stratified b y the groupings in the four-digit Global Industry Classification System (GICS). 3 Benc hmarking with tree mo dels 3.1 Ba y esian regression trees T o accoun t for all these nuances in the data, w e fit a Bay esian regression-tree mo del to the transformed Gaussian z i ’s corresp onding to the ra w R O A v alues. Ba yesian tree mo dels are describ ed in detail by Denison et al. (1998), Chipman et al. (1998), and Gramacy and Lee (2008), building up on the classical work by Breiman et al. (1984). The goal of the metho d is to use a tree with binary splitting rules inv olving the cov ariates to mo del the conditional distribution of z i . A tree itself is best understo o d as a partition of the data points in to a m utually exclusive, collectively exhaustiv e set of “terminal no des.” Each data p oin t ( z i , x i ) is assigned to a terminal no de of the tree b y “cascading” down the tree, and successively applying the binary splitting rules at eac h non-terminal no de to determine whether the data p oin t go es into the left daughter node or the righ t daughter no de. Each splitting rule is a binary decision in volving one of the co v ariates x j , and the“ cascade” is guaran teed to stop, since every legal tree has a finite maximum depth. The prior ov er tree space is defined implicitly b y a process for generating random trees. When combined with the likelihoo d for z i ’s in eac h terminal no de, 9 this pro duces a p osterior distribution o ver tree space, and therefore a p osterior o ver the supp orted family of conditional distributions of z i , given the co v ariates. This prior has tw o parts: a prior ov er the top ology or shap e of the tree, and a prior ov er splitting rules that define each non-terminal node of the tree. The prior ov er tree top ology is indexed b y t w o parameters α and β , whic h describ e the probability that a given no de K t will b e split into t wo further no des: p (split K t ) = α { 1 + d ( K t ) } − β where d ( K t ) is the depth of the no de K t (i.e. how man y previous splits ha ve take place to yield K t as a terminal no de). As a default choice, we c ho ose α = 1 / 2 and β = 2. This has the effect of regularizing the conditional probabilit y mo del for z i b y limiting the size of the tree, thereb y preven ting ov erfitting. Finally , the prior o ver splitting rules is defined hierarchically , as follo ws. F or a giv en no de, the cov ariate used in the split is chosen uniformly from among the p co v ariates under consideration. Then once a particular co v ariate has b een c hosen, the v alue that defines the split region is chosen uniformly from the empirical distribution of observed cov ariate v alues in the data set. T rees partition the predictor space in to h yp ercub es, represented b y terminal no des on the tree, suc h that the distribution of outcomes in each hypercub e is relativ ely homogenous. Giv en the assumed normalit y of the z i ’s, it is reasonable to describ e the data distribution in each terminal no de K t ∈ K using a normal distribution with mean µ K t and standard deviation σ K t . This assumption allows the marginal likelihoo d of a prop osed tree to b e calculated in closed form. T o fit this mo del, the Metrop olis–Hastings algorithm is used to explore the space of trees. The metho d is explained in detail b y Chipman et al. (1998) and Gramacy and Lee (2008), and is implemented in the R pac k age tgp (Gramacy and T addy, 2009). 3.2 Results of mo del fit The tree mo del describ ed in the previous subsection w as used to fit the conditional distribution of z i , given cov ariates x i . W e use the follo wing cov ariates to prop ose splitting rules for the tree: Y ear: The year of the observ ed RO A v alue, to accoun t for differences ov er time. GICS: A v ariable indicating a company’s co de in the GICS classification sys- tem, a standard metho d for classifying firms into successiv ely finer, more homogenous groups. GICS co des are 8 digits and rigidly hierarchical. F or example, all companies whose co des b egin with 25 are in the “Consumer Discretionary” economic sector. This is, in turn broken down in to further categories by the next three pairs digits of the co de: e.g. 2550 for “Retail,” 10 1970 1980 1990 2000 − 4 − 2 0 2 4 O WENS CORNING Y ear R O A Score ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1970 1980 1990 2000 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 O WENS CORNING Y ear R O A P ercentile , After Co v ar iates 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1970 1980 1990 2000 − 4 − 2 0 2 4 JPMORGAN CHASE & CO Y ear ROA Score ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1970 1980 1990 2000 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 JPMORGAN CHASE & CO Y ear ROA P ercentile, After Cov ariates 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1970 1980 1990 2000 − 4 − 2 0 2 4 GILLETTE CO Y ear ROA Score ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1970 1980 1990 2000 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 GILLETTE CO Y ear