Ideal synchronizer for marked pairs in fork-join network

Ideal sync hronizer for mark ed pairs in fork-join netw ork S. V. Vysh enski † 1 , P .V. Grigoriev ‡ , and Y u.Y u. Dub ensk ay a § † Institute of Nuclear Ph ysics , Mosco w State Univ ersit y , Mosco w 11 9899, Russia ‡ General Ph ysic s I nstitute, Russian Academ y of Sciences , V av ilov str., 38, Mosco w 119991, Russia § Institute of Precis e Mec hanics and Computer Engineering, Russian Academ y of Sciences, Leninskiy av., 51, Mosco w 119991, Russia Abstract W e introd uce a new f unctional elemen t (synchronizer for mark ed pairs) mean t to join results of parallel pr ocessing in t wo- br an ch fork- join queueing net w ork. Appro ximations for distribution of so journ time a t the sync hronizer are derived alo ng with a v alidit y d omain. Calculations are p erformed assumin g that: arriv als to the n et w ork form a P oisson pro cess, eac h branc h op erates lik e an M/M/N queueing system. It is sho wn that mean so journ time at a real sync hronizer no de is b oun ded b elo w b y th e v alue, defined by parameters of th e net w ork (whic h con tains the sync hronizer) and do es not d ep end up on p erformance and particular prop erties of th e syn c hronizer. 1 svysh@pn.sinp.msu.ru 1 Èäåàëüíûé ñèíõðîíèçàòîð ìàðêèðîâàííûõ ïàð â ñåòè ðàçâåòâëåíèå-îáúåäèíåíèå Ñ.Â. Âûøåíñêèé † 1 , Ï.Â. ðèãîðüåâ ‡ , Þ.Þ. Äóáåíñê àÿ † ÍÈÈ ÿäåðíîé èçèêè ÌÓ , Ìîñêâà 119899 ‡ Èíñòèòóò îáùåé èçèêè  ÀÍ, Âàâèëîâà 38, Ìîñêâà 119991  Èíñòèòóò òî÷íîé ìåõ àíèêè è âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè  ÀÍ, Ëåíèíñêèé ïðîñï. 51, Ìîñêâà 119991 10 ÿíâàð ÿ 2008 ã . Ñò àòüÿ ïóáëèêó åòñ ÿ â æóðíàëå Îáîçðåíèå ïðèêëàäíîé è ïðî ìûøëåííîé ìàòå ìàòèêè, 2008 Àííîò àöèÿ Ïðåäëî æ åí óíêöèîíàëüíûé ýëåìåíò (ñèíõðîíèçàòîð ìàðêè- ðîâàííûõ ïàð) äëÿ îáúåäèíåíèÿ ðåçó ëü ò àòîâ ïàðàëëåëüíîé îáðà- áîòêè äâóõ ïîòîê îâ â ñåò ÿõ ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ òèïà ðàçâåòâëåíèå- îáúåäèíåíèå (fork-join). Ïîëó÷åíû ïðèáëèæ åíèÿ äëÿ ðàñïðåäåëå- íèÿ âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ çàÿâêè â ñèíõðîíèçàòîðå. Íàéäåíà îá- ëàñòü ïðèìåíèìîñòè ïðèáëèæ åíèé.  àñ÷åòû ïðîâåäåíû äëÿ ñò à- öèîíàðíîãî ðåæèìà â ñëåäóþùèõ ïðåäïîëî æ åíèÿõ: íà âõ î ä ñåòè ïîñòóïàåò ïîòîê çàÿâîê ïó àññîíîâñê îãî òèïà, ñèñòåìû â îáåèõ âåò- âÿõ ñåòè îòíîñ ÿòñ ÿ ê òèïó M / M / N . Ïîê àçàíî, ÷òî ñðåäíåå âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ çàÿâêè â ðåàëüíîì ñèíõðîíèçàòîðå îãðàíè÷åíî ñíèçó çíà ÷åíèåì, ê îòîðîå îïðåäåëÿåòñ ÿ ïàðàìåòðàìè ñåòè, ñî äåð æ àùåé ñèíõðîíèçàòîð, è íå çàâèñèò îò ïðîèçâî äèòåëüíîñòè è îñîáåííî- ñòåé ñèíõðîíèçàòîðà. Ñî äåð æ àíèå 1 Ââåäåíèå 3 2 Èäåàëüíûé ñèíõðîíèçàòîð ìàðêèðîâàííûõ ïàð 6 3 Âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå 6 4 Îáñóæäåíèå ðåçó ëü ò àòîâ 10 A èïåðýê ñïîíåíöèàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ 11 B  åøåíèå óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà-×åïìåíà 13 C ×èñëåííûå ýê ñïåðèìåíòû 16 2 1 Ââåäåíèå  àññìîòðèì ñåòü ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ òèïà ðàçâåòâëåíèå-îáúåäèíåíèå (Î) èëè fork-join, ïîê àçàííóþ íà ðèñóíê å 1 . Ïðåäïîëî æèì, ÷òî íà âõ î ä ñåòè ïîñòóïàåò ïó àññîíîâñêèé ïîòîê ïðîìàðêèðîâàííûõ (íàïðèìåð, ïðî- íóìåðîâàííûõ) çàÿâîê ñ èíòåíñèâíîñòüþ λ > 0 .  òî÷ê å ðàçâåòâëåíèÿ f ê àæäàÿ çàÿâê à ðàçäåëÿåòñ ÿ íà äâå çàÿâêè ñ î äèíàê îâûìè íîìåðàìè, ñîâ- ïàäàþùèìè ñ íîìåðîì èñ õ î äíîé çàÿâêè. Ýòè äâå çàÿâêè î äíîâðåìåííî ïîñòóïàþò íà âõ î ä âåòâåé a è b , ê îòîðûå ïðåäñò àâëÿþò ñîáîé ñèñòåìû ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ M / M / N a è M / M / N b , ã äå N a , N b ≥ 1 çàäàþò ê î- ëè÷åñòâà ïàðàëëåëüíûõ ê àíàëîâ îáñëóæèâàíèÿ â âåòâÿõ a è b . Î÷åðåäè â âåòâÿõ a è b ïî ä÷èíÿþòñ ÿ äèñöèïëèíå FIF O. Ñåòü óíêöèîíèðó åò â ñò àöèîíàðíîì ðåæèìå. Äëÿ îáúåäèíåíèÿ ðåçó ëü ò àòîâ ïàðàëëåëüíîé îá- ðàáîòêè äâóõ ïîòîê îâ â âåòâÿõ a è b ñåòè ñëóæèò óçåë S , íàçâàííûé íàìè ñèíõðîíèçàòîðî ì ìàðêèðîâàííûõ ïàð . f S a b 8 8 out èñ. 1: Ñåòü ðàçâåòâëåíèå-îáúåäèíåíèå ñ äâóìÿ âåòâÿìè. Ñåòü ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ Î ïðåäñò àâëÿåò ñîáîé ó äîáíóþ ìî- äåëü äëÿ ðàñ÷åò à íàãðóçî÷íûõ õ àðàêòåðèñòèê ðàãìåíòîâ ðàçëè÷íûõ èíîðìàöèîííûõ, ê îììóíèê àöèîííûõ è ïðîèçâî äñòâåííûõ ñèñòåì.  ÷àñò- íîñòè, ò àê îé ðàãìåíò õ àðàêòåðåí äëÿ ñèñòåì, óíêöèîíàëüíîñòü ê îòî- ðûõ ïðèíÿòî çàäàâàòü íà ÿçûê å ïîòîê îâ ðàáîò (w orko w). Ïåðâîíà ÷àëüíî ïðîáëåìà îïèñàíèÿ ïðîöåññà îáúåäèíåíèÿ äâóõ ïîòî- ê îâ çàÿâîê áûëà èçó÷åíà íà ïðèìåðå äðóãîé ñåòè ìàññîâîãî îáñëóæèâà- íèÿ - ñåòè òèïà ñáîðêè (assem bly-lik e), ïîê àçàííîé íà ðèñóíê å 2 .  