Residus de 2-formes differentielles sur les surfaces algebriques et applications aux codes correcteurs derreurs

Thèse de l'Univ ersité de T oulouse Résidus de 2 -formes diéren tielles sur les surfaes algébriques et appliation aux o des orreteurs d'erreurs par Alain Couvreur Souten ue le lundi 8 déem bre à 16h dans l'amphithéâtre S h w artz Jury Emman uel Hallouin Univ ersité de T oulouse I I Examinateur Gilles La haud Univ ersité d'Aix-Marseille I I Examinateur Mar P erret Univ ersité de T oulouse I I Direteur Mar Rev ersat Univ ersité de T oulouse I I I Direteur F elip e V olo  h Univ ersit y of T exas Rapp orteur Gilles Zemor Univ ersité de Bordeaux I Examinateur Institut de Mathématiques de T oulouse, UMR 5219, UFR MIG Lab oratoire Émile Piard, Univ ersité P aul Sabatier 31062 TOULOUSE Cédex 9 Ce qui nous r assur e du sommeil, 'est qu'on en sort, et qu'on en sort inhangé, puisqu'une inter dition bizarr e nous emp ê he de r app orter ave  nous l'exat r ésidu de nos songes. Marguerite Y ourenar Mémoir es d'Hadrien Remeriements Quelques mois a v an t de ommener ma thèse, une jeune  her heuse qui me v an tait les mérites de la re her he a v ait form ulé ette mise en garde : une thèse, 'est diile, on est très seul. Je suis on v ainu qu'une érasan te ma jorité de do toran t(e)s - don t je fais partie - a éprouv é e sen timen t au moins une fois. P ourtan t, main tenan t que la rédation de ma thèse tou he à sa n, je réalise à quel p oin t rien de tout e que j'ai fait n'aurait été p ossible si j'a v ais réellemen t été seul. T rès souv en t, les premières lignes d'un livre son t elles que l'auteur a érit en dernier. Cette thèse n'é happ e pas à la règle. De la même manière, mes premiers remeriemen ts v on t v ers les ateurs du dénouemen t. Ceux sans qui ette thèse ne p ourrait se terminer. Je remerie les six p ersonnes qui on t aepté de omp oser mon jury . T out d'ab ord, Mar Rev ersat sans qui mon in tégration dans l'ex-lab oratoire Émile Piard n'aurait pas été p ossible. Ma gratitude v a ensuite à Gilles La haud, direteur de mon direteur, p our son aueil  haleureux à l'IML au début de ette année. Un grand meri égalemen t à Gilles Zemor p our tout e qu'il m'a appris lors de ma visite à Téléom P aris ainsi que p our les p ertinen tes orretions qu'il a suggéré p our e man usrit. Je remerie ensuite F elip e V olo  h p our son aueil et son enadremen t duran t mon séjour à l'Univ ersité du T exas, je le remerie égalemen t d'a v oir aepté de rapp orter ma thèse. Je remerie bien sûr mon direteur Mar P erret, mais j'y reviendrai un p eu plus loin... Enn, je remerie Emman uel Hallouin p our ses nom breux onseils tout au long de ma thèse. Je garderai un exellen t souv enir des disussions de p olitique ou d'algèbre lo ale que nous a v ons eues ensem ble. Je remerie par ailleurs Dino Lorenzini p our toutes ses remarques et p ertinen tes sugges- tions sur mon man usrit. Je lui suis égalemen t reonnaissan t d'a v oir aepté de rapp orter ma thèse. P our la même raison, je remerie sinèremen t le troisième rapp orteur de ette thèse Mi hael T sfasman. L'équip e de la dernière ligne droite. Meri à Matthieu et Aurélie qui on t sans auune hésitation aepté que leur appartemen t soit en v ahi et leur uisine dév astée, l'espae d'un w eek-end. Meri égalemen t à Tiphaine qui, duran t la préparation du p ot, n'a jamais re higné à netto y er tout ouv ert dégoulinan t de  ho olat fondu. Ceux qui murmurent à l'o reille des p ro esseurs. F ae aux nom breux souis dus à un ordinateur réalitran t, j'ai toujours b énéié d'une assistane mail ou téléphonique d'une eaité remarquable. À e titre, je remerie Maxime, grâe à qui ma v ersion d'Emas est si p erforman te qu'elle serait presque apable de ommander une pizza ou de irer un parquet. Meri à Gâ hette p our son ob jetivité dans le débat Ubun tu vs Madrak e et enn meri à Benjamin qui nous a démon tré par l'exemple que son ordinateur  her hait à dev enir le maître du monde. Ceux qui font avaner à grands pas. Duran t es trois dernières années, un ertain nom bre de on v ersations orales ou érites a v e d'autres  her heurs m'on t indisutablemen t aidé à a v aner. Je remerie tout d'ab ord Julien Duv al, Stev en L. Kleiman et Gerhard F rey p our 5 6 leurs préieuses expliations. Meri ensuite à An toine Duros p our son aptitude à dégainer un on tre exemple plus vite que son om bre et à Joseph T apia p our son exellen te syn thèse orale du R esidues and Duality d'Hartshorne. Enn, je tiens à remerier sinèremen t T om Høholdt p our sa gen tillesse, son dév ouemen t, son hospitalité ainsi ses indisutables qualités de p édagogues qui on t fait de ma visite à la DTU (Univ ersité T e hnique du Danemark) un séjour aussi frutueux qu'agréable. Ceux qui font la même hose... ou p resque. Un grand meri à tous les do toran ts (et do teurs) T oulousains que j'ai to y és duran t es trois années. Je remerie tout partiuliè- remen t Anne p our les quatre heures du mois d'août, Céile p our sa maîtrise des blagues Caram bar, T on y p our ses imitations du S h troumpf grognon et Landry p our sa apaité à animer un débat en évitan t systématiquemen t le onsensus 1 . Meri égalemen t à F red Protin p our ses mails aux jeux de mots déapan ts, à F red Pitoun p our son dynamisme déon traté qui toniait nos jeudis, à Julien Ro ques qui partageait mon a vis sur Bono et les p erformanes de Randy Marsh. Je remerie enn mes obureaux, Charef, Ghada et Matthieu, leur présene me fut toujours des plus agréables. Les uns et les htes. Lors de mes missions hors de T oulouse, j'ai fréquemmen t appréié la qualité de mon aueil. Je remerie à e titre Delphine Bou her de Rennes, Sylv ain Duquesne et Louise Nyssen de Mon tp ellier et Pierre-Louis Ca yrel de Limoges. Je remerie égalemen t F rederi Edouk ou, A dnen Sb oui, leur ex-direteur de thèse F rançois Ro dier et Christophe Ritzen thaler de m'a v oir aueilli duran t une semaine à l'IML duran t ma seonde année de thèse. Je tiens égalemen t à remerier les mem bres de l'IML et du départemen t de mathématiques de Lumin y qui m'on t si bien aueilli et in tégré dans leur équip e ette année. Remeriemen ts partiuliers à tous les mem bres de l'équip e A TI. P a re qu'il n'y a pas que la reherhe dans la thèse... Je remerie tous les enseignan ts et  her heurs du départemen t de mathématiques de l'Univ ersité du Mirail. Mes trois années d'enseignemen t dans ette univ ersité furen t un plaisir, tan t p our le on tat des étudian ts que p our elui des ollègues. Je tiens tout partiulièremen t à remerier Julien Lab etaa p our qui j'ai donné des TD's et a v e qui la ollab oration fut des plus agréables. ... et qu'il n'y a pas que le travail dans la vie. P armi les nom breux souv enirs que je garderai de es trois années, il y aura les nom breuses ns d'après midi ensoleillées en terrasse. Meri à eux a v e qui j'ai partagé es si agréables momen ts. Meri à Émilie, Gusta v o, Romain, Seb, Solenn, Soazig, T anguy et P errine. Un grand meri égalemen t à Céile qui m'a expliqué la diérene en tre un bus et un TUB, à Erw an pare qu'il omprend le 229 e degré et à Xa vier p our son sens de l'orien tation en situation ritique. Ceux qui simplient la vie. Meri à Véronique F abris, Agnès Requis et Jo elyne Piard p our leur disp onibilité et leur patiene en toute ironstane. Celle que j'ai roisé. Meri à Lara p our tous les onseils qu'elle a pu me donner lors des nom breuses on v ersations que l'on a eues ensem ble. C'est toujours un plaisir p our moi de trouv er son nom sur la liste des partiipan ts d'une onférene à laquelle je me rends. Ceux qui m'ont aueilli. Meri à tous les mem bres de l'ex-Grimm de m'a v oir in tégré parmi eux. Remeriemen ts partiuliers à Thierry Heno q et Christian Maire. 1 Je sais, tu n'es pas d'aord a v e e que je viens de dire. 7 Ceux sans qui ette thèse n'aurait pas eu lieu. Je remerie Jean-Mar Couv eignes qui fut mon premier on tat à l'ex-Grimm et qui onsara une énergie partiulière à la régularisation de ma omplexe situation administrativ e. Meri égalemen t à Arnaud Debuss he et Mi hel Pierre de m'a v oir si bien onseillé en n de Master. Au hef. Meri à Mar P erret de m'a v oir si bien enadré duran t es trois années. J'ai partiulièremen t appréié son in v estissemen t, sa patiene, sa apaité a expliquer en des termes simples les faits et ob jets mathématiques les plus omplexes. Connaissan t son extrême mo destie, je préfère ne pas en dire plus de p eur de le mettre mal à l'aise, mais si tout était à refaire, je lui onseillerais de ne rien  hanger. Celles qui étaient là dès le début. Meri à mes s÷urs Nadine et Sylvie. Ceux sans qui je ne serais pas là. À mes paren ts, meri p our tout. Celle qui est tout p our moi. Meri Gw enola. T able des matières I Résidus 23 I Résidus de 2-formes sur une surfae 25 I.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 I.2 Cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 I.3 Résidus en o dimension 1 et 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 I.4 Complétions et séries de Lauren t en deux v ariables . . . . . . . . . . . . . . . 28 I.4.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 I.4.2 Dév elopp emen ts en séries de Lauren t, première appro  he . . . . . . . . 28 I.4.3 Dév elopp emen ts en séries de Lauren t, seonde appro  he . . . . . . . . 30 I.4.4 Changemen t de v ariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 I.4.5 Ob jets rationnels et formels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 I.5 Dénition générale des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 I.5.1 In v ariane des 2 -résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 I.5.2 Le adre géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 I.6 Propriétés des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 I.6.1 Inuene d'un élatemen t sur les résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 I.6.2 Le as des p oin ts singuliers d'une ourb e . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 I.7 F orm ules de sommation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 I I Co des géométriques 53 I I Co des diéren tiels sur une surfae 55 I I.1 Langage et Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 I I.2 Rapp els sur les o des onstruits à partir de ourb es . . . . . . . . . . . . . . . 56 I I.2.1 Co des fontionnels et diéren tiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 I I.2.2 P aramètres de es o des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 I I.2.3 Relation d'orthogonalité et déo dage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 I I.2.4 Deux onstrutions distintes mais une seule lasse de o des . . . . . . 57 I I.3 Co des géométriques onstruits à partir de surfaes algébriques . . . . . . . . . 57 I I.3.1 Cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 I I.3.2 Co des fontionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 I I.3.3 Co des diéren tiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 I I.3.4 P aires de diviseurs ∆ -on v enables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 I I.3.5 Exemples de diviseurs ∆ -on v enables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 I I.3.6 Disussion sur la ∆ -on v enane et le ritère . . . . . . . . . . . . . . . 70 I I.4 Relations en tre o des fontionnels et diéren tiels sur une surfae . . . . . . . 70 I I.4.1 Relation d'orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 I I.4.2 Un o de diéren tiel est fontionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 I I.4.3 Réipro que, un o de fontionnel est diéren tiel . . . . . . . . . . . . . 73 I I.5 Défaut d'inlusion réipro que p our le théorème d'orthogonalité . . . . . . . . 74 I I.5.1 Co des sur le plan pro jetif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 I I.5.2 Co des sur un pro duit de deux droites pro jetiv es . . . . . . . . . . . . 76 9 10 T able des matières I I.6 Heuristique, est-e un problème de sup er ab ondane ? . . . . . . . . . . . . . 79 I I I Théorème de réalisation 83 I I I.1 Con texte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 I I I.2 Sous- ∆ -on v enane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 I I I.3 Sur les notions de réalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 I I I.4 Constrution de l'orthogonal d'un o de fontionnel . . . . . . . . . . . . . . . 89 I I I.5 Disussion autour du théorème de réalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 I I I.5.1 Un exemple de réalisation sans que les onditions du théorème de I I I.4.1 soien t v ériées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 I I I.6 Une autre appliation p ossible des théorèmes à la Bertini . . . . . . . . . . 95 I I I.6.1 Les tra v aux de P ellik aan, Shen et W ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 I I I.6.2 Le as des o des fontionnels sur une surfae . . . . . . . . . . . . . . 96 IV Orthogonal d'un o de fontionnel 99 IV.1 Première appro  he . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 IV.1.1 Notion de m -généralité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 IV.1.2 Systèmes linéaires de P N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 IV.1.3 Lien a v e les notions de distane minimale . . . . . . . . . . . . . . . . 100 IV.1.4 Minorations de la distane minimale de l'orthogonal d'un o de fontionnel 101 IV.1.5 Appliations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 IV.2 Seonde appro  he, un problème ouv ert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 V Construtions de mots de faible p oids et o des LDPC 109 V.1 In tro dution aux o des LDPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 V.1.1 Graphe de T anner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 V.1.2 Déo dage itératif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 V.1.3 L'algorithme min-somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 V.1.4 Disussion sur l'algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 V.2 Co des LDPC et surfaes de p etit degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 V.2.1 Ob jetifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 V.3 Calul expliite de mots de o des de p etit p oids . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 V.3.1 Mots pro v enan t de droites non on ten ues dans S . . . . . . . . . . . . 118 V.3.2 Mots pro v enan t de droites on ten ues dans S . . . . . . . . . . . . . . . 122 V.4 Exp érimen tations a v e Ma gma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 V.4.1 Co des sur des surfaes ubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 V.4.2 Implémen tation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 V.4.3 Co des sur des surfaes quartiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 V.4.4 Utilisation de l'algorithme min-somme p our le déo dage de es o des. 127 A Séries de Lauren t 133 A.1 Sur les mo dules de diéren tielles relativ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 A.2 Démonstration du lemme I.5.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 A.3 T op ologie de k (( u ))[[ v ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 A.4 Démonstration du théorème I.5.3 en aratéristique p ositiv e . . . . . . . . . . 137 B Indép endane des v aluations 141 C Complémen t d'algèbre linéaire 143 D Constrution de o des fontionnels 147 D.1 Constrution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 D.2 Essen tiellemen t, 'est la même  hose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 E P oin ts en p osition générale 149 T able des matières 11 F Programmes Magma 153 F.1 Diviseurs ∆ -on v enables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 F.2 Caluls de matries de parité de o des LDPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Intro dution Cette thèse est omp osée de deux parties. La première p orte sur les notions de résidus de 2 -formes diéren tielles rationnelles sur une surfae algébrique. La seonde partie utilise les résultats de la première en vue d'appliations aux o des orreteurs d'erreurs. Ce tra v ail de re her he est parti d'une onstatation simple. En théorie des o des géométriques onstruits à partir de ourb es algébriques, on distingue deux t yp es de onstrutions. La onstrution fontionnel le qui, omme son nom l'indique, utilise des fontions et la onstrution diér en- tiel le qui utilise des formes diéren tielles. Cep endan t, tous les tra v aux de re her he ab ordan t l'étude des o des géométriques onstruits à partir de v ariétés de dimension sup érieure ou égale à 2 fon t systématiquemen t app el à une onstrution de t yp e fontionnelle. De ette ob- serv ation est née une question : p eut-on génér aliser la  onstrution diér entiel le en dimension sup érieur e ou é gale à 2 ? Seule la généralisation aux surfaes sera ab ordée, nous justierons e  hoix un p eu plus loin dans ette in tro dution. Histo rique des o des géométriques La première onstrution de o des orreteurs d'erreurs par des métho des issues de la géométrie algébrique a été présen tée par Goppa dans [ Gop81 ℄. P eu après, dans [TVZ82 ℄, T sfasman, Vlduµ et Zink, utilisaien t ette appro  he géométrique p our onstruire des familles de o des don t les p erformanes asymptotiques dépassaien t elles de toutes les familles de o des onn ues jusque là. Ces résultats on t été la prinipale motiv ation du dév elopp emen t de la théorie des o des géométriques. Co des sur les ourb es algéb riques Dès la n des années 80, la théorie des o des géométriques était dev en ue un thème de re her he extrêmemen t dynamique. Plusieurs en taines d'artiles on t été publié sur l'étude de es o des, que e soit sur la re her he de b ons o des, de b onnes familles de o des ou eno de d'algorithmes de déo dage. Il serait don diile de fournir une bibliographie omplète sur le sujet. Signalons tout de même les quelques publiations présen tan t un p oin t de vue général sur la théorie. Le premier artile de syn thèse sur la question est dû à La haud [La86 ℄, il y est présen té toutes propriétés théoriques onn ues sur les o des géométriques. P our des référenes plus détaillées, on p eut onsulter le livre de Goppa [Gop88 ℄ ou elui de T sfasman et Vlduµ [TV91 ℄. Enn, p our une syn thèse sur les algorithmes de déo dage de o des géométriques on p ourra se référer à l'artile de syn thèse de Høholdt et P ellik aan [HP95℄ p our les tra v aux onn us a v an t 1995 et au  hapitre de [MMR08 ℄ érit par Beelen et Høholdt p our les tra v aux plus réen ts. 13 14 Co des sur les va riétés en dimension sup érieure Si le sujet des o des géométriques sur les ourb es a été étudié de façon très approfondie, la re her he sur les o des onstruits à partir de v ariétés de dimension sup érieure ou égale à 2 est restée nettemen t plus marginale. Historiquemen t, le premier à a v oir donné une onstru- tion de o des orreteurs d'erreurs à partir de v ariétés de dimension quelonque est Manin dans [VM84℄. P ar la suite, un ertain nom bre d'artiles est paru sur la question. La liste de référenes qui suit n'est pas exhaustiv e. On dénom bre au moins trois publiations fournissan t des résultats généraux sur les o des géométriques onstruits à partir de v ariétés algébriques de dimension sup érieure ou égale à 2 . Dans [La90 ℄ et [La96 ℄, La haud fournit une minoration de la distane minimale des o des onstruits sur une v ariété pro jetiv e lisse quelonque. Dans [Han01 ℄, Søren Ha v e Hansen étu- die les paramètres des o des onstruits à partir de v ariétés algébriques lisses quelonques et prop ose des exemples issus des v ariétés de Deligne-Lustzig. Enn, dans [Bou03 ℄, Bouga- nis étudie les o des onstruits sur des surfaes algébriques lisses quelonques puis étudie le omp ortemen t asymptotique de ertaines familles de tels o des. P our le reste, la plupart des autres tra v aux publiés p orten t sur l'estimation des paramètres de o des onstruits à partir de v ariétés appartenan t à une lasse partiulière. Les o des sur les surfaes toriques on t été étudiés par Hansen dans [ Han00 ℄. Ses résultats on t ensuite été généralisés en dimension quelonque par Ruano dans [Rua07 ℄. Les o des onstruits sur des Grassmanniennes on t d'ab ord été étudiés par Nogin dans [Nog96 ℄, puis par Ghorpade et La haud dans [GL00 ℄. Les o des onstruits à partir de v ariétés Hermitiennes on t été ab ordés p our la première fois par Chakra v arti dans [Cha93 ℄, ensuite par Hirs hfeld, T sfasman et Vlduµ dans [HTV94℄, puis par Sørensen dans sa thèse [Sør91 ℄ et enn par Edouk ou dans [Edo07 ℄. Notons que les v ariétés Hermitiennes et Grassmaniennes p euv en t être vues omme des v ariétés drap eaux. Ce p oin t de vue unié est disuté par Ro dier dans [Ro d03 ℄. La distane minimale des o des sur les v ariétés quadriques de dimension quelonque est étudiée par Aubry dans [Aub92℄. Le as des surfaes quadriques est appro  hé de façon pus détaillée par Edouk ou dans [Edo08 ℄. Enn, Zarzar a traité le as des surfaes don t le rang du Group e de Néron- Sév éri arithmétique est p etit dans [Zar07 ℄. Il prop ose ensuite dans un tra v ail omm un a v e F. V olo  h [VZ05 ℄, une appro  he de déo dage utilisan t un algorithme de déo dage itératif prop osé par Lub y et Mitzenma her [LM05 ℄. Enn, signalons qu'une exellen te syn thèse sur les tra v aux onn us sur les o des onstruits sur des v ariétés de dimension sup érieure est présen tée dans une prépubliation de Little (v oir [Lit08 ℄). À présen t, rapp elons que, omme indiqué au début de e  hapitre in tro dutif, en théorie des o des sur les ourb es on distingue deux métho des de onstrution de o des resp etiv emen t app elées onstrution fontionnelle et diéren tielle. Cep endan t, en dimension sup érieure, on ne disp ose que de la onstrution fournie par Manin dans [VM84℄. Cette dernière est une généralisation naturelle de la onstrution fontionnelle sur les ourb es. T ous les tra v aux ités i-dessus s'appuien t sur ette onstrution et auune généralisation de la onstrution diéren tielle n'a été prop osée jusque là. Notons d'ailleurs que Little signale dans l'in tro dution de son artile de syn thèse [Lit08 ℄ une obstrution ma jeure à une telle généralisation. In a sense, the rst major dier en e b etwe en higher dimensional varieties and urves is that p oints on X of dimension ≥ 2 ar e subvarieties of  o dimension ≥ 2 , not divisors. This me ans that many familiar to ols use d for Gopp a  o des (e.g. R iemann-R o h the or ems, the the ory of dier entials and r esidues et.) do not apply exatly in the same way.  En quelques mots, l'ob jetif de ette thèse est, après a v oir mis en plae le matériel théo- rique néessaire, de fournir une onstrution diéren tielle de o des sur les surfaes, puis de l'appliquer à l'étude des o des géométriques. 15 P ourquoi des o des diérentiels sur les surfaes ? Outre la v olon té de généralisation en vue d'une harmonisation des théories en tre le as des ourb es et elui des v ariétés de dimension sup érieure, plusieurs argumen ts motiv en t ette question. Un intérêt histo rique. Les o des géométriques on t été in tro duits p our la première fois par V.D Goppa en 1981 [Gop81 ℄. Dans et artile, la onstrution présen tée était diéren tielle. Aussi, même si les o des fontionnels son t plus p opulaires  hez les sp éialistes des o des géométriques, la onstrution historique est de t yp e diéren tielle. L'intérêt d'une nouvelle onstrution géométrique. Le seond argumen t réside dans l'in- térêt de disp oser d'une onstrution géométrique de o des. P our omprendre en quoi une telle onstrution est a v an tageuse, ommençons par réé hir aux diéren tes façons de dérire un o de. La manière la plus simple est de s'en donner une base, 'est-à-dire une matrie génératrie. Cep endan t, une telle desription n'est pas du tout adaptée à la résolution de problèmes tels que la minoration de la distane minimale ou la re her he d'un algorithme de déo dage eae. P ar onséquen t, on  her he en général à résoudre es problèmes p our des lasses de o des admettan t une r é alisation par des ob jets appartenan t à une autre bran he des mathématiques, omme l'arithmétique ou la géométrie. C'est par exemple le as des o des de Reed-Solomon qui fon t app el à des p olynmes en une v ariable, des o des de Reed- Müller qui se onstruisen t à partir de p olynmes à plusieurs v ariables ou enore des o des de résidus quadratiques don t la onstrution et l'étude fon t app el à de l'arithmétique des orps nis. P ar e biais, les problèmes de minoration de la distane minimale et de re her he d'algorithmes de déo dage p euv en t être traduits sous forme de problèmes d'algèbre ou de géométrie. On se ramène don à un on texte omp ortan t une strutur e (arithmétique ou géométrique par exemple) et dans lequel on disp ose de da v an tage d'outils mathématiques p our résoudre un problème donné. En onlusion, il est toujours in téressan t de disp oser d'une réalisation géométrique d'un o de p our l'étudier . À e titre, la onstrution de o des orreteurs à partir de formes diéren tielles sur des surfaes est une v oie que l'on se doit d'explorer. Des o des en relation ave les o des fontionnels. En théorie des o des géométriques onstruits à partir de ourb es, on disp ose de relations en tre o des fontionnels et o des diéren tiels. ( R1 ) Un o de diéren tiel sur une ourb e est toujours l'orthogonal d'un o de fontionnel onstruit à partir de la même ourb e et asso ié aux mêmes diviseurs. ( R2 ) T out o de diéren tiel sur une ourb e se réalise omme un o de fontionnel onstruit à partir de la même ourb e mais asso ié à des diviseurs diéren ts. La relation ( R1 ) est une onséquene de la form ule des résidus et du théorème de Riemann-Ro  h. Cette propriété d'orthogonalité est de plus un ingrédien t utilisé dans de nom breux algorithmes de déo dage (v oir [ HP95℄). D'une façon générale, disp oser d'une réa- lisation géométrique de l'orthogonal ou d'un sous-o de de l'orthogonal d'un o de orreteur p eut être fort utile p our le déo dage. La relation ( R2 ) est une onséquene du théorème d'appro ximation faible ([Sti93 ℄ I.3.1). Elle implique que les o des fontionnels et les o des diéren tiels onstruits à partir de ourb es algébriques, bien qu'obten us par des onstrutions diéren tes, appartiennen t à la même lasse. On p eut don restreindre l'étude générale de es o des à elle de o des pro v enan t d'une seule des deux onstrutions. Le plus souv en t, 'est la onstrution fontionnelle qui est adoptée. Ce  hoix vien t sans doute de e que, p our b eau- oup de mathématiiens, la notion d'év aluation d'une fontion en un p oin t est plus in tuitiv e et manipulable que elle d'év aluation du résidu d'une forme diéren tielle. Ainsi, après s'être in terrogé sur la p ossibilité d'étendre aux surfaes la onstrution dif- féren tielle de o des, il est naturel de réé hir aux p ersp etiv es d'extension aux surfaes des 16 propriétés ( R1 ) et ( R2 ). De tels résultats on tribueraien t en eet à approfondir nos onnais- sanes des o des géométriques onstruits à partir de surfaes. Nous détaillerons les résultats obten us dans e sens en page 18 . D'intéressants développ ements théo riques. Nous allons v oir que la onstrution et l'étude des o des diéren tiels onstruits sur des surfaes a néessité de nom breux résultats théoriques onernan t les formes diéren tielles sur les surfaes. Les résultats énonés dans le premier  hapitre ne son t pas réellemen t nouv eaux. En géométrie algébrique, la notion de résidu en dimension sup érieure à 2 a été ab ordée par Grothendie k et Hartshorne dans [ Har66 ℄ ainsi que par Lipman dans [Lip84 ℄. Cep endan t, à la diérene de es référenes, la notion de résidu présen tée dans le  hapitre I pro vien t d'une onstrution expliite ne faisan t app el à auun raisonnemen t de t yp e fontoriel. La v olon té de onstruire des o des diéren tiels sur des surfaes algébriques a don p ermis l'élab oration d'une in tro dution au résidus sur des surfaes par une appro  he plus expliite et onstrutiv e que elles qui existaien t jusque-là 2 . A v an t de passer à une présen tation plus détaillée des diéren tes parties de la thèse. Si- gnalons que le on ten u des  hapitres I et I I en v ersion  ondensé e a donné lieu à la rédation d'un artile [Cou08 ℄. Présentation de la p remière pa rtie Si la notion de résidu est bien onn ue dans le as des 1 -formes diéren tielles sur une ourb e algébrique et qu'une unique dénition de et ob jet fait l'unanimité dans la littérature, en dimension sup érieure la situation est nettemen t moins laire. P ar exemple, en géométrie algébrique omplexe, la dénition énonée dans l'ouvrage [GH78 ℄ de Griths et Harris dière de elle du livre [ BHPV ℄ de Bath, P eters, Hulek et V an de V en. P our le premier, un résidu est un élémen t du orps de base (le orps des omplexes) obten u à partir de la donnée d'une n - forme méromorphe ω dénie sur une v ariété omplexe X de dimension n , d'un p oin t P de X et d'une famille ordonnée de n diviseurs de ette v ariété s'in tersetan t en P . P our le seond, étan t donnée une v ariété omplexe X et une sous-v ariété Y de o dimension un dans X , le résidu d'une r -forme méromorphe sur X le long de Y est la donnée d'une ( r − 1) -forme sur Y . Notons dès main tenan t que es ouvrages se plaen t dans le on texte des v ariétés omplexes, on texte dans lequel on p eut aluler les résidus a v e l'aide de la form ule de Cau h y . En d'autres termes, les résidus p euv en t être obten us en in tégran t une forme diéren tielle sur une sous-v ariété réelle. Ce p oin t de vue utilise le fait qu'une v ariété omplexe de dimension n p eut être vue omme une v ariété réelle de dimension 2 n . Un tel p oin t de vue ne p eut évidemmen t pas s'étendre à un autre adre omme par exemple elui des v ariétés sur un orps ni. Dans un on texte plus général, on trouv e dans [ Har66 ℄ un ob jet app elé r ésidu de Gr o- thendie k qui ressem ble à l'ob jet déni par Griths et Harris en e sens qu'il asso ie à une forme diéren tielle de degré maximal un élémen t du orps (ou de l'anneau) de base. Cet ob jet est ep endan t plus fortemen t relié à un système de o ordonnées lo ales et sa onstrution néessite un imp ortan t arsenal d'ob jets et de raisonnemen ts fontoriels. Dans la première partie, qui est omp osée du seul  hapitre I, on in tro duira les notions de 1 -résidu qui orresp ondron t à la dénition de [BHPV℄ et de 2 -résidu qui orresp ondron t à la dénition de [GH78 ℄. Nous étudierons égalemen t les relations qui lien t es ob jets. P our e faire, nous étudierons les dév elopp emen ts de fontions et de 2 -formes diéren tielles en séries de Lauren t de deux v ariables. Le 2 -résidu sera l'ob jet qui susitera le plus notre atten tion. Il p ermet d'extraire un élémen t du orps de base à partir de la donnée d'une 2 -forme rationnelle ω sur une surfae, d'une ourb e C plongée dans ette surfae et d'un p oin t rationnel P de 2 P eu de temps après l'en v oi de la seonde v ersion de e man usrit, Oleg Osip o v du Steklo v Mathematial Institute, m'a on taté après a v oir onsulté une prépubliation de mes résultats sur ArXiv (v oir [Cou08℄). Il m'a alors signalé qu'une appro  he similaire a v ait été donnée par P ar²in dans [P ar76 ℄. J'ignorais l'existene de et artile p eu onn u et raremen t ité lorsque j'ai tra v aillé sur es questions. 17 C . On le notera res 2 C,P ( ω ) . Présentation des résultats de la p remière pa rtie Les tra v aux eetués dans la première partie (don le premier  hapitre) ab outissen t à deux t yp es de résultats. Inva riane des 2 -résidus Le premier résultat ma jeur est le théorème I.5.3 qui assure que l'appliation res 2 C,P est bien dénie. En d'autres termes, le 2 -résidu en un p oin t P le long d'une ourb e C d'une 2 -forme rationnelle ω ne dép end pas d'un  hoix de o ordonnées lo ales. F o rmules de sommation L'ob jetif prinipal de e tra v ail est d'obtenir des form ules du t yp e :  la somme des r ésidus de ω est nul le , en vue de relations d'orthogonalité en tre o des dans la seonde partie. Dans la setion I.7 du  hapitre I, on fournira trois form ules de sommation 3 . Théorème I.7.1 (Première form ule des résidus) . Soit S une surfa e pr oje tive irr é dutible lisse dénie sur un  orps algébriquement los. Soient C une  ourb e pr oje tive irr é dutible plongé e dans S et ω une 2 -forme r ationnel le sur S . On a X P ∈ C r es 2 C,P ( ω ) = 0 . Théorème I.7.4 (Deuxième form ule des résidus) . Soit S une surfa e quasi-pr oje tive ir- r é dutible lisse dénie sur un  orps algébriquement los. Soient P un p oint de S et C S , P l'ensemble des germes de  ourb es irr é dutibles tr a é es sur S et  ontenant P . Pour toute 2 - forme ω r ationnel le sur S , on a X C ∈C S,P r es 2 C,P ( ω ) = 0 . La troisième form ule de sommation néessite la dénition de 2 -résidu en un p oin t le long d'un diviseur. Nous ren v o y ons le leteur à la dénition I.7.10 page 50 . Théorème I.7.11 (T roisième form ule des résidus, [Lip84 ℄  hap. 12) . Soit S une surfa e pr oje tive irr é dutible lisse dénie sur un  orps algébriquement los. Soient D a et D b deux diviseurs sur S dont l'interse tion des supp orts est un ensemble ni Z . Soit Ω 2 ( − D a − D b ) le fais e au de 2 -formes r ationnel les vériant lo  alement ( ω ) ≥ − D a − D b . A lors, p our toute se tion glob ale ω du fais e au Ω 2 ( − D a − D b ) , on a X P ∈ S r es 2 D a ,P ( ω ) = X P ∈ Z r es 2 D a ,P ( ω ) = 0 . 3 Comme signalé dans la note au bas de la page 16 , une partie des résultats présen tés dans la première partie de ette thèse a v aien t en fait déjà été démon trées dans [P ar76 ℄ par des métho des similaires. C'est par exemple le as des deux premières form ules de sommation de résidus, à sa v oir les théorèmes I.7.1 et I.7.4 18 La troisième form ule des résidus est le résultat que nous utiliserons dans le  hapitre I I p our obtenir un résultat d'orthogonalité en tre o des. Elle se démon tre à l'aide des deux autres form ules de sommation énonées (les théorèmes I.7.1 et I.7.4 ). Cette troisième form ule des résidus n'est pas nouv elle, on en trouv e un énoné similaire dans le  hapitre 12 de [ Lip84 ℄ qui est v alable en toute dimension et pas seulemen t sur les surfaes. Nous insistons une fois de plus sur le fait que la démonstration donnée dans ette thèse a l'in térêt de faire app el à des onstrutions plus expliites et plus onstrutiv es que elles utilisées dans les démonstrations onn ues de e résultat. A  hev ons notre argumen tation à e sujet par une itation justemen t extraite de [ Lip84 ℄, an de légitimer ( mor e or less ) le  hoix que nous a v ons fait de présen ter et démon trer es résultats de manière nouv elle et plus aessible. Statements 0.3A and 0.3B, ar e  onse quen es (mor e or less) of ([Har66 ℄ p age 383  or ol lary 3.4). However, one of our main purp oses in this p ap er is to pr ovide a pr o of of 0.3 for whih lo . it. is not a pr er e quisite. The other main purpuse is to desrib e the  onne tion b etwe en lo  al and glob al duality, via r esidues (.f. [Har66 ℄ p age 386 pr op 3.5). A v an t de passer à la présen tation de la seonde partie, nissons par une remarque. Il p eut sem bler naturel de se demander p ourquoi les résultats énonés dans ette thèse ne p orten t prinipalemen t que sur les surfaes et non sur les v ariétés de dimension sup érieure. Diéren tes raisons on t motiv é e  hoix. La première est que, même s'il est fort probable que les onstrutions et les résultats présen tés dans la première partie admetten t une généralisation en dimension sup érieure à 2 , tout tra v ail dans ette diretion aurait en traîné d'imp ortan tes lourdeurs dans les notations. Nous a v ons don  hoisi de nous restreindre au as déjà non trivial des surfaes, sa han t que, p our e t yp e de problème de géométrie algébrique, le passage de la dimension 1 à 2 est l'étap e diile à fran hir. Enn, l'ob jetif étan t de tra v ailler sur les o des orreteurs, il sem blait déjà fort in téressan t de ne onsidérer que le as des surfaes, e dernier n'a y an t été que raremen t exploré. Il nous a don sem blé in utile de partir v ers de telles généralités alors que le monde des surfaes algébriques orait déjà de si nom breuses p ersp etiv es. Présentation de la seonde pa rtie La seonde partie on tien t les  hapitres I I à V. Elle onerne les o des géométriques et plus préisémen t les o des diéren tiels onstruits sur des surfaes algébriques. Présentation des résultats de la seonde pa rtie Les o des diéren tiels sur une surfae algébrique son t dénis dans le  hapitre I I (dénition I I.3.2 page 59 ). On se donne dans tout e  hapitre une surfae pro jetiv e lisse géométrique- men t in tègre S sur F q , un diviseur G sur S et une famille de p oin ts rationnels P 1 , . . . , P n de S qui éviten t le supp ort de G . On note ∆ le 0 -yle ∆ := P 1 + · · · + P n . Dans tout e qui suit et jusqu'à la n de ette in tro dution, les o des fontionnels seron t notés  C L  et les o des diéren tiels  C Ω . Les dénitions resp etiv es de es o des son t données en setions I I.3.2 et I I.3.3. Co des diérentiels sur les surfaes La onstrution de es o des néessite l'in tro dution d'une paire de diviseurs ( D a , D b ) . P our obtenir une relation d'orthogonalité on dénit la notion de paires de diviseurs ∆ - on v enables (v oir dénition I I.3.5 page 60 ). Il s'agit de paires de diviseurs qui son t en un ertain sens r elié es au 0 -yle ∆ . Le premier résultat ma jeur de e  hapitre est une relation d'othogonalité qui est plus faible que la propriété ( R1 ) dans le as des ourb es puisqu'il ne s'agit plus que d'une inlusion au lieu d'une égalité. 19 Théorème I I.4.1 (Théorème d'orthogonalité) . Soient ( D a , D b ) une p air e ∆ - onvenable de diviseurs et D := D a + D b . On a alors, C Ω ,S (∆ , D a , D b , G ) ⊆ C L,S (∆ , G ) ⊥ . L'inlusion réipro que est en général fausse, omme le mon tre le on tre-exemple donné en setion I I.5.2. Plus préisémen t, on présen te l'exemple d'une surfae (le pro duit de deux droites pro jetiv es) sur laquelle l'orthogonal d'un o de fontionnel ne se réalise sous la forme d'un o de diéren tiel p our auun  hoix de paire de diviseurs ∆ -on v enable ( D a , D b ) . Nous étudions ensuite la p ossibilité d'étendre aux o des sur les surfaes la propriété ( R2 ). À la diérene de ( R1 ), ette seonde relation s'étend parfaitemen t au as des surfaes. Théorème I I.4.6 . Soient ( D a , D b ) une p air e ∆ - onvenable de diviseurs et D := D a + D b , alors il existe un diviseur  anonique K tel que C Ω ( D a , D b , G ) = C L (∆ , K − G + D ) . Théorème I I.4.9 . Étant donné un diviseur G sur S , il existe un diviseur  anonique K et une p air e ∆ - onvenable ( D a , D b ) tel le que C L (∆ , G ) = C Ω ( D a , D b , K − G + D ) . Le  hapitre I I se termine par une disussion en setion I I.6 autour des raisons du défaut d'inlusion réipro que dans le théorème d'othogonalité I I.4.1 . Cette disussion est onséutiv e à la présen tation d'un on tre-exemple à l'inlusion réipro que du théorème I I.4.1 donnée en setion I I.5.2 . P ar ailleurs, e on tre-exemple p ermet de onlure le seond  hapitre sur une imp ortan te onstatation. Il assure en eet que les o des fontionnels onstruits sur une surfae algébrique et leurs orthogonaux appartiennen t en général à une lasse diéren te. C'est un phénomène qui diérenie fondamen talemen t le as des ourb es de elui des surfaes. Notons que ette asymétrie en tre les o des fontionnels et leurs orthogonaux a v ait déjà été signalée par V olo  h et Zarzar dans [ VZ05 ℄. It is inter esting to note that Gopp a  o des  oming fr om urves ar e seldom LDPC sin e their duals ar e also Gopp a  o des  oming fr om urves and, as suh, have a lar ge minimal distan e, wher e as the dual of an LDPC has a smal l minimal distan e by denition. P our le reste, ette observ ation ouvre un in téressan t axe de re her he, elui de l'étude de l'orthogonal d'un o de fontionnel sur une surfae. C'est e qui donnera lieu au  hapitre IV , nous y reviendrons plus loin. Théo rème de réalisation Dans le  hapitre I I I on mon tre ommen t, sous ertaines onditions sur la surfae S et le diviseur G , on p eut réaliser l'orthogonal d'un o de fontionnel non pas omme un o de diéren tiel mais omme une somme de o des diéren tiels. L'énoné du théorème fait app el à la notion de sous- ∆ -on v enane dénie en setion I I I.2 (dénition I I I.2.1 page 84 ). Théorème I I I.4.1 (Théorème de réalisation) . Soient S une surfa e lisse gé ométriquement intè gr e et interse tion  omplète dans un esp a e pr oje tif P r F q et G un diviseur sur S liné ai- r ement é quivalent à une se tion de S p ar une hyp ersurfa e de P r . On se donne é galement un 0 -yle ∆ qui est la somme de n p oints r ationnels de S évitant le supp ort de G . Soit c un mot du  o de C L,S (∆ , G ) ⊥ . A lors, il existe une p air e de diviseurs ( D a , D b ) et une 2 -forme ω app artenant à l'esp a e des se tions glob ales Γ( S, Ω 2 ( G − D a − D b )) , tels que c = r es 2 D a , ∆ ( ω ) . 20 Remarque. L e thé or ème de r é alisation dit en fait un p eu plus que ça, il fournit é galement des informations sur les strutur es gé ométriques et les lasses d'é quivalen e liné air es des diviseurs D a et D b (voir p age 89 ). Corollaire I I I.4.2 . Sous les hyp othèses du thé or ème de r é alisation, il existe une famil le nie ( D (1) a , D (1) b ) , . . . , ( D ( s ) a , D ( s ) b ) de p air es de diviseurs sous- ∆ - onvenables tel les que C L,S (∆ , G ) ⊥ = s X i =1 C Ω ,S (∆ , D ( i ) a , D ( i ) b , G ) . La démonstration du théorème de réalisation utilise un théorème à la Bertini sur les orps nis démon tré par P o onen en 2004 dans [P o o04 ℄. On termine le  hapitre en mon tran t qu'un argumen t à la Bertini de t yp e diéren t p ourrait p ermettre d'obtenir d'in téressan tes informations sur la distane minimale d'un o de fontionnel sur une surfae. Ce problème reste ouv ert, nous en disuterons de nouv eau page 21 . Étude de l'o rthogonal d'un o de fontionnel Le  hapitre IV explore la v oie ouv erte par le  hapitre I I, à sa v oir l'étude de ette nouv elle lasse de o des que son t les orthogonaux de o des fontionnels sur une surfae. La première setion de e  hapitre se plae en fait dans un on texte plus général, elui des v ariétés de dimension quelonque. Son ob jetif est de minorer la distane minimale de l'orthogonal d'un o de fontionnel sur une telle v ariété à l'aide de métho des d'algèbre linéaire. On obtien t un résultat de minoration. Théorème IV.1.7 . On supp ose N sup érieur ou é gal à 2 . Soit m un entier tel que G ∼ mL X , alors (1) la distan e minimale d ⊥ du  o de C L,X (∆ , G ) ⊥ vérie d ⊥ ≥ m + 2 et il y a é galité si et seulement si le supp ort de ∆  ontient m + 2 p oints alignés ; (2) sinon, si le supp ort de ∆ ne  ontient p as m + 2 p oints alignés, alors d ⊥ ≥ 2 m + 2 et il y a é galité si et seulement si le supp ort de ∆  ontient 2 m + 2 p oints sur une même  onique plane. On onlut ette première setion en donnan t quelques appliations de e résultat. On mon tre par exemple que si X est une ourb e plane, alors p our ertaines v aleurs de m , la b orne fournie par le théorème IV.1.7 (1) est meilleure que la distane onstruite 4 de Goppa ([Sti93℄ def I I.2.4). La deuxième setion du  hapitre IV présen te une métho de de minoration de la distane minimale de l'orthogonal d'un o de fontionnel sur une surfae, sous réserv e de disp oser d'un résultat à la Bertini que l'on énone. Cette partie ne fournit don pas de résultat à propremen t parler mais motiv e un problème ouv ert que l'on énonera à la n de ette in tro dution (v oir question 5 G page 21 ). Co des LDPC et déo dage itératif Le  hapitre V p orte sur l'étude de ertains o des fontionnels onstruits sur des surfaes. Cette question a déjà été ab ordée par V olo  h et Zarzar dans [ VZ05 ℄. 4 Le terme de distane onstruite a été  hoisi par l'auteur omme tradution de designe d minimal distan e . 21 Le  hapitre ommene par une série de prérequis onernan t les o des LDPC ( L ow Density Parity Che k , e son t les o des admettan t une matrie de parité r euse ). On y rapp elle les notions de graphe de T anner et présen te un algorithme de déo dage itératif. Dans un seond temps on étudie la p ossibilité de onstruire une matrie de parité reuse p our ertains o des fontionnels sur des surfaes et on applique à es o des l'algorithme de déo dage itératif présen té en première partie de  hapitre. Ce  hapitre présen te un v olet plus exp érimen tal de e tra v ail de thèse, en dériv an t des aluls eetués a v e le logiiel Ma gma . Problèmes ouverts Dans e qui préède, nous a v ons signalé à plusieurs reprises l'existene de problèmes ouv erts p osés par e tra v ail de thèse. Nous onluons ette in tro dution en énonçan t les plus imp ortan ts. Sur l'o rthogonal d'un o de fontionnel Dans le  hapitre I I I, on mon tre que sous ertaines h yp othèses sur la surfae S et le diviseur G , l'orthogonal du o de fontionnel se réalise omme somme de o des diéren tiels. On remarque ensuite par l'étude d'un exemple (page 93 ) que les onditions que doiv en t v érier S et G dans l'énoné du théorème de réalisation son t susan tes mais pas néessaires. Question 3. L e r ésultat du thé or ème de r é alisation (thé or ème III.4.1 ) r este-t-il vr ai si l'on élimine les hyp othèses sur S et G dans l'énon é ? Une autre question naturelle se p ose onernan t le théorème de réalisation, ou plutt le orollaire I I I.4.2. Question 4. Sous les  onditions du  or ol lair e III.4.2 , p eut-on estimer le nombr e minimal de  o des diér entiels dont la somme est é gale à l'ortho gonal d'un  o de fontionnel en fontion d'invariants gé ométriques de la surfa e ? Sur les théo rèmes à la Bertini Une question ma jeure est p osée à la n du  hapitre I I I et une v arian te de ette dernière est p osée à la n du  hapitre IV. Une rép onse à e problème p ourrait fournir des minorations de la distane minimale de o des fontionnels onstruits sur des surfaes et d'orthogonaux de tels o des. Question 5 (Arithmétique) . Soient X une variété pr oje tive lisse gé ométriquement intè gr e sur un  orps ni F q et P 1 , . . . , P n , une famil le de p oints fermés de X . Peut-on évaluer expliitement ou major er de façon pr é ise le plus p etit entier d tel qu'il existe au moins une hyp ersurfa e dénie sur F q de de gr é inférieur ou é gal à d qui interp ole tous les P i et dont l'interse tion shématique ave  X soit une sous-variété lisse gé ométriquement intè gr e de  o dimension 1 ? Question 5 (Géométrique) . Soit X une variété pr oje tive irr é dutible lisse dénie sur F q et P 1 , . . . , P n une famil le de p oints de X . Peut-on évaluer expliitement ou major er de façon pr é ise le plus p etit entier d tel qu'il existe au moins une hyp ersurfa e H de de gr é inférieur ou é gal à d  ontenant tous les P i et tel le que H ∩ X soit une sous-variété lisse de  o dimension un de X ? Une présen tation plus omplète des questions et problèmes ouv erts p osés par ette thèse sera faite dans la onlusion page 129 . Première partie Résidus Chapitre I Résidus de 2-fo rmes sur une surfae Résidu. n.m (lat. residuum). Matière qui subsiste après une op ération ph ysique ou  himique, un traitemen t in- dustriel et... Syn. Débris, dé het, rebut, reste. Ce  hapitre est relativ emen t diéren t de eux qui v on t suivre. Il est en eet le seul don t le on ten u ne soit pas diretemen t relié à la théorie des o des orreteurs d'erreurs. L'ob jetif est de fournir le matériel théorique néessaire à la onstrution et l'étude de o des diéren tiels onstruits sur des surfaes algébriques. La notion en trale de e premier  hapitre est elle de résidu. I.1 Notations Soit X une v ariété algébrique dénie sur un orps k , on note k ( X ) le orps des fontions rationnelles sur X . De même, on note Ω i k ( X ) /k le k ( X ) -espae v etoriel des i -formes diéren- tielles rationnelles sur X . Soit Y une sous-v ariété irrédutible de X , on dira qu'une fontion (resp. une forme diéren tielle) rationnelle sur X est r é gulièr e au voisinage de Y , si et seule- men t si elle est régulière sur un ouv ert don t l'in tersetion a v e Y est non vide 1 . L'anneau lo al des fontions régulières au v oisinage de Y et son idéal maximal son t resp etiv emen t notés O X,Y et m X,Y . On rapp elle que le orps résiduel de et anneau est le orps k ( Y ) des fontions rationnelles sur Y . Si u est un élémen t de O X,Y , on note u | Y sa restrition à Y . Si par ailleurs il n'y a pas d'am biguïté onernan t la sous-v ariété Y le long de laquelle on restrein t notre fontion ette restrition p ourra être notée ¯ u . Enn, le omplété m X,Y -adique de et anneau est noté b O X,Y I.2 Cadre Dans e  hapitre, sauf men tion on traire, k désigne un orps quelonque (don de ara- téristique quelonque) et S une surfae algébrique quasi-pro jetiv e lisse géométriquemen t in tègre 2 dénie sur k . De plus, sauf men tion on traire, C désigne une ourb e irrédutible absolumen t réduite dénie sur k et plongée dans S et P un p oin t rationnel lisse de C . Notons que, omme S est supp osée lisse, C est non on ten ue dans le lieu singulier de ette surfae. P ar onséquen t, l'anneau O S,C est de v aluation disrète. De plus, la v aluation m S,C -adique de et anneau s'étend en une v aluation disrète v al C sur k ( S ) . 