In this work we refer to motivations, applications, and relations of control theory with other areas of mathematics. We present a brief historical review of optimal control theory, from its roots in the calculus of variations and the classical theory of control to the present time, giving particular emphasis to the Pontryagin maximum principle.
Deep Dive into The optimal control and its multiple applications.
In this work we refer to motivations, applications, and relations of control theory with other areas of mathematics. We present a brief historical review of optimal control theory, from its roots in the calculus of variations and the classical theory of control to the present time, giving particular emphasis to the Pontryagin maximum principle.
arXiv:0903.4019v1 [math.OC] 24 Mar 2009
O
on
trolo
óptimo
e
as
suas
m
últiplas
apli açõ
es∗
Cristiana
J.
Silv
a1,2
joaosilva ua.pt
Del m
F.
M.
T
orres1
delfim ua.pt
Emman
uel
T
rélat2
emmanuel.trelat univ-
orl
eans
.fr
1
Con
trol
theory
group
( otg)
Cen
tro
de
Estudos
em
Optimização
e
Con
trolo
(CEOC)
Departamen
to
de
Matemáti a,
Univ
ersidade
de
A
v
eiro
3810-193
A
v
eiro,
P
ortugal
2
Univ
ersité
d'Orléans,
UFR
S ien es
Fédération
Denis
P
oisson
Mathématiques,
Lab
oratoire
MAPMO,
UMR
6628
45067
Orléans
Cedex
2,
F
ran e
Resumo
Neste
trabalho
são
referidas
motiv
açõ
es,
apli açõ
es
e
relaçõ
es
da
teoria
do
on
trolo
om
outras
áreas
da
matemáti a.
Apresen
tamos
uma
brev
e
resenha
históri a
sobre
o
on
trolo
óptimo,
desde
as
suas
origens
no
ál ulo
das
v
ariaçõ
es
e
na
teoria
lássi a
do
on
trolo
aos
dias
de
ho
je,
dando
esp
e ial
destaque
ao
prin ípio
do
máximo
de
P
on
try
agin.
P
ala
vras
ha
v
e:
on
trolo
óptimo,
prin ípio
do
máximo
de
P
on
try
agin,
apli açõ
es
da
teoria
matemáti a
dos
sistemas
de
on
trolo.
Abstra t
In
this
w
ork
w
e
refer
to
motiv
ations,
appli ations,
and
relations
of
on
trol
theory
with
other
areas
of
mathemati s.
W
e
presen
t
a
brief
his-
tori al
review
of
optimal
on
trol
theory
,
from
its
ro
ots
in
the
al ulus
of
v
ariations
and
the
lassi al
theory
of
on
trol
to
the
presen
t
time,
giving
parti ular
emphasis
to
the
P
on
try
agin
maxim
um
prin iple.
Keyw
ords:
optimal
on
trol,
P
on
try
agin
maxim
um
prin iple,
appli ations
of
the
mathemati al
theory
of
on
trol.
2000
Mathemati s
Sub
je t
Classi ation:
49-01.
∗
Dedi ado
a
F
ran is
Clark
e
e
a
Ri
hard
Vin
ter
p
or
o
asião
da
elebração
do
sexagésimo
aniv
ersário
de
am
b
os
os
matemáti os,
W
orkshop
in
Contr
ol,
Nonsmo
oth
A
nalysis
and
Opti-
mization,
P
orto,
4
a
8
de
Maio
de
2009
<http:// eo .mat.ua.pt/f
-rv-
60>.
1
1
In
tro
dução
T
o
dos
nós
já
ten
támos,
n
uma
ou
outra
o
asião,
man
ter
em
equilíbrio
uma
v
ara
sobre
o
dedo
indi ador
(i.e.,
resolv
er
o
problema
do
p
êndulo
in
v
ertido).
P
or
outro
lado
é
m
uito
mais
difí il,
sobretudo
se
fe
harmos
os
olhos,
man
ter
em
equilíbrio
um
p
êndulo
in
v
ertido
duplo.
A
teoria
do
on
trolo
p
ermite
fazê-lo
sob
a
ondição
de
disp
ormos
de
um
b
om
mo
delo
matemáti o.