ò àê îé ñåòè îáúåäèíÿþòñ ÿ ïàðû èç ïðîèçâîëüíîé çàÿâêè òèïà a è ïðîèçâîëüíîé çàÿâêè òèïà b . Áó äåì íàçûâàòü ò àêèå ïàðû íå ìàðêèðîâàííûìè .  ðàáî- ò àõ [1, 2 ℄ ïîê àçàíî, ÷òî ñåòü òèïà ñáîðêè íåó ñòîé÷èâà, åñëè îáúåäèíÿåìûå ïîòîêè ïîëíîñòüþ íåçàâèñèìû äðóã îò äðóã à.  ðàáîòå [3℄ (ïî-âèäèìîìó , âïåðâûå) óíêöèîíàëüíûé ýëåìåíò S , ðåàëèçóþùèé îáúåäèíåíèå ïîòî- ê îâ çàÿâîê â ñåòè òèïà ñáîðêè, íàçâàí ñèíõðîíèçàòîðîì. Áó äåì íàçûâàòü 3 ò àê îé ýëåìåíò ñèíõðîíèçàòîðî ì íå ìàðêèðîâàííûõ ïàð , ÷òîáû ïî ä÷åðê- íóòü îò ëè÷èå îò ñèíõðîíèçàòîðà ìàðêèðîâàííûõ ïàð, ðàññìîòðåííîãî â íàñòî ÿùåé ðàáîòå. S Q (S) a Q(S) b 8 a 8 out 8 b èñ. 2: Ñèíõðîíèçàòîð íåìàðêèðîâàííûõ ïàð â ñåòè òèïà ñáîðêè. Ñåòü òèïà Î ÿâëÿåòñ ÿ ðàçâèòèåì ñåòè òèïà ñáîðêè. Îò ñåòè òèïà ñáîðêè åå îò ëè÷àåò íàëè÷èå ñò àòèñòè÷åñê îé çàâèñèìîñòè ïîòîê îâ çàÿâîê â ïàðàëëåëüíûõ âåòâÿõ (òî åñòü ïîòîê îâ, ïîðî æäåííûõ â ïðîøëîì îá- ùèì ñîáûòèåì - ðàçâåòâëåíèåì, è ïî äëåæ àùèõ îáúåäèíåíèþ â áó äóùåì), à ò àêæ å òî îáñòî ÿòåëüñòâî, ÷òî çäåñü ðàññìàòðèâàåòñ ÿ îáúåäèíåíèå ìàð- êèðîâàííûõ çàÿâîê.  áîëüøèíñòâå ðàáîò î ñåò ÿõ Î ðåøàåòñ ÿ çàäà ÷à âû÷èñëåíèÿ âðåìå- íè îòêëèê à ñåòè, òî åñòü ïðîìåæóòê à âðåìåíè, ðàçäåëÿþùåãî ìîìåíòû ðàçâåòâëåíèÿ è îáúåäèíåíèÿ ïîòîê îâ çàÿâîê â âåòâÿõ ñåòè.  î äíîé èç ïåðâûõ ðàáîò , Ôëàòòî è Õàíà [4℄, íàéäåíà ïðîèçâî äÿùàÿ óíêöèÿ äëÿ ñò àöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â ñåòè ñ äâóìÿ âåòâÿìè M / M / 1 , à ò àêæ å ïðèâåäåíû îöåíêè ïðîèçâî äèòåëüíîñòè ñåòè.  ðàáîò àõ Áà ÷åëëè [5 , 6℄, à ò àêæ å  àã àâàíà è Âèñâàíàäàìà [7℄ íàéäåíû îãðàíè÷åíèÿ äëÿ âðåìåíè îòêëèê à äëÿ ðàçëè÷íûõ ñåòåé Î ñ ïðîèçâîëü- íûì âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ. Íåëüñîí è Ò àíò àâè [8℄ ïðåäëî æèëè ìåòî ä àïïðîê ñèìàöèè âðåìåíè îòêëèê à ñåòè ñ âåòâÿìè M / M / 1 è î äèíàê îâîé èíòåíñèâíîñòüþ îáñëóæèâàíèÿ â âåòâÿõ. Îíè ò àêæ å èñïîëüçîâàëè ïðî- èçâî äÿùèå óíêöèè äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷íîãî çíà ÷åíèÿ âðåìåíè îòêëèê à â ñåòè ñ äâóìÿ âåòâÿìè M / M / 1 . Âàðíà è Ìàê îâñêè [ 9℄ ïðåäëî æèëè ð ÿä ýâðèñòè÷åñêèõ ïðèáëèæ åíèé äëÿ ðàñ÷åò à âðåìåíè îòêëèê à â ñåò ÿõ ñ ïðî- èçâîëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì âõ î äíîãî ïîòîê à è ïðîèçâîëüíûì âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ. Äëÿ ñåòåé Î ñ ïðîèçâîëüíûì âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ Àéàí è Ñåî [10℄ íàøëè ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà äëÿ âðåìåíè îòêëèê à, à ò àêæ å ïðè- âåëè àïïðîê ñèìàöèþ âðåìåíè îòêëèê à â ñëó÷àå íåâûñîê îé âõ î äíîé íà- ãðóçêè.  ðàáîò àõ Êíåññëà [11 ℄, Êóøíåðà [12℄, Âàðíà è Ìàê îâñêè [9℄ è 4 Íãó åíà [ 13 ℄ äëÿ îöåíêè ïàðàìåòðîâ ñåòè Î â ñëó÷àå âûñîê îé âõ î äíîé íàãðóçêè ïðèìåíÿåòñ ÿ äèóçèîííîå ïðèáëèæ åíèå.  ðàáîòå Êî è Ñåðîçî [14℄ ïðåäëî æ åíî ïðèáëèæ åííîå âûðàæ åíèå äëÿ óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè îòêëèê à â ñåòè Î ñ m âåòâÿìè M / M / N . Ò àì æ å íàéäåíî ïðèáëèæ åíèå äëÿ óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ îáùåãî ê îëè÷åñòâà çàÿâîê â ñåòè ñ m âåòâÿìè M / M / 1 .  ïðîöèòèðîâàííûõ âûøå ðàáîò àõ íå ê îíêðåòèçèðîâàëñ ÿ ìåõ àíèçì îáúåäèíåíèÿ ïîòîê îâ çàÿâîê è íå èññëåäîâàëèñü ñò àòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà ýòîãî ïðîöåññà.  íàñòî ÿùåé ðàáîòå ïðåäëàã àåòñ ÿ ÿâíî âûäåëèòü è èññëåäîâàòü ñèí- õðîíèçàòîð ìàðêèðîâàííûõ ïàð ê àê îò äåëüíûé óíêöèîíàëüíûé ýëå- ìåíò ñåòè Î, à ò àêæ å ïîëó÷èòü âûðàæ åíèÿ äëÿ óíêöèè ðàñïðåäåëå- íèÿ âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ çàÿâîê â èäåàëüíîì (áåñê îíå÷íî áûñòðîì) ñèí- õðîíèçàòîðå. Ò àê îé óíêöèîíàëüíûé ýëåìåíò ïî îòíîøåíèþ ê ñåòè Î áó äåò èãðàòü ðîëü àíàëîãè÷íóþ òîé ðîëè, ê îòîðóþ èãðàë ñèíõðîíèçàòîð íåìàðêèðîâàííûõ ïàð ïî îòíîøåíèþ ê ñåòè òèïà ñáîðêè. Äàëüíåéøåå èçëî æ åíèå ïîñòðîåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì.  ðàçäåëå 2 ïðèâåäåí îáùèé àëãîðèòì ðàáîòû èäåàëüíîãî ñèíõðîíèçàòîðà.  ðàçäå- ëå 3 äëÿ ñåòè Î ïðè N a = N b = 1 ïóòåì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ óðàâ- íåíèé Êîëìîãîðîâà-×åïìåíà èññëåäîâàíà ê îððåëÿöèÿ ìåæäó âðåìåíàìè ïðåáûâàíèÿ çàÿâîê â âåòâÿõ a è b . Äëÿ ñåòè Î ïðè N a = N b = ∞ àíà- ëèòè÷åñêè ïîëó÷åíî òî÷íîå âûðàæ åíèå äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè ïðå- áûâàíèÿ çàÿâêè â ñèíõðîíèçàòîðå. Ïðè ê îíå÷íûõ çíà ÷åíèÿõ N a , N b ≥ 1 ïîëó÷åíû ïðèáëèæ åííûå âûðàæ åíèÿ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè ïðå- áûâàíèÿ çàÿâêè â ñèíõðîíèçàòîðå. Êà ÷åñòâî ïðåäëî æ åííûõ ïðèáëèæ å- íèé èññëåäîâàíî ñ ïîìîùüþ ñò àòèñòè÷åñê îãî ìî äåëèðîâàíèÿ. Ïîê àçàíî, ÷òî äàæ å â èäåàëüíîì ñèíõðîíèçàòîðå ñðåäíåå âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ çà- ÿâîê â ñèíõðîíèçàòîðå îãðàíè÷åíî ñíèçó çíà ÷åíèåì, ê îòîðîå îïðåäåëÿ- åòñ ÿ ëèøü ñâîéñòâàìè ñåòè Î, ñî äåð æ àùåé ñèíõðîíèçàòîð, è íå çàâèñèò îò ñâîéñòâ ñàìîãî ñèíõðîíèçàòîðà.  