Extractors and an efficient variant of Muchniks theorem
Muchnik's theorem about simple conditional descriprion states that for all words $a$ and $b$ there exists a short program $p$ transforming $a$ to $b$ that has the least possible length and is simple conditional on $b$. This paper presents a new proof…
Authors: Daniil Musatov
Ìîñê îâñêèé ãîñó äàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà Ìåõ àíèê î-ìàòåìàòè÷åñêèé àêó ëü òåò Êàåäðà ìàòåìàòè÷åñê îé ëîãèêè è òåîðèè àëãîðèòìîâ Âñòóïèòåëüíûé ðååðàò â àñïèðàíòóðó Ýê ñòðàêòîðû è ýåêòèâíûé âàðèàíò òåîðåìû Ìó÷íèê à Ä.Ìó ñàòîâ Íà ó÷íûé ðóê îâî äèòåëü: ä. .-ì. í., ïðîåññîð Í. Ê. Âåðåùàãèí Ìîñêâà 2006 Àííîò àöèÿ  1999 ãî äó Àí. Ìó÷íèê äîê àçàë ñëåäóþùóþ òåîðåìó: äëÿ ëþáûõ äâîè÷íûõ ñëîâ A è B íàéä¸òñ ÿ ò àê îå ñëîâî X äëèíû ïðèìåðíî K ( A | B ) , ÷òî K ( X | A ) ≈ 0 è K ( A | B , X ) ≈ 0 . X âûáèðàëñ ÿ ê àê îáðàç A ïî ä äåéñòâèåì õ åø-óíêöèè, âûáðàííîé èç íåê îòîðîãî íåáîëü- øîãî êëàññà óíêöèé. Ñóùåñòâîâàíèå êëàññà ñ íóæíûìè ñâîéñòâàìè ó ñò àíàâëèâàëîñü âåðî ÿòíîñòíûì ìåòî äîì. Àí. Ìó÷íèê ïîñò àâèë âîïðîñ: ìî æíî ëè ïîñòðîèòü ò àê îå ñå- ìåéñòâî õ åø-óíêöèé, ÷òîáû õ åø-çíà ÷åíèå âû÷èñëÿëîñü ïîëèíîìèàëüíûì àëãîðèòìîì ïî ñëîâó A è íîìåðó óíêöèè?  ðàáîòå ïîê àçàíî, ÷òî îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ïîëî æè- òåëüíûé, åñëè íåìíîãî îñëàáèòü îðìó ëèðîâêó èñ õ î äíîé òåîðåìû. À èìåííî, â ê à ÷åñòâå ñåìåéñòâà õ åø-óíêöèé íàäî âçÿòü ýê ñòðàêòîð. Ýê ñòðàêòîðîì íàçûâàåòñ ÿ óíêöèÿ E xt : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } d → { 0 , 1 } m , ò àê àÿ ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåðî ÿòíîñòåé íà { 0 , 1 } n ñ áîëüøîé ìèíèìàëüíîé ýíòðîïèåé è ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà { 0 , 1 } d èíäóöèðîâàííîå ðàñïðåäåëåíèå íà { 0 , 1 } m áëèç- ê î ê ðàâíîìåðíîìó . Ïîíÿòèå ýê ñòðàêòîðà ïî ÿâèëîñü â íà ÷àëå 1990-õ ãî äîâ è íàøëî ìíî- ãî ïðèëî æ åíèé â ðàçëè÷íûõ îáëàñò ÿõ òåîðèè ñëî æíîñòè.  ëèòåðàòóðå îïèñàíû ðàç- ëè÷íûå ê îíñòðóêöèè ýê ñòðàêòîðîâ, îáçîð íåê îòîðûõ èç íèõ äàí â íàñòî ÿùåé ðàáîòå. ßâíîå ïîñòðîåíèå ýê ñòðàêòîðà ñ îïòèìàëüíûìè ïàðàìåòðàìè, ñóùåñòâîâàíèå ê îòîðîãî ó ñò àíîâëåíî âåðî ÿòíîñòíûì ìåòî äîì, ÿâëÿåòñ ÿ îòêðûòîé ïðîáëåìîé. Ïðèìåíåíèå ýê ñòðàêòîðîâ íå òîëüê î îòâå÷àåò íà âîïðîñ, ïîñò àâëåííûé Àí. Ìó÷íèê îì, íî è ÿâëÿåòñ ÿ èíñòðóìåíòîì äëÿ äîê àçàòåëüñòâà àíàëîãè÷íûõ òåîðåì äëÿ ê îëìîãîðîâ- ñê îé ñëî æíîñòè ñ îãðàíè÷åíèåì íà ðåñóðñû.  íàñòî ÿùåé ðàáîòå ïðèâåäåíû ïåðâûå ðå- çó ëü ò àòû, ïîëó÷åííûå â ýòîì íàïðàâëåíèè: òåîðåìà äëÿ ñëî æíîñòè ñ ïîëèíîìèàëüíûì îãðàíè÷åíèåì íà ïàìÿòü è òåîðåìà äëÿ ñëî æíîñòè ñ ïîëèíîìèàëüíûì îãðàíè÷åíèåì íà âðåìÿ, ã äå äëÿ äåê î äèðîâàíèÿ èñïîëüçó åòñ ÿ àëãîðèòì èç êëàññà AM. 1. Ââåäåíèå  ýòîì ðàçäåëå äàíà ìîòèâèðîâê à îñíîâíûõ ïîíÿòèé òåîðèè ýê ñòðàêòîðîâ è êðàòê î îïèñàíû ïîëó÷åííûå ðåçó ëü ò àòû îá ó ñëîâíîì ê î äèðîâàíèè. Âñå ñòðîãèå îïðåäåëåíèÿ è îðìó ëèðîâêè áó äóò ò àêæ å äàíû â ïîñëåäóþùèõ ðàçäåëàõ. 1.1. Ïîíÿòèå ýê ñòðàêòîðà åøåíèå ìíîãèõ çàäà ÷ â êðèïòîãðàèè è äðóãèõ îáëàñò ÿõ òåîðèè àëãîðèòìîâ çíà- ÷èòåëüíî óïðîùàåòñ ÿ çà ñ÷¸ò èñïîëüçîâàíèÿ â àëãîðèòìàõ ñëó÷àéíûõ áèòîâ. Ïðè ýòîì áèòû äîëæíû áûòü ¾äåéñòâèòåëüíî ñëó÷àéíûìè¿, òî åñòü íåçàâèñèìûìè è ïðèíèìàþ- ùèìè çíà ÷åíèÿ 0 è 1 ñ âåðî ÿòíîñò ÿìè 1 / 2 . Îäíàê î â ïðèðî äå ò àêèå èäåàëüíûå ðàñïðå- äåëåíèÿ ïðàêòè÷åñêè íå âñòðå÷àþòñ ÿ. Íàïðèìåð, åñëè ìû ñîîðó äèì ïðèáîð, ðåãèñòðè- ðóþùèé ñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ, âîçíèê àþùèå íà êâàíòîâîì óðîâíå, àïðèîðè íèîòêó äà íå ñëåäó åò íåçàâèñèìîñòü áèòîâ, ê îòîðûå îí áó äåò âûäàâàòü. Ò åì íå ìåíåå, õ î÷åòñ ÿ óìåòü ïðèìåíÿòü âåðî ÿòíîñòíûå àëãîðèòìû, èìåÿ â ðàñïîð ÿæ åíèè òîëüê î ò àêèå ¾êâàçèñëó- ÷àéíûå¿ áèòû. Âîçíèê àåò âîïðîñ: íåëüçÿ ëè àëãîðèòìè÷åñêè ¾èçâëå÷ü ñëó÷àéíîñòü¿ èç ¾êâàçèñëó÷àéíîãî¿ ðàñïðåäåëåíèÿ è ïîëó÷èòü ò àêèì îáðàçîì íåê îòîðîå ìåíüøåå ÷èñëî ¾äåéñòâèòåëüíî ñëó÷àéíûõ¿ èëè õ îò ÿ áû ¾ïî÷òè ñëó÷àéíûõ¿ áèòîâ? ×òîáû îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ, íóæíî ñíà ÷àëà îðìàëèçîâàòü ïîíÿòèå ¾êâàçèñëó÷àéíîñòè¿. Íàèáîëåå åñòåñòâåííûì ïðåäñò àâëÿåòñ ÿ ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå: áó äåì ãîâîðèòü, ÷òî ðàñïðåäåëå- íèå ¾ñî äåð æèò k ñëó÷àéíûõ áèòîâ¿, åñëè åãî ìèíèìàëüíàÿ ýíòðîïèÿ íå ìåíüøå k , ò . å. âåðî ÿòíîñòü ëþáîãî ýëåìåíò à íå ïðåâûøàåò 2 − k . Ïó ñòü äàíî ðàñïðåäåëåíèå íà { 0 , 1 } n ñ ìèíèìàëüíîé ýíòðîïèåé n − 1 . Ìî æ åì ëè ìû äåòåðìèíèðîâàííûì àëãîðèòìîì èçâëå÷ü õ îò ÿ áû î äèí ¾äåéñòâèòåëüíî ñëó÷àéíûé¿ áèò? Î÷åâèäíî, íåò! Âåäü õ îò ÿ áû äëÿ î äíîãî áèò à b ∈ { 0 , 1 } ïðîîáðàç b áó äåò ñî äåð æ àòü áîëüøå 2 n − 1 ñëîâ, è åñëè ìû âîçüì¸ì ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà ýòîì ïðîîáðàçå, òî àëãîðèòì çàâåäîìî âûäàñò b , è íèê àê îé ñëó÷àéíîñòè íå áó äåò . Ïîýòîìó íàì íóæíî îñëàáèòü òðåáîâàíèå. À èìåííî, ïîçâîëèì íàøåìó ¾èçâëåê àþ- ùåìó ñëó÷àéíîñòü¿ àëãîðèòìó èñïîëüçîâàòü íåê îòîðîå íåáîëüøîå ÷èñëî d (¾äåéñòâè- òåëüíî¿) ñëó÷àéíûõ áèòîâ. Êðîìå òîãî, îñëàáèì òðåáîâàíèå ê âûõ î äó àëãîðèòìà: áó äåì òðåáîâàòü òîëüê î, ÷òîáû ¾èçâëå÷¸ííûå¿ áèòû áûëè ¾ïî÷òè ñëó÷àéíûìè¿, òî åñòü ÷òîáû âåðî ÿòíîñòü ëþáîãî ìíî æ åñòâà ñëîâ îò ëè÷àëàñü îò åãî äîëè íå áîëüøå, ÷åì íà ê àê îå- òî ìàëåíüê îå ÷èñëî ε . Ò àêèå îñëàáëåííûå òðåáîâàíèÿ ïðèâî äÿò íàñ ê êëàññè÷åñê îìó îïðåäåëåíèþ ýê ñòðàêòîðà: Îïðåäåëåíèå 1.1. Ôóíêöèÿ E xt : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } d → { 0 , 1 } m íàçûâàåòñ ÿ ( k , ε )- ýê ñ- ò àêòîðîì, åñëè äëÿ ëþáîãî ðàñïðåäåëåíèÿ X íà { 0 , 1 } n ñ ìèíèìàëüíîé ýíòðîïèåé íå ìåíüøå k è ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ U íà { 0 , 1 } d èíäóöèðîâàííîå ðàñïðåäåëåíèå E xt ( X, U ) ε -áëèçê î ê ðàâíîìåðíîìó íà { 0 , 1 } m .  íåê îòîðûõ ïðèëî æ åíèÿõ íå íóæíî, ÷òîáû èíäóöèðîâàííîå ðàñïðåäåëåíèå áûëî áëèçê î ê ðàâíîìåðíîìó , à íóæíî ëèøü, ÷òîáû ïî÷òè âñå ýëåìåíòû â îáðàçå èìåëè íåíó- ëåâóþ âåðî ÿòíîñòü.  ò àê îì ñëó÷àå óíêöèþ íàçûâàþò äèñïåðñåðî ì . ×àñòî ýê ñòðàê- 1 òîðû è äèñïåðñåðû ðàññìàòðèâàþò íå ê àê óíêöèè, à ê àê äâó äîëüíûå ãðàû: ëåâàÿ äîëÿ îòî æäåñòâëÿåòñ ÿ ñ { 0 , 1 } n , ïðàâàÿ ñ { 0 , 1 } m , à ìíî æ åñòâî ð¸áåð, âûõ î äÿùèõ èç èê ñèðîâàííîé âåðøèíû ëåâîé äîëè, ñ { 0 , 1 } d . Áîëåå ïî äðîáíî ïîíÿòèå äèñïåðñåðà è ýêâèâàëåíòíîñòü óíêöèé è ãðàîâ ðàññìîòðåíû â ðàçäåëå 2.2. Îäíàê î âñò à ¸ò âîïðîñ: ÷òî ìû ìî æ åì ïîëó÷èòü îò ò àê îãî îïðåäåëåíèÿ? Âåäü íàì âñ¸ ðàâíî íóæíû ¾äåéñòâèòåëüíî ñëó÷àéíûå¿ áèòû, ïó ñòü è â ìåíüøåì ê îëè÷åñòâå. Âûÿñíÿ- åòñ ÿ, ÷òî ñóùåñòâóþò ýê ñòðàêòîðû, äëÿ ê îòîðûõ d = O (log n ) , è ýòîãî âïîëíå äîñò àòî÷íî äëÿ íåê îòîðûõ ïðèëî æ åíèé. Ïó ñòü, íàïðèìåð, ìû õ îòèì ñèìó ëèðîâàòü íåê îòîðûé àë- ãîðèòì A ∈ BPP , èñïîëüçóþùèé m ñëó÷àéíûõ áèòîâ, ïðè ïîìîùè n ¾êâàçèñëó÷àéíûõ áèòîâ¿ è ýê ñòðàêòîðà ñ ïî äõ î äÿùèìè ïàðàìåòðàìè. Ìî æíî ïîê àçàòü, ÷òî ñ âûñîê îé âåðî ÿòíîñòüþ äëÿ áîëüøèíñòâà ñëîâ y ∈ { 0 , 1 } d àëãîðèòì A , ïîëó÷èâøèé âìåñòî ñëó- ÷àéíûõ áèòîâ áèòû, âûäàííûå ýê ñòðàêòîðîì, âûäàñò ïðàâèëüíûé îòâåò . À ýòî çíà ÷èò , ÷òî ìû ìî æ åì ïåðåáð àòü âñå 2 d = poly ( n ) âàðèàíòîâ ñëîâà y , äëÿ ê àæäîãî èç íèõ çà- ïó ñòèòü ýê ñòðàêòîð, ïåðåäàòü ïîëó÷åííûå áèòû àëãîðèòìó A è âûáðàòü íàèáîëåå ÷àñòî âñòðåòèâøèéñ ÿ îòâåò . ×òîáû èñïîëüçîâàòü ýê ñòðàêòîð äëÿ ñèìó ëÿöèè àëãîðèòìîâ, ðàáîò àþùèõ ïîëèíî- ìèàëüíîå âðåìÿ, íóæíî ÷òîáû ñàì ýê ñòðàêòîð ìîã áûòü âû÷èñëåí çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ. Âåðî ÿòíîñòíûì ìåòî äîì ìî æíî äîê àçàòü ñóùåñòâîâàíèå äëÿ ëþáûõ k < n ýê ñ- òðàêòîðà ñ d = log n + O (1) è m = k + d − O (1) .  ñò àòüå [ 11℄ äîê àçàíî, ÷òî ýòî îï- òèìàëüíûå ïàðàìåòðû, òî åñòü íå ìî æ åò áûòü ýê ñòðàêòîðà ñ ìåíüøèì d èëè áîëüøèì k . Îäíàê î íè î äíà èç èçâåñòíûõ ê îíñòðóêöèé íå äîñòèã àåò ýòèõ ïàðàìåòðîâ. Âñå îíè èìåþò ëèáî áîëüøåå d , ëèáî ìåíüøåå m , ëèáî ðàáîò àþò íå äëÿ âñåõ çíà ÷åíèé k . 1.2. Ïîíÿòèå ê îëìîãîðîâñê îé ñëî æíîñòè Ïó ñòü A è B ïðîèçâîëüíûå äâîè÷íûå ñëîâà. Ó ñëîâíîé ê îëìîãîðîâñê îé ñëî æíî- ñòüþ K ( A | B ) ñëîâà A îòíîñòèòåëüíî ñëîâà B íàçûâàåòñ ÿ ìèíèìàëüíàÿ äëèíà ïðîãðàì- ìû, ïåðåâî äÿùåé B â A . Êîëìîãîðîâñê îé ñëî æíîñòüþ K ( A ) ñëîâà A íàçûâàåòñ ÿ K ( A | Λ) , ã äå Λ ïó ñòîå ñëîâî, ò . å. äëèíà ìèíèìàëüíîé ïðîãðàììû, ïîðî æäàþùåé ñëîâî A . Ïðè ýòîì, ðàçóìååòñ ÿ, ê îëìîãîðîâñê àÿ ñëî æíîñòü çàâèñèò îò ñïîñîáà çàäàíèÿ ïðîãðàìì, î ä- íàê î ðàçëè÷íûå åñòåñòâåííûå îïðåäåëåíèÿ äàþò îò ëè÷èå ñëî æíîñòè íå áîëåå, ÷åì íà O (log n ) , äëÿ ñëîâ äëèíû n .  îðìó ëèðîâê å îñíîâíîé òåîðåìû ìû ïðåíåáðåã àåì ò àêèì ðàçëè÷èåì, ïîýòîìó íàì íå íóæíî óòî÷íÿòü îïðåäåëåíèå. Ò àêæ å ðàññìàòðèâàþò ê îëìîãîðîâñêóþ ñëî æíîñòü ñ îãðàíè÷åíèåì íà ðåñóðñû. Ñëî æ- íîñòüþ C t, s ( A | B ) íàçûâàåòñ ÿ ìèíèìàëüíàÿ äëèíà ïðîãðàììû, ïåðåâî äÿùåé B â A è ðàáîò àþùåé âðåìÿ t íà çîíå s .  ýòîì ñëó÷àå ñïîñîá çàäàíèÿ óæ å èìååò çíà ÷åíèå, áîëåå òîãî, èìååò çíà ÷åíèå è èñïîëüçó åìàÿ ìî äåëü âû÷èñëåíèé. Ò àê, ðàçëè÷àþò ñëî æíîñòè C äëÿ äåòåðìèíèðîâàííûõ àëãîðèòìîâ, C N äëÿ íåäåòåðìèíèðîâàííûõ, C B P äëÿ âåðî ÿò- íîñòíûõ è äðóãèå. Âñå íåîá õ î äèìûå òî÷íûå îïðåäåëåíèÿ äàíû â ðàçäåëå 8.1. 2 1.3. Ó ñëîâíîå ê î äèðîâàíèå è òåîðåìà Ìó÷íèê à àññìîòðèì ò àêóþ çàäà ÷ó àëãîðèòìè÷åñê îé òåîðèè ïåðåäà ÷è èíîðìàöèè. Ïó ñòü â òî÷ê å E èçâåñòíî íåê îòîðîå ñëîâî A . Ò î÷êó E ñîåäèíÿåò ñ òî÷ê îé D ê àíàë îãðàíè÷åí- íîé ïðîïó ñêíîé ñïîñîáíîñòè k , ÷åðåç ê îòîðûé íóæíî ïåðåäàòü íåê îòîðîå ñîîáùåíèå X .  òî÷ê å D èçâåñòíî íåê îòîðîå äðóãîå ñëîâî B , è íóæíî ïî ïåðåäàííîìó ñîîáùåíèþ X ðàñøèðîâàòü ñëîâî A . Ïðè ýòîì îïåðàöèè çàøèðîâêè è ðàñøèðîâêè äîëæíû âûïîëíÿòüñ ÿ àëãîðèòìè÷åñêè. Âîïðîñ: ïðè ê àêèõ ó ñëîâèÿõ íà A è B ò àê îå ñîîáùåíèå X íàéë¸òñ ÿ? Î÷åâèäíîå íåîá õ î äèìîå ó ñëîâèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî k > K ( A | B ) . Íåî æè- äàííûé ðåçó ëü ò àò , ó ñò àíîâëåííûé Àí. Ìó÷íèê îì â ðàáîòå [6℄ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ýòî (ñ îïðåäåë¸ííûìè îãîâîðê àìè) è äîñò àòî÷íîå ó ñëîâèå. Ýòî ê àæ åòñ ÿ ó äèâèòåëüíûì: âåäü íà ýò àïå ê î äèðîâàíèÿ ìû åù¸ íå çíàåì ñëîâà B , òåì íå ìåíåå íàì ïî÷òè íå íóæíî äîïîëíèòåëüíîé èíîðìàöèè äëÿ ó ñëîâíîãî ê î äèðîâàíèÿ A . À èìåííî, âûïîëíåíà ñëå- äóþùàÿ Ò åîðåìà 1.1 ([6 ℄) . Ïóñòü A è B äâîè÷íûå ñ ëîâà äëèíû íå áî ëåå n . Ò îãäà íàé- ä¸òñÿ òàêîå ñ ëîâî X äëèíû íå áî ëåå K ( A | B ) + O (log n ) , ÷òî K ( X | A ) 6 O (log n ) è K ( A | B , X ) 6 O (log n ) . Ýòó òåîðåìó ìî æíî ñîðìó ëèðîâàòü è ò àê: ñðåäè âñåõ ïðîãðàìì, çàäàþùèõ A ïðè èçâåñòíîì B , íàéä¸òñ ÿ ïðîñò àÿ îòíîñèòåëüíî A . Èäåÿ äîêàçàòå ëüñòâà. Èäåÿ äîê àçàòåëüñòâà ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ðàññìîòðåòü ñåìåé- ñòâî õ åø-óíêöèé, ñîïîñò àâëÿþùèõ ñëîâàì äëèíû n ñëîâà äëèíû m = K ( A | B ) , è âçÿòü â ê à ÷åñòâå X îáðàç A ïî ä äåéñòâèåì î äíîé èç ýòèõ óíêöèé. Ýòî ñåìåéñòâî äîëæíî îá- ëàäàòü òåì ñâîéñòâîì, ÷òî äëÿ ê àæäîãî ñëîâà A íàéä¸òñ ÿ õ åø-óíêöèÿ, ò àê àÿ ÷òî ïî å¸ çíà ÷åíèþ X è ñëîâó B ìî æíî ëåãê î (ò . å. ñ ëîã àðèìè÷åñêèì ÷èñëîì äîïîëíèòåëüíîé èíîðìàöèè) âîññò àíîâèòü A . Êðîìå òîãî, ýòî ñåìåéñòâî äîëæíî áûòü ïîëèíîìèàëü- íîãî ðàçìåðà, ÷òîáû X ìî æíî áûëî çàäàòü íîìåðîì ñîîòâåòñòâóþùåé óíêöèè. Ñóùå- ñòâîâàíèå ò àêèõ ñåìåéñòâ õ åø-óíêöèé ó ñò àíàâëèâàåòñ ÿ âåðî ÿòíîñòíûì ìåòî äîì. Äîêëàäûâàÿ ýòîò ðåçó ëü ò àò íà Êîëìîãîðîâñê îì ñåìèíàðå â Ìîñê îâñê îì óíèâåðñè- òåòå â 1999 ãî äó , Àí. Ìó÷íèê ïîñò àâèë âîïðîñ: âîçìî æíî ëè ïîñòðîèòü ïî ëèíî ìèàëüíî âû÷èñ ëèìîå ñåìåéñòâî õ åø-óíêöèé ñ óê àçàííûì ñâîéñòâîì, ò . å. ìî æíî ëè âû÷èñëèòü õ åø-çíà ÷åíèå ïî ñëîâó A è íîìåðó óíêöèè çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ? Íàñòî ÿùàÿ ðà- áîò à ÷àñòè÷íî îòâå÷àåò íà ýòîò âîïðîñ: äà, ìî æíî, åñëè â ó ñëîâèè òåîðåìû çàìåíèòü ïî- ïðàâêè O (log n ) íà p olylog( n ) , ïðè ýòîì ñòåïåíü ëîã àðèìà ìî æ åò áûòü ñ äåëàíà ðàâíîé 2 + ε äëÿ ëþáîãî ε > 0 . À èìåííî, îê àçûâàåòñ ÿ, ÷òî âìåñòî õ åø-óíêöèé, îïðåäåë¸í- íûõ Ìó÷íèê îì, ìî æíî èñïîëüçîâàòü ýê ñòðàêòîðû. Åñëè áó äóò ïîñòðîåíû îïòèìàëüíûå ýê ñòðàêòîðû, âû÷èñëèìûå çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ, òî ýòî ñðàçó äàñò ïîëíûé îòâåò íà âîïðîñ Ìó÷íèê à. Ïðèìåíåíèå ýê ñòðàêòîðîâ ò àêæ å ïîçâîëÿåò äîê àçàòü àíàëîãè÷íûé ðåçó ëü ò àò äëÿ ê î äèðîâàíèÿ ñ íåñê îëüêèìè ó ñëîâèÿìè. Êðîìå òîãî, äàííàÿ òåõíèê à ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü ïî õ î æèå òåîðåìû äëÿ ê îëìîãîðîâñê îé ñëî æíîñòè ñ îãðàíè÷åíèåì íà ðåñóðñû.  