Une Structure Uniforme sur un Espace F(E,F)

UNE STR UCTURE UNIF ORME SUR UN ESP A CE F ( E , F ) Cahiers de T op ologie et G ´ eom ´ etrie diff ´ eren tielle V ol XI, 2, (1969) p207-214 Nicolas BOULEA U Soien t E un e space top ologique, et F un es pace uniforme. L’ob jet de cette ´ etude est d’in tro duire une topo logie sur F ( E , F ), ensem ble des applications de E dans F , telle que toute limite d’une suite de fonctions contin ues soit con tinue et que, si une suite de fonctions contin ues con v erge en chaque p oint v ers une fonction con tin ue, elle con v erge v ers cette fonction p our cette top ologie. Plus pr ´ ecis ´ emen t, nous d ´ efinirons sur F ( E , F ) une structure uniforme po ss ´ edan t les propri ´ et ´ es suiv an tes : 1) C ( E , F ) est ferm ´ e dans F ( E , F ) m uni de cette structure uniforme. 2) La restriction de ce tte structure uniforme ` a C ( E , F ) est ´ equiv alen te ` a la structure uniforme de la con v ergence simple. Nous ´ etudions ensuite plusieurs applications de cette top ologie. 1 Structur e uniforme d e l a V -conv ergence Soit E un espace top ologique et soit F un espace uniforme. Soit W un entourage de F , A une partie finie de E et soit U W,A l’ensem ble des couples ( f , g ) ∈ F ( E , F ) × F ( E , F ) tels qu’il existe des voisinages V a 1 , . . . , V a n des p oin ts de A tels que l’on ait : ∀ x ∈ ∪ n i =1 V a i ( f ( x ) , g ( x )) ∈ W. Prop osition 1 L orsque W d´ ecrit un syst ` eme fondamental d’entour a ges de F et lorsque A d´ ecrit l’ense mble des p arties finies de E , les U W,A d´ ec rivent un syst` eme fond a mental d’entour ages d’une s tructur e uniforme sur F ( E , F ) , app el´ ee structur e uniforme d e la V -c on v er genc e. DEMONSTRA TION. il suffit de v ´ erifier que les axiomes des syst ` emes fondamen taux d’en tourages son t v´ erifi ´ es (cf. [1] Chap. 2 Structures Uniformes). Or : W 3 ⊂ W 1 ∩ W 2 ⇒ U W 3 ,A 1 ∪ A 2 ⊂ U W 1 ,A 1 ∩ U W 2 ,A 2 , W ′ ⊂ − 1 W ⇒ U W ′ ,A ⊂ − 1 U W,A 2 W 1 ⊂ W ⇒ 2 U W 1 ,A ⊂ U W,A , et, comme c haque U W,A con tien t la diagonale de F ( E , F ), la pro p osition est d ´ emontr ´ ee. F ( E , F ) m uni de cette structure sera not ´ e F V ( E , F ). 1 Prop osition 2 L a s tructur e unifo rme de la V -c onuer gen c e est plus fine que c el le de la c onver genc e sim ple et moins fine que c el le de la c onuer genc e uniforme lo c ale. Ces propri´ et´ es se v oien t imm ´ ediatemen t en comparan t les filtres d’entourages de ces diff ´ eren tes structures uniformes. Prop osition 3 L’en semble C ( E , F ) est ferm ´ e dans F ( E , F ) . L es structur es uniform es induites sur C ( E , F ) p ar les structur es uniform e s de la c onver genc e simple et de la V - c onver genc e so n t ´ equivalentes. DEMONSTRA TION. a) Soit g ∈ C ( E , F ) V adh ´ erence de C ( E , F ) dans F V ( E , F ), soit x 0 ∈ E , mon trons que g est con tin ue en x 0 : Soien t W et W ′ des en tourages de F tels que 3 W ′ ⊂ W . Il existe f ∈ C ( E , F ) telle que ( f .g ) ∈ U W ′ ,x 0 , c’est-` a-dir e qu’il existe un v oisinage V 1 x 0 de x 0 tel que : ∀ x ∈ V 1 x 0 , ( f ( x ) , g ( x )) ∈ W ′ . D’autre part f ´ etant contin ue, il existe un v oisinage V 2 x 0 de x 0 tel que : ∀ x ∈ V 2 x 0 , ( f ( x ) , f ( x 0 )) ∈ W ′ , donc ∀ x ∈ V 1 x 0 ∩ V 2 x 0 , ( g ( x ) , g ( x 0 )) ∈ 3 W ′ ⊂ W . donc g est con tin ue en x 0 . b) Il suffit de montrer que sur C ( E , F ) la structure uniforme de la V -con ve rgence est moins fine que celle de la conv ergence, simple : i.e. p our tout U W,A en tourage de C V ( E , F ) il existe un en tourage W de C s ( E , F ) tel que W ⊂ U W,A . Soit do nc U W,A = { ( f , g ) : ∃ V a 1 , . . . , V a n : ∀ x ∈ ∪ n i =1 V a i , ( f ( x ) , g ( x )) ∈ W } et soit W ′ un en toura g e de F tel que 3 W ′ ⊂ W . Consid ´ erons l’entourage de C s ( E , F ) d ´ efini par W W ′ ,A = { ( f , g ) : ∀ a i ∈ A, ( f ( a i ) , g ( a i )) ∈ W ′ } . Le fait que f et g soien t contin ues implique que W W ′ ,A ⊂ U W,A . REMAR QUES 1) Si la structure uniforme de F est d´ efinie par les serni-distances d i , i ∈ I , la structure uniforme de la V con v ergence p eut se d´ efinir par les semi-distances : δ i,A ( f , g ) = inf V k ∈V a k sup x ∈∪ k V k d i ( f ( x ) , g ( x )) o ` u V a k d ´ esigne l’ensem ble des v oisinages de a k dans E et A l’ensem ble fini { a 1 , . . . , a n } . 2) Si un filtre F con v erge dans F V ( E .F ) : f = lim F f i alors p our to ut x dans E et to ut entourage W de F , il existe un V ∈ V x (ensem ble des voisinages de x ) et une fonction f i ∈ F tels que f et f i soien t v oisins d’ordre W dans V . 2 Prop osition 4 So ient E un esp ac e top olo gique et F un esp ac e uniform e s´ ep ar´ e, soit H ⊂ C ( E .F ) p our que H soit r elativemen t c omp act p our la V - c onver genc e, il faut et il suffit que : 1) ∀ x H ( x ) soit r ela tivement c omp act dans F et 2) H s ⊂ C ( E .F ) , H s d´ es ignant la fermetur e de H p our la t op olo gie de la c onver genc e simple. DEMONSTRA TION. D’apr ` es la prop osition 3, ces conditions son t suffisante s. Mon trons qu’elles son t ncessaires : Supp osons donc H relativ emen t compact p our la V -con v ergence, ∀ x ∈ E l’appli- cation f 7→ f ( x ) de F V ( E .F ) dans F est con tinu e, puisque la V - conv ergence est plus fine que la conv ergence simple, donc H ( x ) est relativ emen t compact dans F . P our la m ˆ eme raison H V ⊂ H s et, puisque l’in jection canonique de F V ( E , F ) dans F s ( E , F ) est con tinue , H V est compact dans F s ( E , F ), donc ferm´ e. Comme H V con tien t H , n ´ ecessairemen t H V con tien t H s , donc H V = H s . D’apr` es la prop osition 3, on a donc : H s ⊂ C ( E , F ) . 