1 Dans le langage des s hémas, ela revien t à dire que la fontion (resp. la forme diéren tielle) est régulière au v oisinage du p oin t générique de Y . 2 C'est-à-dire que sur tout ouv ert ane U de S , l'anneau de o ordonnées de U × k ¯ k est in tègre. En d'autres termes, la surfae S est absolumen t réduite et absolumen t irrédutible. 25 26 I. Résidus de 2-fo rmes sur une surfae Sur la notion de va riété Dans toute ette thèse, nous parlerons de variétés , or il s'a v ère que e terme n'est pas réellemen t standard. Il est don néessaire de ommener par xer une dénition de ette notion. Dénition I.2.1. Une variété X sur un  orps k est un shéma no ethérien de typ e ni sur k . P our les dénitions de s héma no ethérien et de t yp e ni v oir [Har77 ℄ I I.3. I.3 Résidus en o dimension 1 et 2 Il est signalé dans l'in tro dution, qu'en dimension sup érieure à 1 , diéren ts ob jets p orten t le nom de r ésidu dans la littérature. Nous allons in tro duire es ob jets et étudier les relations qui les relien t. La dénition de résidu la plus simple à in tro duire est elle de résidu en o dimension 1 . Rapp elons que l'on se plae sous les h yp othèses énonées en setion I.2. Prop osition I.3.1. Soit v une uniformisante 3 de l'anne au O S,C . Soit ω une 2 -forme r a- tionnel le de valuation sup érieur e ou é gale à − 1 le long de C . A lors, il existe η 1 ∈ Ω 1 k ( S ) /k et η 2 ∈ Ω 2 k ( S ) /k , toutes deux r é gulièr es au voisinage de C et tel les que ω = η 1 ∧ dv v + η 2 . (I.1) De plus, la forme diér entiel le η 1 | C ∈ Ω 1 k ( C ) /k est unique et ne dép end ni du hoix de l'uni- formisante v ni du hoix de la dé  omp osition (I.1 ). Dénition I.3.2. On app el le  ette 1 -forme sur C le 1 -r ésidu de ω le long de C et on la note r es 1 C ( ω ) := η 1 | C . Un analogue de la prop osition I.3.1 est énoné et démon tré dans [BHPV ℄ au début de la setion I I.4. Notons que ladite référene se plae dans un adre sensiblemen t diéren t, à sa v oir elui des formes holomorphes sur les v ariétés omplexes. T outefois, la preuv e d'in v ariane ne fait en auun as app el à des propriétés sp éiques des v ariétés omplexes. Elle s'étend de fait aisémen t au adre dans lequel nous tra v aillons. Nous donnerons en setion I.5.1 une preuv e de ette prop osition-dénition dans un on texte plus général (v oir lemme I.5.6 ). Dénition I.3.3. Sous les hyp othèses de la pr op osition I.3.1 , soit P un p oint k -r ationnel lisse de C . L e 2 -r ésidu de ω en P le long de C est le r ésidu en P du 1 -r ésidu de ω le long de C . On le note r es 2 C,P ( ω ) := r es P ( r es 1 C ( ω )) . Remarque I.3.4. Étant donné que la 2 -forme ω est k -r ationnel le sur S , que la  ourb e C est dénie sur k et que P est un p oint k -r ationnel de C ,  e 2 -r ésidu est un élément de k . Notons que, omme le orps de base n'est pas supp osé algébriquemen t los, il p eut sem bler logique de se plaer dans un adre plus général, à sa v oir que P est un p oin t fermé lisse de C . Cep endan t, la motiv ation de e  hapitre est d'ab outir à des form ules de sommation de 2 -résidus, don t l'une (le théorème I.7.11 ) p eut être vue omme une v ersion en dimension 2 de la form ule des résidus bien onn ue en dimension 1 . P our parv enir à es form ules, nous a v ons trouv é plus onfortable d'adopter une appro  he géométrique. Ainsi, dans la setion I.7 qui onerne es form ules de sommation, le orps de base est supp osé algébriquemen t los. D'un autre té, nous aurons tout de même b esoin dans les  hapitres suiv an ts d'un résultat de t yp e arithmétique, à sa v oir la remarque I.3.4 . En eet, l'ob jetif étan t de onstruire des 3 C'est à dire une fontion de v aluation 1 le long de C . I.3. Résidus en o dimension 1 et 2 27 o des par év aluation de résidus, il faut s'assurer que les mots de o de onstruits son t bien à o eien ts dans un orps xé. Ainsi, le ompromis adopté est le suiv an t. Étan t donné que tout p oin t géométrique de S est un p oin t rationnel de ette surfae après une ertaine extension des salaires, on tra- v aillera toujours a v e des p oin ts rationnels. Dans un seond temps lorsqu'il s'agira d'énoner des résultats de sommation, on se plaera dans S × k ¯ k de façon à p ouv oir onsidérer sans distintion tous les p oin ts géométriques de S . A v an t de passer à la setion suiv an te, donnons quelques exemples et remarques p our ommener à dév elopp er une ertaine in tuition des résidus. Remarque I.3.5. Dans les deux dénitions pr é  é dentes on a supp osé que ω n 'avait p as de p le multiple le long de C . Dans  e qui va suivr e, nous verr ons que les 2 -r ésidus sont bien dénis même si l'on r etir e  ette hyp othèse. Cep endant,  ette  ondition sur la valuation de ω le long de C est indisp ensable p our la b onne dénition des 1 -r ésidus le long de C . C'est  e que montr e l'exemple I.3.6 . Exemple I.3.6 . Supp osons que S est le plan ane omplexe A 2 C m uni d'un système de o- ordonnées anes ( x, y ) . Soien t C la droite d'équation y = 0 et P l'origine du plan ane. Considérons la 2 -forme ω := xdx ∧ dy y 2 . Une généralisation naturelle de la notion de 1 -résidu serait d'extraire de ω , la restrition à C du terme en dy /y . Dans l'expression i-dessus on obtiendrait un 1 -résidu n ul. Eetuons main tenan t le  hangemen t de v ariables, x := u + y . L'expression de ω devien t ω = ( u + y ) du ∧ dy y 2 = udu ∧ dy y 2 + du ∧ dy y et on obtiendrait dans e as un 1 -résidu égal à d ¯ u . Remarque I.3.7. Il faut insister dès à pr ésent sur le fait que l'on ne p eut p as p arler de r ésidu d'une 2 -forme en un p oint mais de r ésidu d'une 2 -forme, le long d'une  ourb e C en un p oint P . Cela p eut sembler étr ange, mais le  alul pr ésenté dans l'exemple I.3.8 p ermet de se  onvainr e du fait que  ette sp é i ation est in ontournable. Exemple I.3.8 . On reprend S = A 2 C et les mêmes C et P que dans l'exemple I.3.6. Soit ω := dx x ∧ dy y . Ii nous sommes dans un as sympathique, la 2 -forme ω n'a que des p les simples au v oisinage de P . On a res 1 C ( ω ) = d ¯ x ¯ x et don res 2 C,P ( ω ) = 1 . À présen t, p osons C ′ := { x = 0 } . L'an tiomm utativité du pro duit extérieur en traîne que res 1 C ′ ( ω ) = − d ¯ y ¯ y . De fait, res 2 C ′ ,P ( ω ) = − 1 . Enn, si on app elle C ′′ la droite d'équation { x = y } , en p osan t v = y − x , on obtien t, ω = dx x ∧ dv v + x . On dév elopp e alors en série de Lauren t en la v ariable v , ω = dx x ∧ dv x  1 + v x  =  1 − v x + v 2 x 2 − · · ·  dx x 2 ∧ dv . P ar onséquen t, il n'y a pas de terme en dv v , don res 1 C ′′ ( ω ) = 0 et res 2 C ′′ ,P ( ω ) = 0 . 28 I. Résidus de 2-fo rmes sur une surfae Ce dernier exemple motiv e les onstrutions in tro duites dans la setion suiv an te. En eet, le alul eetué orresp ond à un dév elopp emen t du o eien t de ette 2 -forme en une série de Lauren t appartenan t à k (( x ))(( v )) . P ar ailleurs, les séries de Lauren t étan t l'ob jet utilisé en théorie des ourb es algébriques p our aluler des résidus il sem ble naturel d'en in tro duire une généralisation en dimension 2 . I.4 Complétions et séries de Laurent en deux va riables I.4.1 Problématique En un p oin t k -rationnel lisse Q d'une ourb e algébrique X , il est aisé de dérire le om- plété m X,Q -adique de k ( X ) . Il s'iden tie au orps des séries de Lauren t k (( u )) , où u est un paramètre lo al en Q . Ii, le fait que k ( X ) on tienne le orps résiduel de [ k ( X ) , à sa v oir k , p ermet d'obtenir un unique plongemen t k ( X ) ֒ → k (( T )) en v o y an t u sur T . On disp ose en partiulier d'une métho de expliite p our déomp oser une fontion en séries de Lauren t en la v ariable u , et aluler le résidu d'une 1 -forme en Q . Dans le as d'un orps de fontions de dimension 2 , la situation se omplique lourdemen t. Si Y est une surfae irrédutible sur k , les anneaux de v aluation disrète de k ( Y ) son t ses sous-anneaux de la forme O Y ,C , où C est une ourb e irrédutible absolumen t réduite on ten ue dans le omplémen taire du lieu singulier de Y (ou d'une surfae birationnelle à Y ). Soit C une telle ourb e et v une uniformisan te de O S,C . Le orps résiduel de et anneau lo al est le orps k ( C ) des fontions k -rationnelles sur C . De fait, l'anneau O S,C est de v aluation disrète, de même aratéristique que son orps résiduel (ils on tiennen t tous deux k ) et on tien t un orps. D'après le théorème de struture de Cohen (v oir [Eis95 ℄ théorème 7.7 ou [Coh46 ℄ théorème 9 p our une référene historique), l'anneau b O S,C est isomorphe à k ( C )[[ v ]] et le omplété m Y ,C - adique de k ( Y ) est isomorphe à k ( C )(( v )) . Cette desription p eut sem bler ommo de, elle a toutefois un défaut qui la rend diile à exploiter : en général k ( Y ) ne on tien t pas k ( C ) . L'exemple suiv an t illustre e phénomène. Exemple I.4.1 . Soien t S = P 2 k et C ⊂ S une ourb e elliptique. Alors, il existe x ∈ k ( S ) telle que k ( C ) est une extension quadratique de k ( x ) et k ( S ) une extension transendan te pure de k ( x ) . D'après le théorème de Luröth, k ( S ) ne p eut pas on tenir k ( C ) . Une autre appro  he onsiste à onsidérer l'anneau lo al O S,P et à le ompléter m S,P - adiquemen t. Si l'on se donne un système de o ordonnées lo ales ( u, v ) en P , l'anneau b O S,P est isomorphe à k [[ u, v ]] et la déomp osition en série de T a ylor d'un élémen t de O S,P est expliitemen t alulable (v oir [Sha94 ℄ I I.2.2). Malheureusemen t, si le orps des frations de k [[ t ]] est isomorphe à k (( t )) , on ne disp ose pas d'une desription aussi agréable du orps des frations de k [[ u, v ]] . Ces onstatations motiv en t le tra v ail qui v a être eetué dans ette setion. Il s'agit de plonger les omplétés m P et m C -adiques de k ( S ) dans un orps plus gros. Deux appro  hes v on t être prop osées. Moralemen t, la première utilise la struture de O S,P et la seonde elle de O S,C . I.4.2 Développ ements en séries de Laurent, p remière app ro he Rapp elons que C est supp osée être une ourb e irrédutible sur k plongée dans S et P un p oin t rationnel lisse de C . Dans la setion I.3, nous a v ons vu que les 2 -résidus d'une forme diéren tielle dép endaien t d'une ourb e et d'un p oin t de elle-i. De fait nous allons in tro duire un t yp e de système de o ordonnées lo ales r elié à P et C . I.4. Complétions et séries de Laurent en deux va riables 29 Dénition I.4.2 ( ( P, C ) -paires fortes) . On dit qu'une p air e ( u, v ) d'éléments de O S,P est une ( P, C ) -p air e forte, si el le vérie les deux  onditions suivantes. (1) L e  ouple ( u, v ) est un système de  o or donné es lo  ales en P . (2) L a fontion v est une é quation lo  ale de C au voisinage de P . Lemme I.4.3. Soit ( u, v ) une ( P, C ) -p air e forte, alors il existe un morphisme φ : k ( S ) ֒ → k (( u ))(( v )) qui envoie u et v sur eux-mêmes et tel que l'image de O S,P est  ontenue dans k [[ u, v ]] et  el le de O S,C dans k (( u ))[[ v ]] . Remarque I.4.4. L a pr op osition I.4.12 de la se tion I.4.3 entr aîner a qu'un tel morphisme est unique. Preuve . Comme k ( S ) est le orps des frations de O S,C , il sut de mon trer l'existene d'un morphisme φ 0 : O S,C ֒ → k (( u ))[[ v ]] , qui en v oie u et v sur eux-mêmes et injete O S,P dans k [[ u, v ]] . Le lemme s'en déduira en appliquan t la propriété univ erselle des orps de frations. Commençons par mon trer que O S,C est isomorphe à O S,P ( v ) . Soit U un v oisinage ane de P tel que v soit une fontion régulière sur U don t le lieu d'ann ulation sur et ouv ert soit exatemen t C ∩ U . Un tel ouv ert existe étan t donné que v est une équation lo ale de C au v oisinage de P . Notons k [ U ] l'anneau des fontions régulières sur U . Les anneaux O S,P et O S,C s'iden tien t resp etiv emen t aux lo alisés k [ U ] m P et k [ U ] m C où m P et m C orresp onden t resp etiv emen t à P et C . De plus, l'idéal m C est prinipal et engendré par v . De fait, omme m C ⊂ m P , on a O S,P ( v ) ∼ = ( k [ U ] m P ) m C ∼ = k [ U ] m C ∼ = O S,C . Ensuite, la omplétion m S,P -adique de O S,P fournit un morphisme injetif O S,P ֒ → k [[ u , v ]] , qui à une fontion régulière au v oisinage de P asso ie sa série de T a ylor en les v ariables u et v . On onsidère alors le diagramme O S,P lo  O S,C omp ∃ ! b O S,C ∃ ! k [[ u, v ]] lo  k [[ u, v ]] ( v ) omp \ k [[ u, v ]] ( v ) . (I.2) Les deux premières è hes horizon tales du arré de gau he son t des lo alisations. Celles du arré de droite son t des omplétions ( v ) -adiques. P our nir il ne nous reste qu'à mon trer que \ k [[ u, v ]] ( v ) est isomorphe à k (( u ))[[ v ]] . P our e faire, on ommene par mon trer que le orps résiduel de l'anneau \ k [[ u, v ]] ( v ) est k (( u )) . En eet, \ k [[ u, v ]] ( v ) / ( v ) ∼ = F ra ( k [[ u, v ]] / ( v )) ∼ = F ra ( k [[ u ]]) . On in v o que ensuite le théorème de struture de Cohen. L'anneau \ k [[ u, v ]] ( v ) est omplet, de même aratéristique que son orps résiduel et on tien t un orps. Il est don isomorphe à l'anneau k (( u ))[[ v ]] . Remarque I.4.5. Noter que les variables u et v ne jouent p as un r le symétrique, p ar exemple la série f := ∞ X n =0 v n u n est un élément de k (( u ))(( v )) mais p as de k (( v ))(( u )) . Cette asymétrie n 'a rien de ho quant étant donné que, dans la dénition de ( P, C ) -p air e forte, les fontions u et v el les-mêmes jouent des r les asymétriques. 30 I. Résidus de 2-fo rmes sur une surfae I.4.3 Développ ements en séries de Laurent, seonde app ro he Dans e paragraphe, nous allons in tro duire une autre appro  he du dév elopp emen t en série de Lauren t. P our ette nouv elle appro  he, nous nous plaerons dans le on texte des ( P, C ) -paires faibles (v oir dénition I.4.9 ), moins restritif que elui des ( P, C ) -paires fortes. La prinipale motiv ation de ette seonde onstrution est que si l'on prend une fontion rationnelle f sur S , elle admet un dév elopp emen t en série de Lauren t que l'on p eut mettre sous la forme f = X n ≥ l f i ( u ) v i , où l'en tier l désigne la v aluation m S,C -adique de f . Les o eien ts f i son t des élémen ts de k (( u )) . La série f l ( ¯ u ) est le dév elopp emen t ¯ u -adique au v oisinage de P de la restrition à C de la fontion v − l f . Il s'agit don du dév elopp emen t en série de Lauren t en la v ariable ¯ u d'une fontion rationnelle sur C . Une question se p ose : en est-il de même p our les autr es  o eients f i ? Soit ( u, v ) une ( P, C ) -paire forte. Comme nous l'a v ons signalé dans l'in tro dution de ette setion, d'après le théorème de struture de Cohen, l'anneau b O S,C est isomorphe à k ( C )[[ v ]] . Malheureusemen t et isomorphisme n'est en auun as unique. En eet, d'après [Coh46 ℄ théorème 10(), si k est de aratéristique p ositiv e, il y a une innité de sous-orps de b O S,C qui son t en v o y és sur le orps résiduel k ( C ) via le morphisme de rédution mo dulo m S,C . Plus préisémen t, e défaut d'uniité d'un représen tan t du orps résiduel est lié au fait que e dernier n'est pas parfait. D'une ertaine manière, le  hoix de u p ermet de on tourner les év en tuels problèmes d'inséparabilité. De e fait, p our utiliser le théorème de Cohen, nous allons  hoisir un représen tan t du orps k ( C ) qui sera en un ertain sens r elié à la fontion u . Prop osition I.4.6 (Le orps K u ) . Soit u ∈ O S,C une fontion dont la r estrition ¯ u à C est un élément sép ar ant 4 de k ( C ) au-dessus de k . A lors, il existe un unique sous- orps K u de b O S,C  ontenant k ( u ) et isomorphe à k ( C ) via le morphisme de r é dution mo dulo m S,C . De plus,  e  orps et une extension mono gène de k ( u ) engendr é e p ar un élément y de b O S,C . Preuve . Existene. P ar h yp othèse, l'extension de orps k ( C ) /k ( ¯ u ) est une extension nie séparable. D'après le théorème de l'élémen t primitif, il existe une fontion ¯ y rationnelle sur C qui engendre k ( C ) sur k ( ¯ u ) . D'après le lemme de Hensel, ¯ y se relèv e en un unique élémen t y de b O S,C don t le p olynme minimal sur k ( u ) est elui de ¯ y sur k ( ¯ u ) . Soit K u , le sous-anneau de b O S,C engendré par k ( u ) et y , 'est-à-dire K u := k ( u )[ y ] . On obtien t ainsi une opie de k ( C ) qui on tien t k ( u ) et s'en v oie isomorphiquemen t sur k ( C ) via la rédution mo dulo m S,C . Uniité. Soit K ′ un orps distint de K u et v érian t les mêmes propriétés. Il existe don un élémen t de l'un de es orps qui n'appartien t pas à l'autre. Supp osons par exemple qu'il existe z ∈ K ′ tel que z / ∈ K u . La lasse de z mo dulo m S,C est une fontion ¯ z ∈ k ( C ) . Cette dernière admet un unique relev é z ′ dans K u . De fait, soit R ∈ k ( ¯ u )[ T ] le p olynme minimal unitaire de ¯ z au dessus de k ( ¯ u ) . Alors les élémen ts z et z ′ de b O S,C son t tous deux solution du problème suiv an t,  Z ≡ ¯ z mo d m S,C R ( u, Z ) = 0 . Ce problème admet une solution unique d'après le lemme de Hensel ([Eis95℄ théorème 7.3) e qui on tredit l'h yp othèse que z n'appartien t pas à K u . Corollaire I.4.7. Soit u une fontion r ationnel le sur S r é gulièr e au voisinage de C dont la r estrition ¯ u à C est un élément sép ar ant de k ( C ) /k . A lors, toute fontion r ationnel le f sur S admet un unique développ ement dans K u (( v )) . 4 V oir [Sti93℄ I I I.9 p our une dénition d' élément sép ar ant . I.4. Complétions et séries de Laurent en deux va riables 31 Remarque I.4.8. En r é alité, le r ésultat énon é dans le  or ol lair e I.4.7 est valable p our tout élément du  omplété m S,C -adique du  orps k ( S ) . Notons que, p our dérire e orps K u nous a v ons eu b esoin de onditions plus faibles sur u que elles qui son t exigées dans la dénition de ( P, C ) -paire forte. C'est e qui motiv e la dénition suiv an te. Dénition I.4.9 ( ( P, C ) -paires faibles) . Une ( P, C ) -p air e faible est une p air e ( u, v ) d'élé- ments de O S,C vériant les  onditions suivantes. (1) L a r estrition de u à C est une uniformisante de O C,P . (2) L a fontion v est une uniformisante de O S,C . Remarque I.4.10. Dans [Par76 ℄, le  ontexte dé rit p age 699 r evient exatement à se donner une ( P, C ) -p air e faible. Il v a de soi qu'une ( P, C ) -paire forte est faible, mais la réipro que est fausse. En eet, en e qui onerne u , le fait que sa restrition à C soit régulière au v oisinage de P ne signie pas que u l'est. Quan t à v , la ondition : êtr e une é quation lo  ale de C au voisinage de P est plus forte que elle d' êtr e une uniformisante de O S,C . L'exemple qui suit p ermet de s'en on v ainre. Exemple I.4.11 . Supp osons que S soit le plan ane omplexe m uni de o ordonnées anes x et y . Soien t C la droite d'équation y = 0 et P l'origine du plan ane. P osons u := ( x + y )( x − y ) x et v := xy . Alors, le ouple ( u, v ) est une ( P, C ) -paire faible qui n'est pas forte. En eet, la fontion u n'est pas régulière en P et la fontion v est dans m 2 S,P , elle n'est don pas une équation lo ale de C au v oisinage de P . Nous p ouv ons main tenan t présen ter le seond pro édé de déomp osition en séries de Lauren t. Prop osition I.4.12. Soit ( u, v ) une ( P, C ) -p air e faible, il existe un unique morphisme ϕ : k ( S ) ֒ → k (( u ))(( v )) qui envoie O S,C sur k (( u ))[[ v ]] et envoie u, v sur eux-mêmes. Preuve . Existene. T out omme dans la preuv e du lemme I.4.3, il sut de prouv er l'exis- tene d'un morphisme ϕ 0 : O S,C ֒ → k (( u ))[[ v ]] en v o y an t u et v sur eux-mêmes, puis d'ap- pliquer la propriété univ erselle des orps de frations. La ourb e C est supp osée absolumen t réduite. Don, d'après [Mum99℄ prop osition I I.4.4 (i), l'extension k ( C ) /k est séparable, don admet une base de transendane séparan te. P ar ailleurs, la fontion ¯ u est une uniformisan te de O C,P ⊂ k ( C ) , don sa diéren tielle d ¯ u ∈ Ω 1 k ( C ) /k est non n ulle et d'après [Bou59 ℄ V.16.7 théorème 5, 'est un élémen t séparan t de k ( C ) /k . D'après le orollaire I.4.7 , on disp ose d'une injetion O S,C ֒ → K u [[ v ]] et K u est isomorphe à k ( C ) via le morphisme de rédution mo dulo m S,C . De plus, omme ¯ u est une uniformisan te de O S,P , le omplété m C,P -adique de k ( C ) est isomorphe à k (( ¯ u )) . On disp ose don d'une injetion K u ֒ → k (( u )) qui s'étend o eien t par o eien t en un morphisme K u [[ v ]] ֒ → k (( u ))[[ v ]] . On en déduit l'existene de l'appliation ϕ 0 : O S,C ֒ → k (( u ))[[ v ]] re her hée. Uniité. Soit ϕ ′ 0 : O S,C → k (( u ))[[ v ]] , un autre morphisme d'anneaux en v o y an t u et v sur eux-mêmes. Nous allons mon trer que le diagramme suiv an t est omm utatif. O S,C ϕ ′ 0 ϕ 0 b O S,C ∼ K u [[ v ]] r k (( u ))[[ v ]] id k (( u ))[[ v ]] 32 I. Résidus de 2-fo rmes sur une surfae Comme ϕ ′ 0 en v oie v sur lui-même, on en déduit que 'est un morphisme lo al non ramié. La propriété univ erselle du omplété, implique l'existene et l'uniité d'un morphisme ˆ ϕ ′ 0 qui fait omm uter le diagramme suiv an t. O S,C ϕ ′ 0 ϕ 0 b O S,C ∼ ˆ ϕ ′ 0 K u [[ v ]] r ′ r k (( u ))[[ v ]] k (( u ))[[ v ]] Le morphisme r ′ est la omp osée du morphisme in v erse de b O S,C ∼ K u (( v )) et de ˆ ϕ 0 . Il reste à mon trer que r = r ′ . Un morphisme lo al de K u [[ v ]] dans k (( u ))[[ v ]] est en tièremen t déterminé par les images de u , v et y . Il sut don de mon trer que r ( y ) = r ′ ( y ) . Remarquons dès à présen t que, d'après la onstrution de ϕ 0 et don de r , on a r ( y ) = ψ ( u ) , où ψ ( ¯ u ) est le dév elopp emen t en série de Lauren t en P de ¯ y ∈ k ( C ) . Soit F ∈ k ( ¯ u )[ T ] , le p olynme minimal unitaire de ¯ y sur k ( ¯ u ) . L'élémen t y de b O S,C v érie F ( u, y ) = 0 et omme r et r ′ son t des morphismes d'anneau, on en déduit F ( u, r ( y )) = 0 et F ( u, r ′ ( y )) = 0 dans k (( u ))[[ v ]] . De plus, par passage au quotien t mo dulo v , on a r ( ¯ y ) ≡ r ′ ( ¯ y ) ≡ ψ ( ¯ u ) mod ( v ) . Ainsi r ( y ) et r ′ ( y ) son t tous deux solution du problème suiv an t.  F ( u, Z ) = 0 Z ≡ ψ ( u ) mo d ( v ) . D'après le lemme de Hensel, e problème admet une unique solution qui est ψ ( u ) . Ce dernier étan t égal à r ( y ) , ela onlut la preuv e. Remarque I.4.13. L a prinip ale diér en e entr e les r ésultats de  e hapitr e et  eux de la pr emièr e p artie de [Par76 ℄ est que  e dernier supp ose que le  orps de b ase est p arfait, alors que nous ne nous sommes donnés auune r estrition sur k dans  e hapitr e. On tr ouve dans  et artile la démonstr ation d'un énon é analo gue à  elui de la pr op osition I.4.12 . Cette dernièr e se tr ouve de fait simplié e gr â e à  ette hyp othèse supplémentair e sur k . Ainsi, nous a v ons mon tré que si ( u, v ) est une ( P, C ) -paire forte, les deux appro  hes fournissen t les mêmes dév elopp emen ts en série de Lauren t. P ar ailleurs nous a v ons obten u une rép onse à la question p osée à la n de la setion I.4.2 . Cela donne lieu au orollaire suiv an t. Corollaire I.4.14. Soit ( u, v ) , une ( P, C ) -p air e faible. A lors, toute fontion f ∈ k ( S ) admet un unique développ ement en séries de L aur ent f = X j ≥ l f j ( u ) v j ∈ k (( u ))(( v )) . De plus, p our tout j ≥ l , la série de L aur ent f j ( ¯ u ) est une fontion r ationnel le sur C . I.4.4 Changement de va riables Les séries de Lauren t on t été in tro duites de façon à mon trer que l'on p eut dénir le 2 - résidu d'une 2 -forme ω ∈ Ω 2 k ( S ) /k en P le long de C , sans auune ondition sur la v aluation I.4. Complétions et séries de Laurent en deux va riables 33 de ω le long de C . Nous allons don donner une dénition générale des 2 -résidus en utilisan t les séries de Lauren t. Ensuite, il faudra prouv er que et ob jet ne dép end pas du  hoix d'une ( P, C ) -paire. C'est la raison p our laquelle nous dev ons in tro duire les  hangemen ts de ( P, C ) - paires. Lemme I.4.15. Soient ( u, v ) et ( x, y ) deux ( P, C ) -p air es faibles. L es fontions u et v se dé  omp osent en séries de L aur ent en les variables x et y et leurs développ ements sont de la forme suivante  u = f ( x, y ) ave  f ( x, 0) ∈ xk [[ x ]] r x 2 k [[ x ]] v = g ( x, y ) ave  g ( x, y ) ∈ y k (( x ))[[ y ]] r y 2 k (( x ))[[ y ]] . (CV ) De plus, si ( u, v ) et ( x, y ) sont des ( P, C ) -p air es fortes, alors f et g sont des séries de T aylor, 'est-à-dir e des éléments de k [[ x, y ]] . Preuve . Les fontions u et v son t des élémen ts de O S,C . D'après la prop osition I.4.12 , leurs dév elopp emen ts resp etifs en séries de Lauren t f ( x, y ) et g ( x, y ) son t dans k (( x ))[[ x ]] . De plus, si ( u, v ) et ( x, y ) son t des ( P, C ) -paires fortes, alors es fontions son t des élémen ts de O S,P . Or, d'après le lemme I.4.3 , les fontions ¯ u et ¯ x ∈ k ( C ) son t toutes deux des uniformisan tes de O C,P , don ¯ u = f ( ¯ x, 0) est une série de T a ylor de v aluation ( ¯ x ) -adique 1 . Les fontions v et y son t de v aluation m S,C -adique 1 le long de C , don leur quotien t v /y est un in v ersible de O S,C . P ar onséquen t, G ( x, y ) := v /y est un élémen t de k (( x ))[[ y ]] est de v aluation ( y ) -adique n ulle. Ainsi, omme g = y G , on en déduit que g est de v aluation ( y ) -adique 1 . A v an t de passer à la suite, faisons un ourte remarque sur e  hangemen t de v ariables. Soien t ( u, v ) et ( x, y ) deux ( P, C ) -paires fortes, on disp ose don d'un  hangemen t de v ariables de la forme (CV),  u = f ( x, y ) v = g ( x, y ) . De plus, les séries f et g son t des séries de T a ylor et v érien t f = X i,j ≥ 0 f i,j x i y j a v e f 0 , 0 = 0 et f 1 , 0 6 = 0 (I.3) et g = X i,j ≥ 0 g i,j x i y j a v e ∀ k ∈ N , g k, 0 = 0 et g 0 , 1 6 = 0 . (I.4) De toutes la assertions i-dessus seule  g 0 , 1 6 = 0  n'est pas omplètemen t éviden te. Supp osons que g 0 , 1 = 0 , alors, omme g k, 0 est n ul p our tout en tier naturel k , on en déduit que g ( x, y ) est dans l'idéal (( x, y )) 2 , e qui on tredit le fait que la paire ( u, v ) est une ( P, C ) -paire forte. Regardons à présen t la matrie jaobienne de e  hangemen t de v ariables. Ja  f , g x, y  = ∂ f ∂ x (0 , 0) ∂ f ∂ y (0 , 0) ∂ g ∂ x (0 , 0) ∂ g ∂ y (0 , 0) ! =  f 1 , 0 f 0 , 1 g 1 , 0 g 0 , 1  =  f 1 , 0 f 0 , 1 0 g 0 , 1  . D'après (I.3) et (I.4), le pro duit f 1 , 0 g 0 , 1 est non n ul, don que ette matrie est in v ersible, e qui est normal puisque ( u, v ) est un système de o ordonnées lo ales. On v oit ainsi que les  hangemen t de ( P, C ) -paires fortes son t des  hangemen ts de v ariables don t la jaobienne en P est triangulaire sup érieure et in v ersible. On p eut donner une in terprétation géométrique à e fait. Une matrie triangulaire sup érieure est la matrie d'un endomorphisme qui préserv e un drap eau. Le  hangemen t de v ariables ( CV ) préserv e le dr ap e au gé ométrique ( P, C ) . 34 I. Résidus de 2-fo rmes sur une surfae I.4.5 Objets rationnels et fo rmels Dans la setion I.5, nous manipulerons fréquemmen t des séries de Lauren t. Cep endan t, l'ob jetif de e tra v ail n'est pas d'obtenir des résultats sur les séries formelles mais sur des ob- jets géométriques, en l'o urrene les 2 -formes rationnelles sur S . Aussi, les séries de Lauren t ne son t qu'un outil p our arriv er à nos ns. Elles nous p ermettron t de traduire ertains pro- blèmes géométriques sous forme de problèmes puremen t om binatoires. Dans e qui suit, outre les séries de Lauren t nous allons manipuler de formes diéren tielles formelles, 'est à dire des élémen ts des espaes de diéren tielles relativ es Ω i k (( u ))(( v )) /k . On ren v oie le leteur au  hapitre IX de [ Mat86 ℄ p our une dénition de es espaes. Le lemme qui suit nous p ermet d'obtenir une desription agréable des es mo dules de diéren tielles relativ es. Lemme I.4.16. Soit ( u, v ) une ( P, C ) -p air e faible, on a les isomorphismes Ω i k (( u ))(( v )) /k ∼ = Ω i k ( S ) /k ⊗ k ( S ) k (( u ))(( v )) , p our i ∈ { 1 , 2 } et Ω 1 k (( u )) /k ∼ = Ω 1 k ( C ) /k ⊗ k ( C ) k (( u )) . Preuve . V oir annexe A.1. Lemme I.4.17. Soient ( u, v ) deux éléments de k (( x ))(( y )) liés aux variables ( x, y ) p ar un hangement de variables de la forme 5 (CV). A lors,  e hangement de variables induit un isomorphisme de  orps lo  aux k (( u ))(( v )) → k (( x ))(( y )) . C'est-à-dir e qu'il envoie un série de L aur ent de valuation ( v ) -adique m ∈ Z sur une série de valuation ( y ) -adique m . De même, il induit un isomorphisme Ω 2 k (( u ))(( v )) /k → Ω 2 k (( x ))(( y )) /k qui pr éserve les valuations. Preuve . V oir annexe A.3. I.5 Dénition générale des résidus En utilisan t les notions in tro duites dans la setion I.4, nous allons p ouv oir donner une dénition plus générale de résidus. I.5.1 Inva riane des 2 -résidus Dans e qui suit nous allons tra v ailler exlusiv emen t a v e des ob jets formels. Ensuite, en setion I.5.2, on appliquera les résultats obten us dans le adre formel aux diéren tielles rationnelles. Noter que, le but étan t d'obtenir des informations sur les 2 -formes rationnelles, nous aurions pu énoner un résultat géométrique. Cep endan t, la preuv e du théorème I.5.3 , qui est le p oin t lé de ette setion, onsiste uniquemen t en des manipulations sur les o eien ts de séries formelles. Surtout, nous aurons absolumen t b esoin de la v ersion formelle de e résultat p our démon trer la prop osition I.5.14 (v oir setion I.5.2 ). C'est p ourquoi nous a v ons  hoisi de l'énoner dans e on texte. Notation I.5.1. Dans tout  e qui suit, lorsque nous aur ons aair e à une série de L aur ent f ∈ k (( u ))(( v )) ou k (( x ))(( y )) , nous adopter ons le système d'indi es suivant. L'indi e  i  ser a lié à la pr emièr e variable ( u ou x ) et l'indi e  j  à la se  onde ( v ou y ). De fait, f s'é rit, f = X j ≥ l f j ( u ) v j , ave  f j ( u ) = X i ≥ l j f i,j u i ∈ k (( u )) . 5 V oir lemme I.4.15 . I.5. Dénition générale des résidus 35 Dénition I.5.2. Soit ω = h ( u, v ) du ∧ dv ave  h = P j h j ( u ) v i ∈ k (( u ))(( v )) , une 2 -forme formel le, on dénit les objets suivants. (1) L e ( u, v ) - 1 -r ésidu de ω est déni p ar ( u, v ) r es 1 ( ω ) := h − 1 ( u ) du ∈ Ω 1 k (( u )) /k . (2) L e ( u, v ) - 2 -r ésidu de ω en P le long de C est déni p ar ( u, v ) r es 2 ( ω ) := h − 1 , − 1 ∈ k . Le théorème qui suit est la lé de la dénition des 2 -résidus. Théorème I.5.3. Soit ( x, y ) une p air e d'éléments du  orps k (( u ))(( v )) lié e aux fontions ( u, v ) p ar un hangement de variables de la forme (CV). A lors, p our toute 2 -forme formel le ω = h ( u, v ) du ∧ dv ∈ Ω 2 k (( u ))(( v )) /k , on a ( u, v ) r es 2 ( ω ) = ( x, y ) r es 2 ( ω ) . La preuv e de e théorème néessite les lemmes I.5.4 et I.5.6 qui seron t énonés plus loin. T out d'ab ord, onsidérons de nouv eau le  hangemen t de v ariables ( CV ).  u = f ( x, y ) a v e f ( x, 0) ∈ xk [[ x ]] r x 2 k [[ x ]] v = g ( x, y ) a v e g ∈ y k (( x ))[[ y ]] r y 2 k (( x ))[[ y ]] . (CV ) Ce  hangemen t de v ariables p eut être appliqué en deux étap es. On p eut dans un premier temps passer de ( u, v ) à ( u, y ) puis de ( u, y ) à ( v , y ) . C'est-à-dire, d'ab ord (CV1)  u = u v = γ ( u, y ) , ensuite (CV2)  u = f ( x, y ) y = y , où γ ( x, y ) de v aluation ( y ) -adique 1 . Nous allons mon trer suessiv emen t que les 2 -résidus son t in v arian ts sous l'ation de (CV1), puis de (CV2). Lemme I.5.4 (In v ariane des 1 -résidus sous l'ation de (CV1)) . Soit ω = h ( u, v ) du ∧ dv une 2 -forme formel le. Pour tout y lié à ( u, v ) p ar un hangement de variables (CV1) : v=g(u,y), on a ( u, v ) r es 1 ( ω ) = ( u, y ) r es 1 ( ω ) . Preuve . En appliquan t (CV1), on obtien t ω = h ( u, g ( u, y )) ∂ g ∂ y du ∧ dy . On p eut v oir le orps k (( u ))(( v )) omme un orps de séries de Lauren t à une v ariable au- dessus de k (( u )) . De e p oin t de vue, y est une autre uniformisan te de e orps. D'après [Sti93 ℄ prop osition IV.2.9, le o eien t en v − 1 de h ( u, v ) est égal au o eien t en y − 1 de h ( u, g ( u, y )) ∂ g /∂ y . Remarque I.5.5. Dans tout le hapitr e IV de [Sti93 ℄ , le  orps de b ase est supp osé p arfait. Or si le  orps k est de  ar atéristique p ositive, le  orps k (( u )) n 'est p as p arfait. Cep endant la démonstr ation de la pr op osition IV.2.9 de  et ouvr age est pur ement formel le et ne né  essite en auun  as un  orps de b ase p arfait. Nous a v ons don vu que le  hangemen t de v ariables (CV1) n'a v ait pas d'inuene sur les 1 -résidus. Il n'en aura don à fortiori pas sur les 2 -résidus. En e qui onerne le  hangemen t de v ariables (CV2), e dernier p eut a v oir une inuene sur les 1 -résidus, 'est e que mon trait l'exemple I.3.6 . Nous allons ep endan t mon trer qu'il n'a pas d'inuene sur les 2 -résidus. P our e faire, nous aurons b esoin du lemme qui suit. 36 I. Résidus de 2-fo rmes sur une surfae Lemme I.5.6. Pour toute 2 -forme formel le ω = h ( u , v ) du ∧ dv ∈ Ω 2 k (( u ))(( v )) /k , de valuation ( v ) -adique sup érieur e ou é gale à − 1 , on a ( u, v ) r es 1 ( ω ) = ( x, y ) r es 1 ( ω ) . Remarque I.5.7. L a pr op osition I.3.1 est une  onsé quen e immé diate de  e lemme. Preuve . D'après le lemme I.5.5 , on a ( u, v ) res 1 ( ω ) = ( u, y ) res 1 ( ω ) . De fait, nous n'a v ons qu'à étudier le omp ortemen t de ω sous l'ation de (CV2). Soit don u = f ( x, y ) . Isolons dans ω le terme en y − 1 : ω = h − 1 ( u ) y du ∧ dy +   X j ≥ 0 h j ( u ) y j   du ∧ dy = ω − 1 + ω + . La forme ω + a une v aluation ( y ) -adique p ositiv e, don d'après le lemme I.4.17 , le  hangemen t de v ariables (CV2) n'a pas d'inuene sur ette v aluation. De fait, le ( x, y ) - 1 -résidu de ω est elui de ω − 1 et ω − 1 = h − 1 ( f ( x, y )) y ∂ f ∂ x dx ∧ dy . D'après le lemme I.4.17 , la v aluation ( y ) -adique de h − 1 ( f ( x, y )) est égale à la v aluation ( v ) -adique de h − 1 ( u ) , à sa v oir 0 . Ainsi, ( x, y ) res 1 ( ω ) = h − 1 ( f 0 ( ¯ x )) f ′ 0 ( ¯ x ) d ¯ x = h − 1 ( f 0 ( ¯ x )) d ( f 0 ( ¯ x )) , où f 0 ( x ) := f ( x, 0) . Cette 1 -forme formelle est égale à ( u, y ) res 1 C,P ( ω ) = h − 1 ( ¯ u ) d ¯ u . Il sut p our s'en on v ainre d'appliquer à h − 1 ( ¯ u ) d ¯ u le  hangemen t de v ariables ¯ u = f ( ¯ x, 0) . Dans la preuv e du théorème I.5.3 nous aurons b esoin du lemme suiv an t don t la preuv e est donnée en annexe. Lemme I.5.8. Soient A, B deux séries de L aur ent app artenant à k (( u ))(( v )) . Pour toute p air e de séries ( x, y ) lié e à ( u, v ) p ar un hangement de variables de la forme ( CV), on a ( x, y ) r es 2 ( dA ∧ dB ) = 0 . Preuve . V oir annexe A.2. Nous disp osons à présen t de tous les outils néessaires à la démonstration du théorème I.5.3 . Dans un premier temps, nous allons le démon trer dans le as où la aratéristique du orps de base k est n ulle. Preuve du théorème I.5.3 si k est de ara téristique nulle . Dans l'intégralité de ette preuv e, les ( x, y ) - 1 - et 2 -résidus son t toujours en P le long de C . Aussi, p our alléger la rédation, nous omettrons de signaler les en P le long de C . Commençons par déomp oser ω = hdu ∧ dv en isolan t les termes de v aluation ( y ) -adique inférieure ou égale à − 2 . ω = − 2 X j = − l h j ( u ) y j du ∧ dy + X j ≥− 1 h j ( u ) y j du ∧ dy = ω − + ω in v . Noter que l'extration d'un 2 -résidu est une appliation k -linéaire. Aussi, d'après les lemmes I.5.5 et I.5.6 , il sut d'étudier le omp ortemen t des 2 -résidus de ω − sous l'ation de (CV2). I.5. Dénition générale des résidus 37 De plus, toujours p our des raisons de linéarité, on p eut sinder le problème et restreindre notre étude aux 2 -formes de la forme : ω = φ ( u ) du ∧ dy y n a v e φ ∈ k (( u )) et n ≥ 2 . Le ( u, y ) - 1 -résidu de la 2 -forme formelle i-dessus est n ul, il est en don de même p our son ( u, y ) - 2 -résidu. A v an t d'appliquer (CV2), nous allons on tin uer à tra v ailler ω au orps. Isolons le terme en u − 1 de la série de Lauren t φ ∈ k (( u )) . φ ( u ) = e φ ( u ) + φ − 1 u , où e φ i =  φ i si i 6 = − 1 0 si i = − 1 . Comme k est supp osé de aratéristique n ulle, la série e φ ( u ) a une primitiv e formelle e Φ( u ) . De même, p osons s := 1 (1 − n ) y n − 1 . C'est une primitiv e formelle de 1 /y n . On a alors ω = d e Φ ∧ ds + φ − 1 du u ∧ ds = ω r + φ − 1 ω − 1 . D'après le lemme I.5.8 , la forme ω r a un 2 -résidu n ul et indép endan t du  hoix de ( u, y ) . Il reste à étudier la 2 -forme ω − 1 = du u ∧ dy y n . En lui appliquan t (CV2), on obtien t ω − 1 = d f ( x, y ) f ( x, y ) ∧ dy y n . Rapp elons que f est de la forme : P j ≥ 0 f j ( x ) y j a v e : f 0 ( x ) = f 1 , 0 x + f 2 , 0 x 2 + · · · et f 1 , 0 6 = 0 . On p eut don fatoriser f 0 en f 0 ( x ) = f 1 , 0 x  1 + f 2 , 0 f 1 , 0 x + · · ·  . P osons r ( x ) := f 2 , 0 f 1 , 0 x + f 3 , 0 f 1 , 0 x 2 + · · · ∈ k [[ x ]] et µ ( x, y ) := f 1 ( x ) f 0 ( x ) y + f 2 ( x ) f 0 ( x ) y 2 + · · · ∈ k (( x ))[[ y ]] . La série f se fatorise don en f ( x, y ) = f 1 , 0 x (1 + r ( x ))(1 + µ ( x, y )) . (I.5) P ar ailleurs, p our toute série S appartenan t à xk [[ x ]] (resp. à y k (( x ))[[ y ]] ), on dénit le logarithme formel de 1 + S par l og (1 + S ) := + ∞ X k =0 ( − 1) k +1 S k k . Cette dénition a un sens puisque k est supp osé de aratéristique n ulle. De plus, ette série on v erge p our la top ologie ( x ) -adique (resp. ( y ) -adique). Enn, on a d log(1 + S ) = d (1 + S ) 1 + S . 38 I. Résidus de 2-fo rmes sur une surfae En utilisan t la fatorisation I.5, on obtien t : ω − 1 = dx x ∧ dy y n | {z } µ 1 + d log(1 + r ) ∧ ds | {z } µ 2 + d log(1 + µ ) ∧ ds | {z } µ 3 . D'après le lemme I.5.8 , les ( x, y ) - 2 -résidus des formes µ 2 et µ 3 son t n uls. La forme µ 1 a un ( x, y ) - 1 -résidu n ul (elle n'a pas de terme en dy /y ), son ( x, y ) - 2 -résidu est égalemen t n ul. On en onlut que ( x, y ) res 2 C,P ( ω − 1 ) = 0 . Esquisse de preuve du théorème I.5.3 en ara téristique positive . La preuv e est sem blable à elle de l'in v ariane des résidus de 1 -formes sur des ourb es (.f. [ Sti93℄ IV.2.9 ou [Ser59 ℄ I I.7 prop osition 5). On mon tre que le ( x, y ) - 2 -résidu de ω est une expression p olynomiale en ertains o eien ts de f . Ce p olynme ne dép end ni de f ni du orps de base. D'après le théorème de prolongemen t des iden tités algébriques ([Bou59 ℄ IV.3 prop osition 9) et le tra v ail eetué en aratéristique n ulle, on onlut que e p olynme est n ul. Une preuv e détaillée est donnée en annexe A.4. Ainsi, à partir de main tenan t, lorsque nous parlerons de 2 -résidus en un p oin t le long d'un ourb e, nous n'aurons plus à préiser la ( P, C ) -paire. I.5.2 Le adre géométrique À présen t nous allons in tro duire les notions de 1 - et 2 -résidus p our des 2 -formes ration- nelles. T out omme en setion I.3, les 2 -résidus seron t asso iés à un p oin t P et une ourb e C on tenan t P et les 1 -résidus seron t asso iés à une ourb e C . Ces derniers, seron t égalemen t asso iés à un autre paramètre si ω a un p le m ultiple le long de C . Commençons par dénir les 2 -résidus qui son t plus intrinsè ques . Dénition I.5.9. Soient ( u, v ) une ( P, C ) -p air e faible et ω une 2 -forme r ationnel le sur S . Il existe une fontion h ∈ k ( S ) tel le que ω = hdu ∧ dv et  ette fontion admet un unique développ ement en série de L aur ent H ( u , v ) . On app el le 2 -r ésidu de ω en P le long de C le  o eient H − 1 , − 1 de x − 1 y − 1 de H . On le note r es 2 C,P ( ω ) := H − 1 , − 1 . En d'autres termes et p our faire le lien a v e e qui préède, le 2 -résidu en P le long de C de ω est le ( u, v ) - 2 -résidu de ω vue omme une forme formelle. Le tra v ail eetué en setion I.5.1 nous assure que l'ob jet est bien déni et ne dép end pas du  hoix de la paire ( u, v ) . P assons main tenan t à la dénition de résidus en o dimension 1 . Notre ob jetif est d'as- so ier à une 2 -forme diéren tielle rationnelle ω sur S une 1 -forme rationnelle µ sur C . Prop osition I.5.10. Soit u une fontion r ationnel le sur S r é gulièr e au voisinage de C dont la r estrition ¯ u à C est un élément sép ar ant de k ( C ) /k . Soient ω une 2 -forme r ationnel le sur S et v une uniformisante de l'anne au O S,C . On r app el le que, d'apr ès la pr op osition I.4.6 et son  or ol lair e I.4.7 , il existe une unique série de L aur ent f = X j ≥− l f j v j ∈ K u (( v )) tel le que ω = f du ∧ dv. De plus, la 1 -forme ¯ f − 1 d ¯ u est r ationnel le sur C et ne dép end p as du hoix de v . Dénition I.5.11. Sous les hyp othèses de la pr op osition I.5.10 , on app el le ( u ) - 1 -r ésidu de ω le long de C la 1 -forme r ationnel le sur C dénie p ar ( u ) r es 1 C ( ω ) := ¯ f − 1 d ¯ u. I.5. Dénition générale des résidus 39 Preuve de la pr oposition I.5.10 . Rapp elons que f − 1 est un élémen t de K u . Ainsi, sa lasse ¯ f − 1 mo dulo m S,C est un élémen t de k ( C ) , la 1 -forme ¯ f − 1 d ¯ u est don rationnelle. L'indép endane de ette 1 -forme par rapp ort au  hoix de v se démon tre de la même façon que le lemme I.5.4 . Si w est une autre uniformisan te de O S,C , d'après [Sti93℄ IV.2.9, le o eien t en v − 1 de la série de Lauren t f ∈ K u (( v )) est égal à elui en w − 1 de f ∂ v ∂ w . Remarque I.5.12. L'exemple I.3.6  onrme la né  essité de fair e intervenir la fontion u dans la dénition. On ne p eut esp ér er obtenir un objet qui ne dép ende que de ω et de la  ourb e C . Main tenan t que nous disp osons d'une dénition générale de 1 -résidu, il serait souhaitable que ette dernière soit ompatible a v e la dénition I.3.2 . De plus, étan t donné un p oin t rationnel P de C , il serait in téressan t de sa v oir quelle relation lie le ( u ) - 1 -résidu de ω le long de C et son 2 -résidu en P le long de C . C'est le but du lemme I.5.13 et de la prop osition I.5.14 . Lemme I.5.13. Sous les  onditions de la pr op osition I.5.10 , soit ω une 2 -forme r ationnel le sur S de valuation sup érieur e ou é gale à − 1 le long de C . A lors le ( u ) - 1 -r ésidu de ω le long de C  oïnide ave  le r ésidu de ω le long de C de la dénition I.3.1 . Preuve . Il existe une unique série de Lauren t f appartenan t à K u (( v )) de v aluation − 1 telle que ω = f du ∧ dv = X j ≥− 1 f j v j du ∧ dv. Soit ϕ une fontion rationnelle sur S régulière au v oisinage de C et don t la restrition à C est égale à ¯ f − 1 , on p ose η 1 := ϕdu et η 2 := ω − ϕdu ∧ dv v . La 2 -forme η 2 est régulière le long de C et ω se déomp ose en ω = η 1 ∧ dv v + η 2 . D'après la dénition I.3.2 , la 1 -forme η 1 | C sur C est le 1 -résidu de ω le long de C . Or, η 1 | C est égale à ¯ f − 1 d ¯ u . Prop osition I.5.14. Sous les  onditions de la pr op osition I.5.10 . Soient ω une 2 -forme r ationnel le sur S et P un p oint r ationnel lisse de C , alors r es P (( u ) r es 1 C ( ω )) = r es 2 C,P ( ω ) . Remarque I.5.15. Si ω est de valuation sup érieur e ou é gale à − 1 le long de C , la pr op osition I.5.14 entr aîne que le 2 -r ésidu de ω en P le long de C déni dans  ette se tion  oïnide ave   elui de la se tion I.3. Remarque I.5.16. L a  ondition  P est un p oint lisse de C  p ourr a êtr e supprimé e dès que l'on saur a dénir des 2 -r ésidus le long de C en des p oints singuliers de  ette  ourb e (voir se tion I.6.2 ). Preuve de la pr oposition I.5.14 . Soien t P un p oin t rationnel de C et v une uniformi- san te de O S,C . Commençons par noter que, si ¯ u est une uniformisan te de O C,P , alors le résultat est éviden t d'après la dénition du 2 -résidu en P le long de C . En eet, dans ette situation, p our toute uniformisan te v de O S,C , le ouple ( u, v ) est une ( P, C ) -paire faible et res 2 C,P ( ω ) = res P  ( u ) res 1 C ( ω )  . Si main tenan t ¯ u n'est pas une uniformisan te de O C,P , alors quatre situations p euv en t surv enir. Dans e qui suit, t désigne la fontion 1 u . 40 I. Résidus de 2-fo rmes sur une surfae (1) La fontion ¯ u est régulière en P et ¯ u ′ := ¯ u − ¯ u ( P ) est une uniformisan te de O C,P . (2) La fontion ¯ u est régulière en P et ¯ u ′ := ¯ u − ¯ u ( P ) n'est pas une uniformisan te de O C,P . (3) La fontion ¯ u n'est pas régulière en P et ¯ t ′ := ¯ t − ¯ t ( P ) est une uniformisan te de O C,P . (4) La fontion ¯ u n'est pas régulière en P et ¯ t ′ := ¯ t − ¯ t ( P ) n'est pas une uniformisan te de O C,P . Remarquons que l'on p eut donner une in terprétation géométrique simple des deux premières situations si u est régulière 6 en P . La première situation signie que la ligne de niv eau u = u ( P ) in tersete C transv ersalemen t en P . Dans la seonde situation, ette ligne de niv eau est singulière en P ou tangen te à C en P . Nous allons à présen t traiter suessiv emen t es quatre situations. On rapp elle qu'il existe une unique fontion rationnelle f sur S telle que ω = f du ∧ dv et que f se déomp ose de façon unique en série de Lauren t f = X j ≥− l f j v j . On p ose égalemen t µ := ( u ) res 1 C ( ω ) . Situation 1. Le sous-orps K u de b O S,C déni dans la prop osition I.4.6 est l'unique sous-orps de b O S,C qui on tienne k ( u ) et soit isomorphe à k ( C ) via le morphisme de rédution mo dulo m S,C . La fontion u 0 := u − ¯ u ( P ) engendre le même sous-orps de O S,C . En d'autres termes, k ( u ) = k ( u 0 ) . De e fait, les sous-orps K u et K u 0 de b O S,C son t égaux. De plus, du = du 0 . P ar onséquen t, ω = f du ∧ dv = f du 0 ∧ dv et le ( u 0 ) - 1 -résidu de ω le long de C est ¯ f − 1 d ¯ u ′ qui est égal à µ . On déduit que res 2 C,P ( ω ) = res P (( u 0 ) res 1 C ( ω )) = res P ( µ ) . Situation 2. Soit x une fontion rationnelle sur S telle que ( x, v ) soit une ( P, C ) -paire faible. La fontion ¯ x est don une uniformisan te de O C,P . De fait, il existe une série formelle φ ∈ k [[ T ]] telle que ¯ u ′ = φ ( ¯ x ) . Soit σ le relev é de Hensel de ¯ x dans b O S,C , alors 'est un élémen t de K u et dans e orps, on a la relation u 0 = φ ( σ ) . On en déduit la nouv elle expression de ω ω = X j ≥− l f j v j φ ′ ( σ ) dσ ∧ dv, (I.6) où φ ′ désigne la dériv ée formelle de φ . Notons que σ n'est à priori pas une fontion. Le seond mem bre de l'expression (I.6) est à priori une 2 -forme formelle appartenan t à Ω 2 k (( u ))(( v )) /k (v oir setion I.4.5 ). À présen t, rapp elons que σ est un élémen t de b O S,C qui est ongru à x mo dulo m S,C . P ar onséquen t, σ se déomp ose dans k (( x ))[[ v ]] de la façon suiv an te σ = x + σ 1 ( x ) v + σ 2 ( x ) v 2 + · · · La paire ( σ , v ) est liée à la paire ( x, v ) par un  hangemen t de v ariables de la forme (CV). D'après le théorème I.5.3 , l'expression (I.6 ) fournit le même 2 -résidu que la déomp osition de ω dans k (( x ))(( v )) . On en onlut que res 2 C,P ( ω ) = res P ( ¯ f − 1 φ ′ ( ¯ σ ) d ¯ σ ) = res P ( ¯ f − 1 φ ′ ( ¯ x ) d ¯ x ) . Or, φ ′ ( ¯ x ) d ¯ x est égal à dφ ( ¯ x ) = d ¯ u ′ , don ¯ f − 1 φ ′ ( ¯ x ) d ¯ x est égal à µ . 6 Noter que le fait que ¯ u soit régulière en P ne signie en rien que u l'est. P ar exemple, sur A 2 , la fontion u := ( x + y ) / ( x − y ) n'est pas régulière à l'origine. P ar on tre, sa restrition à la ourb e C := { y = 0 } est la fontion onstan te et égale à 1 qui est régulière à l'origine. I.6. Prop riétés des résidus 41 Situation 3. T out omme dans la situation 1 , on remarque que, omme u est égal à 1 t , on a k ( u ) = k ( t ) , e qui implique K u = K t . De fait, le dév elopp emen t de ω à o eien t dans K t (( v )) s'érit ω = X j ≥− l f j v j  − dt t 2  ∧ dv . P ar onséquen t, on a ( t ) res 1 C ( ω ) = − ¯ f − 1 d ¯ t ¯ t 2 = ¯ f − 1 d ¯ u = ( u ) res 1 C ( ω ) . Comme ¯ t est par h yp othèse une uniformisan te de O C,P , le ouple ( t, v ) est une ( P, C ) -paire faible et don res 2 C,P ( ω ) = res P (( t ) res 1 C ( ω )) = res P (( u ) res 1 C ( ω )) . Situation 4. D'après la situation 3, le ( t ) - 1 -résidu de ω le long de C est égal à son ( u ) - 1 - résidu. On reprend alors le tra v ail eetué dans la situation 2 en remplaçan t u par t et on en déduit le résultat. En onlusion, les ob jets dénis dans ette setion son t bien une généralisation de eux in tro duits en setion I.3. I.6 Prop riétés des résidus Sur une ourb e algébrique irrédutible lisse X , une 1 -forme régulière en un p oin t P a un résidu n ul en e p oin t. On disp ose don d'une ondition néessaire p our que le résidu d'une 1 -forme en un p oin t soit non n ul. Le lemme qui suit fournit un énoné analogue p our les 2 -résidus. On rapp elle que l'on se plae toujours dans le adre donné en setion I.2. Lemme I.6.1. Soit ω une 2 -forme r ationnel le sur S admettant C  omme p le (éventuel le- ment multiple) et P un p oint r ationnel lisse de C . Si ω n 'a p as d'autr e p le que C au voisinage de P , alors r es 2 C,P ( ω ) = 0 . Preuve . Soien t ( u, v ) une ( P, C ) -paire forte et n un en tier tel que la v aluation de ω le long de C soit égale à − n . P ar h yp othèse, l'en tier n est p ositif. P ar ailleurs, il existe une fontion rationnelle h , régulière au v oisinage de C , telle que ω = hdu ∧ dv v n . De plus, omme C est le seul p le de ω au v oisinage de P , on en déduit que h est régulière au v oisinage de P , elle se dév elopp e don en série de T a ylor h = X j ≥ 0 h j ( u ) v j où h j ∈ k [[ u ]] p our tout en tier j. P ar onséquen t, ( u ) res 1 C ( ω ) = h n − 1 ( ¯ u ) d ¯ u . Cette 1 -forme sur C est régulière au v oisinage de P , son résidu en P est don n ul. Remarque I.6.2. C'est p our démontr er  e typ e d'énon é que la notion de ( P, C ) -p air e forte est tr ès utile. En d'autres termes, une 2 -forme sur S admet un 2 -résidu non n ul en un p oin t P le long d'une ourb e C , seulemen t si plusieurs ω a des p les autres que C au v oisinage de P . 