Sur lhomologie des groupes orthogonaux et symplectiques `a coefficients tordus

Sur l'homologie des group es orthogonaux et sympletiques à o eien ts tordus Aurélien DJAMENT ∗ et Christine VESP A † ‡ 25 o tobre 2018 Résumé On alule dans et artile l'homologie stable des group es orthogonaux et sympletiques sur un orps ni k à o eien ts tordus par un endofonteur usuel F des k -espaes v etoriels (puissane extérieure, symétrique, divisée...). P ar homologie stable, on en tend, p our tout en tier naturel i , les olimites des espaes v etoriels H i ( O n,n ( k ); F ( k 2 n )) et H i ( S p 2 n ( k ); F ( k 2 n ))  dans ette situation, la stabilisation (a v e une b orne expliite en fontion de i et F ) est un résultat lassique de Charney . T out d'ab ord, nous donnons un adre formel p our relier l'homologie stable de ertaines suites de group es à l'homologie de p etites atégories on v enables, à l'aide d'une suite sp etrale, qui dégénère dans de nom breux as fa v orables. Cela nous p ermet d'ailleurs de retrouv er des résultats de Betley sur l'homologie stable des group es linéaires et des group es symétriques, par des métho des puremen t algébriques (sans reours à la K -théorie stable). P our une appliation exploitable de e formalisme aux group es orthogonaux ou symple- tiques sur un orps ni, nous réin terprétons la deuxième page de notre suite sp etrale en termes de fonteurs de Ma k ey non additifs et utilisons leurs propriétés d'ayliité. Cela p ermet d'ob- tenir une simpliation sp etaulaire de la deuxième page de la suite sp etrale en emplo y an t de puissan ts résultats d'ann ulation onn us en homologie des fonteurs. Dans le as où les group es orthogonaux ou sympletiques son t pris sur un orps ni et les o eien ts à v aleurs dans les espaes v etoriels sur e même orps, nous p ouv ons mener le alul de ette deuxième page grâe à des résultats lassiques : ann ulation homologique à o ef- ien ts triviaux (Quillen, Fiedoro wiz-Priddy), et alul des group es de torsion en tre fonteurs usuels (F ranjou-F riedlander-Sori henk o-Suslin, Chaªupnik). Cei p ermet de nom breux aluls d'homologie stable à o eien ts. Abstrat W e ompute the stable homology of orthogonal and sympleti groups, o v er a nite eld k , when the o eien ts mo dule is t wisted b y a usual endofuntor F of k -v etor spaes (e.g. an exterior, a symmetri, or a divided p o w er)  that is, for ea h natural in teger i , w e ompute the olimit of the v etor spaes H i ( O n,n ( k ); F ( k 2 n )) and H i ( S p 2 n ( k ); F ( k 2 n )) . Stabilization in this situation is a lassial result of Charney . W e rst set a formal framew ork, within whi h the stable homology of some families of groups, relates through a sp etral sequene, to the homology of suitable small ategories. The sp etral sequene ollapses in man y ases. W e illustrate this purely algebrai metho d to retriev e results of Betley for the stable homology of the general linear groups and of the symmetri groups. W e then apply our approa h to orthogonal and sympleti groups o v er a nite eld. T o this end, w e rein terpret the seond page of our sp etral sequene with Ma k ey funtors and use their ayliit y prop erties. It allo ws us to simplify the seond page of the sp etral sequene, b y using p o w erful anellation results for funtor homology . F or the orthogonal as for the sympleti groups o v er a nite eld, and for o eien ts mo dules o v er the same eld, w e ompute the seond page of the sp etral sequene. Classial results pro v e useful at this p oin t : homologial anellation with trivial o eien ts (Quillen, Fiedoro wiz-Priddy), and alulation of the torsion groups b et w een usual funtors (F ranjou- F riedlander-Sori henk o-Suslin, Chaªupnik). This pro vides extensiv e omputations of stable homology with o eien ts. ∗ CNRS, lab oratoire de mathématiques Jean Lera y (Nan tes) ; djamen tmath.univ-nan tes.fr. † Institut de Re her he Mathématique A v anée, univ ersité de Strasb ourg ; v espamath.u-strasbg.fr. ‡ Les auteurs on t été partiellemen t souten us par les on trats INT AS 06-1000017-8609 et ANR BLAN08-2-338236 (HGR T : nouve aux liens entr e la thé orie de l'homotopie et la thé orie des gr oup es et des r epr ésentations ). 1 Mots-lés : homologie stable, group es orthogonaux, group es sympletiques, homologie des fonteurs, fon- teurs de Ma k ey non additifs. Keywor ds : stable homology , orthogonal groups, sympleti groups, funtor homology , non-additiv e Ma k ey funtors. Classi ation math. : 20J06, 20J05, 20G10, 18G40. In tro dution Cet artile a p our ob jet l'homologie stable à o eien ts tordus de familles de group es lassiques, 'est-à-dire la olimite de leur homologie ; elle-i, dans de nom breux as, est attein te en temps ni p our  haque degré. Alors que ette homologie stable p ossède un omp ortemen t plus régulier que l'homologie instable, elle s'a v ère généralemen t inaessible au alul diret. Depuis les tra v aux de Betley ([Bet99 ℄) et Suslin ([FFSS99℄), on disp ose ep endan t d'une in terprétation de l'homologie stable des group es linéaires en terme d'homologie des fonteurs, qui p ermet de mener à bien de nom breux aluls. Néanmoins auun analogue n'était jusqu'alors onn u dans les as des group es orthogonaux et sympletiques. Le présen t tra v ail établit un isomorphisme naturel en tre l'homologie stable des group es orthogo- naux (ou sympletiques) sur un orps ni, à o eien ts tordus par un fonteur p olynomial, et des group es de torsion en tre endofonteurs des espaes v etoriels. Il est remarquable que et isomor- phisme ne fasse pas in terv enir de atégorie d'espaes quadratiques (ou sympletiques), et qu'il ne s'exprime que par la atégorie déjà bien étudiée des endofonteurs en tre espaes v etoriels. Cela rend alulables les group es d'homologie stable des group es orthogonaux p our les fonteurs p olynomiaux usuels : puissanes symétriques, extérieures, tensorielles, et. L'homologie stable à o eien ts onstan ts des group es orthogonaux sur un orps ni k a été alulée dans les années 1970 par Fiedoro wiz et Priddy [FP78℄, en généralisan t les métho des initiées par Quillen [Qui72 ℄ p our les group es linéaires. L'homologie stable à o eien ts dans un orps de même aratéristique que k est triviale p our les group es orthogonaux (si la aratéristique de k est impaire), sympletiques ou linéaires sur k . De plus, on disp ose de résultats de stabilité homologique p our les familles de group es lassiques sur les orps nis, à o eien ts onstan ts ou tordus par un fonteur p olynomial  le as des group es orthogonaux étan t dû à Charney [Cha87 ℄. P our autan t, la détermination de ette v aleur stable sem blait jusqu'à présen t inab ordable, y ompris p our des o eien ts tordus par un fonteur p olynomial non onstan t élémen taire. L'ann ulation de l'homologie stable du group e linéaire sur un anneau, à o eien ts tordus par un fonteur p olynomial sans terme onstan t, a été obten ue par Betley [ Bet92 ℄ par des métho des omplètemen t diéren tes de elles utilisées p our les o eien ts onstan ts. En 1999 , Betley [ Bet99 ℄ et Suslin [FFSS99, app endie℄ on t démon tré indép endammen t une généralisation du résultat pré- éden t, p our des o eien ts tordus par un bi fonteur, p olynomial en  haque v ariable. L'homologie stable n'est alors plus généralemen t n ulle, mais naturellemen t isomorphe à l'homologie de Ho  h- s hild de la atégorie des k -espaes v etoriels de dimension nie, à o eien ts dans le bifonteur. Ces group es d'homologie son t aessibles p our les fonteurs usuels, omme l'a notammen t mon tré l'artile [FFSS99 ℄. La démonstration de Betley rep ose sur un analogue, en termes de group es algé- briques , du lien en tre l'homologie des group es linéaires et l'homologie de Ho  hs hild des bifonteurs p olynomiaux, résultat établi un p eu plus tt par F riedlander et Suslin [ FS97 ℄. Suslin s'appuie en- tièremen t, p our sa part, sur des onsidérations in ternes aux fonteurs en tre espaes v etoriels. Sa démar he a été étendue p eu après à l'homologie stable des group es linéaires sur un anneau arbi- traire par Sori henk o [So00 ℄, qui a obten u un isomorphisme en tre K -théorie stable et homologie de Ho  hs hild d'un bifonteur p olynomial. Ces résultats onstituen t une illustration de la ri hesse du p oin t de vue des atégories de fon- teurs, don t on trouv era une syn thèse dans [FFPS03℄. Cette appro  he a déjà p ermis de résoudre de diiles onjetures de nitude, omme en témoignen t les tra v aux de F riedlander-Suslin [FS97 ℄, et tout réemmen t de T ouzé et v an der Kallen [ T vdK08 ℄. L'étude ne des atégories de fonteurs s'est égalemen t p oursuivie a v e, par exemple, les résultats ohomologiques de Chaªupnik [Cha08 ℄ et T ouzé [T ou08 ℄, omplétan t eux de [FFSS99 ℄, ou l'in tro dution de nouv elles atégories de fonteurs reliées aux group es orthogonaux dans [V es08 ℄. Nous présen tons main tenan t le on ten u de l'artile. Une première setion dégage un adre formel p our étudier l'homologie stable d'une suite on v enable de group es, à partir de l'homologie d'une 2 atégorie adaptée à la situation. Plus préisémen t, on onsidère une p etite atégorie monoïdale symétrique ( C , ⊕ , 0) don t l'unité 0 est ob jet initial, et A un ob jet de C . P our  haque en tier naturel i , on note G ( i ) le group e d'automorphismes Aut C ( A ⊕ i ) . La atégorie C sera par exemple elle des mo dules pro jetifs de t yp e ni sur un anneau A , a v e les monomorphismes sindés omme è hes, et la somme direte p our struture monoïdale. On p eut prendre aussi p our C la atégorie des ensem bles nis a v e injetions, p our A un ensem ble à 1 élémen t et la réunion disjoin te p our ⊕ , e qui nous p ermettra de retrouv er des résultats de Betley ([Bet02 ℄) sur l'homologie stable des group es symétriques. P our le sujet prinipal de et artile, on onsidère une atégorie C d'espaes quadratiques, ou sympletiques, de dimension nie sur un orps omm utatif, p our A un espae h yp erb olique ou sympletique de dimension 2 et p our ⊕ la somme orthogonale. Ces exemples son t détaillés au paragraphe 1.2 . Dans le as général, la suite de morphismes : 0 → A → · · · → A ⊕ n → A ⊕ ( n +1) → · · · donnés par : A ⊕ n ≃ A ⊕ n ⊕ 0 I d ⊕ (0 → A ) − − − − − − − → A ⊕ n ⊕ A ≃ A ⊕ ( n +1) est ompatible aux ations des group es d'automorphismes G ( n ) = Aut ( A ⊕ n ) , où G ( n ) agit sur A ⊕ ( n +1) via le morphisme : G ( n ) g 7→ g ⊕ A − − − − − → G ( n + 1) . Cei induit une suite naturelle de morphismes : · · · → H ∗ ( G ( n ); F ( A ⊕ n )) → H ∗ ( G ( n + 1 ); F ( A ⊕ ( n +1) )) → · · · , où F est un fonteur de C v ers les group es ab éliens. On app elle homolo gie stable des group es G ( n ) à o eien ts dans F la olimite de ette suite. Il existe toujours un morphisme naturel de l'homologie stable des group es G ( n ) à o eien ts dans F v ers l'homologie de C à o eien ts dans F . Sous de b onnes h yp othèses sur la atégorie C , e morphisme est un isomorphisme en degré 0 , mais e n'est plus en général le as au-delà, où l'on obtien t, au paragraphe 2.2 , une suite sp etrale on v ergean t v ers ette homologie stable et don t la deuxième page s'exprime par des group es de torsion sur la atégorie C . Cette suite sp etrale ore une alternativ e puremen t algébrique à la suite sp etrale de la K -théorie stable on v ergean t v ers l'homologie stable du group e linéaire à o eien ts tordus, et à ses a v atars la généralisan t aux familles de group es usuelles. En eet, dans les as onn us où l'on sait exprimer la K -théorie stable en termes algébriques plus simples, et où la suite sp etrale orresp ondan te s'arrête dès la deuxième page, on observ e un phénomène analogue dans notre formalisme  v oir notammen t nos prop ositions 2.22 et 2.26 . Cei n'est guère surprenan t dans la mesure où les tra v aux de Sori henk o (as lassique de la K -théorie stable) ou Betley (as des group es symétriques) n'utilisen t en fait n ullemen t la dénition de la K -théorie stable, mais seulemen t l'existene d'une suite sp etrale naturelle d'un ertain t yp e, et où l'artile [BP94℄ de Betley et Pirash vili iden tie dans de nom breux as la K -théorie stable à un fonteur dériv é déni de façon puremen t algébrique. Notre résultat prinipal relatif à l'homologie stable des group es orthogonaux, démon tré au pa- ragraphe 3.2 , est le suiv an t : Théorème 1. Soit k un  orps ni de  ar atéristique imp air e. Pour tout fonteur p olynomial (voir dénition 3.20 ) F entr e k -esp a es ve toriels, il existe un isomorphisme natur el : colim n ∈ N H ∗ ( O n,n ( k ); F ( k 2 n )) ≃ T or E f k ∗ ( V 7→ k [ S 2 ( V ∗ )] , F ) où E f k désigne la  até gorie des k -esp a es ve toriels de dimension nie, et S 2 la se  onde puissan e symétrique. Rapp elons que les fonteurs n -ième puissane tensorielle T n et n -ième puissane symétrique S n son t p olynomiaux de degré n . P ar les résultats de [Cha87 ℄, la olimite du théorème est don attein te p our n ni, en  haque degré homologique. Hormis p our ette onsidération de stabilisation, le  hoix des group es orthogonaux O n,n plutt que d'autres n'a pas d'imp ortane : toute olimite analogue 3 onstruite à partir de l'homologie d'autres group es orthogonaux (asso iés à des formes quadratiques non dégénérées) sur k est anoniquemen t isomorphe à elle qu'on onsidère (f. remarque 2.24 . 3 ). Le théorème 1 s'obtien t par la suite d'isomorphismes suiv an te : 1. colim n ∈ N H ∗ ( O n,n ( k ); F ( k 2 n )) ≃ H ∗ ( E q ; F ) où E q est la atégorie des k -espaes quadratiques non dégénérés de dimension nie. Cet iso- morphisme vien t du adre général que nous a v ons év o qué préédemmen t et de la trivialité de colim n ∈ N H ∗ ( O n,n ( k ); k ) (p our k de aratéristique impaire). 2. H ∗ ( E q ; F ) ≃ H ∗ ( E deg q ; F ) où E deg q est la atégorie des k -espaes quadratiques (év en tuellemen t dégénérés) de dimension nie a v e p our morphismes les injetions quadratiques. Cette étap e onstitue le ÷ur de la démonstration de e théorème et en est la partie la plus déliate. 3. H ∗ ( E deg q ; F ) ≃ T or E f inj ∗ ( V 7→ k [ S 2 ( V ∗ )] , F ) où E f inj est la sous-atégorie des injetions de E f k . Cet isomorphisme s'obtien t par adjontion en observ an t qu'une forme quadratique sur V est un élémen t de S 2 ( V ∗ ) . 4. T or E f inj ∗ ( V 7→ k [ S 2 ( V ∗ )] , F ) ≃ T or E f k ∗ ( V 7→ k [ S 2 ( V ∗ )] , F ) . Cet isomorphisme est un as partiulier d'un résultat de Suslin, essen tiel p our exprimer l'ho- mologie stable des group es linéaires en terme d'homologie des fonteurs. Notons que les isomorphismes 1 et 3 v alen t p our un fonteur F arbitraire alors que eux des p oin ts 2 et 4 utilisen t de manière fondamen tale le aratère p olynomial de F . L'h yp othèse de nitude de k n'in tervien t qu'à l'étap e 2 . Rev enons plus en détail sur elle-i. P our des raisons formelles, il existe une suite sp etrale de Grothendie k on v ergen te de la forme : E 2 p,q = T or E deg q p ( L q , F ) ⇒ H p + q ( E q ; F ) où les fonteurs L q s'obtiennen t à partir des fonteurs dériv és d'un adjoin t à la préomp osition par l'inlusion E q → E deg q . Les v aleurs des fonteurs L q son t données par le q -ième group e d'homologie de sous-group es expliites du group e orthogonal. Elles son t l'ab outissemen t de suites sp etrales de Serre don t on p eut aluler la deuxième page, mais pas les diéren tielles. Ces v aleurs son t don inaessibles p our q > 0 . Nous on tournons e problème en observ an t que es fonteurs L q transformen t l'inlusion d'un espae quadratique dans sa somme orthogonale a v e un espae non dé génér é , en un isomorphisme. On p eut don les dénir depuis la atégorie de frations où l'on in v erse es inlusions. On mon tre au théorème 3.17 l'équiv alene de ette atégorie a v e la  até gorie de Burnside sur les espaes v etoriels a v e injetions. Autremen t dit, nos fonteurs L q p euv en t être vus omme des fonteurs de Makey non additifs sur les espaes v etoriels a v e injetions, ou enore omme des familles de représen tations des diéren ts group es linéaires, par un résultat général d'équiv alene de Morita (f. [V es08 ℄). Grâe au théorème d'ann ulation homologique prinipal de [Dja07 ℄, on en déduit un isomorphisme : E 2 p,q = T or E deg q p ( L q , F ) ≃ T or E deg q p ( L q (0) , F ) . Or L q (0) ≃ H q ( O ∞ ( k ); k ) est n ul p our q > 0 par le résultat de Fiedoro wiz-Priddy ité plus haut. L'isomorphisme 2 en déoule. La onséquene suiv an te du théorème 1 illustre en quoi la (o)homologie stable est plus régulière que la (o)homologie instable. 4 Théorème 2. Soient k un  orps ni de  ar atéristique imp air e, F et G deux fonteurs p olynomiaux entr e k -esp a es ve toriels et i , j des entiers. Pour tout entier n assez gr and, le pr o duit externe H i ( O n,n ( k ); F ( k 2 n )) ⊗ H j ( O n,n ( k ); G ( k 2 n )) → H i + j ( O n,n ( k ); F ( k 2 n ) ⊗ G ( k 2 n )) est inje tif. Ce résultat est énoné en terme de ohomologie p our traiter de pro duits plutt que de opro duits. Il s'obtien t à partir de notre théorème prinipal par un raisonnemen t formel dû à T ouzé (f. [T ou09 ℄). Le théorème 1 p ermet aussi des aluls expliites, donnés aux théorèmes 4.16 et 4.17 . Nous obtenons en tre autres, à l'aide du alul de [FFSS99℄ des group es d'extensions en tre puissanes divisées sur un orps ni, que la ohomologie stable des group es orthogonaux ou sympletiques à o eien ts dans une algèbre p olynomiale est elle-même une algèbre de p olynmes. Plus préisémen t : Théorème 3. Soit k un  orps ni de  ar dinal q imp air. L'algèbr e de  ohomolo gie stable des gr oup es ortho gonaux (r esp. symple tiques) sur k à  o eients dans les puissan es symétriques est p olyno- miale sur des génér ateurs α m,s (r esp. β m,s ) de bide gr é (2 q s m, q s + 1) indexés p ar des entiers m ≥ 0 et s ≥ 0 (r esp. s > 0 ), où le pr emier de gr é est le de gr é homolo gique. La partie formelle du présen t tra v ail (tout omme l'artile [Bet02 ℄ sur les group es symétriques) ne traite que d'homologie stable à o eien ts dans un fonteur, pas à o eien ts dans un bi fonteur, omme le fait Sori henk o p our les group es linéaires (à la suite de Betley et Suslin). Néanmoins, on trairemen t à e qui advien t lorsqu'on étudie l'homologie stable des group es linéaires (où l'ann u- lation à v aleurs dans un fonteur p olynomial sans terme onstan t on traste a v e le résultat général p our un bifonteur p olynomial), l'homologie stable des group es orthogonaux ou sympletiques à o- eien ts tordus par un bifonteur ne s'a v ère pas plus générale que le as partiulier des fonteurs. De fait, toute forme quadratique ou sympletique non dégénérée sur un espae v etoriel V déter- minan t un isomorphisme en tre V et son dual, l'homologie à o eien ts tordus par un bifonteur B (a v e une première v ariable on tra v arian te et la seonde o v arian te) s'iden tie à l'homologie à o- eien ts tordus par le fonteur V 7→ B ( V ∗ , V ) (f. remarque 2.13 ). Comme appliation, on obtien t au orollaire 4.20 l'ann ulation stable de l'homologie du group e orthogonal (ou sympletique) sur un orps ni de aratéristique impaire à o eien ts dans sa représen tation adjoin te. Enn, signalons que T ouzé a tout réemmen t obten u (f. [ T ou09 ℄), par des métho des diéren tes, des résultats analogues à eux de et artile p our la ohomologie r ationnel le (i.e. omme group es algébriques) stable des group es orthogonaux et sympletiques. Organisation de l'artile La setion 1 présen te en détail le adre général adapté à notre ap- pro  he de l'homologie stable. On y disute égalemen t une lasse d'exemples fondamen tale, qui on tien t tous nos as d'appliation, et une ondition supplémen taire qui in tervien t dans l'étude de la suite sp etrale de la setion 2 . Celle-i étudie, dans le formalisme de la setion 1 , le morphisme puis la suite sp etrale naturels qui relien t l'homologie d'une atégorie on v enable à l'homologie stable de la suite de group es orresp ondan te. On y disute notammen t de la simpliation de la deuxième page de ette suite sp etrale, de son arrêt et de sa omparaison a v e les suites sp etrales lassiques dériv ées de onstrutions du t yp e de la K -théorie stable. La setion 3 onstitue le ÷ur de e tra v ail : elle donne les argumen ts non formels qui rendron t aessible au alul l'homologie stable des group es orthogonaux ou sympletiques sur les orps nis, à o eien ts tordus raisonnables. Elle iden tie d'ab ord la atégorie de frations des espaes év en tuellemen t dégénérés où l'inlusion dans la somme orthogonale a v e un espae non dégénéré est in v ersée. Ensuite, elle om bine e résultat a v e les théorèmes d'ann ulation idoines onn us en homologie des fonteurs p our obtenir le théorème 1 . La setion 4 donne les appliations de e théorème. On y traite de ompatibilité aux (o)pro duits p our obtenir notammen t le théorème 2 . On eetue ensuite des aluls d'homologie stable de group es orthogonaux ou sympletiques. Il faut distinguer la aratéristique impaire, qui se prête à des aluls omplets (théorème 3 ), de la aratéristique 2 où les mêmes métho des ne susen t plus, mais où quelques résultats partiels son t déduits des tra v aux de T ro es h ([T ro02 ℄). Les trois premiers app endies donnen t des rapp els et des notations sur les atégories de fonteurs utilisés dans le orps de l'artile : généralités d'algèbre homologique, fonteurs exp onen tiels puis quelques équiv alenes de atégories de fonteurs. 