ðàáîòå ïðèâåäåíû ïåðâûå ðåçó ëü ò àòû, ïîëó÷åííûå â ýòîì íàïðàâëåíèè: 3 Ò åîðåìà 1.2. Íàéä¸òñÿ òàêîé ïî ëèíî ì p 0 = p 0 ( n ) , ÷òî äëÿ ëþáîãî ïî ëèíî ìà p > p 0 íàéäóòñÿ ïî ëèíî ì q è t , òàêèå ÷òî äëÿ ëþáûõ ñ ëîâ A è B äëèíû íå áî ëåå n , òàêèõ ÷òî C ∞ , p ( A | B ) 6 k , íàéä¸òñÿ ñ ëîâî X äëèíû íå áî ëåå k + O (1) , òàêîå ÷òî C t, q ( X | A ) 6 O (log 3 n ) è C ∞ , q ( A | B , X ) 6 O (log 3 n ) . Ò åîðåìà 1.3. Äëÿ âñÿêîãî ïî ëèíî ìà p íàéä¸òñÿ ïî ëèíî ì q , òàêîé ÷òî äëÿ ïðîèçâî ëü- íûõ ñ ëîâ A è B äëèíû íå áî ëåå n , òàêèõ ÷òî C p, ∞ ( A | B ) 6 k , íàéä¸òñÿ ñ ëîâî X äëèíû íå áî ëåå k + O (log 3 n ) , òàêîå ÷òî C q , ∞ ( X | A ) 6 O (log 3 n ) è C AM q , ∞ ( A | B , X ) 6 O (log n ) . Îïðåäåëåíèÿ èñïîëüçîâàííûõ ñëî æíîñòåé äàíû â ðàçäåëå 8.1, äîê àçàòåëüñòâà òåî- ðåì â ðàçäåëàõ 8.4 è 8.5. 1.4. Îðã àíèçàöèÿ äàëüíåéøåãî òåê ñò à  ðàçäåëå 2 äàíû îïðåäåëåíèÿ ýê ñòðàêòîðà è äîê àçàíû ïðîñòåéøèå àêòû.  ðàç- äåëå 3 âåðî ÿòíîñòíûì ìåòî äîì äîê àçàíî ñóùåñòâîâàíèå ýê ñòðàêòîðîâ ñ îïòèìàëüíûìè ïàðàìåòðàìè.  ðàçäåëàõ 4 7 ñ ðàçíîé ñòåïåíüþ ïî äðîáíîñòè ïðèâåäåíû íåê îòîðûå ê îíñòðóêöèè ïîëèíîìèàëüíî âû÷èñëèìûõ ýê ñòðàêòîðîâ.  ðàçäåëå 8 ïðè ïîìîùè ýê ñ- òðàêòîðîâ äîê àçàíû òåîðåìà Ìó÷íèê à è å¸ ýåêòèâíûå âàðèàíòû. 2. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ïîíÿòèÿ òåîðèè ýê ñòðàê- òîðîâ 2.1. Ìèíèìàëüíàÿ ýíòðîïèÿ è ñò àòèñòè÷åñê îå ðàññòî ÿíèå Äëÿ íà ÷àëà äàäèì äâà âñïîìîã àòåëüíûõ îïðåäåëåíèÿ. Áó äåì ðàññìàòðèâàòü âåðî ÿò- íîñòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ íà ê îíå÷íûõ ìíî æ åñòâàõ. Âåðî ÿòíîñòü ýëåìåíò à a â ðàñïðåäå- ëåíèè X áó äåì îáîçíà ÷àòü ê àê X ( a ) , âåðî ÿòíîñòü ìíî æ åñòâà S ê àê X ( S ) . Îïðåäåëåíèå 2.1. Ïó ñòü äàíî âåðî ÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå X íà ê îíå÷íîì ìíî æ å- ñòâå A . Ò îã äà åãî ìèíèìàëüíîé ýíòðîïèåé íàçûâàåòñ ÿ âåëè÷èíà H ∞ ( X ) = min a ∈ A ( − log 2 ( X ( a ))) . Ò àêèì îáðàçîì, åñëè H ∞ ( X ) > k , òî âñå ýëåìåíòû ìíî æ åñòâà A èìåþò âåðî ÿòíîñòè ìåíüøå 2 − k . Îïðåäåëåíèå 2.2. Ïó ñòü äàíû âåðî ÿòíîñòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ X è Y íà ê îíå÷íîì ìíî- æ åñòâå A . Ò îã äà ñò àòèñòè÷åñêèì ðàññòî ÿíèåì ìåæäó íèìè íàçûâàåòñ ÿ âåëè÷èíà dist( X , Y ) = 1 2 k X − Y k = 1 2 X a ∈ A | X ( a ) − Y ( a ) | = max S ⊂ A | X ( S ) − Y ( S ) | . Áó äåì ãîâîðèòü, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå X ε -áëèçê î ê Y , åñëè dist( X , Y ) 6 ε , èíûìè ñëîâàìè, âåðî ÿòíîñòè ê àæäîãî ñîáûòèÿ ïî ýòèì ðàñïðåäåëåíèÿì îò ëè÷àþòñ ÿ íå áîëåå ÷åì íà ε . 4 2.2. Ýê ñòðàêòîðû è äèñïåðñåðû Êàê óæ å îòìå÷àëîñü, ýê ñòðàêòîðû è äèñïåðñåðû ìî æíî ðàññìàòðèâàòü ê àê óíêöèè è ê àê äâó äîëüíûå ãðàû. Ïðèâåä¸ì îðìàëüíûå îïðåäåëåíèÿ. Ïó ñòü G äâó äîëüíûé ãðà (âîçìî æíî, ñ êðàòíûìè ðåáðàìè) ñ N âåðøèíàìè â ëåâîé äîëå, M âåðøèíàìè â ïðàâîé äîëå è ñòåïåíüþ D ê àæäîé âåðøèíû èç ëåâîé äîëè. Îáîçíà ÷èì ÷åðåç [ N ] = { 1 , . . . , N } ìíî æ åñòâî âåðøèí ëåâîé äîëè, ÷åðåç [ M ] = { 1 , . . . , M } ïðàâîé, à ÷åðåç E ìíî æ åñòâî ðåáåð. Ïó ñòü Γ( a ) = { z ∈ [ M ] | ( a, z ) ∈ E } ìíî æ åñòâî âñåõ ñîñåäåé âåðøèíû a èç ëåâîé äîëè, Γ( A ) = S a ∈ A Γ( a ) ìíî æ åñòâî âñåõ ñîñåäåé ïî äìíî æ åñòâà A ëåâîé äîëè. Îïðåäåëåíèå 2.3. ðà G = ([ N ] , [ M ] , E ) íàçûâàåòñ ÿ ( K , ε )-äèñïåðñåðîì, åñëè ∀ A ⊂ [ N ] , | A | > K , | Γ( A ) | > (1 − ε ) M . Ýòî îïðåäåëåíèå îáúÿñíÿåò âûáîð íàçâàíèÿ ¾äèñïåðñåð¿: âñå äîñò àòî÷íî áîëüøèå ïî äìíî æ åñòâà ëåâîé äîëè èìåþò â ñîñåäÿõ ïî÷òè âñå âåðøèíû ïðàâîé äîëè, ò . å. ãðà ¾ðàññåèâàåò¿ (àíã ë. disp erse - ðàññåèâàòü) èõ ïî ïðàâîé äîëå. Îïðåäåëåíèå 2.4. ðà G = ([ N ] , [ M ] , E ) íàçûâàåòñ ÿ ( K , ε )-ýê ñòðàêòîðîì, åñëè ∀ A ⊂ [ N ] , | A | > K , ∀ B ⊂ [ M ] | E ( A, B ) | | A | · D − | B | M < ε, ã äå E ( A, B ) ìíî æ åñòâî ðåáåð, èäóùèõ èç ìíî æ åñòâà A â ìíî æ åñòâî B â ãðàå G . Íåòðó äíî çàìåòèòü, ÷òî ( K , ε )-ýê ñòðàêòîð ò àêæ å ÿâëÿåòñ ÿ ( K , ε )-äèñïåðñåðîì, äî- ñò àòî÷íî âçÿòü B = Γ( A ) . Ò åïåðü äàäèì îïðåäåëåíèå ýê ñòðàêòîðîâ è äèñïåðñåðîâ â òåðìèíàõ óíêöèé. Îáî- çíà ÷èì { 0 , 1 } l ÷åðåç ( l ) , à ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà ýòîì ìíî æ åñòâå ÷åðåç U l . Áó äåì ðàññìàòðèâàòü óíêöèè F : ( n ) × ( d ) → ( m ) . Îïðåäåëåíèå 2.5. Ôóíêöèÿ F : ( n ) × ( d ) → ( m ) íàçûâàåòñ ÿ ( k , ε )-äèñïåðñåðîì, åñëè äëÿ âñåõ âåðî ÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé X íà { 0 , 1 } n ñ H ∞ ( X ) > k è ìíî æ åñòâ B ⊂ { 0 , 1 } m , | B | > (1 − ε ) M Pr [ F ( X , U d ) ∈ B ] > 0 . Îïðåäåëåíèå 2.6. Ôóíêöèÿ F : ( n ) × ( d ) → ( m ) íàçûâàåòñ ÿ ( k , ε )-ýê ñòðàêòîðîì, åñëè äëÿ âñåõ âåðî ÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé X íà { 0 , 1 } n ñ H ∞ ( X ) > k dist( F ( X , U d ) , U m ) < ε. Ïðè ò àê îì îïðåäåëåíèè ÿñåí ñìûñë íàçâàíèÿ ¾ýê ñòðàêòîð¿. Ôóíêöèÿ G ¾èçâëåê à- åò¿ (àíã ë. extrat - èçâëåê àòü) m ¾ïî÷òè ñëó÷àéíûõ¿ áèòîâ èç ïî äàííûõ åé íà âõ î ä n ¾êâàçèñëó÷àéíûõ¿ áèòîâ ïðè ïîìîùè d ¾äåéñòâèòåëüíî ñëó÷àéíûõ¿ áèòîâ. Çàìåòèì, ÷òî åñëè óíêöèÿ ÿâëÿåòñ ÿ ýê ñòðàêòîðîì, òî ëþáîé å¸ ïðåèê ñ ÿâëÿåò- ñ ÿ ýê ñòðàêòîðîì ñ òåìè æ å ïàðàìåòðàìè k è ε . Îäíàê î â òåîðåìå Ìó÷íèê à ïîëåçíî, ÷òîáû ïðåèê ñû ÿâëÿëèñü ýê ñòðàêòîðàìè ñ ëó÷øèìè ïàðàìåòðàìè. Äàäèì ñëåäóþùåå îðìàëüíîå îïðåäåëåíèå. 5 Îïðåäåëåíèå 2.7. Îáîçíà ÷èì ÷åðåç X | q ïðåèê ñ ñëîâà X äëèíû q . Ôóíêöèþ F : ( n ) × ( d ) → ( m ) íàçîâ¸ì ïðåèê ñíûì ( k , ε )- ýê ñòðàêòîðîì 1 , åñëè äëÿ âñåõ i = 0 , . . . , k óíê- öèÿ F | m − i : ( n ) × ( d ) → ( m − i ) , îïðåäåë¸ííàÿ ðàâåíñòâîì F | m − i ( u, y ) = ( F ( u, y )) | m − i , ÿâëÿåòñ ÿ ( k − i , ε )-ýê ñòðàêòîðîì. Ôóíêöèè íà ñëîâàõ è äâó äîëüíûå ãðàû îïèñàííîãî âèäà åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñîîòâåòñòâóþò äðóã äðóãó ïðè N = 2 n , M = 2 m è D = 2 d . Ëåâàÿ äîëÿ ãðàà îòî æ- äåñòâëÿåòñ ÿ ñî ñëîâàìè äëèíû n , ïðàâàÿ ñî ñëîâàìè äëèíû m , à ð¸áðà, ïðîâåä¸ííûå èç èê ñèðîâàííîé âåðøèíû ëåâîé äîëè, ñî ñëîâàìè äëèíû d . Ïðè ýòîì íóìåðàöèÿ ð¸áåð ïðîèçâîëüíà, ò . å. ðàçíûì óíêöèÿì ìî æ åò ñîîòâåòñòâîâàòü î äèí è òîò æ å ãðà. Äëÿ ïðåèê ñíîãî ýê ñòðàêòîðà òî æ å ìî æíî è ïîëåçíî ðàññìîòðåòü ñîîòâåòñòâóþùèé åìó ãðà, íî îí íå áó äåò èìåòü åñòåñòâåííîãî îïðåäåëåíèÿ â òåðìèíàõ ãðàà, ïîñê îëü- êó ëþáîå ò àê îå îïðåäåëåíèå áó äåò çàâèñåòü îò íóìåðàöèè âåðøèí ïðàâîé äîëè. Êðîìå òîãî, â îò ëè÷èå îò îáû÷íîãî ýê ñòðàêòîðà îïðåäåëåíèå ïðåèê ñíîãî íå îáîáùàåòñ ÿ íà N , M , D è K , íå ÿâëÿþùèåñ ÿ ñòåïåíÿìè äâîéêè. Óòâåð æäåíèå 2.1. Îáîçíà÷èì ãð à, ïîñòðîåííûé ïî óíêöèè F , ÷åðåç G F . Ò îãäà (a) F ÿâëÿåòñÿ ( k , ε )-äèñïåðñåðî ì ⇔ G F ÿâëÿåòñÿ ( 2 k , ε )-äèñïåðñåðî ì. (b) F ÿâëÿåòñÿ ( k , ε )-ýêñòð àêòîðî ì ⇔ G F ÿâëÿåòñÿ ( 2 k , ε )-ýêñòð àêòîðî ì. Äîêàçàòå ëüñòâî. Ïåðåõ î ä îò óíêöèé ê ãðààì î÷åâèäåí: äîñò àòî÷íî âçÿòü â ê à ÷åñòâå ðàñïðåäåëåíèÿ X ðàâíîìåðíîå íà A . Îáðàòíûé ïåðåõ î ä ñëåäó åò èç òîãî, ÷òî ëþáîå ðàñïðåäåëåíèå ñ H ∞ ( X ) > k ïðåä- ñò àâëÿåòñ ÿ â âèäå âçâåøåííîé ñóììû ðàâíîìåðíûõ íà ìíî æ åñòâàõ ðàçìåðà K . Áó äåì ñëåäîâàòü äîê àçàòåëüñòâó ýòîãî àêò à, ïðåäëî æ åííîìó Ì. Áàáåíê î, à èìåííî äîê àæ åì ïî èíäóêöèè ñëåäóþùåå ýêâèâàëåíòíîå óòâåð æäåíèå: Ïó ñòü äàíî N íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë, ê àæäîå èç ê îòîðûõ íå ïðåâûøàåò 1 /K îáùåé ñóììû. Íàçîâ¸ì ¾îïåðàöèåé¿ î ä- íîâðåìåííîå óìåíüøåíèå K ÷èñåë íà î äíó è òó æ å âåëè÷èíó (¾âåëè÷èíó îïåðàöèè¿). Ò îã äà íå áîëåå ÷åì çà N îïåðàöèé ìî æíî îáðàòèòü âñå ÷èñëà â 0 . Âûáåðåì ê àêèå-íèáó äü K íåíó ëåâûõ ÷èñåë. Óìåíüøèì èõ íà ìàê ñèìàëüíî âîçìî æ- íóþ âåëè÷èíó , ò àê ÷òîáû íå íàðóøèòü ó ñëîâèå. Ò îã äà ëèáî î äíî èç íèõ îáðàòèòñ ÿ â íó ëü, è ìû ìî æ åì ïðèìåíèòü ïðåäïîëî æ åíèå èíäóêöèè äëÿ N − 1 è K íåïîñðåäñòâåí- íî, ëèáî î äíî èç íåâûáðàííûõ ÷èñåë ( x ) ñò àíåò ðàâíûì 1 /K îáùåé ñóììû.  ò àê îì ñëó÷àå ê àæäîå èç îñò àëüíûõ ÷èñåë íå ïðåâûøàåò 1 / ( K − 1) ñóììû îñò àëüíûõ ÷èñåë, è ìû ìî æ åì äëÿ îñò àëüíûõ ÷èñåë ïðèìåíèòü ïðåäïîëî æ åíèå èíäóêöèè äëÿ N − 1 è K − 1 . À èìåííî, äîáàâèì ê ê àæäîìó íàáîðó èç ïðåäïîëî æ åíèÿ èíäóêöèè ÷èñëî x è ò àêèì îáðàçîì âìåñòå ñ èñ õ î äíîé îïåðàöèåé ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïåðàöèé äëÿ èñ õ î äíîãî íàáîðà. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñëå ïåðâîé îïåðàöèè ñóììà âñåõ ÷èñåë, êðîìå x , ðàâíà ( K − 1) /K îò ñóììû âñåõ ÷èñåë. Çíà ÷èò , ñóììà âñåõ âåëè÷èí îïåðàöèé èç ïðåä- ïîëî æ åíèÿ èíäóêöèè ðàâíà 1 / ( K − 1) · ( K − 1) /K = 1 /K îò îáùåé ñóììû, òî åñòü ê àê ðàç x , ÷òî è íóæíî. 1 Íàñê îëüê î èçâåñòíî àâòîðó , ïîíÿòèå ïðåèê ñíîãî ýê ñòðàêòîðà ðàíåå íå âñòðå÷àëîñü â ëèòåðàòóðå, î äíàê î ñîîòâåòñòâóþùåå ñâîéñòâî íåî äíîêðàòíî îòìå÷àëîñü ðàçëè÷íûìè àâòîðàìè. 6 2.3. Ïîëèíîìèàëüíî âû÷èñëèìûå ýê ñòðàêòîðû è ïîñò àíîâê à çàäà ÷è îïòèìèçàöèè ïàðàìåòðîâ Âåðî ÿòíîñòíûì ìåòî äîì ìî æíî äîê àçàòü, ÷òî äëÿ âñåõ n , k è ε ñóùåñòâóþò ýê ñòðàê- òîðû ñ d = log( n − k ) + 2 log (1 /ε ) + O (1) è m = k + d − log (1 /ε ) − O (1) .  ðàáîòå [11 ℄ ò àêæ å ïîê àçàíî, ÷òî ýòî îïòèìàëüíûå ïàðàìåòðû. Îäíàê î â áîëüøèíñòâå ïðèëî æ åíèé íåîá- õ î äèìî, ÷òîáû ýê ñòðàêòîðû áûëè âû÷èñëèìû çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ. Îïðåäåëèì îðìàëüíî, ÷òî ýòî çíà ÷èò . Îïðåäåëåíèå 2.8. Ïó ñòü äëÿ óíêöèé k ( n ) , ε ( n ) , d ( n ) , m ( n ) çàäàíî ñåìåéñòâî E xt = { E xt n } îòîáðàæ åíèé E xt n : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } d ( n ) → { 0 , 1 } m ( n ) . Ò îã äà îíî íàçûâàåòñ ÿ ïîëè- íîìèàëüíî âû÷èñëèìûì ( k , ε )- ýê ñòðàêòîðîì, åñëè E xt n ÿâëÿåòñ ÿ ( k ( n ) , ε ( n ) )- ýê ñòðàê- òîðîì ïðè âñåõ n , è E xt n âû÷èñëèìà çà ïîëèíîìèàëüíîå îò äëèíû âõ î äà âðåìÿ. Äî ñèõ ïîð íåèçâåñòíî, ìî æíî ëè ïîñòðîèòü ïîëèíîìèàëüíî âû÷èñëèìûå ýê ñòðàê- òîðû ñ îïòèìàëüíûìè ïàðàìåòðàìè. Ïîýòîìó çàäà ÷à îïòèìèçàöèè ñò àâèòñ ÿ ò àê: ëèáî ïðè âñåõ k è ε äîñòè÷ü íàèáîëüøåãî âîçìî æíîãî m äëÿ îïòèìàëüíîãî d , ëèáî äîñòè÷ü íàèìåíüøåãî âîçìî æíîãî d äëÿ îïòèìàëüíîãî m , ëèáî äîñòè÷ü îïòèìàëüíûõ m è d äëÿ íåê îòîðûõ çíà ÷åíèé k . 3. Âåðî ÿòíîñòíîå äîê àçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ ýê ñ- òðàêòîðîâ Ïîê àæ åì, ÷òî ñëó÷àéíûé ãðà ñ îïðåäåë¸ííûìè ïàðàìåòðàìè ñ ïîëî æèòåëüíîé âåðî ÿòíîñòüþ ÿâëÿåòñ ÿ ýê ñòðàêòîðîì. Ò åîðåìà 3.1 ([11℄) . Äëÿ âñåõ 1 < K 6 N , M > 0 è ε > 0 ñóùåñòâóþò: (a) ( K , ε )-äèñïåðñåð äëÿ D = M K ln 1 ε + 1 + 1 ε ln N K + 1 ; (b) ( K , ε )-ýêñòð àêòîð äëÿ D = max M K · ln 2 ε 2 , 1 ε 2 ln N K + 1 ; () ïðè óñ ëîâèè, ÷òî N = 2 n , M è K ñóòü ñòåïåíè äâîéêè, ïðå èêñíûé ( K , ε )- ýêñ- òð àêòîð äëÿ log D = log max M K · ln 2 ε 2 , 1 ε 2 (1 + ln 2 + ln N ) . 2 Ïðåæäå ÷åì äîê àçûâàòü òåîðåìó , ïåðåîðìó ëèðó åì å¸ â òåðìèíàõ óíêöèé: Ò åîðåìà 3.2. Äëÿ âñåõ 1 6 k 6 n è ε > 0 ñóùåñòâóþò: (a) ( k , ε )- äèñïåðñåð äëÿ d = log( n − k ) + log (1 /ε ) + O (1) è m = k + d − log lo g(1 /ε ) − O (1) ; (b) ( k , ε )- ýêñòð àêòîð äëÿ d = log( n − k ) +2 log (1 /ε )+ O (1) è m = k + d − 2 log(1 /ε ) − O (1) ; () Ïðå èêñíûé ( k , ε )- ýêñòð àêòîð äëÿ d = log n + 2 log(1 / ε ) + O (1 ) è m = k + d − 2 log(1 /ε ) − O (1) . 2 Ýòîãî ïóíêò à òåîðåìû íå áûëî â ðàáîòå [11 ℄. 