42 I. Résidus de 2-fo rmes sur une surfae I.6.1 Inuene d'un élatement sur les résidus Soien t P un p oin t rationnel lisse de C et ( u, v ) une ( P, C ) -paire faible. On note π : e S → S l'élatemen t de S en P . On note E , le diviseur exeptionnel de e S . La transformation strite par π d'une ourb e X passan t par P sera notée e X . On rapp elle que la transformation strite d'une ourb e est l'adhérene de Zariski dans e S de la ourb e π − 1 ( X ) r E . Lemme I.6.3. Soit ω une 2 -forme r ationnel le sur S , on a ( π ∗ u ) r es 1 e C ( π ∗ ω ) = π ∗  ( u ) r es 1 C ( ω )  . Preuve . L'appliation π induit un isomorphisme en tre un ouv ert de C et un ouv ert de sa transformée strite. Les 1 -formes ( π ∗ u ) res 1 e C ( π ∗ ω ) et ( u ) res 1 C ( ω ) son t tirées en arrière l'une de l'autre par et isomorphisme. Corollaire I.6.4. Soit ω une 2 -forme r ationnel le sur U et Q le p oint d'interse tion 7 de E ave  e C . On a r es 2 e C ,Q ( π ∗ ω ) = r es 2 C,P ( ω ) . I.6.2 Le as des p oints singuliers d'une ourb e Les deux énonés qui préèden t p ermetten t de généraliser la dénition 2 -résidu d'une 2 - forme en P le long de C au as où P est un p oin t singulier de C . Dans e qui suit, P désigne un p oin t rationnel év en tuellemen t singulier de C . Prop osition I.6.5. Soit π : e S → S un morphisme bir ationnel pr ovenant d'une suite nie d'é latements de S induisant une r ésolution de la singularité de C en P . Soit e C la tr ansformé e strite de C p ar π , alors, la somme X Q → P r es 2 e C ,Q ( π ∗ ω ) ne dép end p as de π . L a notation  Q → P  signie que Q est un p oint de e C envoyé sur P p ar π . Preuve . Soien t π 1 : e S 1 → S et π 2 : e S 2 → S deux tels morphismes et notons e C 1 et e C 2 les transformées strites resp etiv es de C par es appliations. Comme les deux appliations induisen t un résolution de la singularité de C en P , le p oin t P a le même nom bre d'an tééden ts par π 1 | e C 1 et π 2 | e C 2 . Notons resp etiv emen t P 1 , 1 , . . . , P 1 ,n et P 2 , 1 , . . . , P 2 ,n es an tééden ts. Il existe alors deux ouv erts U 1 ⊆ e C 1 et U 2 ⊆ e C 2 on tenan t resp etiv emen t P 1 , 1 , . . . , P 1 ,n et P 2 , 1 , . . . , P 2 ,n et un isomorphisme ϕ : U 1 → U 2 tel que π 1 | U 1 = π 2 | U 2 ◦ ϕ . De plus, quitte à ré ordonner les indies, ϕ en v oie P 1 ,i sur P 2 ,i p our tout i appartenan t à { 1 , . . . , n } . On se donne alors une fontion u ∈ O S,C don t la restrition à C est un élémen t séparen t de k ( C ) /k . D'après le orollaire I.6.3 , les 1 -formes son t tirées en arrière l'une de l'autre par ϕ . P ar onséquen t, on a ∀ i ∈ { 1 , . . . , n } , res 2 e C 1 ,P 1 ,i ( π ∗ 1 ω ) = res 2 e C 2 ,P 2 ,i ( π ∗ 2 ω ) . Dénition I.6.6. Soit P un p oint r ationnel singulier de C et π : e S → S un morphisme bir a- tionnel déni p ar une sé quen e nie d'é latements induisant une r ésolution de la singularité de C en P . Soit ω une 2 -forme r ationnel le sur S , on dénit le 2 -r ésidu de ω en P le long de C p ar r es 2 C,P ( ω ) := X Q → P r es 2 e C ,Q ( π ∗ ω ) . 7 La ourb e C est supp osée lisse en P . P ar onséquen t, elle in tersete E en un unique p oin t. I.6. Prop riétés des résidus 43 Remarque I.6.7. L es p oints Q au-dessus de P p euvent êtr e dénis sur une extension nie de k . Cep endant, on p eut failement se  onvainr e du fait que la somme qui dénit r es 2 C,P ( ω ) est invariante sous l'ation du gr oup e de Galois absolu de k . L e 2 -r ésidu r este don un élément de k . Remarque I.6.8. Muni de  ette dénition on montr e aisément que l'énon é de la pr op osition I.5.14 r este valable dans le  as où le p oint P est un p oint singulier de la  ourb e C . Pour  e fair e, il sut de r é aliser le même r aisonnement que dans la pr euve de  ette pr op osition mais en l'appliquant à la  ourb e e C de la dénition i-dessus. Une autre façon de dénir et de aluler les 2 -résidus d'une 2 -forme le long d'une ourb e C en un p oin t singulier P de ette dernière est d'étendre à ette situation la dénition de ( P, C ) -paire faible. Ce p oin t de vue nous sera utile dans le  hapitre I I I. Dénition I.6.9. Soient don C une  ourb e irr é dutible absolument r é duite plongé e dans S et P un p oint r ationnel éventuel lement singulier de S . On app el le π : e C → C la normalisation de C . Une ( P, C ) -p air e faible est un  ouple de fontions ( u, v ) app artenant à l'anne au lo  al O S,C et vériant les  onditions suivantes. ( i ) Pour tout p oint fermé Q de e C au-dessus de P , la fontion π ∗ ¯ u ∈ k ( e C ) est une unifor- misante de O e C ,Q . ( ii ) L a fontion v est une uniformisante de O S,C . Remarque I.6.10. Notons que  ette dénition est une génér alisation natur el le de la déni- tion I.4.9 de ( P, C ) -p air es faibles. Remarque I.6.11. Une ( P, C ) -p air e faible existe toujours. En eet, d'apr ès le thé or ème d'appr oximation faible ([Sti93 ℄ thé or ème I.3.1), il existe une fontion z dans k ( e C ) qui est une uniformisante de O e C ,Q p our tout p oint fermé Q au-dessus de P . On des end z en une fontion ¯ u sur C que l'on r elève ensuite en une fontion u dans O S,C . Exemple I.6.12 . Prenons S = A 2 C et C la ubique uspidale d'équation ane y 2 = x 3 et P l'origine. On p ose alors u := y x et v := y 2 − x 3 . On app elle L x et L y les droites d'équations resp etiv es x = 0 et y = 0 . Élatons A 2 en P . On onsidère dons la surfae plongée dans A 2 × P 1 dénie par l'équation xu = y v où ( u : v ) est un système de o ordonnées homogènes de P 1 . On p ose z := u v et dans la arte ane v 6 = 0 on obtien t des équations p our e C , e C = { y = xz } ∩ { z 2 = x } . 44 I. Résidus de 2-fo rmes sur une surfae C π E Q z = π ∗ u = 0 e L y e L x L y P L x e C On app elle Q le p oin t de e C au-dessus de P . La fontion π ∗ u est égale à z et son lieu d'ann ulation au v oisinage de Q est e L y qui in tersete e C en Q a v e m ultipliité 1 . De fait, π ∗ ¯ u = ¯ z est une uniformisan te de O e C ,Q . En onlusion, la ouple ( u, v ) est bien une ( P, C ) - paire faible au sens de la dénition I.6.9 . T erminons ette setion sur un ommen taire élémen taire. Soien t C une ourb e irrédutible absolumen t réduite plongée dans S et P un p oin t rationnel singulier de C . Soien t alors ( u, v ) une ( P, C ) -paire faible et ω une 2 -forme sur S . Comme ¯ u est un élémen t séparan t de k ( C ) /k , on p eut dénir un ( u ) - 1 -résidu de ω le long de C qui s'iden tie à une 1 -forme sur la normalisée e C de C . La somme des résidus de ette 1 -forme sur e C en tous les p oin ts au-dessus de P est évidemmen t égal au 2 -résidu de ω en P le long de C de la dénition I.6.6 . I.7 F o rmules de sommation Les résultats énonés dans ette setion, en partiulier le théorème I.7.11 , son t eux que nous utiliserons dans les  hapitres suiv an ts qui p orten t sur les o des orreteurs. On rapp elle que notre ob jetif est de onstruire des o des à partir de 2 -formes sur une surfae et d'obtenir des relations d'orthogonalité en tre es o des et les o des fontionnels. Dans le as des ourb es, une partie de la démonstration de ette relation d'othogonalité onsiste à utiliser la form ule des résidus. Aussi, il sem ble in téressan t de p ouv oir disp oser de form ules de sommation de 2 -résidus d'une 2 -forme sur une surfae. Nous allons fournir trois relations de sommations. La troisième est elle qui nous sera la plus utile dans e qui suit. A tten tion ! T out omme dans le as des ourb es, les form ules de sommation qui suiv en t fon t in terv enir tous des p oin ts géométriques de la surfae. Aussi p our plus de onfort, le orps de base k sera supp osé algébriquemen t los dans ette setion. Théorème I.7.1 (Première form ule des résidus) . Soit S une surfa e quasi-pr oje tive lisse gé ométriquement intè gr e dénie sur k . Soient C une  ourb e pr oje tive irr é dutible plongé e dans S et ω une 2 -forme r ationnel le sur S . On a X P ∈ C r es 2 C,P ( ω ) = 0 . Remarque I.7.2. D'apr ès le lemme I.6.1 , la somme i-dessus a un supp ort ni, l'énon é a don un sens. I.7. F o rmules de sommation 45 Preuve . Commençons par supp oser que C est lisse. Soit u une fontion rationnelle sur S , régulière au v oisinage de C et don t la restrition ¯ u à C est un élémen t séparan t de k ( C ) /k . Soit µ le ( u ) - 1 -résidu de ω le long de C . D'après la prop osition I.5.14 et la remarque I.6.8 , on a X P ∈ C res 2 C,P ( ω ) = X P ∈ C res P ( µ ) et ette dernière somme est n ulle d'après la form ule des résidus sur une ourb e. Si main tenan t C est singulière, on onsidère un morphisme birationnel π : e S → S obten u par une séquene nie d'élatemen ts et tel que la transformée strite e C de C soit lisse. D'après le lemme I.6.3 et son orollaire I.6.4 , on a X P ∈ C res 2 C,P ( ω ) = X Q ∈ e C res 2 e C ,Q ( ω ) = X Q ∈ e C res Q ( π ∗ µ ) . On onlut de nouv eau en appliquan t la form ule des résidus à la ourb e e C et la 1 -forme π ∗ µ . Remarque I.7.3. Noter que si la valuation de ω le long de C est sup érieur e ou é gale à − 1 , alors le r ésultat est évident. En eet, il sut d'appliquer la formule des r ésidus au 1 -r ésidu de ω le long de C . L a p artie non évidente de la pr euve i-dessus est l'étude du  as où ω a un p le multiple le long de C . L e tr avail sur les ( u ) - 1 -r ésidus ee tué dans les se tions I.5 et I.6 avait p our prinip al obje tif de fournir les outils né  essair es à la pr euve de  e r ésultat. Théorème I.7.4 (Deuxième form ule des résidus) . Soit S une surfa e quasi-pr oje tive lisse gé ométriquement intè gr e dénie sur k . Soient P un p oint de S et C S , P l'ensemble des germes  ourb es irr é dutibles tr a é es sur S et  ontenant P . Pour toute 2 -forme ω r ationnel le sur S , on a X C ∈C S,P r es 2 C,P ( ω ) = 0 . Remarque I.7.5. L a somme i-dessus a é galement un supp ort ni (.f. r emar que I.7.2 ). Preuve . Soien t ω une 2 -forme rationnelle sur S et C 1 , . . . , C n les omp osan tes irrédutibles du lieu des p les de ω au v oisinage de P . Étap e 1. Dans un premier temps, nous allons supp oser que les p les C 1 , . . . , C n de ω son t lisses en P et se roisen t deux à deux transv ersalemen t en e p oin t. • Si n = 1 , d'après le lemme I.6.1 , le 2 -résidu de ω en P le long de C 1 est n ul. Le résultat est don immédiat. • Si n = 2 , soien t u 1 et u 2 des équations lo ales resp etiv es des ourb es C 1 et C 2 au v oisinage de P . P ar h yp othèse, C 1 et C 2 se roisen t transv ersalemen t en P , don ( u 1 , u 2 ) est un système de o ordonnées lo ales en e p oin t. De fait, ( u 1 , u 2 ) est une ( P, C 2 ) -paire forte et ( u 2 , u 1 ) une ( P, C 1 ) -paire forte. Soien t − n 1 et − n 2 les v aluations resp etiv es de ω le long de C 1 et C 2 . Il existe une fontion h régulière au v oisinage de P telle que ω = h du 1 u n 1 1 ∧ du 2 u n 2 2 . On dév elopp e h en série de T a ylor h = X i,j 6 =0 h i,j u i 1 u j 2 . Le 2 -résidu de ω en P le long de C est égal à h n 1 − 1 ,n 2 − 1 et, omme le pro duit extérieur est an tiomm utatif, le 2 -résidu de ω le long de C 1 est égal à − h n 1 − 1 ,n 2 − 1 . Leur somme est don n ulle. 46 I. Résidus de 2-fo rmes sur une surfae C n C 2 P C 1 E e C 1 e C 2 Q n e C n Q 2 Q 1 π Fig. I.1  Le as n ≥ 2 dans l'étap e 1 de la preuv e. • Si n ≥ 2 , soit π : e S → S l'élatemen t de S en P . Le diviseur exeptionnel est noté E , la transformée strite d'une ourb e C i est notée e C i . On rapp elle que, par h yp othèse les ourb es C i son t lisses en P et s'y roisen t deux à deux transv ersalemen t. Don, p our tout i , la ourb e e C i in tersete E en un unique p oin t que l'on app elle Q i et les p oin ts Q 1 , . . . , Q n son t deux à deux distints. La gure I.1 résume ette situation. La ourb e E est pro jetiv e et les e C i son t les seuls p les de π ∗ ω qui in terseten t E . Soit i ∈ { 1 , . . . , n } , d'après le as n = 2 , on a res 2 e C i ,Q i ( π ∗ ω ) = − res 2 E ,Q i ( π ∗ ω ) . (I.7) Ainsi, en appliquan t le lemme I.6.3 et la relation (I.7) i-dessus, on en déduit que n X i =1 res 2 C i ,P ( ω ) = n X i =1 res 2 e C i ,Q i ( π ∗ ω ) = − n X i =1 res 2 E ,Q i ( π ∗ ω ) . Soit Q un p oin t de E autre que Q 1 , . . . , Q n , la ourb e E est le seul p le la 2 -forme π ∗ ω au v oisinage de e p oin t. P ar onséquen t, d'après le lemme I.6.1 le 2 -résidu de π ∗ ω en Q le long de E est n ul. En reprenan t ( I.7 ), on en déduit que n X i =1 res 2 C i ,P ( ω ) = − n X i =1 res 2 E ,Q i ( π ∗ ω ) = − X Q ∈ E res 2 E ,Q ( π ∗ ω ) et ette somme est n ulle d'après le théorème I.7.1 . Étap e 2. Dans le as général, les ourb es C 1 , . . . , C n p euv en t être singulières en P et la m ultipliité d'in tersetion de deux d'en tre elles p eut être sup érieure ou égale à 2 . On réalise I.7. F o rmules de sommation 47 alors une désingularisation à roisemen ts normaux de la ourb e C 1 ∪ . . . ∪ C n . C'est-à-dire qu'à partir d'une séquene nie d'élatemen ts on obtien t un morphisme birationnel π : e S → S tel que la surfae e S v érie les propriétés suiv an tes. ( i ) Les ourb es e C 1 , . . . , e C n son t lisses en tout p oin t Q tel que π ( Q ) = P . ( ii ) P ar un p oin t Q tel que π ( Q ) = P passe au plus une ourb e e C i . ( iii ) L'in tersetion d'une ourb e e C i a v e la ourb e π − 1 ( { P } ) est de m ultipliité un. On app elle arbre de résolution l'image réipro que par π du p oin t P . Il s'agit d'une réunion de ourb es pro jetiv es de genre n ul. Les relations d'inidene en tre es diviseurs se représen ten t sous la forme d'un arbre que l'on notera A . E s, 1 · · · · · · · · · · · · · · · E s ′ ,n ′ s E 2 , 1 E 2 , 2 · · · · · · E 2 ,n 2 E 1 Noter que les feuilles de et arbre ne son t pas forémen t toutes au même étage, même si le diagramme i-dessus laisse supp oser le on traire. C'est la raison p our laquelle les indies des deux feuilles (extrémités sup érieures) représen tées son t diéren ts ( s et s ′ ). À présen t, nous allons appliquer les résultats de l'étap e prééden te aux sommets l'arbre A , en partan t de ses feuilles et en remon tan t à sa raine. Dans e qui suit, nous illustrerons notre tra v ail de la façon suiv an te. Si e C est un p le de π ∗ ω et Q un p oin t de e C , alors le 2 -résidu r de π ∗ ω en Q le long de e C apparaîtra dans un dessin sous la forme suiv an te. e C Q r P our tout diviseur E orresp ondan t à un sommet autre que la raine de l'arbre A , on app elle T le p oin t d'in tersetion de E a v e son asendan t et P j E l'ensem ble des p oin ts de e C j qui in terseten t E ou un de ses asendan ts dans l'arbre A . On note σ E := res 2 E ,T E ( π ∗ ω ) . Commençons par mon trer que p our tout diviseur E orresp ondan t à un sommet de l'arbre autre que sa raine, on a σ E = n X j =1 X Q ∈P j E res 2 e C j ,Q ( π ∗ ω ) . (R) Nous allons démon trer ette relation par réurrene sur les étages de l'arbre. Étap e 2.a. Soit E un diviseur orresp ondan t à une feuille de l'arbre. Il admet un unique asendan t dans l'arbre que l'on note E ′ et qui in tersete E en un p oin t T . P ar ailleurs, quitte à réordonner les indies des ourb es, e diviseur E in tersete les ourb es e C 1 , . . . , e C k en les p oin ts T 1 , 1 , . . . , T 1 ,l 1 , . . . , T k, 1 , . . . , T k,l k . On note enn r i,j := res 2 e C i ,T i,j ( π ∗ ω ) . La situation p eut être représen tée par la gure suiv an te. 48 I. Résidus de 2-fo rmes sur une surfae T r 1 , 1 r 1 , 2 T 1 , 2 e C 1 E E ′ r k ,l k e C k T 1 , 1 T k ,l k D'après le tra v ail eetué dans l'étap e 1 , on sait que p our tout ouple ( i, j ) res 2 e C i ,T i,j ( π ∗ ω ) = r i,j = − res 2 E ,T i,j ( π ∗ ω ) . De plus, d'après le lemme I.6.1, la 2 -forme π ∗ ω a des résidus non n uls seulemen t en les p oin ts T i,j et T . Don, d'après la première form ule des résidus (théorème I.7.1 ), on obtien t σ E = res 2 E ,T ( π ∗ ω ) = − X i,j res 2 E ,T i,j ( π ∗ ω ) = X i,j r i,j . C'est-à-dire la relation (R) p our une feuille de l'arbre A . Le s héma suiv an t résume le tra v ail qui vien t d'être eetué. r 1 , 1 r 1 , 2 − r 1 , 2 T 1 , 2 e C 1 − r 1 , 1 T 1 , 1 r k ,l k − r k ,l k T k ,l k e C k E − P r i,j E ′ T σ E = P r i,j Notons que, omme ela apparaît sur le dessin i-dessus, en appliquan t de nouv eau le tra v ail eetué dans l'étap e 1 , on obtien t res 2 E ′ ,T ( π ∗ ω ) = − res 2 E ,T ( π ∗ ω ) = − X i,j res 2 e C i ,T i,j ( π ∗ ω ) . Étap e 2.b. Soit E un diviseur orresp ondan t à un sommet in termédiaire de l'arbre, 'est- à-dire un sommet qui n'est ni une feuille ni la raine. P ar réurrene, supp osons que la relation (R) est v ériée par tous les desendan ts (direts ou indirets) de E dans A . Notons E ′ l'asendan t diret de E dans A et D 1 , . . . , D r ses desendan ts direts. Soien t égalemen t e C 1 , . . . , e C q les ourb es 8 qui in terseten t E . On désigne par T , le p oin t d'in tersetion de E a v e E ′ . Les p oin ts d'in tersetion de E a v e D 1 , . . . , D r son t notés U 1 , . . . , U r et les p oin ts d'in tersetion de E a v e e C 1 , . . . , e C q son t notés T 1 , 1 , . . . , T 1 ,l 1 , . . . , T q, 1 , . . . , T Q,l q . On reprend la notation r i,j := res 2 e C j ,T i,j ( π ∗ ω ) . D'après l'h yp othèse de réurrene on a ∀ i ∈ { 1 , . . . , r } , res 2 D i ,U i ( π ∗ ω ) = σ D i . Don d'après le as n = 2 de l'étap e 1, on a ∀ i ∈ { 1 , . . . , r } , res 2 E ,U i ( π ∗ ω ) = − σ D i 8 Quitte à ré indier les ourb es. I.7. F o rmules de sommation 49 et ∀ j ∈ { 1 , . . . , q } , ∀ i ∈ { 1 , . . . , l q } , res 2 E ,T i,j ( π ∗ ω ) = − r i,j . Ainsi, d'après le théorème I.7.1 appliqué à E et π ∗ ω , on a σ E = res 2 E ,T ( π ∗ ω ) = − r X k =1 res 2 E ,U k ( π ∗ ω ) − X i,j res 2 E ,T i,j ( π ∗ ω ) = r X k =1 σ D k + X i,j r i,j et ette dernière somme n'est autre que σ E . La relation (R ) est don v ériée par E . Le dessin suiv an t résume le tra v ail eetué. D 1 - σ D 1 σ D 1 U 1 D r - σ D r U 2 σ D r E σ E r q ,l q r q , 1 − r q ,l q e C 1 r 1 , 1 T 1 , 1 − r 1 , 1 − r q , 1 T q , 1 T T q ,l q E ′ e C q e C q Étap e 2.. Considérons main tenan t E 1 la raine de l'arbre A . Ce dernier n'a pas d'asendan t. Reprenons les notations de l'étap e prééden te en e qui onerne ses desendan ts direts et les ourb es e C j qu'il in tersete. P ar un raisonnemen t analogue à elui qui a été eetué dans l'étap e prééden te, en appliquan t le théorème I.7.1 à E 1 et π ∗ ω on obtien t − r X k =1 σ D k − X i,j r i,j = 0 . (I.8) Or ette somme n'est autre que la somme n X i =1 X Q ∈P i E 1 res 2 e C i ,Q ( π ∗ ω ) = 0 , où l'on rapp elle que P i E 1 est l'ensem ble des p oin ts de e C i qui in tersete E 1 ou l'un de ses an tééden ts. C'est don l'ensem ble des p oin ts des ourb es e C i qui son t en v o y és sur P par π . On onlut en rapp elan t que, d'après la dénition I.6.6, on a X Q ∈P i E 1 res 2 e C i ,Q ( π ∗ ω ) = res 2 C i ,P ( ω ) . En om binan t ette relation a v e l'équation (I.8 ) on obtien t le résultat attendu, à sa v oir n X i =1 res 2 C i ,P ( ω ) = 0 . Remarque I.7.6. Noter que, dans la démonstr ation du thé or ème I.7.4 qui pr é  è de, on n 'a appliqué le thé or ème I.7.1 qu'à des diviseurs app artenant à l'image r é ipr o que de P . Or, il a été signalé que la pr euve du thé or ème I.7.1 est évidente si la valuation de ω le long de C est 50 I. Résidus de 2-fo rmes sur une surfae sup érieur e ou é gale à − 1 . A ussi, il est imp ortant de signaler que, dans la pr euve qui pr é  è de, la valuation de π ∗ ω le long d'un diviseur ex eptionnel E pr ovenant d'un é latement p eut êtr e inférieur e à − 2 . L e lemme suivant fournit une formule expliite de la valuation de π ∗ ω le long d'un tel diviseur ex eptionnel. Lemme I.7.7. Soit ω une 2 -forme r ationnel le sur S et P un p oint de S . On note C P , l'ensemble de toutes les  ourb es irr é dutibles  ontenues dans S et  ontenant P . Soit π : e S → S l'é latement de S en P , alors la valuation de π ∗ ω le long du diviseur ex eptionnel E est donné e p ar la formule : val E ( π ∗ ω ) = 1 + X C ∈C P m P ( C ) val C ( ω ) , où m P ( C ) est la multipliité de C en P . Preuve . D'après [Har77 ℄ prop osition V.3.3, on a l'égalité de diviseurs ( π ∗ ω ) = π ∗ ( ω ) + E . Ensuite, d'après [Har77 ℄ prop osition V.3.6, la v aluation du diviseur π ∗ ( ω ) le long de E est v al E ( π ∗ ( ω )) = X C ∈C P m P ( C ) v al C ( ω ) . Remarquons égalemen t que la théorème I.7.4 p ermet d'étendre le lemme I.6.1 au as des ourb es singulières v oire même rédutibles. C'est e qui fera l'ob jet du orollaire I.7.9. P our énoner e dernier, nous a v ons b esoin de la on v en tion et la dénition i-dessous. Con v en tion. Soit C une ourb e quelonque plongée dans S et P un p oin t de S n'appartenan t pas à C , on dit alors que res 2 C,P ( ω ) = 0 . Dénition I.7.8 ( 2 -résidu en un p oin t d'une ourb e rédutible) . Soit C une  ourb e r é dutible plongé e dans S et C 1 , . . . , C d ses  omp osantes irr é dutibles. Soit P un p oint de C et ω une 2 -forme r ationnel le sur S . On dénit le 2 -r ésidu de ω en P le long de C p ar r es 2 C,P ( ω ) := d X i =1 r es 2 C i ,P ( ω ) . Corollaire I.7.9. Soit C une  ourb e quel onque plongé e dans S et P un p oint de C . Soit une 2 -forme r ationnel le ω dont le lieu des p les au voisinage de P est  ontenu dans C , alors r es 2 C,P ( ω ) = 0 . Preuve . On applique la deuxième form ule des résidus (théorème I.7.4 ) à ω , ses p les au v oisinage de P faisan t partie des omp osan tes irrédutibles de C . P our nir e  hapitre, nous allons énoner la troisième form ule des résidus, qui est elle que nous appliquerons aux o des orreteurs dans le  hapitre suiv an t. Noter que, dans le  ha- pitre suiv an t nous manipulerons fréquemmen t des diviseurs. C'est e qui motiv e la dénition suiv an te. Dénition I.7.10 ( 2 -Résidu en un p oin t le long d'un diviseur) . Soit D un diviseur sur S . Pour toute 2 -forme r ationnel le ω et tout p oint P de S , on app el le 2 -r ésidu de ω en P le long de D et on noter a r es 2 D,P ( ω ) le 2 -r ésidu de ω en P le long du supp ort de D . I.7. F o rmules de sommation 51 A tten tion ! Noter qu'il ne s'agit pas exatemen t d'une extension de la dénition par linéarité. D'une ertaine façon, la dénition I.7.10 i-dessus autorise un abus de langage p our éviter d'a v oir à parler de 2 -r ésidu en un p oint le long du supp ort du diviseur D . En partiulier, il faut faire atten tion au fait que, selon ette dénition, le résidu d'une 2 -forme ω en un p oin t P le long d'un diviseur D est par exemple égal à elui de ω en P le long du diviseur 2 D . Théorème I.7.11 (T roisième form ule des résidus, [Lip84 ℄  hap. 12) . Soit S une surfa e pr oje tive lisse gé ométriquement intè gr e. Soient D a et D b deux diviseurs sur S dont l'in- terse tion des supp orts est un ensemble ni Z . Soit Ω 2 ( − D a − D b ) le fais e au de 2 -formes vériant lo  alement ( ω ) ≥ − D a − D b . A lors, p our toute se tion glob ale ω du fais e au Ω 2 ( − D a − D b ) , on a X P ∈ S r es 2 D a ,P ( ω ) = X P ∈ Z r es 2 D a ,P ( ω ) = 0 . Preuve . La 2 -forme ω n'a pas de p les hors du supp ort de D a + D b . Don, d'après le orollaire I.7.9 , les 2 -résidus de ω le long de D a son t n uls en tout p oin t P n'appartenan t pas à Z , e qui nous donne la première égalité. La seonde égalité vien t de la première form ule des résidus (théorème I.7.1 ). En eet, soien t D a, 1 , . . . , D a,m a les omp osan tes irrédutibles du supp ort de D a . Le théorème I.7.1 en traîne ∀ i ∈ { 1 , . . . , m a } , X P ∈ D a,i res 2 D a,i ,P ( ω ) = 0 . De fait, en somman t es m a relations, on obtien t X P ∈ Supp D a res 2 D a ,P ( ω ) = 0 . Et il revien t au même de sommer sur tous les p oin ts de S puisque les 2 -résidus de ω le long de D a en un p oin t hors du supp ort de D a son t n uls par on v en tion. Remarque I.7.12. Sous les  onditions du thé or ème I.7.11 , soit ω une se tion glob ale du fais e au Ω 2 ( − D a − D b ) . D'apr ès la deuxième formule des r ésidus (thm I.7.4 ) on a ∀ P ∈ S, r es 2 D a ,P ( ω ) = − r es 2 D b ,P ( ω ) . Par  onsé quent l'énon é du thé or ème I.7.11 est symétrique, 'est-à-dir e qu'il r este vr ai si l'on é hange D a et D b . Deuxième partie Co des géométriques Chapitre I I Co des diérentiels sur une surfae Je vous jur e d'êtr e dé  ent et de ne p as dir e un seul gr os mot ni rien qui blesse les  onvenan es. Musset Il ne faut jur er de rien Dans e  hapitre, nous allons appliquer les résultats du  hapitre I. Le but est de onstruire des o des orreteurs d'erreurs en év aluan t les 2 -résidus de 2 -formes diéren tielles en des p oin ts rationnels d'une surfae algébrique. I I.1 Langage et Notations Soit X une v ariété géométriquemen t in tègre de dimension n dénie sur un orps k . On note O X son faiseau strutural. L'ensem ble des diviseurs de W eil sur X sera noté Div k ( X ) . Étan t donné un diviseur D sur S on note resp etiv emen t D + et D − ses parties eetiv es et non eetiv es. Les diviseurs D + et D − son t tous deux eetifs et D s'érit D = D + − D − . L'équiv alene linéaire sera notée  ∼ . Si X est lisse, le group e Div k ( X ) / ∼ s'iden tie au group e de Piard de X que l'on notera Pi k ( X ) . Si X est une surfae lisse et que les supp orts de deux diviseurs D et D ′ n'on t pas de omp osan te irrédutible omm une, leur m ultipliité d'in tersetion en un p oin t P est notée m P ( D , D ′ ) . Étan t donné un diviseur G sur X , on note L ( G ) (resp. Ω n ( G ) ) le faiseau in v ersible des fontions rationnelles (resp. des n -formes rationnelles) sur X qui v érien t lo alemen t ( f ) ≥ − G ( resp. ( ω ) ≥ G ) . L'ensem ble des setions globales d'un faiseau F sera noté Γ( X , F ) et F P désignera sa bre en un p oin t P . En e qui onerne les faiseaux L ( G ) (qui seron t fréquemmen t utilisés), on utilisera la notation standard L ( G ) p our Γ( X , L ( G )) . Noter que, dans la littérature, le sym b ole Ω n ( G ) p eut désigner un faiseau in v ersible ou l'espae des setions globales du faiseau en question. Insistons don sur le fait que, dans e qui suit Ω n ( G ) désignera toujours un faiseau de n -formes. P our nir, soit ¯ k la lture algébrique de k , on note X la v ariété X := X × k ¯ k et, étan t donné un faiseau F sur X , on note F le tiré en arrière de F sur X . 55 56 I I. Co des diérentiels sur une surfae Imp o rtant. Dans tout e qui suit, sauf men tion on traire, si D 1 et D 2 son t deux diviseurs sur une surfae lisse S don t les supp orts n'on t pas de omp osan te irrédutible omm une, alors  D a ∩ D b  signiera in tersetion au sens de la théorie des s hémas . Il s'agit don d'une in tersetion tenan t ompte des m ultipliités et non d'une in tersetion ensem bliste. I I.2 Rapp els sur les o des onstruits à pa rtir de ourb es Dans ette setion, X désigne une ourb e algébrique pro jetiv e lisse au-dessus de F q . On se donne égalemen t un diviseur F q -rationnel G sur X et une famille de p oin ts P 1 , . . . , P n rationnels sur X et qui éviten t le supp ort de G . On note D le diviseur D := P 1 + · · · + P n . I I.2.1 Co des fontionnels et diérentiels La donnée des diviseurs G et D p ermet de onstruire deux o des diéren ts. Ces o des son t resp etiv emen t app elés  o des fontionnels et  o des diér entiels . Les premiers son t onstruits par év aluation de fontions en des p oin ts rationnels de X et les seonds par év aluation de résidus de formes diéren tielles en es mêmes p oin ts. Le o de fontionnel. Soit ev D l'appliation, ev D :  L ( G ) → F n q f 7→ ( f ( P 1 ) , . . . , f ( P n )) . L'image de ette appliation est app elée o de fontionnel asso ié aux diviseurs D et G et notée C L,X ( D , G ) . Le o de diérentiel. Soit res D l'appliation, res D :  Γ( X , Ω 1 ( G − D )) → F n q ω 7→ ( res P 1 ( ω ) , . . . , res P n ( ω )) . L'image de ette appliation est app elée o de diéren tiel asso ié aux diviseurs D et G et notée C Ω ,X ( D , G ) . Exemple I I.2.1 . Supp osons que X soit la droite pro jetiv e P 1 F q et que le diviseur G soit de la forme k P où P est un p oin t rationnel de P 1 F q . Alors, en prenan t p our D une somme de p oin ts rationnels autres que P , le o de fontionnel est un o de de Reed-Solomon et le o de diéren tiel un o de de Goppa lassique (f [HP95℄ exemples 3.3 et 3.4). I I.2.2 P a ramètres de es o des L'un des in térêts de es o des est que l'on disp ose d'outils simples pro v enan t de la théorie des ourb es algébriques p our en év aluer les paramètres. • Le théorème de Riemann-Ro  h p ermet de minorer, v oire d'év aluer exatemen t la di- mension de es o des. • Le fait que le degré d'un diviseur prinipal soit n ul p ermet d'obtenir de façon élémen taire une b orne inférieure p our la distane minimale d'un o de fontionnel. Un raisonnemen t analogue sur le degré d'un diviseur anonique fournit une métho de de minoration de la distane minimale d'un o de diéren tiel. Nous ren v o y ons le leteur aux référenes [Ste99 ℄, [Sti93 ℄ et[TV91℄ p our plus de détails sur es propriétés (la liste n'est bien sûr pas exhaustiv e). I I.3. Co des géométriques onstruits à pa rtir de surfaes algéb riques 57 Conernan t la distane minimale d min , on obtien t p our les o des fontionnels la minoration n − k + 1 − g ≤ d min , où k désigne la dimension du o de et g le genre de la genre de la ourb e. Ainsi on sait que es o des son t toujours à g de la b orne de singleton . C'est l'une des raisons qui a motiv é les nom breux tra v aux eetués autour de l'étude des o des géométriques duran t les 25 dernières années. I I.2.3 Relation d'o rthogonalité et déo dage Un autre in térêt de es o des est que l'on disp ose d'une relation d'orthogonalité en tre le o de fontionnel et le o de diéren tiel, à sa v oir C Ω ,X ( D , G ) = C L,X ( D , G ) ⊥ . La preuv e de ette relation est une onséquene de la form ule des résidus p our l'inlusion ⊆ et du théorème de Riemann-Ro  h qui fournit une égalité de dimension en tre es o des en traînan t l'inlusion réipro que. Nous ren v o y ons le leteur à [TV91℄ théorème 3.1.44 ou [Sti93 ℄ théorème I I.2.8 p our plus de détails sur e résultat. Noter que, ette relation d'orthogonalité est l'outil de base de la ma jorité des algorithmes de déo dage (v oir [HP95 ℄ ou [HVP98℄ ). I I.2.4 Deux onstrutions distintes mais une seule lasse de o des Un dernier résultat bien onn u onernan t es o des est que tout o de diéren tiel est un o de fontionnel asso ié à d'autres diviseurs et réipro quemen t. Plus préisémen t, étan t donnés deux diviseurs D et G omme préédemmen t, il existe un diviseur anonique K tel que C Ω ,X ( D , G ) = C L,X ( D , K − G + D ) . Le diviseur K est elui d'une forme diéren tielle don t les résidus en les p oin ts du supp ort de D son t tous égaux à 1 . L'existene d'un tel diviseur est une onséquene du théorème d'appro ximation faible dans les orps de fontions ([Sti93℄ théorème I.3.1). Aussi, si l'on souhaite étudier es o des, on p eut sans p erte de généralité se restreindre à l'étude de o des issus d'une seule des deux onstrutions. Généralemen t, on se fo alise sur les o des fontionnels don t la onstrution sem ble plus aessible, les fontions étan t un ob jet plus in tuitif que les formes diéren tielles. Remarque I I.2.2. Il est toutefois intér essant de noter que la pr emièr e  onstrution de  o des gé ométriques fut donné e p ar V.D. Gopp a en 1981 dans l'artile [Gop81 ℄. Dans  et artile, les  o des intr o duits sont des  o des diér entiels. Sans doute p ar  e qu'il sont une génér alisation des  o des de Gopp a lassiques. I I.3 Co des géométriques onstruits à pa rtir de surfaes algéb riques Si de telles onstrutions son t p ossibles sur les ourb es, il est naturel de s'in terroger sur les p ersp etiv es d'extension de es onstrutions à des v ariétés de dimension sup érieure. I I.3.1 Cadre Dans e qui suit et jusqu'à la n de e  hapitre, S désignera une surfae algébrique pro jetiv e lisse dénie au-dessus d'un orps ni F q . Sauf men tion on traire, lorsque l'on parlera de ourb e p ongée dans S , il s'agira de ourb e dénie sur F q . On se donne égalemen t 58 I I. Co des diérentiels sur une surfae un diviseur F q -rationnel G sur S et une famille de p oin ts rationnels P 1 , . . . , P n de S qui éviten t le supp ort de G . On app elle ∆ le 0 -yle sur S déni par ∆ := P 1 + · · · + P n . Notons que ∆ joue plus ou moins le rle du diviseur D de la setion prééden te. Nous a v ons ep endan t  hoisi de le noter a v e une lettre greque ar e n'est plus un diviseur mais un 0 -yle. D'une façon générale, dans tout e qui suit, les lettres latines ma jusules désigneron t des diviseurs et les lettres greques ma jusules des 0 -yles. Enn, signalons dès à présen t que la diérene de dimension en tre ∆ et G sera à l'origine de la plupart des diultés que p osen t la onstrution et l'étude des o des diéren tiels sur des surfaes. I I.3.2 Co des fontionnels Comme nous l'a v ons dit préédemmen t, la onstrution fontionnelle présen tée dans le as des ourb es se généralise à des v ariétés de dimension quelonque (v oir [ VM84 ℄ I.3.1). P our e faire, on dénit l'appliation ev ∆ :  L ( G ) → F n q f 7→ ( f ( P 1 ) , . . . , f ( P n )) . L'image de ette appliation est app elée o de fontionnel sur S asso ié à ∆ et G et est notée C L,S (∆ , G ) . L'étude des paramètres de e t yp e de o de est nettemen t plus ardue que dans le as des ourb es. Sur la longueur du o de. Si l'on v eut étudier l'asymptotique des o des onstruits sur des surfaes algébriques, on doit disp oser de mo y ens d'év aluer le nom bre de p oin ts rationnels d'une surfae sur un orps ni. La b orne de W eil-Deligne (v oir [Del74 ℄) v alable p our des v a- riétés de dimension quelonque p ermet de ma jorer e nom bre de p oin ts. La haud et T sfasman on t donné des estimations plus préises de e nom bre de p oin ts via des form ules expliites dans [L T97 ℄. Sur la dimension. En dimension sup érieure ou égale à 2 , le théorème de Riemann-Ro  h se omplique. Aussi, l'év aluation de la dimension de e t yp e de o de est en général plus ardue. Cep endan t, dans les exemples étudiés dans la littérature, le diviseur G est presque toujours un diviseur très ample obten u par in tersetion de S a v e une h yp ersurfae. Dans e as, l'év aluation de la dimension du o de se ramène au alul élémen taire de la dimension d'espaes de p olynmes en plusieurs v ariables et de degré total b orné. Sur la distane minimale. Alors que l'on disp osait failemen t de la distane minimale onstruite de Goppa ( designe d minimal distan e ) dans le as des ourb es (v oir [Sti93℄ def I I.2.4), dans le as des v ariétés de dimension sup érieure, la minoration de la distane minimale d'un o de fontionnel devien t un problème innimen t plus omplexe. Elle revien t à ma jorer le nom bre maximal de p oin ts rationnels du lieu d'ann ulation d'un élémen t de L ( G ) . Les référenes itées dans l'in tro dution (page 14 ) p orten t prinipalemen t sur la résolution de e problème lorsque S appartien t à une lasse sp éique de surfaes. Remarque I I.3.1. Notons que L ahaud pr op ose dans [L a88 ℄ une  onstrution sensiblement diér ente du  o de fontionnel. Cette appr o he a été r eprise p ar un  ertain nombr e des auteurs pr é  é demment ités tels que A ubry, Edoukou et Sør ensen. L'annexe D est  onsar é e à  ette autr e  onstrution et au moyen de la r elier à  el le pr ésenté e i-dessus. P assons main tenan t à une première appro  he de la onstrution de o des diéren tiels sur une surfae. I I.3. Co des géométriques onstruits à pa rtir de surfaes algéb riques 59 I I.3.3 Co des diérentiels P our réaliser une onstrution analogue à elle qui a été présen tée en setion I I.2.1 , il faut plus que la donnée de G et ∆ . En eet, on souhaiterait év aluer les 2 -résidus de 2 -formes a y an t des p les presrits. Il faut don in tro duire un nouv eau diviseur que l'on notera D et qui, d'une ertaine manière, jouera le rle 1 du diviseur du même nom dans la onstrution de o des diéren tiels sur une ourb e. Il faut égalemen t que l'on év alue les 2 -résidus le long de ertains p les de ω mais pas tous. En eet, d'après le théorème I.7.4 si l'on év alue le 2 -résidu de ω en un p oin t le long de tous ses p les, on obtien t zéro. Il faut don déomp oser le diviseur D en deux parties distintes. C'est e qui motiv e la dénition suiv an te. Dénition I I.3.2. Soient D a et D b deux diviseurs sur S dont les supp orts n 'ont p as de  omp osante irr é dutible  ommune et soit D la somme de  es deux diviseurs. On dénit l'ap- pli ation r es 2 D a , ∆ :  Γ( S, Ω 2 ( G − D )) → F n q ω 7→ ( r es 2 D a ,P 1 ( ω ) , . . . , r es 2 D a ,P n ( ω )) . L'image de  ette appli ation est app elé e  o de diér entiel asso ié à ∆ , D a , D b et G . On le note C Ω ,S (∆ , D a , D b , G ) . Remarque I I.3.3. On p eut é galement  onstruir e une appli ation r es 2 D b , ∆ en é hange ant D a et D b dans l'énon é de la dénition II.3.2 . L e thé or ème I.7.4 entr aîne r es 2 D a , ∆ = − r es 2 D b , ∆ . De  e fait, les appli ations sont diér entes mais ont même image. L a  onstrution du  o de ne dép end don p as de l'or dr e des éléments dans le  ouple ( D a , D b ) . Remarque I I.3.4. L'appli ation r es 2 D a , ∆ p eut en fait êtr e dénie sur Ω 2 F q ( S ) / F q tout en- tier. A ussi, on s'autoriser a à l'appliquer à des 2 -formes quel onques de Ω 2 F q ( S ) / F q voir e de Ω 2 F q ( S ) / F q . Cet abus de notation ser a p ar exemple utilisé dans la dénition II.3.5 . La dénition I I.3.2 n'est pas omplètemen t satisfaisan te, ar il n'y a pas de lien en tre le ouple ( D a , D b ) et ∆ . De fait, il se p eut par exemple que les supp orts de D a et D b ne se roisen t en auun p oin t du supp ort de ∆ , e qui, d'après le orollaire I.7.9, donnerait un o de n ul. Nous allons don in tro duire une nouv elle notion p ermettan t de relier un 0 -yle sur S à une paire de diviseurs. Notons que ette dénition (dénition I I.3.5 ) p ourra sem bler in utilemen t ompliquée au premier ab ord. Cep endan t, les ommen taires en setion I I.3.6 justieron t à p osteriori la p ertinene de e  hoix. I I.3.4 P aires de diviseurs ∆ -onvenables Commençons par se donner un ahier des  harges. On souhaite disp oser des propriétés suiv an tes. ( a ) On aimerait que les o des diéren tiels onstruits à partir de ∆ , G et du ouple ( D a , D b ) n'aien t pas une o ordonnée systématiquemen t n ulle. On souhaiterait don que p our tout p oin t P appartenan t au supp ort de ∆ , il existe une setion de Ω 2 ( G − D ) qui n'ann ule pas l'appliation res 2 D a ,P . ( b ) Notre but est égalemen t d'obtenir une relation d'orthogonalité en tre les o des C L,S (∆ , G ) et C Ω ,S (∆ , D a , D b , G ) . P our e faire, nous allons utiliser la troisième form ule des résidus (théorème I.7.11 ) et adopter une démar he pro  he de elle qui est utilisée dans le as des ourb es. 1 On a signalé en setion I I.3.1 que ∆ jouait le rle du diviseur D dans le as des ourb es. En réalité, dans le as des o des diéren tiels sur des surfaes deux ob jets de dimension diéren te endossen t le rle joué par le diviseur D dans le as des ourb es. Il y a d'un té le 0 -yle ∆ et d'un autre la paire de diviseurs ( D a , D b ) . 60 I I. Co des diérentiels sur une surfae La dénition suiv an te rép ond à e ahier des  harges. Dénition I I.3.5. Soient D a et D b deux diviseurs sur S dont les supp orts n 'ont p as de  omp osante irr é dutible  ommune et soit D le diviseur D := D a + D b . L a p air e ( D a , D b ) est dite ∆ - onvenable si el le vérie les  onditions suivantes. ( i ) Pour tout p oint P de S , l'appli ation r es 2 D a ,P : Ω 2 ( − D ) P → F q est O S ,P -liné air e. On r app el le que Ω 2 ( − D ) P désigne la br e en P du tir é en arrièr e sur S du fais e au Ω 2 ( − D ) ( ii ) L'appli ation r es 2 D a ,P dénie i-dessus est surje tive p our tout p oint P app artenant au supp ort de ∆ et nul le p our tout autr e p oint de S . A tten tion. Même si les propriétés requises dans la dénition I I.3.5 son t d'ordre géométriques, 'est-à-dire qu'elles onernen t S , les diviseurs D a et D b son t rationnels , 'est-à-dire dénis sur F q . Remarque I I.3.6. L a strutur e de O S ,P -mo dule de F q est induite p ar l'appli ation d'éva- luation f → f ( P ) . A ussi, la  ondition ( i ) signie que p our toute fontion f r é gulièr e au voisinage de P et tout germe de 2 -forme ω app artenant à Ω 2 ( − D ) P , on a r es 2 D a ,P ( f ω ) = f ( P ) r es 2 D a ,P ( ω ) . Notons é galement que si ( D a , D b ) vérie ( i ) , alors l'appli ation r es 2 D a ,P s'annule sur m S ,P Ω 2 ( − D ) P . Remarque I I.3.7. Par un r aisonnement analo gue à  elui qui est utilisé dans la r emar que II.3.3 , on montr e aisément que si ( D a , D b ) est ∆ - onvenable, alors l'appli ation r es 2 D b , ∆ vérie les mêmes pr opriétés de O S -liné arité que r es 2 D a , ∆ . Par  onsé quent la notion de ∆ -  onvenan e est symétrique. ( D a , D b ) est ∆ - onvenable ⇐ ⇒ ( D b , D a ) est ∆ - onvenable . Nous allons main tenan t donner une ritère de ∆ -on v enane faisan t in terv enir des pro- priétés d'in tersetion en tre les omp osan tes des diviseurs D a et D b . Prop osition I I.3.8 (Critère de ∆ -on v enane) . Soit ( D a , D b ) une p air e de diviseurs dont les supp orts n 'ont p as de  omp osante irr é dutible  ommune et soit D la somme de  es deux divi- seurs. Si D a et D b vérient les  onditions suivantes, alors la p air e ( D a , D b ) est ∆ - onvenable. (1) Pour tout P app artenant au supp ort de ∆ , il existe une  ourb e irr é dutible C dénie sur F q , lisse en P tel le que, sur un voisinage U de P on ait D a + | U = C ∩ U ou D b + | U = C ∩ U et m P ( C, D − C ) = 1 . (2) Pour tout p oint gé ométrique P de S n 'app artenant p as au supp ort de ∆ , alors l'un des diviseurs D ∗ = D a ou D ∗ = D b vérie les  onditions suivantes. Pour toute  omp osante F q -irr é dutible C de D + ∗  ontenant P , on a : (a) la  ourb e C est lisse en P ; (b) la  ourb e C app ar aît dans la dé  omp osition de D ∗ en  ombinaison Z -liné air e de  omp osantes F q -irr é dutibles ave  le  o eient 1 ; () m P ( C , D − C ) ≤ 0 . Remarque I I.3.9. Ce ritèr e, quoique te hnique pr ésente un avantage majeur, il p ermet de  onstruir e des p air es de diviseurs ∆ - onvenables. L a pr euve de la pr op osition II.4.7 fournit un algorithme de  onstrution d'une p air e ∆ - onvenable étant donné un 0 -yle ∆ (voir aussi r emar que II.4.8 ). A v an t de fournir une démonstration de ette prop osition, nous allons faire quelques re- marques. Nous donnerons ensuite quelques illustrations p our ten ter de se dév elopp er une in tuition des onditions exigées par le ritère. I I.3. Co des géométriques onstruits à pa rtir de surfaes algéb riques 61 Remarque I I.3.10. Dans la  ondition (2 ) de la pr op osition II.3.8 , le fait que D ∗ soit D a ou D b dép end du p oint P . En d'autr es termes, en haque p oint P de S évitant le supp ort de ∆ , les  onditions (2a ), (2b ) et (2) doivent êtr e vérié es soit p ar D a , soit p ar D b . Par ail leurs, le diviseur D ∗ p eut-êtr e nul au voisinage de P ('est d'ail leurs  e qui arrive en pr esque tout p oint de S ). Dans  e  as, les  onditions ( 2a), (2b) et (2) sont trivialement vérié es. De fait, si au voisinage d'un p oint P de S , l'un des diviseurs D a ou D b est nul, 'est  elui que l'on hoisit p our jouer le r le de D ∗ . Cela p ermet de se r amener à un nombr e ni de véri ations. Dans tout e qui suivra nous utiliserons le o de de ouleurs suiv an t. D + a D − a D + b D − b Nous allons illustrer les onditions du ritère. P our e faire, nous allons représen ter des situations dans lesquelles es situations son t v ériées et d'autres dans lesquelles elles ne le son t pas. Ces onditions son t lo ales. Nous allons don présen ter deux séries de gures. La première série orresp ond au v oisinage d'un p oin t du supp ort de ∆ et la seonde au v oisinage d'un p oin t géométrique de S non on ten u dans le supp ort de ∆ . En un p oin t P du supp ort de ∆ . Dans le tableau qui suit, les gures de la olonne de gau he représen ten t des situations où la ondition (1) du ritère est v ériée. Dans e tableau ainsi que dans elui qui suit, on supp ose que les ourb es représen tées apparaissen t dans l'expression de D a (resp. de D b ) a v e o eien t 1 . Vériées Non v ériées P P 62 I I. Co des diérentiels sur une surfae P P P P En un p oin t P n'appartenan t pas au supp ort de ∆ . Les gures de la olonne de gau he représen ten t des situations ou les onditions (2a ), (2b ) et (2) son t v ériées. Dans la olonne de droite elle ne le son t pas. Vériées Non v ériées P P P P I I.3. Co des géométriques onstruits à pa rtir de surfaes algéb riques 63 P P P P Remarque I I.3.11. L e dernier exemple de la  olonne de gauhe p eut surpr endr e. Pour le  ompr endr e, on p ourr a se r éfér er à la r emar que II.3.10 . La démonstration de la prop osition I I.3.8 néessite le lemme et le orollaire qui suiv en t. Lemme I I.3.12. Soient C une  ourb e F q -irr é dutible plongé e dans S et P un p oint lisse de C . Soit ω une 2 -forme sur S admettant un p le simple le long de C . A lors, le 1 -r ésidu de ω le long de C vérie val P ( r es 1 C ( ω )) = m P ( C , ( ω ) + C ) . Remarque I I.3.13. On dé duit de  e lemme que le diviseur ( r es 1 C ( ω )) sur C est é gal à i ∗ (( ω ) + C ) , où i désigne l'inje tion natur el le i : C ֒ → S . Cette r elation est utilisé e p ar Serr e dans [Ser59 ℄ IV.8 lemme 2, p our démontr er la formule d'adjontion. Preuve du lemme I I.3.12 . Soien t ϕ, ψ et v des équations lo ales resp etiv es des diviseurs  ( ω ) + C  + ,  ( ω ) + C  − et C au v oisinage de P . Soit u un élémen t de F q ( S ) tel que ( u, v ) soit une ( P, C ) -paire forte. Il existe une fontion h sur S régulière et in v ersible au v oisinage de P telle que ω = h ϕ ψ du ∧ dv v . Le 1 -résidu de ω le long de C est ¯ h ¯ ϕ ¯ ψ − 1 d ¯ u et ¯ h est une fontion sur C régulière et in v ersible au v oisinage de P . P ar onséquen t la v aluation en P de ¯ hd ¯ u est n ulle et v al P ( res 1 C ( ω )) = v al P ( ¯ ϕ ) − v al P ( ¯ ψ ) . De plus, m P ( C , ( ω ) + C ) = m P ( C , (( ω ) + C ) + ) − m P ( C , (( ω ) + C ) − ) . (I I.1) On utilise ensuite la dénition de la m ultipliité d'in tersetion, m P ( C , (( ω ) + C ) + ) = dim F q O S ,P / ( ϕ, v ) = dim F q O C ,P / ( ¯ ϕ ) = v al P ( ¯ ϕ ) . (I I.2) De même, m P ( C , (( ω ) + C ) − ) = v al P ( ¯ ψ ) . (I I.3) En injetan t les résultats de ( I I.2) et (I I.3) dans l'expression (I I.1), on obtien t le résultat re her hé. 64 I I. Co des diérentiels sur une surfae Corollaire I I.3.14. Soient C une  ourb e F q -irr é dutible plongé e dans S et P un p oint lisse de C . Soit ω une 2 -forme sur S tel le que val C ( ω ) ≥ − 1 et m P ( C , ( ω ) + C ) ≥ − 1 . A lors, p our toute fontion r ationnel le f sur S r é gulièr e au voisinage de P , on a r es 2 C ,P ( f ω ) = f ( P ) r es 2 C ,P ( ω ) . Preuve . Soien t ( u, v ) une ( P, C ) -paire forte et f une fontion rationnelle sur S régulière au v oisinage de P . Il existe une fontion rationnelle ψ sur S régulière au v oisinage de C telle que ω = ψ du ∧ dv v . P osons µ := res 1 C ( ω ) = ¯ ψ d ¯ u. Comme ω est de v aluation sup érieure à − 1 et f de v aluation p ositiv e le long de C , on a res 1 C ( f ω ) = ¯ f µ. D'après le lemme I I.3.12 , la v aluation de µ en P est sup érieure ou égale à − 1 , don res P ( ¯ f µ ) = ¯ f ( P ) res P ( µ ) = ⇒ res 2 C ,P ( f ω ) = f ( P ) res 2 C ,P ( ω ) . Preuve de la pr oposition I I.3.8 . Soit ( D a , D b ) une paire de diviseurs v érian t le ritère, 'est-à-dire les onditions (1), (2a ), (2b) et (2) de la prop osition I I.3.8 . Mon trons qu'elle v érie alors les onditions ( i ) et ( ii ) de la dénition de ∆ -on v enane. Condition ( i ) . Soien t P un p oin t appartenan t au supp ort de ∆ et ω un germe de 2 -forme appartenan t à Ω 2 ( − D ) P . D'après la ondition (1 ), il existe une ourb e irrédutible C qui est égale à D + a ou D + b au v oisinage de P . D'après la remarque I I.3.7 , on p eut supp oser sans p erte de généralité que C est égale à D + a au v oisinage de P . De fait, res 2 D a ,P ( ω ) = res 2 C,P ( ω ) . De plus, la m ultipliité d'in tersetion en P de C et D b est inférieure à 1 don m P ( C, ( ω ) + C ) ≥ − 1 . Ainsi, omme la 2 -forme ω est de v aluation sup érieure ou égale à − 1 le long de C , d'après le orollaire I I.3.14 , l'appliation res 2 C,P (don res 2 D a ,P ) restrein te à Ω 2 ( − D ) P est O S ,P -linéaire. Condition ( ii ) . Soit P un p oin t de S hors du supp ort de ∆ . Enore d'après la remarque I I.3.7 , on p eut supp oser que le D a est le diviseur D ∗ de la ondition (2) de la prop osition I I.3.8 . P ar onséquen t, toute omp osan te F q -irrédutible C du supp ort de D + a on tenan t P est lisse en e p oin t, apparaît dans D a a v e le o eien t 1 et v érie m P ( C , D − C ) ≤ 0 . (I I.4) Soien t C une telle omp osan te et ω un germe de 2 -forme appartenan t à Ω 2 ( − D ) P . D'après la ondition (2b), ω est de v aluation sup érieure ou égale à − 1 le long de C . D'après le lemme I I.3.12 , l'inégalité (I I.4) en traîne que le 1 -résidu res 1 C ( ω ) de ω le long de C est de v aluation p ositiv e en P . De fait, le 2 -résidu de ω en P le long de C est n ul. Cette assertion est v alable p our toute omp osan te F q -irrédutible de D + a au v oisinage de P , d'après la dénition I.7.10 , on en déduit que res 2 D a ,P ( ω ) = 0 . I I.3. Co des géométriques onstruits à pa rtir de surfaes algéb riques 65 I I.3.5 Exemples de diviseurs ∆ -onvenables. Le plan p rojetif Si S est le plan pro jetif P 2 F q et X , Y , Z des o ordonnées homogènes sur S . Soien t U la arte ane U := { Z 6 = 0 } et ∆ la somme formelle de tous rationnels de U . P our tout élémen t α appartenan t à F q , on dénit les droites L a,α := { X = α } et L b,α := { Y = α } , puis les diviseurs D a := X α ∈ F q L a,α et D b := X α ∈ F q L b,α . La gure suiv an te représen te ette paire de diviseurs dans le as où le orps de base est F 3 . La droite en p oin tillés ns est la droite à l'inni et les • représen ten t les élémen ts du supp ort de ∆ . Z = 0 La paire ( D a , D b ) v érie le ritère de la prop osition I I.3.8 . En eet, soit P un p oin t du supp ort de ∆ de o ordonnées homogènes ( α : β : 1) , alors L a,α (resp. L b,β ) est la seule omp osan te de D a (resp. D b ) passan t par P , es deux omp osan tes son t lisses en P et s'in terseten t a v e m ultipliité 1 . En un p oin t géométrique P de S n'appartenan t pas au supp ort de ∆ , au moins l'un des diviseurs D a ou D b ne p ossède pas P dans son supp ort, on lui fait don jouer le rle de D ∗ (v oir remarque I I.3.10 ). Le p ro duit de deux droites p rojetives Supp osons que S est la v ariété P 1 F q × P 1 F q . Soit (( U, V ) , (( X , Y )) un système de o ordon- nées bihomogènes sur S . Soien t W la arte ane W := { V 6 = 0 } ∩ { Y 6 = 0 } et ∆ la somme des p oin ts rationnels de W . P our tout α appartenan t à F q , on in tro duit les droites L a,α := { U = α } et L b,α := { X = α } , puis les diviseurs D a := X α ∈ F q L a,α et D b := X α ∈ F q L b,α . La gure suiv an te représen te ette paire de diviseurs dans le as où le orps de base est F 3 . Les droites en p oin tillés ns orresp onden t aux deux droites à l'inni et les • représen ten t les élémen ts du supp ort de ∆ . 