ROA P ercentile, After Cov ariates 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1970 1980 1990 2000 − 4 − 2 0 2 4 MA YT A G CORP Y ear R O A Score ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1970 1980 1990 2000 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 MA YT A G CORP Y ear R O A P ercentile , After Co v ar iates 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 − 4 − 2 0 2 4 IMS HEAL TH INC Y ear R O A Score ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 IMS HEAL TH INC Y ear R O A P ercentile , After Co v ar iates 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1975 1980 1985 1990 1995 − 4 − 2 0 2 4 GAP INSTRUMENT CORP Y ear ROA Score ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1975 1980 1985 1990 1995 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 GAP INSTRUMENT CORP Y ear ROA P ercentile, After Cov ariates 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Figure 6: Before and after pictures of some example companies. The left column sho ws the b enc hmark (black line); conditional 95% predictive in terv al for z it , giv en x ij (shaded area); and actual v alue of z ij (dots). The right column sho ws the same companies placed onto a common (0 , 1) scale of b enc hmarked p erformance, Φ { ( z ij − µ ij ) /σ ij } . 11 255040 for “Sp ecialty Retail,” and 25504010 for “Apparel Retail.” This hierarc hical structure is mirrored across all categories. T o capture it, we simply treat the GICS co de as a numerical v ariable to b e used directly in tree splitting rules. Log deflated assets, a proxy for compan y size that adjusts for differences due to the effects of inflation o v er the last four decades. Lev erage, which captures a company’s ratio of debt to assets. Highly leveraged firms tend to hav e more v olatile p erformance patterns, meaning that this co v ariate will b e esp ecially useful for capturing differences in the exp ected magnitude departure of z i from its conditional mean. Coun try of op eration: to use this as a co v ariate, w e computed the pairwise Kolmogoro v-Smirnov (KS) distance b etw een the empirical distribution of R OA in the United States, and that of ev ery other country in the sample. All firms from country X were assigned a co v ariate v alue defined by this USA–X pairwise KS distance. Hence coun tries whose empirical R OA dis- tributions are more similar are more likely to b e near eac h other in tree space. In principle, any coun try could ha ve b een c hosen as a baseline for this KS-distance calculation, but the USA w as used b ecause it had the largest num b er of samples. It is not necessary to include interaction terms explicitly , since these are handled automatically by the ric h structure of the tree mo del. Giv en a particular tree, we can easily compute benchmark ed residuals. Let γ ( T ) i denote the tree no de asso ciated with observ ation z i at step T of the Mon te Carlo sample. The conditional b enc hmark score can then easily b e calculated as: y ( T ) i = z i − µ γ ( T ) i σ γ ( T ) i , giv en the tree parameters and no de allo cations. W e then define y i , the estimated p osterior mean for the b enc hmark score, as the b enchmark score av eraging ov er p osterior uncertain ty ab out the true tree mo del. This is w ell approximated b y the ergo dic av erage of y ( T ) i o ver the MCMC samples from tree space. It is not p ossible to show the output for all 53,038 companies, but Figure 6 sho ws three examples: JPMorgan, a large financial-services firm; Gillette, whic h man ufactures skin-care pro ducts; and Gap Instrumen t Corp oration, a small soft- w are firm. The figure gives a “b efore and after” snapshot for the three firms, demonstrating ho w the tree mo del effectiv ely adjusts for both the expected v alue, and the exp ected volatilit y , of p erformance. The left column sho ws the b ench- mark mean (blac k line); the conditional 95% predictiv e in terv al for z it , given x ij (shaded grey area); and actual v alue of z ij (dots). Notice how the b enchmark 12 distribution for the small softw are firm (Gap) is muc h wider than the b enchmark distribution for the large inv estment bank (JPMorgan). This reflects the fact that, empirically , the p erformance of small firms is m uch more v ariable during the p erio d studied than the performance of the inv estment banks. The case of JPMorgan is esp ecially in teresting, b ecause one can see the b enc h- mark distribution widen during t wo notable time p erio ds: the recession of 1969– 70, and the financial panic of 2008. This reflects the relatively higher degree of v olatility exp erience b y financial firms during these t wo episo des. The right column of Figure 6 then shows the same three companies placed on to a common (0 , 1) scale of b enchmark ed performance, defined b y the CDF of a standard normal distribution: Φ( y ij ) = Φ { ( z ij − µ ij ) /σ ij } . These plots, whic h can b e generated for all 53,038 firms, show ho w the Ba y esian tree mo del effectively b enc hmarks firms against their p eer groups, facilitating fair comparisons across a wide v ariety of industries and op erating en vironments. 