5 L'app endie D exp ose les deux résultats sur l'homologie des fonteurs (dus à Djamen t et Suslin) utilisés dans la démonstration du théorème prinipal de l'artile et en rapp elle les argumen ts. Dans les deux derniers app endies, on mon tre ommen t retrouv er rapidemen t à l'aide de notre formalisme des théorèmes dus à Betley sur l'homologie stable des group es symétriques et linéaires. Quelques notations utilisées dans tout l'artile On se donne un anneau omm utatif (uni- taire) k de "base", au-dessus duquel tous les pro duits tensoriels non sp éiés seron t pris. On désigne par Mo d k la atégorie des k -mo dules. Si C est une atégorie (essen tiellemen t) p etite, on note C − Mo d la atégorie des fonteurs de C v ers Mo d k . Quelques généralités sur ette atégorie ab élienne son t rapp elées dans l'app endie A. On p ose égalemen t Mo d − C = C op − Mo d . Si k est un orps omm utatif, on note E ( k ) la atégorie des espaes v etoriels sur k et E f ( k ) (ou simplemen t E f ) la sous-atégorie pleine des espaes de dimension nie. La préomp osition par un fonteur Q est notée Q ∗ . On note N l'ensem ble des en tiers p ositifs ou n uls. Remeriemen ts Les auteurs témoignen t leur gratitude à Vinen t F ranjou p our ses nom breuses disussions utiles à la réalisation de et artile. Ils remerien t Serge Bou p our leur a v oir indiqué l'utilité de l'in v ersion de Möbius p our obtenir des équiv alenes de Morita, en partiulier le théorème de Pirash vili à la Dold-Kan. Ils son t reonnaissan ts en v ers An toine T ouzé p our de frutueuses on v ersations qui on t p ermis d'améliorer la présen tation ou les résultats de et artile en plusieurs o urrenes. Ils le remerien t notammen t p our leur a v oir signalé la remarque 2.13 p ermettan t de traiter le as des bifonteurs, ainsi qu'une erreur présen te dans une v ersion préliminaire de e tra v ail, relativ e à la aratéristique 2 . Le seond auteur remerie p our son hospitalité le lab oratoire de mathématiques Jean Lera y (Nan tes), où une grande partie de e tra v ail a été élab oré, ainsi que le programme MA TPYL de la Fédération de Re her he 2962 Mathématiques des P a ys de Loire p our son soutien. T able des matières 1 Cadre formel 7 1.1 Hyp othèses générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Cas partiuliers fondamen taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Suite sp etrale p our l'homologie stable d'une suite de group es 10 2.1 Morphisme de l'homologie stable v ers l'homologie de atégorie . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Suite sp etrale fondamen tale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Arrêt de la suite sp etrale et omparaison à la K -théorie stable . . . . . . . . . . . . 16 3 Cas des group es orthogonaux et sympletiques 20 3.1 Les atégories de frations E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] et E deg alt [( − ⊥ H ) − 1 ] . . . . . . . . . . . . 20 3.2 Théorème fondamen tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 Quelques aluls d'homologie de group es orthogonaux et sympletiques 28 4.1 Compatibilité aux (o)pro duits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2 Caluls en aratéristique impaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3 Un alul en aratéristique 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 A Algèbre homologique dans les atégories de fonteurs 36 B F onteurs exp onen tiels 39 C In v ersion de Möbius et équiv alenes de Morita 41 D Quelques résultats d'ann ulation en homologie des fonteurs 45 E Les résultats de Betley sur les group es symétriques revisités 47 6 F Un ap erçu du as des mo dules d'après Betley et Sori henk o 48 1 Cadre formel Dans ette setion, on donne le adre général de et artile, qui p ermet de traiter de l'homologie stable des group es orthogonaux ou sympletiques. On v erra, dans les app endies F et E, que e adre s'applique égalemen t aux group es linéaires et symétriques. 1.1 Hyp othèses générales On in tro duit ii des axiomes que l'on supp osera v ériés dans tout l'artile. Les exemples et des h yp othèses supplémen taires souv en t utiles seron t donnés dans le paragraphe suiv an t  en eet, tous les as in téressan ts d'appliation de la situation générale, hormis un as te hnique apparaissan t en ours de démonstration, relèv eron t desdites h yp othèses supplémen taires. On se donne une atégorie (essen tiellemen t) p etite C et deux fonteurs S : N → C et G : N → Grp , où N désigne la atégorie asso iée à l'ensem ble ordonné N (il y a exatemen t une è he d'un en tier p ositif i v ers un autre en tier p ositif j si i ≤ j , et auune sinon) et Grp la atégorie des group es. A v an t de donner les trois h yp othèses que nous ferons sur ( C , S, G ) , signalons que l'on p ourrait remplaer N par un autre ensem ble ordonné ltran t à droite et p ossédan t un plus p etit élémen t sans mo dier la plupart des onsidérations qui suiv en t. Cep endan t, une telle généralisation sem ble présen ter un in térêt mo deste dans la mesure où l'on ne onnaît auun exemple qui ne puisse se ramener au as ii dérit (remplaer l'ensem ble ordonné par une partie onale à droite on tenan t le plus p etit élémen t ne mo die guère la situation). Notre premier axiome est relatif au fonteur S , don t il exprime une sorte de propriété de o- nalité : (C) p our tout objet c de C , il existe i ∈ N et un morphisme dans C de sour  e c et de but S ( i ) . Notre seond axiome ren v oie à une forme stable de transitivité de l'ation au but des automor- phismes sur un ensem ble de morphismes : (W) étant donnés i ∈ N et c ∈ Ob C , p our tous morphismes u, v : c → S ( i ) de C , il existe j ≥ i dans N et g ∈ Aut C S ( j ) tels que le diagr amme c u / / v   @ @ @ @ @ @ @ @ S ( i ) S ( i ≤ j ) / / S ( j ) g   S ( i ) S ( i ≤ j ) / / S ( j )  ommute. Dans de nom breux as, l'axiome suiv an t, qui implique (W), qui exprime une transitivité instable, sera v érié : (W') p our tous c ∈ Ob C et i ∈ N , le gr oup e Aut C S ( i ) op èr e tr ansitivement sur l'ensemble Hom C ( c, S ( i )) . L'ar hét yp e de résultat fournissan t e t yp e de propriété est le théorème de Witt (f. paragraphe suiv an t). On astrein t enn le fonteur G à satisfaire la propriété de ompatibilité au fonteur S suiv an te : (G) sur les objets, G est donné p ar G ( i ) = Aut C ( S ( i )) p our tout i ∈ N . De plus, on supp ose que p our tous entiers i et j tels que i ≤ j , le morphisme S ( i ≤ j ) : S ( i ) → S ( j ) est G ( i ) -é quivariant, où S ( i ) est muni de l'ation à gauhe tautolo gique de G ( i ) et S ( j ) de  el le dé duite du morphisme G ( i ≤ j ) : G ( i ) → G ( j ) . Hyp othèse 1.1. Dans la suite du paragraphe 1.1 , on supp ose que ( C , S, G ) v érie les h yp othèses (C), (W) et (G). Notation 1.2. La olimite du fonteur G est notée G ∞ . P our tout fonteur F : C → M od k , on note F ∞ la olimite du fonteur omp osé N S − → C F − → Mo d k . 7 R emar que 1.3 . P our tout fonteur F : C → Mo d k et tous en tiers i ≤ j , l'appliation linéaire ( F ◦ S )( i ≤ j ) : F ( S ( i )) → F ( S ( j )) est G ( i ) -équiv arian te, par l'axiome (G). Ainsi, F ∞ est naturellemen t un k [ G ∞ ] -mo dule. On p eut don donner la dénition suiv an te, qui in tro duit l'ob jet d'étude de et artile. Dénition 1.4. L' homolo gie stable de la suite de group es ( G ( i )) i ∈ N à o eien ts dans F ∈ Ob C − Mo d est H ∗ ( G ∞ ; F ∞ ) . R emar que 1.5 . Le aratère ltran t à droite de N implique que le morphisme anonique colim i ∈ N H ∗ ( G ( i ); F ( S ( i ))) → H ∗ ( G ∞ ; F ∞ ) est un isomorphisme. Dans la suite on iden tiera les deux group es via et isomorphisme. On rapp elle que l'on note P C op c le fonteur k [Hom C op ( c, − )] , app elé pro jetif standard de Mo d − C (v oir app endie A). On termine e paragraphe par quelques résultats généraux sur la olimite de es pro jetifs standards. Lemme 1.6. L e fonteur P C op ∞ := colim i ∈ N P C op S ( i ) est plat et est muni d'une ation du gr oup e G ∞ . De plus, il existe un isomorphisme de G ∞ -mo dules P C op ∞ ⊗ C F ≃ F ∞ natur el en F ∈ Ob C − Mo d . Démonstr ation. La platitude déoule du aratère ltran t de N . Comme G ( i ) agit sur P C op S ( i ) , on en déduit égalemen t une ation anonique de G ∞ sur P C op ∞ . La dernière partie se v érie immédiatemen t. Lemme 1.7. On a ( P C op ∞ ) G ∞ ≃ k où ( P C op ∞ ) G ∞ désigne les  oïnvariants de P C op ∞ p ar l'ation de G ∞ et k est le fonteur  onstant. Démonstr ation. Il s'agit d'une onséquene direte de l'h yp othèse (W). 1.2 Cas partiuliers fondamen taux Dans e paragraphe, on onsidère une atégorie (essen tiellemen t) p etite C m unie d'une struture monoïdale symétrique ⊕ : C × C → C don t l'unité sera notée 0 . On fait égalemen t l'h yp othèse que 0 est ob jet initial de C . Quitte à remplaer C par une atégorie monoïdale symétrique équiv alen te, on p ourra supp oser que le fonteur ⊕ est stritemen t asso iatif et que 0 en est un élémen t neutre strit, e qui p ermet de donner un sens univ o que à des expressions omme A ⊕ n , où n ∈ N et A ∈ Ob C . Soit A ∈ Ob C . On p eut dénir un fonteur S A : N → C par S A ( n ) = A ⊕ n et S A ( n ≤ m ) : A ⊕ n = A ⊕ n ⊕ 0 A ⊕ n ⊕ (0 → A ⊕ ( m − n ) ) − − − − − − − − − − − − − → A ⊕ n ⊕ A ⊕ ( m − n ) = A ⊕ m . Ce  hoix de fontorialité onsiste, lorsque C est une atégorie de mo dules (f. exemple 1.9 . 4 i-dessous), par exemple, à "a jouter des zéros à droite" en termes matriiels. On dénit égalemen t un fonteur G A : N → Grp par G A ( n ) = Aut C ( A ⊕ n ) et G A ( n ≤ m ) : Aut C ( A ⊕ n ) → Aut C ( A ⊕ m ) u 7→ u ⊕ A ⊕ ( m − n ) . On v érie aussitt le fait suiv an t : Prop osition 1.8. L e triplet ( C , S A , G A ) vérie l'hyp othèse (G). 8 Nous aurons égalemen t à onsidérer l'h yp othèse suiv an te : (S) p our tout morphisme f : d → c de C et tout i ∈ N , le morphisme du stabilisateur de f sous l'ation de Aut C ( c ) vers le stabilisateur de S ( i ) ⊕ f sous l'ation de Aut C ( S ( i ) ⊕ c ) induit p ar le fonteur S ( i ) ⊕ − est un isomorphisme. L'h yp othèse (S) p ermettra de donner des renseignemen ts supplémen taires sur la deuxième page de la suite sp etrale p our l'homologie de G ∞ à o eien ts tordus que nous obtiendrons dans la setion 2 lorsque les axiomes (C), (W) et (G) son t v ériés. Nous in tro duisons enn une h yp othèse plus forte que (C) mais moins forte que l'essen tielle surjetivité du fonteur S A : (C') p our tout objet c de C , il existe un objet b de C et un entier i tels que b ⊕ c ≃ S ( i ) . Nous terminons e paragraphe en donnan t les exemples fondamen taux qui in terviendron t dans et artile. Exemple 1.9 . 1. Soien t k un orps omm utatif (év en tuellemen t de aratéristique 2 ) et E deg q ( k ) la atégorie (qui sera notée simplemen t E deg q lorsqu'auune onfusion ne p eut en résulter) don t les ob jets son t les espaes quadratiques de dimension nie sur k et les morphismes les appliations linéaires inje tives ompatibles aux formes quadratiques (app elées aussi applia- tions orthogonales). Remarquons qu'une forme quadratique sur un espae v etoriel V est un p olynme homogène de degré 2 sur V ([P95 ℄), 'est à dire un élémen t de S 2 ( V ∗ ) , où S 2 est la deuxième puissane symétrique. Comme d'habitude, on note O ( A ) p our Aut E deg q ( A ) le group e orthogonal asso ié à un ob jet A de E deg q . On notera par ailleurs E q la sous-atégorie pleine de E deg q don t les ob jets son t les espaes quadratiques non dégénérés. La somme orthogonale, notée ⊥ , dénit une struture monoïdale symétrique sur E deg q don t l'unité 0 est ob jet initial de E deg q . Soit H l'ob jet de E q , app elé plan h yp erb olique, don t l'espae v etoriel sous-jaen t est k 2 et la forme quadratique l'appliation k 2 → k ( x, y ) 7→ xy . Comme d'habitude, on notera O n,n ( k ) le group e G H ( n ) des automorphismes de H ⊥ n . Le triplet ( E deg q , S H , G H ) v érie l'h yp othèse (C), ar tout espae quadratique se plonge dans un espae quadratique non dégénéré et tout espae quadratique non dégénéré se plonge dans un espae h yp erb olique (i.e. un espae quadratique qui est somme direte de sous-espaes totalemen t isotrop es), qui est isomorphe à une somme orthogonale de opies de H (f. [ S h85 ℄). Le triplet ( E q , S H , G H ) v érie p our sa part (C'). Le théorème de Witt mon tre que l'axiome (W') est satisfait, puisque S H prend ses v aleurs dans les espaes non dégénérés. Le triplet ( E deg q , S H , G H ) v érie égalemen t l'h yp othèse (S) p our la même raison. En eet, si V est un espae quadratique et H un espae non dégénéré, tout automorphisme de V ⊥ H qui préserv e H préserv e égalemen t son supplémen taire orthogonal, qui n'est autre que V ar H est non dégénéré. P ar onséquen t, tout élémen t du stabilisateur d'un morphisme H ⊥ f : H ⊥ V → H ⊥ W sous l'ation de O ( H ⊥ V ) stabilise H ⊂ H ⊥ V et W , don s'érit sous la forme H ⊥ u , où u ∈ O ( W ) stabilise f : V → W ; u est manifestemen t unique, d'où la satisfation de (S). (On p ourrait étendre es onsidérations à un orps gau he m uni d'une in v olution et aux formes hermitiennes aéren tes.) R emar que 1.10 . On p eut remplaer H par n'imp orte quel autre k -espae quadratique non dégénéré de dimension nie H tel qu'on puisse plonger tout autre k -espae quadratique non dégénéré de dimension nie dans une somme de opies de H . Si le orps k est ni (auquel as le treillis des lasses d'isomorphisme de k -espaes quadratiques non dégénérés de dimension nie est partiulièremen t simple !), n'imp orte quel ob jet non n ul H de E q on vien t. 2. On p eut reprendre m utatis m utandis l'exemple prééden t en remplaçan t les formes quadra- tiques par les formes bilinéaires alternées. Bornons-nous à préiser nos notations : E deg alt ( k ) (ou simplemen t E deg alt ) désignera la atégorie des espaes sympletiques de dimension nie (a v e les inje tions sympletiques p our morphismes) sur le orps omm utatif k , E alt la sous-atégorie pleine des espaes non dégénérés, ⊥ la somme orthogonale. On notera aussi H l'espae sympletique k 2 m uni de la forme (( x, y ) , ( x ′ , y ′ )) 7→ xy ′ − y x ′ . Le group e des automorphismes de A ∈ Ob E deg alt sera noté S p ( A ) ; G H ( n ) = S p ( H ⊥ n ) sera noté S p 2 n ( k ) . 9 3. Soit Θ la atégorie a y an t p our ob jets les ensem bles nis et p our morphismes les fontions injetiv es. La struture monoïdale symétrique de Θ est donnée par la réunion disjoin te ; son unité l'ensem ble vide est ob jet initial de Θ . Soit A un ensem ble à un élémen t xé. La ondition (C') est v ériée puisque S A est essen tiellemen t surjetif. On a G A ( n ) = S n (group e symétrique sur n lettres) ; on v oit failemen t que la ondition (W') est satisfaite. La ondition (S) a lieu du fait qu'une bijetion d'un ensem ble E qui préserv e un sous-ensem ble F préserv e égalemen t son omplémen taire. 4. Soien t A un anneau et M ( A ) la atégorie des A -mo dules à gau he libres de t yp e ni a v e p our morphismes les injetions A -linéaires sindées, m unie de la somme direte, don t l'unité 0 est ob jet initial. Le triplet ( M ( A ) , S A , G A ) v érie l'h yp othèse (C'). Comme d'habitude, on note GL n ( A ) p our G A ( n ) . L'h yp othèse (W) est aussi satisfaite, mais pas (S) si A est non n ul et pas non plus (W') en général : p our s'en on v ainre, on p eut onsidérer un anneau non n ul A tel que les A -mo dules à gau he A et A 2 soien t isomorphes, par exemple l'anneau des endomorphismes d'un espae v etoriel de dimension innie, de sorte que l'injetion sindée éviden te A ֒ → A 2 , qui n'est pas surjetiv e, ne saurait être onjuguée sous GL 2 ( A ) à un isomorphisme A ≃ − → A 2 ((W') est ep endan t vraie si A est un anneau assez gen til, par exemple prinipal). La satisfation de (W) déoule du résultat lassique de stabilisation suiv an t : L emme 1.11 . Soient A une  até gorie additive, M et N deux objets de A et u : N → M un monomorphisme sindé de A . Il existe un automorphisme g de N ⊕ M tel que le diagr amme N u / / ( ( R R R R R R R R R R R R R R R M / / N ⊕ M N ⊕ M g ≃ O O dans le quel les è hes non sp é ié es sont les inlusions  anoniques,  ommute. Démonstr ation. Soit p : M → N une rétration de u . L'endomorphisme g de N ⊕ M donné par la matrie  0 p u id  fait omm uter le diagramme, et 'est un automorphisme d'in v erse donné par  − id p u id − up  . 2 Suite sp etrale p our l'homologie stable d'une suite de group es Dans ette setion, on in tro duit une suite sp etrale obten ue de manière puremen t algébrique, on v ergean t v ers l'homologie stable, à o eien ts tordus, des familles de group es qui nous in té- ressen t. Cette suite sp etrale est l'ingrédien t original de la partie formelle de e tra v ail ; elle fournit une alternativ e à la suite sp etrale de la K -théorie stable onsidérée dans les tra v aux de Betley et Sori henk o. Con v en tion 2.1. Dans toute ette setion, on se donne un triplet ( C , S, G ) v érian t les h yp othèses (C), (W) et (G) du paragraphe 1.1 . 2.1 Morphisme de l'homologie stable v ers l'homologie de atégorie Le but de e paragraphe est de onstruire des morphismes naturels : H ∗ ( G ∞ ; F ∞ ) → H ∗ ( C ; F ) (1) où H ∗ ( C ; F ) est l'homologie de la atégorie C à o eien ts dans un fonteur F ∈ Ob C − Mo d , don t on rapp elle la dénition dans l'app endie A, et H ∗ ( G ∞ ; F ∞ ) → H ∗ ( C × G ∞ ; Π ∗ F ) (2) 10 où l'on v oit le group e G ∞ omme une atégorie à un ob jet Π : C × G ∞ → C désigne le fonteur de pro jetion. (On rapp elle que Π ∗ : C − Mo d → C × G ∞ − Mo d désigne la préomp osition par Π .) Ces morphismes naturels p euv en t être dénis à partir des morphismes d'év aluation. On en donne ii une présen tation utilisan t une atégorie auxiliaire notée e C , qui in terviendra uniquemen t dans ette setion. L'in térêt de ette atégorie pro vien t de e qu'on p eut obtenir des résolutions plates du fonteur onstan t k ∈ Ob Mo d − e C à partir de résolutions pro jetiv es du G ∞ -mo dule trivial k . Cei p ermet, en tre autre, d'exprimer H ∗ ( G ∞ ; F ∞ ) en terme d'homologie de la atégorie e C . Dénition 2.2. Soit e C la atégorie a y an t N p our ensem ble d'ob jets, telle que Hom e C ( i, j ) = G ( j ) p our i ≤ j et ∅ sinon. La omp osition est dénie par t ′ ◦ t := t ′ · G ( j ≤ l )( t ) p our i ≤ j ≤ l et t ∈ Hom e C ( i, j ) = G ( j ) et t ′ ∈ Hom e C ( j, l ) = G ( l ) . Notation 2.3. On désigne par e S : N → e C le fonteur égal à l'iden tité sur les ob jets et asso ian t à  haque relation i ≤ j de N le morphisme de e C orresp ondan t à 1 ∈ G ( j ) . P our la ohérene des notations, on note égalemen t e G := G : N → Grp . La propriété suiv an te est immédiate. Prop osition 2.4. L e triplet ( e C , e S , e G ) vérie les hyp othèses (C), (W') et (G). En rev an he, même si ( C , S, G ) pro vien t d'une struture monoïdale sur C omme au para- graphe 1.2 , il n'en est pas néessairemen t de même p our ( e C , e S , e G ) (la dénition éviden te que l'on est ten té de donner à partir de l'addition sur N et de la struture monoïdale sur C n'est pas toujours fontorielle). Dénition 2.5. On note Q : e C → C le fonteur donné par Q ( i ) = S ( i ) sur les ob jets et Q ( f ) = f · S ( i ≤ j ) p our i ≤ j dans N et f ∈ Hom e C ( i, j ) = G ( j ) sur les morphismes. On v érie aussitt la ompatibilité de Q à la omp osition. P our F ∈ Ob C − Mo d , le fonteur Q ∗ F fournit un morphisme naturel H ∗ ( e C , Q ∗ F ) → H ∗ ( C , F ) . An d'obtenir le morphisme naturel (1), on iden tie dans la suite H ∗ ( e C ; Q ∗ F ) et H ∗ ( G ∞ ; F ∞ ) . P our ela nous aurons b esoin du résultat suiv an t qui explique l'a v an tage de la atégorie e C sur C . Lemme 2.6. L e fonteur P e C op ∞ (= colim i ∈ N P e C op i , f. lemme 1.6 ) est tel que p our tout i ∈ N on a un isomorphisme de G ∞ -mo dules : P e C op ∞ ( i ) ≃ k [ G ∞ ] . Démonstr ation. P our i, j ∈ N tels que j ≤ i on a : P e C op i ( j ) = k [Hom e C ( j, i )] ≃ k [ G ( i )] . Le résultat s'en déduit par passage à la olimite. R emar que 2.7 . Le fonteur P e C op ∞ n'est pas p our autan t un fonteur onstan t : via l'isomorphisme du lemme prééden t, son ation sur les morphismes n'est pas donnée par l'iden tité. En eet, p our l ≤ j ≤ i si f ∈ Hom e C op ( j, l ) = G ( j ) on a P e C op i ( f ) ([ g ]) = [ g · G ( j ≤ i )( f ) ] , p our g ∈ G ( i ) . Néanmoins nous a v ons le résultat suiv an t. Lemme 2.8. L e fonteur ( P e C op ∞ ) G ∞ : e C op → Mo d k est  onstant en k . Démonstr ation. Notons α j : G ( j ) → G ∞ , p our j ∈ N , le morphisme anonique. La remarque prééden te mon tre que, dans l'isomorphisme du lemme 2.6 , le morphisme k [ G ∞ ] ≃ P e C op ∞ ( j ) → P e C op ∞ ( l ) ≃ k [ G ∞ ] induit par un morphisme l → j de e C orresp ondan t à un élémen t f de G ( j ) est la m ultipliation par α j ( f ) . P ar passage aux oïn v arian ts il induit don l'iden tité de k . Prop osition 2.9. Il existe un isomorphisme gr adué H ∗ ( e C ; Q ∗ F ) ≃ H ∗ ( G ∞ ; F ∞ ) natur el en F ∈ Ob C − Mo d . 