ðàçäåëå 4 ïîëó÷åííûå â íàñòî ÿùåé ñò àòüå ðåçó ëü ò àòû ñðàâíèâàþòñ ÿ ñ èçâåñòíûìè èç ëèòåðàòóðû, à ò àêæ å îáñóæäàþòñ ÿ âîçìî æíûå ïðèìåíåíèÿ.  Ïðèëî æ åíèè A íàéäåíû ïðè- áëèæ åííûå âûðàæ åíèÿ äëÿ óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè ïðåáûâà- íèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå ïðè ê îíêðåòíûõ çíà ÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ N a è N b .  Ïðèëî æ åíèè B èçëî æ åí èñïîëüçîâàííûé ìåòî ä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà-×åïìåíà â ñò àöèîíàðíîì ñëó÷àå äëÿ ñåòè Î ïðè N a = N b = 1 .  Ïðèëî æ åíèè C èçëî æ åíû èñïîëüçîâàííûå ìåòî äû ÷èñëåííîãî ìî äåëèðîâàíèÿ äëÿ ïðîâåðêè ñò àòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç. 5 2 Èäåàëüíûé ñèíõðîíèçàòîð ìàðêèðîâàííûõ ïàð Ïðîöåññ îáúåäèíåíèÿ äâóõ ïîòîê îâ ìàðêèðîâàííûõ çàÿâîê â ðàçíûõ ñå- ò ÿõ ìî æ åò ïðîèñ õ î äèòü ïî-ðàçíîìó .  íàñòî ÿùåé ðàáîòå ìû ïðåäëàã àåì ïðèáëèæ åííîå îïèñàíèå ýòîãî ïðîöåññà ñ ïîìîùüþ íîâîãî óíêöèîíàëü- íîãî ýëåìåíò à  ñèíõðîíèçàòîðà S ìàðêèðîâàííûõ ïàð (ðèñ. 1). Áó äåì ñ÷èò àòü, ÷òî ýòîò ñèíõðîíèçàòîð S ñîñòîèò èç ïàìÿòè ñèíõðîíèçàòîðà è ìîíèòîðà, ê îòîðûé îòñëåæèâàåò è èçìåíÿåò ñîñòî ÿíèå ïàìÿòè ñèíõðîíè- çàòîðà. Ïîëàã àåì, ÷òî ìîíèòîð ñðàáàòûâàåò ìãíîâåííî, à ðàçìåð ïàìÿòè íåîãðàíè÷åí. Èìåííî ïîýòîìó ìû íàçûâàåì ñèíõðîíèçàòîð èäå àëüíûì . Èäåàëüíûé ñèíõðîíèçàòîð ðàáîò àåò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Çàÿâêè èç âåòâåé a è b ïîñòóïàþò íà âõ î ä ñèíõðîíèçàòîðà S ìàðêèðî- âàííûõ ïàð è ñî õðàíÿþòñ ÿ â åãî ïàìÿòè. Ïàðó çàÿâîê ðàçëè÷íûõ òèïîâ ( a è b ) ñ î äèíàê îâûìè íîìåðàìè áó äåì íàçûâàòü ïàðòíåð àìè . Ïàðòíåðà, äîñòèãøåãî ñèíõðîíèçàòîðà ïåðâûì èç ïàðû ïàðòíåðîâ, áó äåì íàçûâàòü ïåðâûì ïàðòíåðî ì . Ïàðòíåðà, äîñòèãøåãî ñèíõðîíèçàòîðà âòîðûì èç ïàðû ïàðòíåðîâ, áó äåì íàçûâàòü âòîðûì ïàðòíåðî ì . Ïîñëå ñî õðàíåíèÿ âíîâü ïîñòóïèâøåé çàÿâêè â ïàìÿòè, ìîíèòîð ïðî- èçâî äèò ñëåäóþùèå äåéñòâèÿ: • îïðåäåëÿåòñ ÿ íîìåð è òèï ( a èëè b ) íîâîé çàÿâêè, • åñëè â ïàìÿòè ñèíõðîíèçàòîðà óæ å èìååòñ ÿ (ïåðâûé) ïàðòíåð äëÿ íîâîé çàÿâêè, òî îáà ïàðòíåðà íàéäåííîé ïàðû ó äàëÿþòñ ÿ èç ïà- ìÿòè ñèíõðîíèçàòîðà è ïåðåäàþòñ ÿ íà âûõ î ä ñèíõðîíèçàòîðà. • åñëè ïàðòíåð äëÿ íîâîé çàÿâêè â ïàìÿòè îòñóòñòâó åò , òî íîâàÿ çà- ÿâê à (òî åñòü ïåðâûé ïàðòíåð èç ïàðû) îñò àåòñ ÿ â ïàìÿòè ñèíõðî- íèçàòîðà æäàòü ñâîåãî âòîðîãî ïàðòíåðà. Èñ õ î äÿ èç ïðèâåäåííîãî àëãîðèòìà ðàáîòû ñèíõðîíèçàòîðà, îïðåäå- ëèì âðåìÿ t ïðåáûâàíèÿ ïàðû â ñèíõðîíèçàòîðå ê àê ðàçíèöó âî âðåìåíè ìåæäó ïðèõ î äîì âòîðîãî è ïåðâîãî ïàðòíåðîâ èç ïàðû. 3 Âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå  àññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó âðåìÿ t ïðåáûâàíèÿ â ñèíõðîíèçàòî- ðå. Ïó ñòü â íåê îòîðûé ìîìåíò âðåìåíè t 0 â âåòâè a è b èç òî÷êè f ïî- ñòóïèëè äâà ïàðòíåðà î äíîé è òîé æ å ïàðû. Ïðåäïîëî æèì, ÷òî â âåòâè a ïàðòíåð çàäåð æ àëñ ÿ íà âðåìÿ t a è ïîêèíó ë åå â ìîìåíò t 0 + t a .  âåòâè b 6 ïàðòíåð çàäåð æ àëñ ÿ íà âðåìÿ t b è ïîêèíó ë åå â ìîìåíò t 0 + t b . Ò îã äà ðàç- íèöà ˜ t ìåæäó âðåìåíàìè ïðèõ î äà â ñèíõðîíèçàòîð ïàðòíåðîâ î äíîé è òîé æ å ïàðû, ïîñòóïèâøèõ èç âåòâåé a è b , ðàâíà ˜ t = ( t 0 + t a ) − ( t 0 + t b ) = t a − t b . Îáîçíà ÷èì f i ( t i ) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðî ÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âå- ëè÷èíû âðåìåíè t i ïðåáûâàíèÿ òðåáîâàíèÿ â ñèñòåìå i , ã äå i = a èëè i = b . Íèæ å ìû ïîê àæ åì, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû t a è t b , âîîáùå ãîâîð ÿ, ñò àòèñòè÷åñêè çàâèñèìû, à ò àêæ å ïðîâåäåì ê îëè÷åñòâåííîå èññëåäîâàíèå ýòîé çàâèñèìîñòè. Íàì áó äåò ó äîáíî ñðàâíèâàòü ðåàëüíûå õ àðàêòåðèñòè- êè ïðîöåññîâ â ñåòè Î ñ òåìè, ê îòîðûå ïîëó÷àþòñ ÿ â ïðåäïîëî æ åíèè îá îòñóòñòâèè çàâèñèìîñòè ìåæäó âåëè÷èíàìè t a è t b . Ò àê, äëÿ íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí t a è t b , ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ˜ f ( ˜ t ) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ˜ t , îïðåäåëåííàÿ ïðè ˜ t ∈ ( −∞ , + ∞ ) , ðàâíà ñâåðòê å: ˜ f ( ˜ t ) = + ∞ Z −∞ f b ( τ ) f a ( τ + ˜ t ) dτ . (1) Âðåìÿ t î æèäàíèÿ ïåðâîãî ïàðòíåðà â ñèíõðîíèçàòîðå ðàâíî t = | ˜ t | = | t a − t b | . Ïëîòíîñòü f ( t ) ðàñïðåäåëåíèÿ âåðî ÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû t îïðå- äåëåíà ïðè t ∈ [0 , + ∞ ) è ðàâíà: f ( t ) = ˜ f ( ˜ t ) + ˜ f ( − ˜ t ) . (2) Ñðåäíåå âðåìÿ T ïðåáûâàíèÿ ïåðâîãî ïàðòíåðà â ñèíõðîíèçàòîðå âû- ðàæ àåòñ ÿ èíòåãðàëîì: T = + ∞ Z 0 t f ( t ) dt. (3) Îòìåòèì, ÷òî âûðàæ åíèÿ (2) è (3) ñïðàâåäëèâû ê àê ïðè îòñóòñòâèè, ò àê è ïðè íàëè÷èè ñò àòèñòè÷åñê îé çàâèñèìîñòè ìåæäó t a è t b .  