4 Sim ultaneous testing of b enc hmark ed data 4.1 Notation and general approac h Let z it denote the benchmark ed observ ation for company i at time t ; let z i denote the whole vector of b enc hmarked observ ations for company i observ ed at times t i = ( t 1 , . . . , t n i ); and let, let Z denote the set of z i for all i . Our general approac h is to decomp ose eac h observed tra jectory y i as z i = f i +  i , where f i represen ts an unobserved mean tra jectory and  i a vector of noise. By “noise,” we do not mean measurement error, but rather short-term v ari- ations in p erformance that are not suggestive of any longer-term trends. This mo del sp ecification reflects the growing recognition in the managemen t-theory literature that one m ust accoun t for p oten tial autocorrelation in p erformance o ver time. See, for example, Denrell (2003), Denrell (2005), and Henderson et al. (2009). This assumption allo ws for long runs of ab o ve- or b elow-a verage p erfor- mance due simply to luck. Accordingly , we model each benchmark ed tra jectory having an autoregressiv e comp onen t. Let θ = ( φ, v ), and let Σ θ denote the familiar AR(1) cov ariance matrix having diagonal en tries Σ ii = v / (1 − φ 2 ) and off-diagonal en tries Σ ij =  v 1 − φ 2  φ | i − j | . 13 W e assume the follo wing mo del: z i ∼ N( z i | f i , Σ θ i ) (1) θ i ∼ U ( φ i ∈ (0 , 1)) × IG( v i | a, b ) (2) f i ∼ w · G ( f i ) + (1 − w ) δ F 0 , (3) where Σ θ is the familiar AR(1) v ariance matrix; δ F 0 is a Dirac measure placing p ositiv e probability on the hypothesis that f i = F 0 , the null function that is zero everywhere; w ∈ [0 , 1] is the prior probabilit y of having a nonzero mean tra jectory; and G ( f i ) is distribution o ver p ossible nonzero mean tra jectories. Ev en though the global distribution of b enc hmarked R O A v alues will b e stan- dard normal, the tra jectories of individual firms can still display very differen t patterns of auto correlation and marginal v ariation. It is con v enient to in tro duce a mo del-index parameter γ i whic h tak es the v alue 0 if f i = F 0 , and 1 otherwise. The p osterior probabilities w i = pr( γ i 6 = 0 | Y ) then can b e used to flag non-null units. These are called the p osterior inclusion probabilities, reflecting inclusion in the non-n ull set. 4.2 Ba y esian adjustment for m ultiplicit y W e hav e phrased the problem of iden tifying nonrandom p erformers as one of large-scale, simultaneous Ba yesian testing of b enc hmark ed tra jectories, and must therefore manage the multiplicit y problem that arises. Ba y esian multiple-testing pro cedures hav e b een extensiv ely studied in man y differen t contexts. See Scott and Berger (2006) and Bogdan et al. (2008a) for theoretical developmen t; both Do et al. (2005) and Dahl and Newton (2007) exhibit the use of suc h metho ds in large genomic problems. Additionally , Muller et al. (2006), Bogdan et al. (2008b), and P ark and Ghosh (2010) go into detail ab out the relationship betw een Ba yesian m ultiple testing and classical approac hes that control the false-discov ery rate. The fo cus here is not on developing new metho dology for multiple testing, but rather on applying existing metho dology to the b enchmark ed tra jectories from the corp orate-p erformance database. These metho ds hav e the attractiv e prop ert y than they can adjust for multiplicit y automatically , without the need for using ad-ho c p enalty terms to control the false-discov ery rate. The mo del must b e completed by sp ecifying a mo del for nonzero tra jectories, along with priors for φ i and v i . W e place a uniform prior on φ i ∈ (0 , 1), along with a conjugate Inv erse-Gamma(5 / 2 , 5 / 2) prior on v i . T o model the nonzero tra- jectories, we use a Gaussian pro cess prior with a squared-exp onential co v ariance function. This ensures that the resulting tra jectories will b e smo oth, i.e. hav e deriv atives of all order. The Gaussian-pro cess mo del is describ ed in detail b y Scott (2009), wherein a similar metho d is applied to a muc h smaller database of 3,459 firms, and where an MCMC sampling algorithm is describ ed for computing 14 p osterior inclusion probabilities. The mo del solv es b oth of the ma jor problems encountered in the RO A data: time-v arying nonzero tra jectories, and the possibility of long-run departures from the av erage due to the autoregressiv e b ehavior of the residuals. 