11 Démonstr ation. Soit R • → k une résolution pro jetiv e de k en tan t que G ∞ -mo dule. P ar le lemme 2.6 le fonteur − ⊗ G ∞ P e C op ∞ : Mo d k [ G ∞ ] → Mo d − e C est exat. On en déduit un om- plexe exat R • ⊗ G ∞ P e C op ∞ → k ⊗ G ∞ P e C op ∞ dans Mo d − e C . Or k ⊗ G ∞ P e C op ∞ ≃ ( P e C op ∞ ) G ∞ ≃ k d'après le lemme 2.8 . De plus les fonteurs R i ⊗ G ∞ P e C op ∞ de Mo d − e C son t plats omme P e C op ∞ puisque les G ∞ -mo dules R i son t pro jetifs. On en déduit que R • ⊗ G ∞ P e C op ∞ → k ⊗ G ∞ P e C op ∞ ≃ k est une résolution plate de k ∈ Ob Mo d − e C . On utilise main tenan t l'isomorphisme anonique ( M ⊗ G ∞ P e C op ∞ ) ⊗ e C Q ∗ F ≃ M ⊗ G ∞ ( P e C op ∞ ⊗ e C Q ∗ F ) naturel en F et en le G ∞ -mo dule M , asso ié aux isomorphismes naturels de G ∞ -mo dules P e C op ∞ ⊗ e C Q ∗ F ≃ ( Q ∗ F ) ∞ ≃ F ∞ don t le premier est déduit du lemme 1.6 et de la prop osition 2.4 et le seond s'obtien t par insp etion. On p eut don dénir le morphisme anonique (1) par la omp osition H ∗ ( G ∞ ; F ∞ ) ≃ − → H ∗ ( e C ; Q ∗ F ) → H ∗ ( C ; F ) de l'isomorphisme de la prop osition prééden te et du morphisme induit par Q . On p eut v érier aisémen t que e morphisme est toujours un isomorphisme en degré 0 , e qui déoulera des résultats du paragraphe suiv an t, qui p ermetten t d'étudier son omp ortemen t en tout degré. R emar que 2.10 . P our formel et élémen taire qu'il soit, e résultat en degré 0 p eut déjà pro urer un p oin t de vue eae sur des aluls de oïn v arian ts stables. P ar exemple (an tiipan t sur les résultats que nous donnerons par la suite en tout degré homologique, résultats qui son t eux non formels et onsidérablemen t plus diiles qu'en degré 0 ) si k = k est un orps ni, on p eut en déduire sans trop de p eine le fait que colim n ∈ N H 0 ( O n,n ( k ); Γ ∗ ( k 2 n )) (resp. colim n ∈ N H 0 ( S p 2 n ( k ); Γ ∗ ( k 2 n ))) (3) est isomorphe à l'espae v etoriel des transformations naturelles de Γ ∗ (fonteur (gradué) puissane divisée sur les k -espaes v etoriels) v ers le fonteur V 7→ k S 2 ( V ∗ ) (resp. V 7→ k Λ 2 ( V ∗ ) ), où l'étoile indique ette fois la dualité. L'artile de Kuhn [Kuh98 ℄ (f. son théorème 1.6) mon tre ommen t aluler es espaes v etoriels gradués, à l'aide du lien fondamen tal établi en tre les fonteurs en tre k -espaes v etoriels et algèbre de Steenro d sur k (au moins lorsque le orps ni k est premier), établi par Henn, Lannes et S h w artz (on p ourra onsulter le premier artile de S h w artz dans l'ouvrage [ FFPS03 ℄ à e sujet). Ce résultat est déjà remarquable ar le alul diret des oïn v arian ts ( 3 ) n'est pas du tout immédiat ! P our dénir le morphisme (2 ), nous utiliserons le fonteur donné par la prop osition immédiate suiv an te : Prop osition 2.11. Il existe un fonteur J : e C → G ∞ envoyant haque è he u ∈ Hom e C ( i, j ) = G ( j ) sur son image  anonique dans G ∞ . Le morphisme naturel (2 ) est déni par la omp osition H ∗ ( G ∞ ; F ∞ ) ≃ − → H ∗ ( e C ; Q ∗ F ) = H ∗ ( e C ; ( Q, J ) ∗ (Π ∗ F )) → H ∗ ( C × G ∞ ; Π ∗ F ) (on rapp elle que Π désigne la pro jetion C × G ∞ → C ) omp osé de l'isomorphisme de la prop osi- tion 2.9 et du morphisme induit par ( Q, J ) . On notera que le morphisme ( 1 ) n'est autre que la omp osée du morphisme ( 2) a v e le morphisme naturel H ∗ ( C × G ∞ ; Π ∗ F ) → H ∗ ( C ; F ) induit par Π . La prop osition 2.9 admet la généralisation suiv an te : 12 Prop osition 2.12. Il existe un isomorphisme gr adué H ∗ ( e C ; ( Q, J ) ∗ X ) ≃ H ∗ ( G ∞ ; X ∞ ) natur el en X ∈ O b ( C × G ∞ ) − Mo d , où X ∞ = colim n ∈ N X ( S ( n )) est muni de l'ation diagonale de G ∞ ( et esp a e ve toriel est natur el lement muni d'une ation de G ∞ × G ∞ , dont un fateur agit  omme dans la r emar que 1.3 et l'autr e p ar l'ation tautolo gique de G ∞ sur C × G ∞ ). Démonstr ation. Elle est omplètemen t analogue à elle de la prop osition 2.9 , en remplaçan t Q ∗ F par ( Q, J ) ∗ X . R emar que 2.13 . P our donner une généralisation des onsidérations prééden tes en termes de bi- fonteurs, on a b esoin de données supplémen taires. P ar exemple, si B est un bifonteur sur la atégorie P ( A ) des A -mo dules à gau he pro jetifs de t yp e ni sur un anneau A , i.e. un ob jet de P ( A ) op × P ( A ) − M od , on dénit l'homologie stable des group es linéaires sur A à o eien ts dans B omme étan t H ∗ ( GL ∞ ( A ); B ∞ ) , où B ∞ est la olimite des B ( A n , A n ) onstruite à partir des pro jetions A n +1 ։ A n sur les n premiers fateurs (p our la première v ariable, on tra v arian te) et des inlusions A n ֒ → A n +1 des n premiers fateurs (p our la seonde v ariable, o v arian te). Néanmoins, dans le as des group es orthogonaux ou sympletiques, on n'obtien t rien de plus général par une telle pro édure. En eet, toute forme quadratique non dégénérée sur un espae v etoriel déterminan t un isomorphisme de elui-i sur son dual, la atégorie E q est équiv alen te à sa atégorie opp osée, de sorte que l'homologie stable des group es orthogonaux à o eien ts dans un bifonteur sur E q (dénie omme dans la situation prééden te) n'est autre que l'homologie stable du fonteur obten u en préomp osan t a v e E q diag − − − → E q × E q ≃ − → ( E q ) op × E q . On p eut pro éder de manière analogue p our les formes sympletiques. 2.2 Suite sp etrale fondamen tale Soit ( Q, J ) ! : Mo d − e C → Mo d − ( C × G ∞ ) le fonteur déni (à isomorphisme anonique près) par l'isomorphisme naturel ∀ X ∈ Ob ( C × G ∞ ) − Mo d ∀ Y ∈ Ob Mo d − e C Y ⊗ e C ( Q, J ) ∗ ( X ) ≃ ( Q, J ) ! ( Y ) ⊗ C × G ∞ X (f. prop osition A.2). Cet isomorphisme se dériv e en une suite sp etrale de Grothendie k (homologique) de terme E 2 donné par E 2 p,q = T or C × G ∞ p ( L q ( Q, J ) ! ( Y ) , X ) et d'ab outissemen t T or e C ∗ ( Y , ( Q, J ) ∗ ( X )) . Les fonteurs L q ( Q, J ) ! ( Y ) désignen t les dériv és à gau he du fonteur exat à droite ( Q, J ) ! ; ette suite sp etrale est naturelle en X et onen trée dans le premier quadran t, don en partiulier on v ergen te. On s'in téresse main tenan t au as où Y est le fonteur onstan t k . Prop osition 2.14. Pour tout entier q > 0 , on a L q ( Q, J ) ! ( k ) = 0 . De plus, ( Q, J ) ! ( k ) est donné p ar un isomorphisme natur el ( Q, J ) ! ( k )( c ) ≃ ( P C c ) ∞ p our c ∈ Ob C . Démonstr ation. La form ule (12 ) (app endie A, prop osition A.2) et la prop osition 2.12 pro uren t des isomorphismes L q ( Q, J ) ! ( k )( c ) = H q ( e C ; ( Q, J ) ∗ ( P C × G ∞ c )) ≃ H q ( G ∞ ; ( P C × G ∞ c ) ∞ ) . Comme ( P C × G ∞ c ) ∞ ≃ ( P C c ) ∞ ⊗ k [ G ∞ ] omme G ∞ -mo dules, ela démon tre la prop osition. On déduit don de notre suite sp etrale et de la prop osition 2.12 : 13 Corollaire 2.15. Il existe un isomorphisme gr adué natur el H ∗ ( G ∞ ; X ∞ ) ≃ T or C × G ∞ ∗ (( Q, J ) ! ( k ) , X ) p our X ∈ Ob ( C × G ∞ ) − M od . En p artiulier, il existe un isomorphisme natur el H ∗ ( G ∞ ; F ∞ ) ≃ T or C × G ∞ ∗ (( Q, J ) ! ( k ) , Π ∗ F ) p our F ∈ Ob C − Mo d . P our étudier plus a v an t es group es, nous aurons b esoin du résultat lassique suiv an t sur l'ho- mologie d'un pro duit de deux atégories : Prop osition 2.16. Soient A et B deux p etites  até gories et Π : A × B → A le fonteur de pr oje tion. Il existe une suite sp e tr ale (du pr emier quadr ant) E 2 p,q = T or A p ( A 7→ H q ( B ; Y ( A, − )) , F ) ⇒ T o r A×B p + q ( Y , Π ∗ F ) fontoriel le en F ∈ Ob A − Mo d et Y ∈ Ob Mo d − ( A × B ) . En p artiulier, il existe deux suites sp e tr ales de Künneth I 2 p,q = H p ( A ; A 7→ H q ( B ; X ( A, − ))) ⇒ H p + q ( A × B ; X ) , II 2 p,q = H p ( B ; B 7→ H q ( A ; X ( − , B ))) ⇒ H p + q ( A × B ; X ) fontoriel les en X ∈ Ob ( A × B ) − Mo d . Démonstr ation. Il existe un isomorphisme naturel Y ⊗ A×B Π ∗ ( F ) ≃ ( A 7→ H 0 ( B ; Y ( A, − ))) ⊗ A F. La suite sp etrale re her hée est la suite sp etrale de Grothendie k orresp ondan te. An d'examiner la forme que prend ette suite sp etrale dans le as qui nous in téresse, nous in tro duisons les dénitions suiv an tes. Notation 2.17. Soien t i et j deux élémen ts de N tels que i ≤ j . Nous désignerons par S t C ( i, j ) le stabilisateur de S ( i ≤ j ) ∈ Hom C ( S ( i ) , S ( j )) sous l'ation à gau he anonique de G ( j ) . Nous noterons S t C ( i ) la olimite sur j ≥ i des group es S t C ( i, j ) . Nous iden tierons S t C ( i ) a v e son image dans le group e G ∞ . On remarque que l'on a S t C ( j ) ⊂ S t C ( i ) p our i ≤ j . Cela p ermet de onsidérer S t C omme un fonteur de but Grp et de soure N op . Nous aurons b esoin, dans les as où le fonteur S n'est pas essen tiellemen t surjetif, de la généralisation suiv an te de es stabilisateurs, qui s'eetue au prix d'une p erte de fontorialité. Notation 2.18. Choisissons, onformémen t à l'axiome (C), un morphisme c u c − → S ( i c ) de C p our tout ob jet c de C . P our tout en tier naturel j ≥ i c , on note S t ( c, j ) le stabilisateur de c u c − → S ( i c ) S ( i c ≤ j ) − − − − − → S ( j ) sous l'ation à gau he anonique de G ( j ) . Nous noterons S t ( c ) la olimite sur j ≥ i c des group es S t ( c, j ) . Nous iden tierons S t ( c ) a v e son image dans le group e G ∞ . L'h yp othèse (W) mon tre que  hanger le  hoix des i c et des u c ne mo die pas, à onjugaison près, les group es S t ( c ) obten us. P our la même raison, tout morphisme f : b → c de C fait de S t ( c ) un sous-group e d'un onjugué de S t ( b ) dans G ∞ . Malgré le manque de fontorialité sur les group es S t ( c ) , la remarque prééden te et la trivialité en homologie de l'ation des automorphismes in térieurs d'un group e fon t de c 7→ H ∗ ( S t ( c ); k ) un fonteur de C op v ers les k -mo dules gradués. 14 Prop osition 2.19. Il existe une suite sp e tr ale E 2 p,q = T or C p ( c 7→ H q ( S t ( c ); k ) , F ) ⇒ H p + q ( G ∞ ; F ∞ ) natur el le en F ∈ Ob C − Mo d . Démonstr ation. Le G ∞ -mo dule ( P C c ) ∞ s'iden tie à k [ G ∞ /S t ( c )] grâe à l'axiome (W). La onlu- sion déoule don des prop ositions 2.14 et 2.16 et du lemme de Shapiro. R emar que 2.20 . 1. En utilisan t la prop osition 2.9 plutt que la prop osition 2.12 , on obtien t une suite sp etrale naturelle E 2 p,q = T or C p ( L ∗ Q ! ( k ) , F ) ⇒ H p + q ( G ∞ ; F ∞ ) . On v érie aisémen t qu'existen t des isomorphismes naturels L q Q ! ( k )( c ) ≃ H q ( S t ( c ); k ) et que la suite sp etrale prééden te est isomorphe à elle de la prop osition 2.19 . L'in térêt de la présen tation qu'on donne réside dans la p ossibilité d'utiliser des argumen ts généraux d'eondremen t p our les suites sp etrales de la prop osition 2.16 omme on le v erra dans le paragraphe suiv an t. 2. Les suites sp etrales de e paragraphe p ossèden t égalemen t des propriétés de fontorialité relativ emen t à C qu'on laisse au leteur le soin d'énoner. Notation 2.21. Lorsqu'auune am biguïté n'est p ossible sur ( C , S, G ) ou k , on notera L q le fonteur c 7→ H q ( S t ( c ); k ) . C'est dans la prop osition suiv an te que l'in térêt de l'h yp othèse (S) apparaît. Prop osition 2.22. Supp osons que les fonteurs S et G pr oviennent d'une strutur e monoïdale symétrique sur C  omme au p ar agr aphe 1.2 et que l'hyp othèse (S) est satisfaite. A lors p our tous entiers n , i et tout objet c de C , le fonteur L n tr ansforme le morphisme  ano- nique c → S ( i ) ⊕ c en un isomorphisme. Si de plus S vérie l'hyp othèse (C'), alors le fonteur L n est  onstant en H n ( G ∞ ; k ) . L a suite sp e tr ale de la pr op osition 2.19 pr end don natur el lement la forme E 2 p,q ≃ T or C p ( H q ( G ∞ ; k ) , F ) ⇒ H p + q ( G ∞ ; F ∞ ) . Démonstr ation. On p eut supp oser que i S ( i ) ⊕ c = S ( i ) ⊕ i c et u S ( i ) ⊕ c = S ( i ) ⊕ u c (f. supra). P our tout en tier j ≥ i c , le fonteur S ( i ) ⊕ − induit don un isomorphisme S t ( c, j ) ≃ − → S t ( S ( i ) ⊕ c, i + j ) , par l'axiome (S). Iden tian t es deux group es via et isomorphisme, on v oit que la è he induite par le morphisme anonique c → S ( i ) ⊕ c s'iden tie au morphisme de group es S t ( c, j ) ֒ → S t ( c, i + j ) induit par G ( j ) = Aut C ( A ⊕ j ) → G ( i + j ) = Aut C ( A ⊕ ( i + j ) ) u 7→ A ⊕ i ⊕ u. Celui-i est onjugué au morphisme u 7→ u ⊕ A ⊕ i qui in tervien t dans la olimite dénissan t G ∞ par l'automorphisme de A ⊕ ( i + j ) A ⊕ ( i + j ) = A ⊕ i ⊕ A ⊕ j ≃ A ⊕ j ⊕ A ⊕ i = A ⊕ ( i + j ) donné par l'é hange des fateurs. Comme les automorphismes in térieurs n'agissen t pas en homologie, ela fournit la première partie du résultat, grâe à la prop osition 2.19 . Supp osons main tenan t que S v érie l'h yp othèse (C'). Soien t c un ob jet de C et b un ob jet de C tel qu'existen t i ∈ N et un isomorphisme b ⊕ c ≃ S ( i ) . Ce qui préède mon tre que, p our tout a ∈ Ob C et tout n ∈ N , l'appliation linéaire L n ( a → a ⊕ c ) a un in v erse à droite, donné à isomorphisme près par L n ( a ⊕ c → a ⊕ c ⊕ b ) (qui a don lui un in v erse à gau he !) ; p our la même raison, e dernier morphisme a un in v erse à droite. Don L n ( a ⊕ c → a ⊕ c ⊕ b ) puis L n ( a → a ⊕ c ) son t des isomorphismes. Considérons à présen t un morphisme f : d → c quelonque de C et mon trons que 'est un L ∗ - isomorphisme. On  hoisit des ob jets a et b de C et des en tiers i et j tels qu'existen t des isomorphismes 15 a ⊕ d ≃ S ( j ) et b ⊕ c ≃ S ( i ) . On p eut ensuite trouv er, par l'axiome (W), un en tier l , qu'on p eut supp oser sup érieur à i et j , et un automorphisme g de S ( l ) tel que le diagramme suiv an t omm ute : d f   / / a ⊕ d ≃ S ( j ) S ( j ≤ l ) / / S ( l ) g   c / / b ⊕ c ≃ S ( i ) S ( i ≤ l ) / / S ( l ) . T outes les è hes horizon tales son t des L ∗ -isomorphismes par e qui préède, de même que g qui est un isomorphisme, don 'est aussi le as de f , e qui a hèv e la démonstration. R emar que 2.23 . C'est dans ette démonstration qu'apparaît l'in térêt de supp oser symétrique la struture monoïdale de C , h yp othèse qui n'in tervien t n ulle part ailleurs dans les onstrutions ou démonstrations. R emar que 2.24 . 1. Dans le as de la atégorie M ( A ) des mo dules à gau he pro jetifs de t yp e ni sur un anneau A a v e injetions sindées (f. exemple 1.9 . 4 ), l'h yp othèse (C') est satisfaite mais pas (S) ; néanmoins, la onlusion de la prop osition prééden te a enore lieu. Cela pro vien t de résultats établis par Betley dans [Bet92 ℄. Nous en donnons une démonstration, fondée sur les tra v aux de Sori henk o, dans l'app endie F. 2. T outes les h yp othèses de la prop osition son t satisfaites par la atégorie Θ de l'exemple 1.9 . 3 . Cela p ermet de retrouv er les résultats de Betley (f. [Bet02 ℄) sur l'homologie stable des group es symétriques. C'est e que nous ferons dans l'app endie E . 3. T outes les h yp othèses de la prop osition 2.22 son t égalemen t satisfaites dans les atégories E q ( k ) et E alt ( k ) (où k est un orps omm utatif ) m unies de la somme orthogonale et de l'ob jet H (f. exemples 1.9 . 1 et 1.9 . 2). Cep endan t, les résultats de e orollaire son t p eu maniables dans e as, e qui nous amènera à tra v ailler plutt dans les atégories E deg q et E deg alt , dans les setions suiv an tes. On remarquera déjà que, le  hoix de l'espae quadratique H n'a y an t pas réellemen t d'imp or- tane (f. remarque 1.10 ), l'homologie de la atégorie E q alule l'homologie stable de tous les group es orthogonaux sur k : le morphisme anonique de la olimite des homologies des group es orthogonaux O n,n (qui orresp onden t au  hoix de H ) v ers la olimite des homologies de tous les group es orthogonaux (asso iés à des formes quadratiques non dégénérées) est un isomorphisme. (On p eut le v oir diretemen t très rapidemen t : 'est une simple onséquene de l'ination des automorphismes in térieurs en homologie, omme dans la démonstration de la prop osition 2.22 .) 2.3 Arrêt de la suite sp etrale et omparaison à la K -théorie stable Nous ommençons par donner une ondition susan te p our que le morphisme H ∗ ( G ∞ ; F ∞ ) → H ∗ ( C × G ∞ ; Π ∗ F ) du paragraphe 2.1 soit un isomorphisme. Prop osition 2.25. Supp osons que la  até gorie p ossè de un objet initial, noté 0 , de sorte qu'il existe, p our tout objet G de Mo d − C , un morphisme natur el de G vers le fonteur G (0) . Soit F ∈ Ob C − Mo d tel que le morphisme L q → L q (0) induise un isomorphisme T or C ∗ ( L q , F ) ≃ − → T or C ∗ ( L q (0) , F ) en homolo gie p our tout q ∈ N . A lors le morphisme (2 ) : H ∗ ( G ∞ ; F ∞ ) → H ∗ ( C × G ∞ ; Π ∗ F ) est un isomorphisme. Démonstr ation. P ar la prop osition 2.16 et le orollaire 2.15 , H ∗ ( G ∞ ; F ∞ ) ≃ T or C × G ∞ ∗ ( c 7→ ( P C c ) ∞ , Π ∗ F ) et H ∗ ( C × G ∞ ; Π ∗ F ) ≃ T or C × G ∞ ∗ ( k , Π ∗ F ) son t resp etiv emen t l'ab outissemen t de suites sp etrales on v ergen tes de deuxièmes pages : I 2 p,q = T or C p ( L q , F ) et II 2 p,q = T or C p ( L q (0) , F ) (puisque L q (0) ≃ H q ( G ∞ ; k ) ). Le morphisme ( c 7→ ( P C c ) ∞ ) → ( P C 0 ) ∞ ≃ k induit par h yp othèse un isomorphisme I 2 p,q → I I 2 p,q , il induit don un isomorphisme en tre les ab outissemen ts des suites sp etrales, d'où la prop osition. 16 À partir de e résultat, nous donnons un ritère simple p our que la suite sp etrale qui nous in téresse s'eondre à la deuxième page ; on obtien t même mieux : non seulemen t le terme E ∞ , mais aussi l'ab outissemen t de la suite sp etrale (qui en dière par une ltration), son t isomorphes au terme E 2 . Prop osition 2.26. F aisons les tr ois hyp othèses suivantes : 1. l'anne au k est de dimension homolo gique au plus 1 ; 2. la  até gorie C p ossè de un objet initial 0 ; 3. F ∈ Ob C − Mo d est tel que p our tout entier q , le morphisme L q → L q (0) induise un isomorphisme T or C ∗ ( L q , F ) ≃ − → T or C ∗ ( L q (0) , F ) en homolo gie. A lors il existe des isomorphismes H n ( G ∞ ; F ∞ ) ≃ H n ( C × G ∞ ; Π ∗ F ) ≃ M p + q = n T or C p ( H q ( G ∞ ; k ) , F ) natur els en F . Les as les plus imp ortan ts son t eux où k est un orps ou égale Z . On remarque que sous les h yp othèses de la prop osition 2.22 les onditions 2 et 3 de la prop osition prééden te son t satisfaites. Démonstr ation. Comme C a un ob jet initial, tout fonteur onstan t de Mo d − C en un k -mo dule injetif est injetif et représen te les morphismes de l'év aluation en 0 v ers ledit mo dule. P ar onsé- quen t, Ext r C op ( M , N ) ≃ E xt r k ( M , N ) lorsque M et N son t des k -mo dules, vus dans le terme de gau he omme fonteurs onstan ts depuis C op . Ces group es son t don n uls p our r ≥ 2 . Soit C • le omplexe de Mo d − C obten u en prenan t les oïn v arian ts par rapp ort à G ∞ d'une résolution pro jetiv e de k ∈ Ob Mo d − ( C × G ∞ ) . La deuxième suite sp etrale de la prop osition 2.16 s'obtien t en prenan t le pro duit tensoriel au-dessus de C de C • et d'une résolution pro jetiv e de F . Les prop ositions A.1 (app endie A ) et 2.25 donnen t alors la onlusion. On p eut égalemen t utiliser l'autre suite sp etrale p our l'homologie de la atégorie C × G ∞ donnée par la prop osition 2.16 , par l'in termédiaire de la propriété générale suiv an te : Prop osition 2.27. Soient A et B deux p etites  até gories, Π : A × B → A la pr oje tion et F un objet de A − Mo d . On supp ose que l'anne au k est de dimension homolo gique au plus 1 . A lors la suite sp e tr ale E 2 p,q ( F ) = H p ( B ; H q ( A ; F )) ⇒ H p + q ( A × B ; Π ∗ F ) donné e p ar la pr op osition 2.16 (où H q ( A ; F ) est vu  omme objet  onstant de B − M od ) s'eondr e à la deuxième p age. De sur r oît,  ette suite sp e tr ale induit un sindement ( non néessairemen t naturel en F ) H n ( A × B ; Π ∗ F ) ≃ M p + q = n H p ( B ; H q ( A ; F )) . Démonstr ation. On suit la démar he de la setion 5 de l'artile "Stable K -theory is bifuntor homology" de F ranjou et Pirash vili, dans le v olume [FFPS03℄, qui elle-même s'inspire du théorème 2 de l'artile [BP94℄ de Betley et Pirash vili. Comme dans [FFPS03℄, on remarque que ette suite sp etrale est une ∂ -suite sp e tr ale (f. 2 . 2 de l'artile de F ranjou-Pirash vili), 'est-à-dire que p our tout suite exate ourte 0 → N → P → F → 0 de A − Mo d et tous en tiers r ≥ 2 , p et q , on disp ose d'un morphisme ∂ r : E r p,q ( F ) → E r p,q − 1 ( N ) de sorte que ∂ r +1 est le morphisme induit par ∂ r en homologie et que ∂ omm ute à la diéren tielle de la suite sp etrale. Les morphismes ∂ 2 son t induits par le morphisme de liaison H q ( A ; F ) → H q − 1 ( A ; N ) ; la struture de ∂ -suite sp etrale s'obtien t en l'étendan t aux omplexes de  haînes sur A − M od (i.e. en passan t à la atégorie dériv ée). On  hoisit ensuite une suite exate ourte 0 → N → P → F → 0 a v e P pro jetif : le morphisme de liaison H q ( A ; F ) → H q − 1 ( A ; N ) est un isomorphisme p our q ≥ 1 et un monomorphisme p our 17 q = 1 , lequel est sindé pare que son ono y au est un sous-mo dule du mo dule pro jetif H 0 ( A ; P ) (si P est un pro jetif standard P A a , H 0 ( A ; P ) ≃ k ), don est lui-même pro jetif par l'h yp othèse faite sur k . P ar onséquen t, ∂ 2 : E 2 p,q ( F ) → E 2 p,q − 1 ( N ) est injetif, e qui nous p ermet d'appliquer le lemme 2 . 2 de l'artile de F ranjou-Pirash vili susmen tionné p our onlure à l'eondremen t de la suite sp etrale à la deuxième page. Le sindemen t se démon tre de façon analogue, mais indép endan te, par réurrene sur n (on s'inspire ii diretemen t de [BP94 ℄) : il est immédiat p our n = 0 , on supp ose don n > 0 et l'on se donne omme a v an t une suite exate 0 → N → P → F → 0 a v e P pro jetif, qui induit des isomorphismes H i ( A ; F ) ≃ H i − 1 ( A ; N ) p our i > 1 et un sindemen t (non naturel) H 0 ( A ; N ) ≃ K ⊕ H 1 ( A ; F ) , où K = K er ( H 0 ( A ; P ) → H 0 ( A ; F )) est un k -mo dule pro jetif. On onsidère alors le diagramme H n ( A × B ; Π ∗ P ) ≃ h   a / / H n ( A × B ; Π ∗ F ) f   b / / H n − 1 ( A × B ; Π ∗ N ) ≃ g   H n ( B ; H 0 ( A ; P )) c / / L p + q = n H p ( B ; H q ( A ; F )) d / / L p + q = n − 1 H p ( B ; H q ( A ; N )) dans lequel : 1. la ligne sup érieure est une partie de la suite exate longue du fonteur homologique H ∗ ( A × B ; − ) ; 2. h est le "oin" de la suite sp etrale ( E r p,q ( P )) , qui est un isomorphisme pare que E 2 p,q ( P ) = 0 p our q > 0 , P étan t pro jetif ; 3. g est un isomorphisme donné par l'h yp othèse de réurrene ; 4. f est le morphisme don t la omp osan te H n ( A × B ; Π ∗ F ) → H n ( B ; H 0 ( A ; F )) est le oin de la suite sp etrale et la omp osan te H n ( A × B ; Π ∗ F ) → H n − i ( B ; H i ( A ; F )) est p our i > 0 omp osée de H n ( A × B ; Π ∗ F ) b − → H n − 1 ( A × B ; Π ∗ N ) g − → M p + q = n − 1 H p ( B ; H q ( A ; N ) ։ H n − i ( B ; H i − 1 ( A ; N )) et de la è he induite par l'isomorphisme H i ( A ; F ) ≃ H i − 1 ( A ; N ) p our i > 1 et le monomor- phisme sindé H 1 ( A ; F ) ֒ → K ⊕ H 1 ( A ; F ) ≃ H 0 ( A ; N ) p our i = 1 ; 5. le morphisme d est déni de manière éviden te p our que le arré de droite omm ute ; 6. le morphisme c est la omp osée du morphisme H n ( B ; H 0 ( A ; P )) → H n ( B ; H 0 ( A ; F )) induit par P ։ F et de l'inlusion anonique. Cela assure que le arré de gau he omm ute, par naturalité du oin de la suite sp etrale et par n ullité de la omp osée ba . L'exatitude de la suite H n ( B ; H 0 ( A ; P )) → H n ( B ; H 0 ( A ; F )) → H n − 1 ( B ; K ) déduite de la suite exate ourte 0 → K → H 0 ( A ; P ) → H 0 ( A ; F ) → 0 p ermet de v oir que la ligne inférieure du diagramme est exate. En notan t H i ( A ) p our H i ( A × B ; A ) et g r i H ( A ) p our L r + s = i H r ( B ; H s ( A ; A )) p our alléger, le lemme des inq appliqué au diagramme omm utatif aux lignes exates (déduit de l'h yp othèse de réurrene) H n ( P ) ≃ h   a / / H n ( F ) f   b / / H n − 1 ( N ) ≃ g   / / H n − 1 ( P ) ≃   g r n H ( P ) c / / g r n H ( F ) d / / g r n − 1 H ( N ) / / g r n − 1 H ( P ) mon tre que f est surjetif. On onsidère à présen t un diagramme H n ( N ) / / f ′   H n ( P ) ≃ h   a / / H n ( F ) f   b / / H n − 1 ( N ) ≃ g   g r n H ( N ) / / g r n H ( P ) c / / g r n H ( F ) d / / g r n − 1 H ( N ) 18 dans lequel la è he f ′ est onstruite omme la è he f , en remplaçan t F par N . Ce diagramme est omm utatif et ses lignes son t exates, p our des raisons similaires aux prééden tes. Ce qu'on vien t d'établir mon tre que la è he f ′ est surjetiv e. Le lemme des inq mon tre alors que f est injetiv e, e qui a hèv e la démonstration. En partiulier, sous les h yp othèses de la prop osition 2.26 , on obtien t une suite sp etrale fonto- rielle E 2 p,q ( F ) = H p ( G ∞ ; H q ( C ; F )) ⇒ H p + q ( C × G ∞ ; Π ∗ F ) ≃ H p + q ( G ∞ ; F ∞ ) , où G ∞ op ère trivialemen t sur H q ( C ; F ) , qui s'eondre à la deuxième page et induit un sindemen t a priori non naturel H n ( G ∞ ; F ∞ ) ≃ M p + q = n H p ( G ∞ ; H q ( C ; F )) . R emar que 2.28 . L'h yp othèse que C p ossède un ob jet initial n'est pas néessaire p our ette suite sp etrale. On notera par ailleurs que, même dans les as usuels fa v orables, il n'existe généralemen t pas de sindemen t natur el de la ltration asso iée à ette suite sp etrale (on trairemen t à e que la rédation de l'artile [BP94 ℄ p eut laisser p enser). Les suites sp etrales que nous v enons d'étudier, qui on v ergen t v ers H ∗ ( G ∞ ; F ∞ ) , qui s'arrêten t au terme E 2 dans les as fa v orables, mériten t d'être omparées à elle obten ue en K -théorie stable (et a v e ses v arian tes faisan t in terv enir d'autres group es que le group e linéaire). Rapp elons sa onstrution. Soit G un group e don t le sous-group e des omm utateurs est parfait ('est le as du group e linéaire inni sur un anneau arbitraire, mais aussi du group e symétrique inni, du group e orthogonal ou sympletique inni sur un orps omm utatif ). On applique la onstrution plus de Quillen au lassian t B G de G (omme group e disret) et on forme la bre homotopique F G de l'appliation anonique B G → B G + . L'homologie de F G à o eien ts dans un G -mo dule M , vu omme π 1 ( F G ) -mo dule via le mor- phisme anonique π 1 ( F G ) → π 1 ( B G ) = G , est par dénition la K -théorie stable G -généralisée à o eien ts dans M ; on la note K s ∗ ( G ; M ) . Le p oin t remarquable est le suiv an t : dans la suite sp etrale de Serre E 2 p,q = H p ( B G + ; K s q ( G ; M )) ≃ H p ( G ; K s q ( G ; M )) ⇒ H p + q ( G ; M ) (4) l'ation du group e G sur le group e ab élien K s q ( G ; M ) est triviale (f. par exemple [ Kas82 ℄, théo- rème 3 . 