66 I I. Co des diérentiels sur une surfae Y = 0 V = 0 On mon tre aisémen t que le ouple de diviseurs ainsi onstruit satisfait le ritère de la prop o- sition I I.3.8, 'est don un ouple de diviseurs ∆ -on v enable. Remarque I I.3.15. L a  onstrution i-dessus s'étend aisément au  as où S est un pr o duit de deux  ourb es admettant toutes deux des p oints r ationnels. Quadriques lisses de P 3 Sur un orps algébriquemen t los, une quadrique lisse s'obtien t à partir de P 2 en élatan t deux p oin ts P et Q puis en on tratan t la transformée strite l'unique droite on tenan t es deux p oin ts. De fait, une quadrique lisse de P 3 est toujours géométriquemen t isomorphe à un pro duit de deux droites pro jetiv es. Si le orps de base est un orps ni F q , on distingue deux lasses d'isomorphisme de quadriques lisses dans P 3 . Les quadriques h yp erb oliques son t F q -isomorphes à P 1 × P 1 et orresp onden t au as où les p oin ts P et Q son t rationnels. Les quadriques elliptiques son t F q 2 -isomorphes à P 1 × P 1 et orresp onden t au as où les p oin ts P et Q son t dénis sur F q 2 et onjugués sous l'ation de Gal ( F q 2 / F q ) . De e fait, on p eut remarquer une relation en tre les ouples de diviseurs ∆ -on v enables des deux exemples prééden ts. P artons de l'exemple où S est le plan pro jetif. App elons P et Q les p oin ts de onours resp etifs des omp osan tes de D a et D b et D la droite qui relie es deux p oin ts. Alors, le pro essus d'élatemen ts et on trations dérit i-dessus p ermet d'obtenir le ouple de diviseurs ∆ -on v enables de l'exemple où S est P 1 × P 1 à partir de elui où S est P 2 , par le pro édé suiv an t D P Q E P e D E Q Les ourb es E P et E Q de la gure en trale son t les diviseurs exeptionnels orresp ondan t resp etiv emen t à P et Q . Dans la dernière gure, les ourb es en p oin tillés son t les images de E P et E Q après on tration de e D . I I.3. Co des géométriques onstruits à pa rtir de surfaes algéb riques 67 Constrution d'un diviseur ∆ -onvenable sur une quadrique elliptique de P 3 . Dans et exemple, on supp ose que le orps de base F q est de aratéristique diéren te de 2 . On onsidère une quadrique elliptique Q plongée dans P 3 . Soit P ∞ un p oin t rationnel de Q et ∆ , la somme de tous les p oin ts rationnels de Q sauf P ∞ . D'après les ommen taires sur les quadriques donnés page 66 , la surfae Q se onstruit à partir de P 2 en élatan t un p oin t fermé de degré 2 puis en on tratan t la transformée strite de l'unique droite rationnelle on tenan t e p oin t. Nous allons onstruire notre paire de diviseurs ∆ -on v enable à partir de P 2 . On onsidère le plan pro jetif m uni d'un système de o ordonnées homogènes ( X, Y , Z ) . Soit D , la droite d'équation Z = 0 et P un p oin t fermé de D de degré 2 . On notera p et p σ les p oin ts orresp ondan ts après extension des salaires de degré 2 , l'exp osan t σ représen te le onjugué sous l'ation du F röb enius. On p ose ∆ 1 , la somme des p oin ts rationnels de P 2 r D . Après élatemen t de P et on tration de la transformée strite e D de D , on obtien t une quadrique elliptique, l'image de ∆ 1 par ette op ération est ∆ . Soien t L la droite d'équation X = 0 et s la symétrie d'axe L dénie par s : ( x : y : z ) 7→ ( x : − y : z ) . On rapp elle que la aratéristique du orps F q est supp osée diéren te de deux dans et exemple. De e fait, l'appliation i-dessus n'est pas l'iden tité. Constrution de D a . Soit α ∈ F q 2 r F q don t la trae α + α q sur F q est n ulle. Soit v ∈ F 2 q 2 , le v eteur v := (1 , α ) . Le onjugué v σ de v est égal au symétrique de v par s . On onsidère l'ensem ble de oniques rationnelles on tenan t P et admettan t { v , v σ } omme v eteur tangen t en e p oin t. Le système linéaire orresp ondan t est de dimension 1 , il y a don q + 1 oniques rationnelles satisfaisan t es on train tes. L'une d'en tre elles est la droite double 2 D , les autres son t notées C a 1 , . . . , C a q . v v σ C a k D L C a q p σ p C a 1 La gure est de plus in v arian te par s . Remarque I I.3.16. Comme  ela app ar aît, l'une des  oniques noté e C a k dans la gur e est dé génér é e, el le est r éunion de deux dr oites quadr atiques  onjugué es. On p ose D a := q X i =1 C a i . 68 I I. Co des diérentiels sur une surfae Constrution de D + b . On se donne un autre v eteur w ∈ F 2 q 2 r F 2 q don t le onjugué oïnide a v e son image par s et on onstruit une seonde famille de oniques C b 1 , . . . , C b q omme dans l'étap e prééden te. On p ose D + b := q X i =1 C b i . Ce diviseur est égalemen t in v arian t sous l'ation de la symétrie s . Les diviseurs D a et D + b son t tous deux linéairemen t équiv alen ts à 2 q L où L est la lasse d'équiv alene linéaire d'une droite quelonque de P 2 . Le pro duit d'in tersetion de es divi- seurs est don 4 q 2 . Il v a don falloir éliminer des p oin ts en a joutan t à D b une partie négativ e. Prenons le temps de dérire le 0 -yle d'in tersetion D a ∩ D + b . (1) T ous les p oin ts du supp ort de ∆ y apparaissen t. Les p oin ts doubles orresp onden t à une tangene en tre un élémen t du supp ort de D a et un du supp ort de D b . L'in v ariane de es deux diviseurs sous l'ation de s en traîne que les p oin ts doubles son t sur l'axe de symétrie L . On a don dans e 0 -yle les q 2 p oin ts du supp ort de ∆ 1 don t q p oin ts de L qui apparaissen t a v e o eien t 2 . (2) La m ultipliité d'in tersetion de D a et D + b en p (resp. p σ ) est q 2 , don le p oin t P apparaît q 2 fois dans e 0 -yle. (3) Il reste don q 2 − q p oin ts géométriques à iden tier dans e 0 -yle. Ils s'agit en fait de ( q 2 − q ) / 2 p oin ts de degré 2 pro v enan t de l'in tersetion d'un élémen t de Supp ( D a ) et d'un élémen t de Supp ( D b ) . Constrution de D − b . P our onstruire D − b , nous allons a v oir b esoin de donner des équations expliites p our D a et D + b . Soit a ∈ F × q r F × q 2 et α ∈ F q 2 une raine arrée de a . On p eut supp oser que le p oin t p est de o ordonnées (1 : α : 0) . On p eut alors se on v ainre du fait que les deux équations suiv an tes fournissen t de b ons andidats p our D a et D + b . H a = Y t ∈ F q ( x 2 + y 2 + tz 2 ) et H b = Y t ∈ F q (( x − z ) 2 + y 2 + tz 2 ) = Y t ′ ∈ F q ( x 2 + y 2 − 2 xz + t ′ z 2 ) . T rouv er un p oin t d'in tersetion dans le plan ane de D a et D + b revien t à trouv er un p oin t d'in tersetion en tre une onique du supp ort de D a et une onique du supp ort de D b . Ce qui revien t à résoudre le système :  x 2 + y 2 + t = 0 x 2 + y 2 − 2 x + u = 0 ⇐ ⇒  x 2 + y 2 + t = 0 x = t − u 2 ⇐ ⇒  x = t − u 2 y 2 = t − ( t − u 2 ) 2 . On v érie ensuite que l'appliation ( t, u ) → t − ( t − u ) 2 / 4 est surjetiv e de F q × F q dans F q . En d'autres termes les p oin ts d'in tersetions dans le plan ane de deux telles oniques son t soit des p oin ts F q -rationnels du plan ane soit des p oin ts de la forme ( s, τ ) où s est un élémen t de F q et τ un élémen t de F q 2 r F q don t le arré est dans F q . Rapp elons que les p oin ts doubles dans l'in tersetion de D a et D + b son t tous sur l'axe de symétrie, à sa v oir la droite d'équation y . Aussi, le diviseur eetif d'équation H c := y Y s ∈ F × q r F × q 2 ( y 2 − sz 2 ) fournit un b on andidat p our le diviseur D − b . On p ose alors D b := D + b − D − b . I I.3. Co des géométriques onstruits à pa rtir de surfaes algéb riques 69 On dénit enn sur Q les diviseurs e D a et e D b onstruits omme étan t les transformées strites des diviseurs du même nom par l'op ération d'élatemen t/on tration. Le 0 -yle d'in tersetion de es diviseurs est exatemen t ∆ , ar l'op ération d'élatemen t a séparé les diviseurs D a et D b en P . On v érie alors que ette paire de diviseurs v érie le ritère de la prop osition I I.3.8, elle est don ∆ -on v enable. Remarque I I.3.17. L e gr oup e de Pi ar d d'une quadrique el liptique est libr e de r ang 1 et engendr é p ar la lasse d'une se tion plane L Q . On Peut aisément montr er que les diviseurs ainsi  onstruits vérient e D a ∼ e D + b ∼ e D − b ∼ q L Q . Autres exemples D'une façon générale le alul de paires de diviseurs ∆ -on v enables est ardue. T outefois, le lemme I I.4.7 et la remarque I I.4.8 stipulen t que des paires de diviseurs ∆ -on v enables son t expliitemen t alulables via des métho des d'in terp olation implémen tables sur ordi- nateur. Un programme app elé Del t aConv p ermettan t de aluler des paires de diviseurs ∆ − conv enabl es à l'aide du logiiel ma gma est prop osé en annexe F.1. A v e l'aide de e programme nous a v ons alulé des paires de diviseurs ∆ -on v enables p our quelques exemples moins triviaux que eux qui préèden t. Sur une surfae Hermitienne. On onsidère la surfae Hermitienne sur F 4 plongée dans P 3 d'équation X 3 + Y 3 + Z 3 + T 3 = 0 . On la m unit du 0 -yle égal à la somme de ses p oin ts rationnels dans la arte ane { Z 6 = 0 } . Le programme nous retourne les résultats suiv an ts. > > F < w > : = F i n i t e F i e l d ( 4 ) ; > P3 < x , y , z , t > : = P r o j e  t i v e S p a  e ( F , 3 ) ; > Herm : = S  h e m e ( P3 , x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 + t ^ 3 ) ; > > > A : = D e l t a C o n v ( Herm , P o i n t s , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 , 1 0 ) ; D _ a a e t e t r o u v e d e m a n i e r e d e t e r m i n i s t e . D _ b ^ + a e t e t r o u v e d e m a n i e r e d e t e r m i n i s t e . D _ b ^ − a e t e t r o u v e d e m a n i e r e d e t e r m i n i s t e . L e d i v i s e u r d ' e q u a t i o n x ∗ y ^ 3 + x ∗ z ^ 3 + y ^ 4 + y ∗ t ^ 3 + z ^ 4 + z ∗ t ^ 3  o n v i e n t p o u r D _ a . L e d i v i s e u r d ' e q u a t i o n w ^ 2 ∗ x ^ 4 + w ^ 2 ∗ x ∗ t ^ 3 + w ∗ y ^ 4 + w ∗ y ∗ t ^ 3 + z ^ 4 + z ∗ t ^ 3  o n v i e n t p o u r D _ b ^ + . L e d i v i s e u r d ' e q u a t i o n x ^ 2 + w ^ 2 ∗ y ^ 2 + w ∗ z ^ 2  o n v i e n t p o u r D _ b ^ − . Sur une surfae qua rtique. On onsidère la surfae d'équation X 4 + Y 4 + Z 4 + T 4 = 0 dénie sur F 3 . On prend omme 0 -yle ∆ , la somme des p oin ts rationnels de la arte ane { Z = 0 } de ette surfae. On obtien t le résultat suiv an t. 70 I I. Co des diérentiels sur une surfae > S : = S  h e m e ( P3 , x ^ 4 +y ^ 4 + z ^ 4 + t ^ 4 ) ; > A : = D e l t a C o n v ( Herm , P o i n t s , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 , 1 0 ) ; L e d i v i s e u r d ' e q u a t i o n x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + t ^ 2  o n v i e n t p o u r D _ a . L e d i v i s e u r d ' e q u a t i o n z ^ 3 + 2 ∗ z ∗ t ^ 2  o n v i e n t p o u r D _ b ^ + . L e d i v i s e u r d ' e q u a t i o n x ^ 3 ∗ z + 2 ∗ x ^ 3 ∗ t + 2 ∗ x ^ 2 ∗ y ^ 2 + x ^ 2 ∗ y ∗ z + x ^ 2 ∗ y ∗ t + x ^ 2 ∗ z ^ 2 + x ^ 2 ∗ z ∗ t + x ^ 2 ∗ t ^ 2 + x ∗ y ^ 2 ∗ z + 2 ∗ x ∗ y ^ 2 ∗ t + x ∗ y ∗ z ^ 2 + 2 ∗ x ∗ z ^ 2 ∗ t + 2 ∗ x ∗ z ∗ t ^ 2 + 2 ∗ x ∗ t ^ 3 + y ^ 4 + y ^ 3 ∗ z + y ^ 3 ∗ t + y ^ 2 ∗ z ^ 2 + y ^ 2 ∗ z ∗ t + y ∗ z ^ 2 ∗ t + 2 ∗ y ∗ z ∗ t ^ 2 + y ∗ t ^ 3 + z ^ 3 ∗ t + 2 ∗ z ^ 2 ∗ t ^ 2 + z ∗ t ^ 3 + 2 ∗ t ^ 4  o n v i e n t p o u r D _ b ^ − . I I.3.6 Disussion sur la ∆ -onvenane et le ritère Au vu des exemples du plan pro jetif et du pro duit de deux droites pro jetiv es, on est ten té d'en visager une dénition nettemen t plus simple. Un ouple ( D a , D b ) serait ∆ -on v enable si et seulemen t si les diviseurs D a et D b étaien t eetifs et le 0 -yle d'in tersetion D a ∩ D b v ériait D a ∩ D b = ∆ . On mon tre aisémen t qu'une telle dénition implique en fait la ∆ -on v enane (il implique le ritère de la prop osition I I.3.8 ). Cep endan t, elle n'est pas vraimen t in téressan te en e sens où, étan t donné un 0 -yle ∆ sur S , une paire de diviseurs v érian t de telles onditions n'existe pas en général. P ar exemple, si S est le plan pro jetif et ∆ la somme de trois p oin ts rationnels non alignés on ne p eut onstruire une paire ( D a , D b ) v érian t es onditions. En eet, supp osons qu'une telle paire existe et soit L une droite de S = P 2 , alors la lasse de L engendre la group e de Piard de S et il existe deux en tiers p ositifs n a et n b tels que D a ∼ n a L et D b ∼ n b L . De plus, le pro duit d'in tersetion de D a et D b est 3 par h yp othèse. Don, omme l'auto-in tersetion de L est égale à 1 , on en déduit que n a ou n b est égal à 1 , e qui on tredit le fait que les élémen ts du supp ort de ∆ son t non alignés. I I.4 Relations entre o des fontionnels et diérentiels sur une surfae Nous étudions dans ette setion l'extension aux surfaes de relations onn ues en théorie des o des onstruits à partir de ourb es. On rapp elle que l'on se plae toujours dans le adre dérit en setion I I.3.1. I I.4.1 Relation d'o rthogonalité Le théorème qui suit est elui qui a motiv é l'in tro dution de la notion de ∆ -on v enane. Théorème I I.4.1 (Théorème d'orthogonalité) . Soient ( D a , D b ) une p air e ∆ - onvenable de diviseurs et D := D a + D b . On a alors, C Ω ,S (∆ , D a , D b , G ) ⊆ C L,S (∆ , G ) ⊥ . I I.4. Relations entre o des fontionnels et diérentiels sur une surfae 71 Preuve . Soien t c un mot de C L,S (∆ , G ) et c ′ un mot de C Ω ,S (∆ , D a , D b , G ) . Il existe resp e- tiv emen t une fontion f appartenan t à L ( G ) et une 2 -forme ω appartenan t à Γ( S, Ω 2 ( G − D )) telles que c = ev ∆ ( f ) et c ′ = res 2 D a , ∆ ( ω ) . On note  h , i  la forme bilinéaire anonique sur F n q . On a don h c, c ′ i = n X i =1 f ( P i ) res 2 D a ,P i ( ω ) . Comme le supp ort diviseur G est supp osé éviter elui du 0 -yle ∆ , on en déduit que f est régulière au v oisinage de tout p oin t P i appartenan t au supp ort de ∆ . De plus, la 2 -forme f ω appartien t à Γ( S, Ω 2 ( − D )) . Don, d'après la dénition de ∆ -on v enane, on a ∀ P ∈ S , res 2 D a ,P ( f ω ) =  0 si P / ∈ Supp (∆) f ( P ) res 2 D a ,P ( ω ) si P ∈ Supp (∆) . P ar onséquen t, h c, c ′ i = n X i =1 res 2 D a ,P i ( f ω ) = X P ∈ S res 2 D a ,P ( f ω ) et ette dernière somme est n ulle d'après la troisième form ule des résidus (théorème I.7.11 ). En setion I I.5.2 l'étude d'un exemple simple nous mon trera que l'inlusion réipro que est en général fausse. Elle p eut d'ailleurs être fausse p our tout  hoix de paire ∆ -on v enable de diviseurs. Nous disuterons de e défaut d'inlusion réipro que en setion I I.6. A v an t de passer à la suite faisons une ourte remarque sur les notations adoptées. Allègemen t des notations. Les notations de o des fontionnels et diéren tiels sur S son t resp etiv emen t C L,S (∆ , G ) et C Ω ,S (∆ , D a , D b , G ) . Dans e qui suit, s'il n'y a pas d'am biguïté sur la v ariété sur laquelle on tra v aille (en l'o urrene dans e  hapitre on tra v aille systéma- tiquemen t sur S ), on s'autorisera à ne pas la signaler en indie. On parlera alors de C L (∆ , G ) et C Ω (∆ , D a , D b , G ) . I I.4.2 Un o de diérentiel est fontionnel Nous a v ons vu en setion I I.2 qu'un o de diéren tiel sur une ourb e v ériait deux proprié- tés in téressan tes. La première est qu'il est l'orthogonal d'un o de fontionnel. La seonde est que e o de s'iden tie à un o de fontionnel asso ié à d'autres diviseurs. Dans e qui préède, nous a v ons  her hé un analogue de la première propriété. Nous allons main tenan t en  her her un p our la seonde et v oir qu'à la diérene de la première, ette seonde propriété s'étend parfaitemen t aux o des onstruits sur des surfaes. Dans le as des o des sur les ourb es, e résultat est une onséquene du théorème d'ap- pro ximation faible aussi app elé théorème d'indép endane des v aluations (v oir [Sti93℄ I.3.1). De fait, nous allons a v oir b esoin d'un résultat analogue en dimension 2 . La prop osition qui suit est sensiblemen t diéren te d'un énoné de théorème d'indép endane de v aluations, mais elle v a nous fournir exatemen t le résultat néessaire p our la suite. Prop osition I I.4.2. Soit C une  ourb e irr é dutible plongé e dans S . Soient P 1 , . . . , P r une famil le de p oints fermés de S r C et Q 1 , . . . , Q S une famil le de p oints fermés de C . A lors, il existe une uniformisante v ∈ O S,C tel le que le supp ort du diviseur prinip al ( v ) évite les p oints P 1 , . . . , P r et  elui du diviseur ( v ) − C évite les p oints Q 1 , . . . , Q s . Remarque I I.4.3. Une autr e façon de formuler le r ésultat  onsiste à dir e qu'il existe une fontion v qui est une é quation lo  ale de C au voisinage des p oints Q 1 , . . . , Q s et qui n 'a ni zér o ni p le en les p oints P 1 , . . . , P r . 72 I I. Co des diérentiels sur une surfae Preuve . Soit v 0 une uniformisan te de O S,C . Alors, le diviseur de v 0 est de la forme ( v 0 ) = C + D, où D est un diviseur don t le supp ort ne on tien t pas C . D'après le moving lemma ([ Sha94 ℄ I I I.1.3 théorème 1), il existe un diviseur D ′ linéairemen t équiv alen t à D don t le supp ort évite les p oin ts P 1 , . . . , P r , Q 1 , . . . , Q r . Ainsi, il existe une fontion f rationnelle sur S telle que D ′ = D + ( f ) . La fontion v := f v 0 est solution du problème. Remarque I I.4.4. Dans le pr emier volume du livr e [Sha94 ℄ de Shafar evih, le  orps de b ase est supp osé algébriquement los. Cep endant, l'étude de la pr euve du  moving lemma p ermet de  onstater que  ette hyp othèse n 'est p as utile p our pr ouver  e r ésultat. Une pr euve dir e te de la pr op osition II.4.2 est donné e en annexe B . L a lo gique de  ette pr euve est sensiblement la même que  el le du moving lemma. Corollaire I I.4.5. Soit ( D a , D b ) une p air e ∆ - onvenable de diviseurs et D := D a + D b . A lors, il existe une 2 -forme ω 0 r ationnel le sur S qui vérie les pr opriétés suivantes. (1) Il existe un ouvert U  ontenant le supp ort de ∆ et tel que ( ω 0 | U ) = − D | U . (2) Pour tout p oint P app artenant au supp ort de ∆ , on a r es 2 D a ,P ( ω 0 ) = 1 . (3) Pour tout p oint P app artenant au supp ort de ∆ et p our toute fontion f r é gulièr e au voisinage de P , on a r es 2 D a ,P ( f ω 0 ) = f ( P ) r es 2 D a ,P ( ω 0 ) . Preuve . Soien t X 1 , . . . , X r et Y 1 , . . . , Y r les omp osan tes irrédutibles resp etiv es des supp orts de D a et D b . Il existe des en tiers m 1 , . . . , m r et n 1 , . . . , n s tels que D a = m 1 X 1 + · · · + m r X r et D b = n 1 Y 1 + · · · + n s Y s . D'après la prop osition I I.4.2 , il existe un v oisinage U de Supp (∆) et des fontions u 1 , . . . , u r et v 1 , . . . , v s régulières sur U telles que p our tout i (resp. tout j ), la fontion u i | U est une équation de X i ∩ U (resp. v j | U est une équation de Y j ∩ U ). Soit µ une 2 -forme rationnelle sur S n'a y an t ni zéro ni p le au v oisinage du supp ort de ∆ . Une telle 2 -forme existe, ar d'après le moving lemma (v oir [ Sha94 ℄ I I I.1.3 thm1 et remarque I I.4.4 ), il existe un diviseur anonique don t le supp ort évite elui de ∆ . Quitte à remplaer U par un v oisinage plus p etit de Supp (∆) on p eut supp oser que la 2 -forme µ restrein te à U n'a ni zéro ni p le. On p ose alors ω := µ uv . On a don ( ω | U ) = − D | U et d'après la dénition de ∆ -on v enane, p our tout P appartenan t au supp ort de ∆ , on a res 2 D a ,P ( ω ) = a P 6 = 0 . P ar in terp olation, on p eut onstruire une fontion g régulière au v oisinage du supp ort de ∆ et telle que p our tout P dans e supp ort, g ( P ) = a − 1 P . Quitte a réduire enore la taille de U , on p eut supp oser que g n'a ni zéro ni p le sur U . On p ose alors ω 0 := g ω . Comme g n'a ni zéro ni p le sur U , les 2 -formes ω et ω 0 restrein tes à U on t même diviseur, 'est-à-dire ( ω 0 | U ) = − D | U . La ∆ -on v enane du ouple ( D a , D b ) p ermet de onlure que ω 0 v érie les propriétés requises. I I.4. Relations entre o des fontionnels et diérentiels sur une surfae 73 Théorème I I.4.6. Soient ( D a , D b ) une p air e ∆ - onvenable de diviseurs et D := D a + D b , alors il existe un diviseur  anonique K tel que C Ω (∆ , D a , D b , G ) = C L (∆ , K − G + D ) . Preuve . Soit ω 0 une 2 -forme rationnelle sur S v érian t les propriétés du orollaire I I.4.5 et soit K son diviseur. D'après la propriété 1 du orollaire I I.4.5, le diviseur K est de la forme K = − D + R, où le supp ort de R évite elui de ∆ . Soit ω une 2 -forme appartenan t à Γ( S, Ω 2 ( G − D )) , il existe une unique fontion f dans L ( K − G + D ) telle que ω = f ω 0 . Notons que K − G + D = − G + R. Aussi, les élémen ts de L ( K − G + D ) son t des fontions régulières au v oisinage de Supp (∆) . Soit P un p oin t du supp ort de ∆ , d'après les propriétés 2 et 3 du orollaire I I.4.5 , on a res 2 D a ,P ( ω ) = res 2 D a ,P ( f ω 0 ) = f ( P ) res 2 D a ,P ( ω 0 ) | {z } =1 . On en déduit la relation res 2 D a , ∆ ( ω ) = ev ∆ ( f ) . Nous a v ons mon tré que tout o de diéren tiel est en fait un o de fontionnel asso ié à d'autres diviseurs. Notons à e stade que, dans le as des ourb es, la réipro que est élémen- taire, à sa v oir : tout  o de fontionnel est diér entiel . Dans le as des surfaes, ette réipro que est moins éviden te. En eet, étan t donné un o de fontionnel C L (∆ , G ) , si l'on v eut prouv er que e o de se réalise sous la forme d'un o de diéren tiel, il faut d'ab ord disp oser d'une paire ∆ -on v enable de diviseurs. I I.4.3 Réip ro que, un o de fontionnel est diérentiel Lemme I I.4.7 (Existene d'une paire ∆ -on v enable p our tout ∆ ) . Soient S une surfa e algébrique pr oje tive lisse gé ométriquement intè gr e et Q 1 , . . . , Q m une famil le de p oints r a- tionnels de S . Posons ∆ := Q 1 + · · · + Q m . A lors, il existe une innité de p air es ∆ - onvenables qui vérient le ritèr e de la pr op osition II.3.8 . Remarque I I.4.8. L a démonstr ation qui suit est  onstrutive. De fait, el le a  entue l'in- tér êt de la pr op osition II.3.8 . En eet, même si le ritèr e qui y est énon é est extr êmement te hnique, les p air es qui le vérient p euvent êtr e  alulé es expliitement. Preuve . Étap e 1 : Constrution de D a . On  hoisit une ourb e réduite C , év en tuelle- men t rédutible qui on tienne tout le supp ort de ∆ et qui soit régulière en  haque p oin t de e dernier. Assurons nous de l'existene d'une telle ourb e. Soit U un v oisinage ane du supp ort de ∆ , on note m P 1 , . . . , m P n les idéaux maximaux de F q [ U ] orresp ondan t aux p oin ts P 1 , . . . , P n . Il s'agit de  hoisir un élémen t de l'idéal pro duit m P 1 · · · m P n qui n'appartienne à auun des idéaux m 2 P i . Les idéaux m 2 P i étan t deux à deux étrangers, d'après le théorème  hinois, on a l'isomorphisme F q [ U ] / m 2 P 1 · · · m 2 P n ∼ Q n i =1 F q [ U ] / m 2 P i . On  hoisit un élémen t (¯ a 1 , . . . , ¯ a n ) dans Q i m P i / m 2 P i don t auune des o ordonnées ¯ a i n'est n ulle. On relèv e et élémen t en une fontion a de F q [ U ] par le biais de l'isomorphisme i- dessus. La fontion obten ue appartien t bien à l'idéal pro duit m P 1 · · · m P n et n'est dans auun 74 I I. Co des diérentiels sur une surfae des m 2 P i . La fermeture pro jetiv e du lieu d'ann ulation de a est une ourb e C v érian t les onditions exigées. De plus, si l'on remplae a par a + m où m est un élémen t de m 2 P 1 · · · m 2 P n n'appartenan t pas à l'idéal engendré par a , on obtien t une ourb e C ′ distinte de C et v érian t les mêmes onditions. On en déduit l'existene d'une innité de ourb es in terp olan t le supp ort de ∆ et lisse en  haque p oin t de e dernier. Soit don C une telle ourb e, on p ose alors D a := C 1 + · · · + C k , où les C i son t les omp osan tes irrédutibles de C . Étap e 2 : Constrution de D b . On  hoisit, toujours par in terp olation, un diviseur eetif D ′ in terp olan t tous les p oin ts de Supp (∆) et n'a y an t pas de omp osan te irrédutible omm une a v e D a . Soit Θ , le 0 -yle obten u par l'in tersetion au sens de la théorie des s hémas des diviseurs D a et D ′ . On a don Θ = ∆ + ∆ ′ où ∆ ′ est un 0 -yle eetif. On  hoisit alors un diviseur D ′′ tel que D a ∩ D ′′ = ∆ ′ + ∆ ′′ où le supp ort de ∆ ′′ est disjoin t de elui de ∆ . Le diviseur D ′′ se onstruit égalemen t par in terp olation. On p ose enn D b := D ′ − D ′′ . On mon tre aisémen t que la paire ainsi onstruite v érie le ritère de la prop osition I I.3.8. Elle est don ∆ -on v enable. Comme il existe une innité de façons de onstruire D a (et D b ) on en déduit qu'il existe une innité de paires ∆ -on v enables. Théorème I I.4.9. Étant donné un diviseur G sur S , il existe un diviseur  anonique K et une p air e ∆ - onvenable ( D a , D b ) tel le que C L (∆ , G ) = C Ω (∆ , D a , D b , K − G + D ) . Preuve . Le lemme I I.4.7 assure l'existene d'une paire ∆ -on v enable ( D a , D b ) . À partir de ette paire, on onstruit une 2 -forme ω 0 en utilisan t orollaire I I.4.5. On p ose K := ( ω 0 ) . D'après le théorème I I.4.6 on a C Ω (∆ , D a , D b , K − G + D ) = C L (∆ , K − ( K − G + D ) + D ) = C L (∆ , G ) . Ce qui onlut la démonstration. I I.5 Défaut d'inlusion réip ro que p our le théo rème d'o r- thogonalité Nous allons présen ter deux exemples de surfaes, qui son t en l'o urrene les exemples les plus simples que l'on onnaisse, à sa v oir P 2 et P 1 × P 1 . Nous allons v oir que l'on disp ose d'une inlusion réipro que systématique p our le premier exemple (le plan pro jetif ) en  hoisissan t une paire de diviseurs ∆ -on v enable extrêmemen t simple. Ensuite, nous observ erons que dans le seond exemple (le pro duit de deux droites pro jetiv es), l'inlusion réipro que p our le théorème d'orthogonalité n'a jamais lieu, et e quel que soit la paire ∆ -on v enable  hoisie. I I.5. Défaut d'inlusion réip ro que p our le théo rème d'o rthogonalité 75 I I.5.1 Co des sur le plan p rojetif On reprend les notations de la setion I I.3.5 . On rapp elle que X , Y et Z désignen t des o ordonnées homogènes sur P 2 , que l'ouv ert U est le omplémen taire de la droite d'équation Z = 0 et que le 0 -yle ∆ est la somme de tous les p oin ts rationnels de l'ouv ert U . P our onstruire des o des fontionnels on doit égalemen t in tro duire un diviseur G . Soien t m un en tier p ositif et L ∞ la droite d'équation Z = 0 , on p ose G m := mL ∞ . Notons que, omme la lasse d'équiv alene linéaire de la droite L ∞ engendre le group e de Piard de P 2 , on p eut sans p erte de généralité onsidérer que le diviseur G est de la forme G m . Remarque I I.5.1. On a supp osé que l'entier natur el m était p ositif, on aur ait pu omettr e  ette hyp othèse. Cep endant, si m < 0 , alors l'esp a e L ( G m ) est nul et le  o de fontionnel le ser a é galement. Nous avons don hoisi d'éviter  ette situation totalement inintér essante. Co des fontionnels Commençons par rapp eler que les o des fontionnels C L (∆ , G m ) ne son t autre que des o des de Reed-Müller anes. P osons x := X Z et y := Y Z . L'espae v etoriel L ( G m ) s'iden tie à l'espae F q [ x, y ] ≤ m des p olynmes en x et y de degré total inférieur ou égal à m . On rapp elle que, par on v en tion, si l'en tier m est stritemen t négatif, alors l'espae F q [ x, y ] ≤ m est n ul. Ainsi, le o de C L (∆ , G m ) s'obtien t par év aluation en tous les p oin ts du plan ane U des élémen ts de l'espae v etoriel F q [ x, y ] ≤ m , 'est don le o de de Reed-Müller RM q (2 , m ) . P our plus d'informations sur les o des de Reed-Müller, v oire [MS77a ℄  hap 13 p our les o des binaires et [DGM70℄ p our le as général. Co des diérentiels On reprend la paire ∆ -on v enable ( D a , D b ) de la setion I I.3.5 . C'est à dire que D a (resp. D b ) est la somme de toutes les droites d'équations x = α (resp. y = α ) a v e α ∈ F q . P our pro éder à l'étude des o des diéren tiels de la forme C Ω (∆ , D a , D b , G m ) , nous allons utiliser le théorème I I.4.6 et  her her à quels o des fontionnels ils s'iden tien t. P our e faire, nous allons in tro duire expliitemen t une 2 -forme rationnelle ω 0 v érian t les propriétés du orollaire I I.4.5 . Soit don ω 0 := dx Q α ∈ F q ( x − α ) ∧ dy Q β ∈ F q ( y − β ) . Calul du diviseur de ω 0 . D'après [Sha94 ℄ I I I.6.4, on sait qu'un diviseur anonique sur P 2 est linéairemen t équiv alen t à − 3 L ∞ . De plus, ( ω 0 | U ) = − D | U . De fait, le diviseur anonique ( ω 0 ) est de la forme ( ω 0 ) = k L ∞ − D où k est un en tier à déterminer. On sait égalemen t que, par onstrution, le diviseur D est linéairemen t équiv alen t à 2 q L ∞ . On en déduit la relation − 3 L ∞ ∼ ( k − 2 q ) L ∞ , don k = 2 q − 3 . En onlusion, ( ω 0 ) = (2 q − 3) L ∞ − D = G 2 q − 3 − D . (I I.5) 76 I I. Co des diérentiels sur une surfae Prop riétés vériées pa r ω 0 . Main tenan t que l'on onnaît le diviseur ( ω 0 ) et que l'on sait qu'il oïnide a v e − D sur le v oisinage U du supp ort de ∆ , il reste à v érier que ω 0 v érie les deux autres propriétés du orollaire I I.4.5 . Soien t P un p oin t appartenan t au supp ort de ∆ et x P , y P ses o ordonnées anes dans U . On app elle C , la droite d'équation y = y P et on alule le 1 -résidu de ω 0 le long de ette droite. On obtien t res 1 C ( ω 0 ) = 1 Q β 6 = y P ( y P − β ) d ¯ x Q α ∈ F q ( ¯ x − α ) . On remarque que le pro duit Q β 6 = y P ( y P − β ) est égal au pro duit de tous les élémen ts de F × q , il est don égal à − 1 . Calulons à présen t le 2 -résidu en P le long de C de ω 0 , 'est à dire le résidu en P de la 1 -forme sur C i-dessus. On obtien t res 2 C,P ( ω 0 ) = − 1 Q α 6 = x P ( x P − α ) = 1 . La propriété 3 est une onséquene immédiate de la ∆ -on v enane de ( D a , D b ) . Identiation à des o des fontionnels et o rthogonalité. La 2 -forme ω 0 v érie les pro- priétés du orollaire I I.4.5 . On en déduit que p our tout en tier m , le o de C Ω (∆ , D a , D b , G m ) s'iden tie au o de C L (∆ , ( ω 0 ) − G m + D ) . D'après le alul du diviseur ( ω 0 ) en (I I.5), on onlut que p our tout en tier m , on a C Ω (∆ , D a , D b , G m ) = C L (∆ , G 2 q − 3 − m ) . D'après le théorème I I.4.1, on a l'inlusion C Ω (∆ , D a , D b , G m ) ⊆ C L (∆ , G m ) ⊥ . On p eut év aluer les dimensions de es o des et mon trer que l'inlusion réipro que est v ériée. Ce résultat n'a absolumen t rien de nouv eau. Il est en eet onn u que l'orthogonal d'un o de de Reed-Müller est enore un o de de Reed-Müller (v oir [MS77b℄  h 13 et [DGM70℄ 3.2). En onlusion, l'orthogonalité parfaite en tre o de fontionnel et o de diéren tiel est ob- ten ue dans e as élémen taire et très partiulier. Il ne s'agit malheureusemen t pas d'un fait général. L'exemple suiv an t, qui est p ourtan t presque aussi élémen taire, mon tre qu'en général on doit se on ten ter d'une inlusion strite. I I.5.2 Co des sur un p ro duit de deux droites p rojetives On reprend les notations de la setion I I.3.5. On rapp elle que (( U, V ) , ( X , Y )) est un système de o ordonnées bihomogènes sur P 1 × P 1 . On note E et F les droites d'équations resp etiv es V = 0 et Y = 0 . On rapp elle égalemen t que l'ouv ert U est le omplémen taire de E ∪ F . Enn, p our tout ouple d'en tiers ( m, n ) on dénit le diviseur G m,n par G m,n := mE + nF. T out omme dans l'exemple prééden t, on sait que l'on p eut sans p erte de généralité supp oser que le diviseur G in terv enan t dans la onstrution du o de fontionnel est de la forme G m,n . En eet, les lasses d'équiv alene linéaires de E et F engendren t le group e de Piard de P 1 × P 1 . Co des fontionnels Nous allons mon trer tout d'ab ord que les o des fontionnels de la forme C L (∆ , G m,n ) son t des pro duits tensoriels de o des de Reed-Solomon. P osons u := U V et x := X Y . I I.5. Défaut d'inlusion réip ro que p our le théo rème d'o rthogonalité 77 L'espae v etoriel L ( G m,n ) s'iden tie au sous-espae de F q [ u, x ] des p olynmes de degré en u inférieur ou égal à m et de degré en x inférieur ou égal à n . En d'autres termes on a l'iden tiation L ( G m,n ) ∼ = F q [ u ] ≤ m ⊗ F q F q [ x ] ≤ n . On note RS q ( n ) le o de de Reed-Solomon de longueur q obten u par év aluation en tous les élémen ts de F q des p olynmes de F q [ t ] ≤ n . Le o de fontionnel sur P 1 × P 1 est don de la forme C L (∆ , G m,n ) = R S q ( m ) ⊗ F q RS q ( n ) . L'o rthogonal ne p eut être diérentiel. D'après le théorème I I.4.6 , il sut de mon trer que l'orthogonal du o de fontionnel C L (∆ , G m,n ) n'est pas un o de fontionnel sur P 1 × P 1 . Un tel résultat en traînerait, qu'il n'existe auun ouple ∆ -on v enable ( D a , D b ) tel que le o de C L (∆ , G m,n ) ⊥ soit égal à C Ω (∆ , D a , D b , G m,n ) . On a vu dans le paragraphe prééden t que le o de C L (∆ , G m,n ) était égal au pro duit tensoriel des o des RS q ( m ) et RS q ( n ) . Ces o des de Reed-Solomon son t non triviaux, si et seulemen t si 0 ≤ m ≤ q − 2 et 0 ≤ n ≤ q − 2 . Si les en tiers m et n v érien t les enadremen ts i-dessus, alors l'orthogonal du o de C L (∆ , G m,n ) ne p eut être fontionnel. En eet, si C L (∆ , G m,n ) ⊥ était un o de fontionnel C L (∆ , G ) , alors G serait linéairemen t équiv alen t à un ertain G a,b . De fait, le o de fontionnel C L (∆ , G ) serait isométrique 2 à C L (∆ , G a,b ) et ette isométrie serait représen tée par une matrie diagonale dans la base anonique de F q 2 q . En regardan t F q 2 q omme le pro duit tensoriel de deux opies de F q q , le o de C L (∆ , G a,b ) est un pro duit tensoriel de deux o des et ette propriété est in v a- rian te sous l'ation d'une isométrie diagonale. Ainsi, l'orthogonal C L (∆ , G ) de C L (∆ , G m,n ) serait un pro duit tensoriel de deux o des. Ce qui est imp ossible d'après le lemme C.0.5 énoné en annexe C. En onlusion, p our tout ouple ∆ -on v enable ( D a , D b ) et tout ouple d'en tiers ( m, n ) tous deux ompris en tre 0 et q − 2 , on a C Ω (∆ , D a , D b , G ) C L (∆ , G ) ⊥ . Remarque I I.5.2. Par un r aisonnement identique, on p eut montr er que  e défaut d'inlu- sion r é ipr o que a lieu p our toute surfa e S qui est un pr o duit de deux  ourb es. Une réalisation de l'o rthogonal. D'après le lemme C.0.4 , l'orthogonal du o de C L (∆ , G m,n ) est une somme de deux pro duits tensoriels. À sa v oir C L (∆ , G m,n ) ⊥ = R S q ( m ) ⊥ ⊗ F q q + F q q ⊗ R S q ( n ) ⊥ . (I I.6) L'orthogonal d'un o de de Reed-Solomon étan t enore un o de de Reed-Solomon, les deux termes de la somme i-dessus ( RS q ( m ) ⊥ ⊗ F q q et F q q ⊗ R S q ( n ) ⊥ ) son t des pro duits tensoriels de o des de Reed-Solomon. Ce son t don des o des fontionnels sur P 1 × P 1 . Nous allons ten ter de les réaliser sous forme de o des diéren tiels. P our tout α ∈ F q , on app elle L d,α la droite d'équation u − x − α . Les droites ( L d,α ) α ∈ F q formen t un famille de droites diagonales p ar al lèles dans l'ouv ert U elles son t onouran tes en le p oin t Q d'in tersetion des droites à l'inni E et F . Elles son t égalemen t deux à deux tangen tes en e p oin t. On dénit le diviseur D d par D d := X α ∈ F q L d,α . La gure suiv an te est une ten tativ e de représen tation du supp ort de D d dans le as où le orps de base est F 3 . Si les droites ne ressem blen t plus à des droites, nous a v ons par on tre  her hé à représen ter les p oin ts rationnels de U que es dr oites in terp olen t. 2 Au sens de la métrique de Hamming. 78 I I. Co des diérentiels sur une surfae L d, 0 L d, 1 L d, 2 F E Remarque I I.5.3. Par le plongement de Se gr é, P 1 × P 1 s'identie à une quadrique hyp er- b olique de P 3 . L es dr oites L d,α sont les tir és en arrièr e des éléments d'un pin e au de  oniques r ationnel les obtenues p ar des se tions de  ette quadrique p ar des plans r ationnels  ontenant tous une même dr oite tangente à la quadrique en un p oint. Dans e qui suit, les diviseurs D a et D b son t eux qui on t été dénis sur P 1 × P 1 page 65 . Prop osition I I.5.4. Si les entiers m et n sont tous deux  ompris entr e 0 et q − 1 , on a alors les tr ois r elations suivantes. ( i ) C Ω (∆ , D a , D d , G m,n ) = F q q ⊗ R S q ( q − 2 − n ) . ( ii ) C Ω (∆ , D b , D d , G m,n ) = RS q ( q − 2 − m ) ⊗ F q q . ( iii ) C L (∆ , G m,n ) ⊥ = C Ω (∆ , D a , D d , G m,n ) + C Ω (∆ , D b , D d , G m,n ) . Par  onsé quent, le  o de C L (∆ , G m,n ) ⊥ est une somme de deux  o des diér entiels. Preuve . D'après la relation ( I I.6) page 77 , si ( i ) et ( ii ) son t v ériées, alors ( iii ) l'est éga- lemen t. De plus, par symétrie, ( i ) et ( ii ) son t équiv alen tes. Reste don à prouv er que ( i ) est v ériée. P osons ν := dx Q α ∈ F q ( x − u − α ) ∧ dy Q β ∈ F q ( u − β ) . Cette 2 -forme v érie les trois propriétés du orollaire I I.4.5 . Calulons le diviseur de ν . Sur U , on a ( ν | U ) = − D a | U − D d | U . De plus, p our tout élémen t α de F q , la droite L d,α est linéairemen t équiv alen te à E + F , don D d ∼ q ( E + F ) . P ar un alul analogue à elui qui a été eetué dans l'exemple prééden t, on mon tre que ( ν ) = (2 q − 2) E + ( q − 2) F − D a − D d . De fait, C Ω (∆ , D a , D d , mE + nF ) = C L (∆ , (2 q − 2 − m ) E + ( q − 2 − n ) F ) = R S q (2 q − 2 − m ) ⊗ RS q ( q − 2 − n ) . P our nir, il sut de onstater que si m est ompris en tre 0 et q − 1 , alors 2 q − 2 − m est sup érieur à q − 1 et le o de RS q (2 q − 2 − m ) est égal à F q q . I I.6. Heuristique, est-e un p roblème de sup er ab ondane ? 79 Cette stratégie de réalisation de l'orthogonal est elle qui v a motiv er le  hapitre I I I, à sa v oir, si l'on ne p eut réaliser l'orthogonal d'un o de fontionnel a v e l'aide d'un seul o de diéren tiel, il est p eut-être p ossible de le réaliser omme somme de o des diéren tiels. Remarque I I.5.5. Noter que le  ontr e-exemple i-dessus s'étend aisément en tout dimension sup érieur e ou é gale à 2 . En génér al, l'ortho gonal d'un  o de fontionnel sur un pr o duit de dr oites pr oje tives ne se r é alise p as  omme  o de fontionnel sur  ette variété. I I.6 Heuristique, est-e un p roblème de sup er ab ondane ? Prenons le temps de ommen ter les phénomènes étudiés dans les exemples prééden ts. P our e faire, ommençons par rev enir pro visoiremen t au as des o des géométriques onstruits sur des ourb es. Soien t X une ourb e algébrique pro jetiv e lisse géométriquemen t in tègre sur F q m unie d'un diviseur G et D = P 1 + · · · + P n une somme de p oin ts rationnels de X . On sait que dans e as, on a systématiquemen t C L ( D , G ) ⊥ = C Ω ( D , G ) . On démon tre l'inlusion ⊇ a v e la form ule des résidus omme l'inlusion réipro que par un argumen t d'égalité de dimension. V o y ons ommen t s'obtien t ette égalité de dimension. Considérons la suite exate de faiseaux 0 → L ( G − D ) → L ( G ) → L ( G ) / L ( G − D ) → 0 . Le terme le plus à droite de ette suite exate est un faiseau gratte-iel. Il est don asque et son H 1 est trivial (f [Har77 ℄  h 3.5 théorème 5.1). On en déduit la suite exate longue en ohomologie, 0 → L ( G − D ) → L ( G ) → F n q → H 1 ( X, L ( G − D )) → H 1 ( X, L ( G )) → 0 . Si l'on note E ∨ le dual d'un espae v etoriel E , alors par dualité de Serre, on a la suite exate 0 → L ( G − D ) → L ( G ) → F n q → Γ ( X , Ω 1 ( G − D )) ∨ → Γ ( X , Ω 1 ( G )) ∨ → 0 . La somme alternée des dimensions p ermet de onlure, dim L ( G − D ) − dim L ( G ) | {z } =dim C L ( D, G ) + n − (dim Γ( X, Ω 1 ( G − D )) − dim Γ( X , Ω 1 ( G )) | {z } =dim C Ω ( D, G ) = 0 . Rev enons à présen t aux surfaes. L'étude des deux exemples triviaux que son t le plan pro jetif et le pro duit de deux droites pro jetiv es p eut enourager le raisonnemen t heuristique suiv an t. Si l'on arrive a avoir l'é galité de dimension dans le  as où S = P 2 'est p ar  e que sur  ette surfa e la sup er ab ondan e 3 d'un fais e au inversible est nul le (f [Har77 ℄ thé or ème III.5.1). Il est don tentant de p enser que l'é  art de dimension entr e le  o de diér entiel et l'ortho gonal du  o de fontionnel est lié à la sup er ab ondan e. En réalité e raisonnemen t est trop rapide. P our s'en on v ainre nous allons essa y er de repro duire le raisonnemen t eetué i-dessus, dans le as des surfaes. Soit I ∆ le faiseau d'idéaux asso ié à la sous-v ariété nie Supp (∆) . Conernan t la onstrution fontionnelle il faut onsidérer la suite exate ourte de faiseaux suiv an te, 0 → L ( G ) ⊗ I ∆ → L ( G ) → L ( G ) / ( L ( G ) ⊗ I ∆ ) → 0 . 3 La dimension du H 1 80 I I. Co des diérentiels sur une surfae En remarquan t qu'ii enore le dernier faiseau est un faiseau gratte-iel on en déduit la suite exate longue 0 → L ( G ) ∆ → L ( G ) → F n q → H 1 ( S, L ( G ) ⊗ I ∆ ) → H 1 ( S, L ( G )) → 0 , où L ( G ) ∆ désigne l'ensem ble des fontions de L ( G ) qui s'ann ulen t en tous les p oin ts du supp ort de ∆ . Ii la dualité de Serre ne p ermet pas de traduire tous les H 1 sous formes d'espaes de 2 -formes diéren tielles. Il faut don onsidérer une seonde suite exate de faiseaux, à sa v oir : 0 → Ω 2 ( G − D ) ⊗ I ∆ → Ω 2 ( G − D ) → Ω 2 ( G − D ) /  Ω 2 ( G − D ) ⊗ I ∆  → 0 . On en déduit la suite exate longue en ohomologie 0 → Γ( S, Ω 2 ( G − D )) ∆ → Γ( S, Ω 2 ( G − D )) → F n q → H 1 ( S, Ω 2 ( G − D ) ⊗ I ∆ ) → H 1 ( S, Ω 2 ( G − D )) → 0 , où Γ( S, Ω 2 ( G − D )) ∆ dérit l'ensem ble des élémen ts de Γ( S, Ω 2 ( G − D )) qui s'ann ulen t en tous les élémen ts du supp ort de ∆ . Les faiseaux L ( G ) et Ω 2 ( G − D ) son t in v ersibles. Don, si la surfae est P 2 , leurs H 1 son t n uls et les suites exates longues donnen t les égalités dim H 1 ( P 2 , L ( G ) ⊗ I ∆ ) = o dim C L (∆ , G ) dim H 1 ( P 2 , Ω 2 ( G − D ) ⊗ I ∆ ) = o dim C Ω ( D , G ) . Il faut ensuite réussir à prouv er que la somme des dimensions de es deux H 1 est égale à n . Dans tous les as, le fait que les sup er ab ondanes des faiseaux in v ersibles soien t n ulles ne sut pas p our démon trer l'égalité de dimension esp érée. Ce qui semble r é el lement fair e défaut à  ette  onstrution diér entiel le est moins la sup er ab ondan e que l'asymétrie des  onstrutions. Plus pr é isément, le fait qu'en dimension sup é- rieur e ou é gale à 2 , les p oints et les diviseurs sont des objets de dimension diér ente. Du fait de  ette asymétrie, on doit intr o duir e une p air e de diviseur ∆ - onvenable p our  onstruir e des  o des diér entiels,  ette dernièr e étant  omplètement absente dans la  onstrution fontion- nel le. Conlusion Nous a v ons étendu la onstrution diéren tielle de o des orreteurs aux surfaes. Nous a v ons égalemen t mon tré que, tout omme dans la as des ourb es, les o des fontionnels et diéren tiels sur les surfaes appartiennen t à la même lasse de o des. en d'autres termes, tout o de fontionnel sur une surfae se réalise omme o de diéren tiel sur ette même surfae et réipro quemen t. La diérene ma jeure a v e la théorie des ourb es est que, à S et ∆ xés l'orthogonal d'un o de fontionnel n'est pas fontionnel (don diéren tiel) en général . Ces o des appartiennen t à une lasse diéren te de o des onstruits à partir de S . V olo  h et Zarzar a v aien t d'ailleurs déjà onstaté e phénomène dans [VZ05 ℄. Dans et artile, les auteurs remarquen t en eet que les o des sur les surfaes qu'ils étudien t son t LDPC 4 . De e fait, es o des son t très diéren ts de leur orthogonal, e qui n'est pas le as des o des géométriques onstruits à partir de ourb es algébriques. Aussi, l'étude des o des diéren tiels sur les surfaes et des exemples que nous a v ons traités oren t des p ersp etiv es in téressan tes. À e titre, nous onlurons e  hapitre par deux questions. Question 1. Peut-on estimer les p ar amètr es des  o des qui sont l'ortho gonal de  o des fon- tionnels ? 4 L ow Density Parity-Che k , 'est-à-dire admettan t une matrie de parité reuse (v oir  hapitre V ). I I.6. Heuristique, est-e un p roblème de sup er ab ondane ? 