4.3 Results Giv en the nature of the data, man y interesting summaries of the results are av ail- able. W e choose to fo cus on three examples, which giv e the reader a notion of the use to whic h these results might b e put. Each example is a comparison of t wo firms in the same general area of business: t w o candy-making companies, t wo gro cery-store c hains, and t wo apparel man ufacturers. In each pair, one firm was flagged by the Ba y esian multiple-testing pro cedure as having systematically out- p erformed its p eer group with probabilit y greater than 95%. The other mem b er of the pair had less than a 50% probabilit y of ha ving systematically outp erformed its p eer group. Figure 7 comparies W rigley and T o otsie Roll; Figure 8 compares Publix and Whole F o o ds; and Figure 9 compares Abercrombie and Finish Line Sp orts. In eac h figure, the data ha v e b een transformed to a common (0 , 1) scale of p erfor- mance. The blo ck dots mark the observ ed y ij ’s (i.e. the b enchmark ed scores from the tree mo del), while the blac k line indicates the estimated mean Gaussian- pro cess tra jectory , conditional up on that tra jectory b eing nonzero. W e hav e also included draws from the p osterior predictive distribution of future b enc hmarked R OA for the 5 years after the end of the database (2009–2013). The p osterior predictiv e mean is the blue line, while the shaded grey areas indicate 50%, 75%, and 95% p osterior-predictiv e credible in terv als. (The blue line and the black line will not match up in general, since the observed p erformance in the final y ear includes a con tribution from b oth the mean tra jectory and an unobserv ed residual.) These figures highligh t some general features of the metho dology . F or one thing, it is apparent that the estimated mean tra jectories are shrunk back to- w ard the global av erage of zero (i.e. the 50th p ercentile within a firm’s p eer group). This helps regularize the estimates, since extreme outcomes are likely to b e attributed to random noise ev en among those firms whose p erformance ov erall is more consisten t with the alternativ e mo del. Second, the mo del-av eraged pre- dictions of the future b enc hmark ed scores reflect, in an intuitiv e wa y , the firm’s past p erformance. F or example, Whole F o o ds is m uc h more volatile than Pub- lix, which translates in to a larger v alue of v i (the residual v ariance) and greater uncertain ty ab out the future. Finally , a histogram of the p osterior inclusion probabilities is shown in Figure 10. This histogram restricts atten tion to the 21,759 firms for whic h at least 10 y ears of data are a v ailable, since conclusions are necessarily v ague for firms with 15 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 11609 WRIGLEY (WM) JR CO Predictive mean (b lue line); 50% inter val (dark); 75% inter val (medium); 95% interval (light) Y ear P ercentile 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 10609 T OOTSIE ROLL INDUSTRIES INC Predictive mean (b lue line); 50% inter val (dark); 75% inter val (medium); 95% interval (light) Y ear P ercentile 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Figure 7: Comparison of tw o man ufacturers of sweets, W rigley and T o otsie Roll. W rigley was flagged by the multiple-testing pro cedure as out-p erforming its p eer group, while T o otsie Roll w as not. 16 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 8815 PUBLIX SUPER MARKETS INC Predictive mean (b lue line); 50% inter val (dark); 75% inter val (medium); 95% interval (light) Y ear P ercentile 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 24893 WHOLE FOODS MARKET INC Predictive mean (b lue line); 50% inter val (dark); 75% inter val (medium); 95% interval (light) Y ear P ercentile 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Figure 8: Comparison of t wo gro cery store c hains, Publix and Whole F o o ds. Publix was flagged b y the m ultiple-testing pro cedure as out-p erforming its p eer group, while Whole F o o ds w as not. 17 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 63643 ABERCROMBIE & FITCH − CL A Predictive mean (b lue line); 50% inter val (dark); 75% inter val (medium); 95% interval (light) Y ear P ercentile 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 25357 FINISH LINE INC − CL A Predictive mean (b lue line); 50% inter val (dark); 75% inter val (medium); 95% interval (light) Y ear P ercentile 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Figure 9: Comparison of tw o apparel companies, Ab ercrom bie and Finish Line Sp orts. Abercrombie w as flagged b y the multiple-testing pro cedure as out- p erforming its p eer group, while Finish Line w as not. 18 Distribution of P osterior Inclusion Probabilities P osterior Inclusion Probability for 10−year Cohort Frequency 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Figure 10: P osterior inclusion probabilities for the w orldwide firms for whic h at least 10 years of data w ere a v ailable. less than 10 years of history . Of these firms, 3,956 had inclusion probabilities greater than 50%, while only 193 had p osterior inclusion probabilities greater than 90%. It w ould app ear that systematically sup erior p erformance is quite rare, and that a large part of the v ariation in firms’ performance from y ear to y ear is a consequence of short-term effects (mo deled here as residuals). This general result ab out the rarit y of corp orate outp erformance is supp orted by other recent studies on the sub ject (e.g. Henderson et al., 2009). References M. 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