1 ). De plus, dans de nom breux as, la suite sp etrale s'eondre au terme E 2 et la ltration asso iée se sinde (de manière généralemen t non natur el le ) : v oir l'artile [ BP94 ℄ et l'artile "Stable K -theory is bifuntor homology" de F ranjou et Pirash vili, déjà év o qués, p our le as lassique du group e linéaire (nous n'a v ons d'ailleurs fait que reprendre leur démonstration p our établir la prop osition 2.27 ) ; e as est adapté dans [Bet02 ℄, théorème 1 . 3 , p our le group e symétrique (qui omme l'artile [ BP94 ℄ p eut suggérer un sindemen t naturel, inorret, de la graduation). La K -théorie stable omme l'homologie de atégorie renden t don généralemen t des servies très analogues en terme de alul de l'homologie du group e G à o eien ts tordus : dans les as où l'on sait les iden tier naturellemen t, la suite sp etrale (4 ) et elle de la prop osition 2.27 son t isomorphes. Néanmoins, nous ne onnaissons pas d'analogue à la suite sp etrale de la prop osition 2.19 (qui présen te l'a v an tage non seulemen t de s'eondrer à la deuxième page, mais aussi de pro urer une déomp osition fontoriel le de l'homologie stable dans les as fa v orables, on trairemen t à elle de la prop osition 2.27 ). Il on vien t d'ailleurs de noter que les argumen ts de Sori henk o p our iden tier la K -théorie stable d'un anneau quelonque et l'homologie de la atégorie des mo dules pro jetifs de t yp e ni p our des o eien ts déduits de bifonteurs p olynomiaux n'utilise pas réellemen t la dénition de la K -théorie stable, mais seulemen t l'existene de la suite sp etrale naturelle (4) et d'un morphisme naturel gradué K s ∗ ( GL ∞ ; M ) → H ∗ ( GL ∞ ; M ) (induit par l'appliation anonique F G → B G ). On déduit de e morphisme un morphisme naturel de la K -théorie stable à o eien ts pro v enan t d'un bifonteur v ers l'homologie de e bifonteur, morphisme don t Sori henk o mon tre qu'il est bijetif si le bifonteur est p olynomial en exploitan t uniquemen t la suite sp etrale (4). Dans le as d'un orps ni, l'homologie du group e linéaire inni à o eien ts dans le orps est trivial, omme l'a mon tré Quillen dans [Qui72 ℄, de sorte que la suite sp etrale (4) se réduit à un isomorphisme naturel en tre 19 K -théorie stable et homologie de GL ∞ , 'est p ourquoi le théorème de Sori henk o sur la K -théorie stable se réduit dans e as, traité aupara v an t par Betley (f. [Bet99 ℄) et Suslin (f. l'app endie de [FFSS99 ℄) indép endammen t, à une iden tiation en tre homologie du group e linéaire (à o eien ts tordus) et homologie de atégorie. Nous reviendrons dans les app endies F et E sur l'équiv alene des métho des de alul d'homo- logie stable des group es linéaires et symétriques resp etiv emen t, à o eien ts v enan t d'un fonteur on v enable, à l'aide de la K -théorie stable (généralisée au group e symétrique inni dans le seond as) ou à l'aide de notre suite sp etrale utilisan t diretemen t l'homologie d'une atégorie appropriée. 3 Cas des group es orthogonaux et sympletiques Cette setion fournit le résultat prinipal de et artile, qui relie l'homologie stable des group es orthogonaux (resp. sympletiques) à o eien ts tordus et des group es de torsion sur la atégorie des espaes v etoriels. Ces derniers son t aessibles au alul, dans les as fa v orables, omme nous l'illustrons à la setion 4. On ommene par iden tier une ertaine atégorie de frations de E deg q (resp. de E deg alt ) à une atégorie de Burnside (f. dénition C.4). La déomp osition des fonteurs de Ma k ey non additifs asso iés à ette atégorie (f. théorème C.5 ) in tervien t p our simplier la deuxième page de la suite sp etrale de la setion prééden te p our les group es orthogonaux ou sympletiques. Com biné à des résultats d'ann ulation en homologie des fonteurs, ela p ermet d'obtenir notre résultat en tral, le théorème 3.21 . 3.1 Les atégories de frations E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] et E deg alt [( − ⊥ H ) − 1 ] Dans le as où C = E deg q ( k ) (resp. C = E deg alt ( k ) ), où k est un orps omm utatif xé, le fonteur L n Q ! ( k ) transforme l'inlusion anonique D → S H ( i ) ⊥ D = H ⊥ i ⊥ D en un isomorphisme d'après la prop osition 2.22 . Cette observ ation justie que l'on s'in téresse dans e paragraphe à la atégorie de frations in v ersan t les morphismes anoniques de la forme D i − → D ⊥ H ⊥ n . Soien t ( − ⊥ H ) l'ensem ble de è hes de E deg q suiv an t : ( − ⊥ H ) = { D i − → D ⊥ H | H espace h y p erb olique ; i inclusion canonique } et E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] la atégorie de frations orresp ondan te (qui existe par des résultats généraux, v oir par exemple [GZ67 ℄). On note φ : E deg q → E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] le fonteur anonique. Le but de e paragraphe est de démon trer qu'il existe une équiv alene de atégories Ψ : E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] ≃ − → S p ( E f inj ) où E f inj est la sous-atégorie des injetions de E f ( k ) (f. dénition D.1) et S p ( . ) désigne la atégorie de Burnside don t on rapp elle la onstrution dans la dénition C.4 de l'app endie C. Après a v oir donné quelques résultats essen tiels sur les morphismes de E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] , on dénira le fonteur Ψ , puis on mon trera que Ψ est essen tiellemen t surjetif, plein et dèle. Notation 3.1. Dans les diagrammes dans la atégorie de frations E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] on notera par / / /o /o /o les morphismes de E deg q qui son t élémen ts de ( − ⊥ H ) et par → tout morphisme de E deg q . Remarquons que ( − ⊥ H ) est stable par omp osition et que p our tout ob jet D de E deg q , I d D ∈ ( − ⊥ H ) . On a égalemen t la propriété suiv an te : Lemme 3.2. Soient H un esp a e hyp erb olique et f : D → D ′ un morphisme de E deg q , il existe g : D ⊥ H → D ′ ⊥ H r endant le diagr amme suivant  ommutatif : D / / /o /o /o f   D ⊥ H g   D ′ / / /o /o /o D ′ ⊥ H. 20 Démonstr ation. Ce diagramme est omm utatif p our g = f ⊥ I d H . Ce lemme nous p ermet de donner la desription suiv an te des morphismes de E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] . Lemme 3.3. T out morphisme de E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] s'é rit sous la forme g − 1 f où g est un élément de ( − ⊥ H ) et f est un morphisme de E deg q . R emar que 3.4 . L'ensem ble ( − ⊥ H ) n'admet pas un "alul à gau he des frations" au sens de Gabriel et Zisman ([GZ67 ℄). En eet, p our D i / / /o /o /o D ⊥ H un élémen t de ( − ⊥ H ) , f : D ⊥ H → D ′ et g : D ⊥ H → D ′ deux morphismes de E deg q tels que f i = g i , il n'existe pas de morphisme de ( − ⊥ H ) D ′ i ′ / / /o /o /o D ′ ⊥ K tel que i ′ f = i ′ g . Nous n'a v ons don pas une desription de E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] aussi simple que dans le as onsidéré par Gabriel-Zisman, il est don a priori diile de sa v oir quand deux morphismes son t égaux dans ette atégorie, l'ériture d'un morphisme de E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] sous la forme g − 1 f n'étan t pas unique. Néanmoins nous a v ons les résultats suiv an ts qui seron t essen tiels dans la preuv e de la délité du fonteur F du théorème 3.17 . Lemme 3.5. Soient D un objet de E deg q , H un esp a e hyp erb olique et f ∈ Aut E deg q ( D ⊥ H ) tel que f | D = I d D alors f = I d D ⊥ H dans E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] . Démonstr ation. Soien t D , H et f omme dans l'énoné. L'inlusion anonique D i − → D ⊥ H est un élémen t de ( − ⊥ H ) et est don un isomorphisme dans E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] . Or on a : f i = i don t on déduit que f = I d D ⊥ H dans E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] . Le as partiulier où D est l'espae v etoriel n ul fournit le lemme suiv an t : Lemme 3.6. Soient H un esp a e hyp erb olique et f ∈ Aut E deg q ( H ) . On a alors f = I d H dans E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] . On déduit de e lemme le résultat suiv an t : Prop osition 3.7. Soient D un objet de E deg q , H un esp a e hyp erb olique et f , g ∈ H om E deg q ( D , H ) alors f = g dans E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] . Démonstr ation. P ar le théorème de Witt, il existe h ∈ Aut E deg q ( H ) tel que hf = g . Le lemme 3.6 p ermet d'en déduire que f = g dans E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] . Nous aurons égalemen t b esoin dans la suite du lemme très faile suiv an t : Lemme 3.8. Soient α, β : V → W dans E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] alors il existe un esp a e hyp erb olique H tel que α = i − 1 f et β = i − 1 g ave  f , g : V → W ⊥ H et i : W → W ⊥ H l'inlusion  anonique. Démonstr ation. D'après le lemme 3.3 on a : α = i − 1 1 f 1 et β = i − 1 2 g 2 où f 1 : V → W ⊥ H 1 , g 2 : V → W ⊥ H 2 et i 1 : W → W ⊥ H 1 , i 2 : W → W ⊥ H 2 son t les inlusions anoniques. Il sut alors de v érier que α = i − 1 2 i 2 i − 1 1 f 1 = i − 1 f où f : V → W ⊥ H 1 ⊥ H 2 est la omp osée de f 1 et de l'inlusion anonique W ⊥ H 1 → W ⊥ H 1 ⊥ H 2 . De même p our β . Notation 3.9. Dans la suite, un morphisme de E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] se déomp osan t sous la forme α = i − 1 f où f : V → W ⊥ H et i : W → W ⊥ H l'inlusion anonique, sera noté : V f / / W ⊥ H W o o o/ o/ o/ . R emar que 3.10 . La atégorie E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] est équiv alen te à la atégorie de frations de E deg q où l'on in v erse l'ensem ble des inlusions anoniques D → D ⊥ K où K est un espae quadratique non dégénéré. En eet, omme tout espae quadratique non dégénéré K se plonge dans un espae h yp erb olique K ⊥ K ′ , la omp osée suiv an te : V a − → V ⊥ K b − → V ⊥ K ⊥ K ′ 21 est in v ersible dans E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] , e qui implique que a est in v ersible à gau he et b est in v ersible à droite dans E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] . De plus, omme la omp osée V ⊥ K b − → V ⊥ K ⊥ K ′ c − → V ⊥ K ⊥ K ′ ⊥ K est in v ersible dans E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] , b est in v ersible à gau he dans E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] . On en déduit que b est in v ersible dans E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] et don que a l'est égalemen t. An de dénir le fonteur de E deg q dans S p ( E f inj ) don t déoule l'équiv alene de atégories annon- ée en début de setion nous a v ons b esoin du lemme faile suiv an t. Lemme 3.11. Soit f ∈ Hom E deg q ( D , D ′ ) , on a f − 1 ( Rad ( D ′ )) ⊂ Rad ( D ) où Rad désigne le r adi al. Prop osition 3.12. Il existe un fonteur e Ψ : E deg q → S p ( E f inj ) déni sur les objets p ar e Ψ( D ) = Rad ( D ) et sur les morphismes p ar : e Ψ( D f − → D ′ ) = Rad ( D ) i ← − f − 1 ( Rad ( D ′ )) e f − → Rad ( D ′ ) où i est l'inlusion obtenue dans le lemme 3.11 et e f est la r estrition de f à f − 1 ( Rad ( D ′ )) . Démonstr ation. Vérions que e Ψ dénit bien un fonteur. P our D ∈ E deg q : e Ψ( D I d − → D ) = Rad ( D ) I d ← − R ad ( D ) I d − → R ad ( D ) . P our une paire de è hes omp osables de E deg q : D f − → D ′ g − → D ′′ on a : e Ψ( g ◦ f ) = Rad ( D ) ← ֓ ( g ◦ f ) − 1 ( Rad ( D ′′ )) ] g ◦ f − − → R ad ( D ′′ ) et e Ψ( g ) ◦ e Ψ( f ) est donné par le diagramme en esalier suiv an t : f − 1 ( g − 1 ( Rad ( D ′′ ))  _   f / / g − 1 ( Rad ( D ′′ ))  _   e g / / Rad ( D ′′ ) f − 1 ( Rad ( D ′ ))  _   e f / / Rad ( D ′ ) Rad ( D ) . D'où e Ψ( g ◦ f ) = e Ψ( g ) ◦ e Ψ( f ) . Prop osition 3.13. L e fonteur e Ψ : E deg q → S p ( E f inj ) induit un unique fonteur Ψ : E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] → S p ( E f inj ) r endant le diagr amme suivant  ommutatif : E deg q e Ψ / / φ   S p ( E f inj ) E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] . Ψ 7 7 o o o o o o Démonstr ation. Soit D i − → D ⊥ H un élémen t de ( − ⊥ H ) , on a e Ψ( i ) = Rad ( D ) I d ← − R ad ( D ) I d − → R ad ( D ) (qui est bien un isomorphisme de S p ( E f inj ) !). P ar la propriété univ erselle de la atégorie des frations, il existe un unique fonteur Ψ : E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] → S p ( E f inj ) tel que Ψ ◦ φ = e Ψ . 22 An de mon trer que le fonteur Ψ fournit une équiv alene de atégories, on prouv e dans la suite qu'il est essen tiellemen t surjetif et pleinemen t dèle. Prop osition 3.14. L e fonteur Ψ : E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] → S p ( E f inj ) est essentiel lement surje tif. Démonstr ation. Soit V ∈ E f inj , on m unit V de la forme quadratique n ulle. L'espae quadratique D ainsi obten u étan t totalemen t isotrop e on a Ψ( D ) = V . Prop osition 3.15. L e fonteur Ψ : E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] → S p ( E f inj ) est plein. Démonstr ation. Soien t V = Rad ( V ) ⊥ H et W = R ad ( W ) ⊥ K deux ob jets de E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] et f ∈ Hom S p ( E f inj ) ( Rad ( V ) , Rad ( W )) . P ar dénition des morphismes de S p ( E f inj ) il existe un sous- espae v etoriel X de Rad ( V ) tel que f = Rad ( V ) i ← − X β − → R ad ( W ) où i est l'inlusion et β est une injetion linéaire. Soit X ′ un espae v etoriel supplémen taire de X dans Rad ( V ) et X ′′ un supplémen taire de β ( X ) dans Rad ( W ) . Comme les formes quadratiques sur les radiaux son t n ulles on a : Rad ( V ) ≃ X ⊥ X ′ Rad ( W ) ≃ β ( X ) ⊥ X ′′ . P ar les propriétés générales de la atégorie E deg q il existe un espae h yp erb olique L et g ∈ Hom E deg q ( X ′ , L ) . Soit k : V ≃ X ⊥ X ′ ⊥ H → ( β ( X ) ⊥ X ′′ ⊥ K ) ⊥ H ⊥ L ≃ W ⊥ H ⊥ L l'appliation donnée par la matrie :   β 0 0 0 0 I d H 0 g 0   . L'appliation u = V k / / W ⊥ H ⊥ L W o o o/ o/ o/ de E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] v érie Ψ( u ) = f . Prop osition 3.16. L e fonteur Ψ : E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] → S p ( E f inj ) est dèle. Démonstr ation. Soien t α, β ∈ H om E deg q [( −⊥ H ) − 1 ] ( V , W ) tels que Ψ( α ) = Ψ( β ) . D'après les lemmes 3.3 et 3.8 on p eut érire α et β sous la forme : α = V f / / W ⊥ H W o o o/ o/ o/ ; β = V g / / W ⊥ H W o o o/ o/ o/ . P ar la dénition de la atégorie de Burnside S p ( E f inj ) rapp elée en C.4 , l'égalité Ψ( α ) = Ψ( β ) implique que f − 1 ( Rad ( W )) = g − 1 ( Rad ( W )) et e f = e g . On a les déomp ositions suiv an tes des espaes V et W ⊥ H : V = f − 1 ( Rad ( W )) ⊥ D où D est un ob jet de E deg q ; W ⊥ H = Rad ( W ) ⊥ L où L est un espae non dégénéré. Dans des bases de V et W ⊥ H obten ues en juxtap osan t des bases de f − 1 ( Rad ( W )) et D p our V et de Rad ( W ) et L p our W ⊥ H la matrie de l'appliation f s'érit :  e f ǫ 0 i  où i : D → L est une injetion (préserv an t la forme quadratique) puisque D ∩ f − 1 ( Rad ( W )) = 0 , et ǫ : D → Rad ( W ) est une appliation linéaire. La matrie de g dans la même base est de la forme  e f ǫ ′ 0 i ′  a v e les mêmes onditions sur i ′ et ǫ ′ que préédemmen t. Comme i et i ′ son t des injetions préserv an t les formes quadratiques, à v aleurs dans un espae quadratique non dégénéré, par le théorème de Witt, il existe u ∈ O ( L ) tel que ui = i ′ . De plus, omme i est injetiv e, il existe α : L → Rad ( W ) tel que ǫ + αi = ǫ ′ . Considérons l'automorphisme l de Rad ( W ) ⊥ L de matrie  I d α 0 u  23 l'appliation l f a p our matrie  f | f − 1 ( Rad ( W )) ǫ + αi 0 ui  =  f | f − 1 ( Rad ( W )) ǫ ′ 0 i ′  don t on déduit que l f = g . Or, par le lemme 3.5 , on a l = I d Rad ( W ) ⊥ L d'où : f = g dans E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] . Nous a v ons don démon tré le résultat suiv an t : Théorème 3.17. L e fonteur e Ψ : E deg q → S p ( E f inj ) déni à la pr op osition 3.12 induit une é quiva- len e de  até gories Ψ : E deg q [( − ⊥ H ) − 1 ] ≃ − → S p ( E f inj ) où E f inj est la  até gorie ayant p our objets les k -esp a es ve toriels de dimension nie et p our mor- phismes les appli ations liné air es inje tives. P our la atégorie E deg alt , on démon tre de manière similaire le théorème suiv an t. Théorème 3.18. L e fonteur e Ψ : E deg alt → S p ( E f inj ) déni  omme à la pr op osition 3.12 mutatis mutandis induit une é quivalen e de  até gories Ψ : E deg alt [( − ⊥ H ) − 1 ] ≃ − → S p ( E f inj ) où H désigne l'esp a e symple tique déni en 1.9 .2 . 3.2 Théorème fondamen tal On ommene par donner quelques notations utilisées ourammen t dans la suite : Notation 3.19. Soit k un orps. 1. On désigne par O ∞ ( k ) (resp. S p ∞ ( k ) ) le group e colim n ∈ N O n,n ( k ) (resp. colim n ∈ N S p 2 n ( k ) ), la oli- mite étan t prise onformémen t aux on v en tions de la setion 1. 2. On désigne par S i (resp. Γ i , Λ i ) l'endofonteur i -ème puissane symétrique (resp. divisée, extérieure) des k -espaes v etoriels. 3. On note F ( k ) , v oire F , la atégorie E f ( k ) − Mo d des fonteurs depuis les k -espaes v etoriels de dimension nie v ers les k -mo dules. 4. Lorsque F est un fonteur depuis une atégorie d'espaes v etoriels, on note F ∨ la préom- p osition de F par le fonteur de dualité ( − ) ∗ : F ∨ ( V ) = F ( V ∗ ) . (On rapp elle que F ∗ désigne p our sa part, onformémen t à la notation de l'app endie A , la p ost omp osition de F par la dualité, lorsque k est un orps.) La notation O ∞ est justiée, p our les onsidérations homologiques qui son t les ntres, par le fait que la olimite sur tous les group es orthogonaux donne des résultats anoniquemen t isomorphes (même si le group e orthogonal inni obten u n'est pas isomorphe à elui qu'on onsidère)  f. remarque 2.24 . 3. On aura égalemen t b esoin de la notion lassique suiv an te : Dénition 3.20 (Cf. [FFPS03℄) . Soit k un orps. 1. Le fonteur diér en e de F ( k ) est l'endofonteur ∆ de ette atégorie déni omme étan t le no y au de l'épimorphisme sindé éviden t ( − ⊕ k ) ∗ → I d . 2. Un fonteur F de F ( k ) est dit p olynomial s'il existe n ∈ N tel que ∆ n ( F ) = 0 ; son de gr é est alors le plus grand en tier d tel que ∆ d ( F ) 6 = 0 . 3. Un fonteur analytique est une olimite (qu'on p eut supp oser ltran te) de fonteurs p olyno- miaux. Le théorème i-dessous onstitue le résultat prinipal de et artile. 24 Théorème 3.21. Soient k un  orps ni et F un fonteur analytique de F ( k ) . Il existe des isomorphismes natur els gr adués H ∗ ( O ∞ ( k ); F ∞ ) ≃ T or E f ( k ) × O ∞ ( k ) ∗ ( k [ S 2 ] ∨ , F ) et H ∗ ( S p ∞ ( k ); F ∞ ) ≃ T or E f ( k ) × S p ∞ ( k ) ∗ ( k [Λ 2 ] ∨ , F ) (où les gr oup es O ∞ ( k ) et S p ∞ ( k ) agissent trivialement). Corollaire 3.22. Sous les hyp othèses pr é  é dentes, il existe des suites sp e tr ales natur el les en F donné es p ar E 2 p,q = T or E f ( k ) p ( H q ( O ∞ ( k ); k ) ⊗ k k [ S 2 ] ∨ , F ) ⇒ H p + q ( O ∞ ( k ); F ∞ ) et E 2 p,q = T or E f ( k ) p ( H q ( S p ∞ ( k ); k ) ⊗ k k [Λ 2 ] ∨ , F ) ⇒ H p + q ( S p ∞ ( k ); F ∞ ) . L orsque k est un anne au de dimension homolo gique au plus 1 , el les s'eondr ent au terme E 2 et pr o ur ent des isomorphismes  anoniques H n ( O ∞ ( k ); F ∞ ) ≃ M p + q = n T or E f ( k ) p ( H q ( O ∞ ( k ); k ) ⊗ k k [ S 2 ] ∨ , F ) et H n ( S p ∞ ( k ); F ∞ ) ≃ M p + q = n T or E f ( k ) p ( H q ( S p ∞ ( k ); k ) ⊗ k k [Λ 2 ] ∨ , F ) . Corollaire 3.23. Sous les hyp othèses du thé or ème, il existe des suites sp e tr ales natur el les E 2 p,q = H p ( O ∞ ( k ); T or E f ( k ) q ( k [ S 2 ] ∨ , F )) ⇒ H p + q ( O ∞ ( k ); F ∞ ) et E 2 p,q = H p ( S p ∞ ( k ); T or E f ( k ) q ( k [Λ 2 ] ∨ , F )) ⇒ H p + q ( S p ∞ ( k ); F ∞ ) qui s'eondr ent à la deuxième p age lorsque l'anne au k est de dimension au plus 1 et pr o ur ent alors des isomorphismes non fontoriels H n ( O ∞ ( k ); F ∞ ) ≃ M p + q = n H p ( O ∞ ( k ); T or E f ( k ) q ( k [ S 2 ] ∨ , F )) et H n ( S p ∞ ( k ); F ∞ ) ≃ M p + q = n H p ( S p ∞ ( k ); T or E f ( k ) q ( k [Λ 2 ] ∨ , F )) . A v an t de démon trer es résultats, on donne quelques dénitions puis un lemme relian t les dif- féren ts fonteurs in tro duits ainsi que eux de l'app endie D . Les men tions au orps k son t sous- en tendues. Dénition 3.24. On désigne par E f iso la sous-atégorie de E f a y an t les mêmes ob jets et les isomor- phismes p our morphismes. Dans e qui suit, on utilise égalemen t les atégories in tro duites dans la dénition D.1. Dénition 3.25.  Le fonteur β : Mo d − E f iso → Mo d − E f surj en v oie un fonteur F sur le fonteur prenan t les mêmes v aleurs sur les ob jets et les isomorphismes et en v o y an t les surjetions strites sur 0 .  Le fonteur γ : M od − E deg q [( − ⊕ H ) − 1 ] → Mo d − E deg q est la préomp osition par le fonteur anonique φ : E deg q → E deg q [( − ⊕ H ) − 1 ] .  Le fonteur δ : Mo d − E f → Mo d − E f inj est la préomp osition par le fonteur d'inlusion E f inj → E f . 