7  ðàáîòå [11℄ äîê àçàíû ñëåäóþùèå íèæíèå îöåíêè: Ò åîðåìà 3.3 ([11℄) . (a) Åñ ëè óíêöèÿ F : { 0 , 1 } n ×{ 0 , 1 } d → { 0 , 1 } m ÿâëÿåòñÿ ( k , ε )- äèñ- ïåðñåðî ì, òî d > log( n − k ) + log (1 /ε ) − O (1) è d + k − m > log log(1 /ε ) − O (1) . (b) Åñ ëè óíêöèÿ F : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } d → { 0 , 1 } m ÿâëÿåòñÿ ( k , ε )- ýêñòð àêòîðî ì, òî d > log( n − k ) + 2 log (1 /ε ) − O (1) è d + k − m > 2 log(1 /ε ) − O (1) . Ò àêèì îáð àçî ì, ïàð àìåòðû, äîñòèãíóòûå â òåîðå ìå 3.2 , ÿâëÿþòñÿ îïòèìàëüíû- ìè. Èç îöåíêè äëÿ ýê ñòðàêòîðîâ ñëåäó åò îöåíê à äëÿ ïðåèê ñíûõ ýê ñòðàêòîðîâ: d > log n + 2 log(1 / ε ) − O (1) . Ò àêèì îáðàçîì, çàÿâëåííûå ïàðàìåòðû ÿâëÿþòñ ÿ îïòèìàëüíû- ìè. Äîêàçàòå ëüñòâî òåîðå ìû 3.1. Äîê àæ åì âíà ÷àëå îöåíêó äëÿ äèñïåðñåðîâ. Âîçüìåì äâó- äîëüíûé ãðà G = ([ N ] , [ M ] , E ) ñ N âåðøèíàìè â ëåâîé äîëå, M âåðøèíàìè â ïðàâîé, â ê îòîðîì èç ê àæäîé âåðøèíû ëåâîé äîëè ñëó÷àéíûì îáðàçîì âûïóùåíî D ð¸áåð. Ïîëî æèì L = ⌈ εM ⌉ . ×òîáû ýòîò ãðà íå áûë ( K , ε )-äèñïåðñåðîì, äîëæíû íàéòèñü ïî äìíî æ åñòâà ðàçìåðà L â ïðàâîé äîëå è ðàçìåðà K â ëåâîé, ê îòîðûå íå ñîåäèíÿåò íè î äíî ðåáðî. Ò àêèì îáðàçîì, Pr [ G íå ÿâëÿåòñ ÿ ( K, ε )- äèñïåðñåðîì ] íå ïðåâîñ õ î äèò C K N · C L M · 1 − L M K D < eN K K eM L L exp − LK D M . (1)  ýòîì ïåðåõ î äå ìû âîñïîëüçîâàëèñü íåðàâåíñòâàìè C k n < e n k k , ê îòîðîå ëåãê î äîê àçàòü ïî èíäóêöèè, è 1 − x 6 e − x . Ïî äñò àâèâ D èç ó ñëîâèÿ òåîðåìû, ïîëó÷àåì exp LK D M > exp L ln 1 ε + 1 + K · L M · 1 ε ln N K + 1 > > exp L ln eM L + K ln eN K = eN K K eM L L , (2) îòêó äà ïðàâàÿ ÷àñòü (1) íå ïðåâîñ õ î äèò 1. Çíà ÷èò , ñëó÷àéíûé ãðà ñ óê àçàííûìè ïà- ðàìåòðàìè íå ÿâëÿåòñ ÿ ( K , ε )-äèñïåðñåðîì ñ âåðî ÿòíîñòüþ ìåíüøå 1, ò . å. ÿâëÿåòñ ÿ ( K , ε )-äèñïåðñåðîì ñ ïîëî æèòåëüíîé âåðî ÿòíîñòüþ, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîê àçàòü. Ò åïåðü äîê àæ åì îöåíêó äëÿ ýê ñòðàêòîðîâ. Çàìåòèì âíà ÷àëå, ÷òî èçíà ÷àëüíîå òðå- áîâàíèå, ÷òîáû ∀ A ⊂ [ N ] , | A | > K ∀ B ⊂ [ M ] âûïîëíÿëîñü | E ( A, B ) | | A | · D − | B | M < ε, ìî æíî çàìåíèòü íà áîëåå ñëàáîå: ∀ A ⊂ [ N ] , | A | = K ∀ B ⊂ [ M ] | E ( A, B ) | < K D | B | M + ε . Äåéñòâèòåëüíî, ñâåä åíèå ê ìíî æ åñòâàì ðàçìåðà ðîâíî K ñëåäó åò èç äîê àçàòåëüñòâà óòâåð æäåíèÿ 2.1 . Äàëåå, ïó ñòü íàéäóòñ ÿ A ⊂ [ N ] è B ⊂ [ M ] , ò àêèå ÷òî | E ( A, B ) | 6 8 K D | B | M − ε . Ò îã äà ïîëî æèì B = [ M ] \ B è ïîëó÷èì | E ( A, B ) | > K D | B | M + ε , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îñëàáëåííîìó òðåáîâàíèþ. Äàëåå, âîçüì¸ì âíîâü äâó äîëüíûé ãðà G = ([ N ] , [ M ] , E ) ñ N âåðøèíàìè â ëåâîé äîëå, M âåðøèíàìè â ïðàâîé, â ê îòîðîì èç ê àæäîé âåðøèíû ëåâîé äîëè ñëó÷àéíûì îáðàçîì âûïóùåíî D ð¸áåð. Ôèê ñèðó åì A ⊂ [ N ] , | A | = K è B ⊂ [ M ] . Ïîëî æèì p = | B | M . Îöåíèì âåðî ÿòíîñòü òîãî, ÷òî | E ( A, B ) | > K D ( p + ε ) . Êîëè÷åñòâî ð¸áåð, èäóùèõ èç A â B , åñòü ñóììà K D íåçàâèñèìûõ î äèíàê îâî ðàñïðåäåë¸ííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïðèíèìàþùèõ çíà ÷åíèå 1 ñ âåðî ÿòíîñòüþ p è çíà ÷åíèå 0 ñ âåðî ÿòíîñòüþ 1 − p . Ïî íåðàâåíñòâó ×åðíîâà ìû ìî æ åì îöåíèòü Pr [ | E ( A, B ) | > K D ( p + ε )] 6 exp( − 2 ε 2 K D ) . Ò àêèì îáðàçîì, Pr [ G íå ÿâëÿåòñ ÿ ( K, ε )- ýê ñòðàêòîðîì ] íå ïðåâîñ õ î äèò C K N · 2 M exp( − 2 ε 2 K D ) < eN K K 2 M exp( − 2 ε 2 K D ) = = e K (1+ln( N/K )) · e − ε 2 K D · e M ln 2 · e − ε 2 K D . Ïîñê îëüêó D > 1 ε 2 (1 + ln( N/K )) , ïåðâûé ìíî æèòåëü íå ïðåâîñ õ î äèò 1. Àíàëîãè÷íî, ïîñê îëüêó D > M ln 2 ε 2 K , âòîðîé ìíî æèòåëü íå ïðåâîñ õ î äèò 1.  èòîãå ïîëó÷àåì, ÷òî Pr [ G íå ÿâëÿåòñ ÿ ( K, ε )- ýê ñòðàêòîðîì ] < 1 , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîê àçàòü. Ïåðåéä¸ì ê ïðåèê ñíûì ýê ñòðàêòîðàì. Âíà ÷àëå ïåðåâåä¸ì îïðåäåëåíèå íà ÿçûê ãðàîâ. Íàçîâ¸ì áëîê îì óðîâíÿ i ïî äìíî æ åñòâî âåðøèí ïðàâîé äîëè ðàçìåðà 2 i , ê î- òîðîå ñîñòîèò èç âñåõ ñëîâ, èìåþùèõ èê ñèðîâàííûé ïðåèê ñ äëèíû m − i . Áó äåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíî æ åñòâî B i -âëî æ åíî â [ M ] ( B i ⊂ [ M ] ), åñëè ëþáîé áëîê óðîâíÿ i ëèáî ïîëíîñòüþ âõ î äèò â B , ëèáî ïîëíîñòüþ íå âõ î äèò . Ò àêèì îáðàçîì, i -âëî æ åííûå ïî ä- ìíî æ åñòâà åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñîîòâåòñòâóþò ìíî æ åñòâàì ñëîâ äëèíû m − i . Ò åïåðü ìî æíî îïðåäåëèòü ïðåèê ñíûé ýê ñòðàêòîð ò àê: ∀ i = 0 , . . . , k ∀ A ⊂ [ N ] , | A | = K/ 2 i ∀ B i ⊂ [ M ] | E ( A, B ) | < K D 2 i | B | M + ε . Ñëåäó ÿ ñ õ åìå äîê àçàòåëüñòâà äëÿ ýê ñòðàêòîðîâ, ïîëó÷èì, ÷òî Pr [ G íå ÿâëÿåòñ ÿ ( K, ε )- ïðåèê ñíûì ýê ñòðàêòîðîì ] 6 6 k X i =0 C K/ 2 i N · 2 M / 2 i exp( − 2 ε 2 K D / 2 i ) < k X i =0 eN K/ 2 i K/ 2 i 2 M / 2 i exp( − 2 ε 2 K D / 2 i ) = = k X i =0 e K/ 2 i (1+ln(2 i N/K )) · e − ε 2 K D / 2 i · e M ln 2 / 2 i · e − ε 2 K D / 2 i 6 6 k X i =0 · e K/ 2 i (1+ln N − ε 2 D ) · e ( M l n 2 − ε 2 K D ) / 2 i . 9 Âòîðîé ìíî æèòåëü â ê àæäîì ñëàã àåìîì, ê àê è ïðåæäå, íå ïðåâîñ õ î äèò 1. Ïîñê îëüêó D > 1 ε 2 (1 + ln 2 + ln N ) , ïåðâûé ìíî æèòåëü â i -îì ñëàã àåìîì íå ïðåâîñ õ î äèò (1 / 2) K/ 2 i . Çíà ÷èò , ñóììà âñåõ ïåðâûõ ìíî æèòåëåé ìåíüøå 1, çíà ÷èò è âñ ÿ ñóììà ìåíüøå 1, ñëåäî- âàòåëüíî, èñ õ î äíàÿ âåðî ÿòíîñòü ò àêæ å ìåíüøå 1. Çíà ÷èò , ãðà ñ èñê îìûìè ïàðàìåòðàìè íàéä¸òñ ÿ. 4. Ýê ñòðàêòîðû íà áàçå õ åø-óíêöèé 4.1. Áàçîâàÿ ê îíñòðóêöèÿ Îïðåäåëåíèå 4.1. Íàáîð óíêöèé H = { h : [ N ] → [ L ] } íàçûâàåòñ ÿ ñåìåéñòâîì õ åø- óíêöèé ñî ñòåïåíüþ ê îëëèçèé δ , åñëè ∀ x 1 6 = x 2 ∈ [ N ] Pr h ∈ H [ h ( x 1 ) = h ( x 2 )] 6 (1 + δ ) /L . Ïó ñòü óíêöèè h ∈ H çàíóìåðîâàíû ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì. Ò îã äà ïî ñåìåéñòâó H ìî æíî ïîñòðîèòü ýê ñòðàêòîð ïî îðìó ëå F ( x, h ) = h · h ( x ) , ã äå · îáîçíà ÷àåò ê îíê àòå- íàöèþ. Ò àêèì îáðàçîì, D = | H | , M = D L . Ëåììà 4.1 ([4℄) . Ïóñòü H ñå ìåéñòâî õåø-óíêöèé ñ âåðîÿòíîñòüþ êî ë ëèçèé δ . Ò îãäà ýêñòð àêòîð, ïîñòðîåííûé ïî H , èìååò ïàð àìåòðû K = 2 k = O ( L/δ ) è ε = O ( √ δ ) Äîêàçàòå ëüñòâî. Îïðåäåëèì âåðî ÿòíîñòü ê îëëèçèé äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ X ê àê col( X ) = P a ( X ( a )) 2 âåðî ÿòíîñòü òîãî, ÷òî íåçàâèñèìî âûáðàííûå â ñîîòâåòñòâèè ñ X x 1 è x 2 ñîâïàäóò . Ïîê àæ åì, ÷òî col( X ) 6 1 K ïðè H ∞ > k . Äåéñòâèòåëüíî, col( X ) = X a ( X ( a )) 2 6 2 − k X a X ( a ) = 2 − k = 1 K . Äàëåå, îáîçíà ÷èì ÷åðåç Z ðàñïðåäåëåíèå h · h ( x ) , ã äå h ðàñïðåäåëåíî ðàâíîìåðíî, à x â ñîîòâåòñòâèè ñ X , è ïîñ÷èò àåì col( Z ) . col( Z ) âåðî ÿòíîñòü òîãî, ÷òî äëÿ íåçàâèñèìî âûáðàííûõ ( h 1 , x 1 ) è ( h 2 , x 2 ) âåðíî h 1 = h 2 è h 1 ( x 1 ) = h 2 ( x 2 ) . Îíà ðàâíà äîìíî æ åííîé íà 1 / | H | âåðî ÿòíîñòè òîãî, ÷òî äëÿ ñëó÷àéíîé h ∈ H è x 1 , x 2 , âûáðàííûõ â ñîîòâåòñòâèè ñ X , h ( x 1 ) = h ( x 2 ) . Âåðî ÿòíîñòü òîãî, ÷òî x 1 = x 2 , ðàâíà col( X ) . Åñëè æ å x 1 6 = x 2 , òî ýò à âåðî ÿòíîñòü íå ïðåâîñ õ î äèò (1 + δ ) /L .  èòîãå ïîëó÷àåì col( Z ) 6 1 | H | col( X ) + 1 + δ L 6 1 M + 1 | H | 1 K + δ L . (3) Äàëåå, col( Z ) = X a ( Z ( a )) 2 = X a Z ( a ) − 1 M 2 + X a 2 Z ( a ) M − X a 1 M 2 = X a Z ( a ) − 1 M 2 + 1 M , îòêó äà ñ ó÷åòîì (3) ïîëó÷àåì P a ( Z ( a ) − 1 / M ) 2 6 (1 /K + δ /L ) / | H | , îòêó äà X a Z ( a ) − 1 M 6 s M 1 K + δ L 1 | H | = r L K + δ, 10 ÷òî ïðè K = L/δ âëå÷¸ò O ( √ δ ) -áëèçîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ Z ê ðàâíîìåðíîìó , ÷òî è òðå- áîâàëîñü äîê àçàòü.  [15℄ äîê àçàíà ñëåäóþùàÿ Ëåììà 4.2. Äëÿ âñåõ 1 6 L 6 N è ε > 0 ìîæíî ïîñòðîèòü ñå ìåéñòâî H õåø- óíêöèé, îòîáð àæàþùèõ [ N ] â [ L ] , ñ âåðîÿòíîñòüþ êî ë ëèçèé ε ð àçìåð à | H | = p oly ( n, ε − 1 , L ) . Îòñþ äà âûâî äèì Ñëåäñòâèå 4.3. Äëÿ âñåõ M 6 N è ε > 0 ìîæíî ïîñòðîèòü ( k , ε )-ýêñòð àêòîð ñ D = p oly ( n, ε − 1 , M ) è k = m − d + O (log ε − 1 ) . Çàìåòèì, ÷òî ïîñòðîåííûé ýê ñòðàêòîð òðåáó åò , âîîáùå ãîâîð ÿ, î÷åíü ìíîãî ñëó- ÷àéíûõ áèòîâ ( d ïîëèíîìèàëüíî çàâèñèò îò m ), î äíàê î ïðè ìàëûõ m (òî÷íåå, ïðè m = p olylog( n ) ) ïîñòðîåííûé ýê ñòðàêòîð ÿâëÿåòñ ÿ îïòèìàëüíûì. 4.2. Êîìïîçèöèÿ ýê ñòðàêòîðîâ Îïðåäåëåíèå 4.2. Ïó ñòü F 1 : ( n 1 ) × ( d 1 ) → ( m 1 ) è F 2 : ( n 2 ) × ( d 2 ) → ( d 1 ) ñóòü ýê ñòðàê- òîðû. Ò îã äà îïðåäåëèì èõ ê îìïîçèöèþ F 1 ◦ F 2 : ( n 1 + n 2 ) × ( d 2 ) → ( m 1 ) ïî îðìó ëå F 1 ◦ F 2 ( x 1 , x 2 , y ) = F 1 ( x 1 , F 2 ( x 2 , y )) . Ò àêèì îáðàçîì, ïî÷òè ñëó÷àéíûå áèòû, ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ âòîðîãî ýê ñòðàê- òîðà, íàïðàâëÿþòñ ÿ íà âõ î ä ïåðâîìó ýê ñòðàêòîðó â ê à ÷åñòâå ñëó÷àéíûõ. àçóìååòñ ÿ, ñâîéñòâà ïåðâîãî ýê ñòðàêòîðà ïðè ýòîì ìîãóò óõó äøèòüñ ÿ. Îäíàê î, åñëè íà âõ î ä ê îì- ïîçèöèè ïî äàòü íå ïðîèçâîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå X , à ðàñïðåäåëåíèå ñïåöèàëüíîãî âèäà, òî ñâîéñòâà ñî õðàíÿòñ ÿ. Äàäèì îðìàëüíîå îïðåäåëåíèå: Îïðåäåëåíèå 4.3. Ïó ñòü X 1 è X 2 ñóòü (îïðåäåë¸ííûå íà î äíîì âåðî ÿòíîñòíîì ïðî- ñòðàíñòâå) ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðèíèìàþùèå çíà ÷åíèÿ íà { 0 , 1 } n 1 è { 0 , 1 } n 2 ñîîòâåò- ñòâåííî. Áó äåì ãîâîðèòü, ÷òî îíè îáðàçóþò ( k 1 , k 2 )-áëî÷íûé èñòî÷íèê, åñëè 1. H ∞ ( X 1 ) > k 1 . 2. Ïðè ëþáîì èê ñèðîâàííîì x 1 H ∞ ( X 2 | X 1 = x 1 ) > k 2 . Ýòî îïðåäåëåíèå îáîáùàåòñ ÿ íà ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Èìååò ìåñòî íåñëî æíàÿ Ëåììà 4.4. Ïóñòü F 1 : ( n 1 ) × ( d 1 ) → ( m 1 ) ( k 1 , ε 1 )-ýêñòð àêòîð, à F 2 : ( n 2 ) × ( d 2 ) → ( d 1 ) ( k 2 , ε 2 )-ýêñòð àêòîð. Ïóñòü òàêæå ( X 1 , X 2 ) ( k 1 , k 2 )-á ëî÷íûé èñòî÷íèê. Ò îãäà ð àñïðåäå ëåíèå F 1 ◦ F 2 ( X 1 , X 2 , U d 2 ) ( ε 1 + ε 2 )-á ëèçêî ê ð àâíî ìåðíî ìó. Äîêàçàòå ëüñòâî. Îáîçíà ÷èì ÷åðåç W ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó F 2 ( X 2 , U d 2 ) . Çàèê ñèðó åì çíà ÷åíèå x 1 , òîã äà ïðè ó ñëîâèè X 1 = x 1 ðàñïðåäåëåíèå W ε 2 -áëèçê î ê ðàâíîìåðíî- ìó . Çíà ÷èò , ðàñïðåäåëåíèå ïàðû ( X 1 , W ) ε 2 -áëèçê î ê ðàñïðåäåëåíèþ ( X 1 , U d 1 ) . Çíà ÷èò , ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû F 1 ( X 1 , W ) ε 2 -áëèçê î ê ðàñïðåäåëåíèþ F 1 ( X 1 , U d 1 ) , ê îòîðîå, â ñâîþ î÷åðåäü, ε 1 -áëèçê î ê ðàâíîìåðíîìó , îòêó äà ðàñïðåäåëåíèå F 1 ( X 1 , W ) ( ε 1 + ε 2 )- áëèçê î ê ðàâíîìåðíîìó , ÷òî è òðåáîâàëîñü. 11 4.3. Ïîñòðîåíèå áëî÷íîãî èñòî÷íèê à Îïèñàíû ðàçëè÷íûå ìåòî äû ïîñòðîåíèÿ áëî÷íûõ èñòî÷íèê îâ. Îäèí èç ïåðâûõ ïî- ÿâèëñ ÿ â ðàáîòå [ 10 ℄ è îñíîâàí íà ïîïàðíî íåçàâèñèìîì âûáîðå áèòîâ èç èñ õ î äíîãî ðàñ- ïðåäåëåíèÿ. Äðóãîé ìåòî ä îïèñàí â ðàáîòå [8 ℄ è ïðåäñò àâëåí â ðàçäåëå 5. Ýòîò ìåòî ä áûë ðàçâèò è ó ñèëåí â ðàáîòå [13℄. 5. Êîíñòðóêöèÿ Ò à-Øìû 5.1. ̸ð äæ åðû Îïðåäåëåíèå 5.1. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Z = Z 1 · · · · · Z b íàçûâàåòñ ÿ b -áëî÷íûì ã äå-òî ñëó÷àéíûì ( k , ε , η )-èñòî÷íèê îì, åñëè Z i ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íà { 0 , 1 } k è ñóùåñòâó åò ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y íà { 0 , . . . , b } , ò àê àÿ ÷òî: • Äëÿ âñåõ i ∈ { 1 , . . . , b } dist(( Z i | Y = i ) , U k ) 6 ε ; • Pr [ Y = 0] 6 η . Y íàçûâàåòñ ÿ ( k , ε , η )-ñåëåêòîðîì äëÿ Z . Íåñëî æíî äîê àçàòü ñëåäóþùóþ ëåììó: Ëåììà 5.1. 1. Ëþáîé ãäå-òî ñ ëó÷àéíûé ( k , ε , η )-èñòî÷íèê ( ε + η )-á ëèçîê ê íåêî- òîðî ìó ãäå-òî ñ ëó÷àéíî ìó ( k , 0, 0)-èñòî÷íèêó. 2. Åñ ëè Z ãäå-òî ñ ëó÷àéíûé ( k , 0, 0)-èñòî÷íèê, òî H ∞ ( Z ) > k . Äàäèì îïðåäåëåíèå ì¸ð äæ åðà. Îïðåäåëåíèå 5.2. Ôóíêöèÿ M : ( k ) b × ( d ) → ( m ) íàçûâàåòñ ÿ ε -ì¸ð äæ åðîì, åñëè äëÿ ëþáîãî b -áëî÷íîãî ã äå-òî ñëó÷àéíîãî ( k , 0, 0)-èñòî÷íèê à Z ðàñïðåäåëåíèå M ( Z , U d ) ε - áëèçê î ê ðàâíîìåðíîìó . 