Ïðèëî æ åíèè A èíòåãðàëû èç âûðàæ åíèé (1) è (3) âû÷èñëåíû ïðè ðàçëè÷íûõ çíà ÷åíèÿõ N a è N b . Îöåíê à äëÿ ñðåäíåãî âðåìåíè T ïðåáûâà- íèÿ çàÿâêè â ñèíõðîíèçàòîðå, îïðåäåëÿåìàÿ îðìó ëàìè (3, 6 , 8), âñåã äà áîëüøå íó ëÿ è çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ ñåòè Î ( λ, N a , N b , µ a , µ b ), ã äå λ  èíòåíñèâíîñòü âõ î äíîãî ïîòîê à çàÿâîê, à µ i  èíòåíñèâíîñòü îáñëóæè- âàíèÿ â î äíîì èç N i ê àíàëîâ âåòâè i ( i = a èëè i = b ). Êàê ïðî äåìîíñòðèðîâàíî â Ïðèëî æ åíèè C, â ÷èñëåííûõ ýê ñïåðè- ìåíò àõ ïðè âñåõ çíà ÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ñåòè íàáëþ äàëîñü ñîîòíîøåíèå 7 T > T emp ìåæäó ýìïèðè÷åñêèì çíà ÷åíèåì T emp ñðåäíåãî âðåìåíè ïðå- áûâàíèÿ â èäåàëüíîì ñèíõðîíèçàòîðå, è ïðåäëî æ åííûì â ( 3) ïðèáëè- æ åííûì âûðàæ åíèåì T äëÿ ñðåäíåãî âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ â èäåàëüíîì ñèíõðîíèçàòîðå. Êàê âèäíî èç ò àáëèöû 3, îòêëîíåíèå íå ïðåâûøàëî 20% äàæ å â ñàìîì íåáëàãîïðèÿòíîì ñëó÷àå, ê îã äà N a = N b = 1 , à ψ a è ψ b áëèçêè ê åäèíèöå. Çäåñü èñïîëüçîâàíû îáîçíà ÷åíèÿ: ψ i = λ/ ( N i µ i ) . Ïðè äðóãèõ çíà ÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ îòêëîíåíèå íà ïðåâûøàåò 10%.  ïðèìåíåíèè ê ðåàëüíîìó ñèíõðîíèçàòîðó (â îò ëè÷èå îò ìãíîâåííî ñðàáàòûâàþùåãî èäåàëüíîãî ñèíõðîíèçàòîðà) âûðàæ åíèå T emp ÿâëÿåò- ñ ÿ îöåíê îé ñíèçó äëÿ ñðåäíåãî âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå. Ïðè÷åì ýò à îöåíê à çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ ñåòè Î è íå ìî æ åò áûòü óìåíüøåíà çà ñ÷åò ïîâûøåíèÿ ïðîèçâî äèòåëüíîñòè ðåàëüíîãî ñèíõðîíè- çàòîðà. Êîððåëÿöèÿ âðåìåí ïðî õ î æäåíèÿ âåòâåé a è b .  ðåàëüíîé ñåòè Î { M / M / N a ; M / M / N b } ïîòîêè çàÿâîê, ïîñòóïàþùèå íà âõ î ä ñèíõðîíèçàòîðà èç âåòâåé a è b , ê îððåëèðóþò ïî ïðè÷èíå îáùåãî ïðîèñ- õ î æäåíèÿ ïðè ðàçâåòâëåíèè â òî÷ê å f (ðèñ. 1). Ñîîòâåòñòâåííî, (âîîáùå ãîâîð ÿ) ê îððåëèðóþò è âðåìåíà ïðî õ î æäåíèÿ âåòâåé a è b ïàðòíåðàìè èç î äíîé ìàðêèðîâàííîé ïàðû. À çíà ÷èò , âûðàæ åíèå ( 1) äëÿ ðåàëüíîé ñåòè Î íå âñåã äà ÿâëÿåòñ ÿ òî÷íûì. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè N a = N b = ∞ ê îððåëÿöèÿ ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè t a è t b îòñóòñòâó åò . Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå äëèíû î÷åðåäåé â îáåèõ âåòâÿõ â òî÷íîñòè ðàâíû íó ëþ, è âðåìÿ ïðî õ î æäåíèÿ ê àæäîé âåòâè ðàâíÿåòñ ÿ âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ â îò äåëüíîì ê àíàëå îá- ñëóæèâàíèÿ äàííîé âåòâè. Ò î åñòü âðåìÿ ïðî õ î æäåíèÿ âåòâè ñîâåðøåííî íå çàâèñèò îò ïðîöåññîâ â ñîñåäíåé âåòâè ñåòè Î. Ïðè ýòîì âûðàæ åíèå (1) ñò àíîâèòñ ÿ òî÷íûì. Ïî ìåðå óìåíüøåíèÿ ê îëè÷åñòâà N a è N b ê àíàëîâ îáñëóæèâàíèÿ îò áåñê îíå÷íîñòè ê åäèíèöå, â âåòâÿõ ïî ÿâëÿþòñ ÿ íåíó ëåâûå î÷åðåäè, è âðå- ìåíà ïðåáûâàíèÿ â âåòâÿõ ïðî ÿâëÿþò âñå íàðàñò àþùóþ òåíäåíöèþ ê âçà- èìíîé ê îððåëÿöèè. Êîððåëÿöèÿ äîñòèã àåò ìàê ñèìóìà ïðè N a = N b = 1 . Ïðè ýòèõ çíà ÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ îòêëîíåíèå ðåàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ˜ f ( ˜ t ) îò âûðàæ åíèÿ (1) ñò àíîâèòñ ÿ ìàê ñèìàëüíûì. Ýòè ê à ÷åñòâåííûå ðàññóæäåíèÿ ïî äòâåð æäàþòñ ÿ ðåøåíèåì óðàâíå- íèé Êîëìîãîðîâà-×åïìåíà (ñì. Ïðèëî æ åíèå B) â ñàìîì íåáëàãîïðèÿò- íîì ñëó÷àå N a = N b = 1 . Íà ðèñ. 3 ïîê àçàíà çàâèñèìîñòü ê îýèöèåíò à R ê îððåëÿöèè ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè t a è t b ïðè N a = N b = 1 îò ψ a ïðè íåñê îëüêèõ çíà ÷åíèÿõ ψ b . Âèäíî, ÷òî ê îýèöèåíò ê îððåëÿöèè çàìåòíî îò ëè÷àåòñ ÿ îò íó ëÿ òîëüê î â òåõ ñëó÷àÿõ, ê îã äà èíòåíñèâíî- 8 ñòè îáñëóæèâàíèÿ â îáåèõ âåòâÿõ ïðèìåðíî î äèíàê îâû è ïðè ýòîì ëèøü íåíàìíîãî ïðåâûøàþò èíòåíñèâíîñòü âõ î äíîãî ïîòîê à. 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Ψ α D C B A R èñ. 3: Êîýèöèåíò ê îððåëÿöèè (ñì. Ïðèëî æ åíèå B) ìåæäó âðåìåíàìè ïðåáûâàíèÿ â ñèñòåìàõ a è b äëÿ ñåòè N a = N b = 1 îò ψ a ïðè ψ b = 0 , 05 (A), ψ b = 0 , 35 (B), ψ b = 0 , 65 (C) è ψ b = 0 , 90 (D) Äðóãèì ïî äòâåð æäåíèåì ïðèâåäåííûõ ðàññóæäåíèé ÿâëÿþòñ ÿ ðåçó ëü- ò àòû ÷èñëåííîãî ìî äåëèðîâàíèÿ (ñì. Ïðèëî æ åíèå C ) ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà ÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ñåòè Î.  