25 R emar que 3.26 . On rapp elle qu'une forme quadratique sur un espae v etoriel V est un élémen t de S 2 ( V ∗ ) . P ar onséquen t, p our k un orps omm utatif (év en tuellemen t de aratéristique 2 ), on a l'égalité : E deg q = ( E f inj ) ( S 2 ) ∨ où ( E f inj ) ( S 2 ) ∨ est la atégorie don t les ob jets son t les ouples ( V , α ) où V est un ob jet de E f inj et α est un élémen t de S 2 ( V ∗ ) . On note Ω ( S 2 ) ∨ : M od − E deg q = Mo d − ( E f inj ) ( S 2 ) ∨ → M od − E f inj le fonteur déni à la prop osition A.3 de l'app endie A. La preuv e du théorème 3.21 rep ose sur le lemme suiv an t, qui om bine les résultats du  3.1 et la déomp osition des fonteurs de Ma k ey . On rapp elle que les fonteurs ρ , κ et ω son t in tro duits dans la dénition D.1. Lemme 3.27. L e diagr amme suivant : Mo d − E f iso β   ξ ≃ / / Mo d − S p ( E f inj ) η ≃ / / Mo d − E deg q [( − ⊕ H ) − 1 ] γ / / Mo d − E deg q Ω ( S 2 ) ∨   Mo d − E f surj ρ ⊗ κ ( k [ S 2 ] ∨ ) / / Mo d − E f G r ω / / Mo d − E f δ / / Mo d − E f inj où η est induit p ar l'é quivalen e de  até gories du thé or ème 3.17 et ξ est l'é quivalen e donné e dans le thé or ème C.5 ,  ommute à isomorphisme  anonique pr ès. Démonstr ation. Soit α un ob jet de Mo d − E f iso . Son image dans Mo d − E f inj en suiv an t le  hemin sup érieur est donnée par V 7→ M q ∈ S 2 ( V ∗ ) M W ⊂ Rad ( V ,q ) α ( W ) . Sur les morphismes, une è he f : V → V ′ de E f inj est transformée en l'appliation linéaire don t la omp osan te α ( W ′ ) → α ( W ) , p our q ∈ S 2 ( V ∗ ) , q ′ ∈ S 2 ( V ′∗ ) , W ⊂ R a d ( V , q ) et W ′ ⊂ Rad ( V ′ , q ′ ) , est α ( ¯ f ) lorsque S 2 ( t f )( q ′ ) = q et que f induit un isomorphisme ¯ f : W → W ′ (i.e. f ( W ) = W ′ ) et est n ulle sinon. On p eut simplier ette ériture en notan t que la donnée d'une forme quadratique q sur V et d'un sous-espae W de V inlus dans son radial est équiv alen te à la donnée d'un sous-espae W de V et d'une forme quadratique ¯ q sur V /W . Notre fonteur devien t alors V 7→ M W ⊂ V α ( W ) ⊗ k [ S 2 (( V /W ) ∗ )] . Sur les morphismes, la omp osan te α ( W ′ ) ⊗ k [ S 2 (( V ′ /W ′ ) ∗ )] → α ( W ) ⊗ k [ S 2 (( V /W ) ∗ )] induite par f est n ulle si f ( W ) 6 = W ′ et est sinon égale au pro duit tensoriel de α ( ¯ f ) et du morphisme k [ S 2 (( V ′ /W ′ ) ∗ )] → k [ S 2 (( V /W ) ∗ )] asso ian t [ S 2 ( t f )( q ′ )] à [ ¯ q ′ ] p our q ′ forme quadratique sur V ′ n ulle sur W ′ . Ce dernier morphisme n'étan t autre que κ ( k [ S 2 ] ∨ )( f ) , ela établit le lemme. Démonstr ation du thé or ème 3.21 . On se on ten te d'établir l'assertion relativ e au group e orthogonal, l'autre étan t tout-à-fait analogue. On utilise la notation L q de 2.21 , le triplet sous-jaen t étan t ( E deg q , S H , G H ) (f. exemple 1.9 . 1 ). Compte-ten u de la prop osition A.3 , la suite sp etrale de la prop osition 2.19 prend la forme : E 2 p,q = T or E deg q p ( L q , U ∗ F ) ≃ T or E f inj p (Ω ( S 2 ) ∨ ( L q ) , F ) ⇒ H p + q ( O ∞ ; F ∞ ) où U : E deg q = ( E f inj ) ( S 2 ) ∨ → E f inj est le fonteur d'oubli (p our alléger, on a noté enore F la restrition de e fonteur à E f inj ). La prop osition 2.22 mon tre que les fonteurs L q in v ersen t les inlusions V ֒ → V ⊥ H , où l'espae quadratique H est non dégénéré ; ils appartiennen t par onséquen t à l'image essen tielle du fonteur γ . Il existe don, par le lemme prééden t, des ob jets α q de Mo d − E f iso tels que Ω ( S 2 ) ∨ ( L q ) ≃ δ ω ( ρβ ( α q ) ⊗ κ ( k [ S 2 ] ∨ )) . Autremen t dit, Ω ( S 2 ) ∨ ( L q ) est isomorphe à la restrition à E f inj du fonteur ω ( ρβ ( α q ) ⊗ κ ( k [ S 2 ] ∨ )) de Mo d − E f . 26 Comme F est par h yp othèse analytique, on déduit du théorème D.5 (dû à Suslin) que le mor- phisme anonique T or E f inj p (Ω ( S 2 ) ∨ ( L q ) , F ) → T or E f p ( ω ( ρβ ( α q ) ⊗ κ ( k [ S 2 ] ∨ )) , F ) est un isomorphisme. Le aratère analytique de F implique égalemen t que le monomorphisme anonique λ ( ρβ ( α q ) ⊗ κ ( k [ S 2 ] ∨ )) → ω ( ρβ ( α q ) ⊗ κ ( k [ S 2 ] ∨ )) (le fonteur λ est déni en D.1), induit un isomorphisme T or E f p ( λ ( ρβ ( α q ) ⊗ κ ( k [ S 2 ] ∨ )) , F ) → T or E f p ( ω ( ρβ ( α q ) ⊗ κ ( k [ S 2 ] ∨ )) , F ) , grâe au théorème D.2. On note à présen t que λ ( ρβ ( α q ) ⊗ κ ( k [ S 2 ] ∨ )) est isomorphe à α q (0) ⊗ k [ S 2 ] ∨ . Quan t au k -mo dule α q (0) , 'est la v aleur en 0 du fonteur L q , 'est-à-dire H q ( O ∞ ( k ); k ) . P ar la prop osition 2.25 , on en déduit que le morphisme naturel H ∗ ( O ∞ ( k ); F ∞ ) → H ∗ ( E deg q ( k ) × O ∞ ( k ); U ∗ F ) est un isomorphisme. La prop osition A.3 fournit par ailleurs un isomorphisme en tre H ∗ ( E deg q ( k ) × O ∞ ( k ); U ∗ F ) et T or E f inj × O ∞ ( k ) ∗ ( k [ S 2 ] ∨ , F ) , lui-même isomorphe à T or E f × O ∞ ( k ) ∗ ( k [ S 2 ] ∨ , F ) grâe au théorème de Suslin ( D.5 ) déjà in v o qué (omparer les suites sp etrales de Künneth asso iées à es deux derniers group es de torsion). Cela termine la démonstration. Démonstr ation des  or ol lair es 3.22 et 3.23 . Ils se déduisen t du théorème 3.21 et des prop ositions 2.26 et 2.27 resp etiv emen t, en utilisan t omme préédemmen t la prop osition A.3 et le théorème D.5 p our l'iden tiation des deuxièmes pages. R emar que 3.28 . On vien t de mon trer que le morphisme naturel T or E q p ( M , F ) → T or E deg q p ( M , F ) , où M est un fonteur onstan t et F un fonteur analytique de F ( k ) (par abus on a omis la notation de préomp osition par diéren ts fonteurs d'oubli), est un isomorphisme. R emar que 3.29 . L'h yp othèse de nitude du orps k ne sert essen tiellemen t que dans le lemme 3.27 , p our p ouv oir armer que le fonteur ξ du théorème C.5 est une équiv alene de atégories (l'ap- pliation dudit théorème à la atégorie E f inj supp ose en eet que l'ensem ble des sous-espaes d'un k -espae v etoriel de dimension nie soit ni). Nous p ensons ep endan t que le théorème 3.21 reste v alable lorsque k est un orps omm utatif inni. Notation 3.30. Dans la atégorie F ( k ) , on désigne par I le fonteur ( k [ − ] ∨ ) ∗ : V 7→ k V ∗ . (C'est un ob jet injetif de F .) En utilisan t la trivialité de l'homologie stable des group es lassiques sur un orps ni à o eien ts dans le même orps (v oir [FP78℄,  hapitre 3,  4), la aratéristique 2 étan t exlue p our les group es orthogonaux, on déduit du théorème 3.21 le résultat suiv an t. Dans le as où k est de aratéristique 2 , l'homologie H ∗ ( O ∞ ( k ); F 2 ) n'est pas triviale mais isomorphe à H ∗ ( Z / 2; F 2 ) (don de dimension 1 en  haque degré), ar le sous-group e d'indie 2 de O ∞ ( k ) , noté D O dans [ FP78 ℄ (déni au  hapitre 2,  7, via l'in v arian t de Di kson), analogue en aratéristique 2 du group e sp éial orthogonal, a une homologie triviale (f. [FP78 ℄,  hapitre 3,  4). Corollaire 3.31. Supp osons que k = k est un  orps ni de  ar atéristique p . Si F est un fonteur analytique de F ( k ) , il existe des isomorphismes natur els H ∗ ( O ∞ ( k ); F ∞ ) ≃ T or E f ∗ ( k [ S 2 ] ∨ , F ) si p est imp air, H ∗ ( O ∞ ( k ); F ∞ ) ≃ T or E f ∗ ( k [ S 2 ] ∨ , F ) ⊗ H ∗ ( Z / 2; k ) si p = 2 et H ∗ ( S p ∞ ( k ); F ∞ ) ≃ T or E f ∗ ( k [Λ 2 ] ∨ , F ) . L es duaux de  es esp a es ve toriels s'identient  anoniquement à Ext ∗ F ( F, I ◦ Γ 2 ) si p est imp air, Ext ∗ F ( F, I ◦ Γ 2 ) ⊗ H ∗ ( Z / 2; k ) si p = 2 et Ext ∗ F ( F, I ◦ Λ 2 ) r esp e tivement. En utilisan t les résultats de stabilité établis par Charney dans [Cha87 ℄, on en déduit le orollaire suiv an t. 27 Corollaire 3.32. Sous les hyp othèses pr é  é dentes, supp osons de plus que F est p olynomial de de gr é au plus d . A lors p our tous entiers i et n tels que n ≥ 2 i + d + 6 , on a des isomorphismes natur els H i ( O n,n ( k ); F ( k 2 n )) ∗ ≃ Ext i F ( F, I ◦ Γ 2 ) si p est imp air , H i ( O n,n ( k ); F ( k 2 n )) ∗ ≃ i M j =0 Ext j F ( F, I ◦ Γ 2 ) si p = 2 et H i ( S p 2 n ( k ); F ( k 2 n )) ∗ ≃ Ext i F ( F, I ◦ Λ 2 ) . P ar dualité en tre homologie et ohomologie d'un group e ni, on obtien t la v arian te suiv an te : Corollaire 3.33. Sous les mêmes hyp othèses, il existe des isomorphismes natur els H i ( O n,n ( k ); F ( k 2 n )) ≃ Ext i F ( k [ S 2 ] , F ) si p est imp air , H i ( O n,n ( k ); F ( k 2 n )) ≃ i M j =0 Ext i F ( k [ S 2 ] , F ) si p = 2 et H i ( S p 2 n ( k ); F ( k 2 n )) ≃ Ext i F ( k [Λ 2 ] , F ) . 4 Quelques aluls d'homologie de group es orthogonaux et sympletiques Nous allons main tenan t illustrer les résultats de la setion prééden te par des aluls expliites de group es d'homologie de group es orthogonaux et sympletiques. Con v en tion 4.1. Dans toute ette setion, on supp ose que k = k est un orps ni de aratéristique p et de ardinal q = p d . On rapp elle qu'on note simplemen t F ( k ) ou F la atégorie de fonteurs E f ( k ) − Mo d . Les men tions au orps k seron t souv en t omises. On s'est limité au as k = k ar tout fonteur p olynomial sans terme onstan t de E f k v ers les group es ab éliens prend ses v aleurs dans les F p -espaes v etoriels ; une extension des salaires au but ne mo die guère le omp ortemen t homologique de notre atégorie de fonteurs. De surroît, 'est le as où k égale k qu'il est usuel d'étudier ; des aluls d'algèbre homologique p oussés y on t été eetués (f. [FLS94 ℄ et [FFSS99℄). 4.1 Compatibilité aux (o)pro duits Si G est un group e et M et N son t deux G -mo dules, la pro jetion anonique ( M ⊗ N ) G ։ M G ⊗ N G induit un  opr o duit externe en homologie H ∗ ( G ; M ⊗ N ) → H ∗ ( G ; M ) ⊗ H ∗ ( G ; N ) . Ce morphisme naturel gradué fait de H ∗ ( G ; − ) un fonteur omonoïdal. Il est plus usuel de onsidérer la situation duale, à sa v oir le pro duit externe H ∗ ( G ; M ) ⊗ H ∗ ( G ; N ) → H ∗ ( G ; M ⊗ N ) qui fait de H ∗ ( G ; − ) un fonteur monoïdal des G -mo dules v ers les espaes v etoriels gradués et se réduit en degré 0 à l'inlusion anonique M G ⊗ N G ֒ → ( M ⊗ N ) G . Des onstrutions analogues existen t en (o)homologie des fonteurs : le pro duit tensoriel induit en partiulier, p our toute p etite atégorie C , des pro duits naturels Ext ∗ C ( A, F ) ⊗ E xt ∗ C ( B , G ) → Ext ∗ C ( A ⊗ B , F ⊗ G ) . (On a des morphismes duaux éviden ts dans le as des group es de torsion.) Lorsque le fonteur A est m uni d'une struture de  o gèbr e , on p eut utiliser les morphismes Ext ∗ ( A ⊗ A, F ⊗ G ) → Ex t ∗ ( A, F ⊗ G ) induits par le opro duit A → A ⊗ A p our en déduire un pro duit Ext ∗ ( A, F ) ⊗ E xt ∗ ( A, G ) → E xt ∗ ( A, F ⊗ G ) . T ous les fonteurs de préomp osition, don en partiulier d'év aluation, son t ompatibles aux (o)pro duits ainsi dénis. Cela p ermet d'obtenir la ompatibilité de tous les isomorphismes de la setion prééden te aux pro duits ou opro duits. Nous nous b ornerons ii à l'énoné suiv an t : 28 Prop osition 4.2. L es isomorphismes du  or ol lair e 3.33 sont  omp atibles aux pr o duits externes. Plus pr é isément, soient F et G des fonteurs p olynomiaux de F de de gr és r esp e tifs d et d ′ et n , i , j des entiers tels que n ≥ 2( i + j ) + d + d ′ + 6 . Supp osons la  ar atéristique p de k imp air e. L e diagr amme H i ( O n,n ( k ); F ( k 2 n )) ⊗ H j ( O n,n ( k ); G ( k 2 n )) / / ≃   H i + j ( O n,n ( k ); ( F ⊗ G )( k 2 n )) ≃   Ext i F ( k ) ( k [ S 2 ] , F ) ⊗ Ext j F ( k ) ( k [ S 2 ] , G ) / / Ext i + j F ( k ) ( k [ S 2 ] , F ⊗ G ) dans le quel les è hes horizontales sont les pr o duits et les è hes verti ales les isomorphismes donnés p ar le  or ol lair e 3.33  ommute. On disp ose d'un énon é analo gue évident en termes de gr oup es symple tiques. Démonstr ation. Compte-ten u de la remarque prééden te et de la desription des isomorphismes, il sut de démon trer que l'isomorphisme d'adjontion T or E f inj ∗ ( k [ S 2 ] ∨ , F ) ≃ H ∗ ( E deg q ; F ) est om- patible aux opro duits (notre énoné s'en déduit en dualisan t). Celui-i est omp osé du mor- phisme H ∗ ( E deg q ; F ) = T or E deg q ∗ ( k ; F ) → T or E deg q ∗ ( k [ S 2 ] ∨ ; F ) induit par la è he k → k [ S 2 ] ∨ de Mo d − E deg q donnée, sur un espae quadratique ( V , q ) , par l'élémen t [ q ] de k [ S 2 ( V ∗ )] , et du mor- phisme T or E deg q ∗ ( k [ S 2 ] ∨ ; F ) → T or E f inj ∗ ( k [ S 2 ] ∨ ; F ) induit par le fonteur d'oubli de la forme quadra- tique E deg q → E f inj . Le premier resp ete les opro duits ar k → k [ S 2 ] ∨ est un morphisme de ogèbres, le seond par l'observ ation générale préédan t la démonstration, d'où la prop osition. Cette prop osition p ermet d'obtenir une propriété générale frappan te des pro duits externes en ohomologie stable des group es orthogonaux, à l'aide d'observ ations élémen taires mais eaes dues à T ouzé  la prop osition suiv an te est établie (dans le on texte analogue des fonteurs p olynomiaux strits) dans [T ou09 ℄. Prop osition 4.3 (T ouzé) . Soient A une p etite  até gorie additive et A un objet de A − Mo d muni d'une strutur e de  o gèbr e et d'un épimorphisme natur el lement sindé A ( V ⊕ W ) ։ A ( V ) ⊗ A ( W ) p our V , W ∈ O b A de sorte que le  opr o duit de A soit donné p ar la  omp osition A ( V ) → A ( V ⊕ V ) ։ A ( V ) ⊗ A ( V ) , où la pr emièr e è he est induite p ar la diagonale V → V ⊕ V . On supp ose de sur r oît soit que A p ossè de une r ésolution pr oje tive de typ e ni, soit que F et G p ossè dent une r ésolution inje tive de typ e ni et que A pr end des valeurs de dimension nie. A lors le pr o duit externe Ext ∗ ( A, F ) ⊗ E xt ∗ ( A, G ) → E xt ∗ ( A, F ⊗ G ) est une inje tion natur el lement sindé e p our tous objets F et G de A − Mo d . Démonstr ation. À l'aide de l'épimorphisme sindé de l'h yp othèse, des fonteurs adjoin ts ⊕ : A × A → A et δ : A → A × A (diagonale) et de la form ule de Künneth (f. par exemple [FFSS99 ℄, propriété (1.7.2) 1 ), on obtien t un monomorphisme naturellemen t sindé Ext ∗ A ( A, F ) ⊗ E xt ∗ A ( A, G ) ≃ Ext ∗ A×A ( A ⊠ A, F ⊠ G ) ֒ → Ext ∗ A×A ( ⊕ ∗ A, F ⊠ G ) ≃ Ext ∗ A ( A, δ ∗ ( F ⊠ G )) = Ext ∗ A ( A, F ⊗ G ) . La desription du opro duit sur A à partir de l'épimorphisme sindé ⊕ ∗ A → A ⊠ A on ten ue dans l'h yp othèse mon tre que la è he prééden te n'est autre que le pro duit de l'énoné. On rapp elle au leteur que les généralités onernan t les fonteurs exp onen tiels, don t on fait un usage fréquen t dans la suite, son t données dans l'app endie B. L'h yp othèse sur le fonteur A est en partiulier v ériée, p our A = E f , lorsque A est la omp osi- tion E ◦ T d'un fonteur exp onen tiel E et d'un fonteur T tel que T (0) = 0 (puisqu'alors T ( U ⊕ V ) on tien t T ( U ) ⊕ T ( V ) omme fateur diret naturel). P ar onséquen t, les prop ositions 4.2 et 4.3 pro uren t le résultat d'injetivité suiv an t (où l'on utilise que les fonteurs p olynomiaux à v aleurs de dimension nie p ossèden t des résolutions injetiv es de t yp e ni  f. [ FLS94 ℄,  10, où l'énoné est donné sous forme duale). 1 Dans et énoné, il n'est fait men tion de la form ule de Künneth que dans le premier as de nitude en visagé ; l'autre se traite de façon analogue. 29 Prop osition 4.4. Soient F et G deux fonteurs p olynomiaux de F ( k ) pr enant des valeurs de dimension nie, de de gr és r esp e tifs d et d ′ , i , j et n des entiers tels que n ≥ 2( i + j ) + d + d ′ + 6 . A lors le pr o duit externe H i ( O n,n ( k ); F ( k 2 n )) ⊗ H j ( O n,n ( k ); G ( k 2 n )) → H i + j ( O n,n ( k ); ( F ⊗ G )( k 2 n )) est inje tif si la  ar atéristique de k est imp air e. R emar que 4.5 . On a en fait mieux (f. [ T ou09 ℄,  6.1) : il existe en ohomologie stable des group es orthogonaux ou sympletiques un  o pro duit externe qui fournit une rétration naturelle au pro duit externe, omme on s'en on v ain aisémen t en reprenan t la démonstration. Il est imp ossible de dérire diretemen t e opro duit, qui n'existe pas en ohomologie instable. R emar que 4.6 . Il est en fait in utile d'in v o quer les propriétés de nitude des fonteurs p olynomiaux à v aleurs de dimension nie. En eet, la v arian te duale (en termes de group es de torsion) de la prop osition 4.3 est v alide sans auune h yp othèse de nitude (omme la form ule de Künneth p our les T or) ; les group es d'extensions ii onsidérés viennen t tous de la dualisation de group es de torsion. Nous a v ons néanmoins privilégié les énonés en termes de group es d'extensions, plus usuels et plus in tuitifs. Nous donnons main tenan t quelques résultats préliminaires aux aluls expliites de (o)homologie stabilisée de group es orthogonaux et sympletiques tordus par des fonteurs p olynomiaux lassiques. Nos aluls onerneron t les fonteurs exp onen tiels gradués usuels : puissanes extérieures, divisées, symétriques. Lemme 4.7. Soit F un objet de F . Il existe un isomorphisme gr adué natur el T or E f ∗ ( k [ T 2 ] ∨ , F ) ≃ H H ∗ ( E f ; ( V , W ) 7→ F ( V ∗ ⊕ W )) . Démonstr ation. Utilisan t l'adjontion en tre les fonteurs exats induits par la somme direte et la diagonale, l'équiv alene de atégories ( − ) ∗ : ( E f ) op → E f et l'isomorphisme naturel V ∗ ⊗ W ≃ Hom E f ( V , W ) , puis l'isomorphisme ( 10 ) de l'app endie A , on obtien t des isomorphismes gradués naturels T or E f ∗ ( k [ T 2 ] ∨ , F ) ≃ T or ( E f ) op ×E f ∗ ( k [Hom ( E f ) op ] , ( V , W ) 7→ F ( V ∗ ⊕ W )) ≃ H H ∗ ( E f ; ( V , W ) 7→ F ( V ∗ ⊕ W )) . R emar que 4.8 . P our un fonteur p olynomial F , par le théorème de Betley-Suslin [Bet99 ℄ [FFSS99 , app endie℄, on a un isomorphisme naturel H H ∗ ( E f ; ( V , W ) 7→ F ( V ∗ ⊕ W )) ≃ co lim n ∈ N H ∗ ( GL n ( k ); F ( k n ⊕ k n )) où g ∈ GL n ( k ) agit sur k n ⊕ k n par ( t g − 1 , g ) . On v érie que le diagramme suiv an t omm ute T or E f ∗ ( k [ T 2 ] ∨ , F ) ≃ / / α   H H ∗ ( E f ; ( V , W ) 7→ F ( V ∗ ⊕ W )) ≃ / / colim n ∈ N H ∗ ( GL n ( k ); F ( k n ⊕ k n )) β   T or E f ∗ ( k [ S 2 ] ∨ , F ) ≃ / / colim n ∈ N H ∗ ( O n,n ( k ); F ( k n ⊕ k n )) où α est induit par le morphisme anonique T 2 → S 2 , β par le morphisme de group es GL n ( k ) → O n,n ( k ) g 7→  t g − 1 0 0 g  et l'isomorphisme du bas est induit par le orollaire 3.31 . 30 On note D : F op → F le fonteur de dualité de F omp osé omm utatif de ( − ) ∨ et ( − ) ∗ (f. notation 3.19 ), 'est-à-dire donné par ( D F )( V ) = F ( V ∗ ) ∗ . On remarque que e fonteur v érie la propriété d'auto-adjontion Hom F ( F, D G ) ≃ Hom F ( G, DF ) , qui s'étend aux group es d'extensions par exatitude de D . Prop osition 4.9. Soit E • un fonteur exp onentiel gr adué de F . Pour tout entier n , il existe un isomorphisme gr adué natur el T or E f ∗ ( k [ T 2 ] ∨ , E n ) ≃ M i + j = n T or E f ∗ (( E i ) ∨ , E j ) . L e dual de  et esp a e ve toriel s'identie à Ext ∗ F ( E n , I ◦ T 2 ) ≃ M i + j = n Ext ∗ F ( E j , DE i ) . (5) Démonstr ation. Le premier isomorphisme s'obtien t par le lemme 4.7 en dév eloppan t E n ( V ∗ ⊕ W ) à l'aide de la propriété exp onen tielle et en utilisan t l'expression de l'homologie de Ho  hs hild d'un pro duit tensoriel extérieur omme group e de torsion. La deuxième assertion s'obtien t à partir de la première et de l'isomorphisme (7) de l'app endie A. R emar que 4.10 . Le substitut de propriété exp onen tielle indiqué dans la remarque B.2 p ermet d'ob- tenir d'une manière analogue, p our les puissanes tensorielles, un isomorphisme gradué T or E f ∗ ( k [ T 2 ] ∨ , T n ) ≃ M i + j = n T or E f ∗ (( T i ) ∨ , T j ) ⊗ S i × S j k [ S n ] . Ces group es p euv en t être en tièremen t alulés ; on laisse au leteur le soin d'érire les analogues des résultats de la suite de ette setion en termes de puissanes tensorielles. P ar la suite, nous utiliserons systématiquemen t la forme duale en termes d'Ext, ar tous les aluls eetués dans la atégorie F on t été donnés en termes de group es d'extensions et non de torsion (f. [FFPS03℄ par exemple). Dans l'énoné suiv an t, les pro duits et opro duits son t internes ; ils s'obtiennen t à partir des strutures externes en utilisan t la struture de fonteur de Hopf. Prop osition 4.11. Soit E • un fonteur exp onentiel de Hopf omm utatif ou an tiomm utatif de F . L'isomorphisme bigr adué Ext ∗ F ( E • , I ◦ T 2 ) ≃ Ext ∗ F ( E • , DE • ) de la pr op osition 4.9 est un isomorphisme d'algèbr es de Hopf. Démonstr ation. La ompatibilité aux unités et oünités est éviden te. L'isomorphisme γ E • : Ext ∗ F ( E • , I ◦ T 2 ) ≃ Ext ∗ F ( E • , DE • ) de la prop osition 4.9 est naturel en E • , la naturalité étan t relativ e aux morphismes resp etan t la struture exp onen tielle. Nous obtenons la ompatibilité aux pro duits et opro duits en mon tran t que γ E • est monoïdal. (On rapp elle qu'un fonteur monoïdal F en tre deux atégories monoïdales ( A , ⊗ A ) et ( B , ⊗ B ) est un fonteur m uni de morphismes naturels F ( A ) ⊗ B F ( A ′ ) → F ( A ⊗ A A ′ ) ; une transformation naturelle en tre fonteurs monoïdaux est monoïdale si elle est ompatible à es morphismes naturels en un sens éviden t.) En eet, omme le fonteur exp onen tiel gradué E • est supp osé (an ti)omm utatif, les morphismes de m ultipliation E • ⊗ E • → E • et de om ultipliation E • → E • ⊗ E • son t des morphismes de fonteurs exp onen tiels, e qui p ermet de déduire du aratère monoïdal de γ E • sa ompatibilité aux pro duits et opro duits en rev enan t à leur dénition. La démonstration de la prop osition 4.9 mon tre que γ E • s'obtien t par omp osition des trois isomorphismes suiv an ts. P our alléger, on note dans la suite de la démonstration σ : E f × E f → E f le fonteur somme direte, π : E f × E f → E f le fonteur pro duit tensoriel, δ : E f → E f × E f le fonteur diagonal et bi − F p our E f × E f − Mo d . 31 1. l'isomorphisme Ext bi −F ( σ ∗ F, π ∗ I ) ≃ − → Ext F ( F, I ◦ T 2 ) naturel en F ∈ Ob F déduit de l'adjontion en tre σ et δ . C'est un isomorphisme monoï- dal (où la struture monoïdale des deux fonteurs F op → E onsidérés se déduit de la struture d'algèbre sur le fonteur I ) ar il est omp osé du morphisme naturel monoïdal Ext bi −F ( σ ∗ F, π ∗ I ) → Ext F (( σ δ ) ∗ F, I ◦ T 2 ) induit par le fonteur δ et du morphisme naturel monoïdal Ext F (( σ δ ) ∗ F, I ◦ T 2 ) → Ext F ( F, I ◦ T 2 ) induit par l'unité id E f → σ δ ; 2. l'isomorphisme Ext bi −F ( σ ∗ E • , π ∗ I ) ≃ Ext bi −F ( E • ⊠ E • , π ∗ I ) déduit de la struture exp onen tielle de E • , qui est un morphisme naturel monoïdal de fonteurs on tra v arian ts depuis les fonteurs exp onen tiels v ers les espaes v etoriels ; 3. l'isomorphisme Ext ∗ bi −F ( F ⊠ G, π ∗ I ) ≃ − → Ext ∗ F ( F, D G ) naturel en ( F, G ) ∈ Ob F × F est égalemen t monoïdal. Il sut de le mon trer en degré oho- mologique n ul, en lequel il prend la forme expliite suiv an te : à une transformation naturelle ( u V ,W : F ( V ) ⊗ G ( W ) 7→ I ( V ⊗ W )) V ,W on asso ie la transformation naturelle donnée par la olletion d'appliations F ( V ) → G ( V ∗ ) ∗ adjoin tes aux appliations F ( V ) ⊗ G ( V ∗ ) u V ,V ∗ − − − − → I ( V ⊗ V ∗ ) ≃ k End V → k où la dernière è he est l'év aluation en le morphisme iden tique de V . Ce morphisme est don ompatible aux pro duits, e qui a hèv e d'établir la prop osition. La struture du fonteur T 2 dép endan t de la parité de la aratéristique p de k , nous distinguons le as p impair du as p = 2 dans nos in v estigations ultérieures. T andis que nous obtiendrons des aluls omplets sur les fonteurs usuels dans le premier as, nous ne p ourrons donner que des résultats très partiels dans le seond. 