On a criterion of properness of multimaps

arXiv:0911.1702v1 [math.FA] 9 Nov 2009 Îá î äíîì êðèòåðèè ñîáñòâåííîñòè ìíîãîçíà ÷íûõ îòîáðàæ åíèé Âîðîòíèê îâ Ä.À. 1 2 Èçâåñòíà òåñíàÿ ñâÿçü ìåæäó ñîáñòâåííîñòüþ è çàìêíóòîñòüþ î äíîçíà ÷íûõ îòîáðàæ åíèé. Íàïðèìåð [1℄, äëÿ îòîáðàæ åíèé áàíàõ îâûõ áåñê îíå÷íîìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé, îáëàäàþùèõ ñâîéñò- âîì ôðåäãîëüìîâîñòè, ýòè ïîíÿòèÿ ýêâèâàëåíòíû.  òî æ å âðåìÿ ñâîéñòâî ñîáñòâåííîñòè îòîáðà- æ åíèÿ ÿâëÿåòñ ÿ î äíèì èç öåíòðàëüíûõ ïðè ïîñòðîåíèè ðàçëè÷íûõ òåîðèé òîïîëîãè÷åñê îé ñòå- ïåíè.  ýòîé ðàáîòå ïðèâî äèòñ ÿ îáùèé êðèòåðèé ñîáñòâåííîñòè äëÿ ìíîãîçíà ÷íûõ îòîáðàæ åíèé, áëèçêèé ïî äóõó ê âûøåóïîìÿíóòîìó ñâîéñòâó ôðåäãîëüìîâûõ îòîáðàæ åíèé. Êðèòåðèé ïðèâå- äåí â ôîðìå äâóõ òåîðåì: ïð ÿìîé è îáðàòíîé. 1 Î ìó ëü òèîòîáðàæ åíèÿõ Î ñâîéñòâàõ ìó ëü òèîòîáðàæ åíèé ìî æíî ïî äðîáíî óçíàòü, íàïðèìåð, â [2℄. Ìû æ å çäåñü îòìåòèì ëèøü ýëåìåíò àðíûå âîïðîñû. Ïó ñòü X, Y - ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà. Ìíîãîçíà ÷íûì îòîáðàæ åíèåì F èç X â Y (îáîçíà ÷à- åòñ ÿ F : X ⊸Y ) íàçûâàåòñ ÿ ñîîòâåòñòâèå, ñîïîñò àâëÿþùåå ê àæäîé òî÷ê å x ∈X íåê îå íåïó ñòîå ïî äìíî æ åñòâî ïðîñòðàíñòâà Y , îáîçíà ÷àåìîå F(x). Ìíîãîçíà ÷íûå îòîáðàæ åíèÿ íàçûâàþò ò àê- æ å ìó ëü òèîòîáðàæ åíèÿìè. Äëÿ A ⊂X îáð àçî ì F(A) íàçûâàåòñ ÿ ìíî æ åñòâî {y ∈Y |∃x ∈A, F(x) ∋y} . Äëÿ B ⊂Y ïî ëíûì ïðîîáð àçî ì F −1 −(B) íàçûâàåòñ ÿ ìíî æ åñòâî {x ∈X|F(x) ∩B ̸= ∅} .  ÷àñòíîñòè, äëÿ y ∈Y : F −1 −(y) = {x ∈X|y ∈F(x)} . Åñëè äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî B ⊂Y ìíî æ åñòâî F −1 −(B) çàìêíóòî, òî F íàçûâàåòñ ÿ ïî ëóíåïðå- ðûâíûì ñâåðõó. Åñëè F ïîëóíåïðåðûâíî ñâåð õó è îáðàç F(x) âñ ÿê îé òî÷êè x ∈X ê îìïàêòåí, òî îáðàç F(A) âñ ÿê îãî ê îìïàêòíîãî A ⊂X ê îìïàêòåí [2℄. Åñëè äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî B ⊂Y ìíî æ åñòâî F −1 −(B) îòêðûòî, òî F íàçûâàåòñ ÿ ïî ëóíåïðå- ðûâíûì ñíèçó. Îòîáðàæ åíèå F íàçûâàåòñ ÿ çàìêíóòûì, åñëè äëÿ ëþáûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé xn → n→∞x0 èç X è yn → n→∞y0 èç Y , yn ∈F(xn) âûïîëíåíî y0 ∈F(x0). Âñ ÿê îå ïîëóíåïðåðûâíîå ñâåð õó ìó ëü òèîòîáðàæ åíèå, ó ê îòîðîãî îáðàç ê àæäîé òî÷êè çà- ìêíóò , ÿâëÿåòñ ÿ çàìêíóòûì [2℄. Áó äåì íàçûâàòü ìíîãîçíà ÷íîå îòîáðàæ åíèå F : X ⊸Y ñîáñòâåííûì, åñëè äëÿ ëþáîãî ê îìïàêòíîãî B ⊂Y ìíî æ åñòâî F −1 −(B) ê îìïàêòíî. Áó äåì íàçûâàòü îòîáðàæ åíèå F òîïî ëîãè÷åñêè çàìêíóòûì, åñëè äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî A ⊂X çàìêíóòûì áó äåò è F(A). Çàìå÷àíèå. Îäíîçíà ÷íûå òîïîëîãè÷åñêè çàìêíóòûå îòîáðàæ åíèÿ ÷àñòî íàçûâàþò ïðîñòî çàìêíóòûìè.  