81 Question 2. Si l'ortho gonal d'un  o de fontionnel ne p eut se r é aliser  omme un  o de dié- r entiel asso ié à une p air e de diviseurs ∆ - onvenables, p eut-on le r é aliser  omme somme de tels  o des ? La question 1 donne lieu aux tra v aux présen tés dans le  hapitre IV . Conernan t la question 2 , une rép onse partielle sera donnée dans le  hapitre I I I. Chapitre I I I Théo rème de réalisation Entr e les désirs et leurs r é alisations s'é  oule toute une vie humaine. S hop enhauer Dans e  hapitre, nous allons nous in téresser la question 2 p osée à la n du  hapitre I I. À sa v oir : l'ortho gonal C L (∆ , G ) ⊥ d'un  o de fontionnel sur une surfa e S se r é alise-t-il  omme somme de  o des diér entiels ? Une rép onse p ositiv e à ette question sera donnée sous ertaines onditions sur la surfae S et le diviseur G . Ces onditions son t dérites dans la setion I I I.1 i-dessous. I I I.1 Contexte Dans e  hapitre, S désigne une surfae pro jetiv e lisse géométriquemen t in tègre au-dessus de F q . On se donne égalemen t un diviseur F q -rationnel G sur S et une famille P 1 , . . . , P n de p oin ts rationnels de S . On app elle ∆ , le 0 -yle ∆ := P 1 + · · · + P n . Notation I I I.1.1. Soit H un hyp erplan de P r , p our toute sous-variété X de P r non  ontenue dans H , on note L X la lasse d'é quivalen e liné air e du diviseur ϕ ∗ H sur X , où ϕ désigne l'inje tion  anonique ϕ : X ֒ → P r . De même, la lasse  anonique sur X ser a noté e K X . À partir de la setion I I I.4, on supp osera (h yp othèse I I I.4) que S est in tersetion omplète dans un espae pro jetif P r et que G est linéairemen t équiv alen t à mL S p our un ertain en tier naturel m . I I I.2 Sous- ∆ -onvenane Dans ette setion, nous allons dénir une notion très pro  he de elle de ∆ -on v enane et qui on tin ue à v érier le résultat du théorème d'orthogonalité (théorème I I.4.1 ). Commençons par justier e b esoin d'in tro duire une nouv elle notion. La question 2 p osée à la n du  hapitre I I était en partie motiv ée par l'étude de la surfae P 1 × P 1 . En eet, on a vu en setion I I.5.2 que l'orthogonal d'un o de fontionnel sur ette surfae p eut se réaliser omme somme de deux o des diéren tiels. T out ela enourage à essa y er de onstruire l'or- thogonal d'un o de fontionnel en plusieurs moreaux. P our e faire, on p eut par exemple  her her des mots de o de ou des sous-o des de C L (∆ , G ) ⊥ don t le supp ort est stritemen t on ten u dans { 1 , . . . , n } . De plus l'exemple des quadriques elliptiques du  hapitre prééden t 83 84 I I I. Théo rème de réalisation (setion I I.3.5 ) mon tre que la onstrution d'un diviseur ∆ -on v enable devien t vite ardue, lorsque la surfae S est plus ompliquée que le plan pro jetif ou le pro duit de deux droites pro- jetiv es. Ces deux argumen ts motiv en t la dénition de paires de diviseurs sous- ∆ -on v enables qui suit. Dénition I I I.2.1 (Diviseurs sous- ∆ -on v enables) . Une p air e ( D a , D b ) est dite sous- ∆ -  onvenable si el le est Λ - onvenable p our un 0 -yle Λ vériant 0 ≤ Λ ≤ ∆ . Remarque I I I.2.2. L a sous- ∆ - onvenan e p eut é galement s'énon er de la façon suivante. Soient D a et D b deux diviseurs dont l'interse tion ensembliste des supp orts est nie et D le diviseur D := D a + D b . L a p air e ( D a , D b ) est sous- ∆ - onvenable si et seulement si el le vérie les pr opriétés suivantes. ( i ) Pour tout p oint gé ométrique P ∈ S , l'appli ation r es 2 D a ,P : Ω 2 ( − D ) P → F q est O S ,P - liné air e. ( ii ) L'appli ation i-dessus est nul le p our tout p oint gé ométrique P non  ontenu dans le supp ort de ∆ . Rapp elons que les diviseurs ∆ -on v enables on t été in tro duits p our obtenir une relation d'orthogonalité en tre o des fontionnels et o des diéren tiels (v oir théorème I I.4.1 ). Le lemme qui suit et don t la démonstration est immédiate mon tre que les paires de diviseurs sous- ∆ - on v enables son t en e sens presque aussi in téressan tes que les paires ∆ -on v enables. Lemme I I I.2.3. Soit S une surfa e lisse gé ométriquement intè gr e au-dessus de F q et munie d'un diviseur G et d'un 0 -yle ∆ qui est la somme formel le de p oints r ationnels de S . Soit enn ( D a , D b ) une p air e sous- ∆ - onvenable de diviseurs, alors C Ω (∆ , D a , D b , G ) ⊆ C L (∆ , G ) ⊥ . I I I.3 Sur les notions de réalisation La question de la réalisation de l'orthogonal d'un o de fontionnel en utilisan t des 2 - formes rationnelles p eut se p oser de deux façons diéren tes. Il y a d'ab ord la question 2 p osée à la n du  hapitre I I que nous rapp elons ii. Question 2. Si l'ortho gonal d'un  o de fontionnel ne p eut se r é aliser  omme un  o de diér en- tiel asso ié à une p air e de diviseurs (sous-) ∆ - onvenable, p eut-on le r é aliser  omme somme de tels  o des ? On p eut égalemen t se p oser une question sensiblemen t diéren te, à sa v oir la question 2bis qui suit. Le théorème de réalisation énoné en setion I I I.4 y rép ondra sous ertaines onditions. Question 2bis. Étant donné un mot de  o de c app artenant à C L,S (∆ , G ) ⊥ , existe-t-il une p air e de diviseurs (sous-) ∆ - onvenable ( D a , D b ) et une 2 -forme ω app artenant à Γ( S, Ω 2 ( G − D a − D b )) et tel le que c = r es 2 D a , ∆ ( ω ) ? Le fait qu'un o de est un espae v etoriel de dimension nie p ermet de mon trer aisémen t qu'une rép onse p ositiv e à la question 2bis en traîne une rép onse p ositiv e à la question 2. La réipro que de ette dernière assertion est égalemen t vraie, 'est e que mon tre la prop osition qui suit. Les problèmes p osés par les questions 2 et 2bis son t don équiv alen ts. Prop osition I I I.3.1. Soient c D et c E deux mots du  o de C L (∆ , G ) ⊥ . Supp osons qu'il existe deux p air es de diviseurs sous- ∆ - onvenables ( D a , D b ) et ( E a , E b ) et deux 2 -formes I I I.3. Sur les notions de réalisation 85 r ationnel les ω D et ω E app artenant r esp e tivement aux esp a es Γ( S, Ω 2 ( G − D a − D b )) et Γ( S, Ω 2 ( G − E a − E b )) et tel les que c D = r es 2 D a , ∆ ( ω D ) et c E = r es 2 E a , ∆ ( ω E ) . A lors, il existe une p air e sous- ∆ - onvenable de diviseurs ( F a , F b ) et une 2 -forme r ationnel le ω F app artenant à Γ( S, Ω 2 ( G − F a − F b )) tel le que c D + c E = r es 2 F a , ∆ ( ω F ) . La preuv e de prop osition I I I.3.1 est une onséquene des lemmes I I I.3.2 et I I I.3.3 qui suiv en t. Lemme I I I.3.2. Soient ( D a , D b ) et ( E a , E b ) deux p air es sous- ∆ - onvenables de diviseurs sur S tel les que les supp orts des diviseurs D := D a + D b , E := E a + E b et G n 'ont p as de  omp osante irr é dutible  ommune. Soient é galement ω D et ω E deux 2 -formes r ationnel les sur S app artenant r esp e tivement à Γ( S, Ω 2 ( G − D )) et Γ( S, Ω 2 ( G − E )) . A lors, il existe une p air e sous- ∆ - onvenable de diviseurs ( F a , F b ) tel le que la 2 -forme ω D + ω E app artienne à Γ( S, Ω 2 ( G − F )) où F désigne le diviseur F := F a + F b . De plus, r es 2 F a , ∆ ( ω D + ω E ) = r es 2 D a , ∆ ( ω D ) + r es 2 E a , ∆ ( ω E ) . Lemme I I I.3.3. Soit ( D a , D b ) une p air e de diviseurs sous- ∆ - onvenable et ω un élément de Γ( S, Ω 2 ( G − D )) où D désigne le diviseur D := D a + D b . Soient é galement C 1 , . . . , C s une famil le de  ourb es irr é dutibles sur S deux à deux distintes. A lors, il existe une p air e sous- ∆ - onvenable ( D ′ a , D ′ b ) vériant les pr opriétés suivantes. (1) L es diviseurs D a et D ′ a (r esp. D b et D ′ b ) sont liné air ement é quivalents. (2) L e supp ort de D ′ := D ′ a + D ′ b ne  ontient auune des  ourb es C 1 , . . . , C s . (3) Pour toute 2 -forme ω app artenant à Γ( S, Ω 2 ( G − D )) , il existe une 2 -forme ω ′ app ar- tenant à Γ( S, Ω 2 ( G − D ′ )) tel le que r es 2 D a , ∆ ( ω ) = r es 2 D ′ a , ∆ ( ω ′ ) . Preuve de la pr oposition I I I.3.1 . Si les supp orts des diviseurs D := D a + D b et E := E a + E b son t sans omp osan te omm une, on applique le lemme I I I.3.2. Sinon on se ramène à ette situation grâe au lemme I I I.3.3. Preuve du lemme I I I.3.2 . Étap e 1. Constrution de ( F a , F b ) . Les diviseurs D + a , E + a , D + b , E + b son t resp etiv emen t de la forme D + a := m 1 V 1 + · · · + m k V k E + a := n 1 W 1 + · · · + n l W l D + b := r 1 X 1 + · · · + r p X p E + b := s 1 Y 1 + · · · + s q Y q , où les V i , W i , X i , Y i son t des ourb es F q -irrédutibles. P ar h yp othèse, es ourb es son t deux à deux disjoin tes. Nous allons onstruire une paire de diviseurs eetifs ( F + a , F + b ) . Le diviseur F + a fera apparaître tous les V i (resp. W j ), p les de ω D (resp. ω E ) a v e p our o eien t l'ordre de e p le. Le diviseur F + b est onstruit exatemen t de la même manière en remplaçan t les V i par des X i et les W j par des Y j . C'est-à-dire que l'on p ose F + a := k X i =1 max( 0 , − v al V i ( ω D )) V i + l X j =1 max( 0 , − v al W j ( ω E )) W j (I I I.1) et F + b := p X i =1 max( 0 , − v al X i ( ω D )) X i + q X j =1 max( 0 , − v al Y j ( ω E )) Y j . (I I I.2) Soit ω F , la 2 -forme dénie par ω F := ω D + ω E . On rapp elle que les omp osan tes irrédutibles des supp orts des diviseurs D a , D b , E a et E b son t par h yp othèse deux à deux disjoin tes. P ar 86 I I I. Théo rème de réalisation onséquen t, il existe un diviseur eetif R don t le supp ort n'a auune omp osan te irrédu- tible omm une a v e les supp orts de D + a , D + b , E + a et E + b et tel que ( ω F ) = G + R − F + a − F + b . On p ose enn F − b := R, et F − a := 0 et on a don F a := F + a et F b := F + b − F − b . Le diviseur F := F a + F b est don onstruit de telle sorte que l'on ait exatemen t ( ω F ) = G − F. Le fait que ω F est un élémen t de Γ( S, Ω 2 ( G − F )) est immédiat. Il reste à mon trer que la paire ( F a , F b ) est sous- ∆ -on v enable. Étap e 2. Sous- ∆ -on v enane de ( F a , F b ) . Soit P un p oin t de S , il existe un germe de fontion f P appartenan t à L ( G ) P tel que le diviseur de la 2 -forme f P ω F au v oisinage de P soit égal à − F . Alors, le germe de 2 -forme f P ω F au v oisinage de P engendre la bre Ω 2 ( − F ) P omme O S ,P -mo dule. En eet, la 2 -forme f P ω F est onstruite de telle sorte que p our tout germe de ourb e C au v oisinage de P on ait v al C ( f P ω F ) = min µ P ∈ Ω 2 ( − F ) P v al C ( µ P ) . Un germe de 2 -forme µ P ∈ Ω 2 ( − F ) P s'obtien t don par m ultipliation de f P ω F par une fontion régulière au v oisinage de P . Mon trons que l'appliation res 2 F a ,P restrein te à Ω 2 ( − F ) P est O S ,P -linéaire. Soit ϕ ∈ O S ,P . On a res 2 F a ,P ( ϕf P ω F ) = res 2 F a ,P ( ϕf P ω D ) | {z } I D + res 2 F a ,P ( ϕf P ω E ) | {z } I E . (I I I.3) Nous allons mon trer que I D = ϕ ( P ) res 2 D a ,P ( f P ω D ) . Commençons par faire deux re- marques. (1) D'après la onstrution de F + a en (I I I.1 ), ertaines des ourb es V i p euv en t ne pas apparaître dans l'expression de e diviseur. C'est e qui arriv e p our une ourb e V i donnée si la v aluation de ω D le long de V i est p ositiv e. Dans e as, le 2 -résidu de ω D en P le long de V i est n ul. De plus, on rapp elle que ϕ est régulière au v oisinage de P et que, par h yp othèse, le supp ort de G n'a pas de omp osan te omm une a v e eux de D et E . P ar onséquen t, si ω D n'a pas de p le le long de V i , alors le 2 -résidu en P le long de V i de ϕf P ω D est n ul. (2) L'h yp othèse les supp orts des diviseurs D a , D b , E a , E b n'on t pas de omp osan te irré- dutible omm une implique que p our tout i , les 2 -formes ω D et ϕf P ω D n'on t pas de p le le long de W i , don on t un 2 -résidu n ul en P le long de ette ourb e. On déduit de es deux remarques que I D = k X i =1 res 2 V i ,P ( ϕf P ω D ) . (I I I.4) Enn, on rapp elle que la dénition de 2 -résidu en un p oin t le long d'un diviseur ne dép end que du supp ort de e dernier (v oir dénition I.7.10 et la mise en garde qui suit). P ar onséquen t, I D = res 2 D a ,P ( ϕf P ω D ) = ϕ ( P ) res 2 D a ,P ( f P ω D ) , (I I I.5) I I I.3. Sur les notions de réalisation 87 la seonde égalité étan t une onséquene de la sous- ∆ -on v enane de ( D a , D b ) et du fait que f P ω D appartien t à Ω 2 ( − D ) P omme O S ,P -mo dule. Le as de la quan tité I E de l'expression (I I I.3) se traite de façon rigoureusemen t iden tique. On obtien t I E = ϕ ( P ) res 2 E a ,P ( f P ω E ) . (I I I.6) En om binan t les relations (I I I.3), (I I I.5) et (I I I.6 ), on ab outit à res 2 F a ,P ( ϕf P ω F ) = ϕ ( P ) res 2 F a ,P ( f P ω F ) , e qui p ermet de onlure quan t à l' O S ,P -linéarité de l'appliation res 2 F a ,P restrein te à Ω 2 ( − F ) P . Enn, omme les paires ( D a , D b ) et ( E a , E b ) son t sous- ∆ -on v enables, p our tout p oin t P de S n'appartenan t pas au supp ort de ∆ , les appliations res 2 D a ,P et res 2 E a ,P son t iden tique- men t n ulles resp etiv emen t sur Ω 2 ( − D ) P et Ω 2 ( − E ) P . D'après (I I I.3 ), (I I I.5) et (I I I.6), on en déduit que l'appliation res 2 F a ,P est iden tiquemen t n ulle sur Ω 2 ( − F ) P . D'après la remarque I I I.2.2, la paire ( F a , F b ) est sous- ∆ -on v enable. P our nir, il nous reste à démon trer le lemme I I I.3.3 . Preuve du lemme I I I.3.3 . Étap e 0. Mise en plae. Quitte à réorganiser l'ordre des ourb es C 1 , . . . , C s , on p eut supp oser que C 1 , . . . , C l son t on ten ues dans le supp ort de D a , que C l +1 , . . . , C m son t dans le supp ort 1 de D b et C m +1 , . . . , C s ne son t on ten ues dans auun des deux supp orts. Nous allons mon trer ommen t b ouger D a an d'éviter es ourb es. On p ourra alors onlure d'après la remarque I I.3.7 en appliquan t un raisonnemen t iden tique à D b . Étap e 1. Déplaemen t de D a . P our dépla er le supp ort de D a , nous allons utiliser la prop osition B.0.2 énonée en annexe B qui est un analogue du moving lemma . Commençons par établir une liste de p oin ts à éviter. Soit C , l'ensem ble des ourb es formé de la réunion des omp osan tes irrédutibles des supp orts de D a , D b et G et des ourb es C 1 , . . . , C s . L'ensem ble P est un ensem ble de p oin ts fermés de S formé de tous les p oin ts d'in tersetion (ensem bliste) de deux élémen ts de C . Si l'un des élémen ts C de C n'en in tersete auun autre, on  hoisit arbitrairemen t un p oin t de C que l'on a joute dans P , an que e dernier on tienne au moins un p oin t de  haque ourb e appartenan t à C . Soit i un en tier appartenan t à { 1 , . . . , l } , on partitionne P en deux ensem bles P i 1 et P i 2 . L'ensem ble P i 1 désigne l'ensem ble des p oin ts P qui appartiennen t à C i et P i 2 désigne son omplémen taire dans P . D'après la prop osition B.0.2 , il existe une fontion f i , v érian t les propriétés suiv an tes. ( i ) La fontion f i est une équation lo ale de C i au v oisinage de tout p oin t P ∈ P i 1 . ( ii ) Le supp ort du diviseur de f i évite tout p oin t P ∈ P i 2 . On p ose m i := v al C i ( D a ) , et on dénit la fontion rationnelle ϕ sur S par ϕ := f m 1 1 . . . f m l l . De la même manière, on p ose e D := D − ( m 1 C 1 + · · · + m l C l ) + C m +1 + · · · + C s , 1 On rapp elle que par dénition de la sous- ∆ -on v enane, les supp orts de D a et D b n'on t pas de omp osan te irrédutible omm une. La ourb e C i ne p eut don pas être on ten ue dans l'in tersetion ensem bliste des supp orts de D a et D b . 88 I I I. Théo rème de réalisation et on partitionne P en P 1 et P 2 , formés resp etiv emen t des p oin ts de P on ten us et non on ten us dans le supp ort de e D . D'après la prop osition B.0.2 , il existe une fontion rationnelle g qui est une équation lo ale de e D au v oisinage de tout élémen t de P 1 et don t le supp ort du diviseur évite tous les élémen ts de P 2 . P osons alors, h := ϕ g + ϕ , et D ′ a := D a − ( h ) . Mon trons que le diviseur de la fontion h est de la forme ( h ) = m 1 C 1 + · · · + m l C l + R , et que le supp ort de R ne on tien t auun élémen t de C . Le diviseur ( h ) est la diérene des diviseurs ( ϕ ) et ( ϕ + g ) . P ar onstrution, le diviseur ( ϕ ) est de la forme ( ϕ ) = m 1 C 1 + · · · + m l C l + R 1 , où le supp ort de R 1 évite tout élémen t de P , don ne on tien t auun élémen t de C . Quan t à la fontion ϕ + g , elle est par onstrution régulière au v oisinage de tout élémen t de P . Elle l'est don sur un ouv ert admettan t une in tersetion non vide a v e tout élémen t de C et n'admet don auune de es ourb es omme p le. De plus, p our toute ourb e C appartenan t à C , l'une des fontions ϕ ou g s'ann ule le long de C et l'autre ne s'ann ule pas. De fait, C ne p eut être un zéro de ϕ + g . P ar onséquen t, le supp ort du diviseur D ′ a ne on tien t auune des ourb es C 1 , . . . , C s ni auune omp osan te des supp orts de D b et G . Étap e 2. Sous- Delta -on v enane de ( D ′ a , D b ) . Soit ω une setion globale de Ω 2 ( G − D ) , on v érie aisémen t que hω est une setion globale de Ω 2 ( G − D ′ a − D b ) . Nous allons mon trer que p our toute 2 -forme ω appartenan t à Γ( S, Ω 2 ( G − D )) , on a res 2 D a , ∆ ( ω ) = res 2 D ′ a , ∆ ( hω ) , (I I I.7) e qui nous p ermettra de démon trer à la fois la propriété 3 de l'énoné et le fait que la paire ( D ′ a , D b ) est sous- ∆ -on v enable. Commençons par noter que, d'après la remarque I I.3.3 du  hapitre I I, la relation (I I I.7) et équiv alen te à res 2 D b , ∆ ( ω ) = res 2 D b , ∆ ( hω ) . (I I I.8) Soien t don C une omp osan te géométrique irrédutible du supp ort de D b et u un élémen t de O S ,C don t la restrition à C est un élémen t séparan t de F q ( C ) / F q . Nous allons mon trer que ( u ) res 1 C ( ω ) = ( u ) res 1 C ( hω ) . (I I I.9) D'après la prop osition I.5.14 du  hapitre I, si l'on mon tre que la relation (I I I.9) i-dessus est v ériée par toute omp osan te géométrique du supp ort de D b , alors la relation (I I I.8) sera v ériée. Soit v une uniformisan te de l'anneau O S ,C . On rapp elle que le omplété m S ,C -adique de F q ( S ) s'iden tie au orps K u (( v )) , où K u est une opie de F q ( C ) on ten ue dans b O S ,C (v oir  hapitre I setion I.4.3 ). P osons m := v al C ( D b ) . Comme ω est un setion globale de Ω 2 ( G − D ) , on sait que sa v aluation le long de C est sup érieure à − m . La onstrution des fontions ϕ et g nous assure que es dernières son t de v aluations resp etiv es 0 et m le long de C . On en déduit don hω = ϕ ϕ + g ω = 1 1 + g ϕ − 1 ω =  1 − g ϕ − 1 + · · ·  ω . La 2 -forme ω étan t de v aluation sup érieure à − m le long de C et la fontion g ϕ − 1 de v aluation m , on en déduit que les termes de la forme ( − 1) n ( g ϕ − 1 ) n ω de la série i-dessus son t de v aluation p ositiv e le long de C . Leur on tribution dans le alul du ( u ) - 1 -résidu de ω le long de C est don n ulle. La relation (I I I.9) est bien v ériée. On onlut la preuv e en appliquan t un raisonnemen t iden tique à D b . I I I.4. Constrution de l'o rthogonal d'un o de fontionnel 89 I I I.4 Constrution de l'o rthogonal d'un o de fontionnel Le but de ette setion est de démon trer le théorème suiv an t. On se plae dans le on texte donné en setion I I I.1 et on supp ose de plus v ériée l'h yp othèse suiv an te. Hyp othèse I I I.4 . L a surfa e S est plongé e dans un esp a e pr oje tif P r F q dans le quel el le est interse tion  omplète . De plus ; le diviseur G est liné air ement é quivalent à l'interse tion de S ave  une hyp ersurfa e de P r . En d'autr es termes et en utilisant la notation III.1.1 , il existe un entier natur el m tel que G ∼ mL S . Théorème I I I.4.1 (Théorème de réalisation) . Sous l'hyp othèse III.4 , soit c un mot du  o de C L,S (∆ , G ) ⊥ . A lors, il existe une p air e de diviseurs ( D a , D b ) et une 2 -forme ω app artenant à l'esp a e des se tions glob ales Γ( S, Ω 2 ( G − D a − D b )) , tels que c = r es 2 D a , ∆ ( ω ) . De plus, on p eut hoisir le  ouple ( D a , D b ) de tel le sorte que (1) la p air e ( D a , D b ) vérie le ritèr e de la pr op osition II.3.8 ; (2) D a soit é gal à une  ourb e lisse irr é dutible plongé e dans S et D a ∼ n a L S p our un  ertain entier stritement p ositif n a ; (3) D b ∼ n b L S p our un  ertain entier n b . A v an t de démon trer e théorème, énonçons un orollaire immédiat de e dernier. Corollaire I I I.4.2. Sous l'hyp othèse III.4 , il existe une famil le nie ( D (1) a , D (1) b ) , . . . , ( D ( s ) a , D ( s ) b ) de p air es de diviseurs sous- ∆ - onvenables tel les que C L,S (∆ , G ) ⊥ = s X i =1 C Ω ,S (∆ , D ( i ) a , D ( i ) b , G ) . Preuve du or ollaire I I I.4.2 . L'inlusion v ers la gau he est une onséquene immédiate du lemme I I I.2.3. P our e qui est de l'inlusion réipro que, le théorème I I I.4.1 implique que C L,S (∆ , G ) ⊥ est égal à la somme de tous les o des de la forme C Ω ,S (∆ , D a , D b , G ) tels que ( D a , D b ) est sous- ∆ -on v enable. Comme un o de est un espae de dimension nie, on p eut extraire de ette somme une somme nie. Le lemme qui suit est la première étap e de la preuv e du théorème I I I.4.1. Lemme I I I.4.3. Sous l'hyp othèse III.4 , soit C une  ourb e lisse absolument irr é dutible plon- gé e dans S obtenue p ar l'interse tion de S ave  une hyp ersurfa e de P r . On supp ose é galement que C n 'est p as  ontenue dans le supp ort 2 de G . Soit G ∗ le tir é en arrièr e de G p ar l'inlusion  anonique C ֒ → S . A lors l'appli ation de r estrition à C r : Γ( S, L ( G )) → Γ( C , L ( G ∗ )) est surje tive. Preuve . La ourb e C est lisse don normale. C'est de plus une in tersetion omplète dans P r . Ainsi, d'après [Har77 ℄ I I.8 ex 4, la ourb e C est pro jetiv emen t normale. Cela signie par dénition, que l'algèbre graduée des o ordonnées homogènes de C p our le plongemen t i : 2 Notons que si C est on ten ue dans le supp ort de G , on p eut remplaer e dernier par un autre élémen t du système linéaire | G | , ette ondition n'est don pas vraimen t problématique. D'une façon générale, on p eut éviter e t yp e de restrition en adoptan t un langage plus fais e autique . En eet, le tiré en arrière de G sur C n'a pas de sens quand C est on ten ue dans le supp ort de G , le tiré en arrière de L ( G ) lui, est toujours bien déni (v oir [Har77 ℄ I I.5). Le défaut de e p oin t de vue est que dans e as, les setions de i ∗ L ( G ) ne p euv en t plus être vues omme des restritions à C de fontions sur S . Nous a v ons don préféré onserv er une appro  he plus fontionnel le . 90 I I I. Théo rème de réalisation C ֒ → P r , est in tégralemen t lose. D'après [Har77 ℄ I I.5 ex 14, ette algèbre graduée s'iden tie à M m ∈ N Γ( C, i ∗ O P r ( m )) et sa lture in tégrale à M m ∈ N Γ( C, O C ( m )) . La normalité pro jetiv e de C en traîne que p our tout en tier naturel m , l'appliation de res- trition ψ m : Γ ( P r , O P r ( m )) → Γ( C , O C ( m )) est surjetiv e (f [Har77 ℄ I I.5 ex 14 (d)). P ar ailleurs, le diviseur G ∗ est linéairemen t équi- v alen t à mL C , don le faiseau L ( G ∗ ) est isomorphe à O C ( m ) . Considérons le diagramme omm utatif Γ( S, O S ( m )) r m Γ( P r , O P r ( m )) φ m ψ m Γ( C, O C ( m )) . La surjetivité de l'appliation ψ m en traîne elle de l'appliation r m . Le seond ingrédien t de la preuv e du théorème I I I.4.1 est le théorème 3.3 de l'artile [P o o04 ℄ de P o onen. Il s'agit d'un théorème à la Bertini p our des v ariétés sur des orps nis. Énonçons e résultat. Théorème I I I.4.4 (P o onen 2004) . Soit X un sous-shéma quasi-pr oje tif lisse de P r de dimension m ≥ 1 au-dessus de F q et soit F ⊂ X un ensemble ni de p oints fermés. A lors, il existe une hyp ersurfa e lisse et gé ométriquement intè gr e H ⊂ P r tel le que l'interse tion H ∩ X est lisse, de dimension m − 1 et  ontient F. Remarque I I I.4.5. À la suite de  e thé or ème, l'auteur r emar que que, si X est pr oje tive et gé ométriquement  onnexe, alors H ∩ X l'est é galement d'apr ès [Har77 ℄  or ol lair e III.7.9. Démonstra tion du théorème I I I.4.1 . Étap e 1. Constrution de ω , D a et D b . Soien t i 1 , . . . , i s les indies du supp ort du mot de o de c . D'après le théorème I I I.4.4 et la remarque I I I.4.5, il existe une h yp ersurfae H on ten ue dans P r telle que l'in tersetion C := H ∩ S est une ourb e pro jetiv e lisse onnexe on tenan t les p oin ts P i 1 , . . . , P i s . On note G ∗ le tiré en arrière de G sur C par l'inlusion anonique C ֒ → S et Λ C le diviseur Λ C := P i 1 + · · · + P i s ∈ Div F q ( C ) . D'après le lemme I I I.4.3, l'appliation Γ( S, L ( G )) → Γ( C, L ( G ∗ )) est surjetiv e et induit don une appliation surjetiv e de o des r : C L,S (∆ , G ) → C L,C (Λ C , G ∗ ) . Soit à présen t c ∗ := ( c i 1 , . . . , c i s ) le mot de o de p oinçonné obten u en ne onserv an t que les o ordonnées du mot c d'indies i 1 , . . . , i s . La surjetivité de l'appliation r en traîne que le mot c ∗ est un élémen t de C L,C (Λ C , G ∗ ) ⊥ . On sait égalemen t que C L,C (Λ C , G ∗ ) ⊥ = C Ω ,C (Λ C , G ∗ ) . I I I.4. Constrution de l'o rthogonal d'un o de fontionnel 91 P ar onséquen t, il existe une 1 -forme µ sur C appartenan t à Γ( C, Ω 1 ( G ∗ − Λ C )) et telle que c ∗ = res Λ C ( µ ) , où res Λ C désigne l'appliation res Λ C :  Γ( C, Ω 1 ( G ∗ − Λ C )) → F s q ω 7→ ( res P i 1 ( ω ) , . . . , res P i s ( ω )) . Notons que, par h yp othèse, les o ordonnées du mot de o de p oinçonné c ∗ son t toutes non n ulles (il a été onstruit en éliminan t les o ordonnées n ulles du mot c ). De e fait, ∀ k ∈ { 1 , . . . , s } , v al P i k ( µ ) = − 1 . (I I I.10) Soit à présen t µ ∗ un relev é arbitraire de µ sur S , 'est-à-dire une 1 -forme rationnelle sur S v érian t µ ∗ | C = µ. Soit égalemen t v une uniformisan te de l'anneau O S,C . P osons alors, ω := µ ∗ ∧ dv v . Le diviseur de ω est de la forme ( ω ) = − C + R, où R est un diviseur sur S don t le supp ort ne on tien t pas la ourb e C . P our nir, on p ose D a := C et D b := G − R. Ainsi ω est bien un élémen t de Γ( S, Ω 2 ( G − D a − D b )) . De plus, omme le 1 -résidu de ω le long de C est µ , on en déduit res 2 D a , ∆ ( ω ) = res 2 C, ∆ ( ω ) = c. Étap e 2. Sous- ∆ -on v enane de ( D a , D b ). Soit Λ , le 0 -yle sur S déni par Λ := P i 1 + · · · + P i s . Nous allons mon trer que la paire ( D a , D b ) est Λ -on v enable. P our e faire, nous allons utiliser le ritère de la prop osition I I.3.8. Si l'on note i l'inlusion anonique i : C ֒ → S , d'après le lemme I I.3.12 on a l'égalité de diviseurs sur C : ( µ ) = i ∗ ( G − D b ) . Comme µ est un élémen t de Γ( C, Ω 1 ( G − Λ C )) , on en déduit que i ∗ D b ≤ Λ , e qui implique l'inégalité de 0 -yles sur S suiv an te : D a ∩ D b ≤ Λ . (I I I.11) Soit alors P , un p oin t de S non on ten u dans le supp ort de Λ et n'appartenan t pas à la ourb e C ('est-à-dire au supp ort de D a ). Dans ette situation, D a p eut jouer le rle 3 de D ∗ en P et omme D a est n ul au v oisinage de e p oin t, le ritère y est trivialemen t v érié. Soit à présen t un p oin t P de C non on ten u dans le supp ort de Λ . Comme C est une ourb e irrédutible lisse, le diviseur D a = C p eut enore jouer le rle de D ∗ . D'après la relation (I I I.11), la m ultipliité d'in tersetion de D a a v e D b en P est négativ e, le ritère est don v érié en e p oin t. En un p oin t P du supp ort de Λ , le diviseur D a joue enore le rle de D ∗ et l'inégalité (I I I.11 ) implique que la m ultipliité d'in tersetion de D a et D b en P est inférieure ou égale à 1 . D'après la relation (I I I.10 ) et le lemme I I.3.12 l'inégalité est en fait un égalité. Le ouple ( D a , D b ) v érie don bien le ritère de Λ -on v enane. Étap e 3. Classes d'équiv alene linéaire de D a et D b . D'après la onstrution de la ourb e C = D a dans l'étap e 1, on sait qu'il existe un en tier naturel non n ul n a tel que D a ∼ n a L S . 3 V oir prop osition I I.3.8 p our une desription de D ∗ . 92 I I I. Théo rème de réalisation D'après [Har77 ℄ I I.8 ex 4(e), la lasse anonique d'une sous-v ariété X in tersetion omplète de P r est de la forme K X ∼ k L X où k dép end du degré des h yp ersurfaes don t l'in tersetion est égale à X . Soit don k l'en tier tel que K S ∼ k L S . Comme le diviseur de ω v érie ( ω ) = G − D a − D b , et que G ∼ mL S , on en déduit que D b ∼ ( m − k − n a ) L S . Remarque I I I.4.6. L a  ourb e C qui dénit le diviseur D a dans la pr euve du thé or ème III.4.1 est  onstruite de manièr e à interp oler les p oints  orr esp ondant au supp ort du mot de  o de que l'on p eut r é aliser. Noter que l'on aur ait pu tout aussi bien hoisir une b onne fois p our toute une  ourb e interp olant tous les p oints du supp ort de ∆ et ne tr avail ler que sur  ette dernièr e. Notons au p assage qu'une tel le appr o he p ermet de démontr er qu'un  o de fontionnel  onstruit sur S à p artir d'un diviseur G ∼ mL S se r é alise toujours  omme  o de sur une  ourb e C  ontenue dans S . Ce fait n 'a rien de nouve au, Pel likaan, Shen et V an W e e montr ent dans [PSV91 ℄ que tout  o de  orr e teur se r é alise  omme  o de sur une  ourb e. L'exploitation p otentiel le de  e fait en vue d'une étude du  o de fontionnel ser a disuté e en se tion III.6 . I I I.5 Disussion autour du théo rème de réalisation Quelques ommen taires s'imp osen t au sujet du théorème I I I.4.1 et de sa démonstration. D'ab ord, il est imp ortan t de noter que la preuv e de e théorème de réalisation n'est malheu- reusemen t pas onstrutiv e. En eet, ette dernière rep ose sur le théorème I I I.4.4 de P o onen qui n'est lui-même qu'un résultat d'existene. Ce dernier ne donne par exemple auune in- formation sur le degré minimal de l'h yp ersurfae qui p ermet de onstruire le diviseur D a . Ensuite, on rapp elle que le résultat n'est démon tré que sous ertaines onditions, à sa v oir que la surfae S est in tersetion omplète et que le diviseur G est linéairemen t équiv alen t à mL S . En fait, es onditions son t prinipalemen t là p our assurer la surjetivité de l'appliation Γ( S, L ( G )) → Γ( C , L ( G ∗ )) . Il s'a v ère que ette appliation est fréquemmen t surjetiv e mais e n'est pas systématique (un on tre-exemple est donné en I I I.5.1 ). Les h yp othèses du théorème assuren t la surjetivité de l'appliation p our toute ourb e lisse obten ue par in tersetion de S a v e une h yp ersurfae. En onlusion, il s'agit de onditions susan tes, mais absolumen t pas néessaires. Il est fort p ossible que le résultat reste vrai en omettan t es h yp othèses, nous n'a v ons ep endan t pas été à même de le démon trer dans un as plus général. L'exemple élémen taire présen té dans la setion I I I.5.1 v a onrmer l'asp et non néessaire de es h yp othèses. Cela nous amène à p oser la question ouv erte suiv an te. Question 3. L e r ésultat du thé or ème de r é alisation r este-t-il vr ai si l'on élimine les hyp othèses que doivent vérier S et G ? Notons égalemen t que le théorème de réalisation (plus exatemen t le orollaire I I I.4.2) rép ond à la question 2 p osée page 81 sous ertaines h yp othèses sur S et G . Cep endan t, si l'on sait que sous es h yp othèses l'orthogonal d'un o de fontionnel se réalise omme une somme de o des diéren tiels, la question suiv an te reste ouv erte. Question 4. Sous les  onditions du  or ol lair e III.4.2 , p eut-on estimer le nombr e de minimal de  o des diér entiels dont la somme est é gale à l'ortho gonal d'un  o de fontionnel en fontion d'invariants gé ométriques de la surfa e ? L'exemple qui suit a été suggéré par An toine Duros. I I I.5. Disussion autour du théo rème de réalisation 93 I I I.5.1 Un exemple de réalisation sans que les onditions du théo rème de I I I.4.1 soient vériées Soien t S la surfae obten ue par l'élatemen t de P 2 en un p oin t O et π : S → P 2 , l'élatemen t de P 2 en O . Le diviseur G est le diviseur exeptionnel de S et le 0 -yle ∆ , la somme des p oin ts rationnels de S non on ten us dans le supp ort de G . La surfae S p eut être plongée dans P 5 via le plongemen t de Segré ([Sha94 ℄ I.5.1). P our e plongemen t, S est un in tersetion omplète. Cep endan t, le diviseur G ne p eut s'iden tier à une setion h yp erplane de S p our auun plongemen t de ette surfae. En eet, il est d'auto-in tersetion − 1 , don ne v érie pas le ritère de Nak ai-Moishezon ([Har77 ℄ théorème V.1.10). L'espae Γ( S, L ( G )) est de dimension 1 et ne on tien t que les fontions onstan tes. En eet, omme G est d'auto- in tersetion négativ e, il est le seul élémen t du système linéaire | G | qui est don de dimension n ulle. P ar onséquen t, la dimension de Γ( S, L ( G )) est égale à 1 . On v érie ensuite que les onstan tes son t bien des élémen ts de et espae. Soit à présen t L la transformée strite d'une droite de P 2 passan t par O . La ourb e L in tersete G transv ersalemen t en un unique p oin t Q . Le tiré en arrière G ∗ de G par l'inlusion anonique de L dans S est égal à Q . De fait, l'espae Γ( L, L ( G ∗ )) est de dimension 2 et don l'appliation Γ( S, L ( G )) → Γ( L , L ( G ∗ )) n'est pas surjetiv e. Mon trons main tenan t que l'on p eut tout de même réaliser tous les mots de C L (∆ , G ) ⊥ omme résidus de 2 -formes sur S . App ro he non onstrutive. Soit c un mot de C L (∆ , G ) ⊥ et soit Λ le 0 -yle de S orresp ondan t au supp ort de c . Il existe une ourb e irrédutible lisse C de S qui on tien t tous les p oin ts du supp ort de Λ et don t l'in tersetion a v e G est vide. En eet, ela revien t à onstruire une ourb e lisse de P 2 qui in terp ole une famille nie de p oin ts et évite le p oin t O . Le tiré en arrière G ∗ de G sur C est n ul et don Γ( C, L ( G ∗ )) est l'ensem ble des fontions onstan tes sur C . P ar onséquen t, l'appliation Γ( S, L ( G )) → Γ( C , L ( G ∗ )) est surjetiv e et on p eut eetuer la onstrution eetuée dans la démonstration du théorème I I I.4.1. App ro he onstrutive. Le o de C L,S (∆ , G ) est le o de de rép étition pure et de longueur n = q 2 + q . Son orthogonal est don un o de de dimension n − 1 . On note c 2 , . . . , c n les mots de la forme c i := (1 , 0 , . . . , 0 , − 1 , 0 , . . . , 0) , le  − 1  apparaissan t en i -ème p osition. La famille ( c 2 , . . . , c n ) est une base de C L (∆ , G ) ⊥ . D'après la prop osition I I I.3.1, il sut de réaliser es n − 1 mots p our mon trer que tout mot de C est réalisable. Étap e 1. Soit don i un en tier ompris en tre 2 et n et supp osons que les p oin ts π ( P 1 ) et π ( P i ) ne son t pas alignés a v e O dans P 2 . On app elle C , la droite de P 2 relian t π ( P 1 ) et π ( P i ) . On  hoisit deux droites C 1 et C i dans P 2 distintes de C et on tenan t resp etiv emen t π ( P 1 ) et π ( P i ) et évitan t le p oin t O . 94 I I I. Théo rème de réalisation π ( P 1 ) C 1 C π ( P i ) O C i On rapp elle que la lasse anonique dans P 2 est égale à − 3 L , où L désigne la lasse d'équi- v alene linéaire des droites du plan pro jetif. De fait, le diviseur − C − C 1 − C i est anonique, il existe don une 2 -forme ω sur P 2 telle que ( ω ) := − C − C 1 − C 2 . D'après le lemme I I.3.12 , la 1 -forme res 1 C ( ω ) sur C n'a de p les qu'en π ( P 1 ) et π ( P i ) et es p les son t simples. Elle a don des résidus non n uls en es p oin ts et d'après la form ule des résidus, ils son t opp osés. De e fait, quitte à m ultiplier ω par un salaire non n ul, on a res 2 C,P 1 ( ω ) = 1 et res 2 C,P i ( ω ) = − 1 . De plus, la 2 -forme ω n'a ni zéro ni p le au v oisinage de O . Don, d'après le lemme I.7.7 la 2 -forme π ∗ ω sur S est de v aluation 1 le long du diviseur exeptionnel, on a don ( π ∗ ω ) = G − e C − e C 1 − e C 2 . On p ose Λ i := P 1 + P i , D a := e C et D b := e C 1 + e C 2 et on v érie aisémen t que ( D a , D b ) est Λ i -on v enable (on p eut par exemple v oir qu'il satisfait le ritère de la prop osition I I.3.8 ). De fait, le mot c i est réalisé par la 2 -forme π ∗ ω . Étap e 2. Si main tenan t les p oin ts π ( P 1 ) et π ( P k ) son t alignés a v e O . On  hoisit deux autres p oin ts rationnels π ( P j ) et π ( P k ) de P 2 tels que les p oin ts π ( P 1 ) , π ( P i ) , π ( P j ) et π ( P k ) soien t en p osition générale (trois d'en tre eux ne son t pas alignés). Il existe au moins deux oniques rationnelles C et C ′ distintes in terp olan t es quatre p oin ts et évitan t le p oin t O . En eet, le système linéaire des oniques in terp olan t es p oin ts est de dimension 1 , don même si le orps de base est F 2 , il y a au moins 3 élémen ts dans e système et un seul d'en tre eux in terp ole 0 . On app elle C ′′ la droite relian t π ( P j ) et π ( P k ) . C C ′ C ′′ 0 π ( P 1 ) π ( P k ) π ( P j ) π ( P i ) I I I.6. Une autre appliation p ossible des théo rèmes à la Bertini 95 Le diviseur − C − C ′ + C ′′ est linéairemen t équiv alen t à − 3 L , 'est don un diviseur anonique et il existe une 2 -forme ω sur P 2 v érian t ( ω ) = − C − C ′ + C ′′ . A v e le lemme I I.3.12 on mon tre que π ( P 1 ) et π ( P i ) son t les seuls p les de la 1 -forme res 1 C ( ω ) sur C . On en déduit que, quitte à m ultiplier ω par un salaire in v ersible, on a res 2 C,P 1 ( ω ) = 1 et res 2 C,P i ( ω ) = − 1 . P ar ailleurs, ω n'a ni zéro ni p le au v oisinage de O , don π ∗ ω v érie ( π ∗ ω ) = G − e C − e C ′ + e C ′′ . On nit en p osan t Λ i := P 1 + P i , D a := e C et D b := e C ′ + e C ′′ et en v érian t (grâe au ritère de la prop osition I I.3.8 ) que la paire ( D a , D b ) ainsi onstruite est bien Λ i -on v enable. I I I.6 Une autre appliation p ossible des théo rèmes à la Bertini Cette setion, qui onlut le  hapitre I I I, a p our but de mon trer qu'une rép onse à une ertaine question ouv erte p ourrait p ermettre dans ertaines situations de minorer la distane minimale du o de fontionnel C L (∆ , G ) . L'ob jetif est d'utiliser la onstatation de la re- marque I I I.4.6 . A v an t d'y arriv er ouvrons une paren thèse historique sur la théorie des o des géométriques. I I I.6.1 Les travaux de P ellik aan, Shen et W ee Dans [PSV91℄, les auteurs lassen t les o des orreteurs en W A G ( W e akly A lgebr ai- Ge ometri ), A G ( A lgebr ai-Ge ometri ) et SA G ( Str ongly A lgebr ai-Ge ometri ). Les o des W A G son t les o des Γ admettan t une représen tation géométrique, 'est-à-dire les o des p our lesquels il existe une ourb e C , un diviseur G sur C et une famille P 1 , . . . , P n de p oin ts rationnels de X tels que Γ = C L,C ( D , G ) a v e D := P 1 + · · · + P n . Les o des A G son t les o des W A G qui admetten t une représen tation v érian t n > deg ( G ) . Quan t aux SA G e son t les W A G admettan t une représen tation telle que n > deg( G ) > 2 g C − 2 . L'un des résultats ma jeurs de l'artile [PSV91℄ est le théorème 2 qui arme que tout o de est W A G. Dans la suite de l'artile, les auteurs donnen t des exemples de o des qui ne le son t pas. Ils signalen t par exemple que les o des de Gola y binaires ne son t pas A G ([PSV91 ℄ orollaire 9). Le problème des o des est que toutes leurs réalisations omme o des sur des ourb es donne une distane onstruite de Goppa n ulle. P ar onséquen t, une représen tation géométrique du o de ne fournit auune information sur sa distane minimale. En e qui onerne les o des fontionnels sur une surfae algébrique, notre ob jetif v a être de sa v oir si l'on p eut disp oser d'une représen tation A G. 96 I I I. Théo rème de réalisation I I I.6.2 Le as des o des fontionnels sur une surfae Jusqu'à la n du  hapitre, nous nous plaçons sous l'h yp othèse I I I.4 énonée page 89 . Reprenons la remarque I I I.4.6 . Le théorème I I I.4.4 de P o onen nous assure l'existene d'une ourb e lisse géométriquemen t in tègre C ⊂ S obten ue par in tersetion de S a v e une h yp er- surfae de P r et qui in terp ole tous les p oin ts P 1 , . . . , P n du supp ort de ∆ . Puis, d'après le lemme I I I.4.3, l'appliation de restrition à C Γ( S, L ( G )) → Γ( C , L ( G ∗ )) est surjetiv e. Si l'on note D le diviseur sur C déni par D := P 1 + · · · + P n , alors la surjetivité de l'appliation i-dessus en traîne que les o des C L,S (∆ , G ) et C L,C ( D , G ∗ ) son t iden tiques. Le o de C L,S (∆ , G ) s'iden tie don à un o de sur une ourb e algébrique. Si G est linéairemen t équiv alen t à mL S , alors G ∗ es linéairemen t équiv alen t à mL C . Le tout est de sa v oir quel est le degré de L C . Ce degré est le nom bre de p oin ts géométriques de l'in tersetion de C a v e un h yp erplan géométrique générique, 'est don le degré de la ourb e C p our son plongemen t dans P r . Enn, au vu de la onstrution de C , son degré n'est autre que le degré de S m ultiplié par le degré de l'h yp ersurfae H telle que C = H ∩ S . P ar onséquen t, une estimation susammen t ne du degré de l'h yp ersurfae H p ermettrait de minorer la distane minimale du o de C L,S (∆ , G ) . Question 5 (Arithmétique) . Soient X une variété pr oje tive lisse gé ométriquement intè gr e sur un  orps ni F q et P 1 , . . . , P n , une famil le de p oints fermés de X . Peut-on évaluer expliitement ou major er de façon pr é ise le plus p etit entier d tel qu'il existe au moins une hyp ersurfa e dénie sur F q de de gr é inférieur ou é gal à d qui interp ole tous les P i et dont l'interse tion shématique ave  X soit une sous-variété lisse gé ométriquement intè gr e de  o dimension 1 ? Dans [P o o04 ℄, P o onen mon tre que de telles h yp ersurfaes existen t et formen t même un sous-ensem ble de densité p ositiv e dans l'ensem ble des h yp ersurfaes de P r , mais il ne donne auune information sur le degré minimal d'une telle v ariété. On est de e fait assurés de l'existene de l'en tier d mais ne disp ose d'auun pro édé d'estimation expliite. Notons que la question 5 A (Arithmétique) ne p orte que sur les h yp ersurfaes dénies sur F q . La remarque qui suit assure que l'on p eut se p oser la question p our les h yp ersurfaes dénies sur F q . Remarque I I I.6.1. Soit F q m une extension de F q et S ′ la surfa e S ′ := S × F q F q m . Notons ∆ ′ et G ′ p our les tir és en arrièr e r esp e tifs de ∆ et G sur S ′ . On disp ose alors de l'é galité de  o des C L,S (∆ , G ) ⊗ F q F q m = C L,S ′ (∆ ′ , G ′ ) . En p artiulier,  es  o des ont la même distan e minimale. P ar onséquen t, on p eut  her her une réalisation du o de C L,S (∆ , G ) ⊗ F q m p our une extension quelonque de F q , e qui ramène notre problème à la question suiv an te. Question 5 (Géométrique) . Soit X une variété pr oje tive irr é dutible lisse dénie sur F q et P 1 , . . . , P n une famil le de p oints de X . Peut-on évaluer expliitement ou major er de façon pr é ise le plus p etit entier d tel qu'il existe au moins une hyp ersurfa e H de de gr é inférieur ou é gal à d , qui  ontienne tous les P i et tel le que H ∩ X soit une sous-variété lisse de  o dimension 1 de X ? Cette dernière question ressem ble fortemen t à un théorème à la Bertini. En eet, si l'on note d d le système linéaire des setions h yp erplanes de X de degré d et d ′ d le sous- système linéaire de d d des setions h yp erplanes de X in terp olan t les P i , alors la question 5G (Géométrique) se traduit par : le système liné air e d ′ d p ossè de-t-il un élément irr é dutible lisse ? Les questions 5 A et 5G resten t ouv ertes. Notons que l'artile [KA79 ℄ d'Altman et Kleiman donne une piste p our ten ter d'y rép ondre. Les ommen taires i-dessous on t été suggérés par Stev en L. Kleiman. I I I.6. Une autre appliation p ossible des théo rèmes à la Bertini 97 Théorème I I I.6.2 (Altman, Kleiman 1979) . Soient k un  orps inni, X un sous-shéma de l'esp a e pr oje tif P r k et Z un sous-shéma de X . Soit I Z le fais e au d'idé aux de O P r asso ié à l'adhér en e de Z dans X . Soit d un entier tel que I Z ( d ) est engendr é p ar ses se tions glob ales. Supp osons que X r Z est lisse, alors l'interse tion de X p ar des hyp ersurfa es génériques indép endantes de de gr é d + 1 est lisse hors de Z . Dans notre situation, soit Z la réunion des p oin ts P 1 , . . . , P n . Supp osons que l'on onnaisse un en tier d tel que I Z ( d ) soit engendré par ses setions globales et que p our tout i , le faiseau ( I Z / m P i I Z )( d ) soit engendré par les setions globales de I Z ( d ) . Alors, une setion globale générique de I Z ( d ) sera en v o y ée sur un élémen t non n ul de m P i / m 2 P i et sera don non singulière en e p oin t, elle sera égalemen t lisse hors de Z d'après le théorème i-dessus. Le problème reste en tous les as de trouv er un tel en tier d ou une b orne sup érieure p our elui-i. Chapitre IV Orthogonal d'un o de fontionnel Dans e  hapitre, nous allons tra v ailler sur le problème de la minoration de la distane minimale de l'orthogonal d'un o de fontionnel. Nous allons présen ter deux appro  hes. La première s'applique aux o des fontionnels onstruits à partir de v ariétés pro jetiv es de di- mension quelonque et pas seulemen t aux surfaes. Elle est de plus indép endan te de tous les résultats préédemmen t énonés et ne fait pas in terv enir la notion de formes diéren tielles. La seonde appro  he, elle, utilise les résultats obten us dans le  hapitre I I I . P our le reste, e  hapitre ne p eut être onsidéré omme totalemen t ab outi. Il ouvre ep en- dan t un ertain nom bre de problèmes de géométrie algébrique sur les systèmes linéaires don t la résolution p ermettrait d'obtenir des minorations de la distane minimale de l'orthogonal d'un o de fontionnel. Notations Nous allons reprendre dans e  hapitre un ertain nom bre de notations utilisées dans le  hapitre I I I . En partiulier, on rapp elle que si X est une sous-v ariété fermée d'un espae pro jetif, on note L X la lasse d'équiv alene linéaire d'une setion h yp erplane de X et K X la lasse anonique sur X . IV.1 Première app ro he Cette appro  he onsiste en fait à n'utiliser que des métho des d'algèbre linéaire relativ e- men t élémen taires. Dans ette setion, N désigne un en tier naturel non n ul et k un orps quelonque. On se donne une v ariété pro jetiv e lisse géométriquemen t in tègre X in tersetion omplète dans un espae pro jetif P N et m unie d'un diviseur G et d'un 0 -yle ∆ . On sup- p ose égalemen t qu'il existe un en tier naturel m tel que G ∼ mL X et que ∆ est une somme de p oin ts rationnels de X qui éviten t le supp ort de G . IV.1.1 Notion de m -généralité P our alléger les notations, on désignera l'espae Γ( P N k , O P N k ( m )) des formes homogènes de degré m sur P N k par F N m . Enn, p our tout p oin t rationnel P de P N , on note ev P l'appliation d' évaluation dérite dans la dénition D.1.1 (v oir annexe D ). Dénition IV.1.1. On dit que les p oints P 1 , . . . , P r ∈ P N ( k ) sont liés en de gr é m ou m - liés si les formes liné air es ev P 1 , . . . , ev P r sont lié es dans le dual ( F N m ) ∨ de F N m . Dans le  as  ontr air e, si  es formes liné air es forment une famil le libr e de ( F N m ) ∨ , on dit que  es p oints sont en p osition m -génér ale. 99 100 IV. Orthogonal d'un o de fontionnel La dénition i-dessus p eut s'in terpréter de façon géométrique, omme le mon tre le lemme qui suit. Lemme IV.1.2. Une famil le de r p oints P 1 , . . . , P r de P N est en p osition m -génér ale, si et seulement si p our tout entier i ∈ { 1 , . . . , r } , il existe une hyp ersurfa e de de gr é m qui  ontient les p oints P 1 , . . . , b P i , . . . , P r et évite P i . Preuve . C'est un exerie élémen taire de dualité en algèbre linéaire. Remarque IV.1.3. L a notion de 1 -génér alité  orr esp ond à la dénition lassique de p osi- tion génér ale. L e plus souvent, dans la littér atur e, une famil le de p oints de P N est dite en p osition génér ale si et seulement  es p oints forment un r ep èr e pr oje tif de la variété liné air e pr oje tive qu'ils engendr ent. Si l'on se donne un entier m , alors une famil le de p oints de P N sont en p osition m -génér ale si et seulement si leurs images p ar le m -ème plongement de V er onèse 1 sont en p osition génér ale au sens lassique (dé rit i-dessus) dans P M ave  M =  N + d d  − 1 Remarque IV.1.4. On aur ait pu donner une dénition plus génér ale de  es notions en ne  onsidér ant plus seulement des p oints r ationnels de P N , mais des p oints fermés et même des p oints inniment pr ès 2 de P N . Un tel p oint de vue étant totalement inutile dans  e qui suit, nous avons hoisi de nous r estr eindr e au  as des p oints r ationnels de P N . Exemple IV.1.5 . Supp osons que N = 1 , on tra v aille don sur la droite pro jetiv e. Dans e as, r p oin ts deux à deux distints P 1 , . . . , P r son t en p osition m -générale si et seulemen t si r ≤ m + 1 . En eet, on p eut onstruire une forme homogène de degré inférieur ou égal à m a y an t exatemen t r − 1 raines données. IV.1.2 Systèmes linéaires de P N La notion de m -généralité p eut se reform uler en termes de systèmes linéaires. P our e faire, on adoptera les notations de [Har77 ℄ V.4. Soien t m un en tier naturel, d le système linéaire sur P N des h yp ersurfaes de degré m et P 1 , . . . , P r une famille de p oin ts rationnels de P N . P our tout en tier naturel 1 ≤ i ≤ r , on note d i le sous-système linéaire de d des h yp ersurfaes de degré d on tenan t les p oin ts P 1 , . . . , b P i , . . . , P r . Selon les notations de [ Har77 ℄ V.4, d i := d − P 1 − · · · − b P i − · · · − P r . En termes de systèmes linéaires, la m -généralité de P 1 , . . . , P r se form ule de la façon suiv an te. Les p oin ts P 1 , . . . , P r son t en p osition d -générale si et seulemen t si p our tout i , le p oin t P i n'est pas un p oin t base du système linéaire d i . IV.1.3 Lien ave les notions de distane minimale Munis de es dénitions, la question de la minoration de la distane minimale du o de C L,X (∆ , G ) ⊥ p eut se traduire sous forme d'un problème géométrique. Prop osition IV.1.6. Soit m un entier tel que G ∼ mL X . L a distan e minimale d ⊥ du  o de C L,X (∆ , G ) ⊥ est é gale au nombr e minimal s de p oints P 1 , . . . , P s du supp ort de ∆ qui sont m -liés. Preuve . Soit c = ( c 1 , . . . , c n ) un mot de C L (∆ , G ) ⊥ . Cela signie que l'appliation ϕ c := c 1 ev P 1 + · · · + c n ev P n est iden tiquemen t n ulle sur Γ( X , L ( G )) . Comme X est in tersetion 1 V oir [Sha94 ℄ I.4.4. 2 C'est-à-dire des p oin ts appartenan t à une v ariété obten ue par une séquene d'élatemen ts de sous-v ariétés de X . V oir [Har77 ℄ V.3. IV.1. Première app ro he 101 omplète, d'après [Har77 ℄ I I.8 ex 14, elle est pro jetiv emen t normale et il y a don une appliation surjetiv e f : Γ( P N , O P N ( m )) → Γ( X , L ( G )) . L'appliation ϕ c ◦ f dénie sur Γ( P N , O P N ( m )) est don n ulle, or e morphisme n'est autre que c 1 ev P 1 + · · · + c n ev P n vu omme une forme linéaire sur Γ( P N , O P N ( m )) = F N m . Cette reform ulation du problème de la distane minimale de C L (∆ , G ) ⊥ , nous ramène à un problème qui est loin d'être aussi élémen taire qu'il en a l'air. Autan t il est aisé de sa v oir si une famille de p oin ts son t indép endan ts en dimension 1 (v oir exemple IV.1.5 ), autan t le problème se omplique lourdemen t en dimension sup érieure. En d'autres termes, il est très diile en dimension sup érieure à 2 de déider si une famille de p oin ts est en p osition d -générale ou, e qui revien t au même, de mon trer qu'un système linéaire n'a pas d'autres p oin ts bases que eux qu'on lui a assignés. P our s'en on v ainre on p eut regarder les démonstrations du  hapitre V.4 de [Har77 ℄. IV.1.4 Mino rations de la distane minimale de l'o rthogonal d'un o de fontionnel Nous allons utiliser la prop osition IV.1.6 p our obtenir deux résultats de minoration de la distane minimale du o de C L (∆ , G ) ⊥ . Théorème IV.1.7. On supp ose N sup érieur ou é gal à 2 . Soit m un entier tel que G ∼ mL X , alors (1) la distan e minimale d ⊥ du  o de C L,X (∆ , G ) ⊥ vérie d ⊥ ≥ m + 2 et il y a é galité si et seulement si le supp ort de ∆  ontient m + 2 p oints alignés ; (2) sinon, si le supp ort de ∆ ne  ontient p as m + 2 p oints alignés, alors d ⊥ ≥ 2 m + 2 et il y a é galité si et seulement si le supp ort de ∆  ontient 2 m + 2 p oints sur une même  onique plane. La démonstration du (1) de e théorème fera app el aux lemmes IV.1.8 et IV.1.9 qui suiv en t et qui seron t démon trés en annexe E . Lemme IV.1.8. Soient r et m deux entiers natur els ave  r ≥ 1 , alors toute famil le de rm + 2 p oints r ationnels distints de P N app artenant à une même  ourb e de de gr é r est m -lié e. Lemme IV.1.9. Soit m un entier natur el. (1) Si m + 2 p oints r ationnels distints de P N sont m -liés, alors ils sont alignés. (2) T out r -uplet de p oints r ationnels deux à deux distints de P N ave  r ≤ m + 1 est en p osition m -génér ale. Démonstr ation du (1) du thé or ème IV.1.7 . La prop osition IV.1.6 et la propriété (2) du lemme IV.1.9 en traînen t que la distane minimale du o de C L (∆ , G ) ⊥ est sup érieure à m + 2 et qu'une ondition néessaire p our qu'elle soit attein te est que le supp ort de ∆ on tienne m + 2 p oin ts alignés. D'après le lemme IV.1.8 , ette dernière ondition est susan te. Exemple IV.1.10 . Si G ∼ L X , alors la distane minimale de C L,X (∆ , G ) ⊥ est minorée par 3 . Cette b orne est attein te dès que le supp ort de ∆ on tien t trois p oin ts alignés. Remarquons que la b orne est par exemple attein te dès que X on tien t une droite rationnelle. 