ò àáëèöå 1 ñâåäåíû îáëàñòè ïàðàìåòðîâ ñåòè Î, â ê îòîðûõ (ñîã ëàñíî êðèòåðèþ Ïèðñîíà ñ óðîâíåì çíà ÷èìîñòè α = 0 . 01 ) áûëà ïðèíÿò à ñëåäóþùàÿ ñò àòèñòè÷åñê àÿ ãèïîòåçà.  èïîòåçà 1. Íàáëþ äàåìîå ðàñïðåäåëåíèå âåðî ÿòíîñòè âðåìåíè ïðå- áûâàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå ñîâïàäàåò ñ âûðàæ åíèÿìè (2 , 5 , 7 , 11 ) äëÿ f ( t ) â ïðåäïîëî æ åíèè, ÷òî îðìó ëà (1 ) ÿâëÿåòñ ÿ òî÷íîé. Êàæäàÿ èç ñòðîê ò àáëèöû 1 îïðåäåëÿåò îáëàñòü ïàðàìåòðîâ, â ê îòî- ðûõ èïîòåçà 1 ïðèíÿò à ñ óðîâíåì çíà ÷èìîñòè 0.01. Âèäíî, ÷òî è â ïðîèç- âîëüíîì ñëó÷àå îòêëîíåíèÿ îò ïðèáëèæ åííîãî âûðàæ åíèÿ (1) çàìåòíû, òîëüê î åñëè èíòåíñèâíîñòè îáñëóæèâàíèÿ â îáåèõ âåòâÿõ ïðèìåðíî î äè- íàê îâû è ïðè ýòîì ëèøü íåíàìíîãî ïðåâûøàþò èíòåíñèâíîñòü âõ î äíîãî ïîòîê à. 9 Ò àáëèöà 1: Ïàðàìåòðû, ïðè ê îòîðûõ èïîòåçà 1 ïðèíÿò à ñ óðîâíåì çíà- ÷èìîñòè 0.01. N a N b ψ a ψ b [1, 2℄ [1, 2℄ (0, 0.2℄ (0, 0.2℄ [3, 5℄ [3, 5℄ (0, 0.5℄ (0, 0.8℄ [3, 5℄ [3, 5℄ (0, 0.8℄ (0, 0.5℄ [6, ∞ ) [6, ∞ ) (0, 0.75℄ (0, 0.75℄ 4 Îáñóæäåíèå ðåçó ëü ò àòîâ  ïðîöèòèðîâàííûõ âî ââåäåíèè ðàáîò àõ ïðîöåññ îáúåäèíåíèÿ ïàðíûõ çàÿâîê â ñåò ÿõ Î íå ðàññìàòðèâàëñ ÿ.  îñíîâíîì àâòîðû âû÷èñëÿëè ìàê ñèìóì èç âðåìåí ïðî õ î æäåíèÿ âñåõ âåòâåé ñåòè Î, íå èíòåðåñó ÿñü ïðîöåññàìè, ïðîèñ õ î äÿùèìè â òî÷ê å S è ïîñëå íåå. Ââåäåííîå íàìè ïðåäñò àâëåíèå î íîâîì óíêöèîíàëüíîì ýëåìåíòå, ñèíõðîíèçàòîðå ìàðêèðîâàííûõ ïàð, ïîçâîëèëî ïîëó÷èòü âûðàæ åíèÿ äëÿ óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ çàÿâîê â èäåàëüíîì ñèí- õðîíèçàòîðå. Õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðåäåëåíèé âåðî ÿòíîñòè âðåìåíè ïðå- áûâàíèÿ çàÿâîê â ñèíõðîíèçàòîðå íåîá õ î äèìû ïðè àíàëèçå ðàáîòû âñåé ñåòè Î. Ýòè ðåçó ëü ò àòû íåîá õ î äèìû è äëÿ íàõ î æäåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ê îëè- ÷åñòâà òðåáîâàíèé â ñèíõðîíèçàòîðå. Ò àê, ïî çàê îíó Ëèòò ëà, ê îòîðûé ñïðàâåäëèâ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñèñòåì G/G/ N (òî åñòü è äëÿ íåïó àññî- íîâñêèõ ïîòîê îâ) [15℄, ñðåäíåå çíà ÷åíèå ρ ê îëè÷åñòâà çàÿâîê â ñèíõðîíè- çàòîðå ðàâíî ρ = λ in T , ã äå T  ñðåäíåå âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå (3), à èíòåíñèâíîñòü ïîòîê à íà âõ î äå ñèíõðîíèçàòîðà λ in = λ äëÿ ñò àöèîíàðíîãî ðåæèìà â ñåòè Î. Âåëè÷èíà ρ , â ñâîþ î÷åðåäü, íåîá õ î äèìà äëÿ ðàñ÷åò à ðåñóðñîâ, îáåñïå- ÷èâàþùèõ áåñïåðåáîéíóþ ðàáîòó ñåòè Î, à ò àêæ å äëÿ ðåøåíèÿ çàäà ÷è îá îïòèìèçàöèè ýòèõ ðåñóðñîâ. Íàì ïðèÿòíî ïîáëàãî äàðèòü À.Â. Êîëî äçåÿ, À.Â. Êíÿçåâà, Ê.Þ. Ïëà- òîâà, È.À. Êðàâ÷åíê î è À.Ô.  îíæèíà çà ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ. 10 A èïåðýê ñïîíåíöèàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ Äëÿ íåê îòîðûõ èê ñèðîâàííûõ çíà ÷åíèé ïàðàìåòðîâ N a è N b , ðàññ÷èò à- åì ïðèáëèæ åííûå âûðàæ åíèÿ äëÿ óíêöèè f ( t ) ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè t ïðåáûâàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå, çàäàííîé îáùåé îðìó ëîé (2 ). Ýòè âû- ðàæ åíèÿ áó äóò èñïîëüçîâàíû ïðè ïðîâåðê å èïîòåçû 1 èç ðàçäåëà 3, à ò àêæ å â Ïðèëî æ åíèè C . Ñåòü Î { M / M / ∞ ; M / M / ∞ } . Ïó ñòü èíòåíñèâíîñòü îáñëóæèâà- íèÿ â î äíîì ê àíàëå ñèñòåìû a ðàâíà µ a , à èíòåíñèâíîñòü îáñëóæèâàíèÿ â î äíîì ê àíàëå ñèñòåìû b ðàâíà µ b .  ýòîì ñëó÷àå ïëîòíîñòü f i ( t i ) ðàñïðå- äåëåíèÿ âåðî ÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû t i  äëèòåëüíîñòè îáðàáîòêè òðåáîâàíèÿ â ñèñòåìå i (îíî æ å  âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ â ñèñòåìå i ) ðàâíà f i ( t i ) = µ i exp( − µ i t i ) θ ( t i ) , i = a èëè i = b. ã äå θ ( t ) - óíêöèÿ Õåâèñàéäà: θ ( t ) = ( 1 , åñëè t ≥ 0 , 0 , åñëè t < 0 . (4) Ïî äñò àâëÿÿ ýòè âûðàæ åíèÿ â îðìó ëó ( 1 ), ïîëó÷èì ïëîòíîñòü ˜ f ( ˜ t ) ðàñ- ïðåäåëåíèÿ âåðî ÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ˜ t : ˜ f ( ˜ t ) = µ a µ b µ a + µ b  exp( − µ a ˜ t ) θ ( ˜ t ) + exp( µ b ˜ t ) θ ( − ˜ t )  . Èç âûðàæ åíèÿ (2 ) ñëåäó åò , ÷òî ïëîòíîñòü f ( t ) ðàñïðåäåëåíèÿ âåðî ÿòíî- ñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû t ðàâíà f ( t ) = µ a µ b µ a + µ b (exp( − µ a t ) + exp( − µ b t )) . (5) Ò àêèì îáðàçîì, äëÿ ñåòè Î { M / M / ∞ ; M / M / ∞ } âðåìÿ t î æèäàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå èìååò ãèïåðýê ñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå [ 15, 16℄. Ïî äñò àâëÿÿ âûðàæ åíèå (5) â îðìó ëó (3 ), ïîëó÷èì ñðåäíåå âðåìÿ T ïðåáûâàíèÿ ïåðâîãî ïàðòíåðà â ïàðíîì ñèíõðîíèçàòîðå: T = ( µ 2 a + µ 2 b ) / (( µ a + µ b ) µ a µ b ) . (6) Ñåòü Î { M / M / 1 ; M / M / 1 } . Äëÿ ñèñòåì M / M / 1 èçâåñòíî [ 15 , 16℄, ÷òî ïëîòíîñòü f i ( t i ) ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû t i (âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ â ñèñòåìå i ) ðàâíà f i ( t i ) = ( µ i − λ ) exp( − ( µ i − λ ) t i ) θ ( t i ) , 11 ã äå θ ( t i )  óíêöèÿ Õåâèñàéäà (4). Ïî äñò àâëÿÿ ýòè âûðàæ åíèÿ â îðìó ëó (1), ïîëó÷èì ïëîòíîñòü ˜ f ( ˜ t ) ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ˜ t : ˜ f ( ˜ t ) = ( µ a − λ )( µ b − λ ) µ a + µ b − 2 λ  exp( − ( µ a − λ ) ˜ t ) θ ( ˜ t ) + exp(( µ b − λ ) ˜ t ) θ ( − ˜ t )  . Èç âûðàæ åíèÿ (2) ñëåäó åò , ÷òî ïëîòíîñòü f ( t ) ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû t ðàâíà f ( t ) = ( µ a − λ )( µ b − λ ) µ a + µ b − 2 λ (exp( − ( µ a − λ ) t ) + exp( − ( µ b − λ ) t )) . (7) Ò àêèì îáðàçîì, äëÿ ñåòè Î { M / M / 1 ; M / M / 1 } ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà âðåìÿ t î æèäàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå (ê àê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå) èìååò ãèïåðýê ñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïî äñò àâëÿÿ âûðàæ åíèå (7 ) â îðìó ëó (3) íàéäåì ñðåäíåå âðåìÿ T ïðåáûâàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå: T = ( µ a − λ ) 2 + ( µ b − λ ) 2 ( µ a + µ b − 2 λ )( µ a − λ )( µ b − λ ) . (8) Ñåòü Î { M / M / N a ; M / M / N b } . Äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ ñèñòåìû ìàñ- ñîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì ïàðàëëåëüíûõ ê àíàëîâ èç- âåñòíî [16 ℄, ÷òî ïëîòíîñòü f i ( t i ) ðàñïðåäåëåíèÿ âåðî ÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû âðåìÿ t i ïðåáûâàíèÿ â ñèñòåìå i  îïðåäåëåíà ïðè t i ∈ [0 , + ∞ ) è ðàâíà: f i ( t i ) = ∂ ∂ t i t i Z 0 v i ( ξ ) W i ( t i − ξ ) d ξ , (9) ã äå v i ( x ) = µ i exp( − µ i x ) ïëîòíîñòü âåðî ÿòíîñòè âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ â îò äåëüíîì ê àíàëå ñèñòåìû i ; W i ( x ) = 1 − ˜ p i exp( − ( µ i N i − λ ) x ) óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ â î÷åðåäè ñèñòåìû i ; ˜ p i  âåðî ÿòíîñòü òîãî, ÷òî î÷åðåäü â ñèñòåìå i íåïó ñò à: ˜ p i = p (0) i ( λ/µ i ) N i N i ! (1 − λ/ ( µ i N i )) ; à p (0) i - âåðî ÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ñèñòåìå i íåò íè î äíîãî òðåáîâàíèÿ: p (0) i = ( λ/µ i ) N i N i ! (1 − λ/ ( µ i N i )) + N i − 1 X k =0 ( λ/µ i ) k k ! ! − 1 . 12 Èíòåãðèðó ÿ è äèåðåíöèðó ÿ â âûðàæ åíèè (9), ïîëó÷àåì: f i ( t i ) = µ i  1 + ˜ p i µ i µ i ( N i − 1) − λ  exp( − µ i t i ) − ˜ p i µ i ( µ i N i − λ ) µ i ( N i − 1) − λ exp( − ( µ i N i − λ ) t i ) . (10) Ïî äñò àâëÿÿ âûðàæ åíèå ( 10) â îðìó ëû (1) è (2), ìî æíî ïîê àçàòü, ÷òî óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè t î æèäàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå ðàâíà f ( t ) = C 1 exp( − µ a t )+ C 2 exp( − µ b t )+ C 3 exp( − ( µ a N a − λ ) t )+ C 4 exp( − ( µ b N b − λ ) t ) , (11) ã äå ê îýèöèåíòû C 1 . . . C 4 çàâèñ ÿò îò ïàðàìåòðîâ λ, N a , N b , µ a , µ b . ßâ- íûé âèä ýòèõ ê îýèöèåíòîâ âåñüìà ãðîìîçäêèé è ïîýòîìó çäåñü íå ïðè- âî äèòñ ÿ. Ò àêèì îáðàçîì, è â îáùåì ñëó÷àå ñåòè Î { M / M / N a ; M / M / N b } ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà âðåìÿ t î æèäàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå èìååò ãèïåð- ýê ñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. B  åøåíèå óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà-×åïìåíà  ýòîì ðàçäåëå ðàññìîòðèì ñò àöèîíàðíûé ðåæèì â ñåòè Î ñ äâóìÿ âåòâÿìè { M / M / 1 ; M / M / 1 } (ðèñ. 1), â ê àæäîé èç ê îòîðûõ èìååòñ ÿ ïî î äíîìó ê àíàëó îáñëóæèâàíèÿ N a = N b = 1 , à íà âõ î ä ñåòè ïîñòóïàåò ïó àññîíîâñêèé ïîòîê èíòåíñèâíîñòè λ . Ñîñòî ÿíèå âåòâè i ( i ïðèíèìàåò çíà ÷åíèÿ a èëè b ) â íåê îòîðûé ìîìåíò âðåìåíè áó äåì õ àðàêòåðèçîâàòü íåîòðèöàòåëüíûì öåëûì ÷èñëîì q i  ê îëè÷åñòâîì òðåáîâàíèé, íàõ î äÿ- ùèõ ñ ÿ â âåòâè i . Ñîñòî ÿíèå îáåèõ âåòâåé, ðàññìàòðèâàåìûõ ñîâìåñòíî, õ àðàêòåðèçó åòñ ÿ ïàðîé ÷èñåë ( q a , q b ) . Âåðî ÿòíîñòü ñîñòî ÿíèÿ ( q a , q b ) ðàâ- íà P ( q a , q b ) è ó äîâëåòâîð ÿåò ó ñëîâèþ íîðìèðîâêè: P q a , q b ≥ 0 P ( q a , q b ) = 1 . Èíòåíñèâíîñòè îáñëóæèâàíèÿ â âåòâÿõ ðàâíû µ a è µ b . Íàïîìíèì, ÷òî ψ a = λ/ ( N a µ a ) è ψ b = λ/ ( N a µ b ) .  