5.2. Êîìïîçèöèÿ äâóõ ýê ñòðàêòîðîâ ïîñðåäñòâîì ì¸ð äæ åðà Îïðåäåëåíèå 5.3. Ïó ñòü E 1 : ( n ) × ( d 1 ) → ( d 2 ) è E 2 : ( n ) × ( d 2 ) → ( m 2 ) ýê ñòðàêòîðû, à M : ( m 2 ) n × ( µ 1 ) → ( m ) ì¸ð äæ åð. Ò îã äà ê îìïîçèöèåé ýê ñòðàêòîðîâ ïîñðåäñòâîì ì¸ð äæ åðà íàçûâàåòñ ÿ óíêöèÿ E 2 M ⊙ E 1 : ( n ) × ( d 1 + µ 1 ) → ( m ) , îïðåäåëÿåìàÿ ñëåäóþ- ùèì îáðàçîì. Ïó ñòü a ∈ { 0 , 1 } n , r 1 ∈ { 0 , 1 } d 1 , r 2 ∈ { 0 , 1 } µ 1 . Ïîëî æèì äëÿ i = 1 , . . . , n q i = E 1 ( a [ i, n ] , r 1 ) , à z i = E 2 ( a [1 , i − 1] , q i ) . Îáîçíà ÷èì E 2 ⊖ E 1 = z 1 · . . . · z n è ïîëî æèì E 2 M ⊙ E 1 ( a, r 1 , r 2 ) = M ( E 2 ⊖ E 1 , r 2 ) . Çàìå÷àíèå. Âîîáùå ãîâîð ÿ, ñëîâà a [ i, n ] è a [1 , i − 1] ê îðî÷å n áèòîâ. Îäíàê î, ïîñê îëüêó ìû ðàññìàòðèâàåì ðàñïðåäåëåíèÿ íà ýòèõ ñëîâàõ, è èíòåðåñó åìñ ÿ òîëüê î èõ ìèíèìàëüíîé ýíòðîïèåé, ìû ìî æ åì îðìàëüíî äîïîëíèòü ýòè ñëîâà äî íóæíîé äëèíû, íàïðèìåð íó ëÿìè. 12 Çàìå÷àíèå. Ìî æíî ñ÷èò àòü, ÷òî m 1 > d 2 , ïîñê îëüêó ñâîéñòâî áëèçîñòè ê ðàâíîìåðíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñî õðàíÿåòñ ÿ ïðè âçÿòèè îãðàíè÷åíèÿ íà ÷àñòü áèòîâ. Ò åîðåìà 5.2. Ïóñòü E 1 ( k 1 , ζ 1 )-ýêñòð àêòîð, E 2 ( k 2 , ζ 2 )-ýêñòð àêòîð, à M ζ 3 - ì¸ðäæåð. Ò îãäà äëÿ ëþáîãî ïàð àìåòð à s > 0 E 2 M ⊙ E 1 ( k 1 + k 2 + s , ζ 1 + ζ 2 + ζ 3 + 8 n 2 − s/ 3 )- ýêñòð àêòîð. Äîêàçàòå ëüñòâî. Î÷åâèäíî, äîñò àòî÷íî äîê àçàòü, ÷òî E 2 ⊖ E 1 ã äå-òî ñëó÷àéíûé ( m 2 , ζ 1 + ζ 2 , 8 n 2 − s/ 3 )-èñòî÷íèê. Ïó ñòü X ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ H ∞ ( X ) > k 1 + k 2 + s . Îáîçíà- ÷èì ÷åðåç Q i è Z i ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðèíèìàþùèå çíà ÷åíèÿ q i è z i ñîîòâåòñòâåííî. Ïîëî æèì ε 3 = 2 − s/ 3 , ε 2 = 2 ε 3 , ε 1 = 2 ε 2 . Îïðåäåëèì ñåëåêòîð äëÿ âåëè÷èíû Z = Z 1 · Z 2 · · · · · Z n = E 2 ⊖ E 1 . Ïó ñòü w ∈ { 0 , 1 } n , è f ( w ) = max { i : Pr X [ i, n ] = w [ i, n ] | X [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] 6 ( ε 2 − ε 3 ) · 2 − k 1 } Ýòî óæ å ïî÷òè ñåëåêòîð, íî åãî íàäî íåìíîãî ïî äïðàâèòü, èçáàâèâøèñü îò ñëèøê îì ðåä- ê î ïðèíèìàåìûõ çíà ÷åíèé. Âåäü åñëè çíà ÷åíèå ïðèíèìàåòñ ÿ ðåäê î, òî ñîîòâåòñòâóþùåå ó ñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå ìî æ åò âåñòè ñåá ÿ ê àê óãî äíî, à íå áûòü áëèçêèì ê ðàâíîìåð- íîìó . Áîëåå ñòðîãî: íàçîâ¸ì w ïëî õèì, åñëè f ( w ) = i è 1. Pr [ f ( x ) = i ] 6 ε 1 , èëè 2. Pr f ( x ) = i | x [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] 6 ε 2 , èëè 3. Pr x i = w i | x [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] 6 ε 3 . Îáîçíà ÷èì ÷åðåç B ìíî æ åñòâî âñåõ ïëî õèõ w , à ÷åðåç B i ìíî æ åñòâî âñåõ w , ó äîâëå- òâîð ÿþùèõ ó ñëîâèþ i . Ò åïåðü îïðåäåëèì ñåëåêòîð ê àê Y ( w ) = ( 0 , åñëè w ïëî õ îå; f ( w ) , èíà ÷å. Íåòðó äíî äîê àçàòü, ÷òî äîëÿ ïëî õèõ w íå ïðåâîñ õ î äèò n ( ε 1 + ε 2 + ε 3 ) 6 8 n 2 − s/ 3 . Îñò à- ëîñü äîê àçàòü, ÷òî ( Z i | Y = i ) ( ζ 1 + ζ 2 )-áëèçê î ê ðàâíîìåðíîìó . Ýòî ñëåäó åò èç äâóõ óòâåð æäåíèé: Óòâåð æäåíèå 5.3. Åñ ëè Pr Y = i | X [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] > 0 , òî H ∞ ( X [ i n ] | Y = i è X [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] ) > k 1 . Óòâåð æäåíèå 5.4. H ∞ ( X [1 , i − 1] | Y = i ) > k 2 . Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ âñåõ w [1 , i − 1] , ó äîâëåòâîð ÿþùèõ ó ñëîâèþ óòâåæäåíèÿ 5.3 , ðàñïðå- äåëåíèå Q i | Y = i è X [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] ζ 1 -áëèçê î ê ðàâíîìåðíîìó (ïî ñâîéñòâó ýê ñòðàêòî- ðà E 1 ). Îòñþ äà ðàñïðåäåëåíèå ( X [1 , i − 1] | Y = i ) × ( Q i | Y = i è X [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] ) ζ 1 -áëèçê î ê ( X [1 , i − 1] | Y = i ) × U d 2 . Îòñþ äà ïî ñâîéñòâó ýê ñòðàêòîðà E 2 ïîëó÷àåì, ÷òî ( Z i | Y = i ) ( ζ 1 + ζ 2 )-áëèçê î ê ðàâíîìåðíîìó . 13 Äîê àæ åì òåïåðü óòâåð æäåíèÿ 5.3 è 5.4 Äîêàçàòå ëüñòâî óòâåðæäåíèÿ 5.3. Äëÿ ëþáîãî w , ò àê îãî ÷òî Y ( w ) = i , âûïîëíåíî Pr x [ i n ] = w [ i n ] | x [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] , Y ( x ) = i 6 Pr X [ i n ] = w [ i n ] | x [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] Pr Y ( x ) = i | X [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] 6 6 ( ε 2 − ε 3 ) · 2 − k 1 Pr Y ( x ) = i | x [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] 6 ( ε 2 − ε 3 ) · 2 − k 1 ε 2 − ε 3 = 2 − k 1 Ïåðâîå íåðàâåíñòâî ñëåäó åò èç òîãî, ÷òî Pr [ A | B ] 6 Pr [ A ] / Pr [ B ] , âòîðîå èç òîãî, ÷òî f ( w ) = i , è îïðåäåëåíèÿ f . Äîê àæ åì òðåòüå, ò . å. ÷òî Pr Y ( x ) = i | x [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] > ε 2 − ε 3 , åñëè òîëüê î íå ðàâíî íó ëþ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè w [1 , i − 1] ñëóæèò íà ÷àëîì äëÿ íåê îòîðîãî w ñ Y ( w ) = i 6 = 0 , òî íèê àê îå ïðî äîëæ åíèå w [1 , i − 1] íå ìî æ åò áûòü ïëî õèì ïî ïåðâîìó è âòîðîìó ó ñëîâèþ. Çíà ÷èò , Pr Y ( x ) = i | x [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] = Pr f ( x ) = i | x [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] − Pr f ( x ) = i è x ∈ B 3 | x [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] > ε 2 − ε 3 . Ïåðâîå ñëàã àåìîå íå ìåíüøå ε 2 , ïî- ñê îëüêó x 6∈ B 2 . Îöåíê à íà âòîðîå òî æ å ïîíÿòíà: äëÿ òåõ x , ã äå f ( x ) = i , ñîîòâåòñòâóþ- ùàÿ âåðî ÿòíîñòü íå ïðåâîñ õ î äèò ε 3 ïî îïðåäåëåíèþ B 3 , à äëÿ îñò àëüíûõ è âîâñå ðàâíà íó ëþ. Äîêàçàòå ëüñòâî óòâåðæäåíèÿ 5.4. Ïó ñòü w [1 , i − 1] ïðîèçâîëüíîå ñëîâî, ïðî äîëæ àå- ìîå äî w ñ Y ( w ) = i . Îöåíèì âåðî ÿòíîñòü Pr x [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] . Pr x [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] = Pr x [1 , n ] = w [1 , n ] Pr x [ i, n ] = w [ i, n ] | x [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] = Pr x [1 , n ] = w [1 , n ] Pr x i = w i | x [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] · Pr x [ i +1 , n ] = w [ i +1 , n ] | x [1 , i ] = w [1 , i ] ×èñëèòåëü îöåíèâàåòñ ÿ ñâåð õó ê àê 2 − ( k 1 + k 2 + s ) , ïîñê îëüêó H ∞ ( X ) > k 1 + k 2 + s . Ïåðâûé ñîìíî æèòåëü çíàìåíàòåëÿ îöåíèâàåòñ ÿ ñíèçó ê àê ε 3 , ïîñê îëüêó w 6∈ B 3 . Íàê îíåö, âòîðîé ñîìíî æèòåëü çíàìåíàòåëÿ îöåíèâàåòñ ÿ ñíèçó ê àê ( ε 2 − ε 3 ) · 2 − k 1 , ïîñê îëüêó f ( w ) = i .  èòîãå èìååì Pr x [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] 6 2 − k 2 − s ε 3 ( ε 2 − ε 3 ) . (4) Äàëåå, Pr x [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] | Y ( x ) = i 6 Pr x [1 , i − 1] = w [1 , i − 1] Pr [ Y ( x ) = i ] 6 6 2 − k 1 − s ε 3 ( ε 2 − ε 3 ) Pr [ Y ( x ) = i ] 6 2 − k 1 − s ε 3 ( ε 2 − ε 3 )( ε 1 − ε 2 − ε 3 ) = 2 − k 1 Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ñëåäó åò èç òîãî, ÷òî åñëè Pr [ Y ( x ) = i ] > 0 , òî Pr [ f ( x ) = i ] > ε 1 . Èñêëþ÷èâ x ∈ B 2 è x ∈ B 3 , ïîëó÷àåì íóæíóþ îöåíêó Pr [ Y ( x ) = i ] > ε 1 − ε 2 − ε 3 . 14 5.3. Êîìïîçèöèÿ íåñê îëüêèõ ýê ñòðàêòîðîâ àñïðîñòðàíèì íàøó òåõíèêó íà ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî ýê ñòðàêòîðîâ. Îïðåäåëåíèå 5.4. Ïó ñòü E i : ( n ) × ( d i ) → ( d i +1 + s i +1 ) ñóòü ( k i , ζ i )-ýê ñòðàêòîðû äëÿ i = 1 , . . . , t , s i > 0 , à s 2 = 0 . Ïó ñòü ò àêæ å M i : ( d i +2 + s i +2 ) n × ( µ ) → ( d i +2 ) ñóòü ¯ ζ i - ì¸ð äæ åðû äëÿ i = 1 , . . . , t − 1 . Îïðåäåëèì óíêöèþ E = E t M t − 1 ⊙ E t − 1 M t − 2 ⊙ · · · M 1 ⊙ E 1 : ( n ) × ( d 1 + µ 1 + · · · + µ t − 1 ) → ( d t +1 ) èíäóêòèâíî ïî ïðàâîé àññîöèàòèâíîñòè: E := E t M t − 1 ⊙ E t − 1 M t − 2 ⊙ · · · M 1 ⊙ E 1 . Ò åîðåìà 5.5. Äëÿ ëþáîãî ïàð àìåòð à áåçîïàñíîñòè s > 0 E ÿâëÿåòñÿ ( P t i =1 k i + ( t − 1) s , P t i =1 ζ i + P t − 1 i =1 ¯ ζ i + ( t − 1) n 2 − s/ 3+3 )-ýêñòð àêòîðî ì. Åñ ëè E i è M i âû÷èñ ëèìû çà ïî ëèíî ìèàëüíîå âðå ìÿ, òî è E òîæå. Äîêàçàòå ëüñòâî. Ïàðàìåòðû ýê ñòðàêòîðà î÷åâèäíûì îáðàçîì ïîëó÷àþòñ ÿ ïðèìåíå- íèåì ïî èíäóêöèè òåîðåìû 5.2 . Äîê àæ åì ñî õðàíåíèå ïîëèíîìèàëüíîé âû÷èñëèìîñòè. Áó äåì äåéñòâîâàòü ïðè ïîìîùè äèíàìè÷åñê îãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ïî ñëåäóþùåìó àë- ãîðèòìó: 1. Âõ î ä: x ∈ { 0 , 1 } n , y ∈ { 0 , 1 } d 1 è y j ∈ { 0 , 1 } µ j , j = 1 , . . . , t − 1 . 2. Áó äåì âû÷èñëÿòü ìàòðèöó M ñ ýëåìåíò àìè M j i = E j M j − 1 ⊙ · · · M 1 ⊙ E 1 x [ i, n ] , y y 1 . . . y j − 1 äëÿ 1 6 i 6 n è 1 6 j 6 t . Ïåðâûé ð ÿä ìàòðèöû, M 1 i , ìî æ åò áûòü âû÷èñëåí íåïîñðåäñòâåííî ê àê E 1 ( x [ i, n ] , y ) . Ïó ñòü ìû çàïîëíèëè j -ûé ð ÿä ìàòðèöû, çàïîëíèì ( j + 1 )-ûé. • Îáîçíà ÷èì q l = M j l , l = i, . . . , n , è ïîëî æèì z l = E j +1 ( x [ i, l − 1] , q l ) . • Ïîëî æèì M j +1 ,l = M j ( z i . . . z n , y j ) . åçó ëü ò àò âû÷èñëåíèé áó äåò ïðàâèëüíûì ïî îïðåäåëåíèþ ì¸ð äæ åðà, ïîëèíîìèàëü- íîñòü âðåìåíè ðàáîòû ïîíÿòíà. 5.4. Ïîñòðîåíèå ì¸ð äæ åðîâ Îïèøåì ê îíñòðóêöèþ ÿâíîãî ïîñòðîåíèÿ ì¸ð äæ åðîâ. Âíà ÷àëå çàìåòèì, ÷òî ëþáîé ( k , ε )-ýê ñòðàêòîð ñ n = 2 k ¾èçâëåê àåò ñëó÷àéíîñòü¿ èç ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñ H ∞ ( X ) > k , â ÷àñòíîñòè, èç äâóõáëî÷íîãî ã äå-òî ñëó÷àéíîãî ( k , 0, 0)-èñòî÷íèê à. (ïî ëåììå 5.1 ) Ò àêèì îáðàçîì, îí ÿâëÿåòñ ÿ äâóõáëî÷íûì ì¸ð äæ åðîì. Ïîñòðîèì b -áëî÷íûé ì¸ð äæ åð íà áàçå äâóõáëî÷íûõ. À èìåííî, áó äåì äåéñòâîâàòü ò àê: Àëãîðèòì 5.1. Ïó ñòü M : ( k ) 2 × ( d ( k )) → ( k − m ( k )) ì¸ð äæ åð. Ïîñòðîèì ðåêóðñèâíî ì¸ð äæ åð M l : ( k ) 2 l × ( l · d ( k )) → ( k − l · m ( k )) : 15 1. Âõ î ä: x l = x l 1 . . . x l 2 l , ã äå x l i ∈ { 0 , 1 } k ; d = d 1 . . . d l , d i ∈ { 0 , 1 } d ( k ) . 2. Åñëè l = 0 , âîçâðàùàåì x l . 3. Èíà ÷å ïîëî æèì x l − 1 i = M ( x l 2 i − 1 , x l 2 i , d l ) , i = 1 , . . . , 2 l − 1 . 4. Âîçâðàòèì M l − 1 ( x l − 1 1 . . . x l − 1 2 l − 1 , d 1 . . . d l − 1 ) . Äîê àæ åì ê îððåêòíîñòü ðàáîòû àëãîðèòìà. Ò åîðåìà 5.6. Ïóñòü äëÿ âñåõ k äëÿ íåêîòîðûõ ìîíîòîííî ð àñòóùèõ óíêöèé d , m è ε − 1 ñóùåñòâóåò ïî ëèíî ìèàëüíî âû÷èñ ëèìûé ε ( k ) -ì¸ðäæåð M : ( k ) 2 × ( d ( k ) → ( k − m ( k )) . Ò îãäà M l , ïîñòðîåííûé ïî àëãîðèòìó 5.1 , ÿâëÿåòñÿ l · ε ( k − m ( k )) -ì¸ðäæåðî ì. Äîêàçàòå ëüñòâî. Äëÿ j = l, . . . , 0 è i = 1 , . . . , 2 j îáîçíà ÷èì ÷åðåç X j i ñëó÷àéíóþ âåëè- ÷èíó , ïðèíèìàþùóþ çíà ÷åíèÿ x j i ñ âåðî ÿòíîñò ÿìè, èíäóöèðîâàííûìè ðàñïðåäåëåíèåì X íà x = x l ∈ { 0 , 1 } k · 2 l è ðàâíîìåðíûì íà d ∈ { 0 , 1 } l · d ( k ) . Çàìåòèì, ÷òî X l = X èñ õ î ä- íîå ðàñïðåäåëåíèå, à X 0 âûõ î ä. ×åðåç X j îáîçíà ÷èì ê îíê àòåíàöèþ X j = X j 1 . . . X j 2 j Îáîçíà ÷èì k j = k − ( l − j ) m ( k ) è äîê àæ åì áîëåå îáùèé àêò: åñëè X ã äå-òî ñëó÷àéíûé ( k , 0, 0)-èñòî÷íèê, òî äëÿ âñåõ 1 6 i 6 2 j dist(( X j i | Y ∈ [2 l − j ( i − 1) + 1 , 2 l − j i ]) , U k j ) 6 ( l − j ) ε ( k j ) , ã äå Y ( k , 0, 0)-ñåëåêòîð äëÿ X . Ïðîâåä¸ì äîê àçàòåëüñòâî íèñ õ î äÿùåé èíäóêöèåé ïî j . Ïðè j = l óòâåð æäàåòñ ÿ, ÷òî ∀ i dist(( X i | Y = i ) , U k ) = 0 , ÷òî âåðíî ïî îïðåäåëåíèþ Y . Ïó ñòü ìû äîê àçàëè óòâåð æäåíèå äëÿ j , äîê àæ åì äëÿ j − 1 . Ïî ïðåäïîëî æ åíèþ èíäóêöèè âûïîëíåíî: • dist(( X j 2 i − 1 | Y ∈ [2 l − j (2 i − 2) + 1 , 2 l − j 2 i − 1 ]) , U k j ) 6 ( l − j ) ε ( k j ) ; • dist(( X j 2 i | Y ∈ [2 l − j (2 i − 1) + 1 , 2 l − j 2 i ]) , U k j ) 6 ( l − j ) ε ( k j ) . Âîñïîëüçó åìñ ÿ ñëåäóþùåé ëåììîé: Ëåììà 5.7. Ïóñòü A , B è Y ñóòü ñ ëó÷àéíûå âå ëè÷èíû. Ïðåäïî ëîæèì, ÷òî dist(( A | Y ∈ S 1 ) , U k ) 6 ε è dist(( B | Y ∈ S 2 ) , U k ) 6 ε äëÿ íåêîòîðûõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ S 1 è S 2 . Ò îãäà ð àñïðåäå ëåíèå ( AB | Y ∈ S 1 ∪ S 2 ) ε -á ëèçêî ê íåêîòîðî ìó ð àñïðåäå ëåíèþ W ñ H ∞ ( W ) > k . Ïî ëåììå èìååì, ÷òî ( X j 2 i − 1 X j 2 i | Y ∈ [2 l − j (2 i − 2) + 1 , 2 l − j 2 i ]) ( l − j ) ε ( k j ) -áëèçê î ê íåê î- òîðîìó W ñ H ∞ ( W ) > k j . Ïîñê îëüêó X j − 1 i = M ( X j 2 i − 1 X j 2 i , d j ) , ( X j − 1 i | Y ∈ [2 l − j (2 i − 2) + 1 , 2 l − j 2 i ]) ( l − j ) ε ( k j ) -áëèçê î ê M ( W , d j ) , ò . å. (( l − j ) ε ( k j ) + ε ( k j )) -áëèçê î ê ðàâíîìåðíîìó , îòêó äà ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî ε ( k j ) 6 ε ( k j − 1 ) , âûòåê àåò óòâåð æäåíèå òåîðåìû. Äîêàçàòå ëüñòâî ëå ììû 5.7. Äîñò àòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, ê îã äà Pr [ Y ∈ S 1 ∪ S 2 ] = 1 , ò . ê. ïðè îãðàíè÷åíèè íà ýòî ìíî æ åñòâî ó ñëîâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ íå èçìåíÿòñ ÿ. À â ýòîì ñëó÷àå óíêöèÿ Z = i : Y ∈ S i áó äåò ïî ó ñëîâèþ ( k , ε , 0)-ñåëåêòîðîì äëÿ AB . Ïî ëåììå 5.1 AB áó äåò ε -áëèçê î ê íåê îòîðîìó ðàñïðåäåëåíèþ W ñ H ∞ ( W ) > k .  îáùåì ñëó÷àå òî æ å ñàìîå áó äåò âûïîëíåíî äëÿ ( AB | Y ∈ S 1 ∪ S 2 ) . 