102 IV. Orthogonal d'un o de fontionnel Le p oin t (2) du théorème IV.1.7 se démon tre de la même façon que le p oin t ( 1) en utilisan t la prop osition IV.1.6 , le lemme IV.1.8 et le lemme IV.1.11 énoné i-dessous. Nous ren v o y ons le leteur à l'annexe E p our une démonstration de e dernier. Lemme IV.1.11. Soient m et r deux entiers natur els tels que r ≤ 2 m + 1 . (1) Une famil le de r p oints distints de P N tel le que m + 2 d'entr e eux sont non alignés est en p osition m -génér ale. (2) Soit P 1 , . . . , P 2 m +2 un (2 m + 2) -uplet de p oints r ationnels distints de P N tels que m + 2 d'entr e eux ne sont p as alignés. A lors,  es p oints sont m -liés, si et seulement s'ils app artiennent à une même  onique plane. P eut-on aller plus loin ? Une généralisation naturelle (mais fausse) du théorème IV.1.7 serait : soient m, s deux entiers natur els, supp osons que p our tout r < s , un ( rm + 2 ) -uplet de p oints du supp ort de ∆ n 'est jamais  ontenu dans une  ourb e de de gr é r , alors d ⊥ ≥ sm + 2 . Malheureusemen t, e résultat est faux. En eet, d'après la prop osition IV.1.6, un tel résultat impliquerait que sm + 1 p oin ts de P N tels que p our tout r < s , un ( rm + 2) -uplet d'en tre eux n'est jamais on ten u dans une ourb e de degré r , son t en p osition m -générale. Or, si s = 3 et m = 3 , ela signierait que 10 p oin ts de P 2 tels que 5 d'en tre eux son t non alignés et 8 d'en tre eux ne son t pas sur une même onique son t toujours en p osition 3 -générale. Or d'après [Har77 ℄ orollaire V.4.5, on p eut onstruire un 9 -uplet de p oin ts 3 -liés v érian t es propriétés. Un tel 9 -uplet de p oin ts est onstruit en prenan t les p oin ts d'in tersetion de deux ubiques réduites sans omp osan te irrédutible omm une. Ces ongurations de p oin ts pro v enan t d'in tersetions de N h yp ersurfaes dans P N son t diiles à rep érer et ompliquen t les démonstrations de m -généralité lorsque l'on v eut améliorer les lemmes IV.1.9 et IV.1.11 . En onlusion, on sait que les deux premières ongurations minimales de p oin ts rationnels m -liés dans P N son t ( i ) m + 2 p oin ts alignés ; ( ii ) 2 m + 2 p oin ts sur une même onique plane. Nous laissons une question ouv erte. Question 6. Quel les sont les  ongur ations minimales suivantes ? IV.1.5 Appliations Le théorème IV.1.7 p ermet d'obtenir des minorations assez nes de la distane minimale de l'orthogonal du o de C L,X (∆ , G ) ⊥ dans le as où l'en tier m tel que G ∼ mL X est p etit. Commençons par étudier le as bien onn u où X est une ourb e. Courb es algéb riques planes, ompa raison ave la distane minimale onstruite de Goppa Soit X une ourb e algébrique pro jetiv e plane lisse de degré d ≥ 2 et dénie sur F q . Soien t m un en tier naturel et G un diviseur sur X linéairemen t équiv alen t à mL X . Soien t enn P 1 , . . . , P n une famille de p oin ts rationnels de X qui éviten t le supp ort de G et D le diviseur D := P 1 + · · · + P n . On rapp elle que le genre de X s'obtien t par la form ule g X = ( d − 1)( d − 2) 2 et que l'orthogonal du o de fontionnel C L ( D , G ) est le o de diéren tiel C Ω ( D , G ) . P ar ailleurs, on rapp elle égalemen t que la distane minimale d ⊥ du o de C Ω ( D , G ) (qui est égal à C L ( D , G ) ⊥ ) v érie d ⊥ ≥ deg ( G ) − (2 g X − 2) . La quan tité deg( G ) − (2 g X − 2) est app elée distan e  onstruite de Gopp a et notée δ ⊥ . IV.1. Première app ro he 103 La ourb e X est supp osée plane et lisse, elle est don irrédutible. Ainsi, omme d ≥ 2 , alors X ne on tien t pas plus de d p oin ts géométriques alignés. P ar onséquen t, nous allons distinguer les as 0 ≤ m ≤ d − 2 et m ≥ d − 1 . • Si 0 ≤ m ≤ d − 2 , alors le théorème IV.1.7 (1) nous fournit la minoration d ⊥ ≥ m + 2 . Quan t à la distane onstruite de Goppa, on p eut l'exprimer en fontion de m et d . En eet, omme G ∼ mL X , on en déduit que le degré de G est md et δ ⊥ = md − ( d − 1)( d − 2) + 2 . F aisons la diérene de es deux minoran ts de d ⊥ . m + 2 − ( md − ( d − 1)( d − 2) + 2) = m − md + ( d − 1)( d − 2) = ( d − 1)( d − 2 − m ) . En onlusion, la minoration fournie par le théorème IV.1.7 (1) est meilleure que la distane onstruite de Goppa si m < d − 2 . Elle est en partiulier nettemen t meilleure lorsque m est p etit. • Si m ≥ d − 1 , alors, d'après le théorème de Bezout, m + 2 p oin ts de X ne son t jamais alignés. Le théorème IV.1.7 (2) fournit la minoration d ⊥ ≥ 2 m + 2 . La diérene en tre e minoran t de d ⊥ et la distane onstruite de Goppa est 2 m + 2 − δ ⊥ = ( d − 2)( d − 1 − m ) . Comme m est supp osée sup érieure à d − 1 , la diérene i-dessus est toujours négativ e et don la distane onstruite de Goppa fournit une meilleure minoration de d ⊥ . Conlusion. Dans e on texte des ourb es planes, les te hniques dév elopp ées en setion IV.1.4 fournissen t une meilleure minoration de la distane minimale de C L ( D , G ) ⊥ = C Ω ( D , G ) que elle fournie par la distane onstruite de Goppa si et seulemen t si m ≤ d − 2 . Surfaes de P 3 Soit S une surfae de P 3 de degré d dénie sur F q . Soien t égalemen t m un en tier naturel, G un diviseur sur S tel que G ∼ mL S et ∆ un 0 -yle de la forme ∆ = P 1 + · · · + P n où les P i son t des p oin ts rationnels de S qui éviten t le supp ort de G . On note de nouv eau d ⊥ , la distane minimale du o de C L,S (∆ , G ) ⊥ . T out omme dans le paragraphe prééden t, le théorème IV.1.7 fournit les minorations suiv an tes. ( i ) P our tout m , on a d ⊥ ≥ m + 2 . ( ii ) Si de plus m ≥ d − 1 et que S ne on tien t pas de droite rationnelle, alors d ⊥ ≥ 2 m + 2 . Exemple IV.1.12 . Soit S , une surfae ubique lisse de P 3 . Soit L un diviseur sur S donné par une setion h yp erplane de S et G := mL a v e m ∈ N . On  hoisit enn omme 0 -yle ∆ , la somme des p oin ts rationnels de S qui éviten t le supp ort de G . On note d ⊥ ( m ) la distane minimale du o de C L,S (∆ , mL ) ⊥ . Les résultats de la setion IV.1.4 nous donnen t d ⊥ (1) ≥ 3; d ⊥ (2) ≥  4 si S on tien t une droite rationnelle ; 6 sinon. Dans le premier as la b orne est attein te seulemen t si le supp ort de ∆ on tien t trois p oin ts alignés. Nous v errons au  hapitre V que e phénomène est très fréquen t et que e o de p ossède en général de nom breux mots de p oids 3 . Dans le dernier as, la b orne inférieure n'est attein te que si le supp ort de ∆ on tien t 6 p oin ts appartenan t à une même onique plane (év en tuellemen t rédutible). 104 IV. Orthogonal d'un o de fontionnel Remarque IV.1.13. R emar quons que la lassi ation des surfa es ubiques lisses r é alisé e p ar Swinnerton-Dyer dans [SD67℄ assur e l'existen e de ubiques ne  ontenant p as de dr oites r ationnel les. Cela fait d'ail leurs p artie des exemples intr o duits p ar Zarzar et V olo h dans [VZ05 ℄. Exemple IV.1.14 . On reprend les mêmes notations que dans l'exemple IV.1.12 , mais ette fois, S est une surfae lisse de degré 4 . On obtien t alors les minorations ( i ) d ⊥ (1) ≥ 3; ( ii ) d ⊥ (2) ≥ 4; ( iii ) d ⊥ (3) ≥  5 si S on tien t une droite rationnelle et ♯ F q ≥ 5; 8 sinon. Dans le as ( i ) (resp. ( ii ) ), la b orne est attein te seulemen t si S on tien t 3 (resp. 4 ) p oin ts alignés. Dans le dernier as, la b orne n'est attein te que si le supp ort de ∆ on tien t 8 p oin ts appartenan t à une même onique plane. Remarque IV.1.15. En  e qui  on erne le  as ( iii ) de l'exemple pr é  é dent, dans [Sha94 ℄ thé or ème I.6.9, on montr e qu'une surfa e ubique  ontient toujours au moins une dr oite gé ométrique (el le en  ontient même 27 quand el le est lisse) et qu'une surfa e générique de de gr é sup érieur à 4 ne  ontient p as de dr oite gé ométrique. A insi, en génér al, si S est une surfa e de de gr é 4 , la distan e minimale de C L,S (∆ , 3 L ) est sup érieur e ou é gale à 8 . IV.2 Seonde app ro he, un p roblème ouvert Dans ette setion nous rev enons au on texte lassique, à sa v oir elui des surfaes algé- briques. Cette se  onde appr o he ne fournira pas à propremen t parler de minoration de la distane minimale de l'orthogonal d'un o de fontionnel. Il ne s'agit don pas d'une setion réellemen t ab outie, mais d'une ouv erture v ers des problèmes de géométrie algébrique qui auraien t d'in téressan tes appliations à la théorie des o des orreteurs d'erreurs. L'ob jetif étan t d'utiliser les résultats du  hapitre I I I, nous allons nous replaer dans le on texte de e dernier. À sa v oir, S désigne une surfae pro jetiv e lisse géométriquemen t in tègre, qui est in tersetion omplète dans un espae pro jetif P r . On se donne égalemen t un en tier naturel m et un diviseur G v érian t G ∼ mL S , où L S désigne la lasse d'équiv alene linéaire d'une setion de S par un h yp erplan de P r . Enn, P 1 , . . . , P n désignen t des p oin ts rationnels de S et ∆ leur somme. Exploitation du théo rème de réalisation D'après le théorème de réalisation (théorème I I I.4.1), p our tout mot de o de c ∈ C L (∆ , G ) ⊥ , il existe un ouple sous- ∆ -on v enable de diviseurs ( D a , D b ) et une 2 -forme ω v érian t ( ω ) = G − D a − D b et telle que c = res 2 D a , ∆ ( ω ) . (IV.1) De plus, le diviseur D a est une ourb e lisse géométriquemen t in tègre pro v enan t de l'in terse- tion de S a v e une h yp ersurfae de P r . Il existe don un en tier naturel n a tel que D a ∼ n a L S . P ar onséquen t, dans e qui suit nous nous autoriserons l'abus de langage onsistan t à dési- gner par D a à la fois le diviseur et la ourb e irrédutible sous-jaen te. Enn, le théorème de réalisation arme qu'il existe un en tier relatif n b tel que D b ∼ n b L S . La 2 -forme ω est de v aluation sup érieure ou égale à − 1 le long de la ourb e D a , le 1 -résidu de ω le long de D a est don bien déni. On p ose µ := res 1 D a ( ω ) ∈ Ω 1 F q ( D a ) / F q et d'après le lemme I I.3.12 , p our tout p oin t géométrique P de D a , on a v al P ( µ ) = m P ( D a , G − D b ) . IV.2. Seonde app ro he, un p roblème ouvert 105 P ar onséquen t, si l'on note D ∗ le tiré en arrière sur D a d'un diviseur D sur S don t le supp ort ne on tien t pas D a , alors le diviseur de µ s'érit ( µ ) = G ∗ − D ∗ b . (IV.2) Soit Λ c le diviseur sur la ourb e D a orresp ondan t au supp ort du mot de o de c , on a ( µ ) ≥ G ∗ − Λ C et on déduit de ette inégalité et de (IV.2) que Λ C ≥ D ∗ b . On a de plus, w ( c ) = deg(Λ C ) et deg( D ∗ b ) = D a .D b , où w ( . ) désigne le p oids de Hamming d'un mot de o de et D .D ′ le pro duit d'in tersetion de deux diviseurs sur S . On en déduit la relation w ( c ) ≥ D a .D b = n a n b L 2 S . (IV.3) Soien t k et m les en tiers tels que K S ∼ k L S et G ∼ mL S , où K S désigne la lasse anonique sur S . D'après la relation (IV.1) page 104 , on a n b = m − n a − k . Si l'on injete ette relation dans (IV.3), on obtien t w ( c ) ≥ n a ( m − k − n a ) L 2 S . (IV.4) Le soui est que la quan tité a v e laquelle on minore le p oids de Hamming de c est négativ e dès que n a ≥ m − k . P artan t de la disussion i-dessus, le théorème IV.2.1 qui suit n'est pas réellemen t exploitable en l'état. Il ore ep endan t des p ersp etiv es de minoration de la distane minimale de C L,S (∆ , G ) ⊥ sous réserv e d'obtenir des rép onses à une question ouv erte qui sera p osée plus loin (question 7 ). La preuv e de e théorème est suivie d'une disussion sur l'énoné. Théorème IV.2.1. Soit S une surfa e pr oje tive lisse interse tion  omplète et gé ométrique- ment intè gr e. Soit m un entier et G un diviseur sur S vériant G ∼ mL S . Soit enn ∆ une somme formel le de p oints r ationnels de S évitant le supp ort de G . Supp osons qu'il existe un entier natur el s vériant les  onditions suivantes. ( i ) s est sup érieur à la distan e minimale d ⊥ . ( ii ) Pour toute  ongur ation P i 1 , . . . , P i s de p oints du supp ort de ∆ , il existe une hyp ersur- fa e H de P r dénie sur F q de de gr é inférieur à m − k − 1 qui  ontient P i 1 , . . . , P i s et tel le que H ∩ S est une  ourb e lisse. On r app el le que l'entier k est  elui qui vérie K S ∼ k L S où K S désigne la lasse  anonique. A lors, la distan e minimale d ⊥ du  o de C L (∆ , G ) ⊥ vérie d ⊥ ≥ ( m − k − 1) L 2 S . Preuve . D'après la remarque I I I.6.1 page 96 , la distane minimale d'un o de géométrique est in v arian te par extension des salaires. Il sut don que l'on soit à même de réaliser géométriquemen t les mots de o de de C L,S (∆ , G ) ⊥ vus omme des mots de C L,S ′ (∆ ′ , G ′ ) , où S ′ désigne S × F q F q l p our un ertain en tier naturel l et ∆ ′ et G ′ les tirés en arrière resp etifs de ∆ et G sur S ′ . C'est e qui justie dans le ( ii ) le  dénie sur F q . Soien t s un en tier v érian t les ondition ( i ) et ( ii ) de l'énoné et E , l'ensem ble des mots non n uls de C L,S (∆ , G ) ⊥ de p oids de Hamming inférieur ou égal à s . D'après ( ii ) et (IV.4), on a ∀ c ∈ E , w ( c ) ≥ m − k − 1 min n a =1 n a ( m − k − n a ) L 2 S . 106 IV. Orthogonal d'un o de fontionnel La dénition de E en traîne que l'inégalité i-dessus est en fait v ériée par tous les mots non n uls de C L,S (∆ , G ) ⊥ . P ar ailleurs, l'étude de la fontion x 7→ x ( m − k − x ) sur l'in terv alle [1 , m − k − 1] p ermet de v oir que le minim um de l'expression n a ( m − k − n a ) L 2 S est attein t p our n a = 1 . On en déduit d ⊥ ≥ ( m − k − 1) L 2 S . Disussion au sujet du théo rème IV.2.1. L'énoné p eut sem bler troublan t en e sens où l'en tier s doit être sup érieur à la quan tité d ⊥ sur laquelle on  her he à s'informer. P our exploiter e théorème il faut disp oser d'une ma joration à priori de d ⊥ . V oii un ertain nom bre de pistes, p our obtenir une telle ma joration. (1) L'appro  he la plus naïv e serait de ma jorer d ⊥ par la longueur du o de. (2) Si l'on onnaît la dimension du o de on p eut utiliser la b orne de singleton à sa v oir d ⊥ ≤ n − dim( C L,S (∆ , G ) ⊥ ) + 1 . (3) Sous réserv e de disp oser d'une év aluation de la distane minimale d'un o de fontionnel, le théorème d'orthogonalité (théorème I I.4.1 ) fournit une ma joration de la distane minimale de C L (∆ , G ) ⊥ . En eet, omme p our toute paire de diviseurs (sous-) ∆ - on v enable ( D a , D b ) on a C Ω ,S (∆ , D a , D b , G ) ⊆ C L,S (∆ , G ) ⊥ . P ar onséquen t, la distane minimale du o de C L,S (∆ , G ) ⊥ est inférieure à elle du o de C Ω ,S (∆ , D a , D b , G ) . Ce dernier o de est fontionnel d'après le théorème I I.4.6. Si l'on et apable d'estimer la distane minimale d'un o de fontionnel sur S on p eut en déduire une b onne ma joration à priori de d ⊥ . Il s'agit là d'un piste à explorer dans le futur. Notons tout de même que dans ertaines situations, un tel en tier s n'existe pas, il sut par exemple que m − k − 1 soit négatif. A v an t de onlure, donnons deux exemples élémen taires. L'un assuran t que l'en tier s existe (au moins dans ertaines situations élémen taires) et le seond présen tan t un as où l'en tier s n'existe pas, bien que m − k − 1 soit stritemen t p ositif. Exemple IV.2.2 (Un exemple où s existe.) . On reprend l'exemple présen té dans la setion I I.3.5 du  hapitre I I. Soit S le plan pro jetif sur un F q de aratéristique diéren te de deux. Supp osons par exemple que m = 1 . On a k = − 3 et le o de C L (∆ , G ) a v e G ∼ L S est de dimension 3 et don de longueur q 2 . On en déduit que le o de C L (∆ , G ) ⊥ est de dimension q 2 − 3 et la b orne de singleton nous assure que sa distane minimale v érie d ⊥ ≤ 4 On a m − k − 1 = 3 , l'ob jetif est don de mon trer que p our tout quadruplet de p oin ts rationnels de P 2 , il existe une ourb e lisse de degré inférieur ou égal à trois qui on tien t es p oin ts. Soien t don P 1 , P 2 , P 3 , P 4 quatre p oin ts de P 2 . S'ils son t alignés 'est terminé, une droite étan t une ourb e lisse de degré 3 . Si P 1 , P 2 , P 3 appartiennen t à une même droite L qui ne on tien t pas P 4 , il existe un système de o ordonnées homogènes ( X, Y , Z ) sur P 2 et un élémen t a ∈ F q r { 0 , 1 } tels que, P 1 = (0 : 0 : 1) P 1 = (1 : 0 : 1) P 3 = ( a : 0 : 1) P 4 = (0 : 1 : 0) . La ourb e elliptique d'équation Y 2 Z = X ( X − Z )( X − aZ ) est lisse et in terp ole es quatre p oin ts. Enn, supp osons que trois de es p oin ts ne soien t pas alignés, alors il existe au moins une onique lisse qui les on tien t. L'en tier s = 4 v érie don les onditions ( i ) et ( ii ) du IV.2. Seonde app ro he, un p roblème ouvert 107 théorème IV.2.1, e dernier nous fournit don une minoration de la distane minimale du o de C L,S (∆ , G ) ⊥ , à sa v oir d ⊥ ≥ ( m − k − 1 ) L 2 S = 3 . D'après le théorème IV.1.7 (1), le minoran t obten u est en fait exatemen t la distane minimale du o de étudié. Exemple IV.2.3 (Un exemple où m − k − 1 ≥ 0 mais s n'existe pas.) . Soit S une surfae ubique lisse de P 3 F q a v e q ≥ 3 et on tenan t au moins une droite rationnelle. Soit ∆ la somme de tous les p oin ts rationnels de S et G un diviseur tel que G ∼ 2 L S et don t le supp ort évite elui de ∆ (un tel G existe, v oir annexe D.2). On rapp elle que les surfaes ubiques son t des surfaes de Del P ezzo. Don k = − 1 et m − k − 1 = 2 . Notons que, d'après le théorème IV.1.7 (2), on sait que d ⊥ = 4 , les mots de p oids minimal étan t eux don le supp ort orresp ond à des p oin ts d'une droite rationnelle on ten ue dans S . À présen t, raisonnons par l'absurde, en supp osan t l'existene d'un en tier s v érian t les onditions du théorème IV.2.1. Alors, d'après e théorème, la distane minimale de C L,S (∆ , G ) ⊥ serait sup érieure ou égale à 6 , e qui est faux d'après les remarques i-dessus. Conlusion. Le théorème IV.2.1 motiv e la question ouv erte suiv an te. Question 7. Soient X une sous-variété irr é dutible lisse gé ométriquement intè gr e de P r F q et d un entier natur el. Soient P 1 , . . . , P n une famil le de p oints de X . Sous quel les  onditions sur X et P 1 , . . . , P n a-t-on l'existen e d'un entier s tel que p our tout s -uplet de p oints p armi P 1 , . . . , P n , il existe une hyp ersurfa e H de de gr é d  ontenant  e s -uplet de p oints et tel le que H ∩ X soit une sous-variété lisse de  o dimension 1 de X ? Notons qu'une rép onse à la question 5 G p osée page 96 , fournirait sans doute des élémen ts de rép onse, v oire même une rép onse omplète à la question i-dessus. L'obten tion d'un tel résultat à la Bertini nous donnerait de nom breuses informations, à la fois sur les o des fontionnels et sur leurs orthogonaux. La question 5 G est don un problème ouv ert ouvran t de nom breuses p ersp etiv es d'appliation. Chapitre V Construtions de mots de faible p oids et o des LDPC Une idée reçue atteste que la reuse est le départemen t le moins p euplé de F rane, e qui est totalemen t faux. Wikipedia On signale dans la setion I I I.5 du  hapitre I I I que le théorème de réalisation n'est pas onstrutif. Aussi, e  hapitre est-il en partie onsaré à la présen tation de métho des onstrutiv es de réalisation diéren tielle de mots de o de appartenan t à l'orthogonal d'un o de fontionnel. Les mots de l'orthogonal d'un o de fontionnel qui v on t nous in téresser et qui s'a v èreron t être les plus simples à aluler seron t eux don t le p oids de Hamming est p etit . Si es mots engendren t le o de qui les on tien t, on dit que e o de est LDPC ( L ow Density Parity Che k ). La première setion de e  hapitre est une in tro dution à la théorie de es o des. V.1 Intro dution aux o des LDPC Un o de LDPC est un o de admettan t une matrie de parité r euse . En d'autres termes, 'est un o de admettan t une base duale omp osée de mots de p etit p oids de Hamming. V.1.1 Graphe de T anner Dénition V.1.1 (Graphe biparti) . Un gr aphe bip arti est la donné e de deux ensembles de sommets V 1 et V 2 et d'un ensemble d'ar êtes E tels que toute ar ête a ∈ E r elie un unique élément de V 1 ave  un unique élément de V 2 . La dénition qui suit a été in tro duite par R. Mi hael T anner dans [T an81 ℄. Dénition V.1.2 (T anner 1981) . Soient C un  o de binair e de longueur n et H ∈ M r,n ( F 2 ) une matri e de p arité de C . On app el le gr aphe de T anner de C , le gr aphe bip arti dont la pr emièr e famil le de sommets V 1 est indexé e p ar les  olonnes de H et la se  onde famil le V 2 p ar les lignes. Une ar ête r elie le i -ème sommet de la famil le V 1 au j -ème de V 2 si et seulement si le  o eient h i,j de la matri e H est non nul. Remarque V.1.3. R emar quer qu'un  o de n 'admet p as un unique gr aphe de T anner. A ussi, on devr ait p arler du gr aphe de T anner de C asso ié à H et non du gr aphe de T anner de C . Dans la pr atique,  et abus de langage est tolér é et même fr é quemment pr atiqué. Dans e qui suit, on représen tera les sommets orresp ondan t aux olonnes de la matrie par des et on app ellera es sommets les n÷uds de donné es ou tout simplemen t les bits . 109 110 V. Construtions de mots de faible p oids et o des LDPC Les sommets orresp ondan t aux lignes seron t représen tés par des et on les app ellera les n÷uds de p arité ou les r elations 1 . Exemple V.1.4 . Soit C , le o de de matrie de parité H =     1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1     . Le graphe de T anner de C orresp ondan t à la matrie H est de la forme suiv an te. 2 3 4 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 On p eut égalemen t essa y er de l' étaler an d'y v oir plus lair, sous réserv e bien sûr que le graphe admette une représen tation planaire. 1 2 4 3 8 5 4 6 7 1 2 3 9 Si le o de n'est pas binaire on p eut réaliser une onstrution sem blable mais a v e des arêtes p ondér é es . En tre le bit i et la relation j on trae une arête p ondérée par le o eien t h i,j de la matrie de parité si e dernier est non n ul et pas d'arête sinon. Exemple V.1.5 . Supp osons que le orps de base soit F 5 et onsidérons le o de C de matrie de parité H =       2 0 3 1 0 0 0 0 0 0 1 0 4 3 0 0 0 0 0 0 3 0 0 1 2 0 0 0 0 0 4 0 0 4 1 0 0 0 0 0 1 0 0 2 1       . Le graphe de T anner de C asso ié à H se représen te de la façon suiv an te. 1 Dans la littérature anglophone, on parle de he k no des , 'est-à-dire n÷ud de on trle. Nous a v ons préféré donner e nom de r elation , ar es n÷uds sym b olisen t une équation, don une relation en tre les bits qui lui son t v oisins dans le graphe. V.1. Intro dution aux o des LDPC 111 2 3 1 4 3 1 2 1 4 2 1 6 7 8 9 5 4 3 3 1 2 4 5 1 2 1 1 4 3 V.1.2 Déo dage itératif L'in térêt ma jeur de la représen tation d'un o de par un graphe de T anner est le déo dage itératif. Le prinip e général onsiste, étan t donné un mot de o de reçu y à év aluer les oûts lo aux d'assignation de  haque bit à une v aleur presrite. Dans un seond temps, par un prinip e de passage de messages dans le graphe, on atualise es oûts en fontion du nom bre de mo diations qu'une assignation d'un bit à une v aleur presrite en traînerait sur les bits v oisins dans le graphe. De façon s hématique, la rép étition de e pro édé p ermet (à de nom breux détails près) de passer de oûts lo aux à des oûts globaux. On  hoisit alors omme sortie de l'algorithme, le mot de o de orresp ondan t aux oûts globaux minimaux. Il existe dans la littérature de nom breux algorithmes de déo dage itératif. Celui que nous allons présen ter p orte en général le nom de algorithme min-somme . Notons que l'on p eut trouv er une exellen te présen tation de et algorithme dans la thèse de Nilas Wib erg [Wib96℄. Desription à pa rtir d'un exemple. Le méanisme d'un algorithme de déo dage itératif, sans être très omplexe, est relativ emen t te hnique. Nous allons ommener par le dérire à l'aide d'un exemple élémen taire. Exemple V.1.6 . Considérons le o de binaire C de matrie de parité H =   1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1   . Son graphe de T anner asso ié à H se présen te sous la forme suiv an te. 112 V. Construtions de mots de faible p oids et o des LDPC 1 3 2 4 5 6 2 3 1 Ce o de est de distane minimale 3 , on p eut don orriger une erreur. Considérons e o de C et supp osons que l'on ait reçu le mot y = (1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1) . Le seond bit est erroné. Étap e 1. L'ob jetif de l'algorithme est d'év aluer le oût qu'aurait l'assignation d'un bit à une v aleur presrite dans F 2 . P our e faire, on ommene par dénir p our  haque bit une fontion de  oût lo  al . C'est une fontion C i lo  : F 2 → N telle que C i lo  ( α ) est n ul si y i = α et égal à 1 sinon. P ar exemple C 1 lo  (0) = 1 et C 1 lo  (1) = 0 . P our abréger, on note C 1 lo  = [1 , 0] . Cette fontion quan tie le nom bre de  hangemen ts qu'impliquerait l'assignation du bit i à la v aleur α sans  her her à v érier les relations de parité. On v oit failemen t que C 1 lo  = [1 , 0] C 2 lo  = [1 , 0] C 3 lo  = [0 , 1 ] C 4 lo  = [1 , 0] C 5 lo  = [0 , 1] C 6 lo  = [1 , 0 ] . Étap e 2. Dans un seond temps, on v a év aluer le nom bre de  hangemen ts qu'impliquerait l'assignation d'un bit à une v aleur presrite a v e la on train te de resp eter les relations de parité v oisines de e bit. Étude lo ale. F o alisons nous sur le seond bit. Il est v oisin de deux relations de parité : la première et la seonde. Supp osons que l'on lui assigne la v aleur 0 . Alors, p our resp eter la première équation de parité, on a deux p ossibilités. (1) Les bits 1 et 4 prennen t tous deux la v aleur 1 . (2) Les bits 1 et 4 prennen t tous deux la v aleur 0 . La première onguration est la moins oûteuse, elle n'implique auun  hangemen t, 'est elle que l'on retien t. On en déduit que l'assignation du seond bit à la v aleur 0 aura une rép erussion de oût n ul sur les autres bits v oisins du premier n÷ud de relation. Si main tenan t on assigne la v aleur 1 à e bit on a égalemen t deux p ossibilités. (1) Le 1 er bit prend la v aleur 1 et le 4 e la v aleur 0 . (2) Le 1 er bit prend la v aleur 0 et le 4 e la v aleur 1 . Les deux ongurations oûten t un  hangemen t. On en déduit que l'assignation du seond bit à la v aleur 0 a une rép erussion de oût 1 sur le premier n÷ud de relation. De la même manière, on mon tre que l'assignation du seond bit à la v aleur 0 (resp. 1 ) a une rép erussion de oût 0 (resp. 1 ) sur les bits 3 et 5 v oisins du seond n÷ud de relation. V.1. Intro dution aux o des LDPC 113 Étap e 3. Au nal l'assignation du seond bit à la v aleur 1 oûte deux  hangemen ts (un sur le bit 1 ou 4 et un autre sur le 2 ou 5 ) omme le sixième. P ar on tre l'assignation de e bit à 0 ne oûte qu'un seul  hangemen t, elui qui onsiste à remplaer e bit initialemen t à la v aleur 1 par un 0 . On est don ten tés d'assigner e bit à 0 e qui orrige l'erreur. Remarque V.1.7. Dans  et exemple, nous nous sommes fo  alisés sur un seul bit p our tenter de  ompr endr e le mé  anisme. En r é alité, l'algorithme r é alise en p ar al lèle la même démar he p our haque bit. Remarque V.1.8. Il est imp ortant de r emar quer que nous n 'avons p as vérié si l'assignation du se  ond bit à une valeur donné e avait des r ép er ussions sur les bits plus éloignés. On s'est limités au pr emier voisinage du se  ond bit p our pr endr e notr e dé ision. En génér al, on r éitèr e le pr o  essus dé rit dans l'étap e 2 de façon à obtenir des informations sur les r ép er ussions d'une assignation sur les bits éloignés. L'idée de l'algorithme min-somme p eut se résumer de la façon suiv an te. (1) On ommene par ompter le nom bre de  hangemen ts qu'impliquerait l'assignation du i -ème bit à une v aleur donnée, sans tenir ompte des relations de parité. (2) On ompte ensuite le nom bre de  hangemen ts que ela impliquerait p our les autres bits reliés à i par une relation de parité. C'est-à-dire le oût d'une telle assignation p our les bits étan t dans le premier v oisinage du i -ème bit. (3) En réitéran t e pro édé on p eut ompter le nom bre de  hangemen ts qu'implique une telle assignation p our les bits appartenan t au seond v oisinage du i -ème bit. (4) On réitère le pro essus... (5) Lorsque l'on disp ose du oût d'assignation du i -ème bit à une v aleur donnée p our un v oisinage susamment gr and de e dernier, on prend une déision sur la v aleur à laquelle on l'assigne en  hoisissan t bien sûr elle qui est la moins oûteuse. Enore une fois, les op érations son t réalisées en parallèle p our tous les bits. V.1.3 L'algo rithme min-somme Nous allons à présen t donner une desription générale et rigoureuse de l'algorithme min- somme. Étap e 1. Initialisation. À  haque bit, on asso ie une fontion de oût lo al C i lo  : F q → N . À l'état initial, la fontion de oût lo al du i -ème bit est extrêmemen t simple. Si la i -ème o ordonnée du mot reçu y est égale à α ∈ F q , alors la fontion f i prend la v aleur 0 en α et la v aleur 1 en tous les autres élémen ts de F q . La v aleur C i lo  ( β ) quan tie le oût d'assignation du i -ème bit à la v aleur β sans tenir ompte des bits v oisins. P our toute arête ( i, j ) du graphe de T anner, on dénit les fontions messages µ i → j : F q → N et ν i ← j : F q → N . Ces fontions p euv en t être vues resp etiv emen t omme un message allan t du bit i v ers la relation j et réipro quemen t. Ces fontions son t des variables lo  ales de l'algorithme, 'est-à-dire qu'elles son t atualisées à  haque itération de l'algorithme. P our toute arrête ( i, j ) , es fontions son t initialemen t assignées à la fontion n ulle µ i → j := 0 et ν i ← j := 0 . Étap e 2. É hanges de messages. Cette étap e est itérée autan t de fois que néessaire. Le nom bre d'itérations sera disuté en setion V.1.4 . Étap e 2a. Messages donné es → r elations. Dans ette étap e, on atualise les messages µ i → j des données v ers les relations en tenan t ompte des nouv elles informations fournies par les messages ν k ← l . Étan t donnés un bit i et une relation j , on note j 1 , . . . , j s les relations v oisines de i autres que j . Le n÷ud de données i en tralise les informations transmises par les relations j 1 , . . . , j k et les en v oie v ers la relation j . Le message µ i → j devien t alors µ i → j := C i lo  + s X k =1 ν i ← j k . 114 V. Construtions de mots de faible p oids et o des LDPC j 2 j i ν i ← j s j 1 j s ν i ← j 1 ν i ← j 2 µ i → j Remarque V.1.9. L ors de la pr emièr e itér ation de l'algorithme, la fontion µ i → j initiale- ment assigné e à la fontion nul le devient é gale à la fontion C i lo  . Étap e 2b. Messages r elations → donné es. Dans ette étap e, on atualise les messages ν i ← j en tenan t ompte des informations fournies par les messages µ i → j . Un no eud de relation j en tralise les informations fournies par les fontions message µ i k → j pro v enan t des bits v oisins autres que i et les redirige v ers e dernier. Soien t don i 1 , . . . , i r les n÷uds de donnée v oisins du n÷ud de relation j autres que i . La fontion ν i ← j est dénie par ∀ α ∈ F q , ν i ← j ( α ) := min ( r X k =1 µ i k → j ( α k )     ( α 1 , . . . , α r ) ∈ F r q , h i,j α + h i 1 ,j α 1 + · · · + h i r ,j α r = 0 ) . On alule le oût minimal d'une onguration v érian t la relation j et telle que le bit i v aille α . On rapp elle que les o eien ts h i,j son t les o eien ts de la matrie de parité H qui p ondèren t les arêtes du graphe de T anner. Dans la gure qui suit, ils n'on t pas été indiqués de façon à alléger la représen tation. µ i 2 → j µ i 1 → j µ i r → j i 1 i 2 i r i j ν i ← j Remarque V.1.10. L ors de la pr emièr e itér ation de l'algorithme, l'entier ν i ← j ( α ) quantie le nombr e minimal de hangements qu'entr aîner ait l'assignation du i -ème bit à la valeur α p our les autr es bits intervenant dans la r elation j . Exemple V.1.11 . Dans l'exemple V.1.6 que nous a v ons étudié préédemmen t les fontions ν 2 ← 1 et ν 2 ← 1 on t été alulées, on a v ait obten u ν 2 ← 1 = [0 , 1 ] et ν 2 ← 2 = [0 , 1] . V.1. Intro dution aux o des LDPC 115 P ar le alul on obtien t égalemen t (la v ériation est laissée au leteur), ν 1 ← 1 = [0 , 1] ν 3 ← 2 = [1 , 0 ] ν 4 ← 1 = [0 , 1 ] ν 4 ← 3 = [1 , 0] ν 5 ← 2 = [1 , 0] ν 5 ← 3 = [0 , 1 ] ν 6 ← 3 = [1 , 0 ] . Étap e nale. Déision. Chaque n÷ud de donnée év alue ses oûts glob aux d'assignation a v e l'aide des fontions ν i ← j . Soien t i un no eud de données et j 1 , . . . , j t l'ensem ble des n÷uds de relation v oisins de i . La fontion de oût glob al C i glob est dénie par ∀ α ∈ F q , C i glob ( α ) := C i lo  ( α ) + t X k =1 ν i ← j k ( α ) . On regarde ensuite s'il existe un élémen t α qui minimise la fontion C i glob . Si oui, on assigne la v aleur α au bit i . Exemple V.1.12 . Dans l'exemple V.1.6, si l'on prend une déision après une itération du pro essus d'é hanges de messages, à partir des résultats de l'exemple V.1.11 , on obtien t C 1 glob = [1 , 1 ] C 2 glob = [1 , 2 ] C 3 glob = [1 , 1] C 4 glob = [2 , 1 ] C 5 glob = [1 , 2 ] C 6 glob = [2 , 0] . On ne p eut don pas prendre de déision quan t à l'assignation nale des bits 1 et 3 . Il ne fallait pas év aluer les fontions de oûts globaux à ette étap e mais réitérer le pro essus. À la seonde itération, l'atualisation des fontions µ i → j donne µ 1 → 1 = [1 , 0] µ 2 → 1 = [1 , 1] µ 2 → 2 = [1 , 1 ] µ 3 → 2 = [0 , 1] µ 4 → 1 = [2 , 0] µ 4 → 3 = [1 , 1 ] µ 5 → 2 = [0 , 2] µ 5 → 3 = [1 , 1] µ 6 → 3 = [1 , 0 ] . Après quoi, l'atualisation des fontions ν i ← j donne ν 1 ← 1 = [1 , 1 ] ν 2 ← 1 = [0 , 1 ] ν 2 ← 2 = [0 , 1 ] ν 3 ← 2 = [1 , 1 ] ν 4 ← 1 = [1 , 1 ] ν 4 ← 3 = [1 , 1 ] ν 5 ← 2 = [1 , 1 ] ν 5 ← 3 = [1 , 1 ] ν 6 ← 3 = [2 , 2 ] . Si l'on év alue les oûts globaux à la n de ette seonde itération, on obtien t C 1 glob = [2 , 1 ] C 2 glob = [1 , 2 ] C 3 glob = [1 , 2] C 4 glob = [3 , 2 ] C 5 glob = [2 , 3 ] C 6 glob = [3 , 2] . On p eut don prendre une déision, on  hoisit omme mot déo dé le mot c = (1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 ) , qui est bien le mot le plus pro  he du mot reçu y p our la distane de Hamming. V.1.4 Disussion sur l'algo rithme A v an t de ren trer dans des onsidérations plus te hniques, ommençons par quelques re- marques onernan t et algorithme.  Le nom de l'algorithme pro vien t bien sûr de l'étap e 2b et d'une façon plus générale, du fait que les seules op érations eetuées son t des sommes et des aluls de minima.  Il existe égalemen t un algorithme app elé somme-pro duit don t le fontionnemen t est assez omparable. Moralemen t le min-somme alule des oûts, alors que le somme- pro duit év alue des probabilités. 116 V. Construtions de mots de faible p oids et o des LDPC Nomb re d'itérations Conrètemen t, au départ,  haque bit ne p ossède que l'information qui le onerne, à sa v oir son oût d'assignation à une v aleur donnée, sans tenir ompte de ses v oisins. C'est l'information qu'il v a transmettre à tous les n÷uds de relation v oisins sous la forme des fontions µ i → j duran t la première itération (v oir remarque V.1.10 ). À la n de la première itération on p eut sa v oir le oût qu'aurait l'assignation d'un bit à une v aleur presrite p our e bit et ses v oisins ('est-à-dire à une distane de deux arêtes). Si l'on réitère le pro essus p fois, on disp ose de toutes les informations pro v enan t des bits à une distane inférieure à p du i -ème bit. Aussi il sem ble raisonnable de  hoisir omme nom bre d'itérations la distane maximale en tre deux bits dans le graphe de T anner. Le p roblème des yles Le problème ma jeur de es algorithmes est qu'ils agissen t lo alemen t, sans tenir ompte de la géométrie du graphe. P our le omprendre reprenons l'exemple V.1.6 et supp osons que l'on a eetué deux itérations de la phase d'é hanges de messages (étap e 2). Si l'on év alue la fontion de oût global C 2 glob après es deux itérations, le oût év alué prend en ompte la on tribution de tous les bits qui son t à distane inférieure à 2 du 2 e . Le soui est que, en partan t du 2 e bit, le 4 e (ainsi que le 5 e ) p eut être attein t par un  hemin de longueur 2 deux de deux façons diéren tes, omme le mon tre la gure i-dessous. De fait, dans le alul du oût global C 2 glob , la on tribution du quatrième et du inquième bit est omptée deux fois, e qui p eut biaiser la déision nale. 1 3 2 5 6 2 3 1 4 Les résultats onn us sur l'eaité de l'algorithme son t que le oût global réel d'assi- gnation d'un bit ne p eut être alulé exatemen t par et algorithme que si le graphe de T anner est sans yles. Cep endan t, les o des don t le graphe de T anner est sans yles son t p eu in téressan ts (mauv ais paramètres). De fait, on ne disp ose pas réellemen t de résultats sur l'eaité d'un tel algorithme. On disp ose ep endan t d'une onstatation empirique, à sa v oir que si le graphe de T anner n'a pas trop de p etits yles, alors les algorithmes de déo dage itératif son t extrêmemen t eaes. Ils p ermetten t en partiulier de orriger un grand nom bre d'erreurs en un temps relativ emen t limité, à ondition que le o de soit LDPC . Conlusion. L'étap e réellemen t oûteuse est la seonde qui est exp onen tielle en la v alene des n÷uds de relation. C'est la raison p our laquelle, si l'on tra v aille sur un o de p our lequel ette v alene est b ornée par une p etite v aleur, alors l'algorithme tournera rapidemen t. 2 Il s'agit d'un graphe biparti, aussi on app elle hemin de longueur n un  hemin de 2 n arêtes. V.2. Co des LDPC et surfaes de p etit degré 117 V.2 Co des LDPC et surfaes de p etit degré Soien t N un en tier sup érieur ou égal à 3 et X une h yp ersurfae pro jetiv e lisse géomé- triquemen t in tègre de degré d de P N . T out omme dans les  hapitres prééden ts, on note L X , la lasse d'équiv alene linéaire d'une setion h yp erplane de X . On se donne égalemen t G , un diviseur sur X tel que G ∼ mL X p our un ertain en tier m et ∆ , la somme formelle de tous les p oin ts rationnels de X qui éviten t le supp ort de G . Notons que si m est stritemen t négatif, le o de C L (∆ , G ) est n ul. On p eut don supp oser m p ositif ou n ul. D'après le théo- rème IV.1.7 (1) ( hapitre IV), on sait l'orthogonal d'un o de fontionnel sur X a une distane minimale sup érieure ou égale à m + 2 et que ette b orne est attein te dès que le supp ort de ∆ on tien t m + 2 p oin ts alignés. Cette b orne inférieure ne p eut don être attein te que dans deux situations. (1) Le degré de X est sup érieur ou égal à m + 2 et il existe une droite de P N don t l'in ter- setion a v e X on tien t au moins m + 2 p oin t rationnels. (2) L'h yp ersurfae X on tien t une droite rationnelle et toute droite on tien t au moins m + 2 p oin t rationnels, e qui revien t à dire que ♯ F q ≥ m + 1 . V.2.1 Objetifs Dans e qui suit, notre but est de  her her des o des onstruits sur des surfaes et don t l'orthogonal est engendré par des mots de p etit p oids, v oire de p oids minimal. Dans ette optique, la situation 1 i-dessus est en fait la plus in téressan te. En eet, la situation 2 est en général assez rare. P ar exemple, dans le as où X est une surfae ( N = 3 ), d'après [ Sha94 ℄ théorème I.6.9, une surfae générique de degré sup érieur ou égal à 4 ne on tien t pas de droites et une surfae générique de degré 3 n'en on tien t qu'un nom bre ni ( 27 si elle est lisse). De plus, e dernier résultat est géométrique, e qui signie que les droites sur une surfae ubique p euv en t ne pas être rationnelles. Les mots de o de pro v enan t de la situation 2, seron t don en général p eu nom breux et engendreron t un o de don t le supp ort sera souv en t stritemen t on ten u dans { 1 , . . . , n } où n désigne la longueur du o de C L (∆ , G ) . En eet, si P est un p oin t de Supp (∆) qui n'est on ten u dans auune droite rationnelle on ten ue dans X , alors l'indie orresp ondan t n'est dans le supp ort d'auun mot de o de pro v enan t de la situation 2 . Dans e qui suit, nous allons nous in téresser aux surfaes fournissan t un grand nom bre de mots de o des pro v enan t de la situation 1 . N'a y an t pas obten u de résultat théorique p ermet- tan t d'orien ter ette re her he, nous a v ons fait app el à l'outil informatique (plus préisémen t le logiiel Ma gma ). Dans la setion V.4, nous allons présen ter des résultats exp érimen taux eetués sur des surfaes ubiques de P 3 . Aupara v an t, nous allons nous in téresser au alul expliite de es mots en utilisan t des résidus. V.3 Calul expliite de mots de o des de p etit p oids Dans e qui suit, S désigne une surfae pro jetiv e lisse plongée dans P 3 (elle est don absolumen t irrédutible). On note d le degré de la surfae et on supp ose que d ≥ 3 . L'espae pro jetif P 3 est m uni de o ordonnée homogènes ( X, Y , Z , T ) . Le plan d'équation T = 0 est app elé plan à l'inni et noté Π . La arte ane { T 6 = 0 } de P 3 est notée U T et son in tersetion a v e S est app elée U t . On note x , y et z les fontion rationnelles sur P 3 suiv an tes x := X T , y := Y T , et z := Z T . Ces trois fontions formen t un système de o ordonnées anes dans la arte ane U T de P 3 . P ar ailleurs, on supp ose que la surfae S n'est on ten ue dans auun plan de P 3 et on note L ∞ le tiré en arrière du plan à l'inni Π sur S via l'injetion anonique S ֒ → P 3 . P our nir, on se donne un en tier naturel m , on p ose G := mL ∞ 118 V. Construtions de mots de faible p oids et o des LDPC et on app elle ∆ la somme formelle des p oin ts rationnels de S qui éviten t le supp ort de G . En d'autres termes, ∆ est la somme de tous les p oin ts rationnels de la arte ane U t de S . Nous allons présen ter une métho de de alul expliite des mots de p oids minimal du o de C L (∆ , G ) ⊥ pro v enan t des situations 1 et 2 signalées page 117 . V.3.1 Mots p rovenant de droites non ontenues dans S Nous ommençons par onsidérer un as simple, à sa v oir d = m + 2 . P our des raisons que nous énonerons plus loin 'est ette situation que nous traiterons plus en détail dans la setion V.4. Plus préisémen t nous utiliserons l'outil informatique p our étudier sp éiquemen t les as des surfaes ubiques a v e G = L ∞ . Le as d = m + 2 Soit F une droite non on ten ue dans S et on tenan t exatemen t d p oin ts P 1 , . . . , P d appartenan t au supp ort de ∆ . D'après le théorème de Bezout, le s héma F ∩ S est réduit et son ensem ble sous-jaen t est égal à la réunion des p oin ts P 1 , . . . , P d . F ait V.3.1. Étant donné que les p oints du supp ort de ∆ évitent le supp ort de G , ils sont tous  ontenus dans la  arte ane U T de P 3 . L a dr oite F n 'est don p as  ontenue dans l'hyp erplan à l'inni. Quitte à faire un  hangemen t de o ordonnées, on p eut supp oser que la droite F est dénie dans la arte ane U T par F |U T = { x = 0 , y = 0 } . F ait V.3.2. Soit G ( x, y , z ) l'é quation de S dans U T . D'apr ès [Sha94 ℄ III.6.4, la 2 -forme sur S ω := 1  ∂ G ∂ z  .dx ∧ dy est r é gulièr e sur U t et ne s'annule en auun p oint de  et ouvert. Plus pr é isément, son diviseur est de la forme ( ω ) = ( d − 4 ) L ∞ . Soien t D a et D b les diviseurs très amples dénis resp etiv emen t par D a := i ∗ { X = 0 } et D b := i ∗ { Y = 0 } , où i désigne l'injetion anonique i : S ֒ → P 3 . On a ( x ) = D a − L ∞ et ( y ) = D b − L ∞ . F ait V.3.3. L a 2 -forme sur S ω ′ := 1  ∂ G ∂ z  . dx x ∧ dy y (V.1) vérie ( ω ′ ) = ( d − 2) L ∞ − D a − D b . Or, on r app el le que l'on a supp osé d = m + 2 (ave  G = mL ∞ ), don ( ω ′ ) = G − D a − D b . Il reste à v érier que la paire ( D a , D b ) est sous- ∆ -on v enable. Les supp orts de es diviseurs s'in terseten t seulemen t en les p oin ts P 1 , . . . , P d et, du fait que le s héma F ∩ S est réduit, on en déduit que D a et D b son t lisses et s'in terseten t transv ersalemen t en  haun de es p oin ts. Si l'on p ose Λ := P 1 + · · · + P d , on a 0 ≤ Λ ≤ ∆ et ( D a , D b ) est Λ -on v enable, don sous- ∆ -on v enable. V.3. Calul expliite de mots de o des de p etit p oids 119 Calul expliite du mot de o de o rresp ondant. L'ob jetif est de aluler de façon expliite les 2 -résidus res 2 D a ,P i ( ω ′ ) , p our i ∈ { 1 , . . . , d } , où ω ′ est la 2 -forme sur S dénie dans l'expression ( V.1 ). On a vu qu'en tout p oin t P i p our i ∈ { 1 , . . . , d } , les diviseurs D a et D b se roisen t transv ersa- lemen t. De plus, au v oisinage de es p oin ts, es deux diviseurs son t resp etiv emen t dénis par les équations lo ales x = 0 et y = 0 . D'après le lemme I I.3.12 , on a p our tout i ∈ { 1 , . . . , d } res 2 D b ,P i ( ω ′ ) = 1  ∂ G ∂ z  ( P i ) = − res 2 D a ,P i ( ω ′ ) . (V.2) En eet, soit C , la omp osan te de D b qui passe par P i . La 2 -forme ω ′ a un p le simple le long de C , don res 1 C ( ω ′ ) = 1  ∂ G ∂ z  | C . d ¯ x ¯ x et le alul du résidu de ette 1 -forme en P i donne res 2 C,P i ( ω ′ ) qui est en fait égal à res 2 D b ,P i ( ω ′ ) (v oir dénition I.7.10 ). On en déduit don la relation ( V.2). Remarque V.3.4. Notons que sur la  arte ane U t de S , le lieu d'annulation de la fontion  ∂ G ∂ z  est le lieu des p oints de br anhement du morphisme de pr oje tion de S sur le plan d'é quation z = 0 . C'est é galement le lieu d'annulation de la 2 -forme dx ∧ dy . Par  onsé quent, en un p oint P i en le quel D a et D b s'interse tent tr ansversalement, le  ouple ( x, y ) est un système de p ar amètr es lo  aux et dx ∧ dy ne s'annule p as. L'expr ession ( V.2 ) est don bien dénie. P our nir, remarquons que l'expression (V.2) s'obtien t à ondition d'a v oir bien eetué un  hangemen t de o ordonnées p our lequel la droite F est dénie par les équations x = 0 et y = 0 . Or, si l'on v eut réaliser un programme alulan t tous les mots de o de de C L (∆ , G ) ⊥ pro v enan t de droites in tersetan t S en exatemen t d p oin ts, il sera malommo de de réaliser le  hangemen t de v ariables p our  haque droite. Une alternativ e à e  hangemen t de v ariables, onsiste à  hoisir des équations de F de la forme L |U T { f ( x, y , z ) = 0 , g ( x, y , z ) = 0 } et un v eteur direteur v de F . On onsidère alors la 2 -forme sur S , ω ′′ := 1 h grad ( G ) , v i . d f f ∧ dg g . (V.3) P our un  hangemen t de o ordonnées anes de U T adapté, la 2 -forme ω ′′ i-dessus oïnide a v e la 2 -forme ω ′ de l'expression (V.1). L'in térêt de l'expression (V.3) est qu'elle fournit une métho de de alul expliite des mots de C L (∆ , G ) ⊥ asso iés à des droites qui in terseten t S en exatemen t d p oin ts rationnels distints, sans a v oir à eetuer de  hangemen t de o ordonnées. On en déduit le lemme suiv an t. Lemme V.3.5. Soit G une é quation de S dans la  arte ane U T et soit F une dr oite de P 3 qui interse te S en exatement d p oints P i 1 , . . . , P i d . A lors le  o de C L (∆ , G ) ⊥  ontient le mot c := r es 2 D b , ∆ ( ω ′′ ) tel que c i =  0 si i / ∈ { i 1 , . . . , i d } , h grad P i ( G ) , v i − 1 sinon . Nous allons à présen t onsidérer le as d < m + 2 . Le as d < m + 2 Soien t P 1 , . . . , P m +2 une famille de p oin ts alignés de Supp (∆) et soit F la droite les on tenan t. T out omme dans le as prééden t, on v a supp oser que la droite F est dénie par les équations x = 0 et y = 0 (e qui sera toujours vrai après a v oir eetué un  hangemen t 120 V. Construtions de mots de faible p oids et o des LDPC de o ordonnées adapté). On note Λ , le 0 -yle déni par Λ := P 1 + · · · + P m +2 . Comme d < m + 2 , le 0 -yle d'in tersetion F ∩ S v érie Λ ≤ F ∩ S. Il p eut y a v oir dans le supp ort de F ∩ S d'autres p oin ts que les P i év en tuellemen t de degré sup érieur à 1 , ertains p oin ts p euv en t égalemen t apparaître a v e m ultipliité sup érieure ou égale à 1 . Notre ob jetif est de onstruire une paire de diviseurs Λ -on v enable ( D a , D b ) p our laquelle l'espae Γ( S, Ω 2 ( G − D a − D b )) est non n ul. Soien t Π 1 et Π 2 les plans d'équations resp etiv es x = 0 et y = 0 . On p ose D + a := i ∗ Π 1 et D + b := i ∗ Π 2 , où i désigne l'injetion anonique i : S ֒ → P 3 . P our tout p oin t géométrique P de S appar- tenan t au supp ort de L ∩ S , on note z P ∈ F q , la o ordonnée suiv an t z de e p oin t et on p ose r P := m P ( F, S ) . (V.4) Remarque V.3.6. Dans  e qui suit, an d'éviter d'alour dir on noter a indiér emment p ar  m P ( . , . ) , la multipliité d'interse tion d'un diviseur et d'un 0 -yle de P 3 et la multipliité de deux diviseurs de S . L'expr ession (V.4)  orr esp ond à une multipliité d'interse tion dans P 3 . Quant à l'expr ession (V.5) qui suit el le  orr esp ond à une multipliité d'interse tion dans S . D'après les dénitions de D + a et D + b , on mon tre aisémen t que m P ( D + a , D + b ) = r P . (V.5) On dénit ensuite p our tout p oin t géométrique P appartenan t à Supp ( F ∩ S − Λ) le o eien t s p :=  r P si P / ∈ Supp (Λ) r P − 1 sinon (V.6) Notons que s P n'est autre que le o eien t de P dans le 0 -yle F ∩ S sur S := S × F q F q . Comme F ∩ S − Λ est un 0 -yle F q -rationnel, on en déduit que l'ensem ble { z P | P ∈ Supp ( F ∩ S − Λ) } est in v arian t sous l'ation de Gal ( F q / F q ) . P ar onséquen t, la fontion h := Y P ∈ Supp ( F ∩ S − Λ) ( z − z P ) s P est dénie sur F q et son degré est égal à elui du 0 -yle F ∩ S − Λ . On a don ( h ) ∼ ( d − m − 2) L ∞ . (V.7) P our nir, p osons D a := D + a , D b := D + b − ( h ) + et D := D a + D b . (V.8) Lemme V.3.7. L a p air e ( D a , D b ) dé rite i-dessus est Λ - onvenable. Preuve . Nous allons utiliser le ritère de la prop osition I I.3.8 . Étap e 1. Soit P un p oin t géométrique de S non on ten u dans le supp ort de Λ . Si l'un des diviseurs D a ou D b ne on tien t pas P dans son supp ort, alors le ritère est trivialemen t v érié en e p oin t (v oir remarque I I.3.10 ). Sinon, si le p oin t P fait partie des p oin ts géométriques de Supp ( F ∩ S ) autres que P 1 , . . . , P m +2 . Comme les diviseurs D + a et D + b son t obten us à partir de setions planes de S et que S est lisse, elle ne p eut don pas a v oir deux plan tangen ts distints en P . Ainsi, Supp ( D + a ) ou Supp ( D + b ) est lisse en P . Supp osons que e soit Supp ( D + a ) , il faut V.3. Calul expliite de mots de o des de p etit p oids 121 alors étudier la m ultipliité d'in tersetion m P ( D + a , D − D + a ) qui n'est autre que m P ( D a , D b ) . Or, d'après (V.8) et (V.5), on v érie aisémen t que m P ( D a , D b ) = m P ( D a , D + b ) − m P ( D a , ( h ) + ) ≤ r P − s P . Or, omme P n'est pas dans le supp ort de Λ , d'après ( V.6), on a s P = r P et m P ( D a , D b ) ≤ 0 . Si main tenan t 'est Supp ( D + b ) qui est lisse en P , il faut étudier la m ultipliité d'in terse- tion m P ( D + b , D + a − ( h ) + ) . P ar un raisonnemen t iden tique on mon tre que ette m ultipliité est négativ e ou n ulle. Étap e 2. Supp osons main tenan t que P soit on ten u dans le supp ort de Λ . P ar un raisonne- men t analogue à elui qui a été eetué dans l'étap e prééden te, on sait que Supp ( D + a ) ou Supp ( D + b ) est lisse en P . Supp osons que Supp ( D + a ) soit lisse en P . Il faut aluler m P ( D + a , D − D + a ) = m P ( D + a , D b ) = m P ( D + a , D + b ) − m P ( D + a , ( h ) + ) . (V.9) D'après (V.5), le terme m P ( D + a , D + b ) est égal à r P . Nous allons mon trer que m P ( D + a , ( h ) + ) = r P − 1 . Étap e 2a. Si r P = 1 , alors d'après la dénition de h , le diviseur ( h ) + est n ul au v oisinage de P et m P ( D + a , ( h ) + ) = 0 = r P − 1 . Étap e 2b. Si r P ≥ 2 , alors sur un v oisinage V de P , on a ( h ) + | V = (( z − z P ) s P ) | V = (( z − z P ) r P − 1 ) | V . Comme le plan Π 0 d'équation z = z P ne on tien t pas la droite F et que ette dernière est par h yp othèse tangen te à S en P , on en déduit que le plan Π 0 est non tangen t à S en P . P ar onséquen t, soit C le tiré en arrière de Π 0 sur S . Sur un v oisinage de P , on a C = Supp (( h ) + ) et ette ourb e est lisse au v oisinage de P , de plus il in tersete Supp ( D + a ) transv ersalemen t en e p oin t. En onlusion, sur un v oisinage V de P , on a ( h ) + | V = s P C | V . et m P ( D + a , ( h ) + ) = s P m P ( D + a , C ) = s P = r P − 1 . Ainsi, quelle que soit la v aleur de r P , la relation ( V.9) donne m P ( D + a , D b ) = 1 Si main tenan t, 'est Supp ( D + b ) qui est lisse en P , on eetue le même raisonnemen t en partan t de la relation m P ( D + b , D − D + b ) = m P ( D + b , D + a ) − m P ( D + b , ( h ) + ) et en mon tran t que ette m ultipliité d'in tersetion est égale à 1 . Conlusion. Le ouple ( D a , D b ) v érie le ritère de la prop osition I I.3.8, il est don Λ - on v enable. 