Um
sistema
de
on
trolo
é
um
sistema
dinâmi o,
que
ev
olui
no
temp
o,
so-
bre
o
qual
p
o
demos
agir
atra
v
és
de
uma
função
de
omando
ou
on
trolo.
Um
omputador,
que
p
ermite
a
um
utilizador
efe tuar
uma
série
de
omandos,
um
e ossistema
sobre
o
qual
p
o
demos
agir
fa
v
ore endo
esta
ou
aquela
esp
é ie,
os
te idos
nerv
osos
que
formam
uma
rede
on
trolada
p
elo
érebro
e
realizam
a
transformação
de
estím
ulos
pro
v
enien
tes
do
exterior
em
a çõ
es
do
organismo,
um
rob
ot
que
dev
e
efe tuar
uma
tarefa
b
em
pre isa,
uma
viatura
sobre
a
qual
agimos
p
or
in
termédio
de
um
p
edal
de
a eleração,
de
tra
v
agem
e
em
braiagem
e
que
onduzimos
om
a
a
juda
de
um
v
olan
te,
um
satélite
ou
uma
na
v
e
espa ial,
são
to
dos
eles
exemplos
de
sistemas
de
on
trolo,
os
quais
p
o
dem
ser
mo
delados
e
estudados
p
ela
teoria
dos
sistemas
de
on
trolo.
A
teoria
do
on
trolo
analisa
as
propriedades
de
tais
sistemas,
om
o
in
tuito
de
os
onduzir
de
um
determinado
estado
ini ial
a
um
dado
estado
nal,
resp
ei-
tando
ev
en
tualmen
te
ertas
restriçõ
es.
A
origem
de
tais
sistemas
p
o
de
ser
m
uito
div
ersa:
me âni a,
elé tri a,
biológi a,
quími a,
e onómi a,
et .
O
ob
je tiv
o
p
o
de
ser
o
de
estabilizar
o
sistema
tornando-o
insensív
el
a
ertas
p
erturbaçõ
es
(problema
de
estabilização
)
ou
ainda
determinar
as
soluçõ
es
óptimas
relativ
a-
men
te
a
um
determinado
ritério
de
optimização
(problema
do
ontr
olo
óptimo
).
P
ara
mo
delar
os
sistemas
de
on
trolo
p
o
demos
re orrer
a
equaçõ
es
diferen iais,
in
tegrais,
fun ionais,
de
diferenças
nitas,
às
deriv
adas
par iais,
determinísti as
ou
esto
ásti as,
et .
P
or
esta
razão
a
teoria
do
on
trolo
v
ai
b
eb
er
e
on
tribui
em
n
umerosos
domínios
da
matemáti a
(vide,
e.g.,
[4,
11
,
12
,
21
,
23
,
27
℄).
A
estrutura
de
um
sistema
de
on
trolo
é
represen
tada
p
ela
in
ter onexão
de
ertos
elemen
tos
mais
simples
que
formam
sub-sistemas.
Neles
transita
infor-
mação.
A
dinâmi a
de
um
sistema
de
on
trolo
de ne
as
transformaçõ
es
p
ossív
eis
do
sistema,
que
o
orrem
no
temp
o
de
maneira
determinista
ou
aleatória.
Os
exemplos
já
dados
mostram
que
a
estrutura
e
a
dinâmi a
de
um
sistema
de
on
trolo
p
o
dem
ter
signi ados
m
uito
diferen
tes.
Em
parti ular,
o
on eito
de
sistema
de
on
trolo
p
o
de
des rev
er
transformaçõ
es
dis retas,
on
tín
uas,
híbridas
ou,
de
um
mo
do
mais
geral,
n
uma
time
s
ale
ou
me
asur
e
hain
[13
,
14
,
22
℄.
Um
sistema
de
on
trolo
diz-se
ontr
olável
se
o
p
o
demos
onduzir
(em
temp
o
nito)
de
um
determinado
estado
ini ial
até
um
estado
nal
pres rito.
Em
relação
ao
problema
da
on
trolabilidade,
Kalman
demonstrou
em
1949
um
resultado
imp
ortan
te
que
ara teriza
os
sistemas
lineares
on
trolá
v
eis
de
dimen-
são
nita
(T
eorema
7).
P
ara
sistemas
não
lineares
…(Full text truncated)…
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