ñò àöèîíàðíîì ðåæèìå âåðî ÿòíîñòè P ( q a , q b ) íå çàâèñ ÿò îò âðåìåíè, à ψ a < 1 è ψ b < 1 . Òðåáó åòñ ÿ íàéòè ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå âåðî ÿòíîñòè P ( q a , q b ) ê î- ëè÷åñòâà çàÿâîê â ñèñòåìàõ q a è q b â ñò àöèîíàðíîì ðåæèìå, äëÿ ïðîèç- âîëüíîãî èê ñèðîâàííîãî íàáîðà ïàðàìåòðîâ ñåòè Î: λ, µ a , µ b . Ò àê îå äâóìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå P ( q a , q b ) îïèñûâàåòñ ÿ ñèñòåìîé ñò à- öèîíàðíûõ óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà-×åïìåíà: ïðè q a = q b = 0 : λP (0 , 0) = µ a P (1 , 0) + µ b P (0 , 1) , ïðè q b > 0 : ( λ + µ b ) P (0 , q b ) = µ a P (1 , q b ) + µ b P (0 , q b + 1) , ïðè q a > 0 : ( λ + µ a ) P ( q a , 0) = µ a P ( q a + 1 , 0) + µ b P ( q a , 1) , ïðè q a q b > 0 : ( λ + µ a + µ b ) P ( q a , q b ) = λP ( q a − 1 , q b − 1) + µ a P ( q a + 1 , q b ) + µ b P ( q a , q b + 1) . 13 Ê ñî æ àëåíèþ, òî÷íîå ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé â äàííîì ñëó÷àå íåèç- âåñòíî. Ïîýòîìó ïîñò àâëåííàÿ çàäà ÷à ðåøàëàñü ÷èñëåííî èòåðàöèîííûì ìåòî äîì.  ê à ÷åñòâå íà ÷àëüíîãî ïðèáëèæ åíèÿ P 0 ( q a , q b ) èñïîëüçîâàëîñü ðàñïðåäåëåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ñëó÷àþ, ê îã äà íà âõ î ä ñèñòåì a è b ïî- ñòóïàþò äâà íåçàâèñèìûõ ïó àññîíîâñêèõ ïîòîê à èíòåíñèâíîñòè λ : P 0 ( q a , q b ) = (1 − ψ a ) ψ q a a (1 − ψ b ) ψ q b b . Êàæäàÿ ñëåäóþùàÿ èòåðàöèÿ âû÷èñëÿëàñü ïî îðìó ëàì: P n +1 (0 , 0) = (1 − γ ) P n (0 , 0) + γ µ a P n (1 , 0) + µ b P n (0 , 1) λ , ïðè q b > 0 : P n +1 (0 , q b ) = (1 − γ ) P n (0 , q b ) + γ µ a P n (1 , q b ) + µ b P n (0 , q b + 1) λ + µ b , ïðè q a > 0 : P n +1 ( q a , 0) = (1 − γ ) P n ( q a , 0) + γ µ a P n ( q a + 1 , 0) + µ b P n ( q a , 1) λ + µ a , ïðè q a q b > 0 : P n +1 ( q a , q b ) = (1 − γ ) P n ( q a , q b )+ γ λP n ( q a − 1 , q b − 1) + µ a P n ( q a + 1 , q b ) + µ b P n ( q a , q b + 1) λ + µ a + µ b . Ïàðàìåòð 0 < γ ≤ 1 ðåãó ëèðîâàëñ ÿ â ïðîöåññå èòåðàöèé (àêòè÷åñêè, èñïîëüçîâàëîñü äâà çíà ÷åíèÿ: γ = 1 è γ = 0 . 1 ). Ïðè âû÷èñëåíèÿõ èñ- ïîëüçîâàëàñü ìàòðèöà çíà ÷åíèé P n ( q a , q b ) ðàçìåðîì N × N , ã äå N = 190 . Ïðåäïîëàã àëîñü, ÷òî P n ( q a , q b ) = 0 , ê àê òîëüê î õ îò ÿ áû î äèí èç àðãóìåí- òîâ q i âûõ î äèò çà ãðàíèöû îòðåçê à [0, N − 1 ℄.  ê à ÷åñòâå êðèòåðèÿ áëèçîñòè P n ê èñòèííîìó çíà ÷åíèþ èñïîëüçîâà- ëàñü ìàëîñòü òðåõ âåëè÷èí: D 1 = N − 1 X h =0      p a ( h ) − N − 1 X l =0 P n ( h, l )      , D 2 = N − 1 X h =0      p b ( h ) − N − 1 X l =0 P n ( l , h )      , D 3 = N − 1 X h =0 N − 1 X l =0 | P n +1 ( h, l ) − P n ( h, l ) | . 14 ã äå p i ( m ) = (1 − ψ i ) ψ m i  áåçó ñëîâíàÿ âåðî ÿòíîñòü òîãî, ÷òî ê îëè÷åñòâî çàÿâîê q i â âåòâè i ðàâíî m . Ïîñëå ê àæäîé èòåðàöèè âñå çíà ÷åíèÿ P n +1 íîðìèðîâàëèñü, òî åñòü äåëèëèñü íà ñóììó N − 1 X h =0 N − 1 X l =0 P n +1 ( h, l ) . Èñïîëüçîâàëñ ÿ ñëåäóþùèé àëãîðèòì âûáîðà ïàðàìåòðà γ : ñíà ÷àëà âûïîëíÿëèñü èòåðàöèè ïðè γ = 1 , çàòåì, ê îã äà ïàðàìåòð D 3 ïåðåñò à- âàë óìåíüøàòüñ ÿ, âûïîëíÿëèñü 10 3 èòåðàöèé ïðè γ = 0 . 1 . Çàòåì ñíîâà âûïîëíÿëèñü èòåðàöèè ïðè γ = 1 . Ïðèìåíåííûé èòåðàöèîííûé ìåòî ä îáåñïå÷èâàåò íåâîçðàñò àíèå àáñî- ëþòíîé âåëè÷èíû ìàê ñèìàëüíîé (ïî âñåì 0 ≤ h ≤ N − 1 è 0 ≤ l ≤ N − 1 ) èç àáñîëþòíûõ ïîãðåøíîñòåé ∆ n ( h, l ) = P n +1 ( h, l ) − P n ( h, l ) ïðèáëèæ åíèé äëÿ âåðî ÿòíîñòåé P ( h, l ) , ïîñê îëüêó | ∆ n +1 ( h, l ) | = =     (1 − γ )∆ n ( h, l ) + γ λ ∆ n ( h − 1 , l − 1) + µ a ∆ n ( h + 1 , l ) + µ b ∆ n ( h, l + 1) λ + µ a + µ b     ≤ = max h,l ( | ∆ n ( h, l ) | ) . Íàáëþ äàåìîå â ïðîöåññå èòåðàöèé áûñòðîå óìåíüøåíèå íåâÿçêè ñè- ñòåìû óðàâíåíèé ïðè âñåõ èññëåäîâàííûõ ê îìáèíàöèÿõ ïàðàìåòðîâ ñåòè Î ïîçâîëÿåò ïðåäïîëî æèòü, ÷òî ïðèìåíåíèå íîðìèðîâêè ïîñëå èòåðà- öèè ïðèâî äèò ê èçìåíåíèþ çíàê îâ àáñîëþòíûõ ïîãðåøíîñòåé, ÷òî â ñâîþ î÷åðåäü ïðåâðàùàåò íåñòðîãîå íåðàâåíñòâî, õ àðàêòåðèçóþùåå óìåíüøå- íèå ìàê ñèìóìà àáñîëþòíîé îøèáêè, â ñòðîãîå, è îáåñïå÷èâàåò ñ õ î äè- ìîñòü ìåòî äà. Îòìåòèì, î äíàê î, ÷òî ñòðîãèì äîê àçàòåëüñòâîì ñ õ î äèìî- ñòè èòåðàöèé ê ðåøåíèþ ñèñòåìû óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà-×åïìåíà äëÿ ïðîèçâîëüíîé ê îìáèíàöèè ïàðàìåòðîâ àâòîðû íå ðàñïîëàã àþò .  ðàìê àõ ïðèâåäåííîãî ÷èñëåííîãî ìåòî äà áûëè ïîëó÷åíû ïðèáëè- æ åííûå ðåøåíèÿ äëÿ P ( q a , q b ) ïðè 0 . 05 ≤ q a , q b ≤ 0 . 9 . Õàðàêòåðíûå çíà- ÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ D 1 , D 2 , D 3 , ïðè ïðåêðàùåíèè âû÷èñëåíèé ïðèâåäåíû â ò àáëèöå 2 . Ïîëó÷åííûå ïðèáëèæ åííûå ðåøåíèÿ äëÿ P ( q a , q b ) ïîçâîëÿþò ê îëè- ÷åñòâåííî î õ àðàêòåðèçîâàòü íàëè÷èå ê îððåëÿöèè ìåæäó ïðîöåññàìè â âåòâÿõ ñåòè Î { M / M / 1 ; M / M / 1 } . Íà ðèñóíê å 3 ïîê àçàíà çàâèñèìîñòü ê îýèöèåíò à ê îððåëÿöèè ìåæäó âðåìåíàìè íàõ î æäåíèÿ ïàðòíåðîâ î ä- íîé ïàðû â âåòâÿõ ñåòè Î îò ψ a äëÿ ÷åòûðåõ çíà ÷åíèé ψ b : 0.05; 0.35; 15 Ò àáëèöà 2: Õàðàêòåðíûå çíà ÷åíèÿ âåëè÷èí ïðè îñò àíîâê å èòåðàöèé ψ a = ψ b D 1 = D 2 D 3 0 . 05 < 10 − 11 < 10 − 11 0 . 5 < 10 − 11 < 10 − 11 0 . 7 0 . 12 · 10 − 8 0 . 2 · 10 − 10 0 . 