16 5.5. Ïîñòðîåíèå èòîãîâîãî ýê ñòðàêòîðà Ëåììà 5.8 ([15℄) . Äëÿ íåêîòîðîé êîíñòàíòû c > 1 è ëþáîãî k = Ω(log n ) ñóùåñòâóåò ïî ëèíî ìèàëüíî âû÷èñ ëèìûé ( 2 k , 2 − k / 5 )-ýêñòð àêòîð A k : ( n ) × ( k ) → ( ck ) . Îáîçíà÷èì ýòó êîíñòàíòó c sz . Ïîê àæ åì, ê àê ìî æíî ïîñòðîèòü õ îðîøèé ýê ñòðàêòîð, èìåÿ õ îðîøèé ì¸ð äæ åð. Ëåììà 5.9. Ïóñòü äëÿ âñåõ k ∈ [ k ′ , k ′′ ] ñóùåñòâóåò ïî ëèíî ìèàëüíî âû÷èñ ëèìûé ε - ì¸ðäæåð M k : ( k ) n × ( d ) → ( α k ) , ãäå α êîíñòàíòà â èíòåðâàëå (1 /c sz , 1) . Ò îãäà äëÿ òåõ æå k ñóùåñòâóåò ïî ëèíî ìèàëüíî âû÷èñ ëèìûé ( k , p oly ( n ) · ε )-ýêñòð àêòîð E : ( n ) × ( O ( k ′ log(1 / ε )) + d log n ) → (Ω( k )) Äîêàçàòå ëüñòâî. Ïîëî æèì b = c sz · α , k i = b i k ′ log(1 / ε ) , à t ìèíèìàëüíîå ÷èñëî, ÷òî P t i =1 k i 6 k / 2 . Îïðåäåëèì E ê àê E = E t M t − 1 ⊙ E t − 1 . . . M 1 ⊙ E 1 , ã äå • E i : ( n ) × ( k i ) → ( c sz k i ) ( 2 k i , 2 k i / 5 )-ýê ñòðàêòîð èç ëåììû 5.8. • M i : ( c sz k i +1 ) n × ( d ) → ( k i +2 ) ε -ì¸ð äæ åð, ñóùåñòâóþùèé ïî ïðåäïîëî æ åíèþ ëåì- ìû. ( k i +2 = bk i +1 = α · c sz k i +1 ) Ïî òåîðåìå 5.5, ïðèìåí¸ííîé äëÿ d i = k i è s i = ( c sz − b ) k i − 1 , E ÿâëÿåòñ ÿ ýê ñòðàêòîðîì. Ïðîâåðèì, ÷òî îí èìååò íóæíûå ïàðàìåòðû. Âûáåðåì ïàðàìåòð áåçîïàíîñòè s = k / 2 t , òîã äà ïî âûáîðó t ìèíèìàëüíàÿ ýíòðîïèÿ E áó äåò ðàâíà P t i =1 k i + ( t − 1) s > k . Î÷åâèäíî, t = O (log n ) , ýòî äà ¸ò íóæíóþ îöåíêó íà ê îëè÷åñòâî ñëó÷àéíûõ áèòîâ. Äàëåå, k t +1 = b t +1 k ′ log(1 / ε ) = Ω b t +1 − 1 b − 1 k ′ log(1 / ε ) = Ω( P t i =1 k i ) = Ω( k ) . Íàê îíåö, îøèáê à E ðàâíà P t i =1 2 − k i / 5 + ( t − 1) ε + ( t − 1) s 2 − s/ 3+3 , ÷òî ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî k = O (log(1 /ε )) , äà ¸ò òðåáó åìóþ îöåíêó . Äëÿ ïîëíîãî äîê àçàòåëüñòâà îñò àëîñü çàìåòèòü, ÷òî ïîëèíîìèàëüíàÿ âû÷èñëèìîñòü E ò àêæ å ñëåäó åò èç òåîðåìû 5.5. Ñîïîñò àâëÿÿ ðåçó ëü ò àòû òåîðåìû 5.6 è ëåììû 5.9 , ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ âñåõ k ñóùå- ñòâó åò ïîëèíîìèàëüíûé ( k , ε )-ýê ñòðàêòîð E : ( n ) × ( d p olylog( n ) log(1 / ε )) → (Ω( k )) , ã äå d ê îëè÷åñòâî ñëó÷àéíûõ áèòîâ, íåîá õ î äèìûõ äëÿ ðàáîòû ì¸ð äæ åðà. Îäíàê î, ýòîò ýê ñ- òðàêòîð ¾èçâëåê àåò¿ åù¸ íå âñþ ìèíèìàëüíóþ ýíòðîïèþ èñ õ î äíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, à ëèøü ê àêóþ-òî å¸ èê ñèðîâàííóþ äîëþ. Ìî æíî ìî äèèöèðîâàòü àëãîðèòì, ÷òîáû ¾èç- âëå÷ü ñëó÷àéíîñòü¿ ïîëíîñòüþ. Äëÿ ýòîãî íàì äîñò àòî÷íî ïîñòðîèòü ( k , ε )-ýê ñòðàêòîð E : (2 k ) × ( d ) → ( k − O ( k / log n )) . Ïîê àæ åì, ê àê ìî æíî óâåëè÷èòü ê îëè÷åñòâî èçâëåê àåìûõ áèòîâ, èñïîëüçó ÿ î äèí è òîò æ å ýê ñòðàêòîð. Ïó ñòü ýê ñòðàêòîð E ¾èçâëåê àåò ñëó÷àéíîñòü¿ èç âñåõ ðàñïðåäåëíèé ñ ìèíèìàëüíîé ýíòðîïèåé íå ìåíüøå k . ×òî áó äåò , åñëè ïî äàòü åìó íà âõ î ä ðàñïðåäåëå- íèå ñ ìèíèìàëüíîé ýíòðîïèåé K > k ? Ìî æíî äåéñòâîâàòü ïî ñëåäóþùåìó àëãîðèòìó: ïðèìåíÿòü ýê ñòðàêòîð ìíîãî ðàç ê î äíîé è òîé æ å ñòðîê å, ê àæäûé ðàç ñ íîâûì íàáî- ðîì ñëó÷àéíûõ áèòîâ r i , ïîê à ñóììàðíàÿ äëèíà âûõ î äà íà ïðåâûñèò K − k .  ò àê îì ñëó÷àå ñ âûñîê îé âåðî ÿòíîñòüþ ó ñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå ( X | E ( x, r 1 ) . . . E ( x, r t )) áó äåò ïî-ïðåæíåìó èìåòü ìèíèìàëüíóþ ýíòðîïèþ íå ìåíüøå k . Áîëåå òî÷íî óòâåð æäåíèå ìî æíî ñîðìó ëèðîâàòü â âèäå äâóõ ëåìì, äîê àçàííûõ â [8℄. 17 Ëåììà 5.10. Ïðåäïî ëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî k ñóùåñòâóåò ïî ëèíî ìèàëüíî âû- ÷èñ ëèìûé ( k , ε )-ýêñòð àêòîð E k : ( n ) × ( d ) → ( m ) . Ò îãäà äëÿ âñÿêèõ K > k , ïàð àìåòð à áåçîïàñíîñòè s > 0 è t ∈ N ñóùåñòâóåò ïî ëèíî ìèàëüíî âû÷èñ ëèìûé ( K , t ( ε + 2 − s ) )- ýêñòð àêòîð E : ( n ) × ( td ) → (min { tm, K − k − s } ) . Ëåììà 5.11. Ïðåäïî ëîæèì, ÷òî äëÿ âñåõ k > k ′ ñóùåñòâóåò ïî ëèíî ìèàëüíî âû÷èñ ëè- ìûé ( k , ε ( n ) )-ýêñòð àêòîð E k : ( n ) × ( d ( n )) → ( k /f ( n )) . Ò îãäà äëÿ ëþáîãî k ñóùåñòâóåò ïî ëèíî ìèàëüíî âû÷èñ ëèìûé ( k , f ( n ) log n ( ε + 2 − d ( n ) ) )-ýêñòð àêòîð E : ( n ) × ( O ( f ( n ) log n · d ( n ))) → ( k − k ′ ) . Ñîïîñò àâèâ ðåçó ëü ò àòû ëåìì 5.9 è 5.11, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå Ñëåäñòâèå 5.12. Ïóñòü äëÿ âñÿêîãî k > k ′ = k ′ ( n ) ñóùåñòâóåò ïî ëèíî ìèàëüíî âû÷èñ ëèìûé ε -ì¸ðäæåð M : ( k ) n × ( d ) → ( αk ) , ãäå 1 /c sz < α < 1 , Ò îãäà äëÿ âñÿ- êîãî k ñóùåñòâóåò ïî ëèíî ìèàëüíî âû÷èñ ëèìûé ( k , p oly ( n ) ε )-ýêñòð àêòîð E : ( n ) × ( O ( k ′ log n log (1 /ε ) + log 2 n · d )) → ( k ) . (íåäîñò àþùèå k ′ áèòîâ ìî æíî ñê îïèðîâàòü íåïîñðåäñòâåííî èç ñëó÷àéíûõ, îò ýòîãî ïàðàìåòðû íå óõó äøàòñ ÿ) Ò åïåðü ïîñòðîèì íåîá õ î äèìûå ì¸ð äæ åðû.  [15℄ ïîñòðîåíû ñëåäóþùèå ýê ñòðàêòîðû: Ëåììà 5.13. Ïóñòü k ( n ) > n 1 / 2+ γ äëÿ íåêîòîðîãî γ > 0 . Ò îãäà äëÿ ëþáîãî ε ñóùåñòâó- åò ïî ëèíî ìèàëüíî âû÷èñ ëèìûé ( k ( n ) , ε )-ýêñòð àêòîð E : ( n ) × ( O (log 2 n log(1 /ε ))) → ( k 2 ( n ) /n ) Íà èõ áàçå ìî æíî ïîñòðîèòü íóæíûå ì¸ð äæ åðû. À èìåííî, âåðíà ñëåäóþùàÿ Ëåììà 5.14. Ïóñòü b > 1 , à f ( k ) = f ( k ( n )) òàêàÿ óíêöèÿ, ÷òî f ( k ) 6 3 √ k è äëÿ ëþáîãî k > k 0 ( n ) f ( k ) > b log n . Ò îãäà äëÿ âñåõ k > k 0 ñóùåñòâóåò ε -ì¸ðäæåð M : ( k ) n × (log n po lylog( k ) · f 2 ( k ) log(1 /ε )) → ( k − k /b ) , Äîêàçàòå ëüñòâî. Ïî ëåììå 5.13 ñóùåñòâó åò ïîëèíîìèàëüíî âû÷èñëèìûé ( k /f ( k ) , ε )- ýê ñòðàêòîð E : (2 k ) × ( O (lo g 2 k log(1 /ε ))) → k /f 2 ( k ) . (Çäåñü èñïîëüçó åòñ ÿ íåðàâåíñòâî f ( k ) 6 3 √ k ) Äàëåå, ïî ëåììå 5.10 ñóùåñòâó åò ïîëèíîìèàëüíî âû÷èñëèìûé ( k , p oly ( k ) · ε )- ýê ñ- òðàêòîð E : (2 k ) × ( O ( f 2 ( k ) log 2 k log(1 /ε ))) → ( k − k/f ( k )) . Íàê îíåö, ïî òåîðåìå 5.6 ñóùåñòâó åò ïîëèíîìèàëüíî âû÷èñëèìûé (log n p o ly( k ) · ε ) - ì¸ð- äæ åð M : ( k ) n × ( O (lo g n p olylog( k ) · f 2 ( k ) log (1 /ε ))) → ( k − log n · k / f ( k )) . Ïîñê îëüêó k /f ( k ) 6 k /b log n äëÿ âñåõ k 6 k 0 , èìååì log n · k /f ( k ) 6 k /b , ÷òî è òðåáîâàëîñü. Ýò à ëåììà ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü ýê ñòðàêòîðû, ê îòîðûå ïîëíîñòüþ ¾èçâëåê àþò ñëó- ÷àéíîñòü¿ èç ðàñïðåäåëåíèé ñ âûñîê îé ìèíèìàëüíîé ýíòðîïèåé. Âíà ÷àëå çàìåòèì, ÷òî ìû ìî æ åì ïîëó÷èòü òðåáó åìûå ì¸ð äæ åðû: Ñëåäñòâèå 5.15. Äëÿ âñåõ k > 2 √ log n ñóùåñòâóåò (p olylog ( n ) · ε ) - ì¸ðäæåð M k : ( k ) × (p o lylog ( n ) log (1 /ε )) → (Ω( k )) . 18 Äîêàçàòå ëüñòâî. Âîçüì¸ì f ( k ) = log c k äëÿ íåê îòîðîãî c > 2 . Ò îã äà ïðè ëþáîì b , k > 2 √ log n è äîñò àòî÷íî áîëüøîì n èìååì log c k > b log n , ïîýòîìó ìî æíî ïðèìåíèòü ëåììó 5.14 . Ïî äñò àâèâ ýòîò ðåçó ëü ò àò â ñëåäñòâèå 5.12, ïîëó÷àåì Ñëåäñòâèå 5.16. Äëÿ ëþáîãî k ñóùåñòâóåò ( k , p oly ( n ) · ε )- ýêñòð àêòîð B k : ( n ) × ( O (2 √ log n p olylog( n ) lo g(1 /ε ))) → ( k ) . Ïîëó÷åííûé ýê ñòðàêòîð ¾èçâëåê àåò ñëó÷àéíîñòü¿ ïîëíîñòüþ, íî èñïîëüçó åò ñâåð õ- ïîëèëîã àðèìè÷åñê îå ÷èñëî ñëó÷àéíûõ áèòîâ. Ìû ìî æ åì óìåíüøèòü ýòî ÷èñëî ìåòî- äîì ê îìïîçèöèè ýê ñòðàêòîðîâ. Ïðàâäà, çà ñ÷¸ò ýòîãî âíîâü âûðàñòåò òðåáó åìàÿ ìèíè- ìàëüíàÿ ýíòðîïèÿ. À èìåííî, Ëåììà 5.17. Ïóñòü ε > 2 − n γ äëÿ íåêîòîðîãî γ < 1 . Ò îãäà ñóùåñòâóåò β < 1 , òà- êàÿ ÷òî äëÿ âñåõ k > n β ñóùåñòâóåò ïî ëèíî ìèàëüíî âû÷èñ ëèìûé ( k , p oly ( n ) · ε )- ýêñòð àêòîð E : ( n ) × (polylog ( n ) log (1 /ε )) → (Ω( k )) Äîêàçàòå ëüñòâî. Ïîëî æèì δ = (1 − γ ) / 2 è β = 1 − δ / 2 . Âîçüì¸ì E = B k M ⊙ E sz , ã äå • E sz ( n β , ε )- ýê ñòðàêòîð E : ( n ) × ( O (log 2 n log(1 /ε ))) → ( n 2 β − 1 ) èç ëåììû 5.13; • B k ýê ñòðàêòîð èç ñëåäñòâèÿ 5.16 ; • M ì¸ð äæ åð èç ñëåäñòâèÿ 5.15. Ïîñê îëüêó n 2 β − 1 = n δ n γ = Ω(2 √ log n log(1 / ε )) , ýê ñòðàêòîð E ê îððåêòíî îïðåäåë¸í. Ïî òåîðåìå 5.2 E ÿâëÿåòñ ÿ ïîëèíîìèàëüíî âû÷èñëèìûì ( k + n β + n γ , p oly ( n ) · ε )-ýê ñòðàêòîðîì E : ( n ) × (p olylog ( n ) lo g(1 /ε )) → (Ω( k )) .  ÷àñòíîñòè, åñëè H ∞ ( X ) = Ω( n β ) , ìû èçâëå÷¸ì Ω( H ∞ ( X )) áèòîâ, ÷òî è òðåáîâàëîñü â òåîðåìå. Íàê îíåö, ìû ìî æ åì âíîâü, ñî õðàíèâ ïîëèëîã àðèìè÷åñê îå ÷èñëî ñëó÷àéíûõ áèòîâ, ïåðåéòè ê ïðîèçâîëüíîé ìèíèìàëüíîé ýíòðîïèè è ïîëó÷èòü èòîãîâóþ òåîðåìó . Ò åîðåìà 5.18. Äëÿ ëþáûõ γ < 1 , ε > 2 − n γ è k = k ( n ) ñóùåñòâóåò ïî ëèíî ìèàëüíî âû÷èñ ëèìûé ( k , ε )-ýêñòð àêòîð E : ( n ) × (polylog ( n ) log (1 /ε )) → ( k ) Äîêàçàòå ëüñòâî. Ïî ëåììå 5.11 , ëåììà 5.17 âëå÷¸ò ñóùåñòâîâàíèå ïîëèíîìèàëüíî âû- ÷èñëèìîãî ( n , p oly ( n ) · ε )-ýê ñòðàêòîðà E : (2 n ) × (p olylog ( n ) log( 1 /ε )) → ( n − n β ) . Äàëåå, ñóùåñòâó åò ê îíñò àíò à c , çàâèñ ÿùàÿ òîëüê î îò γ , ò àê àÿ ÷òî äëÿ âñåõ log c n 6 k 6 n âûïîëíåíî log n · k β 6 k / ¯ c , ã äå ¯ c ò àê îâî, ÷òî 1 /c sz < 1 − 1 / ¯ c < 1 . Îòñþ äà ïî òåîðåìå 5.6 äëÿ âñ ÿê îãî k ñóùåñòâó åò ïîëèíîìèàëüíî âû÷èñëèìûé p oly( n ) · ε -ì¸ð äæ åð M : ( k ) n × (polylog ( n ) log (1 /ε )) → ( k − k / ¯ c ) . Íàê îíåö, ïî ñëåäñòâèþ 5.12 ïîëó÷àåì äëÿ ëþáîãî k ïîëèíîìèàëüíî âû÷èñëèìûé ( k , p oly ( n ) · ε )-ýê ñòðàêòîð E : ( n ) × (p olylog ( n ) log( 1 /ε )) → ( k ) . Ïîëàã àÿ ε ′ = ε/ p oly( n ) , ïîëó÷àåì â òî÷íîñòè óòâåð æäåíèå òåîðåìû. 19 6. Ýê ñòðàêòîð Òðåâèñàíà  1999 ãî äó Ë. Òðåâèñàí (Lua T revisan) â ñò àòüå [ 16℄ îïèñàë ñîâåðøåííî íîâóþ ê îíñòðóêöèþ ýê ñòðàêòîðîâ íà îñíîâå ïîíÿòèé ïñåâäîñëó÷àéíîãî ãåíåðàòîðà, ê îìáèíà- òîðíîãî äèçàéíà è ê î äîâ, èñïðàâëÿþùèõ îøèáêè. Ýò à ê îíñòðóêöèÿ ãîðàçäî ïðîùå âñåõ ïðåäûäóùèõ è (â ó ñèëåííîì âèäå, îïèñàííîì â [12 ℄) äà ¸ò ëó÷øèå ïàðàìåòðû ýê ñòðàê- òîðà. 6.1. Äèçàéíû Äèçàéíîì íàçûâàåòñ ÿ íàáîð ïî äìíî æ åñòâ íåê îòîðîãî ìíî æ åñòâà, èìåþùèõ î äèíà- ê îâûé ðàçìåð è ìàëåíüêèå ïîïàðíûå ïåðåñå÷åíèÿ. Áîëåå ñòðîãî: Îïðåäåëåíèå 6.1. Ïó ñòü äàíî ìíî æ åñòâî ðàçìåðà d (íàïîìíèì, ìû îáîçíà ÷àëè åãî [ d ] ). Ñåìåéñòâî ìíî æ åñòâ S 1 , . . . , S m ⊂ [ d ] , ê àæäîå èç ê îòîðûõ èìååò ðàçìåð l , íàçûâàåòñ ÿ: • ( l , ρ )- äèçàéíîì (design), åñëè äëÿ âñåõ i 6 = j âûïîëíåíî | S i ∩ S j | 6 log ρ ; • ñëàáûì ( l , ρ )- äèçàéíîì (w eak design), åñëè äëÿ âñåõ j âûïîëíåíî X i 1 ñóùåñòâóåò íàáîð S ìíîæåñòâ S 1 , . . . , S m ⊂ [ d ] , êàæäîå èç êîòîðûõ èìååò ð àçìåð l , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ: • ( l , ρ )-äèçàéíî ì ïðè d = O ( l 2 m 1 /ρ ) /ρ ; • ñ ëàáûì ( l , 1)- äèçàéíî ì ïðè d = O ( l 2 log m ) ; • ð àâíî ìåðíûì ñ ëàáûì ( l , ρ )-äèçàéíî ì ïðè d = O ( l 2 / log ρ ) . Áî ëåå òîãî, ýòîò íàáîð S ìîæíî ïî ëó÷èòü äåòåð ìèíèðîâàííûì àëãîðèòìî ì çà âðå- ìÿ O (2 d m ) äëÿ äèçàéíà è çà âðå ìÿ p oly( m, d ) äëÿ ñ ëàáîãî è ð àâíî ìåðíîãî ñ ëàáîãî äèçàéíîâ. Êîíñòðóêöèè äëÿ ñ ëàáîãî è ð àâíî ìåðíîãî ñ ëàáîãî äèçàéíîâ îá ëàäàþò òå ì ñâîéñòâî ì, ÷òî ëþáîå èõ ïîäìíîæåñòâî âèäà { S 1 , . . . , S i } òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñîîòâåò- ñòâåííî ñ ëàáûì è ð àâíî ìåðíûì ñ ëàáûì äèçàéíî ì ñ òå ìè æå ïàð àìåòð àìè.  ðàáîòå [12℄ äîê àçàíà ò àêæ å îïòèìàëüíîñòü ïîñëåäíèõ äâóõ îöåíîê. 20 6.2. Ïñåâäîñëó÷àéíûé ãåíåðàòîð Íèñàíà-Âèã äåðñîíà Ñëåäóþùàÿ ê îíñòðóêöèÿ îïèñàíà â ðàáîòå [9 ℄. Ïó ñòü äàíû ìíî æ åñòâî S = { s 1 < · · · < s l } ⊂ [ d ] è y ∈ { 0 , 1 } d . Ïó ñòü y i i - ûé áèò y . Îáîçíà ÷èì ÷åðåç y | S ñëîâî, îáðàçî- âàííîå áèò àìè y , ëåæ àùèìè â S , ò . å. y | S := y s 1 . . . y s l . Îïðåäåëåíèå 6.2. Ïó ñòü äàíû óíêöèÿ f : { 0 , 1 } l → { 0 , 1 } è ñåìåéñòâî S ïî äìíî- æ åñòâ S 1 , . . . , S m ⊂ [ d ] î äèíàê îâîãî ðàçìåðà l . Ò îã äà ãåíåðàòîðîì Íèñàíà-Âèã äåðñîíà íàçûâàåòñ ÿ óíêöèÿ N W f , S : { 0 , 1 } d → { 0 , 1 } m , îïðåäåë¸ííàÿ ðàâåíñòâîì N W f , S ( y ) = f ( y | S 1 ) . . . f ( y | S m ) .  ðàáîòå [9℄ ïîê àçàíî, ÷òî åñëè f ÿâëÿåòñ ÿ òðó äíîâû÷èñëèìîé óíêöèåé, à S äèçàéí, òî óíêöèÿ N W f , S äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñ ÿ ïñåâäîñëó÷àéíûì ãåíåðàòîðîì. 6.3. Êî äû, èñïðàâëÿþùèå îøèáêè Îáû÷íî ïî ä ê î äàìè, èñïðàâëÿþùèìè îøèáêè, ïîíèìàþò îòîáðàæ åíèÿ èç { 0 , 1 } n â { 0 , 1 } ¯ n , ò àêèå ÷òî ðàññòî ÿíèå Õýììèíã à (ò . å. ê îëè÷åñòâî ðàçëè÷àþùèõ ñ ÿ áèòîâ) ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ê î äîâûìè (ò . å. ëåæ àùèìè â îáðàçå { 0 , 1 } n ) ñëîâàìè äîñò àòî÷íî âåëèê î. Íàì ïîòðåáó åòñ ÿ áîëåå ñëàáîå ïîíÿòèå ê î äîâ, äîïó ñê àþùèõ ¾äåê î äèðîâàíèå ñïèñê îì¿ (list-deo ding), ò . å. ò àêèõ, ÷òî â îêðåñòíîñòè ê àæäîãî ê î äîâîãî ñëîâà ëåæèò íå áîëåå ïîëèíîìèàëüíîãî ÷èñëà ê î äîâûõ ñëîâ. Ìû áó äåì ïîëüçîâàòüñ ÿ ê î äàìè, ñóùåñòâîâàíèå ê îòîðûõ óòâåð æäàåò ñëåäóþùàÿ Ëåììà 6.2. Äëÿ âñåõ n ∈ N è δ = δ ( n ) > 0 ñóùåñòâóåò êîä E C : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } ¯ n äëÿ íåêîòîðîãî ¯ n = p oly ( n, 1 /δ ) , òàêîé ÷òî ëþáîé (õý ììèíãîâ) øàð â { 0 , 1 } ¯ n îòíîñè- òå ëüíîãî ð àäèóñ à 1 / 2 − δ ñîäåðæèò íå áî ëåå 1 /δ 2 êîäîâûõ ñ ëîâ. Áî ëåå òîãî, çíàÿ öåíòð øàð à x , ìîæíî àëãîðèòìè÷åñêè ïî ëó÷èòü ñïèñîê ïðîîáð àçîâ ýòèõ ñ ëîâ (ò. å. äåêîäè- ðîâàòü x ñïèñêî ì) çà âðå ìÿ p oly ( n, 1 /δ ) . Ìîæíî òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òî ¯ n ÿâëÿåòñÿ ñòåïåíüþ äâîéêè. Êëàññè÷åñêèé ïðèìåð ò àê îãî ê î äà ê îíê àòåíàöèÿ ê î äîâ Àäàìàðà è èäà-Ñîëîìîíà, äàþùàÿ ¯ n = O ( n 2 /δ 4 ) . 