4.2 Caluls en aratéristique impaire Con v en tion 4.12. Dans tout e paragraphe, on supp ose p impair. On supp ose que E • est un fonteur exp onen tiel de Hopf gradué omm utatif ou an tiomm utatif. D'une manière générale, si u : A → B est une è he de F en tre fonteurs sans terme onstan t (i.e. A (0) = B (0) = 0 ), on note h ( u ) = ( I ◦ u ) ∗ : Ext ∗ F ( E • , I ◦ A ) → Ext ∗ F ( E • , I ◦ B ) le morphisme d'algèbres de Hopf onsidéré dans la prop osition B.6. Comme 2 est in v ersible dans k , le fonteur T 2 se sinde en somme des deux fonteurs simples Γ 2 ( ≃ S 2 ) et Λ 2 . La propriété exp onen tielle du fonteur I pro ure don un isomorphisme I ◦ T 2 ≃ ( I ◦ Γ 2 ) ⊗ ( I ◦ Λ 2 ) . Comme le fonteur onstan t en k est fateur diret de I , I ◦ Γ 2 et I ◦ Λ 2 son t en partiulier fateurs direts de I ◦ T 2 . P our mener à bien nos aluls, nous a v ons b esoin d'exprimer préisémen t l'eet des idemp oten ts orresp ondan t à ette déomp osition sur les isomorphismes de la prop osition 4.9 . À ette n, on note τ l'in v olution du fonteur T 2 é hangean t les deux fateurs du pro duit tensoriel puis e Γ = h  1+ τ 2  et e Λ = h  1 − τ 2  les deux idemp oten ts de Ext ∗ F ( E • , I ◦ T 2 ) don t les images resp etiv es son t Ext ∗ F ( E • , I ◦ Γ 2 ) et Ext ∗ F ( E • , I ◦ Λ 2 ) . Le résultat suiv an t p ermettra, dans les as usuels, de dérire l'in v olution h ( τ ) en termes expli- ites : Lemme 4.13. Dans l'isomorphisme (5) de la pr op osition 4.9 , l'involution h ( τ ) est donné e p ar les isomorphismes Ext ∗ F ( E j , DE i ) ≃ − → Ext ∗ F ( E i , DE j ) fournis p ar l'auto-adjontion du fonteur D au signe ǫ ij pr ès, où ǫ vaut 1 si E • est  ommutatif et − 1 si E • est anti ommutatif. 32 Démonstr ation. Si F est un ob jet de F = E f − Mo d et G un ob jet de Mo d − E f , le diagramme d'isomorphismes suiv an t omm ute T or E f ∗ ( G, F )   H H ∗ ( E f ; G ⊠ F ) o o / /   T or ( E f ) e ∗ ( k [Hom ( E f ) op ] , G ⊠ F )   T or E f ∗ ( F ∨ , G ∨ ) H H ∗ ( E f ; F ∨ ⊠ G ∨ ) o o / / T or ( E f ) e ∗ ( k [Hom ( E f ) op ] , F ∨ ⊠ G ∨ ) où les è hes v ertiales son t induites par l'é hange des fateurs et l'an ti-équiv alene de atégories ( − ) ∗ et l'on a noté ( E f ) e = ( E f ) op × E f . Supp osons main tenan t F = E • et G = ( E • ) ∨ et formons le diagramme d'isomorphismes suiv an t T or ( E f ) e ∗ ( k [Hom ( E f ) op ] , ( E • ) ∨ ⊠ E • )   / / T or ( E f ) e ∗ ( k [Hom ( E f ) op ] , σ ∗ E • )   / / T or E f ∗ ( k [ T 2 ] ∨ , E • )   T or ( E f ) e ∗ ( k [Hom ( E f ) op ] , ( E • ) ∨ ⊠ E • ) / / T or ( E f ) e ∗ ( k [Hom ( E f ) op ] , σ ∗ E • ) / / T or E f ∗ ( k [ T 2 ] ∨ , E • ) dans lequel les è hes v ertiales son t onstruites omme préédemmen t et où l'on désigne par σ le fonteur ( E f ) e → E f ( W , V ) 7→ W ∗ ⊕ V . Le arré de droite omm ute ar les è hes horizon tales son t des isomorphismes d'adjontion en tre deux fonteurs ( σ et V 7→ ( V ∗ , V ) ) in v arian ts par l'auto- équiv alene ( W , V ) 7→ ( V ∗ , W ∗ ) de ( E f ) e . Le arré de gau he omm ute au signe ǫ ij près lorsque l'on se restrein t en degrés o v arian t i et on tra v arian t j , par dénition de l'(an ti)omm utativité de E • . Il sut alors de reprendre la démonstration de la prop osition 4.9 p our obtenir la onlusion. Le lemme suiv an t p ermet de déterminer expliitemen t, via les résultats de [ FFSS99℄, l'in v olution dérite dans l'énoné prééden t, lorsque E • est un fonteur exp onen tiel gradué usuel. On y note par abus I d ∈ Ob F le fonteur d'inlusion E f ֒ → E . Lemme 4.14. L'involution sur Ext ∗ F ( I d, I d ) induite p ar l'auto-adjontion du fonteur D et l'auto- dualité du fonteur I d est triviale. Démonstr ation. F ranjou, Lannes et S h w artz on t déterminé dans l'artile [FLS94℄ Ext ∗ F ( I d, I d ) : et espae v etoriel gradué est de dimension 1 en degré pair et n ul en degré impair ; omme algèbre (p our le pro duit de omp osition), Ext ∗ F ( I d, I d ) est une algèbre symétrique (don en partiulier omm utativ e) sur des générateurs e i de degré 2 p i − 1 , p our i > 0 , quotien tée par l'idéal des puissanes p -ièmes. L'in v olution donnée par la dualité étan t un (an ti)morphisme d'algèbre graduée, il sut de v érier qu'elle préserv e les e i . P our ela, nous aurons b esoin d'utiliser la atégorie P des fonteurs "p olynomiaux strits" sur k de F riedlander-Suslin (f. [FS97 ℄). Il existe un fonteur exat P → F ompatible à la dualité ( P est m unie d'une dualité analogue à elle de F ) tel que e i est l'image d'un élémen t, traditionnellemen t enore noté de la même façon, appartenan t à Ext 2 p i − 1 P ( I d ( i ) , I d ( i ) ) , où I d ( i ) désigne le fonteur iden tité I d tordu i fois par le morphisme de F rob enius (f. [FS97℄,  4 ). De plus, le lemme 4 . 2 de [FS97 ℄ mon tre que e 1 est auto-dual. On utilise main tenan t le orollaire 5 . 9 de [FFSS99℄ : il mon tre que l'image de e i par le morphisme Ext 2 p i − 1 P ( I d ( i ) , I d ( i ) ) → Ext 2 p i − 1 P (Γ p i − 1 (1) , S p i − 1 (1) ) donné par la p ostomp osition par le morphisme de F rob enius (itéré et tordu) I d ( i ) → S p i − 1 (1) et la préom- p osition par son dual (de sorte que e morphisme est ompatible à la dualité) en v oie e i sur e p i − 1 1 , où le pro duit est ette fois relatif à l'algèbre (trigraduée) Ext ∗ P (Γ ∗ (1) , S ∗ (1) ) , don t la struture m ul- tipliativ e, déduite des strutures exp onen tielles duales de Γ ∗ et S ∗ , est ompatible à la dualité. Il s'ensuit que e i est auto-dual, d'où le lemme. Nous rapp elons main tenan t le premier p oin t du théorème 6 . 3 de [FFSS99℄, dans la v ersion bigraduée (moins préise que la v ersion trigraduée originelle) qui nous in téresse, où l'assertion relativ e à la dualité se déduit du lemme 4.14 : Théorème 4.15 (F ranjou-F riedlander-Sori henk o-Suslin) . L'algèbr e de Hopf bigr adué e Ext ∗ F (Γ • , S • ) est une algèbr e symétrique S ( U ) , où U est un esp a e ve toriel bigr adué de dimension 2 en bide gr é 33 (2 q s m, q s + 1) p our tous entiers m ≥ 0 et s > 0 , de dimension 1 en bide gr é (2 m, 2) p our tout entier m ≥ 0 et nul dans les autr es bide gr és. L e pr emier de gr é est le de gr é  ohomolo gique et le se  ond le de gr é interne. De sur r oît, la dualité est é gale à S ( t ) , où t est une involution gr adué e de U dont 1 est valeur pr opr e simple en haque bide gr é où U est non nul. On en déduit le théorème suiv an t : Théorème 4.16. L'algèbr e de Hopf bigr adué e Ext ∗ F (Γ ∗ , I ◦ Γ 2 ) (r esp. Ext ∗ F (Γ ∗ , I ◦ Λ 2 ) ) est une algèbr e symétrique S ( V Γ ) (r esp. S ( W Γ ) ), où V Γ (r esp. W Γ ) est un esp a e ve toriel bigr adué de dimension 1 en bide gr é (2 q s m, q s + 1) p our tous entiers m ≥ 0 et s ≥ 0 (r esp. s > 0 ) et nul dans les autr es bide gr és. Démonstr ation. Le théorème prééden t (don t on onserv e les notations) dérit l'algèbre de Hopf bigraduée Ext ∗ F (Γ • , S • ) ≃ S ( U ) , on a don aussi Ext ∗ F (Γ • , I ◦ T 2 ) ≃ S ( U ) par la prop osition 4.11 , ainsi que h ( τ ) ≃ S ( t ) par le lemme 4.13 . On en déduit par les prop ositions B.4 et B.6 . 3 h (1 + τ ) ≃ S (1) ∗ S ( t ) ≃ S (1 + t ) puis h  1 + τ 2  = h  p + 1 2 . (1 + τ )  = h (1 + τ ) ∗ p +1 2 ≃ S (1 + t ) ∗ p +1 2 = S  p + 1 2 . (1 + t )  = S  1 + t 2  ; de même h ( 1 − τ 2 ) ≃ S ( 1 − t 2 ) , e qui donne le résultat. En pro édan t de façon similaire, utilisan t ette fois la dernière assertion du théorème 6 . 3 de [FFSS99 ℄, on obtien t le résultat suiv an t : Théorème 4.17. L'algèbr e de Hopf bigr adué e Ext ∗ F (Λ ∗ , I ◦ Γ 2 ) (r esp. Ext ∗ F (Λ ∗ , I ◦ Λ 2 ) ) est une algèbr e à puissan es divisé es Γ( V Λ ) (r esp. Γ( W Λ ) ), où V Λ (r esp. W Λ ) est un esp a e ve toriel bigr adué de dimension 1 en bide gr é (2 q s m + q s − 1 , q s + 1) p our tous entiers m ≥ 0 et s > 0 (r esp. s ≥ 0 ) et nul dans les autr es bide gr és. Le orollaire 3.31 et les théorèmes 4.16 et 4.17 impliquen t : Théorème 4.18. 1. L'algèbr e bigr adué e H ∗ ( O ∞ ; S • ∞ ) est une algèbr e symétrique S ( V S ) , où V S est un esp a e ve toriel bigr adué de dimension 1 en bide gr é (2 q s m, q s + 1) p our tous entiers m ≥ 0 et s ≥ 0 et nul dans les autr es bide gr és. 2. L'algèbr e bigr adué e H ∗ ( O ∞ ; Λ • ∞ ) est une algèbr e à puissan es divisé es Γ( V Λ ) , où V Λ est un esp a e ve toriel bigr adué de dimen- sion 1 en bide gr é (2 q s m + q s − 1 , q s + 1) p our tous entiers m ≥ 0 et s > 0 et nul dans les autr es bide gr és. 3. L'algèbr e bigr adué e H ∗ ( S p ∞ ; S • ∞ ) est une algèbr e symétrique S ( W S ) , où W S est un esp a e ve toriel bigr adué de dimension 1 en bide gr é (2 q s m, q s + 1) p our tous entiers m ≥ 0 et s > 0 et nul dans les autr es bide gr és. 4. L'algèbr e bigr adué e H ∗ ( S p ∞ ; Λ • ∞ ) est une algèbr e à puissan es divisé es Γ( W Λ ) , où W Λ est un esp a e ve toriel bigr adué de di- mension 1 en bide gr é (2 q s m + q s − 1 , q s + 1) p our tous entiers m ≥ 0 et s ≥ 0 et nul dans les autr es bide gr és. Théorème 4.19. 1. L a  o gèbr e bigr adué e H ∗ ( O ∞ ; Γ • ∞ ) est une  o gèbr e à puissan es divisé es Γ( V Γ ) , où V Γ est un esp a e ve toriel bigr adué de dimen- sion 1 en bide gr é (2 q s m, q s + 1) p our tous entiers m ≥ 0 et s ≥ 0 et nul dans les autr es bide gr és. 34 2. L a  o gèbr e bigr adué e H ∗ ( O ∞ ; Λ • ∞ ) est une  o gèbr e symétrique S ( V Λ ) , où V Λ est un esp a e ve toriel bigr adué de dimension 1 en bide gr é (2 q s m + q s − 1 , q s + 1) p our tous entiers m ≥ 0 et s > 0 et nul dans les autr es bide gr és. 3. L a  o gèbr e bigr adué e H ∗ ( S p ∞ ; Γ • ∞ ) est une  o gèbr e à puissan es divisé es Γ( W Γ ) , où W Γ est un esp a e ve toriel bigr adué de di- mension 1 en bide gr é (2 q s m, q s + 1) p our tous entiers m ≥ 0 et s > 0 et nul dans les autr es bide gr és. 4. L a  o gèbr e bigr adué e H ∗ ( S p ∞ ; Λ • ∞ ) est une  o gèbr e symétrique S ( W Λ ) , où W Λ est un esp a e ve toriel bigr adué de dimension 1 en bide gr é (2 q s m + q s − 1 , q s + 1) p our tous entiers m ≥ 0 et s ≥ 0 et nul dans les autr es bide gr és. P ar le orollaire 3.32 , le théorème prééden t alule les espaes v etoriels H i ( O n,n , Γ j ( F 2 n q )) , H i ( O n,n , Λ j ( F 2 n q )) , H i ( S p 2 n , Γ j ( F 2 n q )) et H i ( S p 2 n , Λ j ( F 2 n q )) p our n ≥ 2 i + j + 6 . P our déterminer par la même métho de H ∗ ( O ∞ , S • ∞ ) et H ∗ ( S p ∞ , S • ∞ ) , on a b esoin de onnaître Ext ∗ F ( S • , Γ • ) . Ce alul, manquan t dans [FFSS99 ℄, a été eetué réemmen t par Chaªupnik dans [Cha08 ℄, orollaire 4 . 6 (toujours en transitan t par la atégorie P ). On laisse au leteur le soin d'érire le résultat, un p etit p eu plus te hnique, obten u. P our onlure e paragraphe, men tionnons un orollaire frappan t de e théorème, don t les auteurs ignoren t s'il p eut être établi de manière plus direte. Corollaire 4.20. Soient n et i deux entiers tels que n ≥ 2 i + 8 . A lors le i -ème gr oup e d'homolo gie du gr oup e O n,n (r esp. S p 2 n ) à  o eients dans sa r epr ésentation adjointe est nul. Démonstr ation. Soit ( V , q ) un espae quadratique de dimension nie non dégénéré. L'isomorphisme d'espaes v etoriels ϕ : T 2 ( V ) ≃ − → End V omp osé de l'isomorphisme anonique T 2 ( V ) ≃ Hom k ( V ∗ , V ) et de Hom k ( φ, V ) , où φ : V ≃ − → V ∗ est l'isomorphisme déduit de q , est O ( V , q ) -équiv arian t, où l'ation est la restrition de l'ation de GL ( V ) donnée par la fontorialité de T 2 à la soure et la onjugaison au but (f. remarque 2.13 ). De plus, ϕ se restrein t en un isomorphisme O ( V , q ) -équiv arian t en tre Λ 2 ( V ) et la représen tation adjoin te de O ( V , q ) . P ar onséquen t, l'ann ulation dans le as orthogonal pro vien t de elle de H ∗ ( O ∞ ; Λ 2 ) on ten ue dans le théorème prééden t et du orollaire 3.32 (f. remarque suiv an t le théorème prééden t). Le as sympletique s'obtien t de la même manière à partir de l'ann ulation de H ∗ ( S p ∞ ; S 2 ) . 4.3 Un alul en aratéristique 2 Con v en tion 4.21. Dans e paragraphe, k est le orps à 2 élémen ts F 2 . On p ourrait pro éder de manière analogue sur tout orps ni de aratéristique 2 , mais nous nous restreignons à e as ar nous nous appuy ons sur des résultats de T ro es h qui n'on t été énonés que sur des orps premiers. Sur F 2 , le fonteur T 2 n'est pas semi-simple, et Γ 2 n'est pas simple (il n'est pas non plus isomorphe à S 2 ) : on a des suites exates ourtes non sindées 0 → Λ 2 → Γ 2 → I d → 0 et 0 → Γ 2 → T 2 → Λ 2 → 0 , où la è he Γ 2 → I d ("V ers hiebung") est duale du morphisme de F rob enius I d → S 2 . Nous alulerons seulemen t les group es Ext ∗ F ( I d, I ◦ Γ 2 ) et Ext ∗ F ( I d, I ◦ Λ 2 ) , la détermination omplète de Ext ∗ F ( F, I ◦ Γ 2 ) ou Ext ∗ F ( F, I ◦ Λ 2 ) sem blan t hors de p ortée lorsque F est un fonteur p olynomial de degré stritemen t sup érieur à 1 . De fait, les fonteurs Ext ∗ F ( I d, − ) jouissen t de la remarquable propriété suiv an te (qui est vraie sur tout orps ni premier), établie dans [ T ro02 ℄ (théorème 3 . 1 ) : 35 Théorème 4.22 (T ro es h) . Soient C • un  omplexe exat d'objets de F sans terme  onstant et F un fonteur analytique de F . On a Ext ∗ F ( I d, H ∗ ( F ◦ C • )) = 0 . (T ro es h énone e résultat seulemen t p our F p olynomial, mais le résultat général s'en déduit aussitt par passage à la olimite ltran te, puisque I d p ossède une résolution pro jetiv e de t yp e ni, d'après un résultat lassique de S h w artz, établi par exemple dans [ FLS94 ℄, prop osition 10 . 1 .) P ar onséquen t, les deux suites exates prééden tes induisen t après p ostomp osition par I (le aratère analytique de e fonteur est un fait lassique  f. par exemple [ FFPS03℄) des suites exates longues : · · · → E xt i − 1 ( I d, I ) → Ext i ( I d, I ◦ Λ 2 ) → Ext i ( I d, I ◦ Γ 2 ) → Ext i ( I d, I ) → · · · et · · · → E xt i ( I d, I ◦ T 2 ) → Ext i ( I d, I ◦ Λ 2 ) → Ext i +1 ( I d, I ◦ Γ 2 ) → Ext i +1 ( I d, I ◦ T 2 ) → · · · Mais Ext i ( I d, I ) est n ul p our i 6 = 0 et isomorphe à F 2 p our i = 0 , tandis que Ext i ( I d, I ◦ T 2 ) = 0 p our tout i d'après la prop osition 4.9 . On en déduit aussitt : Théorème 4.23. L e F 2 -esp a e ve toriel Ext i F ( I d, I ◦ Γ 2 ) est de dimension 1 p our i ≥ 2 et nul sinon. L e F 2 -esp a e ve toriel Ext i F ( I d, I ◦ Λ 2 ) est de dimension 1 p our i ≥ 1 et nul p our i = 0 . R emar que 4.24 . De façon similaire on obtien t que Ext i ( I d, I ◦ S 2 ) est de dimension 1 p our tout i ∈ N . On en déduit, par le orollaire 3.32 , le résultat suiv an t. Corollaire 4.25. Soient n et i des entiers natur els tels que n ≥ 2 i + 7 . 1. L'esp a e ve toriel H i ( O n,n ( F 2 ) , F 2 2 n ) est de dimension i − 1 p our i ≥ 2 et nul sinon. 2. L'esp a e ve toriel H i ( S p 2 n ( F 2 ) , F 2 2 n ) est de dimension 1 p our i ≥ 1 et nul sinon. A Algèbre homologique dans les atégories de fonteurs Soit C une p etite atégorie ; on rapp elle que l'on note C − Mo d la atégorie des fonteurs de soure C et de but la atégorie Mo d k et Mo d − C p our C op − Mo d . Nous rapp elons dans et app endie quelques résultats homologiques élémen taires et bien onn us de ette atégorie, qui se omp orte à plusieurs égards omme une atégorie de mo dules. Cette atégorie est ab élienne, l'exatitude se testan t au but. Elle p ossède toutes limites et olimites, qui se alulen t au but. (On ren v oie, par exemple, à [ Gab62 ℄ p our les généralités sur les atégories ab éliennes.) C'est même une atégorie de Grothendie k : elle p ossède un générateur et les olimites ltran tes son t exates. On p eut préiser le premier p oin t de la façon suiv an te : p our tout ob jet i de C , on note P C i le fonteur k [Hom C ( i, − )] (où k [ E ] désigne le k -mo dule libre de base E ). Le lemme de Y oneda pro ure un isomorphisme anonique Hom C ( P C i , F ) ≃ F ( i ) (on note ii Hom C p our Hom C − Mod ; des on v en tions analogues p our les group es d'extensions seron t utilisées), d'où l'on déduit que les P C i son t pro jetifs et engendren t C − Mo d . On les app elle parfois génér ateurs pr oje tifs standar d de C − Mo d . Le pr o duit tensoriel au-dessus de C (f. par exemple l'app endie C de [Lo d98 ℄) est le fonteur ⊗ C : Mo d − C × C − Mo d → Mo d k donné ainsi : p our F ∈ Ob Mo d − C et G ∈ Ob C − Mo d , F ⊗ C G est le quotien t de L i ∈ Ob C F ( i ) ⊗ G ( i ) (on rapp elle que les pro duits tensoriels non sp éiés son t pris sur k ) par le sous-mo dule engendré par les élémen ts du t yp e F ( f )( x ′ ) ⊗ y − x ′ ⊗ G ( f )( y ) p our i f − → i ′ è he de C , y ∈ G ( i ) et x ′ ∈ F ( i ′ ) . Le bifonteur ⊗ C omm ute aux olimites en  haque v ariable. Il p ossède des propriétés de om- m utativité et d'asso iativité éviden tes. De plus, on a des isomorphismes naturels P C op i ⊗ C G ≃ G ( i ) et F ⊗ C P C i ≃ F ( i ) . 36 Une autre manière de aratériser le pro duit tensoriel est l'adjontion suiv an te : Hom k ( F ⊗ C G, V ) ≃ Hom C ( G, H om k ( F, V )) , (6) où, p our V ∈ Ob Mo d k et F ∈ Ob Mo d − C , H om k ( F, V ) désigne l'ob jet de C − Mo d donné par C 7→ Hom k ( F ( C ) , V ) . P our des raisons standard d'algèbre homologique, dériv er à gau he le bifonteur ⊗ C relativ emen t à l'une ou l'autre des v ariables donne des résultats anoniquemen t isomorphes, notés T or C ∗ . (On p eut aussi dénir es group es omme l'homologie d'un omplexe simpliial expliite  f. [ Lo d98 ℄, app endie C, par exemple.) Un fonteur G ∈ Ob C − Mo d est dit plat si − ⊗ C G est exat. T out fonteur pro jetif est plat, et les fonteurs plats son t stables par olimite ltran te. Comme dans le as des mo dules, on p eut remplaer, p our aluler les group es de torsion sur C , les résolutions pro jetiv es par des résolutions plates. L'isomorphisme (6) mon tre que le pro duit tensoriel au-dessus de C est en quelque sorte dual du fonteur Hom sur C − Mo d . Cela fontionne partiulièremen t bien lorsque k est un orps ; on note alors F ∗ p our H om k ( F, k ) , la p ost-omp osition de F par le fonteur de dualité des espaes v etoriels, noté V 7→ V ∗ . L'exatitude de ette dualité donne alors un isomorphisme naturel gradué T or C ( F, G ) ∗ ≃ Ext C ( G, F ∗ ) . (7) L' homolo gie de la atégorie C à o eien ts dans un fonteur F ∈ Ob C − Mo d est par dénition le k -mo dule gradué T or C ∗ ( k , F ) (où k désigne le fonteur de Mo d − C onstan t en k ), qui est noté H ∗ ( C ; F ) . On remarque que H 0 ( C ; F ) s'iden tie anoniquemen t à la olimite du fonteur F . Lorsque C est la atégorie à un ob jet asso iée à un group e (ou plus généralemen t un monoïde) G , F se réduit à un k [ G ] -mo dule et l'on retrouv e la notion habituelle d'homologie du group e G (ou plus généralemen t de group es de torsion sur G ). P ar ailleurs, le mo dule gradué H ∗ ( C ; k ) à o eien ts dans le fonteur onstan t s'iden tie à l'homologie singulière du nerf de C . Nous aurons b esoin du résultat suiv an t déduit de la théorie de l'obstrution des omplexes de  haînes exp osée par Dold dans [ Dol60 ℄ ; e n'est qu'une transp osition au as des atégories de fonteurs de t yp e C − Mo d de la prop osition 1 . 6 de l'artile [Pir00b ℄ de Pirash vili sur les Γ -mo dules. Prop osition A.1 (Pirash vili) . Soient F ∈ Ob C − Mo d et C • un  omplexe de haînes N -gr adué d'objets pr oje tifs de Mo d − C . 1. Il existe une suite sp e tr ale du pr emier quadr ant E 2 p,q = T or C p ( H q ( C • ) , F ) ⇒ H p + q ( C • ⊗ C F ) . 2. Supp osons que Ext m − n +1 C op ( H n ( C • ) , H m ( C • )) = 0 p our n < m. (8) A lors la suite sp e tr ale s'eondr e au terme E 2 ; de plus, il existe une dé  omp osition : H n ( C • ⊗ C F ) ≃ M p + q = n T or C p ( H q ( C • ) , F ) (9) natur el le en F . (La suite sp etrale en question s'obtien t en onsidéran t le omplexe double pro duit tensoriel au-dessus de C de C • et d'une résolution pro jetiv e de F .) Une généralisation de l'homologie et des group es de torsion (mo dulo une h yp othèse de pro je- tivité sur les o eien ts) sur la atégorie C est elle d'homologie des bi fonteurs, i.e. des ob jets de C op × C Mo d . Comme ette notion orresp ond, dans le as d'une atégorie à un ob jet, à elle d'homologie de Ho  hs hild de l'algèbre du monoïde asso ié, nous noterons H H ∗ ette théorie ho- mologique. Si B est un tel bifonteur, on dénit H H 0 ( C ; B ) omme le quotien t de L i ∈ Ob C B ( i, i ) par le sous-mo dule engendré par les élémen ts du t yp e B ( f , id i )( x ) − B ( id j , f )( x ) p our i , j ob jets de C , 37 x ∈ B ( j, i ) et f ∈ Hom C ( i, j ) . Le fonteur H H 0 ( C , − ) est exat à droite ; les k -mo dules H H i ( C ; B ) son t par dénition l'év aluation en B de ses fonteurs dériv és. Si B est un pro duit tensoriel extérieur F ⊠ G a v e F ∈ Ob Mo d − C et G ∈ Ob C − Mo d , i.e. B ( i, j ) = F ( i ) ⊗ G ( j ) , et que l'un des fonteurs F et G a p our v aleurs des k -mo dules pro jetifs, on a H H ∗ ( C ; B ) = T or C ∗ ( F, G ) ('est vrai sans h yp othèse en degré 0 ). Une autre desription de H H ∗ est donnée par l'isomorphisme gradué naturel suiv an t : H H ∗ ( C ; B ) ≃ T or C op ×C ∗ ( k [Hom C op ( − , − )] , B ) (10) (f. [Lo d98 ℄, app endie C, par exemple). L'homologie de C à o eien ts dans un bifonteur (et de même les group es de torsion sur C ) p ossède une fontorialité en C : si Q : D → C est un fonteur en tre p etites atégories et B un ob jet de Ob C op × C − Mo d , on disp ose d'un morphisme anonique H H ∗ ( D ; Q ∗ ( B )) → H H ∗ ( C ; B ) , où l'étoile indique la préomp osition et où l'on note par abus enore Q p our Q op × Q : D op × D → C op × C . En degré 0 , il se dénit en onstatan t que le morphisme éviden t M j ∈ Ob D B ( Q ( j ) , Q ( j )) → M i ∈ Ob C B ( i, i ) induit un morphisme H H 0 ( D ; Q ∗ ( B )) → H H 0 ( C ; B ) , qu'on prolonge ensuite en un morphisme de fonteurs homologiques ('est p ossible par exatitude de Q ∗ ). C'est un isomorphisme si Q est une équiv alene de atégories. Il existe un analogue de la notion de fonteurs adjoin ts p our le pro duit tensoriel au-dessus d'une p etite atégorie. Le as qui nous in téresse est elui orresp ondan t aux extensions de Kan, qu'on p eut traiter de façon analogue : Prop osition A.2. Soient C et D des p etites  até gories et Q : D → C un fonteur. Il existe un fonteur Q ! : Mo d − D → Mo d − C , unique à isomorphisme  anonique pr ès, tel qu'existe un isomorphisme natur el F ⊗ D Q ∗ ( G ) ≃ Q ! ( F ) ⊗ C G p our F ∈ Ob Mo d − D et G ∈ Ob C − Mo d (où Q ∗ désigne la pr é  omp osition p ar Q ). On p eut dénir Q ! p ar Q ! ( F )( a ) = F ⊗ D Q ∗ ( P C a ) . (11) L e fonteur Q ! est exat à dr oite ; il  ommute même à toutes les  olimites. Ses fonteurs dérivés à gauhe sont donnés p ar L i Q ! ( F )( a ) = T or D i ( F, Q ∗ ( P C a )) . (12) De plus, le fonteur Q ! est adjoint à gauhe au fonteur ( Q op ) ∗ : Mo d − C → Mo d − D ; son eet sur les pr oje tifs standar d est donné p ar un isomorphisme natur el Q ! ( P D op b ) ≃ P C op Q ( b ) . La démonstration, qui onsiste en une v ariation sur le lemme de Y oneda, est laissée au leteur. Nous terminons es rapp els par un résultat plus partiulier qui in tervien t dans la setion 3 . Prop osition A.3. Soient X un fonteur de C op vers la  até gorie des ensembles et C X la  até gorie dont les objets sont les  ouples ( i, x ) formés d'un objet i de C et d'un élément x de X ( i ) , les morphismes ( i, x ) → ( j, y ) étant les morphismes f : i → j de C tels que X ( f )( y ) = x . On note U : C X → C le fonteur d'oubli (donné sur les objets p ar ( i, x ) 7→ i ), et Ω X : Mo d − C X → Mo d − C le fonteur donné p ar Ω X ( F )( i ) = M x ∈ X ( i ) F ( i, x ) , le morphisme Ω X ( F )( f ) : Ω X ( F )( i ) → Ω X ( F )( j ) induit p ar un morphisme f : i → j de C op ayant p our  omp osante F ( i, x ) → F ( j, y ) l'appli ation induite p ar F si X ( f )( i ) = j et 0 sinon. Il existe un isomorphisme gr adué T or C X ( F, U ∗ ( G )) ≃ T or C (Ω X ( F ) , G ) natur el en les objets F de Mo d − C X et G de C − Mo d . 