9 0 . 76 · 10 − 3 0 . 53 · 10 − 5 0.65 è 0.90. Êàê âèäíî èç ãðàèê îâ, çàìåòíûé ðîñò ê îýèöèåíò à ê îððå- ëÿöèè, ò àê æ å ê àê è çàìåòíîå èçìåíåíèå ó ñëîâíîé âåðî ÿòíîñòè, íàáëþ äà- åòñ ÿ â ñëó÷àÿõ, ê îã äà èíòåíñèâíîñòè îáñëóæèâàíèÿ â îáåèõ âåòâÿõ ñåòè Î ïðèìåðíî î äèíàê îâû ( ψ a = ψ b ). C ×èñëåííûå ýê ñïåðèìåíòû Äëÿ ìî äåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ â ñåòè Î (ðèñ. 1 ) ïðèìåíÿëñ ÿ âõ î äíîé ïîòîê èç 10 5 çàÿâîê ñ ýê ñïîíåíöèàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì âðå- ìåííûõ èíòåðâàëîâ, ïîëó÷åííûé ñ èñïîëüçîâàíèåì äàò÷èê à ñëó÷àéíûõ ÷èñåë. Ïðîâåð ÿëàñü ñò àòèñòè÷åñê àÿ èïîòåçà 1 èç ðàçäåëà 3 î ñîâïàäåíèè ýìïèðè÷åñê îãî ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ â ñèíõðîíèçàòîðå ñ ãèïîòåòè÷åñêèì ïî êðèòåðèþ χ 2 Ïèðñîíà.  ê à ÷åñòâå ãèïîòåòè÷åñêèõ ðàñïðåäåëåíèé èñïîëüçîâàëèñü ïðèáëèæ åííûå âûðàæ åíèÿ (2, 5 , 7, 11 ). Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçáèâàëàñü íà 30 îòðåç- ê îâ ðàâíîé âåðî ÿòíîñòè. Ïðè ìíîãèõ ê îìáèíàöèÿõ çíà ÷åíèé ïàðàìåòðîâ ñåòè Î ( λ, N a , N b , ψ a , ψ b ) ðàññ÷èòûâàëèñü çíà ÷åíèÿ êðèòåðèÿ χ 2 Ïèð- ñîíà. Ïðèíèìàëñ ÿ óðîâåíü çíà ÷èìîñòè α = 0 . 01 . Ïðè ýòîì ãðàíè÷íîå çíà ÷åíèå êðèòåðèÿ Ïèðñîíà χ 2 0 = 49 . 6 .  ò àáëèöå 3 ïðèâåäåíû âåëè÷èíû χ 2 äëÿ íåê îòîðûõ çíà ÷åíèé ïàðà- ìåòðîâ ñåòè. Æèðíûì øðèòîì âûäåëåíû âåëè÷èíû, ïðè ê îòîðûõ è- ïîòåçà 1 áûëà îòâåðãíóò à: χ 2 > χ 2 0 . Àíàëîãè÷íûå äàííûå áûëè èñïîëü- çîâàíû äëÿ ïîñòðîåíèÿ ò àáëèöû 1. Êðîìå òîãî, â ò àáëèöå 3 ïðèâåäåíà îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ∆ T /T = ( T − T emp ) /T , ïîê àçûâàþùàÿ, ê àê îòêëîíÿåòñ ÿ ýìïèðè÷åñê îå ñðåäíåå âðåìÿ T emp îò ïðèáëèæ åíèÿ T , îïðå- äåëÿåìîãî îðìó ëàìè (1), (3), (6 ) è (8). 16 Ò àáëèöà 3: Ïðîâåðê à èïîòåçû 1 (ñ óðîâíåì çíà ÷èìîñòè α = 0 . 01 ) è íàáëþ äàåìûå çíà ÷åíèÿ ∆ T /T . λ = 0 . 3 , N a = 1 , N b = 1 ψ a 0.75 0.75 0.75 0.75 0.1 0.1 0.375 ψ b 0.75 0.5 0.25 0.2 0.2 0.1 0.375 χ 2 1551 440 112 115 45 48 760 ∆ T /T × 1 0 0% 17.5 7.3 0.6 0.3 1.3 1.4 8.7 λ = 1 . 5 , N a = 3 , N b = 5 ψ a 0.83 0.91 0.83 0.83 0.625 0.5 0.25 ψ b 0.3 0.6 0.75 0.83 0.6 0.5 0.25 χ 2 33 142 674 895 84 29 35.5 ∆ T /T × 1 0 0% 1.4 7.3 9.4 9.7 2.0 0.9 0.04 λ = 2 , N a = 8 , N b = 8 ψ a 0.5 0.83 0.93 0.83 0.9 0.42 0.625 ψ b 0.36 0.625 0.71 0.83 0.93 0.83 0.5 χ 2 33.2 44 142 227 480 34.8 42 ∆ T /T × 1 0 0% 0.2 1.8 6.9 5.5 7.9 0.5 0.2 Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1℄ Harrison J.D. Assem bly-lik e queues. J. Appl. Prob., 1973, v. 10, p. 354. [2℄ L atouhe G. Queues with paired ustomers. J. Appl. Prob., 1981, v. 18, p. 684. [3℄ Bonomi F. An appro ximate analysis for a lass of assem bly-lik e queues. Queueing Systems, 1987, v.1, p. 289. [4℄ Flatto L., Hahn S. T w o parallel queues reated b y arriv als with t w o demands. SIAM J. Appl. Math., 1984, v. 44, p. 1041. [5℄ Ba  el li F., Makowski A. M. Simple omputables b ounds for the fork- join queue. Pro . John Hopkins Conf. Information Siene, p. 536. Baltimore: John Hopkins Univ. Press, 1985. [6℄ Ba  el li F., Makowski A. M., Shwartz A. The fork-join queue and related systems with syn hronization onstrain ts: sto  hasti ordering and omputable b ounds. A dv. in Appl. Prob., 1989, v. 21, p. 629. 17 [7℄ R aghavan N.R.S., Viswanadham N. Generalized queueing net w ork analysis of in tegrated supply  hains. In t. J. Pro d. Res., 2001, v. 39, p. 205. [8℄ Nelson R., T antawi A. N. Appro ximate analysis of fork/join syn hronization in parallel queues. IEEE T rans. Comput., 1988, v. 37, p. 739. [9℄ V arma S., Makowski A. In terp olation appro ximations for symmetri fork-join queues. P erf. Ev al., 1994, v. 20, p. 245. [10℄ A yhan H., Se o D.-W. Laplae transform and momen ts of w aiting times in (max,+) linear systems with P oisson input. Queueing systems, 2001, v. 37, p. 405. [11℄ Knessl C. On the diusion appro ximation to a fork and join queueing mo del. SIAM J. Appl. Math., 1991, v. 51, p. 160. [12℄ Kushner H.J. Hea vy tra analysis of on trolled queueing and omm uniation net w orks. Series: Sto  hasti Mo delling and Applied Probabilit y , v. 47. New Y ork: Springer-V erlag, 2001. [13℄ Nguyen V. Pro essing net w orks with parallel and sequen tial tasks: hea vy tra analysis and Bro wnian limits. Ann. Appl. Prob., 1993, v. 3, p. 28. [14℄ Ko S.-S., Serfozo R.F. Resp onse times in M/M/s fork-join net w orks. A dv. Appl. Prob., 2004, v. 36, p. 854. [15℄ Êëåéíðîê Ë. Âû÷èñëèòåëüíûå ñèñòåìû ñ î÷åðåäÿìè. Ì.: Ìèð, 1979. [16℄ Êî  ìàí À., Êðþîí  . Ìàññîâîå îáñëóæèâàíèå. Ò åîðèÿ è ïðèëî æ å- íèÿ. Ì.: Ìèð, 1965. 18