6.4. Êîíñòðóêöèÿ Òðåâèñàíà Ýê ñòðàêòîð Òðåâèñàíà ó ñòðîåí ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîëó÷èâ íà âõ î ä ñëîâà x ∈ { 0 , 1 } n è y ∈ { 0 , 1 } d , ìû ñíà ÷àëà çàê î äèðó åì x ê î äîì E C èç ëåììû 6.2 , ïîëó÷èâ ñëîâî äëèíû 2 l , ê îòîðîå áó äåì ïîíèìàòü ê àê ò àáëèöó çíà ÷åíèé íåê îòîðîé áó ëåâîé óíêöèè f . À çàòåì ïðèìåíèì ê y ãåíåðàòîð Íèñàíà-Âèã äåðñîíà, ïîñòðîåííûé ïî f è íåê îòîðîìó (ñëàáîìó) äèçàéíó S . Áîëåå îðìàëüíî, Îïðåäåëåíèå 6.3. Ïó ñòü n , d è m ñóòü íàòóðàëüíûå ÷èñëà, à δ = δ ( n ) > 0 . Ïó ñòü E C δ : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } 2 l ê î ä èç ëåììû 6.2 äëÿ âûáðàííîãî δ , à S ñåìåéñòâî ïî ä- ìíî æ åñòâ S 1 , . . . , S m ⊂ [ d ] î äèíàê îâîãî ðàçìåðà l . Äëÿ x ∈ { 0 , 1 } n îáîçíà ÷èì ÷åðåç ˆ x 21 óíêöèþ èç { 0 , 1 } l â { 0 , 1 } , çàäàííóþ ò àáëèöåé çíà ÷åíèé E C δ ( x ) . Ò îã äà óíêöèåé Òðå- âèñàíà íàçûâàåòñ ÿ óíêöèÿ T R δ, S : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } d → { 0 , 1 } m , çàäàííàÿ ðàâåíñòâîì T R δ, S ( x, y ) = N W ˆ x, S ( y ) = ˆ x ( y | S 1 ) . . . ˆ x ( y | S m ) . (5) Ïðè íàäëåæ àùåì âûáîðå ïàðàìåòðîâ óíêöèÿ Òðåâèñàíà ÿâëÿåòñ ÿ ýê ñòðàêòîðîì. À èìåííî, âåðíî ñëåäóþùåå Óòâåð æäåíèå 6.3 ([12 ℄) . Ïóñòü k 6 n , d è m ñóòü íàòóð àëüíûå ÷èñ ëà, à ε = ε ( n ) > 0 . Ò îãäà óíêöèÿ Òðåâèñ àíà T R δ, S , ïîñòðîåííàÿ äëÿ δ = ε/ 4 m è ñ ëàáîãî ( l , ρ )-äèçàéíà S , ãäå ρ = ( k − 3 log ( m/ε ) − d − 3) /m , ÿâëÿåòñÿ ( k , ε )- ýêñòð àêòîðî ì. Áî ëåå òîãî, îíà ÿâëÿåòñÿ ýêñòð àêòîðî ì â ñèëüíî ì ñ ìûñ ëå, ò. å. ê âûäàííûì áèòàì ìîæíî ïðèïèñ àòü ïî ëó÷åííûå ñ ëó÷àéíûå áèòû ñ ñîõð àíåíèå ì ñâîéñòâà ýêñòð àêòîð à. Óòâåð æäåíèå 6.3 ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó: Ò åîðåìà 6.4 ([12℄) . Ïóñòü m 6 k 6 n ñóòü íàòóð àëüíûå ÷èñ ëà, à ε > 0 . Ò îãäà ñóùåñòâóåò ïî ëèíî ìèàëüíî âû÷èñ ëèìûé ( k , ε )-ýêñòð àêòîð E xt : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } d → { 0 , 1 } m äëÿ • d = O log 2 ( n/ε ) log( k /m ) , èëè • d = O (log 2 ( n/ε ) log (1 /γ )) , ãäå 1 + γ = k/ ( m − 1) è γ < 1 / 2 . Ò àêèì îáðàçîì, ÷òîáû ¾èçâëå÷ü âñþ ñëó÷àéíîñòü¿, íàì äîñò àòî÷íî O (log 2 ( n/ε ) log k ) äîïîëíèòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ áèòîâ, à ÷òîáû ¾èçâëå÷ü íåê îòîðóþ ïîñòî ÿííóþ äîëþ ñëó- ÷àéíîñòè¿ O (log 2 ( n/ε )) áèòîâ. Èç ñâîéñòâ ñëàáîãî äèçàéíà ñëåäó åò , ÷òî ýê ñòðàêòîð Òðåâèñàíà áó äåò ïðåèê ñíûì. 7. Êîíñòðóêöèÿ åéíãîëüäà-Øàëòèýëÿ-Âèã äåðñîíà  2001 ãî äó Î. åéíãîëüä (Omer Reingold), . Øàëòèýëü (Ronen Shaltiel) è À. Âèã äåðñîí (A vi Wigderson) â ñò àòüå [ 13℄ ïóò¸ì ê îìáèíèðîâàíèÿ âñåõ ïðåäëî æ åííûõ ðàíåå ìåòî äîâ ïîñòðîèëè íàèëó÷øèå èç èçâåñòíûõ íà ñåãî äíÿøíèé äåíü ýê ñòðàêòîðû. À èìåííî, äëÿ âñåõ k ïîñòðîåíû ýê ñòðàêòîðû ñ m = ck è d = O (log n (log log n ) 2 ) äëÿ ïðîèçâîëüíîé ê îíñò àíòû c < 1 . Ëåììà 5.11 âëå÷¸ò ñóùåñòâîâàíèå äëÿ âñåõ k ýê ñòðàêòîðîâ ñ m = k è d = O (lo g 2 n (log log n ) 2 ) . Ïðè ïîñòðîåíèè ýòèõ ýê ñòðàêòîðîâ èñïîëüçîâàëñ ÿ ò àê îé èí- ñòðóìåíò , ê àê ê îíäåíñåðû. Îïðåäåëåíèå 7.1. Ôóíêöèÿ C on : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } d → { 0 , 1 } n ′ íàçûâàåòñ ÿ ( k , k ′ , ε )- ê îíäåíñåðîì, åñëè äëÿ ëþáîãî ðàñïðåäåëåíèÿ X íà { 0 , 1 } n ñ H ∞ ( X ) > k ñóùåñòâó åò ò àê îå ðàñïðåäåëåíèå Y íà { 0 , 1 } n ′ , ÷òî H ∞ ( Y ) > k ′ è dist( Y , C on ( X . U d )) < ε . 22 Ò àêèì îáðàçîì, â îò ëè÷èå îò ýê ñòðàêòîðà, ê îíäåíñåð íå ¾èçâëåê àåò ñëó÷àéíîñòü¿, à ëèøü ¾ê îíäåíñèðó åò¿ å¸ íà íåê îòîðîì ìåíüøåì ÷èñëå áèòîâ.  ðàáîòå [13℄ ïîê àçàíî, ê àê ïîñòðîèòü ïîëèíîìèàëüíî âû÷èñëèìûå ê îíäåíñåðû, è ê àê èç íèõ ïîñòðîèòü ýê ñòðàêòîðû ïóò¸ì ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðèìåíåíèÿ. Ïðè ïîñòðîå- íèè ê îíäåíñåðîâ èñïîëüçóþòñ ÿ ìåòî äû, ïî õ î æèå íà àíàëèç ðàçëè÷íûõ ïëî õèõ ìíî æ åñòâ â òåîðåìå 5.2 . 8. Ò åîðåìà Ìó÷íèê à 8.1. Îïðåäåëåíèå ê îëìîãîðîâñê îé ñëî æíîñòè Äàäèì îðìàëüíîå îïðåäåëåíèå ê îëìîãîðîâñê îé ñëî æíîñòè. Îïðåäåëåíèå 8.1. Ïó ñòü ϕ íåê îòîðûé àëãîðèòì, ê îòîðûé ïåðåâî äèò ïàðû äâîè÷íûõ ñëîâ â äâîè÷íûå ñëîâà. Ò îã äà ó ñëîâíîé ê îëìîãîðîâñê îé ñëî æíîñòüþ K S ϕ ( A | B ) ñëîâà A îòíîñèòåëüíî ñëîâà B ïðè ñïîñîáå îïèñàíèÿ ϕ íàçûâàåòñ ÿ äëèíà êðàò÷àéøåãî ñëîâà P , ò àê îãî ÷òî ϕ ( P , B ) = A . Ñðåäè âñåõ ñïîñîáîâ îïèñàíèÿ íàéä¸òñ ÿ îïòèìàëüíûé. À èìåííî, âûïîëíåíî ñëåäó- þùåå Óòâåð æäåíèå 8.1. Ñóùåñòâóåò òàêîé ñïîñîá îïèñ àíèÿ ψ , ÷òî äëÿ ëþáîãî ñïîñîá à îïèñ àíèÿ ϕ è âñåõ ñ ëîâ A è B âûïî ëíåíî K S ψ ( A | B ) 6 K S ϕ ( A | B ) + O ( 1 ) . Ïðè ýòî ì êîíñòàíòà â O (1) çàâèñèò îò ϕ , íî íå îò A è B . Îïðåäåëåíèå 8.2. Ó ñëîâíîé ê îëìîãîðîâñê îé ñëî æíîñòüþ K S ( A | B ) ñëîâà A îòíîñè- òåëüíî ñëîâà B íàçûâàåòñ ÿ K S ψ ( A | B ) , ã äå ψ ñïîñîá îïèñàíèÿ èç ïðåäûäóùåãî óòâåð- æäåíèÿ. Êîëìîãîðîâñê îé ñëî æíîñòüþ K S ( A ) ñëîâà A íàçûâàåòñ ÿ K S ( A | Λ) , ã äå Λ ïó ñòîå ñëîâî. Èçó÷àþò ò àêæ å ê îëìîãîðîâñêóþ ñëî æíîñòü ñ îãðàíè÷åíèåì íà ðåñóðñû. Îïðåäåëåíèå 8.3. Ïó ñòü ϕ íåê îòîðûé àëãîðèòì (äëÿ ìíîãîëåíòî÷íîé ìàøèíû Òüþ- ðèíã à), ê îòîðûé ïåðåâî äèò ïàðû äâîè÷íûõ ñëîâ â äâîè÷íûå ñëîâà. Ò îã äà ó ñëîâíîé ê îëìîãîðîâñê îé ñëî æíîñòüþ C t, s ϕ ( A | B ) ñëîâà A îòíîñèòåëüíî ñëîâà B çà âðåìÿ t íà çîíå s ïðè ñïîñîáå îïèñàíèÿ ϕ íàçûâàåòñ ÿ äëèíà êðàò÷àéøåãî ñëîâà P , ò àê îãî ÷òî ϕ ( P , B ) = A , è ϕ ( P , B ) âû÷èñëÿåòñ ÿ çà âðåìÿ t íà çîíå s . Óòâåð æäåíèå î ñóùåñòâîâàíèè îïòèìàëüíîãî ñïîñîáà îïèñàíèÿ ïðèíèìàåò ñëåäóþ- ùèé âèä: Óòâåð æäåíèå 8.2. Ñóùåñòâóåò òàêîé ñïîñîá îïèñ àíèÿ ψ , ÷òî äëÿ ëþáîãî ñïîñîá à îïèñ àíèÿ ϕ ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà c , ÷òî âñåõ ñ ëîâ A è B âûïî ëíåíî C ct log t, cs ψ ( A | B ) 6 C t, s ϕ ( A | B ) + c . 23 Ëþáîé ñïîñîá îïèñàíèÿ, ó äîâëåòâîð ÿþùèé ýòîìó óòâåð æäåíèþ, ìû áó äåì íàçûâàòü îïòèìàëüíûì.  òåõ ñëó÷àÿõ, ê îã äà âûáîð ê îíêðåòíîãî îïòèìàëüíîãî ñïîñîáà îïèñàíèÿ âàæ åí, ìû áó äåì åãî óòî÷íÿòü. Îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò ñëî æíîñòü ëèáî ñ îãðàíè÷åíèåì òîëüê î íà âðåìÿ, ëèáî ñ îãðàíè÷åíèåì òîëüê î íà ïàìÿòü. Ó ñëîâèìñ ÿ, ÷òî î äèí èíäåê ñ îçíà ÷àåò îãðàíè÷åíèå íà âðåìÿ, à îãðàíè÷åíèå òîëüê î íà ïàìÿòü áó äåì çàïèñûâàòü ê àê C ∞ ,p . Äëÿ îãðàíè÷åíèÿ íà ðåñóðñû ò àêæ å ðàññìàòðèâàþò ñëî æíîñòü ðàçëè÷åíèÿ, ê îòîðàÿ íå äà ¸ò íè÷åãî íîâîãî äëÿ îáû÷íîé ñëî æíîñòè. Îïðåäåëåíèå 8.4. Ïó ñòü ϕ íåê îòîðûé àëãîðèòì, ê îòîðûé ïåðåâî äèò òðîéêè äâîè÷- íûõ ñëîâ â { 0 , 1 } . Ò îã äà ó ñëîâíîé ê îëìîãîðîâñê îé ñëî æíîñòüþ ðàçëè÷åíèÿ C D t, s ϕ ( A | B ) ñëîâà A îòíîñèòåëüíî ñëîâà B çà âðåìÿ t íà çîíå s ïðè ñïîñîáå îïèñàíèÿ ϕ íàçûâàåòñ ÿ äëèíà êðàò÷àéøåãî ñëîâà P , ò àê îãî ÷òî ϕ ( P , U, B ) = 1 , åñëè U = A , ϕ ( P , U, B ) = 0 äëÿ U 6 = A , è ϕ âû÷èñëÿåòñ ÿ çà âðåìÿ t íà çîíå s . Áó äåì ãîâîðèòü, ÷òî P ýòî ïðîãðàììà, ïðèíèìàþùàÿ U , åñëè ϕ ( P , U, B ) = 1 , è îòâåðã àþùàÿ â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Áåçó ñëîâíàÿ è íå çàâèñ ÿùàÿ îò ñïîñîáà îïèñàíèÿ ñëî æíîñòè ðàçëè÷åíèÿ ââî äÿòñ ÿ àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùèì. Ò àêæ å ìî æíî îïðåäåëèòü ñëî æíîñòü ðàçëè÷åíèÿ, ðåëÿòèâèçîâàííóþ îòíîñèòåëüíî íåê îòîðîãî îðàêó ëà.  ðàáî- òå [2 ℄ äîê àçàíà ñëåäóþùàÿ îöåíê à: Ò åîðåìà 8.3. Íàéä¸òñÿ òàêîé ïî ëèíî ì p ( n ) , ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà S è âñåõ A ∈ S = n = S ∩ { 0 , 1 } n âûïî ëíåíî C D p, S ( A ) 6 2 log | S = n | + O (lo g n ) . Áî ëåå òîãî, íàéä¸òñÿ ïðîãð àììà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ýòîé îöåíêå, ñïð àøèâàþùàÿ îð à- êóë òî ëüêî îòíîñèòå ëüíî ñâîåãî âõîäà è îòâåðãàþùàÿ åãî, ïî ëó÷èâ îòðèöàòå ëüíûé îòâåò. Ñëî æíîñòü ñ îãðàíè÷åíèåì íà ðåñóðñû è ñëî æíîñòü ðàçëè÷åíèÿ ìî æíî ðàññìàòðè- âàòü äëÿ âû÷èñëèòåëüíûõ ìî äåëåé, îò ëè÷íûõ îò äåòåðìèíèðîâàííûõ ìàøèí Òüþðèíã à. Äàäèì ñîîòâåòñòâóþùèå îïðåäåëåíèÿ, áó äåì ñ÷èò àòü, ÷òî ϕ îïòèìàëüíûé ñïîñîá îïè- ñàíèÿ. Îïðåäåëåíèå 8.5. Âåðî ÿòíîñòíîé ñëî æíîñòüþ C B P t, s ( A | B ) íàçûâàåòñ ÿ äëèíà êðàò- ÷àéøåé ïðîãðàììû P , ò àê îé ÷òî Pr [ ϕ ( P , B , r ) = A ] > 2 / 3 , è ϕ ( P , B , r ) ðàáîò àåò âðåìÿ t íà çîíå s äëÿ âñåõ r . Ïó ñòü ϕ n îïòèìàëüíûé ñïîñîá îïèñàíèÿ ñðåäè íåäåòåðìèíèðîâàííûõ ìàøèí Òüþ- ðèíã à. Îïðåäåëåíèå 8.6. Íåäåòåðìèíèðîâàííîé ñëî æíîñòüþ C N t, s ( A | B ) íàçûâàåòñ ÿ äëèíà êðàò÷àéøåé ïðîãðàììû P , ò àê îé ÷òî ϕ n ( P , B ) çàê àí÷èâàåò ðàáîòó õ îò ÿ áû äëÿ î äíîé âåòâè àëãîðèòìà, âîçâðàùàåò x , åñëè çàê àí÷èâàåò ðàáîòó , è ðàáîò àåò âðåìÿ t íà çîíå s . 24 Îïðåäåëåíèå 8.7. Ñëî æíîñòüþ Àðòóðà-Ìåðëèíà C AM t, s ( A | B ) íàçûâàåòñ ÿ äëèíà êðàò- ÷àéøåé ïðîãðàììû P , ò àê îé ÷òî âåðî ÿòíîñòü òîãî, ÷òî ϕ n ( P , B , r ) çàê àí÷èâàåò ðàáîòó õ îò ÿ áû äëÿ î äíîé âåòâè è íà âñåõ ò àêèõ âåòâÿõ âîçâðàùàåò x , áîëüøå 2/3, è ϕ n ( P , B , r ) ðàáîò àåò çà âðåìÿ t íà çîíå s äëÿ âñåõ r . Àëãîðèòìû, èñïîëüçóþùèå íåäåòåðìèíèçì è ñëó÷àéíîñòü, ó äîáíî ðàññìàòðèâàòü ê àê èãðó äâóõ èãðîê îâ: Àðòóðà è Ìåðëèíà. Àðòóð îáëàäàåò ïîëèíîìèàëüíûìè âû÷èñ- ëèòåëüíûìè ñïîñîáíîñò ÿìè, à Ìåðëèí îáëàäàåò ñïîñîáíîñò ÿìè ìàãè÷åñêèìè è ìî æ åò óã àäûâàòü ñåðòèèê àòû äëÿ ÿçûê îâ èç NP . Ïðè ýòîì è Àðòóð, è Ìåðëèí ìîãóò èñïîëü- çîâàòü ñëó÷àéíîñòü èç îáùåãî èñòî÷íèê à. Ìåðëèí ñòðåìèòñ ÿ âûíó äèòü Àðòóðà âû÷èñ- ëèòü íåâåðíî. Åñëè ñ áîëüøîé âåðî ÿòíîñòüþ ýòî ó íåãî íå ïîëó÷èòñ ÿ, òî ÿçûê ëåæèò â AM. 8.2. Äîê àçàòåëüñòâî òåîðåìû Ìó÷íèê à ïðè ïîìîùè ýê ñòðàê- òîðîâ Äëÿ äîê àçàòåëüñòâà òåîðåìû 1.1 ïðè ïîìîùè ýê ñòðàêòîðîâ íàì ïîòðåáó åòñ ÿ ñëåäó- þùàÿ ëåììà, äîê àçàííàÿ â ñò àòüå Ë. Ôîðòíîó [ 2℄. Áó äåì ðàññìàòðèâàòü ýê ñòðàêòîð ê àê äâó äîëüíûé ãðà. Ëåììà 8.4. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ýêñòð àêòîð ñ ïàð àìåòð àìè n , k , d , m , ǫ . Ïóñòü S ïîäìíîæåñòâî åãî ëåâîé äî ëè ð àçìåð à K = 2 k . Íàçîâ¸ì ¾ïëîõèìè¿ ý ëå ìåíòû ïð àâîé äî ëè, èìåþùèå áî ëüøå 2 D K / M ñîñåäåé èç S , è ý ëå ìåíòû S , âñå ñîñåäè êîòîðûõ ïëîõèå. Ò îãäà ïëîõèõ ý ëå ìåíòîâ S íå áî ëüøå ÷å ì 2 εK . Äîêàçàòå ëüñòâî. Âíà ÷àëå îöåíèì ðàçìåð ìíî æ åñòâà Y ïëî õèõ ýëåìåíòîâ ïðàâîé äîëè. Ïî îïðåäåëåíèþ ýê ñòðàêòîðà èìååì ε > | E ( S, Y ) | D K − | Y | M , ã äå E ( S, Y ) ê îëè÷åñòâî ð¸áåð, âåäóùèõ èç S â Y . Ïî âûáîðó Y èìååì E ( S, Y ) > | Y | · 2 DK M , îòêó äà ïî äñò àíîâê îé ïîëó÷à- åì | Y | < εM . Äàëåå, ïó ñòü âñå ñîñåäè ìíî æ åñòâà X ïîïàëè â ìíî æ åñòâî Y . àññìîòðèì ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà ìíî æ åñòâå S è ïðèìåíèì ê íåìó íàø ýê ñòðàêòîð. Ïî ñâîéñòâó ýê ñòðàêòîðà ìû äîëæíû ïîëó÷èòü ðàñïðåäåëåíèå, ε -áëèçê îå ê ðàâíîìåðíîìó . Èíäóöèðîâàííàÿ ýê ñòðàêòîðîì ìåðà ìíî æ åñòâà Y íå ìåíüøå | X | | S | , ïîýòîìó | X | K − | Y | M < ε, (6) îòêó äà ñ ó÷¸òîì | Y | < εM ïîëó÷àåì | X | < 2 εK , ÷òî è òðåáîâàëîñü. Äîê àæ åì òåîðåìó Ìó÷íèê à â ñëåäóþùåé îðìó ëèðîâê å: Ò åîðåìà 8.5. Ïóñòü A è B ïðîèçâî ëüíûå ñ ëîâà. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ýêñòð àêòîð ñ ïàð àìåòð àìè n = l ( A ) (ò. å. n ð àâíî äëèíå A ), k = K S ( A | B ) , d = Ω(log n ) , m = K S ( A | B ) , ǫ = 1 /n 3 . Ò îãäà íàéä¸òñÿ ñ ëîâî X äëèíû íå áî ëåå K S ( A | B ) + O (1) , äëÿ êîòîðîãî K S ( X | A ) 6 d + 2 log n + O (1) è K S ( A | B , X ) 6 d + 2 log n + O (1) . 