2 Crit ` ere de V -conv ergence M ˆ eme si F est complet, F V ( E , F ) n’est pas n´ ecessairemen t complet ; toutefois il existe un crit` ere de conv ergence qui, comme celui de Cauc h y , ne fait pas inte rve nir la limite du filtre ´ etudi´ e : Prop osition 5 So it E un es p ac e top olo gique et so i t F un esp ac e unifo rm e c omplet d´ efi ni p a r les semi-d i s tanc es d i , i ∈ I . Une c ondition n´ ec essair e et suffisante p our qu’un filtr e F sur F V ( E , F ) soit c onve r gent est que : ∀ i ∈ I , ∀ ε > 0 , ∀ a ∈ E , ∃ A ∈ F : ∀ f ∈ A, ∃ V a : ∀ x ∈ V a , ∃ B ∈ F : ∀ g ∈ B d i ( f ( x ) , g ( x )) ≤ ε. DEMONSTRA TION Condition n´ ec essair e. Si F V -conv erge v ers ℓ , on a : ∀ i ∈ I , ∀ ε > 0 , ∀ a ∈ E , ∃ A ∈ F : ∀ f ∈ A, ∃ V a : ∀ x ∈ V a : d i ( f ( x ) , ℓ ( x )) ≤ ε 2 . Soit x fix´ e, le filtre F ( x ) con v erge v ers ℓ ( x ) dans F , donc ∃ B : ∀ g ∈ B , d i ( g ( x ) , ℓ ( x )) ≤ ε 2 , d’o ` u le r´ esultat. Condition suffisante. On remarque d’ab ord qu’elle implique que le filtre F ( x ) est un filtre de Cauc hy dans F , soit ℓ ( x ) sa limite, alors on voit qu’elle implique que le filtre 3 F V -conv erge v ers ℓ . REMAR QUE. Si F est seulemen t s ´ equen tiellemen t complet, o n a un crit ` ere a nalogue p our les suites. Par exemple, si Y est un espace v ectoriel norm´ e s´ equen tiellemen t com- plet, une suite { f n } conv erge da ns F V ( E , F ) si, et seulemen t si : ∀ ε > 0 , ∀ a ∈ X , ∃ N : ∀ n ≥ N , ∃ V n a : ∀ x ∈ V n a , ∃ P : ∀ p ≥ P : k f n ( x ) − f p ( x ) k ≤ ǫ. On d´ eduit de ce crit ` ere les applications suiv antes : Prop osition 6 So ient X un esp ac e top olo gique, Y un e sp ac e de Banach. S o i t { f n } une suite d’applic ations c ontinues de X dan s Y . On supp ose que la s´ erie P n k f n k c o nver ge en chaque p oint x v e rs une fonction Σ( x ) c ontinue. A lors la s´ eri e P n f n ( x ) c onver ge vers S ( x ) c ontinue. DEMONSTRA TION. Comme k P k = q k = p f k ( x ) k ≤ P k = q k = p k f k ( x ) k , le fait que la srie P k f n ( x ) k V -conv erge en tra ˆ ıne, d’apr ` es le crit ` ere ci-dessus, que la s ´ erie P n f n ( x ) V -conv erge. Prop osition 7 So it { f n } une suite d’a p plic ations c ontinues de X dans un esp ac e de Banach Y v´ eri fi ant k P n k =0 f k ( x ) k ≤ A ( x ) , A ( x ) ´ etant lo c alement b orn´ ee. S o ient { ε n ( x ) } c ontinues de X dans R tendant vers z´ er o p our n → ∞ , et tel les que la s´ erie P n | ε n ( x ) − ε n − 1 ( x ) | c onver ge uers une fon ction c ontinue. Alors la s´ erie P n f n ( x ) ε ( x ) c onver ge vers une fonction c ontinue de X dans Y . Cette pro p osition se d´ emontre comme on d ´ emon tre habituellemen t la r ` egle d’Ab el pour les s´ eries en utilisan t le crit ` ere ci-dessus au lieu du crit` ere de Cauc h y . 3 Sous-e n sem bles ferm ´ es p our la V -co n v e r g ence et propri ´ et ´ es uniformes s e mi-lo cales Soien t toujours E un espace top ologique et F un espace uniforme ; o n dira qu’une propri ´ et ´ e P ( P ⊂ F ( E , F )) est uniforme semi-lo cale si, et seulemen t si, p our tout f ∈ F ( E , F ) la condition : ∀ x ∈ E , ∀ W en tourage de F , ∃ g ∈ P et ∃ V ∈ V x a v ec f et g v oisines d’ordre W sur V implique f ∈ P . Prop osition 8 Pour que P ⊂ F ( E .F )) soit une pr opri´ et´ e uniforme semi-lo c ale , il faut et il suffit que P soit ferm´ e p our la V -c onver genc e. La condition ci-dessus est en effet ´ equiv alen te ` a la suiv ante : ∀ A ⊂ E , A fini , ∀ W entourage de F , ∃ g ∈ P et ∃ V n ∈ V a n a v ec f et g d’ordre W sur ∪ n V n 4 qui p eut elle-m ˆ eme s’ ´ enoncer : ∀W W,A en tourage de F V ( E , F ) , ∃ g ∈ P tel que f et g soien t d’ordre W W,A c’est-` a- dir e f ∈ P d’o ` u la prop osition. Dans la suite nous a llo ns rec hercher quelques propri ´ et ´ es uniformes semi-lo cales. Exemples : contin uit´ e, si F = R semi-con tin uit ´ e inf ´ erieure ou sup ´ erieure. De m ˆ eme on mon tre facilemen t le r ´ esultat suiv an t : Prop osition 9 So ient X un esp ac e top o l o gique et Y un esp ac e uniforme m´ etrisable, soit a n ∈ X av e c lim a n = a . Soit H { a n } l’ensemble des fonctions de X dans Y tel les que lim n f ( a n ) existe. Alors : a) H { a n } est fe rm´ e d a n s F V ( X .Y ) ; b) si une suite de fonctions f p ∈ H { a n } V -c on uer ge vers g on a : lim p (lim n f p ( a n )) = lim n g ( a n ) . En part iculier l’ensem ble des f onctions r´ egl ´ ees de R dans R est ferm ´ e p our la V - con v ergence. Prop osition 10 So it X un esp ac e top olo gique et soit Y un e.v.t. L e sous-esp ac e ve cto- riel F lb ( X , Y ) de F ( X , Y ) des fonc tion s lo c alement b orn´ ees est ferm´ e dans F V ( X , Y ) . L a structur e de la V -c onver genc e est c omp atible av e c l a s tructur e d’esp ac e ve ctoriel de c e s ous-esp ac e et est lo c alement c onvexe s i Y l’est. DEMONSTRA TION a) Etre lo calemen t b orn ´ e est une propri ´ et´ e uniforme semi-lo cale donc F lb ( X , Y ) est ferm ´ e. b) Soit W un v oisinage de 0 dans Y ; les ensem bles W W,A = { f : ∃ V n ∈ V a n : ∀ y ∈ ∪ n V n , f ( y ) ∈ W } formen t, lorsque W d ´ ecrit l’ensem ble des v oisinages ´ equilibr ´ es de 0 dans Y , un syst ` eme in v ariant par homoth´ etie et form´ e de voisinages ´ equilibr ´ es. Comme on v oit facilemen t que la V -con v ergence est compatible av ec la structure de gro up e additif de F lb ( X , Y ) et comme les f ∈ F lb ( X , Y ) son t lo calemen t b orn ´ ees et donc les W W,A ∩ F lb ( X , Y ) absorban ts, la structure de la V -conv ergence est compatible a v ec la structure d’espace v ectoriel de F lb ( X , Y ). La derni ` ere assertion r ´ esulte de ce que, si W est con v exe, W W,A l’est ´ egalemen t. Prop osition 11 So it X lo c alement c omp act et soit µ une mesur e de R adon p ositive sur X . L’e nsemble des fonctions µ -mesur ables et l’en s emble des fonctions lo c alement µ -int´ egr able son t ferm´ es p our la V - c onver genc e. 5 DEMONSTRA TION Cela revien t ` a mon trer que les propri´ et ´ es d’ ˆ etre µ - mesurable et d’ ˆ etre lo calemen t µ -in t´ egrable sont des propri´ et´ es uniformes semi-Io cales. Soit donc f ∈ F ( X , R ) telle que : ∀ x ∈ X , ∀ ε > 0 , ∃ V ∈ V x et ∃ f ε,V telle que | f − f ε,V | ≤ ε dans V , f ε,V ´ etan t µ − mesurable (resp. lo calemen t µ -in t´ egrable) . Soit K un compact de X . Il existe un nom bre fini de V soien t V 1 , . . . , V