òåîðèè ìíîãîçíà ÷íûõ îòîáðàæ åíèé çàìêíóòûìè íàçûâàþò íåñê îëüê î äðóãèå îòîáðàæ åíèÿ (ñì. âûøå). Ñèìâîëàìè R, N, Z áó äåì îáîçíà ÷àòü ñîîòâåòñòâåííî ìíî æ åñòâà äåéñòâèòåëüíûõ, íàòóðàëü- íûõ, öåëûõ ÷èñåë. Ââåäåì åùå äâà òåðìèíà. Ìû áó äåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíî æ åñòâî A ⊂X ð àâíî ìåðíî òå ëåñíî, åñëè ïåðåñå÷åíèå A ñ ëþáûì îòêðûòûì øàðîì ëèáî ïó ñòî, ëèáî ñî äåð æèò äðóãîé îòêðûòûé øàð. 1 Ð àáîò à ïî ääåð æ àíà ãðàíòîì ÐÔÔÈ 01-01-00425 2 Curren t address: CMUC, Apartado 3008, 3001 - 454 Coim bra, P ortugal, mitv orot mat.u .pt 1 Ïîíÿòíî, ÷òî ëþáîå îòêðûòîå ìíî æ åñòâî ðàâíîìåðíî òåëåñíî. Ïîëóèíòåðâàëû è îòðåçêè â R ò àêæ å ðàâíîìåðíî òåëåñíû. Ìû áó äåì íàçûâàòü ìíîãîçíà ÷íîå îòîáðàæ åíèå F : X ⊸Y ïî÷òè ïî ëóíåïðåðûâíûì ñíèçó, åñëè äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî B ⊂Y ìíî æ åñòâî F −1 −(B) ðàâíîìåðíî òåëåñíî. Âñ ÿê îå ïîëóíåïðåðûâíîå ñíèçó ìó ëü òèîòîáðàæ åíèå, â ÷àñòíîñòè, î äíîçíà ÷íîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæ åíèå, ïî÷òè ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó . Âìåñòå ñ ê àæäûì F : X ⊸Y ìî æíî ðàññìîòðåòü ìíîãîçíà ÷íîå îòîáðàæ åíèå eF : F(X) ⊸X , ê îòîðîå îïðåäåëÿåòñ ÿ ò àê: eF(y) = F −1 −(y). Ëåãê î âèäåòü, ÷òî äëÿ B ⊂Y : eF(B T F(X)) = F −1 −(B). Îòìåòèì ò àêæ å, ÷òî eF −1 −(A) = F(A) äëÿ âñåõ A ⊂X . Äåéñòâèòåëüíî, y ∈eF −1 −(A) ⇔eF(y) ∩A ̸= ∅⇔ ⇔∃x ∈A, x ∈F −1 −(y) ⇔∃x ∈A, F(x) ∋y ⇔y ∈F(A). 2 Êðèòåðèé ñîáñòâåííîñòè Ò åïåðü ìû ñôîðìó ëèðó åì îñíîâíîé ðåçó ëü ò àò ðàáîòû. Ò åîðåìà 1. Ïóñòü X, Y  ìåòðè÷åñêèå ïðîñòð àíñòâà, F : X ⊸Y ïî÷òè ïî ëóíåïðåðûâíî ñíèçó. Ïóñòü X ïî ëíî. Ïóñòü äëÿ âñÿêîãî y ⊂Y ìíîæåñòâî F −1 −(y) çàìêíóòî, íî íå ñîäåðæèò íè îäíîãî îòêðûòîãî øàð à. Ò îãäà, åñ ëè F òîïî ëîãè÷åñêè çàìêíóòî, òî F ñîáñòâåííî. Äîê àçàòåëüñòâî. Ïó ñòü y0 ⊂Y  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷ê à. Ïîê àæ åì ñíà ÷àëà, ÷òî F −1 −(y0) îòíîñèòåëüíî ê îìïàêòíî. Ïðåäïîëî æèì, ÷òî ýòî íå ò àê. Ò îã äà ïî òåîðåìå Õà ó ñ äîðôà F −1 −(y0) íå èìååò ê îíå÷íîé 3δ - ñåòè, ã äå δ > 0 äîñò àòî÷íî ìàëî. Ïîýòîìó F −1 −(y0) ñî äåð æèò áåñê îíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü z1, z2, ... òî÷åê, ïîïàðíûå ðàññòî ÿíèÿ ìåæäó ê îòîðûìè íå ìåíüøå 3δ (åñëè áû ò àêèõ òî÷åê áûëî ëèøü ê îíå÷íîå ÷èñëî z1, ..., zm , òî îñò àëüíûå òî÷êè F −1 −(y0) îòñòî ÿëè áû îò ýòèõ ìåíüøå, ÷åì íà 3δ ; ò .å. z1, ..., zm áûëî áû 3δ -ñåòüþ). Âìåñòå ñ ê àæäîé zi(i ∈N) ðàññìîòðèì îòêðûòûé øàð eGi = B(zi, δ) ñ öåíòðîì â zi ðàäèó ñà δ . ßñíî, ÷òî åñëè äâå òî÷êè ëåæ àò â ðàçíûõ eGi è eGj , òî ðàññòî ÿíèå ìåæäó íèìè íå ìåíåå δ . Ð àññìîòðèì òåïåðü â Y îòêðûòûå øàðû Bn = B(y0, 1 n) (n ∈N). Ò .ê. F ïî÷òè ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó , òî F −1 −(Bn) ðàâíîìåðíî òåëåñíî. Ð àññìîòðèì ìíî æ åñòâî eeGn = eGn T F −1 −(Bn). Îíî íå ïó ñòî, ò .ê. ñî äåð æèò zn . Ò .ê. F −1 −(Bn) ðàâíîìåðíî òåëåñíî, òî íàéäåòñ ÿ ê àê îé-íèáó äü îòêðûòûé øàð, ñî äåð æ àù

…(Full text truncated)…

This content is AI-processed based on ArXiv data.