38 Ce résultat élémen taire est la tradution en terme de fonteur T or des adjontions étudiées dans le  3.1 de [Dja07℄. Le as du degré 0 se déduit de la form ule (11 ) ; l'exatitude du fonteur Ω X p ermet de propager l'isomorphisme en tout degré homologique. Le as des o eien ts onstan ts est e que Lo da y nomme lemme de Shapir o p our l'homolo gie des p etites  até gories ([Lo d98 ℄, app endie C.12). B F onteurs exp onen tiels Dans et app endie, on s'in téresse uniquemen t à la atégorie F ( k ) = E f ( k ) − Mo d des fonteurs de soure E f ( k ) et de but E ( k ) . On notera égalemen t F 2 ( k ) = E f ( k ) × E f ( k ) − Mo d . Les notions que nous rapp elons son t lassiques : on p ourra se référer à [FFSS99℄. Notons π : E f ( k ) × E f ( k ) → E f ( k ) le fonteur de somme direte et δ : E f ( k ) → E f ( k ) × E f ( k ) le fonteur d'inlusion diagonale. Chaun d'en tre eux est adjoin t à droite et à gau he à l'autre. Il en résulte que la même propriété v aut p our les fonteurs de préomp osition π ∗ : F ( k ) → F 2 ( k ) et δ ∗ : F 2 ( k ) → F ( k ) . Cette observ ation simple s'a v ère tout-à-fait eae p our traiter des fonteurs p ossédan t la propriété suiv an te. Dénition B.1. 1. Un fonteur exp onentiel de F ( k ) est un ob jet E de F ( k ) m uni d'un isomor- phisme E (0) ≃ k et d'un isomorphisme en tre les ob jets π ∗ ( E ) et E ⊠ E de F 2 ( k ) (i.e. d'un isomorphisme E ( U ⊕ V ) ≃ E ( U ) ⊗ E ( V ) naturel en les ob jets U et V de E f k ). 2. Un fonteur exp onentiel gr adué de F ( k ) est une suite E • = ( E n ) n ∈ N d'ob jets de F ( k ) prenan t des v aleurs de dimension nie m uni d'un isomorphisme E 0 ≃ k (fonteur onstan t) et d'un isomorphisme gradué π ∗ ( E • ) ≃ E • ⊠ E • (i.e. p our tout n ∈ N , d'un isomorphisme π ∗ ( E n ) ≃ L i + j = n E i ⊠ E j ). 3. Soit E un fonteur exp onen tiel, év en tuellemen t gradué, de F ( k ) . Si la struture exp onen tielle de E est ompatible aux isomorphismes d'asso iativité de la somme direte et du pro duit tensoriel 2 , on dit que E est un fonteur exp onentiel de Hopf . P ar exemple, les fonteurs pro jetifs standard de F ( k ) ou le fonteur injetif I (f. notation 3.30 ) son t des fonteurs exp onen tiels de Hopf. Les fonteurs puissane symétrique S ∗ , puissane divisée Γ ∗ (dual gradué du prééden t) et puissane extérieure Λ ∗ son t exp onen tiels gradués de Hopf. (Cela pro vien t diretemen t des propriétés univ erselles qui les aratérisen t.) De plus, S ∗ et Γ ∗ son t om- m utatifs et Λ ∗ est an tiomm utatif (au sens gradué) en un sens éviden t, qui est préisé dans [ FFSS99 ℄, page 675 . Noter que les omp osan tes d'un fonteur exp onen tiel gradué son t des fonteurs p olynomiaux. R emar que B.2 . Le fonteur gradué puissane tensorielle T ∗ n'est pas exp onen tiel, mais il p ossède une propriété analogue don t on p eut se servir dans les aluls d'une façon similaire à la propriété exp onen tielle : la form ule du binme se traduit par un isomorphisme π ∗ ( T n ) ≃ M i + j = n ( T i ⊠ T j ) ⊗ S i × S j k [ S n ] , où le group e symétrique S l agit par p erm utation des fateurs du pro duit tensoriel et le group e S i × S j est plongé de manière usuelle dans S i + j . 2 Cela signie que le diagramme éviden t d'isomorphismes E (( U ⊕ V ) ⊕ W ) / /   E ( U ⊕ ( V ⊕ W ) )   E ( U ⊕ V ) ⊗ E ( W )   E ( U ) ⊗ E ( V ⊕ W )   ( E ( U ) ⊗ E ( V )) ⊗ E ( W ) / / E ( U ) ⊗ ( E ( V ) ⊗ E ( W )) omm ute p our tous U, V , W ∈ Ob E f ( k ) . 39 La prop osition suiv an te est une partie du théorème 1 . 7 de [FFSS99℄ ; sa démonstration rep ose essen tiellemen t sur l'adjontion en tre les fonteurs π ∗ et δ ∗ év o quée plus haut et son prolongemen t aux group es d'extensions (qui déoule de leur exatitude). Prop osition B.3. Soient E ∗ un fonteur exp onentiel gr adué et F , G deux fonteurs de F ( k ) . Il existe, p our tout n ∈ N , un isomorphisme gr adué Ext ∗ F ( k ) ( E n , F ⊗ G ) ≃ M i + j = n Ext ∗ F ( k ) ( E i , F ) ⊗ Ext ∗ F ( k ) ( E j , G ) natur el en F et G . (A utr ement dit, on disp ose d'un isomorphisme bigr adué Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ⊗ G ) ≃ E xt ∗ F ( k ) ( E • , F ) ⊗ Ext ∗ F ( k ) ( E • , G ) .) Si E est un fonteur exp onen tiel, év en tuellemen t gradué, on disp ose de morphismes k ≃ E (0) → E , app elé unité , E → E (0) ≃ k , app elé  oünité , E ⊗ E = δ ∗ ( E ⊠ E ) ≃ δ ∗ π ∗ ( E ) → E (induit par la oünité de l'adjontion), app elé pr o duit , E → E ⊗ E = δ ∗ ( E ⊠ E ) ≃ δ ∗ π ∗ ( E ) , app elé  opr o duit , et E ( − id ) : E → E , app elé antip o de . On v érie failemen t (f. [ FFSS99 ℄) que es appliations fon t de E une algèbr e de Hopf (graduée onnexe si E est gradué) dans la atégorie monoïdale symétrique ( F ( k ) , ⊗ , k ) lorsque E est un fonteur exp onen tiel de Hopf ('est en fait une aratérisation des fonteurs exp onen tiels de Hopf ). Ce t yp e de struture est utile p our dénir des pr o duits de  onvolution . Supp osons en eet que E • est un fonteur exp onen tiel de Hopf et F un fonteur de F ( k ) m uni d'une struture d'algèbre. Alors Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ) est une algèbre bigraduée p our le pro duit, dit de on v olution, ∗ : Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ) ⊗ Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ) ≃ Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ⊗ F ) → Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ) , où l'isomorphisme est donné par la prop osition B.3 et la seonde è he est induite par le pro duit de F ; l'unité de e pro duit est donnée par l'élémen t de Hom F ( k ) ( E 0 , F ) ≃ F (0) unité de l'algèbre F . Si F est un fonteur m uni d'une struture de ogèbre, on dénit de même un opro duit sur Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ) omme le morphisme Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ) → Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ⊗ F ) ≃ Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ) ⊗ Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ) où la première è he pro vien t du opro duit de F . Lorsque F est m uni d'une struture d'algèbre de Hopf dans F ( k ) , on obtien t sur Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ) une struture de k -algèbre de Hopf bigraduée (l'an tip o de étan t induite par elle de F ), onnexe si F (0) = k . On utilise, au paragraphe 4.2 , les deux prop ositions suiv an tes où in tervien t la on v olution. Prop osition B.4. Soit E • un fonteur exp onentiel de Hopf gr adué,  ommutatif ou anti ommutatif. 1. Pour tout objet V de E f ( k ) , E • ( V ) est natur el lement une k -algèbr e de Hopf gr adué e. 2. Si f : V → W est une è he de E f ( k ) , alors E • ( f ) : E • ( V ) → E • ( W ) est un morphisme de k -algèbr es de Hopf gr adué es. Si g : V → W est une autr e è he de E f ( k ) , on a E • ( f + g ) = E • ( f ) ∗ E • ( g ) . Cette onséquene faile des dénitions est laissée au leteur. R emar que B.5 . La néessité d'une h yp othèse d'(an ti)omm utativité est omise dans l'artile [ FFSS99℄ ; elle a été remarquée par T ouzé dans [T ou09 ℄ (f. sa remarque 5.6). On ren v oie d'une manière gé- nérale le leteur à la setion 5 de [T ou09 ℄ où toutes les questions de ompatibilité (et parfois de regraduation) néessaires dans les énonés relatifs aux strutures exp onen tielles son t traitées a v e soin. Prop osition B.6. Soient E • un fonteur exp onentiel gr adué de Hopf  ommutatif ou anti ommutatif de F ( k ) et F un fonteur muni d'une strutur e d'algèbr e (r esp. d'algèbr e de Hopf ) dans la  até gorie monoïdale symétrique ( F ( k ) , ⊗ , k ) . 1. Si A est un fonteur sans terme  onstant (i.e. A (0) = 0 ) de F ( k ) , la strutur e d'algèbr e (r esp. d'algèbr e de Hopf ) de F induit une strutur e d'algèbr e (r esp. d'algèbr e de Hopf ) sur F ◦ A . 40 2. Si u : A → B est un morphisme entr e fonteurs sans terme  onstant de F ( k ) , Ext ∗ ( E • , F ( u )) : Ext ∗ ( E • , F ◦ A ) → E x t ∗ ( E • , F ◦ B ) est un morphisme de k -algèbr es (r esp. de k -algèbr es de Hopf ) bigr adué es. Ce morphisme ser a noté h ( u ) . 3. Si v : A → B est un autr e tel morphisme et que F est un fonteur exp onentiel de Hopf  ommutatif ou anti ommutatif, on a h ( u + v ) = h ( u ) ∗ h ( v ) . Démonstr ation. Les deux premières assertions son t immédiates. P our la dernière, on érit u + v omme la omp osée A ֒ → A ⊕ A u ⊕ v − − − → B ⊕ B ։ B , où le premier morphisme est la diagonale et le dernier la somme, puis on onsidère le diagramme omm utatif suiv an t Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ∗ A )   , , Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ∗ ( A ⊕ A )) ≃ Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ∗ A ⊗ F ∗ A ) h ( u ⊕ v )   ≃ / / Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ∗ A ) ⊗ Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ∗ A ) h ( u ) ⊗ h ( v )   Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ∗ ( B ⊕ B )) ≃ Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ∗ B ⊗ F ∗ B )   ≃ / / Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ∗ B ) ⊗ Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ∗ B ) r r e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Ext ∗ F ( k ) ( E • , F ∗ B ) où l'on note p our alléger F ∗ la p ostomp osition par F et dans lequel les è hes v ertiales ou obliques non sp éiées son t induites par opro duit ou pro duit : le  hemin v ertial gau he fournit h ( u + v ) et elui de droite h ( u ) ∗ h ( v ) . C In v ersion de Möbius et équiv alenes de Morita Cet app endie a p our but de mon trer que l'argumen t donné par le seond auteur p our obtenir l'équiv alene de atégories du théorème 4 . 2 de [V es08 ℄ : S p ( E deg q ( F 2 )) − Mo d ≃ Y V ∈S F 2 [ O ( V )] − Mo d où S p ( E deg q ( F 2 )) est la atégorie de Burnside asso iée à E deg q ( F 2 ) don t on rapp elle la dénition en C.4 et S est un ensem ble de rep ésen tan ts des lasses d'isométrie des ob jets de E deg q ( F 2 ) , s'adapte failemen t à d'autres situations p our donner des équiv alenes de atégories non triviales. L'une d'en tre elles in tervien t dans la preuv e du théorème 3.21 . Cet argumen t rep ose sur la om binaison de l'in v ersion de Möbius et du théorème de Morita-F reyd don t on rapp elle ii les énonés. La fontion de Möbius µ X d'un ensem ble ni partiellemen t ordonné ( X, ≤ ) est dénie par : µ X ( x, x ) = 1 pour tout x dans X X x ≤ z ≤ y µ X ( x, z ) = 0 p our tous x < y dans X . Théorème C.1 (Théorème 3.9.2 de [ Sta97 ℄) . Soit ( X, ≤ ) un ensemble ni p artiel lement or donné, dans le quel toute p air e { x, y } a une b orne inférieur e x ∧ y . Supp osons que X a un plus gr and élément M . Soit R un anne au (ave  unité 1 R ), et supp osons que α 7→ e α est une appli ation de X dans R vériant les pr opriétés suivantes : e α e β = e α ∧ β p our tout α, β ∈ X , et e M = 1 R . Pour α ∈ X , on dénit : f α = X β ≤ α µ X ( β , α ) e β , où µ X est la fontion de Möbius de X . A lors les éléments f α , p our α ∈ X , sont des idemp otents ortho gonaux de R , dont la somme est é gale à 1 R . 41 Le théorème suiv an t, dû à F reyd, doit être vu omme une forme générale, "à plusieurs ob jets", du théorème lassique de Morita sur l'équiv alene des atégories de mo dules. Théorème C.2 (Morita-F reyd) . Soient A une  até gorie de Gr othendie k k -liné air e (i.e. enrihie sur les k -mo dules) et G une sous- até gorie pleine p etite de A dont les objets sont pr oje tifs de typ e ni et engendr ent A . A lors A est é quivalente à la  até gorie des fonteurs k -liné air es de G op dans Mo d k . On ommene par appliquer es outils à la atégorie Γ des ensem bles nis p oin tés et on mon tre que ela p ermet de retrouv er le théorème à la Dold-Kan démon tré par Pirash vili dans l'artile [Pir00a ℄, qu'on utilisera dans l'app endie E. On étudie ensuite le as, très pro  he de elui onsidéré dans [V es08 ℄, de la atégorie de Burnside asso iée à une "b onne atégorie" et qui fournit une équiv alene de atégories qu'on emploie dans le paragraphe 3.2 . On désigne par Ω la atégorie des ensem bles nis a v e surjetions. On note ( − ) + l'adjoin t à gau he au fonteur d'oubli de Γ v ers la atégorie des ensem bles nis : p our E un ensem ble ni, E + s'obtien t en adjoignan t un p oin t de base externe à E . Théorème C.3 (Pirash vili) . Il existe une é quivalen e de  até gories cr : Mo d − Γ → M od − Ω tel le que cr ( F )( E ) = C ok er  M e ∈ E F ( E e ) → F ( E + )  morphisme induit p ar les surje tions E + ։ E e é gales à l'identité hors du p oint de b ase, où E e désigne l'ensemble E p ointé p ar e . De plus, le fonteur i ! : Ω − Mo d → Γ − Mo d tel que G ⊗ Γ i ! ( F ) ≃ cr ( G ) ⊗ Ω F est donné p ar i ! ( F )( E ) = M E ′ ⊂ E \{∗} F ( E ′ ) . Démonstr ation. Soit E un ob jet de Γ de p oin t de base ∗ . On onsidère l'ensem ble p ( E ) de ses sous-ob jets (i.e. de ses sous-ensem bles on tenan t le p oin t de base) ordonné par l'inlusion ; p ( E ) admet p our plus grand élémen t E et toute paire d'élémen t de p ( E ) , { A, B } admet p our plus grand minoran t l'in tersetion A ∩ B . Soit R = k [End Γ ( E )] la k -algèbre du monoïde End Γ ( E ) . À un élémen t A de p ( E ) on asso ie l'élémen t e A ∈ E nd Γ ( E ) donné par e A ( x ) = x si x ∈ A et e A ( x ) = ∗ sinon. On a e E = I d E et e A e B = e A ∩ B . P ar onséquen t, par le théorème C.1 les élémen ts f A dénis par : f A = X B ⊂ A µ p ( E ) ( B , A ) e B son t des idemp oten ts orthogonaux de R de somme égale à I d E . On en déduit la déomp osition P Γ E ≃ M A ∈ p ( E ) f A P Γ E , (13) où les P Γ E désignen t les pro jetifs standard de Γ − Mo d . Les fonteurs P Γ E son t de t yp e ni et don leurs fateurs direts f A P Γ E formen t un ensem ble de générateurs pro jetifs de t yp e ni de Γ − Mo d . An d'appliquer le théorème C.2 , nous a v ons b esoin d'iden tier les mo dules suiv an ts Hom ( f A P Γ E , f B P Γ E ) ≃ f B k [End Γ ( E )] f A . P our ela, on fait les observ ations suiv an tes, p our tous A ∈ p ( E ) et t ∈ End Γ ( E ) : 1. e A t = te t − 1 ( A ) ; 2. t = te B , où B désigne l'élémen t de p ( E ) réunion du p oin t de base et de l'ensem ble omplé- men taire de t − 1 ( ∗ ) dans E . 42 Du premier p oin t on déduit f A t = t X B ⊂ A µ p ( E ) ( B , A ) e t − 1 ( B ) puis, ompte-ten u de e que e C f D = f D si D ⊂ C , 0 sinon, f A tf A ′ = t X t ( A ′ ) ⊂ B ⊂ A µ p ( E ) ( B , A ) f A ′ =  tf A ′ si t ( A ′ ) = A, 0 sinon. Du seond vien t que tf A ′ est n ul sauf si A ′ ⊂ ( E \ t − 1 ( ∗ )) ∪ {∗} . Cette ondition signie que A ′ induit une fontion de A ′ \ {∗ } dans E \ { ∗} , ou une surjetion de A ′ \ {∗ } v ers A \ { ∗} si t ( A ′ ) = A . Des deux observ ations prééden tes, et du fait que tf A ′ , omme les te B p our B ⊂ A ′ , ne dép end que de la restrition de t à A ′ , on déduit une appliation linéaire surjetiv e k [Surj ( A ′ \ {∗ } , A \ {∗} )] ։ f A k [End Γ ( E )] f A ′ , (14) où Surj désigne l'ensem ble des fontions surjetiv es en tre deux ensem bles. Un argumen t de rang mon tre que ette appliation est en fait bijetiv e : en eet, la somme direte des k -mo dules libres f A k [End Γ ( E )] f A ′ lorsque A et A ′ parouren t p ( E ) est isomorphe à k [End Γ ( E )] . On onlut par la bijetion End Γ ( E ) ≃ G ( A,A ′ ) ∈ p ( E ) 2 Surj ( A ′ \ {∗ } , A \ {∗} ) obten ue en asso ian t à un endomorphisme t de E les élémen ts A = t ( E ) et A ′ = ( E \ t − 1 ( ∗ )) ∪ {∗ } de p ( E ) et la surjetion A ′ \ {∗ } ։ A \ {∗} induite par t . On onstate d'autre part que l'isomorphisme (14 ) est ompatible à la omp osition en un sens éviden t. Il nous reste à expliiter les équiv alenes de atégories données par le théorème de F reyd- Morita. La déomp osition (14 ) fournit un isomorphisme ( i ! ( X ))( E ) ≃ M A ∈ p ( E ) X ( A \ { ∗} ) = M E ′ ⊂ E ∗6∈ E ′ X ( E ′ ) p our tout ob jet X de Ω − Mo d et tout ob jet E de Γ . On v érie failemen t que la fontorialité s'obtien t en ériv an t i ! ( X )( E ) omme ono y au de l'injetion naturelle M A ∈ p ( E ) X ( A ) ֒ → M A ⊂ E X ( A ) . (Autremen t dit, la omp osan te X ( E ′ ) → X ( F ′ ) de X ( f ) , p our f : E → F morphisme de Γ , est induite par f si f ( E ′ ) = F ′ et n ulle sinon.) La form ule p our cr s'obtien t de manière analogue. A v an t d'appliquer ette métho de au as don t on se sert au paragraphe 3.2 , on rapp elle la déni- tion de la  até gorie de Burnside d'une atégorie admettan t des pro duits brés. Cette terminologie est issue de la théorie des représen tations ; la notation S p pro vien t du terme anglais sp an . Dénition C.4 ([Bén67 ℄) . Soit C une atégorie admettan t des pro duits brés, la atégorie de Burnside de C , notée S p ( C ) , est dénie de la manière suiv an te : 1. les ob jets de S p ( C ) son t eux de C ; 2. p our A et B deux ob jets de S p ( C ) , Hom S p ( C ) ( A, B ) est l'ensem ble des lasses d'équiv alene de diagrammes dans C de la forme A f ← − D g − → B , p our la relation d'équiv alene qui iden tie les deux diagrammes A f ← − D g − → B et A u ← − D ′ v − → B s'il existe un isomorphisme α : D → D ′ rendan t le diagramme suiv an t omm utatif : D g ( ( P P P P P P P P P P P P P P P α A A A A A A A A f   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D ′ v / / u   B A. 43 Le morphisme de Hom S p ( C ) ( A, B ) représen té par le diagramme A f ← − D g − → B sera noté [ A f ← − D g − → B ] . 3. P our deux morphismes T 1 = [ A ← D → B ] et T 2 = [ B ← D ′ → C ] la omp osition est donnée par : T 2 ◦ T 1 = [ A ← D × B D ′ → C ] . On app elle fonteur de Ma k ey non additif depuis C un fonteur S p ( C ) → Mo d k . Donnons quelques notations et dénitions supplémen taires dans le as où la atégorie C est p etite et où tous ses morphismes son t des monomorphismes. Un sous-objet d'un ob jet i de C est une lasse d'équiv alene de morphisme de but i p our la relation iden tian t f : j → i à f ′ : j ′ → i lorsqu'il existe un isomorphisme g : j ≃ − → j ′ tel que f = f ′ g . On notera p ( i ) l'ensem ble des sous-ob jets de i ; on supp osera de plus eetué le  hoix d'un représen tan t dans  haque lasse (es représen tan ts seron t sp éiés par la notation ֒ → ), auquel on iden tiera elle-i. L'ensem ble p ( i ) est m uni d'une relation d'ordre notée ⊂ dénie par k ⊂ j lorsque le morphisme k ֒ → i se fatorise (de manière unique puisque les è hes de C son t des monomorphismes) par j ֒ → i ; l'existene de pro duits brés dans C assure que deux élémen ts j et k de et ensem ble ordonné p ossèden t une b orne inférieure notée j ∩ k . L'image d'un morphisme de C est par dénition sa lasse dans l'ensem ble des sous-ob jets de son but. Si t = [ i u ← − k v − → j ] est un élémen t de Hom S p ( C ) ( i, j ) , l'image de u (resp. v ), qui ne dép end pas du  hoix des représen tan ts, est notée coim ( t ) (resp. im ( t ) ) ; t p ossède une unique ériture t = [ i ← ֓ coim ( t ) ¯ t − → j ] . P our f ∈ Hom C ( i, i ′ ) , j ∈ p ( i ) et j ′ ∈ p ( i ′ ) , on note f ( j ) = im ( j ֒ → i f − → i ′ ) et f − 1 ( j ′ ) l'élémen t de p ( i ) donné par le pro duit bré de f et de j ′ ֒ → j . Théorème C.5 (Cf. [V es08 ℄, théorème 4 . 2 ) . Soit C une p etite  até gorie admettant des pr o duits br és, dont tous les morphismes sont des monomorphismes et tel le que l'ensemble p ( i ) est ni p our tout i ∈ Ob C . Notons C iso la sous- até gorie de C ayant les mêmes objets et p our morphismes les isomorphismes de C . Il existe une é quivalen e de  até gories ξ : C iso − Mo d ≃ − → S p ( C ) − Mo d tel le que ξ ( M )( i ) = L j ∈ p ( i ) M ( j ) et qu'un morphisme t ∈ Hom S p ( C ) ( i, i ′ ) induit l'appli ation ξ ( M )( i ) → ξ ( M )( i ′ ) dont la  omp osante M ( j ) → M ( j ′ ) (p our j ∈ p ( i ) et j ′ ∈ p ( i ′ ) ) est M ( ˜ t ) si j ⊂ coim ( t ) et que ¯ t ( j ) = j ′ , de sorte que ¯ t induit un isomorphisme ˜ t : j ≃ − → j ′ , et est nul le sinon. Démonstr ation. Reprenan t les argumen ts de [V es08 ℄, on pro ède de manière très analogue à la démonstration du théorème C.3 . Soien t c un ob jet de C et i un élémen t de p ( c ) ; on note e c i (ou simplemen t e i ) l'idemp oten t [ c ← ֓ i ֒ → c ] de End S p ( C ) ( c ) . On a e c c = I d c et e c i .e c j = e c i ∩ j , e qui p ermet d'appliquer le théorème C.1 p our obtenir une famille omplète d'idemp oten ts orthogonaux f c a = X i ⊂ a µ p ( c ) ( i, a ) e c i de l'anneau k [End S p ( C ) ( c )] . On remarque main tenan t que p our tout morphisme t ∈ Hom S p ( C ) ( c, d ) , on a : 1. te c i = e d ¯ t ( i ) t p our i ⊂ coim ( t ) ; 2. te c coim ( t ) = t . Le seond p oin t mon tre que tf c a = te c coim ( t ) f c a = 0 sauf si a ⊂ coim ( t ) . On déduit par ailleurs du premier p oin t que, sous l'h yp othèse a ⊂ coim ( t ) : f d b tf c a = X i ⊂ a µ p ( c ) ( i, a ) f d b e d ¯ t ( i ) t = X i ⊂ a b ⊂ ¯ t ( i ) µ p ( c ) ( i, a ) f d b t =  f d b t si ¯ t ( a ) = b, 0 sinon. 