122 V. Construtions de mots de faible p oids et o des LDPC Soit don ω la 2 -forme sur S dénie par ω := h  ∂ G ∂ z  . dx x ∧ dy y . Un bref alul p ermet de mon trer que ette 2 -forme v érie ( ω ) = G − D a − D b et le mot c := res 2 D a , ∆ ( ω ) appartien t à C L (∆ , G ) ⊥ et a p our supp ort { 1 , . . . , d } . Remarque V.3.8. Il est plus déli at de donner une formule simple p our  aluler le mot de  o de c  omme dans le lemme V.3.5 . L a diulté vient de  e que les fontions h et h grad ( G ) , v i s'annulent toutes deux en P . Cep endant, si Supp ( D + a ) (r esp.Supp ( D + b ) ) est lisse en P les fontions h | Supp ( D + a ) et h grad ( G ) , v i | Supp ( D a ) + ont même valuation en P , on p eut don donner un sens à l'évaluation en P de leur r app ort. V.3.2 Mots p rovenant de droites ontenues dans S On supp ose dans ette sous-setion que le ardinal du orps de base F q est sup érieur ou égal 3 à m + 2 . Soit F une droite on ten ue dans S et on tenan t une famille de p oin ts P 1 , . . . , P l appartenan t au supp ort de ∆ . Une fois de plus, quitte à faire un  hangemen t de v ariables, on p eut supp oser que la droite F est dénie sur l'ouv ert ane 4 U T de P 3 par les équations x = 0 et y = 0 . Soit Π 0 le plan d'équation x = 0 . La ourb e C dénie par l'in tersetion s hématique C := Π 0 ∩ S est une ourb e plane (ar on ten ue dans Π 0 ). Elle est de plus réunion de F et d'une ourb e C ′ de degré d − 1 . Soit E ( ¯ y , ¯ z ) une équation de la ourb e C ′ dans le plan Π 0 . On relèv e ette fontion en une fontion rationnelle E ( x, y , z ) sur P 3 qui ne dép end pas de x . Soit enn P 1 , . . . , P m +2 une famille de p oin ts de Supp (∆) on ten us dans F . On note z 1 , . . . , z m +2 les o ordonnées resp etiv es de es p oin ts suiv an t z . On p ose h := m +2 Y i =1 ( z − z i ) et D a := F, D b := ( h ) 0 . Lemme V.3.9. Soit Λ le 0 -yle déni p ar Λ := P 1 + · · · + P m +2 . A lors, la p air e ( D a , D b ) est Λ - onvenable. Preuve . Le diviseur D a est une droite, 'est don une ourb e lisse. Et le 0 -yle d'in terse- tion de es diviseurs est exatemen t Λ . De ette dernière assertion, on déduit aisémen t que ette paire v érie le ritère de la prop osition I I.3.8 . Elle est don ∆ -on v enable. Soit alors ω := E h . 1  ∂ G ∂ y  . dx x ∧ dz . Calulons le diviseur de ette 2 -forme sur S . 3 Dans l'in tro dution de ette setion page 117 , on demande que le ardinal du orps de base soit sup érieur ou égal à m + 1 . En eet, dans ette in tro dution, la seule on train te à laquelle on est soumis p our que le supp ort de ∆ puisse on tenir m + 2 p oin ts alignés est que le nom bre de p oin ts rationnels d'une droite pro jetiv e soit sup érieur ou égal à m + 2 . Main tenan t que l'on a préisé le on texte, il faut faire plus atten tion, ar même si la droite pro jetiv e sur F q a q + 1 p oin ts, les p oin ts de Supp (∆) son t tous par h yp othèse on ten us dans une arte ane de S . P ar onséquen t, le nom bre maximal de p oin ts alignés de Supp (∆) est au plus égal à q . C'est e qui explique ette h yp othèse  q sup érieur ou égal à m + 2 . 4 V oir page 117 p our une dénition de l'ouv ert ane U T ainsi que des fontions x , y et z . V.4. Exp érimentations ave Ma gma 123 Étap e 1. D'après [Sha94 ℄ I I I.6.4, on a 1  ∂ G ∂ y  .du ∧ dz ! = ( d − 4) L ∞ , où l'on rapp elle que L ∞ désigne la setion plane à l'inni. Étap e 2. On rapp elle que le plan Π 0 d'équation x = 0 in tersete S suiv an t une ourb e F ∪ C ′ où C ′ est une ourb e plane de degré d − 1 . De fait, ( u ) = F + C ′ − L ∞ . Étap e 3. P ar onstrution, la fontion E s'ann ule suiv an t la ourb e C ′ . On rapp elle égalemen t que E est un p olynme de degré d − 1 en y et z . Il existe don un diviseur eetif C ′′ sur S v érian t ( E ) = C ′ + C ′′ − ( d − 1) L ∞ . Étap e 4. La fontion h est un p olynme de degré m + 2 . On a don ( h ) = ( h ) 0 − ( m + 2) L ∞ . Étap e nale. On en déduit don le alul du diviseur de ω , ( ω ) = ( d − 4) L ∞ − F − C + L ∞ + C ′ + C ′′ − ( d − 1) L ∞ − ( h ) 0 + ( m + 2) L ∞ = mL ∞ + C ′′ − F − ( h ) 0 = C ′′ + G − D a − D b ≥ G − D a − D b . Conlusion. Le mot de o de c := res 2 D a , ∆ ( ω ) appartien t au o de C L (∆ , G ) ⊥ . De plus, son supp ort orresp ond exatemen t aux p oin ts P 1 , . . . , P m +2 . V.4 Exp érimentations ave Magma V.4.1 Co des sur des surfaes ubiques Dans ette setion S est une surfae ubique lisse de P 3 . On m unit P 3 d'un système de o ordonnées homogènes ( X, Y , Z , T ) . On note L ∞ le diviseur déni par l'in tersetion s hé- matique de S a v e le plan à l'inni d'équation T = 0 . Soien t P 1 , . . . , P n les p oin ts de S qui éviten t le supp ort de L ∞ , on p ose alors ∆ := P 1 + · · · + P n et G := L ∞ . On rapp elle que U t désigne la arte ane { T 6 = 0 } ∩ S de S . Co des fontionnels Dans le on texte i-dessus, l'espae Γ( S, L ( G )) s'iden tie à l'espae des p olynmes en x , y et z de degré inférieur ou égal à 1 . Il est don de dimension 4 . Le o de fontionnel C L (∆ , G ) est don un o de de longueur n et de dimension 4 . La distane minimale de e t yp e de o de dép end du fait que S on tienne ou non des droites rationnelles. En eet, la distane minimale de e o de est minorée par n − l S , où l S désigne le nom bre maximal de p oin ts rationnels d'une setion h yp erplane de U t . P our minorer ette distane minimale, il faut ma jorer l S . Or, l S est le nom bre maximal de p oin ts rationnels d'une ourb e ane plane de degré 3 . Les ourb es de degré 3 a y an t le plus grand nom bre de p oin ts rationnels son t les réunions de trois droites rationnelles onouran tes (V oir la lettre de Serre à M.T sfasman [ Ser91 ℄). 124 V. Construtions de mots de faible p oids et o des LDPC Ainsi, si la surfae S ne on tien t pas de droite rationnelle (e qui est p ossible, v oir [SD67 ℄), alors la distane minimale du o de fontionnel est plus grande et le o de fontionnel est meilleur. C'est l'appro  he adoptée par V olo  h et Zarzar dans [Zar07 ℄ et [VZ05 ℄ 5 . Orthogonaux des o des fontionnels Dans [VZ05 ℄, les auteurs prop osen t une métho de p our onstruire de nom breux mots ap- partenan t à l'orthogonal d'un o de fontionnel. P our e faire, ils se donnen t un famille de ourb es lisses C 1 , . . . , C r traées sur S . Ensuite, ils onsidèren t les o des C L,C i ( D i , G i ) où D i est la somme des p oin ts de Supp (∆) qui appartiennen t à C i et G i est le tiré en arrière de G sur C i . Enn, p our  haun de es o des fontionnels sur des ourb es, ils en onstruisen t l'orthogonal et en déduisen t des mots dans le o de C L (∆ , G ) ⊥ . Ces mots on t un supp ort on ten u dans l'ensem ble des indies orresp ondan t aux p oin ts de Supp ( D i ) . Ils on t don un p oids p etit par rapp ort à la longueur du o de. De ette manière, ils p euv en t déo der le o de C L (∆ , G ) par le biais d'un algorithme de déo dage itératif du t yp e de elui qui nous a v ons présen té en setion V.1. L'algorithme qu'ils utilisen t est présen té dans l'artile [ LM05 ℄ de Lub y et Mitzenma her. Dans e qui suit, nous allons utiliser les résultats théoriques présen tés préédemmen t p our aluler un grand nom bre de mots de p oids minimal du o de C L (∆ , G ) ⊥ . Nous  her herons ensuite à sa v oir si la famille de mots ainsi onstruite engendre le o de C L (∆ , G ) ⊥ . Le as é héan t, l'algorithme min-somme p ourra être utilisé p our déo der le o de C L (∆ , G ) . Constrution d'un graphe de T anner Notre ob jetif est de onstruire un graphe de T anner en vue d'un déo dage itératif. D'après e qui a été vu en setion en setion V.1, le ahier des  harges p our un b on graphe de T anner rep ose sur deux on train tes. (1) Éviter les no euds de relation don t la v alene est trop imp ortan te ar ils augmen ten t lourdemen t la omplexité de l'algorithme de déo dage. (2) Éviter les p etits yles . Conernan t la première on train te, d'après le théorème IV.1.7 (1), la distane minimale de C L (∆ , G ) ⊥ est sup érieure ou égale à 3 . De plus les mots de p oids 3 de e o de on t p our supp ort les indies de trois p oin ts alignés du supp ort de ∆ . On disp ose par ailleurs d'une form ule expliite (lemme V.3.5) p our aluler les mots orresp ondan t à des triplets de p oin ts appartenan t à des droites non on ten ues dans S . P our e qui est des autres mots, il est préférable de les éviter an de rép ondre à la seonde on train te du ahier des  harges. En eet, soit F une droite rationnelle on ten ue dans S . Alors, à tout triplet de p oin ts de F on ten us dans Supp (∆) , on asso ie un mot de p oids 3 dans C L (∆ , G ) ⊥ . Si l'on note P 1 , . . . , P s les p oin ts de F ( F q ) ∩ Supp (∆) et que l'on supp ose de s > 3 , alors les mots orresp ondan t par exemple aux triplets ( P 1 , P 2 , P 4 ) et ( P 1 , P 2 , P 4 ) donneron t un yle de longueur 6 2 dans le graphe de T anner. 5 Ces artiles son t ités dans leur ordre d'ériture. 6 On rapp elle que la longueur d'un  hemin dans un graphe biparti est la moitié du nom bre d'arêtes om- p osan t e  hemin. V.4. Exp érimentations ave Ma gma 125 P 1 P 2 P 3 P 4 Il est don préférable de ne pas  hoisir tous les mots onstruits à partir de ette droite. Nous a v ons fait le  hoix de n'en retenir auun. Nous allons v oir que dans la pratique, à ondition que le orps F q soit assez grand, les mots issus de triplets de p oin ts d'une droite non on ten ue dans S susen t à engendrer le o de C L (∆ , G ) ⊥ . Si de plus on ne onsidère que es mots là, on évite les yles de longueur 2 . Les yles minimaux seron t alors de longueur 3 et orresp ondron t à la donnée de trois droites oplanaires non on ten ues dans S , non onouran tes et telles que les p oin ts d'in tersetion de deux d'en tre elles son t dans Supp (∆) . V.4.2 Implémentation P our onstruire un graphe de T anner, nous allons utiliser l'algorithme suiv an t. Algorithme de onstrution d'équations de parité. Entr é es : Une surfae ubique lisse de P 3 . Sorties : Une matrie. (1) On se donne une liste de mots de o des M , initialemen t vide ( M := [ ] ). (2) On rée l'ensem ble P oints des p oin ts rationnels de la arte ane U t de S . (3) On rée un seond ensem ble P oin tsBis qui est initialisé à P ointsB is := P oints . (4) P our P ∈ P oints • Enlev er P de P ointsB is . • P our Q ∈ P ointsB is , ◦ Si la droite ( P Q ) n'est pas on ten ue dans S et on tien t exatemen t trois élémen ts de P oints , alors on onstruit le mot de o de c orresp ondan t par la form ule du lemme V.3.5 et on a joute c dans la liste M . ◦ Sinon, on ne fait rien. (5) On onstruit une matrie don t les lignes son t les élémen ts de M . Remarque V.4.1. Un pr o gr amme Magma de  et algorithme est donné en annexe F.2 . Une question se p ose ensuite, L a matri e ainsi  onstruite est-el le une matri e génér atri e de C L (∆ , G ) ⊥ ? Remarquons que le o de C L (∆ , G ) est de dimension 4 . Aussi, p our v érier qu'une matrie obten ue par l'algorithme i-dessus est bien génératrie de C L (∆ , G ) ⊥ , il sut de v érier qu'elle est de rang n − 4 . Les exp érimen tations présen tées dans le tableau i-dessous mon tren t qu'en général la matrie obten ue est bien une matrie génératrie de l'orthogonal. Nous ne sommes toutefois pas parv en us à fournir une preuv e théorique de e fait. Dans le tableau qui suit, nous présen tons une série d'exp érienes. Le test de base est le suiv an t. P our une surfae ubique lisse sur un orps F q a v e q > 2 on alule une matrie en utilisan t l'algorithme i-dessus. Ensuite, on alule le rang de ette matrie et le ompare a v e n − 4 . S'il y a égalité le test est p ositif sinon il est négatif. V oii les résultats de tests sur des surfaes  hoisies de façon aléatoire p our diéren ts orps de base. 126 V. Construtions de mots de faible p oids et o des LDPC Corps Nom bre de tests Nom bre de tests % Éart Longueur de base eetués p ositifs mo y en mo y enne F 3 10000 1139 11 , 39% 2 , 15 8 , 8 0 F 4 10000 6274 62 , 64% 1 , 96 15 , 88 F 5 10000 9763 97 , 63% 1 , 82 24 , 90 F 7 1000 1000 100% − 48 , 66 F 8 500 500 100% − 64 , 05 F 9 500 500 100% − 81 , 008 Les deux dernières olonnes fournissen t les quan tités suiv an tes. • Éart mo y en. C'est la mo y enne sur l'ensem ble des tests négatifs de la quan tité n − 4 − Rang ( M ) , où M désigne la matrie onstruite grâe à l'algorithme i-dessus. Éart mo y en = n − 4 − Rg ( M ) Nom bre de tests négatifs . • Longueur mo y enne. C'est la longueur mo y enne des o des onstruits, 'est-à-dire le nom bre mo y en de p oin ts rationnels des artes anes U t des surfaes ubiques testées. Longueur Mo y enne = Longueur du o de Nom bre de tests eetués . On remarque dans le tableau i-dessus que ette longueur mo y enne est pro  he de q 2 , e qui est naturel puisque le nom bre de p oin ts rationnels d'une surfae ubique ane lisse est lui-même pro  he de q 2 . Remarque V.4.2. L orsque la tail le du  orps gr andit, le nombr e moyen de p oints r ationnels d'une surfa e ubique augmente de façon quadr atique en la tail le du  orps,  e qui  ontribue à augmenter lour dement la  omplexité de l'algorithme. C'est la r aison p our laquel le le nombr e de tests est moins imp ortant lorsque le  orps de b ase est plus gr and. Conlusion. Il sem ble très probable que p our q ≥ 7 , le o de C L (∆ , G ) ⊥ ainsi onstruit soit engendré par ses mots de p oids 3 . Il serait d'ailleurs in téressan t d'obtenir une démonstration mathématique de e résultat (si du moins il est vrai). V.4.3 Co des sur des surfaes qua rtiques Nous a v ons réalisé le même t yp e d'exp ériene dans le as où S est une surfae de degré 4 et G ∼ 2 L S . V oii les résultats de l'exp ériene. Corps Nom bre de tests Nom bre de tests % Éart Longueur de base eetués p ositifs mo y en mo y enne F 4 1000 40 4% 5 . 11 15 . 9 F 5 1000 0 0% 9 . 66 24 . 57 F 7 1000 204 20 , 4% 8 . 87 48 . 71 F 8 1000 633 63 , 3% 5 , 3 7 64 , 14 F 9 1000 894 89 , 4% 2 , 7 80 , 98 F 11 1000 999 99 , 9% 1 121 , 233 F 13 1000 1000 100% − 168 , 71 1 La onlusion est sensiblemen t la même que p our l'exp ériene sur les ubiques. Il sem ble que l'orthogonal du o de fontionnel soit engendré par ses mots de p oids 4 à ondition que le ardinal du orps de base soit susammen t grand. V.4. Exp érimentations ave Ma gma 127 V.4.4 Utilisation de l'algo rithme min-somme p our le déo dage de es o des. Le graphe de T anner onstruit de ette manière ore de b onne p ersp etiv es de déo dage. Reprenons par exemple la surfae donnée par V olo  h et Zarzar dans [ VZ05 ℄, 'est-à-dire la surfae S sur F 3 d'équation X 3 + Y 3 + Z 3 − Z X 2 − X Y 2 − Y Z 2 + X Z 2 + T 3 . Les auteurs mon tren t dans l'artile ité i-dessus que le o de C L,S (∆ , G ) , où G est la setion plane à l'inni, est un o de de longueur 13 , de dimension 4 et de distane minimale 7 . Les p oin ts rationnels de ette surfae son t P 1 = (2 : 0 : 0 : 1 ) P 2 = (1 : 0 : 1 : 1 ) P 3 = (0 : 0 : 2 : 1 ) P 4 = (1 : 0 : 2 : 1 ) P 5 = (2 : 1 : 1 : 1 ) P 6 = (0 : 1 : 2 : 1 ) P 7 = (2 : 1 : 2 : 1 ) P 8 = (0 : 2 : 0 : 1 ) P 9 = (1 : 2 : 0 : 1 ) P 10 = (2 : 2 : 0 : 1 ) P 11 = (2 : 2 : 1 : 1 ) P 12 = (0 : 2 : 2 : 1 ) P 13 = (2 : 2 : 2 : 1 ) et ils éviten t tous le supp ort de G . Si main tenan t, on applique l'algorithme, les droites qui oup en t S en exatemen t trois p oin ts rationnels son t les treize droites i-dessous. L 1 = { x + t = 0 , y + z = 0 } L 2 = { x + t = 0 , y + 2 z = 0 } L 3 = { x + z + t = 0 , y = 0 } L 4 = { x + z + t = 0 , y + 2 z + t = 0 } L 5 = { x + 2 z = 0 , y + 2 z + t = 0 } L 6 = { x = 0 , z + t = 0 } L 7 = { x + 2 z + 2 t = 0 , y + z + t = 0 } L 8 = { x + 2 y + 2 t = 0 , z + t = 0 } L 9 = { x + y + 2 t = 0 , z + t = 0 } L 10 = { x + z = 0 , y + z + t = 0 } L 11 = { y + t = 0 , z = 0 } L 12 = { x + 2 z + 2 t = 0 , y + t = 0 } L 13 = { x + t = 0 , y + t = 0 } Enn, par la form ule du lemme V.3.5, on obtien t la matrie M =                       2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 2                       On v érie que la matrie M est de rang : 9 = 13 − 4 . Elle v érie bien la relation Rg ( M ) = n − dim C L , la matrie M est don bien génératrie du o de C L (∆ , G ) ⊥ . On p eut l'utiliser p our implémen ter un algorithme de déo dage min-somme p our le o de C L (∆ , G ) . Conlusion P our onstruire des o des diéren tiels à partir de surfaes algébriques, nous a v ons dév e- lopp é le matériel théorique néessaire à l'obten tion d'une form ule de sommation de résidus en dimension 2 . Ce résultat était déjà onn u et dans un on texte plus général que elui des surfaes (v oir [Har66 ℄, [P ar76 ℄ et [Lip84℄). Cep endan t, l'appro  he adoptée dans le premier  hapitre fournit des onstrutions expliites et une démonstration plus aessible de ette form ule. Dans un seond temps, on mon tre qu'un ertain nom bre de propriétés v ériées par les o des diéren tiels onstruits sur les ourb es s'étenden t aux o des diéren tiels onstruits sur les surfaes. En fait, seule la relation d'orthogonalité ne s'étend pas parfaitemen t. Le théo- rème de réalisation est, en un ertain sens, une manière de remédier à e défaut d'inlusion réipro que dans la relation  C Ω ⊂ C ⊥ L . P our le reste, ette absene d'inlusion réipro que rend, d'une ertaine manière, l'étude des o des géométriques onstruits sur des surfaes plus ri he que elle des o des onstruits sur des ourb es. En eet, dans le on texte des surfaes algébriques, les o des fontionnels n'appartiennen t plus en général à la même lasse de o des que leurs orthogonaux. P our nir, rapp elons que l'étude de es deux lasses de o des ouvre d'in téressan ts pro- blèmes de théorie des o des et de géométrie algébrique que nous rapp elons une dernière fois an de onlure ette thèse. Commençons par énoner les diéren tes questions p osées tout au long de e texte. Question 1. Peut-on estimer les p ar amètr es des  o des qui sont l'ortho gonal de  o des fon- tionnels ? Question 2 . Si l'ortho gonal d'un  o de fontionnel ne p eut se r é aliser  omme un  o de dif- fér entiel asso ié à une p air e de diviseurs (sous-) ∆ - onvenables, p eut-on le r é aliser  omme somme de tels  o des ? Question 2 bis. Étant donné un mot de  o de c app artenant à C L,S (∆ , G ) ⊥ , existe-t-il une p air e de diviseurs (sous-) ∆ - onvenable ( D a , D b ) et une 2 -forme ω app artenant à Γ( S, Ω 2 ( G − D a − D b )) et tel le que c = r es 2 D a , ∆ ( ω ) ? Question 3. L e r ésultat du thé or ème de r é alisation(thé or ème III.4.1 ) r este-t-il vr ai si l'on éli- mine l'hyp othèse III.4 sur S et G ( S est interse tion  omplète et G est liné air ement é quivalent à l'interse tion de G ave  une hyp ersurfa e) ? Question 4. Sous les  onditions du  or ol lair e III.4.2 , p eut-on estimer le nombr e de minimal de  o des diér entiels dont la somme est é gale à l'ortho gonal d'un  o de fontionnel en fontion d'invariants gé ométriques de la surfa e ? Question 5 (Arithmétique) . Soient X une variété pr oje tive lisse gé ométriquement intè gr e sur un  orps ni F q et P 1 , . . . , P n , une famil le de p oints fermés de X . Peut-on évaluer expliitement ou major er de façon pr é ise le plus p etit entier d tel qu'il existe au moins une hyp ersurfa e dénie sur F q de de gr é inférieur ou é gal à d qui interp ole tous les P i et dont l'interse tion shématique ave  X soit une sous-variété lisse gé ométriquement intè gr e de  o dimension 1 ? 129 130 Question 5 (Géométrique) . Soit X une variété pr oje tive irr é dutible lisse dénie sur F q et P 1 , . . . , P n une famil le de p oints de X . Peut-on évaluer expliitement ou major er de façon pr é ise le plus p etit entier d tel qu'il existe au moins une hyp ersurfa e H de de gr é inférieur ou é gal à d , qui  ontienne tous les P i et tel le que H ∩ X soit une sous-variété lisse de  o dimension 1 de X ? Question 6. Sahant que les deux pr emièr es  ongur ations minimales de p oints r ationnels m -liés dans P N sont la donné e de m + 2 p oints alignés et 2 m + 2 p oints sur une même  onique plane, quel les sont les  ongur ations minimales suivantes. Question 7. Soient X une sous-variété irr é dutible lisse gé ométriquement intè gr e de P r F q et d un entier natur el. Soient P 1 , . . . , P n une famil le de p oints de X . Sous quel les  onditions sur X et P 1 , . . . , P n a-t-on l'existen e d'un entier s tel que p our tout s -uplet de p oints p armi P 1 , . . . , P n , il existe une hyp ersurfa e H de de gr é d  ontenant  e s -uplet de p oints et tel le que H ∩ X soit une sous-variété lisse de  o dimension 1 de X ? Le diagramme suiv an t représen te les relations en tre es questions ainsi que ertaines par- ties ou résultat de ette thèse. Une è he A → B doit se lire  A motiv e B  lorsque B est une question et  B rép ond à A  lorsque A est une question. les è hes p oin tillées signien t que les questions/résultats/parties ne son t qu'indiretemen t liés. Q6 Q1 Chap IV Q5A,G Section I I.5 Q7 Q2 thm I I I.4.1 Q3 Q2bis Q4 Nous onlurons en rapp elan t les p ersp etiv es qu'ouvriraien t ertaines questions ou pro- blèmes ouv erts. En partiulier, une solution aux problèmes p ortan t sur des systèmes linéaires de t yp e Bertini p osés par les questions 5 A et G fournirait une métho de d'estimation de la distane minimale de o des fontionnels sur des surfaes ou même des v ariétés de dimension sup érieures. Quan t à la question 7 qui p eut être vue omme une v arian te des 5 A et G, une rép onse à ette dernière fournirait une élégan te métho de d'estimation de la distane minimale de l'orthogonal d'un o de fontionnel sur une surfae algébrique. Annexes Annexe A Séries de Laurent L es maths, ça s'é rit  omme du fr ançais... ...les formules en plus . Mar P erret Cette première annexe on tien t toutes les démonstrations te hniques relativ es aux séries de Lauren t et aux formes diéren tielles formelles. A.1 Sur les mo dules de diérentielles relatives Le but est de démon trer le lemme I.4.16 sur les mo dules de diéren tielles relativ es. Le ré- sultat p eut sem bler assez élémen taire, ep endan t, les op érations de omplétions et de passage au mo dule des diéren tielles relativ es ne omm uten t pas en général (v oir [ Eis95 ℄ ex 16.14). Nous a v ons don  hoisi d'en donner une preuv e détaillée faute de référene. On se plae dans le adre dérit en I.2. On disp ose de plus d'une ( P, C ) -paire faible sur S (v oir dénition I.4.9 ). Étap e 1. Commençons par mon trer que Ω 1 k (( u )) /k ∼ = Ω 1 k ( C ) /k ⊗ k ( C ) k (( u )) . On sait que Ω 1 k ( C ) /k est un k ( C ) -espae v etoriel de dimension 1 . De plus, ¯ u étan t une uniformisan te de O C,P , 'est un élémen t séparan t de k ( C ) /k , don la forme d ¯ u est non n ulle sur C et engendre don Ω 1 k ( C ) /k sur k ( C ) . Il sut don de mon trer que du engendre Ω 1 k (( u )) /k sur k (( u )) . D'après [Mat86 ℄ ex 25.3, l'appliation d : k (( u )) → Ω 1 k (( u )) /k est on tin ue p our la top ologie ( u ) -adique. Cela implique que p our tout f ∈ k (( u )) , on a d f = f ′ ( u ) du où f ′ est la dériv ée formelle de f par rapp ort à u . P ar onséquen t, tout élémen t de Ω 1 k (( u )) /k étan t une somme nie d'élémen ts de la forme f dg = f g ′ du , on en déduit que Ω 1 k (( u )) /k est engendré par du sur k (( u )) . Étap e 2. Mon trons main tenan t que Ω 1 k (( u ))(( v )) /k ∼ = Ω 1 k ( S ) /k ⊗ k ( S ) k (( u ))(( u )) . Comme Ω 1 k ( S ) /k est libremen t engendré par du et dv sur k ( S ) , le mo dule Ω 1 k ( S ) /k ⊗ k ( S ) k (( u ))(( u )) est libremen t engendré par du et dv sur k (( u ))(( v )) . Considérons l'appliation δ : ( k (( u ))(( v )) → Ω 1 k ( S ) /k ⊗ k ( S ) k (( u ))(( u )) f 7→ ∂ f ∂ x dx + ∂ f ∂ y dy . 133 134 A. Séries de Laurent Cette appliation est une dériv ation. Don, d'après la propriété univ erselle du mo dule des diéren tielles, il existe un unique morphisme ¯ δ qui fasse omm uter le diagramme suiv an t k (( u ))(( v )) δ d Ω 1 k ( S ) /k ⊗ k ( S ) k (( u ))(( u )) Ω 1 k (( u ))(( v )) /k ¯ δ . De fait, les diéren tielles du et dv appartenan t à Ω 1 k (( u ))(( v )) /k son t resp etiv emen t en v o y ées par ¯ δ sur du et dv appartenan t à Ω 1 k ( S ) /k ⊗ k ( S ) k (( u ))(( v )) . P ar onséquen t, es deux formes diéren tielles son t linéairemen t indép endan tes sur k (( u ))(( v )) dans Ω 1 k (( u ))(( v )) /k . Ce dernier est don de dimension au moins 2 sur k (( u ))(( v )) , mais, d'après [ Mat86 ℄ théorème 25.1, les injetions suessiv es k → k (( u )) → k (( u ))(( v )) donnen t une suite exate Ω 1 k (( u )) /k ⊗ k (( u )) k (( u ))(( v )) Ω 1 k (( u ))(( v )) /k Ω 1 k (( u ))(( v )) /k (( u )) 0 . Remarque A.1.1. Cette suite exate est en génér al app elé e pr emièr e suite exate fonda- mentale ([Har77 ℄ pr op osition II.8.3.A). D'après l'étap e 1 , l'espae Ω 1 k (( u ))(( v )) /k (( u )) est de dimension 1 sur k (( u ))(( v )) et engendré par dv . De même, Ω 1 k (( u )) /k ⊗ k (( u )) k (( u ))(( v )) est de dimension 1 et engendré sur k (( u ))(( v )) par du . L'espae Ω 1 k (( u ))(( v )) /k est don de dimension au plus 2 . On onlut qu'il est de dimension 2 et libremen t engendré par du et dv . Étap e 3. P our onlure quan t à l'isomorphisme Ω 2 k (( u ))(( v )) /k ∼ = Ω 2 k ( S ) /k ⊗ k ( S ) k (( u ))(( v )) , il sut de remarquer que Ω 2 k (( u ))(( v )) /k = 2 ^ Ω 1 k (( u ))(( v )) /k . A.2 Démonstration du lemme I.5.8 P our ommener nous allons in tro duire deux appliations. La première est notée J (omme Jaobien), et est dénie par J :  k (( u ))(( v )) 2 → k (( u ))(( v )) ( A, B ) 7→ ∂ A ∂ u ∂ B ∂ v − ∂ A ∂ v ∂ B ∂ u . La seonde est notée ρ est dénie par ρ :  k (( u ))(( v )) → k (( u )) P i ≥− n h i ( u ) v i 7→ h − 1 ( u ) . Lemme A.2.1. Soient A, B deux éléments de k (( u ))(( v )) , alors il existe une série de L aur ent φ ∈ k (( u )) tel le que ρ ◦ J ( A, B ) = φ ′ ( u ) , où φ ′ ( u ) désigne la dérivé e formel le d'une série de L aur ent φ ∈ k (( u )) . Preuve . Comme les appliations ρ et J son t resp etiv emen t k -linéaire et k -bilinéaire an ti- symétrique, on p eut démon trer le lemme en ne onsidéran t que les trois situations i-dessous. Le résultat s'en déduira en utilisan t es propriétés de linéarité et d'an tisymétrie. (1) A et B son t élémen ts de k (( u ))[[ v ]] . (2) A ∈ k (( u ))[[ v ]] et B est de la forme B = b ( u ) v n a v e n ∈ N ∗ et b ( u ) ∈ k (( u )) . (3) A = a ( u ) v m et B = b ( u ) v n a v e m, n ∈ N ∗ et a ( u ) , b ( u ) ∈ k (( u )) . T raitons séparémen t es trois situations. A.3. T op ologie de k (( u ))[[ v ]] 135 Cas 1. Les séries A et B n'on t pas de p le suiv an t la v ariable v , leurs dériv ées partielles non plus, don ρ ◦ J ( A, B ) = 0 . Cas 2. La série A est de la forme, A = P i ≥ 0 a i ( u ) v i . Le alul de J ( A, B ) donne J ( A, B ) = X i ≥ 0 a ′ i ( u ) b ( u )( − n ) v i − n − 1 − X i ≥ 0 a i ( u ) b ′ ( u ) iv i − n − 1 . On a don ρ ( J ( A, B )) = − n ( a ′ n ( u ) b ( u ) + a n ( u ) b ′ ( u )) = ( − na n ( u ) b ( u )) ′ . Cas 3. On a, J ( A, B ) =  − n a ′ ( u ) b ( u ) v m + n +1 − ( − m ) a ( u ) b ′ ( u ) v m + n +1  . Comme m et n son t supp osés stritemen t p ositifs, il n'y a pas de terme en v − 1 et ρ ( J ( A, B )) = 0 . P ar onséquen t, soit ( A, B ) une paire d'élémen ts de k (( u ))(( v )) . Un alul simple mon tre que dA ∧ dB = J ( A, B ) . De e fait, ( u, v ) res 1 ( dA ∧ dB ) = ρ ( J ( A, B )) du. D'après le lemme prééden t, il existe φ ∈ k (( u )) tel que e 1 -résidu est égal à φ ′ ( u ) du . Cette 1 -forme n'a don pas de terme en du/u et on a ( u, v ) res 2 ( dA ∧ dB ) = 0 . P our nir, noter que si une 2 -forme formelle ω ∈ Ω 2 k (( u ))(( v )) /k est de la forme ω = dA ∧ dB p our A, B ∈ k (( u ))(( v )) et que ( x, y ) est un ouple de séries lié à ( u, v ) par un  hangemen t de v ariables de le forme (CV) 1 , alors ω est de la forme dA ′ ∧ dB ′ p our A ′ , B ′ ∈ k (( x ))(( y )) . Les séries A ′ et B ′ ne son t autres que A ( f ( x, y ) , g ( x, y )) et B ( f ( x, y ) , g ( x, y )) . De fait le tra v ail eetué i-dessus p ermet de déduire que ( x, y ) res 2 ( ω ) = 0 et e, p our tout ouple ( x, y ) lié à ( u, v ) par un  hangemen t de v ariables de la forme ( CV). A.3 T op ologie de k ( ( u )) [[ v ]] Le but de ette setion est de prouv er le lemme I.4.17 . P our e faire, nous allons in tro duire quelques notions de top ologie sur k (( u ))[[ v ]] . La première question à se p oser est : de quel le top olo gie doit-on munir k (( u ))[[ v ]] ? Il p ourrait sem bler logique de le m unir de la top ologie asso iée à la v aluation ( v ) -adique, 'est-à-dire, la top ologie rendan t l'addition on tin ue et telle que les idéaux { ( v n ) , n ∈ N } formen t une base de v oisinage de 0 . Le défaut d'un tel  hoix est que p our ette top ologie, la suite de terme général ( u n ) n ∈ N div erge. On souhaiterait don m unir k (( u ))[[ v ]] d'une top ologie qui tiendrait ompte à la fois de la v aluation ( v ) -adique mais égalemen t de la v aluation ( u ) -adique sur k (( u )) . P our e faire, on rapp elle que k (( u ))[[ v ]] est une limite pro jetiv e k (( u ))[[ v ]] ∼ = lim ← − k (( u ))[ v ] / ( v n ) . De fait, si l'on m unit k (( u )) de sa top ologie ( u ) -adique, on dénit une top ologie de limite pro jetiv e sur k (( u ))[[ v ]] . Les ensem bles suiv an ts fournissen t une base de v oisinages de 0 p our ette top ologie. V i 0 ,...,i r :=    s = X j ≥ 0 s j ( u ) v j ∈ k (( u ))[[ v ]] , v al ( u ) ( s k ) ≥ i k , ∀ k ∈ { 0 , . . . , r }    . 1 V oir lemme I.4.15 . 136 A. Séries de Laurent On rapp elle que v al ( u ) désigne la v aluation ( u ) -adique sur k (( u )) . P our ette top ologie, une suite ( s ( n ) ) n ∈ N de séries on v erge v ers 0 si et seulemen t si elle on v erge v ers 0  o or donné e p ar  o or donné e . C'est-à-dire : lim n → + ∞ s ( n ) = 0 ⇐ ⇒ ∀ j ∈ N , lim n → + ∞ s ( n ) j ( u ) = 0 . Lemme A.3.1. Pour  ette top olo gie, une série est  onver gente si et seulement si son terme génér al tend vers 0 . Preuve . Soit ( s ( n ) ) n ∈ N une suite qui tend v ers 0 p our la top ologie de la limite pro jetiv e. Cela signie que p our tout en tier naturel j , la suite ( s ( n ) j ) d'élémen ts de k (( u )) on v erge v ers 0 p our la top ologie ( u ) -adique. La top ologie ( u ) -adique pro v enan t d'une norme ultramétrique, on en déduit que p our tout en tier naturel j , la série de terme général s ( n ) j on v erge. Don la suite des sommes partielles ( P n k =0 s ( k ) ) n ∈ N on v erge o ordonnée par o ordonnée, elle on v erge don p our la top ologie de la limite pro jetiv e. Remarque A.3.2. L a top olo gie de limite pr oje tive est moins ne que la top olo gie ( v ) -adique. On note p ar exemple que la top olo gie ( v ) -adique induit sur k (( u )) une top olo gie disr ète. De fait, une suite ( s ( n ) ) n qui  onver ge ( v ) -adiquement vers une  ertaine limite s ,  onver ge vers  ette même limite p our la top olo gie de la limite pr oje tive. Nous a v ons à présen t les artes en main p our démon trer le lemme I.4.17 . Démonstra tion du lemme I.4.17 . P our ommener, remarquons qu'il sut de prouv er que  hangemen t de v ariable est bien déni sur k (( u ))[[ v ]] et induit un isomorphisme lo al k (( u ))[[ v ]] → k (( x ))[[ y ]] . La propriété univ erselle des orps de frations p ermettra ensuite de onlure. Étap e 1. Nous allons mon trer que la suite ( f n ) n ∈ N on v erge v ers 0 p our la top ologie de limite pro jetiv e. Rapp elons que f est un élémen t de k (( x ))[[ y ]] de la forme f = f 0 ( x ) + f 1 ( x ) v + · · · et que la v aluation ( x ) -adique de f 0 est égale à 1 . Soien t n ∈ N et k ≤ n , on a f n = f n 0 + f n − 1 0 f 1 y + f n − 2 0 ( f 2 1 + f 2 ) y 2 + · · · + f n − k 0 P k ( f 1 , . . . , f k ) y k + · · · , où P k désigne un p olynme en les séries de Lauren t f 0 , . . . , f k . Ce p olynme ne dép end pas de n . Nous donnons i-dessous, les premiers termes de ette suite de p olynmes. P 0 = 1 P 3 = f 3 1 + 2 f 1 f 2 + f 3 P 1 = f 1 P 4 = f 4 1 + 2 f 1 f 3 + f 2 2 + f 4 P 2 = f 2 1 + f 2 P 5 = f 5 1 + 2 f 1 f 4 + 2 f 2 f 3 + f 5 . Ainsi, étan t donné i ∈ N , p our n assez grand, le o eien t de y i dans f n sera égal à f n − i 0 P i ( f 0 , . . . , f i ) . Comme f 0 est de v aluation ( x ) -adique 1 , le o eien t de y i tend v ers 0 quand n tend v ers l'inni. La suite ( f n ) n on v erge don v ers 0 p our la top ologie de limite pro jetiv e. P ar onséquen t, p our toute série ϕ ( u ) ∈ k (( u )) , la série ϕ ( f ( x, y )) on v erge dans k (( x ))[[ y ]] . Remarquons enn que le o eien t en y 0 de la série ϕ ( f ( x, y )) est P i ϕ i f i 0 . Cette dernière série est non n ulle, ar f 0 est de v aluation ( x ) -adique 1 . De fait, la v aluation ( y ) - adique de ϕ ( f ( x, y )) est n ulle. Étap e 2. Soit ψ ( u, v ) ∈ k (( u ))[[ v ]] de la forme ψ = P j ≥ 0 ψ j ( u ) v j . D'après l'étap e 1 , p our tout j ∈ N , la série ψ j ( f ( x, y )) est bien dénie. Ensuite, omme g est de v aluation ( y ) -adique 1 , la série ψ j ( f ) g j est de v aluation ( y ) -adique sup érieure ou égale à j . Don, d'après le lemme A.3.1 et la remarque A.3.2 , la série de terme général ψ j ( f ) g j on v erge dans k (( x ))[[ y ]] . Le  hangemen t de v ariables est don bien déni. P ar ailleurs, on a vu à la n de l'étap e 1 que la v aluation ( y ) -adique d'un o eien t ψ j ( f ( x, y )) est n ulle. Don, omme la série g est de v aluation ( y ) -adique 1 , on déduit que la v aluation ( y ) -adique de ψ ( f ( x, y ) , g ( x, y )) est égale à la v aluation ( v ) -adique de ψ ( u, v ) . A.4. Démonstration du théo rème I.5.3 en a ratéristique p ositive 137 Étap e 3. Il nous reste à traiter le as des 2 -formes diéren tielles formelles. Soit don une forme diéren tielle formelle ω = h ( u, v ) du ∧ dv de v aluation ( v ) -adique n , mon trons que la v aluation ( y ) -adique de h ( f , g ) d f ∧ dg est égalemen t n . En utilisan t les étap es prééden tes, ela revien t à mon trer que d f ∧ dg est de v aluation ( y ) -adique n ulle. On a, d f ∧ dg =  ∂ f ∂ x ∂ g ∂ y − ∂ f ∂ y ∂ g ∂ x  dx ∧ dy . Calulons les premiers termes de es pro duits de dériv ées partielles ∂ f ∂ x ∂ g ∂ y = f ′ 0 ( x ) g 1 ( x ) + (2 f ′ 0 ( x ) g 2 ( x ) + g 1 ( x ) f ′ 1 ( x )) y + · · · ∂ f ∂ y ∂ g ∂ x = f 1 ( x ) g ′ 1 ( x ) y + (2 f 2 ( x ) g ′ 1 ( x ) + f 1 ( x ) g ′ 2 ( y )) y 2 + · · · P ar dénition du  hangemen t de v ariables (CV ), les séries f ′ 0 et g 1 son t non n ulles, on en déduit que le jaobien ∂ f ∂ x ∂ g ∂ y − ∂ f ∂ y ∂ g ∂ x est de v aluation ( y ) -adique n ulle, e qui a hèv e ette démonstration. A.4 Démonstration du théo rème I.5.3 en a ratéristique p ositive Cette setion onerne les formes diéren tielles formelles. Les notations et dénitions utilisées pro viennen t des setions I.4.5 et I.5.1 . Remarque A.4.1. Dans  ette se tion nous utilisons le système d'indexage de la notation I.5.1 . Commençons par étudier quelles parties de la preuv e du théorème I.5.3 , néessiten t vrai- men t le fait que le orps k est de aratéristique n ulle. Les lemmes I.5.4 et I.5.6 ainsi que la remarque I.5.5 son t v alables en aratéristique quelonque. Seule la preuv e à propremen t parler du théorème, qui ommene page 36 et se termine page 38 fait in terv enir des primitiv es formelles qui n'existen t pas toujours en aratéristique p ositiv e. Nous allons don reprendre l'étude du omp ortemen t sous l'ation de (CV2) de diéren tielles de la forme ω = φ ( u ) du ∧ dy y n +1 où φ ∈ k (( u )) et n ≥ 1 . Soit N ∈ N , onsidérons un  hangemen t de v ariables de la forme (CV2) : u = f ( x, y ) a v e f = X j ≥ 0 f j ( x ) y j où f 0 est de v aluation ( x ) -adique 1 . On supp ose de plus que min k =1 ...n { v al ( x ) ( f k ) } = − N , (A.1) où v al ( x ) désigne la v aluation ( x ) -adique sur k (( x )) . Étap e 1. Si ω est de la forme ω = u m du ∧ dy y n +1 a v e m ∈ N . On a alors, ω = ( f ′ 0 ( x ) + f ′ 1 ( x ) y + · · · ) | {z } ∂ f ∂ x ( f 0 ( x ) + f 1 ( x ) y + · · · ) m | {z } f m dx ∧ dy y n +1 . Le ( x, y ) - 1 -résidu de ω est le o eien t en y n − 1 de la série f m ∂ f / ∂ x . Ce résidu est de la forme ( x, y ) res 1 C,P ( ω ) = P m,n ( f 0 , . . . , f n , f ′ 0 , . . . , f ′ n ) dx, (A.2) 138 A. Séries de Laurent où P m,n ∈ Z [ X 0 , . . . X n , Y 0 , . . . , Y n ] est un p olynme qui ne dép end pas du orps de base, il ne dép end en fait que de m et n . P ar un raisonnemen t analogue, le o eien t p m,n en x − 1 de P m,n est une expression p olynomiale en les f i,j a v e − N ≤ i ≤ N + 1 et 0 ≤ j ≤ n. En eet, P m,n est un p olynme en les f j et f ′ j p our j ∈ { 0 , . . . , n } e qui explique l'enadre- men t de j . P our e qui en de l'enadremen t de i , on rapp elle que, d'après ( A.1), les séries de Lauren t f 0 , . . . , f n son t de v aluation sup érieure ou égale à − N . Leurs dériv ées son t don de v aluation ( x ) -adique sup érieure ou égale à − N − 1 et don les termes de degré en x maximal in terv enan t dans ette expression son t eux de degré en x égal à N . Ces termes p euv en t être des f N ,j x N pro v enan t de f j ( x ) ou des ( N + 1) f N +1 ,j x N pro v enan t de f ′ j ( x ) . Ainsi, l'in- die i est don toujours inférieur à N + 1 . P our nir, d'après la preuv e du théorème I.5.3 en aratéristique n ulle, on sait que l'expression p olynomiale p m,n s'ann ule sur l'ensem ble { f 1 , 0 6 = 0 } . Ainsi, d'après le théorème de prolongemen t des iden tités algébriques ([Bou59 ℄ IV.2.3 théorème 2), e p olynme est n ul. Don, le ( x, y ) - 2 -résidu de ω est n ul. Étap e 2. Supp osons à présen t que ω soit de la forme ω = φ ( u ) du ∧ dy y n +1 où φ = P m ≥ 0 φ i u i est une série de T a ylor (un élémen t de k [[ u ]] ). D'après le tra v ail eetué dans l'étap e 1, on a ( x, y ) res 1 ( ω ) = X m ≥ 0 φ m P m,n ( f 0 , . . . , f n , f ′ 0 , . . . , f ′ n ) dx, (A.3) où les P m,n son t les p olynmes dénis dans la relation (A.2) de l'étap e 1. Le ( x, y ) - 1 -résidu de ω est bien déni, don la série apparaissan t en (A.3) on v erge ( x ) -adiquemen t dans k (( x )) . P ar onséquen t, la v aluation ( x ) -adique de ses termes tend v ers l'inni quand m tend v ers l'inni, elle est don p ositiv e à partir d'un ertain rang M . On a don ( x, y ) res 1 C,P ( ω ) = M X m =0 φ m P m dx + + ∞ X m = M +1 φ m P m dx | {z } v al ( x ) ≥ 0 . Le reste de la série étan t de v aluation ( x ) -adique p ositiv e, son résidu est n ul. Quan t à la somme de 0 à M , son résidu est n ul d'après le résultat obten u dans l'étap e 1 et étendu par linéarité. Ii enore, le ( x, y ) - 2 -résidu de ω est n ul. Étap e 3. Supp osons main tenan t que ω est de la forme ω = du u m ∧ dy y n +1 , a v e m ∈ N ∗ . Après  hangemen t de v ariables, on obtien t ω = 1 f m ∂ f ∂ x dx ∧ dy y n +1 . Le ( x, y ) - 1 -résidu de ω est égal au o eien t en y n de 1 f m ∂ f ∂ x m ultiplié par dx . Nous dev ons don étudier la série 1 f m ∂ f ∂ x . Commençons par tra v ailler sur 1 f m . On a 1 f m = 1 f m 0  1 + f 1 f 0 y + f 2 f 0 y 2 + · · ·  m = 1 f m 0  1 + U 1 ( f 0 , f 1 ) f 0 y + · · · + U p ( f 0 , . . . , f p ) f 2 0 y 2 + · · ·  m , où U p ∈ Z [ X 0 , . . . , X p ] est un p olynme homogène de degré p qui ne dép end que de p . V oii les premiers termes de ette suite de p olynmes U 1 ( X 0 , X 1 ) = − X 1 U 2 ( X 0 , X 1 , X 2 ) = − X 0 X 2 + X 2 1 U 3 ( X 0 , X 1 , X 2 , X 3 ) = − X 2 0 X 3 + 2 X 0 X 1 X 2 − X 3 1 U 4 ( X 0 , X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) = − X 3 0 X 4 + 2 X 2 0 X 1 X 3 + X 2 0 X 2 2 − 3 X 0 X 2 1 X 2 + X 4 1 . A.4. Démonstration du théo rème I.5.3 en a ratéristique p ositive 139 On dév elopp e ensuite le terme à la puissane m , 1 f m = 1 f m 0     1 + mU 1 ( f 0 , f 1 ) f 0 +  m 2  U 1 ( f 0 , f 1 ) 2 + mU 2 ( f 0 , f 1 , f 2 ) f 2 0 y 2 + · · ·     . On in tro duit alors les notations suiv an tes 1 f m = 1 f m 0  1 + V m, 1 ( f 1 ) f 0 y + · · · + V m,p ( f 1 , . . . , f p ) f p 0 + · · ·  , (A.4) où les p olynmes V m,p ∈ Z [ X 1 , . . . , X p ] son t des p olynmes homogènes de degré p qui ne dép enden t que de m et p . Le o eien t de y n de 1 f m ∂ f ∂ x est don C m,n ( x ) := 1 f m 0  f ′ n + f ′ n − 1 V m, 1 ( f 0 , f 1 ) f 0 + · · · + f ′ 0 V m,n ( f 0 , . . . , f n ) f n 0  . P our tout en tier k appartenan t à { 1 , . . . , n } , on p ose S m,n,k ( f 0 , . . . , f k ) := f n − k 0 V m,k ( f 0 , . . . , f k ) et S m,n, 0 ( f 0 ) := f n 0 . Les p olynmes, S m,n,k son t homogènes de degré n et C m,n ( x ) := 1 f m + n 0 | {z } A m,n ( x ) n X k =0 f ′ n − k S m,n,k ( f 0 , . . . , f k ) | {z } B m,n ( x ) . (A.5) Nous allons étudier A m,n séparémen t. On rapp elle que f 0 était de v aluation ( x ) -adique 1 , 'est-à-dire que f 0 ( x ) = f 1 , 0 x + f 2 , 0 x 2 + · · · . En reprenan t le alul eetué préédemmen t p our 1 f m , on obtien t A m,n ( x ) = 1 f m + n 1 , 0 1 + V m + n, 1 ( f 1 , 0 , f 2 , 0 ) f 1 , 0 x + · · · · · · + V m + n,p − 1 ( f 1 , 0 , . . . , f p, 0 ) f p − 1 1 , 0 x p − 1 + · · · ! , où les p olynmes V i,j son t eux in tro duits dans l'expression (A.4). Rapp elons que l'ob jetif initial est de mon trer le ( x, y ) - 2 -résidu, qui est le o eien t c m,n, − 1 de x − 1 dans C m,n , s'obtien t omme une expression p olynomiale en un nom bre ni des o eien ts f i,j de f . Nous allons v oir quels o eien ts in terviennen t. Dans A m,n . Comme les p olynmes S m,n,k son t de degré n p our tout en tier k ∈ { 1 , . . . , n } , la v aluation ( x ) -adique de B m,n v érie v al ( x ) ( B m,n ) ≥ − nN − ( N + 1) = − ( n + 1) N − 1 . Le − nN est la on tribution de S m,n,k et le − ( N + 1) elle de f ′ n − k . P ar onséquen t, les termes de A m,n in terv enan t dans le alul de c m,n, − 1 son t de degré au plus N ( n + 1 ) . En reprenan t l'expression de A m,n i-dessus, on v oit que les termes de degré inférieur à N ( n + 1) fon t in terv enir les f i, 0 a v e − N ≤ i ≤ N ( n + 1) + 1 . Dans B m,n . Comme la série de Lauren t A m,n est de v aluation − m − n , les termes de B m,n in terv enan t dans le alul de e 2 -résidu c m,n, − 1 son t de degré au plus m + n − 1 . D'après l'expression de B m,n , es termes fon t in terv enir les f i,j a v e i ≤ m + n (on a joute 1 du fait de la présene des dériv ées f ′ i dans l'expression). 140 A. Séries de Laurent Conlusion. Les o eien ts f i,j in terv enan t dans le alul de c m,n, − 1 son t eux don t les indies v érien t  − N ≤ i ≤ max { m + n, ( n + 1) N + 1 } 0 ≤ j ≤ n. On note I et ensem ble de paires d'indies. Il existe don un p olynme Q m,n ( X i,j ) ∈ Z [ X i,j | ( i, j ) ∈ I ] et un en tier M qui ne dép enden t pas du orps de base k et tels que c m,n, − 1 = ( x, y ) res 2 ( ω ) = 1 f M 1 , 0 Q ( f i,j | ( i, j ) ∈ I ) . P ar un raisonnemen t analogue à elui eetué à la n de l'étap e 1 et faisan t in terv enir le théorème de prolongemen t des iden tités, on mon tre que e résidu est n ul. Ainsi, nous a v ons mon tré l'in v ariane du 2 -résidu d'une 2 -forme formelle sous l'ation d'un  hangemen t de v ariables de la forme u = f ( x, y ) tel que les n + 1 premiers o eien ts f j ( u ) de f son t de v aluation sup érieure à − N . Ce résultat est v alable p our tout en tier N , don p our tout  hangemen t de v ariables de la forme (CV2), e qui onlut la démonstration. Annexe B Indép endane des valuations L'ob jetif de e  hapitre est de donner une preuv e de la prop osition I I.4.2. Nous allons en fait démon trer un résultat en dimension quelonque, e qui n'augmen te pas le niv eau de diulté de la preuv e. Prop osition B.0.2. Soient X une variété quasi-pr oje tive lisse irr é dutible de dimension sup érieur e ou é gale à 2 au-dessus d'un  orps quel onque k et Y une sous-variété de X de  o dimension 1 . Soient P 1 , . . . , P n une famil le de p oints fermés de X r Y et Q 1 , . . . , Q s une famil le de p oints fermés de Y . A lors, il existe une uniformisante v ∈ O X,Y tel le que le supp ort du diviseur prinip al ( v ) évite les p oints P 1 , . . . , P n et le supp ort de ( v ) − Y évite Q 1 , . . . , Q s . La démonstration suiv an te a été suggérée par Gerhard F rey . Preuve . Commençons par remarquer que l'on p eut se on ten ter de démon trer le résultat dans le as où Y est irrédutible. Le as général se déduira de e as partiulier en raisonnan t sur les omp osan tes irrédutibles de Y . On supp ose don désormais que Y est irrédutible. Dans un premier temps nous allons nous ramener au as d'une v ariété ane. Il existe un ouv ert ane de X on tenan t tous les p oin ts P 1 , . . . , P r , Q 1 , . . . , Q s . L'in tersetion de et ouv ert a v e Y est non vide ar on tien t les p oin ts Q i . Aussi, quitte à se restreindre à et ouv ert, on p eut supp oser que X est ane. Dans e qui suit, nous noterons I Y l'idéal de k [ X ] asso ié à Y et m P 1 , . . . , m P r , m Q 1 , . . . , m Q s les idéaux maximaux orresp ondan t resp etiv emen t aux p oin ts P 1 , . . . , P r et Q 1 , . . . , Q s . On notera égalemen t m 1 , . . . , m s les m ultipliités resp etiv es de Y en Q 1 , . . . , Q s . On rapp elle que la m ultipliité de Y en un p oin t Q est le plus p etit en tier m tel que I Y ⊂ m m Q . Reform ulation du problème. On  her he une fontion v ∈ k [ X ] v érian t les propriétés suiv an tes. (1) La fontion v appartien t à I Y r I 2 Y . (2) P our tout en tier i appartenan t à { 1 , . . . , r } , la fontion v n'appartien t pas à m P i . (3) P our tout en tier j appartenan t à { 1 , . . . , s } , la fontion v n'appartien t pas à m m j +1 Q j . Le premier ritère p ermet d'armer que v est bien une uniformisan te de O X,Y , le seond signie que v ne s'ann ule en auun des P i , et le troisième équiv aut au fait que Y soit l'unique zéro de v au v oisinage de Q i . Dans e qui suit, lorsque P est un p oin t fermé de X et f ∈ O X,P on notera f ( P ) l'image de f dans le orps résiduel k ( P ) . Étap e 0. P our toute famille nie de p oin ts fermés deux à deux distints A 1 , . . . , A n de X et toute famille d'en tiers naturels p 2 , . . . , p n , il existe une fontion g appartenan t à l'idéal pro duit m p 2 A 2 · · · m p n A n telle que g ( A 1 ) = 1 . 