n recouvran t K . La fonction g ε d ´ efinie par g ε = f ε,V k sur V k \ ( ∪ k − 1 i =1 V i ) est µ -mesurable (resp. lo calemen t µ - in t ´ egrable) si on chois it les V k ouv erts, et l’on a | g ε − f | ≤ ε dans K . D onc f est µ -mesurable (resp. lo calemen t µ -in t´ egrable). Si Y est m´ etrisable, F V ( X , Y ) n’est pas n ´ ecessairemen t m ´ etrisable ; toutefois on a : Prop osition 12 So it X un esp ac e lo c a l e ment c om p act d´ enom b r able ` a l’infini et soit Y u n esp ac e uniforme m ´ e trisab l e . Soit A ⊂ F V ( X , Y ) ; si f 0 ∈ A , il existe un sous- ensemble d´ enomb r able A 1 de A tel que f 0 ∈ A 1 . DEMONSTRA TION Soit d une distance sur Y d ´ efinissan t la structure de Y . Soit K un compact de X ; on v oit en utilisan t la compacit´ e de l’espace K m que, p our tout couple d’en tiers m, n , il existe une partie finie A m,n de A telle que, p our tout ensem ble de m p oints t k de K , il existe f ∈ A m,n et des voisinages V k ∈ V t k tels que d ( f 0 , f ) ≤ 1 n sur ∪ m k =1 V k . D ’o ` u o n d ´ eduit la propri ´ et ´ e, puisque X est r ´ eunion d ´ enom brable de compacts. Prop osition 13 So ient X , Y d e ux e sp ac es m´ etrisables, X ´ etant lo c alemen t c omp a ct d´ en ombr able ` a l’in fini. Alors a) l’ensemble des fonctions b or´ elienn es est ferm´ e dans F V ( X , Y ) . b) Pour tout or din a l d´ e n ombr able α , l’ensemb le des fonc tions b or´ eli e n nes de classe α e s t ferm´ e dans F V ( X , Y ) . DEMONSTRA TION Cette prop osition se d ´ emon tre exactemen t comme la prop osition 11 : Av ec les m ˆ emes notations g ε est b o r ´ elienne (resp. b or ´ elienne de classe α ) d` es que les f ε,V k son t b or´ eliennes (resp. b o r ´ eliennes de classe α ) et les V k ferm ´ es. Comme g ε appro ch e f uniform ´ emen t sur K , on en d ´ eduit que la restriction de f ` a K est b or´ elienne (resp. b or´ elienne de classe α ). Il en r ´ esulte, puisque X est r´ eunion d ´ enom brable de compacts donc de f erm ´ es, que g est b or ´ elienne (resp. b o r´ elienne de classe α ). Les deux prop ositions suiv antes son t les expressions en termes de V -con ve rgence de propri ´ et ´ es de fonctions con tin ues. 6 Prop osition 14 So it H ⊂ F ( X , Y ) , X c omp act, Y m´ etrisable, H ´ etant form´ e d’appli- c ations c ontinues et tel que toute suite de p oints de H admette une valeur d’ad h´ e r enc e p our la V -c on ver genc e. Alors H V est c omp a ct. DEMONSTRA TION Cf. Bourbaki [2] Chap. IV, § 2, ex. 15. Th ´ eor` eme de Stone-W eierstrass . Soit X un esp ac e c o mp act et H ⊂ C ( X, R ) tel que : ( u ∈ H et v ∈ H ) ⇒ (sup( u, v ) ∈ H et inf ( u, v ) ∈ H ) . A lors H u = H V o` u H u d´ es ignant la ferm e tur e de H p our la c onver genc e uniforme . R ´ ef ´ erences [1] Bourbaki N. El´ ements de Math´ ematique,T op olo gie ´ en´ er al e , Hermann 196 7. [2] Bourbaki N. El´ ements de Math´ ematique, Esp ac es V e ctoriels T op o l o giques, Her- mann 1967. Nicolas BOULEA U 51 rue G´ erard 75013 P aris 7