44 P ar onséquen t, f d b tf c a est n ul sauf si a ⊂ coim ( t ) et que ¯ t induit un isomorphisme ˜ t de a v ers b . De surroît, omme f d b = f d b e d b et f c a = e c a f c a , f d b tf c a ne dép end alors que de e d b te c a , 'est-à-dire de ˜ t . Il s'ensuit que l'appliation linéaire k [Hom C iso ( a, b )] → f d b k [Hom S p ( C ) ( c, d )] f c a [ u ] 7→ f d b [ c ← ֓ a u − → b ֒ → d ] f c a est surjetiv e. On mon tre que 'est en fait un isomorphisme par un argumen t de rang analogue à elui utilisé p our le théorème C.3 , et l'on termine aussi la démonstration de la même façon. D Quelques résultats d'ann ulation en homologie des fonteurs Cet app endie a p our ob jet de rapp eler brièv emen t deux résultats d'ann ulation homologique utilisés de manière ruiale dans la démonstration du théorème 3.21 . On s'y donne un orps ni k , qui sera souv en t sous-en tendu dans les notations. Dénition D.1.  On désigne par E f surj (resp. E f inj ) la sous-atégorie de la atégorie E f des k -espaes v etoriels de dimension nie a y an t les mêmes ob jets et les surjetions (resp. les injetions) p our morphismes.  On désigne par E f G r est la atégorie des ouples ( V , W ) formés d'un espae v etoriel de dimen- sion nie V et d'un sous-espae v etoriel W , a v e p our morphismes ( V , W ) → ( V ′ , W ′ ) les appliations linéaires f : V → V ′ telles que f ( W ) = W ′ .  On note ι : Mo d − E f → Mo d − E f G r le fonteur de préomp osition par E f G r → E f ( V , W ) 7→ V .  On note ρ : Mo d − E f surj → Mo d − E f G r la préomp osition par E f G r → E f surj ( V , W ) 7→ W .  On note κ : Mo d − E f → Mo d − E f G r la préomp osition par E f G r → E f ( V , W ) 7→ V /W .  On note λ : Mo d − E f G r → Mo d − E f la préomp osition par le fonteur E f → E f G r V 7→ ( V , 0)  On désigne par ω : Mo d − E f G r → Mo d − E f le fonteur déni par ω ( X )( V ) = L W ⊂ V X ( V , W ) et le fait que ω ( X )( f ) , p our f : V → V ′ morphisme de E f , a p our omp osan te X ( f ) : X ( V ′ , W ′ ) → X ( V , W ) si f ( W ) = W ′ et 0 sinon (f. prop osition A.3). On remarque que l'on disp ose d'un isomorphisme anonique ω ( X ⊗ ι ( F )) ≃ ω ( X ) ⊗ F , où X ∈ O b Mo d − E f G r et F ∈ Ob Mo d − E f . P ar ailleurs, l'inlusion éviden te de X ( V , 0) dans L W ⊂ V X ( V , W ) dénit une transformation naturelle λ ֒ → ω . Le premier résultat d'homologie des fonteurs (sa démonstration établit lairemen t qu'il s'agit d'un résultat d'ann ulation) don t nous a v ons b esoin p our établir le théorème prinipal de et artile est le suiv an t. Il s'agit de la v arian te en termes de group es de torsion d'un as partiulier fondamen tal du théorème 10.2.1 de [Dja07 ℄ (f. aussi son orollaire 10.2.2). Théorème D.2 (Djamen t) . Soient X ∈ Mo d − E f G r et F un fonteur analytique de F (f. déni- tion 3.20 ). L'inlusion natur el le λ ( X ) ֒ → ω ( X ) induit un isomorphisme T or E f ∗ ( λ ( X ) , F ) ≃ T or E f ∗ ( ω ( X ) , F ) . Il revien t au même de démon trer l'ann ulation de T or E f ∗ ( ω ( X ) /λ ( X ) , F ) . Quitte à remplaer X par son quotien t X ′ déni par X ′ ( V , W ) = X ( V , W ) si W 6 = 0 et X ′ ( V , 0) = 0 , on est don ramené à établir l'ann ulation de T or E f ∗ ( ω ( X ) , F ) lorsque λ ( X ) = 0 . On s'appuie p our ela sur les lemmes suiv an ts. On ommene par noter ¯ P ∈ Mo d − E f le no y au du morphisme d'augmen tation P ( E f ) op k ։ P ( E f ) op 0 = k . Ainsi, les élémen ts [ l ] − [0] , où l parourt les formes linéaires non n ulles sur V , formen t une base de ¯ P ( V ) . On a lassiquemen t : Lemme D.3. Il existe un isomorphisme natur el T or E f ∗ ( F ⊗ ¯ P , G ) ≃ T or E f ∗ ( F, ∆( G )) . (On rapp elle que le fonteur diérene ∆ est déni en 3.20 .) Ce lemme se déduit aussitt du as du degré 0 , par exatitude des fonteurs en jeu ; la pro- priété pro vien t alors de l'isomorphisme anonique P ( E f ) op V ⊗ P ( E f ) op W ≃ P ( E f ) op V ⊕ W en onsidéran t une présen tation pro jetiv e de F . 45 Lemme D.4. Si X ∈ Mo d − E f G r vérie λ ( X ) = 0 , il existe une suite exate  ourte 0 → Y → X ⊗ ι ( ¯ P ) → X → 0 où Y ∈ Mo d − E f G r vérie λ ( Y ) = 0 . Démonstr ation. On dénit un morphisme ι ( ¯ P ) → k en asso ian t à [ l ] − [0] ∈ ι ( ¯ P )( V , W ) = K er ( k [ V ∗ ] → k ) 0 si la restrition de l à W est n ulle et 1 dans le as on traire. Ce morphisme est surjetif si W est non n ul. En le tensorisan t par X , on obtien t le résultat souhaité. Démonstr ation du thé or ème D.2. P ar un argumen t de olimite, on p eut supp oser F p olynomial : il existe d tel que ∆ d ( F ) = 0 . On a vu qu'on p eut égalemen t supp oser λ ( X ) = 0 . En itéran t d fois l'épimorphisme du lemme D.4, on obtien t une suite exate 0 → Y → X ⊗ ι ( ¯ P ) ⊗ d → X → 0 où Y ∈ Mo d − E f G r v érie λ ( Y ) = 0 . Le fonteur ω étan t exat, on en déduit une suite exate 0 → ω ( Y ) → ω ( X ) ⊗ ¯ P ⊗ d → ω ( X ) → 0 . La suite exate longue d'homologie asso iée fournit, ompte- ten u de e que T or E f ∗ ( ω ( X ) ⊗ ¯ P ⊗ d , F ) ≃ T or E f ∗ ( ω ( X ) , ∆ d ( F )) = 0 (par le lemme D.3 appliqué d fois), l'ann ulation de T or E f 0 ( ω ( X ) , F ) et des isomorphismes T or E f i ( ω ( X ) , F ) ≃ T or E f i − 1 ( ω ( Y ) , F ) . P ar réurrene sur le degré homologique, le théorème s'ensuit. Le deuxième résultat d'homologie des fonteurs don t nous a v ons b esoin dans et artile est le suiv an t. C'est une v arian te en termes de group es de torsion du théorème A.8 de l'app endie de [FFSS99 ℄ ; nous esquissons une démonstration se fondan t sur le théorème D.2, en suiv an t [Dja07 ℄,  13.2. Théorème D.5 (Suslin) . Soient A ∈ Ob Mo d − E f et F ∈ Ob F analytique. L e morphisme  anonique T or E f inj ∗ ( δ ( A ) , δ ( F )) ≃ − → T or E f ∗ ( A, F ) est un isomorphisme, où δ désigne le fonteur de r estrition à la sous- até gorie E f inj des inje tions de E f . Lemme D.6. Soient X ∈ O b Mo d − E f inj et F ∈ Ob F . Il existe un isomorphisme natur el T or E f inj ∗ ( X, δ ( F )) ≃ T or E f ∗ (  ( X ) , F ) , où  ( X ) est déni p ar  ( X )( V ) = L W ⊂ V X ( V / W ) et le fait que, p our toute appli ation liné air e f : V → V ′ ,  ( X )( f ) :  ( X )( V ′ ) →  ( X )( V ) a p our  omp osante X ( V ′ /W ′ ) → X ( V /W ) le morphisme induit p ar le monomorphisme V /W ֒ → V ′ /W ′ induit p ar f si f − 1 ( W ′ ) = W , 0 sinon. Démonstr ation. L'isomorphisme en degré 0 se déduit failemen t de la déomp osition Hom E f ( V , − ) ≃ a W ⊂ V Hom E f inj ( V /W, − ) (qui traite le as F = P E f V ). Le as général s'en déduit par exatitude de  et δ . Lemme D.7. L es endofonteurs ω κ et  δ de Mo d − E f sont isomorphes. Démonstr ation. On a ω κ ( A )( V ) = δ ( A )( V ) = L W ⊂ V A ( V /W ) , mais l'eet sur les morphismes n'est pas le même (l'un utilise l'image direte, l'autre l'image in v erse d'un sous-espae v etoriel par une appliation linéaire). Néanmoins, on v érie failemen t (f. [Dja07 ℄, prop osition 13.2.1 p our les détails) que l'appliation linéaire ω κ ( A )( V ) →  δ ( A )( V ) a y an t p our omp osan te A ( V /W ) → A ( V /W ′ ) le morphisme induit par la pro jetion V /W ։ V /W ′ lorsque W ⊂ W ′ et 0 sinon est un isomorphisme et dénit une transformation naturelle ω κ →  δ . Démonstr ation du thé or ème D.5. En utilisan t suessiv emen t les lemmes D.6 et D.7 puis le théo- rème D.2, on obtien t des isomorphismes naturels T or E f inj ∗ ( δ ( A ) , δ ( F )) ≃ T or E f ∗ ( δ ( A ) , F ) ≃ T or E f ∗ ( ω κ ( A ) , F ) ≃ T or E f ∗ ( λκ ( A ) , F ); on onlut en remarquan t que λκ ≃ id . En fait, le théorème D.5 est v alable dans un adre b eauoup plus général : 46 Théorème D.8 (Sori henk o) . Soient A une  até gorie additive (essentiel lement) p etite et A inj la sous- até gorie des monomorphismes sindés de A . Soient F ∈ Ob Mo d − A et G ∈ Ob A − Mo d , G étant supp osé analytique 3 . A lors le morphisme  anonique T or A inj ∗ ( F, G ) → T or A ∗ ( F, G ) est un isomorphisme (où l'on a, p ar abus, omis les fonteurs de r estrition à A inj dans le membr e de gauhe). La prinipale diulté réside dans le fait que l'analogue du fonteur  qui apparaît dans le on texte général n'est ni expliite ni exat. P our la démonstration, nous ren v o y ons à [So00 ℄ (non publié), ou aux notes [Dja09℄ qui en renden t disp onibles les argumen ts. Dans l'app endie F, nous utiliserons le as partiulier de e théorème dans lequel A est la atégorie des mo dules pro jetifs de t yp e ni sur un anneau xé et F un fonteur onstan t p our appliquer notre formalisme général à l'homologie des group es linéaires. E Les résultats de Betley sur les group es symétriques revisités On onserv e les notations de l'app endie prééden t ; notre anneau de base est k = Z . On note égalemen t U : Θ → Γ le fonteur omp osé de l'inlusion de Θ dans la atégorie des ensem bles nis et de ( − ) + . On disp ose don de U ! : M od − Θ → Mo d − Γ par la notation in tro duite à la prop osition A.2. On onsidère aussi la atégorie Σ des ensem bles nis a v e bijetions ; les fonteurs d'inlusion J Ω : Σ → Ω et J Θ : Σ op → Θ op donnen t lieu à J Ω ! : Mo d − Σ → Mo d − Ω et J Θ ! : Σ − Mo d → Θ − Mo d . Lemme E.1. Pour E un ensemble ni, on a J Θ ! ( F )( E ) = M E ′ ⊂ E F ( E ′ ) . (On laisse au leteur, dans et énoné omme dans la suite de l'app endie, le soin de préiser la fontorialité en E , qui est analogue à plusieurs as déjà renon trés  f. la prop osition A.3.) Démonstr ation. Cela déoule de l'isomorphisme anonique ( J Θ ) ∗ ( P Θ op E ) = Z [Hom Θ ( − , E )] ≃ M E ′ ⊂ E Z [Hom Σ ( − , E ′ )] = M E ′ ⊂ E P Σ op E ′ . Prop osition E.2. L a  omp osé e Mo d − Θ U ! − → M od − Γ cr − → M od − Ω est isomorphe à Mo d − Θ ( J Θ ) ∗ − − − − → Mo d − Σ J Ω ! − − → Mo d − Ω . De sur r oît, le fonteur U ! est exat. Démonstr ation. P ar un argumen t d'adjontion (ou plutt sa v arian te en terme de pro duit tensoriel), la première assertion équiv aut à l'existene d'un isomorphisme U ∗ ◦ i ! ≃ J Θ ! ◦ ( J Ω ) ∗ , qui résulte du lemme prééden t. P our la deuxième assertion, il sut de v oir que J Ω ! est exat, puisque cr est une équiv alene de atégories ; ela pro vien t d'une desription expliite analogue à elle du lemme prééden t (faisan t in terv enir les quotien ts au lieu des sous-ensem bles d'un ensem ble ni). La suite sp etrale du théorème suiv an t est équiv alen te à la onjontion des théorèmes 1 . 23 et 3 . 2 de [Bet02 ℄ (on rapp elle que la naturalité du sindemen t suggérée par le théorème 1 . 23 sem ble inorrete). On y note F ∞ p our ( U ∗ F ) ∞ , et cr i ( F ) p our cr ( F )( { 1 , . . . , i } ) . 3 La dénition est analogue à elle donnée dans le adre de la atégorie F . Le seul p oin t à noter dans la dénition de fonteur p olynomial est qu'il faut imp oser la nilp otene p our tous les fonteurs diérenes imaginables (a v e un degré omm un). 47 Théorème E.3 (Betley) . Pour tout F ∈ Ob Γ − M od , il existe des isomorphismes natur els H n ( S ∞ ; F ∞ ) ≃ M i ∈ N H n ( S ∞ × S i ; cr i ( F )) ≃ M p + q = n i ∈ N T or S i p ( H q ( S ∞ ; Z ) , cr i ( F )) (où l'ation de S i sur H q ( S ∞ ; Z ) est triviale), ainsi qu'une suite sp e tr ale natur el le E 2 p,q = H p ( S ∞ ; H q ( S i ; cr i ( F ))) ⇒ H p + q ( S ∞ ; F ∞ ) (où l'ation de S ∞ est triviale) qui s'eondr e à la deuxième p age et pr o ur e un isomorphisme non natur el H n ( S ∞ ; F ∞ ) ≃ M p + q = n i ∈ N H p ( S ∞ ; H q ( S i ; cr i ( F ))) . Démonstr ation. Les prop ositions E.2 et C.3 pro uren t des isomorphismes : T or Θ ∗ ( G, U ∗ ( F )) ≃ T or Γ ( U ! ( G ) , F ) ≃ T or Ω ∗ ( cr ◦ U ! ( G ) , cr ( F )) ≃ T or Ω ∗ ( J Ω ! ◦ ( J Θ ) ∗ ( G ) , cr ( F )) ≃ T or Σ ∗ (( J Θ ) ∗ ( G ) , ( J Ω ) ∗ ◦ cr ( F )) ≃ M i ∈ N T or S i ∗ (( J Θ ) ∗ ( G ) , cr i ( F )) . On en déduit les isomorphismes annonés à l'aide des prop ositions 2.22 et 2.26 . La suite sp etrale et son eondremen t pro viennen t de la prop osition 2.27 . R emar que E.4 . Notre métho de ne dière pas fondamen talemen t de elle emplo y ée par Betley p our établir e théorème, si l'on exepte le remplaemen t de la K -théorie stable généralisée par l'homo- logie de la atégorie Θ . F Un ap erçu du as des mo dules d'après Betley et Sori-  henk o Dans et app endie, on se donne un anneau (unitaire) A , non néessairemen t omm utatif ; on note F ( A ) p our P ( A ) − Mo d , où P ( A ) est la atégorie des A -mo dules à gau he pro jetifs de t yp e ni. Comme dans l'exemple 1.9 .4 , M ( A ) désigne la sous-atégorie de P ( A ) a v e les mêmes ob jets et les injetions sindées omme morphismes. Nous aurons aussi b esoin de la sous-atégorie E ( A ) a y an t les mêmes ob jets que P ( A ) et les épimorphismes p our è hes. La atégorie E ( A ) op est équiv alen te à M ( A op ) via le fonteur de dualité Hom A ( − , A ) . On utilise égalemen t les notations L q et S t in tro duites resp etiv emen t en 2.21 et en 2.18 , le triplet ( C , S, G ) sous-jaen t étan t elui de l'exemple 1.9 . 4 . Lemme F.1. Pour tout objet V de P ( A ) , il existe une suite sp e tr ale du pr emier quadr ant E 2 p,q = H p ( GL ∞ ( A ); H q (Hom A ( − , V )) ∞ ) ⇒ L p + q ( V ) où Hom A ( − , V ) est vu  omme fonteur de E ( A ) op vers Ab . Démonstr ation. On note d'ab ord qu'on a H q (Hom A ( − , V )) ∞ ≃ H q (Hom A ( − , V ) ∞ ) anoniquemen t puisqu'homologie et olimites ltran tes omm uten t. Si E est un A -mo dule pro jetif de t yp e ni, le stabilisateur de V ֒ → V ⊕ E sous l'ation de GL ( V ⊕ E ) s'iden tie au pro duit semi-diret Hom A ( E , V ) ⋊ GL ( E ) . On en déduit aisémen t l'énoné, en utilisan t la suite sp etrale de Lyndon-Ho  hs hild-Serre. Noter qu'il n'y a a priori auune fontorialité en V sur ette suite sp etrale : l'ab outissemen t est "naturellemen t" fontoriel on tra v arian t sur les monomorphismes sindés, tandis que le terme E 2 est "naturellemen t" fontoriel o v arian t sur toutes les appliations A -linéaires ! En partiulier, on ne sem ble pas disp oser de desription simple du morphisme anonique L n ( V ) ≃ H n ( S t ( V )) → L n (0) ≃ H n ( GL ∞ ( A )) (qui induit par l'inlusion de S t ( V ) dans GL ∞ ( A ) ). On a néanmoins le résultat suiv an t : 48 Lemme F.2. Soit n ∈ N . Supp osons que, dans la suite sp e tr ale pr é  é dente, le terme E 2 p,q soit nul p our p < n et q > 0 . A lors le fonteur L n est  onstant. Démonstr ation. Cette assertion pro vien t des deux observ ations suiv an tes :  l'épimorphisme de group es π : S t ( V ) ։ GL ∞ ( A ) donné par la desription prééden te omme pro duit semi-diret induit, sous l'h yp othèse d'ann ulation de l'énoné, un isomorphisme en homologie de degré au plus n , puisque H ∗ ( π ) est le "oin" L ∗ ( V ) → E 2 ∗ , 0 (propriété générale de la suite sp etrale de Lyndon-Ho  hs hild-Serre) ;  la omp osée du monomorphisme GL ∞ ( A ) ֒ → S t ( V ) (toujours donné par la desription de S t ( V ) de la démonstration du lemme prééden t) a v e l'inlusion S t ( V ) ֒ → GL ∞ ( A ) induit un isomorphisme en homologie (f. la démonstration de la prop osition 2.22 ), et sa omp osée a v e l'épimorphisme π est l'iden tité. Théorème F.3 (Betley) . Si F est un fonteur p olynomial de F ( A ) tel que F (0) = 0 , alors H ∗ ( GL ∞ ( A ) , F ∞ ) = 0 . Cette assertion est le théorème 4.2 de [Bet92 ℄, où l'anneau A est supp osé omm utatif, mais les argumen ts de Betley ne sem blen t en fait pas réellemen t requérir ette h yp othèse (Betley supp ose aussi k = Z , mais e n'est pas restritif ). Démonstr ation. On démon tre l'assertion par réurrene sur le degré homologique. Si elle est vraie en degré < n , on a E 2 p,q = 0 dans la suite sp etrale du lemme F.1 p our p < n et q > 0 , puisqu'alors H q (Hom A ( − , V )) est un fonteur p olynomial (ar il est en fait exp onen tiel gradué par la form ule de Künneth) n ul en 0 (on applique ii l'h yp othèse de réurrene à A op ). On en déduit que L i est un fonteur onstan t p our i ≤ n , en utilisan t le lemme F.2. La suite sp etrale du  2.2 et le théorème D.8 (dans le as partiulier où le fonteur on tra v arian t est onstan t) donnen t alors H n ( GL ∞ ( A ); F ∞ ) = 0 p our F p olynomial sans terme onstan t, d'où le théorème. R emar que F.4 . Cette démonstration dière profondémen t de elle de Betley . En eet, dans [ Bet92 ℄, il établit le résultat à partir de faits généraux sur la struture des fonteurs p olynomiaux et sur- tout de théorèmes d'ann ulation démon trés dans son artile an térieur [Bet89 ℄. Celui-i se fondait sur des onsidérations expliites sur les group es linéaires utilisan t des argumen ts arithmétiques (dif- féren ts selon qu'il s'agit de prouv er l'ann ulation de la omp osan te sans torsion de l'homologie ou de sa omp osan te p -primaire p our un nom bre premier p ), qui p ermetten t d'obtenir les ann ulations souhaitées, d'ab ord p our le as ruial de GL ∞ ( Z ) . À l'in v erse, la métho de ii suivie ne néessite auune onsidération d'ordre arithmétique, mais rep ose lourdemen t sur le théorème D.8, résultat d'ann ulation tout-à-fait non trivial en homologie des fonteurs (même dans le as partiulier où le fonteur on tra v arian t dans le group e de torsion est onstan t). Référenes [Bén67℄ J. Bénabou   In tro dution to biategories , in R ep orts of the Midwest Cate gory Seminar , Springer, Berlin, 1967, p. 177. [Bet89℄ S. Betley   V anishing theorems for homology of Gl n R , J. Pur e Appl. A lgebr a 58 (1989), no. 3, p. 213226. [Bet92℄  ,  Homology of Gl( R ) with o eien ts in a funtor of nite degree , J. A lgebr a 150 (1992), no. 1, p. 7386. [Bet99℄  ,  Stable K -theory of nite elds , K -The ory 17 (1999), no. 2, p. 103111. [Bet02℄  ,  T wisted homology of symmetri groups , Pr o . A mer. Math. So . 130 (2002), no. 12, p. 34393445 (eletroni). [BP94℄ S. Betley & T. Pirashvili   Stable K -theory as a deriv ed funtor , J. Pur e Appl. A lgebr a 96 (1994), no. 3, p. 245258. [Cha87℄ R. Charney   A generalization of a theorem of Vogtmann , in Pr o  e e dings of the Northwestern  onfer en e on  ohomolo gy of gr oups (Evanston, Il l., 1985) , v ol. 44, 1987, p. 107125. 49 [Cha08℄ M. Chaªupnik   K oszul dualit y and extensions of exp onen tial funtors , A dv. Math. 218 (2008), no. 3, p. 969982. [Dja07℄ A. Djament   F onteurs en grassmanniennes, ltration de Krull et ohomologie des fonteurs , Mém. So . Math. F r. (N.S.) (2007), no. 111, p. xx+213. [Dja09℄  ,  Les résultats d'ann ulation homologique de Sori henk o , disp onible sur h ttp ://hal.ar hiv es-ouv ertes.fr/hal- 00 41 19 29 /, 2009. [Dol60℄ A. Dold   Zur Homotopietheorie der Kettenk omplexe , Math. A nn. 140 (1960), p. 278298. [FFPS03℄ V. Franjou, E. M. Friedlander, T. Pirashvili & L. Shw ar tz  R ational r epr e- sentations, the Ste enr o d algebr a and funtor homolo gy , P anoramas et Syn thèses [P anora- mas and Syn theses℄, v ol. 16, So iété Mathématique de F rane, P aris, 2003. [FFSS99℄ V. Franjou, E. M. Friedlander, A. Sorihenk o & A. Suslin   General linear and funtor ohomology o v er nite elds , A nn. of Math. (2) 150 (1999), no. 2, p. 663 728. [FLS94℄ V. Franjou, J. Lannes & L. Shw ar tz   Autour de la ohomologie de Ma Lane des orps nis , Invent. Math. 115 (1994), no. 3, p. 513538. [FP78℄ Z. Fiedor o wiz & S. Pridd y  Homolo gy of lassi al gr oups over nite elds and their asso iate d innite lo op sp a es , Leture Notes in Mathematis, v ol. 674, Springer, Berlin, 1978. [FS97℄ E. M. Friedlander & A. Suslin   Cohomology of nite group s hemes o v er a eld , Invent. Math. 127 (1997), no. 2, p. 209270. [Gab62℄ P. Gabriel   Des atégories ab éliennes , Bul l. So . Math. F r an e 90 (1962), p. 323 448. [GZ67℄ P. Gabriel & M. Zisman  Calulus of fr ations and homotopy the ory , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35, Springer-V erlag New Y ork, In., New Y ork, 1967. [Kas82℄ C. Kassel   La K -théorie stable , Bul l. So . Math. F r an e 110 (1982), no. 4, p. 381 416. [Kuh98℄ N. J. Kuhn   Computations in generi represen tation theory : maps from symmetri p o w ers to omp osite funtors , T r ans. A mer. Math. So . 350 (1998), no. 10, p. 4221 4233. [Lo d98℄ J.-L. Lod a y  Cyli homolo gy , seond éd., Grundlehren der Mathematis hen Wissen- s haften [F undamen tal Priniples of Mathematial Sienes℄, v ol. 301, Springer-V erlag, Berlin, 1998, App endix E b y María O. Rono, Chapter 13 b y the author in ollab oration with T eim uraz Pirash vili. [P95℄ A. Pfister  Quadr ati forms with appli ations to algebr ai ge ometry and top olo gy , London Mathematial So iet y Leture Note Series, v ol. 217, Cam bridge Univ ersit y Press, Cam bridge, 1995. [Pir00a℄ T. Pirashvili   Dold-Kan t yp e theorem for Γ -groups , Math. A nn. 318 (2000), no. 2, p. 277298. [Pir00b℄  ,  Ho dge deomp osition for higher order Ho  hs hild homology , A nn. Si. É ole Norm. Sup. (4) 33 (2000), no. 2, p. 151179. [Qui72℄ D. Quillen   On the ohomology and K -theory of the general linear groups o v er a nite eld , A nn. of Math. (2) 96 (1972), p. 552586. [S h85℄ W. Sharla u  Quadr ati and Hermitian forms , Grundlehren der Mathematis hen Wis- sens haften [F undamen tal Priniples of Mathematial Sienes℄, v ol. 270, Springer-V erlag, Berlin, 1985. [So00℄ A. Sorihenk o   Stable K-theory and funtor homology o v er a ring , Thèse, Ev ans- ton, 2000. [Sta97℄ R. P. St anley  Enumer ative  ombinatoris. Vol. 1 , Cam bridge Studies in A dv aned Mathematis, v ol. 49, Cam bridge Univ ersit y Press, Cam bridge, 1997, With a forew ord b y Gian-Carlo Rota, Correted reprin t of the 1986 original. 50 [T ou08℄ A. Touzé   Univ ersal lasses for algebrai groups , à paraître au Duke Math. J. , 2008. [T ou09℄  ,  Cohomology of lassial algebrai groups from the funtorial p oin t of view , arXiv :0902.4459, 2009. [T ro02℄ A. Tr oesh   Quelques aluls de ohomologie de omp osition de puissanes symé- triques , Communi ations in A lgebr a 30(7) (2002). [T vdK08℄ A. Touzé & W. v an der Kallen   Bifuntor ohomology and ohomologial nite generation for redutiv e groups , à paraître au Duke Math. J. , 2008. [V es08℄ C. Vesp a   Generi represen tations of orthogonal groups : the funtor ategory F quad , J. Pur e Appl. A lgebr a 212 (2008), no. 6, p. 14721499. 51