141 142 B. Indép endane des valuations P our le mon trer, il sut de onstater que les idéaux m A 1 et m p 2 A 2 · · · m p n A n son t étrangers, 'est-à-dire que m A 1 + m p 2 A 2 · · · m p n A n = k [ X ] . De fait, il existe une fontion f appartenan t à m A 1 et une fontion g appartenan t à m p 2 A 2 · · · m p n A n telles que f + g = 1 . Ainsi, on a bien g ( A 1 ) = 1 . Étap e 1. ( Constrution d'une fontion qui vérie 3 ). Soit j 0 un en tier appartenan t à { 1 , . . . , s } . P ar dénition de la m ultipliité, il existe une fontion f appartenan t à l'idéal I Y et n'apparte- nan t pas à m m j 0 +1 Q j 0 . Soit f j 0 une telle fontion, d'après l'étap e prééden te il existe une fontion h j 0 régulière sur X telle que h j 0 est un élémen t de l'idéal pro duit m m 1 Q 1 · · · [ m Q j 0 · · · m m s Q s et h j 0 n'appartien t pas à l'idéal m Q j 0 . P osons alors v j 0 := f j 0 h j 0 et v := s X j =1 v j . La fontion v appartien t à l'idéal I Y , mais n'appartien t à auun m m j +1 Q j . En eet, soit j 0 un en tier appartenan t à { 1 , . . . , s } , alors v j 0 ∈ m m j 0 Q j 0 r m m j 0 +1 Q j 0 et ∀ j 6 = j 0 , v j ∈ m m j 0 +1 Q j 0 . Remarquons au passage que la fontion ainsi onstruite n'appartien t pas à I 2 Y , ar sinon elle appartiendrait à m 2 m j Q j p our tout en tier j appartenan t à { 1 , . . . , s } . Étap e 2. Nous allons mon trer par réurrene sur r que, quitte à a jouter à v un élémen t de I 2 Y , e qui n'aura auune onséquene sur les propriétés aquises dans l'étap e prééden te, on p eut faire en sorte que v ne s'ann ule en auun des P i . P our r = 1 , si v ( P 1 ) est non n ul, 'est terminé. Sinon, omme P 1 n'est pas on ten u dans Y , l'idéal I Y ne on tien t pas m P 1 . De même, l'idéal I 2 Y ne on tien t pas m P 1 , ar m P 1 est radial. De fait, les idéaux I 2 Y et m P 1 son t étrangers, il existe don une fontion f appartenan t à I 2 Y et une fontion g appartenan t à m P 1 telles que f + g = 1 . On remplae alors v par v + f et ette nouv elle fontion ne s'ann ule plus en P 1 . Soit r ≥ 1 , supp osons la propriété vraie au rang r et mon trons qu'elle est v ériée au rang r + 1 . Si v ( P r +1 ) est non n ul, 'est terminé. Sinon, les idéaux I 2 Y m P 1 · · · m P r et m P r +1 son t étrangers, on en déduit l'existene d'une fontion f appartenan t à I 2 Y m P 1 · · · m P r qui ne s'ann ule pas en P r +1 et on remplae v par v + f . Annexe C Complément d'algèb re linéaire Le but de ette annexe est de fournir quelques résultats d'algèbre linéaire utilisés à la n du  hapitre I I. Ces résultats son t des exeries relativ emen t élémen taires. Nous a v ons ep endan t  hoisi de les démon trer ii, faute de référenes. Dans e qui suit, E et F désignen t des espaes v etoriels sur un orps quelonque k . On disp ose de plus sur de formes bilinéaires E et F notées resp etiv emen t h . , . i E et h . , . i F . On p eut alors onstruire une forme bilinéaire sur E ⊗ k F qui soit anoniquemen t asso iée à h . , . i E et h . , . i F . P our e faire, on la dénit sur les tenseurs élémen taires par h . , . i E ⊗ F :  E ⊗ F × E ⊗ F → k ( a ⊗ b, a ′ ⊗ b ′ ) 7→ h a, a ′ i E . h b, b ′ i F et on l'étend ensuite par linéarité. On onstate immédiatemen t que si ( e i ) i ∈ I et ( f j ) j ∈ J son t des bases orthogonales resp etiv es de E et F , alors ( e i ⊗ f j ) ( i,j ) ∈ I × J est une base orthogonale de E ⊗ F . Lemme C.0.3. Si les formes biliné air es h . , . i E et h . , . i F sont non dé génér é es, alors il en est de même p our h . , . i E ⊗ F . De même, si h . , . i E et h . , . i F sont symétriques, alors h . , . i E ⊗ F l'est é galement. Preuve . Le fait que la symétrie de h . , . i E et h . , . i F en traîne elle de h . , . i E ⊗ F est éviden t. Supp osons que h . , . i E et h . , . i F soien t non dégénérées. Soien t ( e i ) i ∈ I et ( f j ) j ∈ J des bases orthogonales resp etiv es de E et F et soit u un élémen t de E ⊗ F tel que la forme linéaire h u, . i E ⊗ F soit iden tiquemen t n ulle. Le v eteur u est de la forme u = X i,j u i,j e i ⊗ f j . P ar ailleurs, p our tout ouple ( i, j ) , on a h u, e i ⊗ f j i = 0 , or h u, e i ⊗ f j i = u i,j . On en déduit que u est n ul et que la forme bilinéaire h . , . i E ⊗ F est non dégénérée. On supp ose désormais que les formes bilinéaires h . , . i E et h . , . i E son t non dégénérées. Lemme C.0.4. Supp osons que E et F soient de dimension nie. Soient A et B deux sous- esp a es ve toriels r esp e tifs de E et F , alors ( A ⊗ B ) ⊥ = A ⊥ ⊗ F + E ⊗ B ⊥ . Preuve . L'inlusion ⊇ est élémen taire. En eet on prend a, a ′ , b, f appartenan t resp etiv e- men t à A, A ⊥ , B et F . On a h a ⊗ b, a ′ ⊗ f i E ⊗ F = h a, a ′ i | {z } =0 h b, f i = 0 . 143 144 C. Complément d'algèb re linéaire On en déduit que A ⊥ ⊗ F est inlus dans ( A ⊗ B ) ⊥ . P ar un raisonnemen t iden tique, on mon tre ensuite que E ⊗ B ⊥ est inlus dans ( A ⊗ B ) ⊥ . P our l'inlusion réipro que, ommençons par mon trer que A ⊥ ⊗ F ∩ E ⊗ B ⊥ = A ⊥ ⊗ B ⊥ . L'inlusion ⊇ est immédiate. Mon trons don l'inlusion réipro que. Soien t ( e i ) i ∈ I 0 et ( f j ) j ∈ J 0 des bases resp etiv es de A ⊥ et B ⊥ omplétées en des bases ( e i ) i ∈ I et ( f j ) j ∈ J de E et F . Soit s un v eteur de A ⊥ ⊗ F ∩ E ⊗ B ⊥ . Déomp osons le dans la base ( e i ⊗ f j ) ( i,j ) ∈ I × J . s = X ( i,j ) ∈ I × J s ij e i ⊗ f j . Comme s ∈ A ⊥ ⊗ F (resp. s ∈ E ⊗ B ⊥ ), les s ij son t n uls p our i / ∈ I 0 (resp. p our j / ∈ J 0 ), e qui prouv e l'inlusion réipro que. P our nir, p osons m := dim( E ) a := dim( A ) n := dim( F ) b := dim ( B ) , et alulons la dimension de A ⊥ ⊗ F + E ⊗ B ⊥ . dim( A ⊥ ⊗ F + E ⊗ B ⊥ ) = dim( A ⊥ ⊗ F ) + dim( E ⊗ B ⊥ ) − dim( A ⊥ ⊗ B ⊥ ) = n ( m − a ) + m ( n − b ) − ( m − a )( n − b ) = mn − ab = dim( A ⊥ ⊗ B ⊥ ) . Nous p ouv ons à présen t énoner un résultat fort utile dans le  hapitre I I, puisque 'est elui qui nous p ermet de prouv er que l'orthogonal d'un o de fontionnel sur une surfae n'est pas toujours fontionnel. En partiulier, il ne l'est jamais lorsque la surfae est un pro duit de deux ourb es. Corollaire C.0.5. Si A et B sont des sous-esp a es non triviaux 1 r esp e tifs de E et F , alors le sous-esp a e ( A ⊗ B ) ⊥ de E ⊗ F n 'est p as un pr o duit tensoriel élémentair e U ⊗ V de sous-esp a es de E et F . Preuve . C'est une onséquene immédiate du lemme C.0.4 et du lemme C.0.6 qui suit. Lemme C.0.6. Soient E et F deux esp a es ve toriels sur un  orps k quel onque. Soient A et B des sous-esp a es r esp e tifs non triviaux de E et F . A lors, le sous-esp a e A ⊗ k F + E ⊗ k B de E ⊗ k F ne p eut p as êtr e é rit sous la forme d'un pr o duit tensoriel élémentair e U ⊗ k V . Preuve . Raisonnons par l'absurde et supp osons qu'il existe U et V , sous-espaes resp etifs de E et F tels que A ⊗ k F + E ⊗ k B = U ⊗ k V . (C.1) Supp osons que U ne soit pas inlus dans A . Soien t ( e i ) i ∈ I 0 et ( f j ) j ∈ J 0 des bases resp etiv es de A et B omplétées en des bases ( e i ) i ∈ I et ( f j ) j ∈ J de E et F . Soit égalemen t u ∈ U r A . P our tout v eteur v ∈ V , on a u ⊗ v = X ( i,j ) ∈ I × J u i v j e i ⊗ f j . D'après (C.1), le pro duit u i v j est n ul p our tout ouple ( i, j ) tel que i / ∈ I 0 et j / ∈ J 0 . Comme par h yp othèse u n'est pas dans A , il existe au moins un i 1 / ∈ I 0 tel que u i 1 est non n ul. Don 1 P ar non triviaux , on en tend que A (resp. B ) est non n ul et stritemen t inlus dans E (resp. F ). 145 p our tout j / ∈ J 0 , on a u i 1 v j = 0 , don v j = 0 . P ar onséquen t, v appartien t à B et e p our tout v ∈ V . Don V ⊆ B , don U ⊗ V ⊆ E ⊗ B . (C.2) Soien t main tenan t f un v eteur de F n'appartenan t pas à B et a un v eteur non n ul de A . Alors a ⊗ f appartien t à A ⊗ F mais pas à E ⊗ B et d'après (C.2), il n'appartien t pas à U ⊗ V e qui on tredit l'h yp othèse de départ (C.1). Si main tenan t U est inlus dans A , alors U ⊗ V est inlus dans A ⊗ F et on ab outit à une on tradition en réalisan t le raisonnemen t symétrique de elui qui vien t d'être eetué. Annexe D Constrution de o des fontionnels Dans [La88 ℄, La haud présen te une autre pro édé de onstrution de o des fontionnels sensiblemen t diéren t de elui qui est présen té dans le  hapitre I I. Les o des ainsi onstruits son t en général app elés o des de Reed-Müller pro jetifs. D.1 Constrution On se plae dans l'espae pro jetif P r F q m uni d'un système de o ordonnées homogènes ( X 0 , . . . , X n ) . P our tout en tier naturel d on note F d , l'espae F d := { f ∈ F q [ X 0 , . . . , X n ] , f homogène de degré d } ∪ { 0 } . En d'autres termes, F d est l'espae des setions globales du faiseau O P r ( d ) . Rapp elons que, s'il est p ossible de dénir le lieu d'ann ulation dans P r d'un élémen t non n ul de F d , l'év aluation d'un élémen t de F d en un p oin t de P r n'a pas de sens. D'une ertaine façon, la dénition qui suit onsiste à lui en donner un. Dénition D.1.1 (La haud 1988) . Soit P un p oint r ationnel de P r de  o or donné es homo- gènes ( x 0 : · · · : x n ) . Soit h le plus p etit entier  ompris entr e 0 et n tel que x h soit non nul. Pour tout entier natur el d , on dénit l'appli ation d'évaluation en P p ar ev P :    F d → F q f → f ( x 0 , . . . , x n ) x d h . L'appliation est bien dénie, mais n'est pas anonique, elle dép end du  hoix d'un système de o ordonnés homogènes. À partir de ette appliation, on p eut onstruire des o des orreteurs d'erreurs de la façon suiv an te. Dénition D.1.2. Soient X une sous-variété fermé e lisse absolument irr é dutible de P r F q et P 1 , . . . , P n , l'ensemble des p oints r ationnels de X . Pour tout entier natur el d , le  o de C d ( X ) est l'image de l'appli ation c :  F d → F n q f 7→ ( ev P 1 ( f ) , . . . , ev P n ( f )) . Bien que moins anonique que la onstrution présen tée dans le  hapitre I I, ette appro  he présen te de nom breux a v an tages. T out d'ab ord, elle p ermet une év aluation en tous les p oin ts de la v ariété , sans a v oir à se souier des questions de dénitions. P ar rapp ort à la dénition du  hapitre I I, on évite ii les restritions du t yp e les p oin ts P 1 , . . . , P n éviten t le supp ort de 147 148 D. Constrution de o des fontionnels G . Ensuite, l'év aluation de la distane minimale et de la distribution des p oids du o de C d ( X ) se traduit sous la forme d'un problème de omptage expliite de tous les p oin ts rationnels de v ariétés pro jetiv es 1 . T outefois, p our le adre qui nous in téresse, à sa v oir elui de p ouv oir onstruire l'ortho- gonal du o de fontionnel à partir de diéren tielles, ette onstrution n'est pas optimale. En eet, le défaut de anoniité des appliations d'év aluation emp ê he toute p ossibilité de repro dution du raisonnemen t de la preuv e du théorème I I.4.1 . L'obstrution est liée au fait que les élémen ts de F d ne son t pas des fontions. On p eut lo alemen t les iden tier à des fon- tions rationnelles sur X , 'est e qui est fait dans la dénition de l'appliation ev P , mais ette iden tiation dép end du p oin t P . D'une ertaine façon, 'est omme si l'on év aluait en des p oin ts diéren ts des fontions diéren tes. On ne p eut don plus repro duire le raisonnemen t onsistan t à appliquer la form ule des résidus à la 2 -forme f ω . D.2 Essentiellement, 'est la même hose P ar la métho de de onstrution présen tée dans le  hapitre I I, on p eut onstruire un o de fontionnel isomorphe au o de C d ( X ) . P our e faire, on dénit H ∞ , l'h yp erplan de P r d'équation X 0 = 0 . On app elle i l'inlusion anonique i : X ֒ → P r et on p ose L := i ∗ H ∞ ∈ Div F q ( X ) . P our tout en tier naturel d , les faiseaux L ( dL ) et i ∗ O P r ( d ) son t isomorphes. Aussi, si les p oin ts P 1 , . . . , P n éviten t le supp ort de L , alors les o des C L,X ( P 1 + · · · + P n , dL ) et C d ( X ) son t isomorphes. P our se défaire de la ondition évitent les p oint du supp ort de L , il sut d'utiliser le moving lemma ([Sha94 ℄ I I I.1.3 théorème 1 et annexe B). En v ertu de e résultat, on sait qu'il existe G ∈ Div F q ( X ) don t le supp ort évite les p oin ts P 1 , . . . , P n et linéairemen t équiv alen t à dL . Cette fois-i, on est assuré de la b onne dénition du o de C L,X ( P 1 + · · · + P n , G ) et le faiseau L ( G ) est isomorphe à i ∗ O P r ( d ) . On obtien t don l'isomorphisme de o des C L,X ( P 1 + · · · , P n , G ) ∼ = C d ( X ) . On p eut don onstruire un o de fontionnel (pro v enan t de la dénition de [VM84 ℄ donnée dans le  hapitre I I) isomorphe à C d ( X ) . Malheureusemen t la onstrution d'un diviseur G don t le supp ort évite tous les p oin ts rationnels de X n'est pas toujours éviden te. La dénition D.1.2 reste don ommo de ar elle fournit une onstrution expliite simple. Remarque D.2.1. Notons que l'on a identié les éléments de F d r estr eints à X à des se - tions glob ales du fais e au i ∗ O P n ( d ) . Comme on l'a vu dans le hapitr e III, si X est pr oje - tivement normale 2 en r esp e t au plongement X ֒ → P r , alors le fais e au i ∗ O P r ( d ) s'identie au fais e au O X ( d ) (voir [Har77 ℄ II.5 ex 14). 1 Év en tuellemen t réduites ou rédutibles. 2 P ar exemple si 'est une in tersetion omplète lisse de P r . Annexe E P oints en p osition générale Cette annexe on tien t les démonstrations de lemmes te hniques utilisés dans la setion IV.1 du  hapitre I I I . Lemme IV.1.8 . Soient r et m deux entiers natur els ave  r ≥ 1 , alors toute famil le de rm + 2 p oints r ationnels distints de P N app artenant à une même  ourb e de de gr é r est m -lié e. Preuve . Soien t P 1 , . . . , P r m +2 une telle famille de p oin ts et C la ourb e de degré r qui les on tien t. D'après le théorème de Bezout, une h yp ersurfae de degré m qui ne on tien t pas C l'in tersete en au plus rm p oin ts géométriques. P ar onséquen t, il n'existe pas d'h yp ersurfae on tenan t tous es p oin ts sauf un. Lemme IV.1.9 . Soit m un entier natur el. (1) Si m + 2 p oints r ationnels distints de P N sont m -liés, alors ils sont alignés. (2) T out r -uplet de p oints r ationnels deux à deux distints de P N ave  r ≤ m + 1 est en p osition m -génér ale. Preuve . Preuv e de (1 ). Soien t P 1 , . . . , P m +2 des p oin ts distints de P N qui son t m -liés. Supp osons qu'ils ne soien t pas alignés. Il existe don un h yp erplan H qui évite P m +2 et on tien t au moins deux p oin ts parmi P 1 , . . . , P m +1 . Quitte à réordonner les indies des p oin ts on p eut supp oser qu'il existe l ≥ 2 tel que P 1 , . . . , P l appartiennen t à H . • Si l = m + 1 , on disp ose d'une h yp ersurfae (en l'o urrene l'h yp erplan H ) qui on tien t tous les P i sauf P 2 m +2 . • Sinon, p our tout l + 1 ≤ j ≤ m + 1 , il existe un h yp erplan H j qui on tien t P j et évite P m +2 . L'h yp ersurfae H ∪ H l +1 ∪ · · · ∪ H m +1 est de degré inférieur ou égal à m (ar l ≥ 2 ), on tien t tous les P i sauf P m +2 . P ar symétrie, on en déduit l'existene p our tout i 0 ∈ { 1 , . . . , m + 2 } d'une h yp ersurfae de degré m qui on tien t tous les P i sauf P i 0 . Preuv e de (2). Soien t P 1 , . . . , P r des p oin ts distints de P N a v e r ≤ m + 1 . En réutilisan t la te hnique présen tée dans la preuv e de (1), on p eut onstruire à l'aide de réunions d'h y- p erplans, des h yp ersurfaes de degré m qui in terp olen t tous les p oin ts sauf un. On en déduit que es p oin ts son t en p osition m -générale. Lemme IV.1.11 . Soient m et r deux entiers natur els. (1) Si r ≤ 2 m + 1 , alors une famil le de r p oints distints de P N tel le que m + 2 d'entr e eux sont non alignés est en p osition m -génér ale. (2) Soient P 1 , . . . , P 2 m +2 un (2 m + 2) -uplet de p oints r ationnels distints de P N tels que m + 2 d'entr e eux ne sont p as alignés. A lors  es p oints sont m -liés, si et seulement s'ils app artiennent à une même  onique plane. 149 150 E. P oints en p osition générale Preuve . Preuv e de (1). Nous allons démon trer le résultat par réurrene sur m . P our m = 0 , 'est éviden t ar un p oin t de P N est toujours en p osition 0 -générale. Soit m ≥ 0 , supp osons que la propriété soit v ériée au rang m et mon trons qu'elle l'est au rang m + 1 . Soit P 1 , . . . , P 2 m +3 une famille de p oin ts rationnels de P N telle que m + 3 d'en tre eux ne son t pas alignés. Soit L l'ensem ble des droites on tenan t P 2 m +3 et au moins un p oin t parmi P 1 , . . . , P 2 m +2 . On  hoisit un élémen t L 1 de L on tenan t un nom bre maximal de p oin ts parmi les P i . On  hoisit ensuite une droite L 2 de L r L 1 on tenan t un nom bre maximal de p oin ts parmi les P i . Les droites L 1 et L 2 son t distintes et se roisen t en P 2 m +3 . Quitte à réordonner les p oin ts P i , on p eut supp oser que P 1 ∈ L 1 et P 2 ∈ L 2 . Ensuite, mon trons que, par h yp othèse, les droites L 1 et L 2 on tiennen t  haune au plus m + 2 p oin ts parmi les P i et que les autres droites de L en on tiennen t au plus m + 1 . On distingue deux situations. (1) Les droites L 1 et L 2 on tiennen t toutes deux m + 2 p oin ts parmi les P i . Comme par dé- nition, es droites on tiennen t toutes deux le p oin t P 2 m +3 , l'ensem ble des P i on ten us dans L 1 ∪ L 2 est égal à l'ensem ble P 1 , . . . , P n . Aussi, dans ette situation l'ensem ble L est égal à { L 1 , L 2 } et le résultat attendu est trivialemen t v érié. (2) La droite L 2 on tien t moins de m + 1 p oin ts parmi les P i et par dénition de L 2 , les élémen ts de L r { L 1 , L 2 } on tiennen t tous moins de m + 1 p oin ts parmi les P i . P ar onséquen t, d'après l'h yp othèse de réurrene, les p oin ts P 3 , . . . , P 2 m +3 son t en p osi- tion m -générale, il existe don une h yp ersurfae H ′ de degré m qui in terp ole P 3 , . . . , P 2 m +2 et évite le p oin t P 2 m +3 . On  hoisit de plus un h yp erplan H qui on tien t P 1 , P 2 et évite P 2 m +3 . L'h yp ersurfae H ∪ H ′ est de degré m + 1 et in terp ole tous les P i sauf P 2 m +3 . On en déduit que p our tout i 0 ∈ { 1 , . . . , 2 m + 3 } , il existe une h yp ersurfae de degré m + 1 qui in terp ole tous les P i sauf P i 0 . Preuv e de (2). Étap e 2a. Si m = 0 , alors deux p oin ts distints son t toujours 0 -liés et égalemen t toujours on ten us dans une ourb e de degré 2 , la propriété est don trivialemen t v ériée dans e as. On supp osera don désormais que m ≥ 1 et on se donne un (2 m + 2 ) -uplet de p oin ts P 1 , . . . , P 2 m +2 m -liés et deux à deux distints. Étap e 2b. Mon trons que si les P i ne son t pas oplanaires et que m + 1 d'en tre eux son t alignés, alors les m + 1 restan ts ne le son t pas. P our e faire, on doit supp oser que P N est de dimension N ≥ 3 . Raisonnons par l'absurde et supp osons qu'il existe deux droites disjoin tes L 1 et L 2 on te- nan t resp etiv emen t les p oin ts P 1 , . . . , P m +1 et P m +2 , . . . , P 2 m +2 . Il existe un unique plan on tenan t P m +2 et la droite L 1 . Ce plan évite les p oin ts P m +3 , . . . , P 2 m +2 . On en déduit l'exis- tene d'un h yp erplan H v érian t les mêmes propriétés. D'après la propriété (2 ) du lemme IV.1.9 , il existe une h yp ersurfae H ′ de degré m − 1 qui on tien t les p oin ts P m +3 , . . . , P 2 m +1 et l'h yp ersurfae H ∪ H ′ est de degré m et on tien t tous les P i sauf P 2 m +2 . De même, p our tout i 0 , on p eut onstruire une h yp ersurfae on tenan t tous les P i sauf P i 0 , e qui on tredit le fait que les P i son t liés. Étap e 2. Mon trons que les P i son t oplanaires. Ii enore, nous allons raisonner par l'ab- surde en supp osan t qu'ils ne le son t pas. Soit D , l'ensem ble des droites de P N on tenan t au moins deux p oin ts distints parmi les P i . Soit L 1 une droite de D on tenan t un nom bre maximal de es p oin ts. Quitte à réorganiser les indies, on p eut supp oser que P 1 ∈ L 1 . P ar h yp othèse, les P i son t non oplanaires, on p eut don supp oser que les p oin ts P 1 , P 2 , P 3 et P 2 m +2 son t non oplanaires. De plus, omme P 1 est dans L 1 , deux situations son t p ossibles. • Soit L 1 on tien t moins de m p oin ts, mo y ennan t quoi, par dénition de L 1 , il n'y a pas de ( m + 1) -uplet de P i alignés. • Soit L 1 on tien t m + 1 p oin ts et d'après l'étap e 2b, les m + 1 p oin ts restan ts son t non alignés. 151 Ainsi, les p oin ts P 4 , . . . , P 2 m +2 formen t un (2 m − 1) -uplet de p oin ts tel que m + 1 d'en tre eux ne son t pas alignés. D'après la preuv e la propriété 1 , es p oin ts son t en p osition ( m − 1 ) - générale, il existe don une h yp ersurfae H ′ de degré m − 1 qui on tien t P 4 , . . . , P 2 m +1 et évite P 2 m +2 . Il existe de plus un h yp erplan H on tenan t P 1 , P 2 , P 3 et évitan t P 2 m +2 . L'h yp ersurfae H ∪ H ′ est don de degré m et on tien t tous les P i sauf P 2 m +2 . En appliquan t aux p oin ts P 1 , . . . , P 2 m +1 , le raisonnemen t que l'on vien t d'appliquer à P 2 m +2 , on onlut que es p oin ts son t en p osition m -générale. Il y a on tradition, les p oin ts P 1 , . . . , P 2 m +2 son t don oplanaires. Étap e 2d. Main tenan t que l'on sait que les P i son t oplanaires, mon trons qu'un (2 m + 2) -uplet de p oin ts de P 2 est m -lié seulemen t si es p oin ts son t sur une même onique. Nous allons traiter séparémen t les as m = 1 et m = 2 . Si m = 1 , quatre p oin ts du plan son t toujours 1 -liés et son t égalemen t toujours on ten us dans une même onique. Si m = 2 et que les six p oin ts ne son t pas tous sur une même onique, alors p our tout 1 ≤ i 0 ≤ 6 , il existe une onique 1 on tenan t tous les P i sauf P i 0 . Il y a on tradition a v e le fait que les P i son t 2 -liés. Ils son t don bien sur une même onique. Supp osons main tenan t que m ≥ 3 et P 1 , . . . , P 2 m +2 soit un (2 m + 2) -uplet de p oin ts m -liés dans P 2 tel que m + 2 d'en tre eux ne son t pas alignés. Supp osons que es p oin ts ne soien t pas tous sur une même onique. On note de nouv eau D l'ensem ble des droites de P 2 on tenan t au moins deux p oin ts distints parmi les P i . Soit L 1 une droite on tenan t un nom bre maximal de es p oin ts. On p eut supp oser, quitte a  hanger l'ordre des indies, que P 1 ∈ L 1 . Mon trons qu'il existe quatre p oin ts P i 1 , . . . , P i 4 parmi P 2 , . . . , P 2 m +1 tels qu'il existe une onique on tenan t P 1 , P i 1 , . . . , P i 4 et évitan t P 2 m +2 . Dans le as on traire, p our tout i ∈ { 2 , . . . , 2 m − 2 } une onique C i on tenan t P 1 , P i , P i +1 , P i +2 et P i +3 on tiendrait P 2 m +2 . Soit alors i ∈ { 2 , . . . , 2 m − 3 } , les oniques C i et C i +1 on t inq p oin ts d'in tersetion, d'après le théorème de Bezout, elles on t don une omp osan te irrédutible omm une Γ qui est de degré un ou deux. P ar réurrene, on mon tre que tous les P i appartiennen t à ette ourb e Γ e qui on tredit le fait que les P i ne son t pas tous sur une même onique. Ainsi, quitte à réorganiser les indies, on p eut supp oser qu'il existe une onique C on te- nan t les p oin ts P 1 , . . . , P 5 et évite P 2 m +2 . On rapp elle que P 1 est un on ten u dans une droite L 1 on tenan t un nom bre maximal de p oin ts parmi les P i . P ar un raisonnemen t iden tique à elui qui a été eetué dans l'étap e 2 c , on mon tre que les p oin ts P 6 , . . . , P 2 m +2 formen t un (2 m − 3 ) -uplet de p oin ts tel que m d'en tre eux ne son t pas alignés. D'après la propriété 1 appliquée à m − 2 et r = 2 m − 3 = 2( m − 2 ) + 1 , les p oin ts P 6 , . . . , P 2 m +2 son t en p osi- tion ( m − 2) -générale. Il existe don une ourb e C ′ de degré m − 2 qui on tien t les p oin ts P 6 , . . . , P 2 m +1 et qui évite P 2 m +2 . La ourb e C ∪ C ′ est de degré m et on tien t tous les P i sauf P 2 m +2 . On en déduit la m -généralité de es p oin ts, il y a on tradition. Les p oin ts P i son t don bien tous sur une même onique plane. 1 On rapp elle que par inq p oin ts de P 2 passe toujours au moins une onique. Il y a d'ailleurs uniité si et seulemen t si quatre d'en tre eux ne son t pas alignés, 'est-à-dire s'ils son t en p osition 2 -générale. Annexe F Programmes Magma F.1 Diviseurs ∆ -onvenables Dans ette setion, nous allons présen ter un programme magma qui p ermet de aluler une paire de diviseur ∆ on v enable sur une surfae lisse S m unie d'un 0 -yle ∆ . La paire ainsi onstruite v érie les propriétés suiv an tes :  elle satisfait le ritère de la prop osition I I.3.8 ;  le diviseur D a est eetif ;  les diviseurs D a et D b son t tous deux linéairemen t équiv alen ts à des setions de la surfae S a v e une h yp ersurfae de son espae am bian t. P our e faire on utilise essen tiellemen t la métho de présen tée dans la démonstration du lemme I I.4.7 . À sa v oir : les diviseurs D a et D + b son t onstruits par in terp olation des p oin ts du supp ort de ∆ . Le diviseur D − b est onstruit en in terp olan t les p oin ts où les deux autres diviseurs ne doiv en t pas se roiser ou se roisen t a v e une m ultipliité trop imp ortan te et en évitan t les p oin ts où es diviseurs se roisen t bien. Ce programme se déomp ose en trois grosses parties que son t le alul de D a , de D + b et de D − b . Le prinip e est à  haque fois le même, on onsidère un système linéaire de ourb es qui v érien t de b onnes propriétés et on  her he un andidat dans e dernier. Suiv an t sa dimension (et don son nom bre d'élémen ts dénis sur F q ), la re her he se fera de façon exhaustiv e ou aléatoire. Préliminaires. On a b esoin d'un ertain nom bre de sripts p our y parv enir. / / C e t t e f o n  t i o n e s t u n e v a r i a t i o n d e l a f o n  t i o n " I s R e d u  e d " / / d e M a g m a q u i a t e n d a n  e a r a m e r d a n s l e  a s o u l e s  h e m a / /  o n s i d e r e n ' e s t p a s u n e h y p e r s u r f a  e d e s o n e s p a  e ( a f f i n e / / o u p r o j e  t i f ) a m b i a n t . f u n  t i o n E s t R e d u i t ( V ) d : = D i m e n s i o n ( V ) ; A : = S i n g u l a r S u b s  h e m e ( V ) ; d d : = D i m e n s i o n ( A ) ; d e l e t e A ; i f d d e q d t h e n r e t u r n f a l s e ; e l s e r e t u r n t r u e ; e n d i f ; e n d f u n  t i o n ; 153 154 F. Programmes Magma / / C e p r o g r a m m e p e r m e t d ' e v a l u e r l ' e n t i e r n m i n i m a l p o u r l e q u e l / / l ' i n t e r p o l a t i o n d ' u n e f a m i l l e f i n i e d e p o i n t s p a r u n e / / h y p e r s u r f a  e d e d e g r e n e s t p o s s i b l e . f u n  t i o n MinDim ( V , P o i n t s ) / / L ' e n t i e r $ n $ v a d e s i g n e r u n d e g r e q u e l ' o n v a / / i n  r e m e n t e r a u d e b u t d e  h a q u e i t e r a t i o n . n : = 0 ; d : = − 1 ; P r o j : = A m b i e n t S p a  e ( V ) ; L i s t e : = [ P r o j ! p : p i n P o i n t s ℄ ; w h i l e d l t 0 d o n + : = 1 ; L : = L i n e a r S y s t e m ( P r o j , n ) ; L 1 : = L i n e a r S y s t e m ( L , L i s t e ) ; L 2 : = L i n e a r S y s t e m T r a  e ( L 1 , V ) ; d : = D i m e n s i o n ( L 2 ) ; e n d w h i l e ; r e t u r n [ ∗ n , d , L 2 , P r o j , L i s t e ∗ ℄ ; e n d f u n  t i o n ; / / C e t t e f o n  t i o n p e r m e t d e  a l  u l e r u n v e  t e u r t a n g e n t / / e n u n p o i n t d ' u n e  o u r b e . I l e s t e x p r i m e d a n s l e / / s y s t e m e d e  o o r d o n n e e s d e l a  a r t e a f f i n e / / A f f i n e P a t  h ( P r o j , P ) . f u n  t i o n T a n g e n t V e  t o r ( C , P ) a s s e r t P i n C ; a s s e r t D i m e n s i o n ( C ) e q 1 ; a s s e r t I s N o n S i n g u l a r ( C , P ) ; P r o j : = A m b i e n t S p a  e ( C ) ; C A f f : = A f f i n e P a t  h ( C , P ) ; A f f : = A m b i e n t S p a  e ( C A f f ) ; d : = D i m e n s i o n ( A f f ) ; Q : = A f f ! P ; T : = T a n g e n t S p a  e ( C A f f , Q ) ; T P: = R a t i o n a l P o i n t s ( T ) ; i f T P [ 1 ℄ e q Q t h e n R : = T P [ 2 ℄ ; e l s e R : = T P [ 1 ℄ ; e n d i f ; F.1. Diviseurs ∆ -onvenables 155 Q Q : = C o o r d i n a t e s ( Q ) ; R R : = C o o r d i n a t e s ( R ) ; r e t u r n [ R R [ i ℄ − Q Q [ i ℄ : i i n { 1 . . d } ℄ ; e n d f u n  t i o n ; / / C e t t e f o n  t i o n p e r m e t d e  a l  u l e r u n s y s t e m e l i n e a i r e / / a y a n t u n v e  t e u r t a n g e n t i m p o s e e n u n p o i n t b a s e r a t i o n n e l . / / A T T E N T I O N : L e v e  t e u r $ v $ e s t u n o b j e t " a f f i n e " . / / I l e s t d e f i n i d a n s l a  a r t e a f f i n e n a t u r e l l e / / C h o i s i e p o u r P d a n s " A f f i n e P a t  h ( P r o j , P ) " ; f u n  t i o n L i n e a r S y s t e m T a n g e n t ( P r o j , L , P , v ) / / O n  o m m e n  e p a r v e r i f i e r q u e l a l o n g u e u r d e $ v $ e s t l a b o n n e . d : = D i m e n s i o n ( P r o j ) ; F : = B a s e F i e l d ( P r o j ) ; a s s e r t # v e q d ; / / O n s e d o n n e u n e  a r t e a f f i n e n a t u r e l l e m e n t a d a p t e e a $ P $ . A f f : = A f f i n e P a t  h ( P r o j , P ) ; p : = A f f ! P ; h : = P r o j e  t i v e C l o s u r e M a p ( A f f ) ; L L : = L i n e a r S y s t e m ( L , P ) ; L L L : = P u l l b a  k ( h , L L ) ; S : = S e  t i o n s ( L L ) ; T : = S e  t i o n s ( L L L ) ; m : = #S ; a s s e r t # T e q m ; / / O n  o m m e n  e p a r t r a v a i l l e r l o  a l e m e n t , d o n  s u r l e s y s t e m e / / l i n e a i r e a f f i n e . P o u r  h a q u e s e  t i o n $ f $ d e n o t r e s y s t e m e / / l i n e a i r e a f f i n e o n e v a l u e $ \ l a n g l e g r a d _ p ( f ) , v \ r a n g l e $ . L i s t e : = [ & + [ E v a l u a t e ( D e r i v a t i v e ( f , j ) , p ) ∗ v [ j ℄ : j i n { 1 . . d } ℄ : f i n T ℄ ; M : = M a t r i x ( F , m, 1 , L i s t e ) ; B : = B a s i s ( N u l l S p a  e ( M ) ) ; d e l e t e L i s t e ; d e l e t e M ; L i s t e 2 : = [ & + [ B [ i ℄ [ j ℄ ∗ S [ j ℄ : j i n { 1 . . m } ℄ : i i n { 1 . . # B } ℄ ; L p v : = L i n e a r S y s t e m ( L L , L i s t e 2 ) ; r e t u r n L p v ; e n d f u n  t i o n ; 156 F. Programmes Magma Calul de Da . Ce programme fait app el à eux sous-programmes setionreduite et rand- setionreduite. Don t nous donnerons le o de soure plus loin. / / P o u r d e s r a i s o n s d e  o m m o d i t e , n o u s a l l o n s f a i r e / / e n s o r t e d e  h o i s i r $ D _ a $ r e d u i t . f u n  t i o n D a ( V , P o i n t s , M , T , r ) R : = MinDim ( V , P o i n t s ) ; n : = R [ 1 ℄ ; d : = R [ 2 ℄ ; L : = R [ 3 ℄ ; P r o j : = R [ 4 ℄ ; L i s t e : = R [ 5 ℄ ; P o l y : = R a n d o m ( L ) ; F : = B a s e F i e l d ( V ) ; q : = # F ; p r i n t f " L e d e g r e m i n i m a l d ' i n t e r p o l a t i o n p o u r D _ a e s t % o . " , R [ 1 ℄ ; w h i l e q ^ d l t M d o A : = S e  t i o n R e d u i t e ( V , L ) ; i f A n e 0 t h e n p r i n t f " L e r e s u l t a t o b t e n u p o u r D _ a a e t e t r o u v e d e m a n i e r e d e t e r m i n i s t e , a v e  u n e h y p e r s u r f a  e d e d e g r e % o . " , n ; r e t u r n A ; e n d i f ; / / E n  a s d ' e  h e  , o n a u g m e n t e l e d e g r e d ' i n t e r p o l a t i o n / / e t o n r e i n i t i a l i s e n o t r e s y s t \ ` e m e l i n e a i r e . n + : = 1 ; L : = L i n e a r S y s t e m ( P r o j , n ) ; L : = L i n e a r S y s t e m ( L , L i s t e ) ; L : = L i n e a r S y s t e m T r a  e ( L , V ) ; d : = D i m e n s i o n ( L ) ; e n d w h i l e ; p r i n t " P a s s a g e e n r e  h e r  h e a l e a t o i r e p o u r D _ a . " ; d e l e t e d ; f o r i : = 1 t o r d o p r i n t f "O n d e m a r r e l e s r e  h e r  h e s a v e  d e s h y p e r s u r f a  e s d e d e g r e % o p o u r D _ a . " , n ; A : = R a n d S e  t i o n R e d u i t e ( V , L , T ) ; i f A n e 0 t h e n p r i n t f "O n o b t i e n t u n e h y p e r s u r f a  e d e d e g r e % o f o u r n i s s a n t D _ a . " , n ; r e t u r n A ; e n d i f ; n + : = 1 ; F.1. Diviseurs ∆ -onvenables 157 L : = L i n e a r S y s t e m ( P r o j , n ) ; L : = L i n e a r S y s t e m ( L , L i s t e ) ; L : = L i n e a r S y s t e m T r a  e ( L , V ) ; e n d f o r ; r e t u r n " E  h e  " ; e n d f u n  t i o n ; / / C e t t e f o n  t i o n f a i t u n e r e  h e r  h e d e t e r m i n i s t e / / d ' u n e l e m e n t r e d u i t d ' u n s y s t e m e l i n e a i r e . f u n  t i o n S e  t i o n R e d u i t e ( V , L ) a s s e r t I s N o n S i n g u l a r ( V ) ; a s s e r t I s I r r e d u  i b l e ( V ) ; F : = B a s e F i e l d ( V ) ; d : = D i m e n s i o n ( L ) ; / / O n d o i t p a r a m e t r e r l e s y s t e m e l i n e a i r e p a r / / u n e s p a  e p r o j e  t i f d e m e m e d i m e n s i o n . / / L e p r o b l e m e e s t q u e M A G M A , n e  o m p r e n d / / l a n o t i o n d ' e s p a  e p r o j e  t i f d e d i m e n s i o n n u l l e . / / I l f a u t d o n   o m m e n  e r p a r t r a i t e r l e  a s o u / / l e s y s t e m e l i n e a i r e n ' a q u ' u n s e u l e l e m e n t . i f d e q 0 t h e n C o e f f t s : = [ [ 1 ℄ ℄ ; e l s e P d : = P r o j e  t i v e S p a  e ( F , d ) ; C o e f f t s : = R a t i o n a l P o i n t s ( P d ) ; e n d i f ; S e  : = S e  t i o n s ( L ) ; / / O n t e s t e t o u s l e s e l e m e n t s d u s y s t e m e l i n e a i r e j u s q u ' a / /  e q u e l ' o n e n t r o u v e u n r e d u i t . f o r i : = 1 t o # C o e f f t s d o P o l y : = & + [ C o e f f t s [ i ℄ [ j ℄ ∗ S e  [ j ℄ : j i n { 1 . . d + 1 } ℄ ; D : = S  h e m e ( V , P o l y ) ; i f E s t R e d u i t ( D ) t h e n r e t u r n P o l y ; e n d i f ; e n d f o r ; p r i n t " A u  u n e l e m e n t r e d u i t t r o u v e d e m a n i e r e d e t e r m i n i s t e " ; r e t u r n 0 ; e n d f u n  t i o n ; 158 F. Programmes Magma / / C e t t e f o n  t i o n e f f e  u t e u n e r e  h e r  h e a l e a t o i r e / / d ' u n e l e m e n t r e d u i t d ' u n s y s t e m e l i n e a i r e . f u n  t i o n R a n d S e  t i o n R e d u i t e ( V , L , m ) f o r i : = 1 t o m d o / / I l f a u t e v i t e r l e d i v i s e u r n u l d a n s n o t r e s y s t e m e l i n e a i r e . / / V o i l a  o m m e n t n o u s a l l o n s p r o  e d e r . P o l y : = R a n d o m ( L ) ; w h i l e P o l y e q 0 d o P o l y : = R a n d o m ( L ) ; e n d w h i l e ; D : = S  h e m e ( V , P o l y ) ; i f E s t R e d u i t ( D ) t h e n r e t u r n P o l y ; e n d i f ; e n d f o r ; p r i n t " A u  u n e l e m e n t r e d u i t t r o u v e d e m a n i e r e a l e a t o i r e " ; r e t u r n 0 ; e n d f u n  t i o n ; Calul de D b . Nous donnons les deux programmes p ermettan t de aluler resp etiv emen t D + b et D − b . T out omme le programme prééden t, es programmes app ellen t  haun deux sous-programmes eetuan t des re her hes exhaustiv es ou aléatoires. Ces sous-programmes ressem blan t fortemen t aux programmes setionreduite et randsetionreduite, nous n'a v ons pas jugé néessaire de les a jouter dans ette annexe. De même, nous ne présen terons pas les programmes dans leur in tégralité. Car ertaines parties son t un opié/ollé d'un des programme déjà présen té / / C e t t e f o n  t i o n p e r m e t d e  a l  u l e r l a p a r t i e / / e f f e  t i v e d ' u n d i v i s e u r $ D _ b $ l o r s q u e / / l ' o n a  a l  u l e $ D _ a $ . / / P o u r d e s r a i s o n s d e s i m p l i  i t e , n o u s a l l o n s i m p o s e r / / a $ D _ b ^ + $ d ' e v i t e r l e l i e u s i n g u l i e r d e $ D _ a $ h o r s / / d u s u p p o r t d e $ \ D e l t a $ . f u n  t i o n D b p l u s ( V , P o i n t s , M , T , r , H a ) / / O n d o i t s e d o n n e r u n d e g r e m i n i m a l d ' i n t e r p o l a t i o n / / O n s e d o n n e  e l u i d e $H_a$ q u i e s t t o u t i n d i q u e . P r o j : = A m b i e n t S p a  e ( V ) ; D A : = S  h e m e ( P r o j , H a ) ; D a : = S  h e m e ( V , H a ) ; F : = B a s e F i e l d ( V ) ; q : = # F ; L i s t e : = [ P r o j ! p : p i n P o i n t s ℄ ; F.1. Diviseurs ∆ -onvenables 159 / / I l f a u t e n s u i t e  o n s t r u i r e l e s  h e m a a e v i t e r . / / C ' e s t − a − d i r e t o u s l e s p o i n t s g e o m e t r i q u e s s i n g u l i e r s / / d e $ D _ a $ q u i s o n t h o r s d u s u p p o r t d e $ \ D e l t a $ . / / C ' e s t p o u r  e l a q u e n o u s a l l o n s  o n s t r u i r e l e s  h e m a / / " e v i t e " . / / P a r a i l l e u r s i l f a u t m e m o r i s e r l e s p o i n t s d u s u p p o r t / / d e $ \ D e l t a $ q u i s o n t s i n g u l i e r s p o u r $ D _ a $ / /  a r e n  e s d e r n i e r s , $ D _ b ^ + $ d e v r a e t r e l i s s e ! / / C ' e s t p o u r q u o i n o u s a l l o n s  o n s t r u i r e l a l i s t e D a S i n g , / / p u i s l e s  h e m a " e v i t e 2 " . U A : = S i n g u l a r S u b s  h e m e ( D a ) ; a s s e r t D i m e n s i o n (U A ) e q 0 ; e v i t e : = U A ; M u l t i A : = [ ℄ ; D a S i n g : = {   } ; N : = # P o i n t s ; f o r i : = 1 t o N d o m i : = M u l t i ( U A , L i s t e [ i ℄ ) ; A p p e n d ( ~ M u l t i A , m i ) ; / / I l f a u t e n l e v e r l e s p o i n t s d u s u p p o r t d e $ \ D e l t a $ / / q u e l ' o n n e d o i t b i e n s u r p a s e v i t e r . i f m i g t 0 t h e n D a S i n g j o i n : = {  L i s t e [ i ℄  } ; e v i t e : = D i f f I t e r ( e v i t e , L i s t e [ i ℄ , m i ) ; e n d i f ; e n d f o r ; / / I l y a d e u x f a  o n s d e p r o g r a m m e r l e s  h e m a v i d e . / / C ' e s t l e s  h e m a d ' e q u a t i o n 1 e t  e l u i d ' e q u a t i o n s x , y , z , t . / / L e s e  o n d s e  o m p o r t e m i e u x a v e  l a f o n  t i o n m e e t d o n  : i f I s E m p t y ( e v i t e ) t h e n e v i t e : = E m p t y S u b s  h e m e ( P r o j ) ; e n d i f ; i f I s E m p t y ( D a S i n g ) t h e n e v i t e 2 : = E m p t y S u b s  h e m e ( P r o j ) ; e l s e e v i t e 2 : = C l u s t e r ( D a S i n g ) ; e n d i f ; / / O n  o n s t r u i t e n s u i t e n o t r e s y s t e m e l i n e a i r e . d : = − 1 ; / / O n i n i t i a l i s e $ n $ a d e g r e d e $H_a$ m o i n s 160 F. Programmes Magma / / u n  a r i l s e r a i n  r e m e n t e d e s l e d e b u t d e l a b o u  l e . d e g : = T o t a l D e g r e e ( H a ) ; n : = d e g − 1 ; w h i l e d e q − 1 d o n + : = 1 ; L : = L i n e a r S y s t e m ( P r o j , n ) ; L : = L i n e a r S y s t e m ( L , L i s t e ) ; L : = C o m p l e m e n t ( L , D A ) ; L : = L i n e a r S y s t e m T r a  e ( L , V ) ; / / A f i n d e g a g n e r d u t e m p s , / / o n v e r i f i e q u e l e s  h e m a a e v i t e r n e r e n  o n t r e / / p a s l ' e n s e m b l e d e s p o i n t s b a s e s d e $ L $ . / / O n d o i t a u s s i v e r i f i e r q u e l a s p o i n t s d e e v i t e 2 / / n e s o n t p a s g e n e r i q u e m e n t d e m u l t i p l i  i t e / / s u p e r i e u r e o u e g a l e a $ 2 $ d a n s $ L $ . R : = B a s e S  h e m e ( L ) ; i f I s E m p t y ( D a S i n g ) t h e n z : = 0 ; e l s e z : = & + [ M u l t i p l i  i t y ( L , P ) − 1 : P i n D a S i n g ℄ ; e n d i f ; i f z e q 0 a n d I s E m p t y ( e v i t e m e e t R ) t h e n d : = D i m e n s i o n ( L ) ; e l s e d : = − 1 ; e n d i f ; e n d w h i l e ; d e l e t e U A ; d e l e t e R ; p r i n t f " L e d e g r e m i n i m a l d ' i n t e r p o l a t i o n p o u r D _ b ^ + e s t % o . " , n ; / / E n s u i t e , o n f a i t  o m m e d ' h a b i t u d e . . . / / C e t t e f o n  t i o n f o u r n i t $ D _ b ^ − $ . f u n  t i o n D b m o i n s ( V , P o i n t s , M , T , r , H a , H b ) P r o j : = A m b i e n t S p a  e ( V ) ; D A : = S  h e m e ( P r o j , H a ) ; D a : = S  h e m e ( V , H a ) ; D B : = S  h e m e ( P r o j , H b ) ; D b : = S  h e m e ( V , H b ) ; F : = B a s e F i e l d ( V ) ; q : = # F ; L i s t e : = [ P r o j ! p : p i n P o i n t s ℄ ; N : = # L i s t e ; F.1. Diviseurs ∆ -onvenables 161 / / I l f a u t  o n s t r u i r e l e s  h e m a d e s p o i n t s / / b a s e s . / / N o u s a l l o n s p a r a i l l e u r s l i s t e r t r o i s t y p e s d e / / P o i n t s : / / 1 ) l e s p o i n t s q u e $ D _ b ^ − $ d o i t e v i t e r ; / / 2 ) l e s p o i n t s q u e $ D _ b ^ − $ d o i t i n t e r p o l e r / / a v e  u n e m u l t i p l i  i t e f i x e e ; / / 3 )  e u x q u e $ D _ a ^ − $ d o i t i n t e r p o l e r / / a v e  u n v e  t e u r t a n g e n t f i x e . U : = D a m e e t D b ; S  h e m a B a s e : = U ; B a s e : = [ ℄ ; N o n B a s e : = [ ℄ ; B a s e S p e : = [ ℄ ; m u l t : = [ ℄ ; / / L e s e l e m e n t s d e B a s e s o n t l a d o n n e e d ' u n p o i n t e t d e l a / / m u l t i p l i  i t e d e $ U $ e n  e p o i n t . L e s e l e m e n t s d e b a s e S p e s o n t l a / / d o n n e e d ' u n p o i n t e t d ' u n v e  t e u r t a n g e n t e n  e p o i n t . f o r j : = 1 t o N d o p : = L i s t e [ j ℄ ; m j : = M u l t i ( U , p ) ; A p p e n d ( ~ m u l t , m j − 1 ) ; i f m j e q 0 t h e n p r i n t f " E R R E U R : D _ a e t D _ b ^ + n e s e  r o i s e n t p a s e n % o . " , p ; e l i f m j e q 1 t h e n S  h e m a B a s e : = D i f f e r e n  e ( S  h e m a B a s e , C l u s t e r ( p ) ) ; A p p e n d ( ~ N o n B a s e , p ) ; e l i f m j e q 3 t h e n S  h e m a B a s e : = D i f f I t e r ( S  h e m a B a s e , p , 2 ) ; i f I s N o n S i n g u l a r ( D a , p ) t h e n A p p e n d ( ~ B a s e S p e , [ ∗ p , T a n g e n t V e  t o r ( D a , p ) ∗ ℄ ) ; e l s e A p p e n d ( ~ B a s e S p e , [ ∗ p , T a n g e n t V e  t o r ( D b , p ) ∗ ℄ ) ; e n d i f ; e l s e S  h e m a B a s e : = D i f f I t e r ( S  h e m a B a s e , p , m j − 1 ) ; A p p e n d ( ~ B a s e , [ ∗ p , m j ∗ ℄ ) ; e n d i f ; e n d f o r ; p r i n t " D _ b ^ − , p r e m i e r e s e r i e d e  a l  u l s e f f e  u t e e . " ; d e l e t e U ; / / I l f a u t  a l  u l e r l e d e g r e m i n i m a l d u s y s t e m e l i n e a i r e . 162 F. Programmes Magma n : = 0 ; d : = − 1 ; w h i l e d e q − 1 d o n + : = 1 ; L : = L i n e a r S y s t e m ( P r o j , n ) ; L : = L i n e a r S y s t e m ( L , S  h e m a B a s e ) ; f o r a i n B a s e S p e d o L : = L i n e a r S y s t e m T a n g e n t ( P r o j , L , a [ 1 ℄ , a [ 2 ℄ ) ; e n d f o r ; i f I s E m p t y ( N o n B a s e ) t h e n z : = 0 ; e l s e z : = & + [ M u l t i p l i  i t y ( L , p ) : p i n N o n B a s e ℄ ; e n d i f ; i f I s E m p t y ( B a s e ) t h e n z : = z ; e l s e z : = z + & + [ M u l t i p l i  i t y ( L , a [ 1 ℄ ) − a [ 2 ℄ + 1 : a i n B a s e ℄ ; e n d i f ; t : = 0 ; f o r a i n B a s e S p e d o i f M u l t i p l i  i t y ( L , a [ 1 ℄ ) g t 2 t h e n t + : = 1 ; e n d i f ; e n d f o r ; i f t e q 0 a n d z e q 0 t h e n d : = D i m e n s i o n ( L ) ; e l s e d : = − 1 ; e n d i f ; e n d w h i l e ; p r i n t f " L e d e g r e m i n i m a l d ' i n t e r p o l a t i o n p o u r D _ b ^ − e s t % o . " , n ; / / E n s u i t e  ' e s t  o m m e d ' h a b i t u d e . . . F.2 Caluls de matries de pa rité de o des LDPC / / C e t t e f o n  t i o n p e r m e t d e r e p e r t o r i e r s e p a r e m e n t / / t o u t e s l e s d r o i t e s r a t i o n n e l l e s d e P 3 q u i s o n t  o n t e n u e s / / d a n s u n e  u b i q u e d o n n e e e t t o u t e s  e l l e s q u i l ' i n t e r s e  t e n t / / e n e x a  t e m e n t t r o i s p o i n t s d i s t i n  t s . E l l e  o m p t e e g a l e m e n t / / l e n o m b r e d e d r o i t e s d e l a s e  o n d e  a t e g o r i e q u i e s t i s s u e / / d e  h a q u e p o i n t . f u n  t i o n P i  k I n  ( F , Form ) S u r f : = S  h e m e ( P3 , Form ) ; A f f S u r f : = A f f i n e P a t  h ( S u r f , 1 ) ; P o i n t s : = R a t i o n a l P o i n t s ( A f f S u r f , F ) ; A 1 < t > : = A f f i n e S p a  e ( F , 1 ) ; F.2. Caluls de matries de pa rité de o des LDPC 163 L P : = [ {  P a r e n t ( A f f S u r f ) |  } : i i n { 1 . . # P o i n t s } ℄ ; L D 3 : = {  P a r e n t ( A f f S u r f ) |  } ; L D i n  : = {  P a r e n t ( A f f S u r f ) |  } ; P o i n t s B i s : = I n d e x e d S e t T o S e t ( P o i n t s ) ; f o r p i n P o i n t s d o L 1 : = C o o r d i n a t e s ( p ) ; E x  l u d e ( ~ P o i n t s B i s , p ) ; f o r q i n P o i n t s B i s d o L 2 : = C o o r d i n a t e s ( q ) ; / / O n  o n s t r u i t n o t r e d r o i t e . h : = m a p < A 1 − > A 3 | [ t ∗ L 1 [ k ℄ + ( 1 − t ) ∗ L 2 [ k ℄ : k i n { 1 . . 3 } ℄ > ; D : = I m a g e ( h ) ; S e  : = A f f S u r f m e e t D ; P t S e  : = R a t i o n a l P o i n t s ( S e  , F ) ; i f D e q S e  t h e n I n  l u d e ( ~ L D i n  , D ) ; e l i f # P t S e  e q 3 t h e n I n  l u d e ( ~ L D 3 , D ) ; I n  l u d e ( ~ L P [ I n d e x ( P o i n t s , p ) ℄ , D ) ; I n  l u d e ( ~ L P [ I n d e x ( P o i n t s , q ) ℄ , D ) ; e n d i f ; e n d f o r ; e n d f o r ; L P  a r d : = [ #L P [ i ℄ : i i n { 1 . . # L P } ℄ ; r e t u r n [ ∗ L P  a r d , L P , L D 3 , L D i n  ∗ ℄ ; e n d f u n  t i o n ; Nous allons ensuite présen ter la fontion qui p ermet de aluler une matrie de parité reuse. Cette dernière fait app el à une fontion don t nous ne donnerons pas le o de soure et qui à une droite ane asso ie un v eteur direteur. / / C e t t e f o n  t i o n  a l  u l e u n e m a t r i  e d e p a r i t e  r e u s e . f u n  t i o n G e n M a t D i f f ( Form ) / / O n p r e n d n o t r e l i s t e d e d r o i t e s i n t e r e s s a n t e s . L : = P i  k I n  ( F , Form ) [ 3 ℄ ; S u r f : = S  h e m e ( P3 , Form ) ; A f f S u r f : = A f f i n e P a t  h ( S u r f , 1 ) ; P o i n t s : = R a t i o n a l P o i n t s ( A f f S u r f , F ) ; k : = # L ; n: = # P o i n t s ; / / I l f a u t q u ' o n s a  h e p a r q u e l s p o i n t s p a s s e  h a q u e d r o i t e : I n  i d e n  e C t B : = [ ℄ ; f o r i : = 1 t o k d o S : = [ ℄ ; 164 F. Programmes Magma f o r j : = 1 t o n d o i f P o i n t s [ j ℄ i n S  h e m e ( A 3 , E q u a t i o n s ( L [ i ℄ ) ) t h e n A p p e n d ( ~ S , j ) ; e n d i f ; e n d f o r ; A p p e n d ( ~ I n  i d e n  e C t B , S ) ; e n d f o r ; U U : = [ E q u a t i o n s ( L [ i ℄ ) : i i n { 1 . . # L } ℄ ; U : = [ ℄ ; / / O n  a l  u l e u n v e  t e u r d i r e  t e u r p o u r  h a q u e d r o i t e . f o r j : = 1 t o # U U d o A p p e n d ( ~ U , D i r V e  (U U [ j ℄ ) ) ; e n d f o r ; d e l e t e U U ; / / O n  a l  u l e q u e l q u e s d e r i v e e s p a r t i e l l e s . . . A f f F o r m : = U n H o m ( Form ) ; f x : = D e r i v a t i v e ( A f f F o r m , 1 , x ) ; f y : = D e r i v a t i v e ( A f f F o r m , 1 , y ) ; f z : = D e r i v a t i v e ( A f f F o r m , 1 , z ) ; / / E t o n v a  o n s t r u i r e n o t r e m a t r i  e . M M : = [ ℄ ; f o r j : = 1 t o k d o Z Z : = [ F | 0 : o i n { 1 . . n } ℄ ; a : = I n  i d e n  e C t B [ j ℄ ; f o r i : = 1 t o 3 d o p : = C o o r d i n a t e s ( P o i n t s [ a ℄ [ i ℄ ) ; d : = 1 / ( E v a l u a t e ( f x , p ) ∗ U [ j ℄ [ 1 ℄ + E v a l u a t e ( f y , p ) ∗ U [ j ℄ [ 2 ℄ + E v a l u a t e ( f z , p ) ∗ U [ j ℄ [ 3 ℄ ) ; Z Z [ a [ i ℄ ℄ : = d ; e n d f o r ; A p p e n d ( ~ M M , Z Z ) ; e n d f o r ; M a t m a t : = M a t r i x ( F , k , n , M M ) ; r e t u r n M a t m a t ; e n d f u n  t i o n ; Bibliographie [Aub92℄ Y v es Aubry . Reed-Muller o des asso iated to pro jetiv e algebrai v arieties. In Co ding the ory and algebr ai ge ometry (Luminy, 1991) , v olume 1518 of L e tur e Notes in Math. , pages 417. Springer, Berlin, 1992. [BHPV℄ W olf P . Barth, Klaus Hulek, Chris A. M. P eters, and An tonius V an de V en. Comp at  omplex surfa es , v olume 4 of Er gebnisse der Mathematik und ihr er Gr enzgebiete. 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