25 Ò àêèì îáðàçîì, èñïîëüçîâàíèå îïòèìàëüíûõ ýê ñòðàêòîðîâ ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü òåî- ðåìó Ìó÷íèê à â èñ õ î äíîé îðìó ëèðîâê å, à èñïîëüçîâàíèå î äíîé èç èçâåñòíûõ ê îí- ñòðóêöèé òåîðåìó , â ê îòîðîé ïîïðàâêè O (log n ) çàìåíåíû íà p olylog( n ) , íî ê î äèðîâà- íèå îñóùåñòâëÿåòñ ÿ ïîëèíîìèàëüíûì àëãîðèòìîì. Äîêàçàòå ëüñòâî òåîðå ìû 8.5. Ïó ñòü E ýê ñòðàêòîð, ñóùåñòâîâàíèå ê îòîðîãî óòâåð- æäàåòñ ÿ â ó ñëîâèè òåîðåìû. Áó äåì ñ÷èò àòü, ÷òî âûáîð E ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñ ÿ ïà- ðàìåòðàìè n è m : ëèáî ýê ñòðàêòîð ñòðîèòñ ÿ ïî íèì ïîëèíîìèàëüíûì àëãîðèòìîì, ëèáî ïî ÿâëÿåòñ ÿ ïåðâûì â ê àê îì-íèáó äü åñòåñòâåííîì ïîð ÿäê å ïåðåáîðà. Áó äåì ðàññìàòðè- âàòü ëåâóþ äîëþ E ê àê ìíî æ åñòâî âñåõ ñëîâ äëèíû n (ñðåäè ê îòîðûõ åñòü A ), à ïðà- âóþ ê àê ìíî æ åñòâî âñåõ ñëîâ äëèíû m , ñðåäè ê îòîðûõ ìû áó äåì èñê àòü X . àññìîò- ðèì â ëåâîé äîëå ìíî æ åñòâî S B âñåõ ñëîâ P , äëÿ ê îòîðûõ K S ( P | B ) 6 m . Îíî èìååò ðàçìåð O (2 m ) , ïîýòîìó ïî ëåììå 8.4 äîëÿ ¾ïëî õèõ¿ P (ò . å. âñå ñîñåäè ê îòîðûõ èìåþò áîëüøå 2 D ñîñåäåé èç S B ) â í¸ì íå ïðåâûøàåò cε = c/n 3 äëÿ íåê îòîðîé ê îíñò àíòû c . Ïîê àæ åì, ÷òî A íå ìî æ åò áûòü ¾ïëî õèì¿. Äåéñòâèòåëüíî, ñâîéñòâî áûòü ¾ïëî õèì¿ ïåðå÷èñëèìî: ìû ìî æ åì ïåðå÷èñëÿòü ìíî æ åñòâî S B è íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðê îé ó ñò à- íàâëèâàòü, ÷òî ñëîâî ïëî õ îå äëÿ óæ å ïåðå÷èñëåííîé ÷àñòè S B . Ò àêèì îáðàçîì, åñëè áû A áûëî ïëî õèì, òî ïðè èçâåñòíîì B åãî ìî æíî áûëî áû çàäàòü ÷èñëàìè m , n è íîìåðîì â ïåðåáîðå âñåõ ïëî õèõ ñëîâ, ÷òî äàëî áû K S ( A | B ) 6 2 log n + ( m − 3 log n + O (1)) < m , î äíàê î K S ( A | B ) = m , îòêó äà èìååì ïðîòèâîðå÷èå. Çíà ÷èò , ó A åñòü õ îðîøèé ñîñåä ñïðàâà. Îáîçíà ÷èì åãî ÷åðåç X è ïîê àæ åì, ÷òî îí ó äîâëåòâîð ÿåò òðåáîâàíèÿì. Äåéñòâèòåëüíî, K S ( X | A ) 6 2 log n + d + O (1) : 2 log n áèòîâ íóæíî äëÿ çàäàíèÿ n è m , d äëÿ çàäàíèÿ íîìåðà X ñðåäè ñîñåäåé A . Àíàëîãè÷íî ïðè èçâåñòíûõ B è X äëÿ çàäàíèÿ A äîñò àòî÷íî óê àçàòü n , m è íîìåð A ñðåäè ñîñåäåé X âíóòðè S : ìû ìî æ åì ïåðå÷èñëÿòü ìíî æ åñòâî S , à çíà ÷èò , è ìíî æ åñòâî ñîñåäåé X èç S . Ñóùåñòâîâàíèå òðåáó åìîãî â òåîðåìå X ó ñò àíîâëåíî, òåì ñàìûì òåîðåìà äîê àçàíà. 8.3. Ò åîðåìà Ìó÷íèê à â ñëó÷àå íåñê îëüêèõ ó ñëîâèé Èñ õ î äíàÿ òåîðåìà Ìó÷íèê à îáîáùàåòñ ÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: Ò åîðåìà 8.6. Ïóñòü A , B è C ïðîèçâî ëüíûå ñ ëîâà ñ ëîæíîñòè íå áî ëåå n , à k > l íàòóð àëüíûå ÷èñ ëà, òàêèå ÷òî K S ( A | B ) 6 k è K S ( A | C ) 6 l . Ò îãäà íàéä¸òñÿ òàêîå ñ ëîâî X äëèíû íå áî ëåå k + O (log n ) , ÷òî K S ( X | A ) 6 O (log n ) , K S ( A | B , X ) 6 O (log n ) è K S ( A | C , X | l ) 6 O (log n ) äëÿ ïðå èêñ à X | l ñ ëîâà X äëèíû l . Èñïîëüçîâàíèå ýê ñòðàêòîðîâ ïîçâîëÿåò äîê àçàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó: Ò åîðåìà 8.7. Ïóñòü A , B è C ïðîèçâî ëüíûå ñ ëîâà ñ ëîæíîñòè íå áî ëåå n , à k > l íàòóð àëüíûå ÷èñ ëà, òàêèå ÷òî K S ( A | B ) 6 k è K S ( A | C ) 6 l . Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïðå èêñíûé ýêñòð àêòîð ñ ïàð àìåòð àìè n , k , d , m = k , ε = 1 /n 3 . Ò îãäà íàéä¸òñÿ òàêîå ñ ëîâî X äëèíû íå áî ëåå k + O (log n ) , ÷òî K S ( X | A ) 6 d + O (log n ) , K S ( A | B , X ) 6 d + O (lo g n ) è K S ( A | C , X | l ) 6 d + O (log n ) . 26 Äîêàçàòå ëüñòâî. Âíîâü áó äåì ñëåäîâàòü äîê àçàòåëüñòâó èñ õ î äíîé òåîðåìû, ïåðåâî äÿ åãî íà ÿçûê ýê ñòðàêòîðîâ. Êàê è ïðåæäå, ìî æíî ñ÷èò àòü, ÷òî äëèíà ñëîâà A ðàâíà åãî ñëî æíîñòè, òî åñòü n . Âíîâü áó äåì ðàññìàòðèâàòü ëåâóþ äîëþ ýê ñòðàêòîðà E , ñóùåñòâîâàíèå ê îòîðîãî óòâåð æäàåòñ ÿ â ó ñëîâèè, ê àê ìíî æ åñòâî âñåõ ñëîâ äëèíû n , à ïðàâóþ ê àê ìíî æ åñòâî âñåõ ñëîâ äëèíû m , ñðåäè ê îòîðûõ ìû áó äåì èñê àòü X . Íàì ïîòðåáó åòñ ÿ ó ñèëåííûé âàðèàíò ëåììû 8.4 : Ëåììà 8.8. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ýêñòð àêòîð ñ ïàð àìåòð àìè n , k , d , m , ǫ . Ïóñòü S ïîäìíîæåñòâî åãî ëåâîé äî ëè ð àçìåð à K = 2 k . Íàçîâ¸ì ¾ïëîõèìè¿ ý ëå ìåíòû ïð àâîé äî ëè, èìåþùèå áî ëüøå 2 D K / M ñîñåäåé èç S , è ý ëå ìåíòû S , ïî êð àéíåé ìåðå ïî ëîâèíà ñîñåäåé êîòîðûõ ïëîõèå. Ò îãäà ïëîõèõ ý ëå ìåíòîâ S íå áî ëüøå ÷å ì 4 εK . Äîêàçàòå ëüñòâî. Äîê àçàòåëüñòâî ïîâòîð ÿåò äîê àçàòåëüñòâî ëåììû 8.4 âïëîòü äî íåðà- âåíñòâà (6), ê îòîðîå íóæíî çàìåíèòü íà | X | 2 K − | Y | M < ε , ÷òî ñ ó÷¸òîì | Y | < εM ïîâëå÷¸ò òðåáó åìóþ îöåíêó | X | < 4 εK . Âíîâü ðàññìîòðèì ìíî æ åñòâà S B è S C ñëîâ P , èìåþùèõ ó ñëîâíóþ ñëî æíîñòü íå áîëüøå k è l îòíîñèòåëüíî B è C ñîîòâåòñòâåííî. Ïî ëåììå 8.8 äîëÿ ïëî õèõ ñëîâ â ê àæäîì èç íèõ íå ïðåâûøàåò c/n 3 , ïîýòîìó A íå ìî æ åò áûòü ïëî õèì íè äëÿ î äíîãî èç íèõ. Çíà ÷èò , äëÿ ê àæäîãî èç ñëîâ B è C ó A áîëüøå ïîëîâèíû õ îðîøèõ ñîñåäåé. Ñëåäîâàòåëüíî, õ îò ÿ áû î äèí ñîñåä áó äåò õ îðîøèì äëÿ îáîèõ. Åãî ìû è âîçüì¸ì â ê à ÷åñòâå X . Ñâîéñòâà K S ( X | A ) 6 d + O (log n ) è K S ( A | B , X ) 6 d + O (log n ) äîê àçûâà- þòñ ÿ â òî÷íîñòè ê àê ðàíüøå, ïîñëåäíåå ñâîéñòâî ñëåäó åò èç îïðåäåëåíèÿ ïðåèê ñíîãî ýê ñòðàêòîðà. Ýòó òåîðåìó ìî æíî îáîáùèòü íà ïðîèçâîëüíîå ê îëè÷åñòâî ó ñëîâèé: Ò åîðåìà 8.9. Ïóñòü A , B 1 , . . . , B p ïðîèçâî ëüíûå ñ ëîâà ñ ëîæíîñòè íå áî ëåå n , à k 1 > · · · > k p íàòóð àëüíûå ÷èñ ëà, òàêèå ÷òî K S ( A | B i ) 6 k i äëÿ i = 1 , . . . , p . Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïðå èêñíûé ýêñòð àêòîð ñ ïàð àìåòð àìè n , k , d , m = k , ε = 1 / pn 3 . Ò îãäà íàéä¸òñÿ òàêîå ñ ëîâî X äëèíû íå áî ëåå k 1 + O (lo g n ) , ÷òî K S ( X | A ) 6 d + O (lo g n ) , K S ( A | B i , X | k i ) 6 d + O (log n ) äëÿ i = 1 , . . . , p . Çàìå÷àíèå. Ïîñê îëüêó äëÿ îïòèìàëüíîãî ýê ñòðàêòîðà d = O (log ( n/ε )) , òî ìû ïîëó÷èì òî÷íîñòü O (log n ) âìåñòî d + O (lo g n ) ëèøü äëÿ ïîëèíîìèàëüíûõ p , ê àê è â èñ õ î äíîé òåîðåìå èç [6℄. 8.4. Ò åîðåìà Ìó÷íèê à äëÿ ñëî æíîñòè ñ îãðàíè÷åíèåì íà ïà- ìÿòü Íåìíîãî èçìåí¸ííàÿ ê îíñòðóêöèÿ èç òåîðåìû 8.5 ïîçâîëÿåò ðàñïðîñòðàíèòü óòâåð- æäåíèå òåîðåìû Ìó÷íèê à íà ê îëìîãîðîâñêóþ ñëî æíîñòü ñ ïîëèíîìèàëüíûì îãðàíè÷å- íèåì íà ïàìÿòü. 27 Ò åîðåìà 8.10. Ïóñòü A è B ïðîèçâî ëüíûå ñ ëîâà äëèíû íå áî ëåå n , à p ïðî- èçâî ëüíîå ÷èñ ëî. Ïóñòü äëÿ âñåõ k 6 C ∞ , p ( A | B ) ñóùåñòâóåò ýêñòð àêòîð E k , âû- ÷èñ ëèìûé íà çîíå p oly ( n ) , ñ ïàð àìåòð àìè n , k , d , m = k , ε = 1 / n 3 . Ò îãäà íàéä¸ò- ñÿ ñ ëîâî X äëèíû íå áî ëåå C ∞ , p ( A | B ) , òàêîå ÷òî C ∞ , poly ( n ) ( X | A ) 6 d + O (lo g n ) è C ∞ , 2 p +p oly(log p, n ) ( A | B , X ) 6 d + O (log n ) . Ïîïûòê à íàïð ÿìóþ ðàñïðîñòðàíèòü äîê àçàòåëüñòâî òåîðåìû Ìó÷íèê à íà ñëî æíîñòü ñ îãðàíè÷åíèåì íà ïàìÿòü íàò àëêèâàåòñ ÿ íà òðó äíîñòü: äëÿ íàõ î æäåíèÿ ïëî õèõ ñëîâ äëÿ ìíî æ åñòâà S B = { P | C ∞ , p ( P | B ) 6 C ∞ , p ( A | B ) } òðåáó åòñ ÿ çîíà, áîëüøàÿ p . À òîã äà ìû íå ñìî æ åì äîê àçàòü, ÷òî A õ îðîøåå: óòâåð æäåíèÿ C ∞ , p ( A | B ) } = k è C ∞ , p ′ ( A | B ) } < k íåïðîòèâîðå÷èâû ïðè p ′ > p . Îäíàê î, ýòó òðó äíîñòü ìî æíî îáîéòè: äëÿ õ îðîøèõ A ïîñòðîèì õ åø-çíà ÷åíèå ñò àðûì ñïîñîáîì, à äëÿ ïëî õèõ ðàññìîòðèì íîâûé ýê ñòðàêòîð ñ ìåíüøåé ïðàâîé äîëåé, è â í¸ì ñ äåëàåì (ðåêóðñèâíî) òî æ å ñàìîå. Ò àêèì îáðàçîì ïî- ëó÷èòñ ÿ èòåðàòèâíûé ïðîöåññ, íà ïîñëåäíåì øàãå ê îòîðîãî âñå ñëîâà áó äóò õ îðîøèìè. Îïèøåì ýòó ê îíñòðóêöèþ îðìàëüíî. Îïðåäåëåíèå 8.8. Áó äåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíî æ åñòâî S ïåðå÷èñëèìî íà çîíå p , åñëè ñó- ùåñòâó åò àëãîðèòì, ê îòîðûé ïî ëþáîìó ÷èñëó z 6 | S | íàõ î äèò z -ûé ýëåìåíò S , ïðè ò àê îì âõ î äå çàê àí÷èâàåò ðàáîòó íà çîíå p , à ïðè èíîì âõ î äå ðàáîò àåò íà áîëüøåé çîíå èëè îñò àíàâëèâàåòñ ÿ áåç âîçâðàùåíèÿ ðåçó ëü ò àò à. Î÷åâèäíî, ýòî ýêâèâàëåíòíî ñëåäó- þùåìó: íåê îòîðûé àëãîðèòì, ðàáîò àÿ íà çîíå p , ïå÷àò àåò âñå ñëîâà èç S íà âûõ î äíîé ëåíòå è îñò àíàâëèâàåòñ ÿ, èëè âûõ î äèò çà ïðåäåëû çîíû p , ïðè ýòîì çàíÿò àÿ íà âûõ î äíîé ëåíòå çîíà íå ñ÷èò àåòñ ÿ. Ëåììà 8.11. Ïóñòü ìíîæåñòâî S , ñîäåðæàùååñÿ â ëåâîé äî ëå ýêñòð àêòîð à E k , ïå- ðå÷èñ ëèìî íà çîíå p . Ò îãäà ìíîæåñòâî B ad ( S ) ïëîõèõ äëÿ S ñ ëîâ ïåðå÷èñ ëèìî íà çîíå p + 2 log p + p o ly( n ) . Äîêàçàòå ëüñòâî. Âíà ÷àëå ïîê àæ åì, ê àê ìî æíî ïåðå÷èñëèòü B ad ( S ) íà çîíå p + log p + p oly ( n ) , åñëè p èçâåñòíî. Çàïó ñê àÿ àëãîðèòì, ïåðå÷èñëÿþùèé S , è îãðàíè÷èâàÿ çîíó åãî ðàáîòû ÷èñëîì p , ìû áó äåì ïîëó÷àòü ñëîâà P ∈ S . Ïîëó÷èâ î÷åðåäíîå ñëîâî, ïðîâåðèì, ÿâëÿåòñ ÿ ëè îíî ïëî õèì, è åñëè ÿâëÿåòñ ÿ, òî íàïå÷àò àåì íà âûõ î äíîé ëåíòå. Ïîê àæ åì, ê àê îñóùåñòâèòü ò àêóþ ïðîâåðêó . Áó äåì ïîñëåäîâàòåëüíî âû÷èñëÿòü âñåõ ñîñåäåé ñëîâà P è ïðîâåð ÿòü, ÿâëÿþòñ ÿ ëè îíè ïëî õèìè. Åñëè âñå ÿâëÿþòñ ÿ, çíà ÷èò P ïëî õ îå, èíà ÷å õ îðîøåå. Ïîê àæ åì, ê àê ïðîâåðèòü, ÿâëÿåòñ ÿ ëè ñëîâî X èç ïðàâîé ÷àñòè ïëî õèì. Ñíîâà áó äåì çàïó ñê àòü àëãîðèòì, ïåðå÷èñëÿþùèé S , îãðàíè÷èâàÿ çîíó åãî ðàáîòû ÷èñëîì p . Ó ê àæäîãî âíîâü ïîëó÷åííîãî ñëîâà áó äåì âû÷èñëÿòü âñåõ ñîñåäåé è ñ÷èò àòü, ñê îëüê î èç íèõ ñîâïàäàþò ñ X . Åñëè îáùåå ÷èñëî ñîâïàäåíèé ïðåâûñèëî 2 D , çíà ÷èò X ïëî õ îå. Èíà ÷å, ò . å. åñëè àëãîðèòì, ïåðå÷èñëÿþùèé S , îñò àíîâèëñ ÿ èëè ïîïûò àëñ ÿ âûéòè çà ïðåäåëû çîíû, à ÷èñëî ñîâïàäåíèé íå ïðåâûñèëî 2 D , X õ îðîøåå. Ïîñ÷èò àåì èñïîëüçîâàííóþ çîíó . Çàìåòèì, ÷òî â ïðîöåññå âû÷èñëåíèÿ, çàíèìàþùåãî çîíó p , íàì íå íóæíî îáðàùàòüñ ÿ ê äðóãîìó âû÷èñëåíèþ, çàíèìàþùåìó ò àêóþ æ å çîíó . Çíà ÷èò , âñå ò àêèå âû÷èñëåíèÿ ìû ìî æ åì ïðîâî äèòü íà î äíîé è òîé æ å çîíå p + log p , ã äå log p íóæíî äëÿ ê îíòðîëÿ íåâûõ î äà çà çîíó p . Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñîñåäåé ñëîâà èç 28 ëåâîé äîëè äîñò àòî÷íî çîíû p oly ( n ) , äëÿ îñò àëüíûõ âû÷èñëåíèé (ïåðåáîðîâ è õðàíåíèÿ ïðîìåæóòî÷íûõ ðåçó ëü ò àòîâ) äîñò àòî÷íî çîíû O ( n ) .  îáùåé ñëî æíîñòè ïîëó÷àåì çîíó p + log p + p oly( n ) . Ò åïåðü ïîê àæ åì, ê àê ñ äåëàòü òî æ å ñàìîå, íå çíàÿ çàðàíåå p , íà çîíå p + 2 log p + p oly ( n ) . Îáîçíà ÷èì ÷åðåç S q ìíî æ åñòâî, ê îòîðîå ïåðå÷èñëÿåò àëãîðèòì, ïåðå÷èñëÿþ- ùèé S , ñ îãðàíè÷åíèåì q íà çîíó åãî ðàáîòû. Î÷åâèäíî, äëÿ q < q ′ âåðíî S q ⊂ S q ′ è B ad ( S q ) ⊂ B ad ( S q ′ ) . Âîñïîëüçó åìñ ÿ ýòèì àêòîì: áó äåì ïîñëåäîâàòåëüíî çàïó ñê àòü ïðåäûäóùèé àëãîðèòì äëÿ q = 1 , 2 , 3 , . . . . Åñëè íà ýò àïå ñ îãðàíè÷åíèåì q ïîëó÷åíî, ÷òî ñëîâî P ïëî õ îå, ïðîâåðèì, ÿâëÿëîñü ëè îíî ïëî õèì íà ïðåäûäóùåì ýò àïå (ñ îãðàíè- ÷åíèåì q − 1 ), è åñëè íå ÿâëÿëîñü, òî íàïå÷àò àåì åãî íà âûõ î äíîé ëåíòå. Ò àêèì îáðàçîì, ïëî õèå äëÿ S ñëîâà áó äóò ïå÷àò àòüñ ÿ â äðóãîì ïîð ÿäê å, íî ê àæäîå ïî î äíîìó ðàçó . àíî èëè ïîçäíî àëãîðèòì äîéä¸ò äî q = p , è âñå ïëî õèå äëÿ S ñëîâà ê ýòîìó âðåìåíè áó äóò ïåðå÷èñëåíû. Ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäûäóùèì àëãîðèòìîì, ïîòðåáó åòñ ÿ äîïîëíèòåëüíàÿ çîíà log p äëÿ îðã àíèçàöèè ïåðåáîðà âñåõ q , è O ( n ) äëÿ õðàíåíèÿ ïðîìåæóòî÷íûõ ðå- çó ëü ò àòîâ âî âðåìÿ ïðîâåðêè, ÿâëÿëîñü ëè ïîëó÷åííîå ñëîâî ïëî õèì íà ïðåäûäóùåì ýò àïå. Ò àêèì îáðàçîì, îáùàÿ çîíà ñîñò àâèò p + 2 log p + p oly( n ) , ÷òî è òðåáîâàëîñü. Ëåììà 8.12. Èíîæåñòâî S B = { P | C ∞ , p ( P | B ) 6 k } , ëåæàùåå â ëåâîé äî ëå ýêñòð àê- òîð à E k , ïåðå÷èñ ëèìî íà çîíå 2 p + 2 log p + O ( n ) . Äîêàçàòå ëüñòâî. Êàê è â ïðåäûäóùåé ëåììå, ïðåäïîëî æèì âíà ÷àëå, ÷òî ïåðå÷èñëÿ- þùåìó àëãîðèòìó èçâåñòíî p . Áó äåì ïåðåáèðàòü âñå îïèñàíèÿ äëèíû k è çàïó ñê àòü íà íèõ îïòèìàëüíûé ñïîñîá îïèñàíèÿ ψ ñ îãðàíè÷åíèåì íà çîíó p . Îäíîâðåìåííî áó äåì ñ÷èò àòü ê îëè÷åñòâî øàãîâ àëãîðèòìà ψ è ïðèíó äèòåëüíî îñò àíàâëèâàòü åãî ðàáîòó , åñ- ëè ýòî ê îëè÷åñòâî ïðåâûñèò 2 p (ýòî çíà ÷èò , ÷òî ψ çàöèêëèëñ ÿ). Åñëè ψ çàê àí÷èâàåò ðàáîòó , òî ðåçó ëü ò àò åãî ðàáîòû ëåæèò â S B , è ìû ìî æ åì âêëþ÷èòü åãî â ïåðå÷èñëå- íèå. Îïèñàííûé àëãîðèòì òðåáó åò çîíû p + log p äëÿ ìî äåëèðîâàíèÿ ðàáîòû ψ , çîíû p äëÿ ê îíòðîëÿ çàöèêëèâàíèÿ è çîíû O ( n ) äëÿ ïåðåáîðà è õðàíåíèÿ ïðîìåæóòî÷íûõ ðåçó ëü ò àòîâ, âñåãî 2 p + log p + O ( n ) . Ïðè íåèçâåñòíîì çàðàíåå p ïðèìåíèì òîò æ å ïðè¸ì, ÷òî è â ïðåäûäóùåé ëåììå: áó äåì çàïó ñê àòü îïèñàííûé àëãîðèòì äëÿ îãðàíè÷åíèé íà çîíó q = 1 , 2 , 3 . . . è ïå÷àò àòü ñëîâà èç S B , ê àê òîëüê î îíè ïîëó÷åíû âïåðâûå. Ñëåäñòâèå 8.13. Ïî ëîæèì S 0 B = S B è S i B = B ad ( S i − 1 B ) ïðè i 6 1 . Ò îãäà ïðè âñåõ i ìíîæåñòâî S i B ïåðå÷èñ ëèìî íà çîíå 2 p + p oly( lo g p, n ) . Äîêàçàòå ëüñòâî. Ïîñê îëüêó íà ê àæäîì ýò àïå S i B óìåíüøàåòñ ÿ õ îò ÿ áû â n 3 / 2 ðàç, òî ïðè i > k / 2 log n âñå S i B ïó ñòû è, ñëåäîâàòåëüíî, ïåðå÷èñëèìû. Äëÿ ìåíüøèõ i óòâåð- æäåíèå âûïîëíåíî ïî èíäóêöèè â ñèëó ïðåäûäóùèõ äâóõ ëåìì. Ò åïåðü äîê àæ åì ñàìó òåîðåìó . Äîêàçàòå ëüñòâî òåîðå ìû 8.10 . Ïó ñòü A õ îðîøåå, ò . å. A ∈ S B \ B ad ( S B ) . Ò îã äà ó A åñòü õ îðîøèé ñîñåä ñïðàâà, ê îòîðûé ìû è âîçüì¸ì â ê à ÷åñòâå X . Åñëè A ïëî õ îå, òî ïîñòðîèì íîâûé ýê ñòðàêòîð E k äëÿ k = C ∞ , p ( A | B ) − 2 log n . Åñëè A õ îðîøåå â íîâîì 29 ýê ñòðàêòîðå äëÿ ìíî æ åñòâà S 1 B = B ad ( S B ) , òî ó íåãî åñòü õ îðîøèé ñîñåä, âîçüì¸ì åãî â ê à ÷åñòâå X , èíà ÷å ïðèìåíèì òó æ å ïðîöåäóðó åù¸ ðàç, è ò àê äàëåå, ïîê à íå ïðèä¸ì ê ñëó÷àþ k < 2 log n , ê îã äà ïëî õèõ íå îñò àíåòñ ÿ. Ïðîâåðèì, ÷òî ó ñëîâèÿ òåîðåìû âûïîëíåíû. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ X ïðè èçâåñòíîì A äîñò àòî÷íî çíàòü íîìåð ýò àïà, íà ê îòîðîì A áó äåò õ îðîøèì, n , k , è íîìåð X ñðåäè ñîñåäåé A â ýê ñòðàêòîðå íà ýòîì ýò àïå, âñåãî d + O (log n ) áèòîâ. Ïîñê îëüêó ýê ñòðàêòîð âû÷èñëèì íà ïîëèíîìèàëüíîé çîíå, X ò àêæ å ïîëó÷àåòñ ÿ íà ïîëèíîìèàëüíîé çîíå. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ A ïðè èçâåñòíûõ B è X äîñò àòî÷íî çíàòü íîìåð ýò àïà i , n , k , è íîìåð A ñðåäè ñîñåäåé X â ìíî æ åñòâå S i B , âñåãî d + O (log n ) áèòîâ. Ïîñê îëüêó S i B ïåðå÷èñëèìî íà çîíå 2 p + p oly( lo g p, n ) , òî è ìíî æ åñòâî ëåæ àùèõ â í¸ì ñîñåäåé X ïåðå÷èñëèìî, ïðè÷¸ì íà ò àê îé æ å çîíå: óâåëè÷åíèå ñîñò àâèò p oly ( n ) çà ñ÷¸ò íåîá õ î äèìîñòè âû÷èñëÿòü ýê ñòðàêòîð è õðàíèòü ïðîìåæóòî÷íûå ðåçó ëü ò àòû. Ò àêèì îáðàçîì, C ∞ , poly ( n ) ( X | A ) 6 d + O (lo g n ) è C ∞ , 2 p +p oly(log p, n ) ( A | B , X ) 6 d + O (log n ) , ÷òî è òðåáîâàëîñü. 8.5. Ò åîðåìà Ìó÷íèê à äëÿ ñëî æíîñòè ñ îãðàíè÷åíèåì íà âðåìÿ Ïîïûòê à ðàñïðîñòðàíèòü äîê àçàòåëüñòâî òåîðåìû Ìó÷íèê à íà ñëî æíîñòü ñ ïîëèíî- ìèàëüíûì îãðàíè÷åíèåì íà âðåìÿ íàò àëêèâàåòñ ÿ íà ñåðü ¸çíûå òðó äíîñòè: ñîâåðøåííî íåïîíÿòíî, ê àê ìî æíî íàõ î äèòü ïëî õèå ñëîâà çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ. Îäíàê î, äðóã àÿ òåõíèê à, îïèñàííàÿ â ñò àòüå [3℄, ïîçâîëÿåò äîê àçàòü ò àêóþ òåîðåìó: Ò åîðåìà 8.14. Äëÿ âñÿêîãî ïî ëèíî ìà p íàéä¸òñÿ ïî ëèíî ì q , òàêîé ÷òî äëÿ ïðîèç- âî ëüíûõ ñ ëîâ A è B äëèíû íå áî ëåå n , òàêèõ ÷òî C p ( A | B ) 6 k , íàéä¸òñÿ ñ ëîâî X äëè- íû íå áî ëåå k + O (log 3 n ) , òàêîå ÷òî C q ( X | A ) 6 O (log 3 n ) è C AM q ( A | B , X ) 6 O (log n ) . Äîêàçàòå ëüñòâî. Äîê àçàòåëüñòâî îïèðàåòñ ÿ íå íà ïðîèçâîëüíûé ýê ñòðàêòîð, à íà ê îí- ñòðóêöèþ Òðåâèñàíà è â öåëîì ñëåäó åò äîê àçàòåëüñòâó òåîðåìû 3 ðàáîòû [ 3℄. Ïî ëåììå 6.1 ñóùåñòâó åò ñëàáûé ( l , 1 )- äèçàéí äëÿ d = O ( l 2 log m ) = O (lo g 3 n ) . àñ- ñìîòðèì óíêöèþ Òðåâèñàíà T R δ, 1 : { 0 , 1 } m × { 0 , 1 } d → { 0 , 1 } m äëÿ ò àê îãî äèçàéíà, m = k + d + 1 3 è δ = 1 / 8 m . Î÷åâèäíî, îáðàç ìíî æ åñòâà S B = { u ∈ { 0 , 1 } n | C p ( u | B ) 6 k } çàíèìàåò íå áîëüøå ïîëîâèíû { 0 , 1 } m . Îáîçíà ÷èì ÷åðåç B ïðåäèê àò ¾áûòü â îáðàçå S B ¿. Î÷åâèäíî, äëÿ ëþáîãî u ∈ S B èìååì Pr [ B ( T R δ, 1 ( u, U d )) = 1] − Pr [ B ( U m ) = 1] > 1 / 2 , ïîñê îëüêó ïåðâàÿ âåðî ÿòíîñòü ðàâíà 1 , à âòîðàÿ íå áîëüøå 1 / 2 . àñïèøåì ýòî áîëåå ïî äðîáíî, îáîçíà ÷èâ ÷åðåç ˆ u îáðàç u ïî ä äåéñòâèåì ê î äà, èñïðàâëÿþùåãî îøèáêè: Pr y [ B ( ˆ u ( y | S 1 ) ˆ u ( y | S 2 ) . . . ˆ u ( y | S m )) = 1] − Pr r 1 ,...,r m [ B ( r 1 r 2 . . . r m ) = 1] > 1 / 2 , ã äå S 1 , . . . , S m èñïîëüçó åìûé äèçàéí. Î÷åâèäíî, äëÿ íåê îòîðîãî i áó äåò âûïîëíåíî Pr y , r i +1 ,...,r m B ( ˆ u ( y | S 1 ) . . . ˆ u ( y | S i − 1 ) ˆ u ( y | S i ) r i +1 . . . r m ) = 1 − − Pr y , b, r i +1 ,...,r m B ( ˆ u ( y | S 1 ) . . . ˆ u ( y | S i − 1 ) br i +1 . . . r m ) = 1 > 1 / 2 m. 3 Ôàêòè÷åñêè ýòî óðàâíåíèå íà m , èìåþùåå ðåøåíèå m = k + O (log 3 n ) . 30 Áîëåå òîãî, ìû ìî æ åì èê ñèðîâàòü íåê îòîðûì îáðàçîì áèòû y âíå S i , ÷òîáû ñî õðàíèòü ýòî ñîîòíîøåíèå. Îáîçíà ÷èì y | S i ÷åðåç x , òîã äà âñå ˆ u ( y | S j ) çàâèñ ÿò òîëüê î îò | S j ∩ S i | îáùèõ ñ x áèòîâ. Ò àêèì îáðàçîì, ˆ u ( y | S j ) åñòü íåê îòîðàÿ óíêöèÿ ˆ u j ( x ) , îïðåäåëÿåìàÿ 2 | S j ∩ S i | áèò àìè. Âñå óíêöèè ˆ u 1 ( x ) , . . . , ˆ u i − 1 ( x ) ìî æíî çàäàòü P j 1 / 2 m. (7) Îáîçíà ÷èì ˆ u 1 ( x ) . . . ˆ u i − 1 ( x ) br ÷åðåç F ( x, b, r ) . Ïîëî æèì g b ( x, r ) ðàâíûì b , åñëè B ( F ( x, b, r )) = 1 , è ðàâíûì 1 − b â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ïîê àæ åì, ÷òî Pr x, b, r [ ˆ u ( x ) = g b ( x, r )] > 1 / 2 + 1 / 2 m : Pr x, b, r [ ˆ u ( x ) = g b ( x, r )] = Pr x, b, r [ g b ( x, r ) = ˆ u ( x ) | b = ˆ u ( x )] Pr x, b, r [ b = ˆ u ( x )] + + P r x, b, r [ g b ( x, r ) = ˆ u ( x ) | b 6 = ˆ u ( x )] Pr x, b, r [ b 6 = ˆ u ( x )] = = 1 2 Pr x, b, r [ B ( F ( x, b, r )) = 1 | b = ˆ u ( x )] + 1 2 Pr x, b, r [ B ( F ( x, b, r )) = 0 | b 6 = ˆ u ( x )] = = 1 2 + 1 2 (Pr x, b, r [ B ( F ( x, b, r )) = 1 | b = ˆ u ( x )] − Pr x, b, r [ B ( F ( x, b, r )) = 1 | b 6 = ˆ u ( x )]) = = 1 2 + 1 2 (Pr x, r [ B ( F ( x, ˆ u ( x ) , r )) = 1] − Pr x, r [ B ( F ( x, 1 − ˆ u ( x ))) = 1]) = = 1 2 + P r x, b, r [ B ( F ( x, ˆ u ( x ) , r )) = 1] − Pr x, b, r [ B ( F ( x, b, r )) = 1] > 1 2 + 1 2 m . Ìî æíî ïîëî æèòü b ðàâíûì íåê îòîðîìó b 1 ∈ { 0 , 1 } ò àêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñî õðàíèòü ýòî ñîîòíîøåíèå. Áèò b 1 ìî æíî âêëþ÷èòü â îïèñàíèå u ïðè èçâåñòíûõ B è X . Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìî æíî ñ÷èò àòü, ÷òî b 1 = 1 , ïîýòîìó ìû îïó ñòèì ýòîò èíäåê ñ â äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèÿõ. Ïîê àæ åì, ê àê ìî æíî (ïðèáëèçèòåëüíî) âû÷èñëèòü g ( x, r ) ïðîòîê îëîì Àðòóðà-Ìåðëèíà. Åñëè áû ìû çíàëè, ê àê ìî æíî èê ñèðîâàòü áèòû r , ÷òîáû ñî õðàíèòü ñîîòíîøåíèå Pr x [ ˆ u ( x ) = g ( x, r )] > 1 2 + 1 2 m , òî ìû ìîã ëè áû íàéòè ˆ u íåäåòåðìèíèðîâàííûì ïðîòîê îëîì áåç âñ ÿê îé ñëó÷àéíîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, ìû ìî æ åì âû÷èñëèòü g ( x, r ) íåäåòåðìèíèðî- âàííûì ïðîòîê îëîì è ïîëó÷èòü äëÿ âñåõ x ñòðî÷êó ˆ v , ñîâïàäàþùóþ ñ ˆ u íå ìåíüøå ÷åì íà äîëå 1 2 + 1 2 m îò âñåõ áèòîâ. Íåäåòåðìèíèðîâàííîñòü íóæíà, ÷òîáû âû÷èñëÿòü B : â ê à ÷åñòâå ñåðòèèê àò à òîãî, ÷òî B ( Y ) = 1 , ìî æíî ïðåäúÿâèòü îïèñàíèå ïðîîáðàçà, ëå- æ àùåãî â S B , è íîìåð ðåáðà, âåäóùåãî èç ýòîãî ïðîîáðàçà â Y . Ïîñê îëüêó çàïðîñû ê B íåàäàïòèâíûå, ìû ìî æ åì â ñàìîì íà ÷àëå óê àçàòü ÷èñëî a ïîëî æèòåëüíûõ îòâåòîâ íà çàïðîñû, òîã äà íàõ î æäåíèå a ïîëî æèòåëüíûõ îòâåòîâ ã àðàíòèðó åò , ÷òî âñå îñò àëüíûå 31 îòðèöàòåëüíûå. Ê ñî æ àëåíèþ, ìû íå çíàåì, ê àê èê ñèðîâàòü r , è ïîòîìó áó äåì âûáè- ðàòü èõ ñëó÷àéíûìè. Ïîê àæ åì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ìî æíî âîñïîëüçîâàòüñ ÿ àíàëîãè÷íûì ðàññóæäåíèåì. Ñê àæ åì, ÷òî r äà ¸ò α - ïðèáëèæ åíèå ê ˆ u , åñëè Pr x [ g ( x, r ) = ˆ u ( x )] > α . Áó äåì îòî æ- äåñòâëÿòü g ( x, r ) ñî ñòðîê îé z r , â ê îòîðîé áèò íîìåð x ðàâåí b 1 = 1 òîã äà è òîëüê î òîã äà, ê îã äà g ( x, r ) = 1 . Êîëè÷åñòâî åäèíèö â ñòðîê å z r (ò . å. å¸ âåñ, w ( z r ) ) ñîâïàäàåò ñ ê îëè÷åñòâîì ñëîâ x , äëÿ ê îòîðûõ B ( ˆ u 1 ( x ) . . . ˆ u i − 1 ( x )1 r ) = 1 . Íà ÷í¸ì îïèñûâàòü ïðîòîê îë: âíà ÷àëå Àðòóð âûáèðàåò ñëó÷àéíûå ñòðîêè r 1 , . . . , r s äëèíû m − i äëÿ íåê îòîðîãî ïîëèíîìà s = s ( n ) . Âêëþ÷èì â îïèñàíèå ñðåäíåå ÷èñëî ¯ a = 2 m − i P x, r g ( x, r ) ïîëî æèòåëüíûõ çíà ÷åíèé B ñðåäè âñåõ r . Áó äåì òðåáîâàòü, ÷òîáû ðåàëüíîå ÷èñëî ïîëî æèòåëüíûõ çíà ÷åíèé B áûëî áëèçê î ê åãî î æèäàíèþ s ¯ a . Ïîê àæ åì, ÷òî âåðî ÿòíîñòü ýòîãî âåëèê à. Óòâåð æäåíèå 8.15. Äëÿ ëþáîãî γ = γ ( ¯ n , m ) > 0 íàéä¸òñÿ s = O ( ¯ n 2 /γ 2 ) , òàêîé ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíüøå 3 / 4 (ïî âûáîðó r 1 , . . . , r s ) âûïî ëíåíû äâà óñ ëîâèÿ: 1. Äî ëÿ 1 / 8 m îò r 1 , . . . , r s äà¸ò ( 1 2 + 1 4 m ) - ïðèá ëèæåíèå ê ˆ u . 2. Îáùåå ÷èñ ëî ïî ëîæèòå ëüíûõ çíà÷åíèé B íà ñòðîêàõ r 1 , . . . , r s ëåæèò â ïðåäå ëàõ γ s îò îæèäàíèÿ: s X j =1 w ( z j ) − s ¯ a 6 γ s. Äîêàçàòå ëüñòâî. Îöåíèì ñâåð õó âåðî ÿòíîñòü òîãî, ÷òî î äíî èç ýòèõ ó ñëîâèé íå âûïîë- íÿåòñ ÿ. Çàìåòèì, ÷òî åñëè äëÿ íåê îòîðîãî r Pr x, b [ B ( F ( x, ˆ u ( x ) , r )) = 1] − Pr x, b [ B ( F ( x, b, r )) = 1] > 1 4 m , òî r äà ¸ò 1 2 + 1 4 m -ïðèáëèæ åíèå ê ˆ u . Íàçîâ¸ì r ïëî õèì, åñëè îíî íå äà ¸ò ( 1 2 + 1 4 m ) - ïðè- áëèæ åíèÿ ê ˆ u . Èç óðàâíåíèÿ (7 ) è íåðàâåíñòâà Ìàðê îâà ñëåäó åò , ÷òî Pr r [ r ïëî õ îå ] 6 1 − 1 / 2 m 1 − 1 / 4 m < 1 − 1 4 m . Ñîã ëàñíî íåðàâåíñòâó ×åðíîâà, äëÿ íåê îòîðîé ê îíñò àíòû c 1 > 0 âûïîëíåíî Pr r 1 ,...,r s ïëî õèõ áîëüøå, ÷åì (1 − 1 8 m ) s 6 exp( − c 1 s/m 2 ) . Äëÿ âòîðîãî ó ñëîâèÿ, ò àêæ å ïî íåðàâåíñòâó ×åðíîâà ïîëó÷àåì äëÿ íåê îòîðîé ê îíñò àí- òû c 2 Pr " 1 s s X j =1 w ( z j ) − ¯ a > γ # 6 2 exp( − c 2 γ 2 s/ ¯ n 2 ) . Âçÿâ s = c 3 ¯ n 2 /γ 2 äëÿ äîñò àòî÷íî áîëüøîé ê îíñò àíòû c 3 , ïîëó÷àåì âåð õíþþ îöåíêó 1 / 8 â ê àæäîì ñëó÷àå, îòêó äà ñëåäó åò èñ õ î äíîå óòâåð æäåíèå. 32 Ïîñëå âûáîðà ñëîâ r 1 , . . . , r s Àðòóð ïðîñèò ó Ìåðëèíà s ¯ a − sγ ñåðòèèê àòîâ ïðè- íàäëåæíîñòè ðàçëè÷íûõ ñëîâ ê B è ïðîâåð ÿåò èõ. Åñëè õ îòü î äèí èç íèõ ëî æíûé, òî âû÷èñëåíèÿ çàê àí÷èâàþòñ ÿ áåç âîçâðàùåíèÿ îòâåò à. Èíà ÷å Àðòóð âû÷èñëÿåò ñòðî- êè z ′ r 1 , . . . , z ′ r s , ã äå x -ûé áèò ñòðîêè z ′ r j ðàâåí 1 òîã äà è òîëüê î òîã äà, ê îã äà Ìåðëèí ïðåäîñò àâèë ñåðòèèê àò òîãî, ÷òî B ( F ( x, 1 , r j )) = 1 . Ïîê àæ åì, ÷òî ñ âûñîê îé âåðî ÿò- íîñòüþ âíå çàâèñèìîñòè îò ïðåäîñò àâëåííûõ Ìåðëèíîì ñåðòèèê àòîâ äîëÿ 1 16 m ñòðîê z ′ r 1 , . . . , z ′ r s äà ¸ò 1 2 + 1 8 m - ïðèáëèæ åíèå ê ˆ u . Óòâåð æäåíèå 8.16. Åñ ëè r 1 , . . . , r s óäîâëåòâîðÿþò óñ ëîâèÿì ïðåäûäóùåãî óòâåðæäå- íèÿ äëÿ γ = ¯ n/ 256 m 2 , òî âíå çàâèñèìîñòè îò ïðåäîñòàâëåííûõ Ìåð ëèíî ì ñåðòèè- êàòîâ äî ëÿ 1 16 m ñòðîê z ′ r 1 , . . . , z ′ r s äà¸ò 1 2 + 1 8 m -ïðèá ëèæåíèå ê ˆ u . Äîêàçàòå ëüñòâî. Ïî ïðåäïîëî æ åíèþ, ÷èñëî ïîëî æèòåëüíûõ çíà ÷åíèé B äëÿ r 1 , . . . , r s ëåæèò ìåæäó s ¯ a − sγ è s ¯ a + sγ , ïðè ýòîì s ¯ a − sγ èç íèõ èçâåñòíû Àðòóðó . Ïîñê îëüêó Àðòóð ïðîâåðèë ïåðåäàííûå ñåðòèèê àòû, òî â òåõ ïîçèöèÿõ, ã äå â z ′ r j ñòîèò 1 , â z r j òî æ å ñòîèò 1 . Îáùåå ê îëè÷åñòâî ðàçëè÷èé z ′ r j îò z r j íå ïðåâîñ õ î äèò 2 sγ , ïîýòîìó ÷èñëî ò àêèõ r j , ã äå ñòðîêè ðàçëè÷àþòñ ÿ â t áèò àõ, íå áîëüøå 2 sγ /t . Ïî ïðåäïîëî æ åíèþ, äîëÿ 1 / 8 m ñòðîê z r j äà ¸ò 1 2 + 1 4 m - ïðèáëèæ åíèå ê ˆ u . Ïîëî æèâ t = ¯ n/ 8 m è γ = ¯ n/ 256 m 2 , ïîëó÷èì, ÷òî ïî êðàéíåé ìåðå äîëÿ 1 8 m − 2 γ t = 1 16 m ñòðîê z ′ r j ñîâïàäàþò ñ ˆ u íå ìåíüøå ÷åì íà äîëå 1 2 + 1 4 m − 1 8 m áèòîâ. Ñîåäèíèâ ýòè óòâåð æäåíèÿ äëÿ äîñò àòî÷íî áîëüøîãî ïîëèíîìà s , íàïðèìåð, s = ω ( m 4 ) , ïîëó÷àåì, ÷òî ñ âåðî ÿòíîñòüþ ïî êðàéíåé ìåðå 3 / 4 ïî ìåíüøåé ìåðå äîëÿ 1 16 m ñòðîê r 1 , . . . , r s äà ¸ò 1 2 + 1 8 m -ïðèáëèæ åíèå ê ˆ u . Âñ ÿê îå ê îíêðåòíîå r j äà ¸ò 1 2 + 1 8 m -ïðè- áëèæ åíèå ëèøü äëÿ òåõ ê î äîâûõ ñëîâ, ê îòîðûå ñîâïàäàþò ñ z r j ïî êðàéíåé ìåðå íà äîëå 1 2 + 1 8 m ïîçèöèé. Ïî ñâîéñòâó ê î äà ò àêèõ ñëîâ íå áîëüøå íåê îòîðîãî ïîëèíîìà q ( m ) . Íàçîâ¸ì ˆ v ê àíäèäàòîì ( ˆ v ∈ C and ), åñëè íå ìåíüøå äîëè 1 / 32 m îò âñåõ r ∈ { 0 , 1 } m − i äàþò 1 2 + 1 8 m - ïðèáëèæ åíèå äëÿ ˆ v . Âñåãî ê àíäèäàòîâ íå áîëüøå, ÷åì 32 mq , ïîñê îëü- êó ÷èñëî ð¸áåð, ñîåäèíÿþùèõ ê àíäèäàòû è r j , íå áîëüøå 2 m − i q è íå ìåíüøå | C and | · 2 m − i / 32 m . Ïî òåîðåìå 8.3 ñóùåñòâó åò ïðîãðàììà p 1 äëèíû íå áîëüøå 2 log(32 mq ) = O (log n ) , ïðèíèìàþùàÿ ˆ u è îòâåðã àþùàÿ âñå îñò àëüíûå ê àíäèäàòû ˆ v . Ïîñòðîèì ñïèñîê âñåõ ê î äîâûõ ñëîâ ˆ v , ñîâïàäàþùèõ ñ î äíèì èç z ′ r 1 , . . . , z ′ r s õ îò ÿ áû íà äîëå 1 2 + 1 8 m îò âñåõ ïîçèöèé. Çàòåì ó äàëèì âñå ñëîâà, âñòðåòèâøèåñ ÿ ìåíüøå s/ 16 m ðàç. Ñ âåðî ÿòíîñòüþ, ïðåâîñ õ î äÿùåé 2 / 3 , ˆ u îñò àëîñü â ñïèñê å, è âñå îñò àâøèåñ ÿ â ñïèñê å ñëîâà ÿâëÿþòñ ÿ ê àíäèäàò àìè.  ò àê îì ñëó÷àå èç âñåõ îñò àâøèõ ñ ÿ ýëåìåíòîâ ñïèñê à p 1 ïðèìåò ˆ u è òîëüê î åãî. Ïîñê îëüêó ñïèñîê ïîëó÷åí çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ, íàì íå íóæíî îáðàùàòüñ ÿ ê îðàêó ëó . Ò àêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè ˆ u , çíàÿ ˆ u 1 , . . . , ˆ u i − 1 è ñëåäóþùóþ äîïîëíèòåëüíóþ èíîðìàöèþ: íîìåð èíäåê ñà i , áèò b 1 , ñðåäíåå ÷èñëî ¯ a ïîëî æèòåëüíûõ çíà ÷åíèé B è ðàçëè÷àþùóþ ïðîãðàììó p 1 . Çàìåòèì, ÷òî íàì äîñò àòî÷íî çíàòü ïðèáëèæ åíèå ê ¯ a , çàäàííîå O (log n ) áèò àìè (ò àê ÷òîáû áûëà îïðåäåëåíà öåëàÿ ÷àñòü s ¯ a ), ïîýòîìó âñ ÿ äîïîëíèòåëüíàÿ èíîðìàöèÿ çàíèìàåò O (log n ) áèòîâ. 33 Çàìå÷àíèå. Ò åîðåìà áûëà ñîðìó ëèðîâàíà äëÿ äëèíû X , íå ïðåâîñ õ î äÿùåé k + O (log 3 n ) è ñëî æíîñòè C AM q ( A | B , X ) 6 O (log n ) . àçóìååòñ ÿ, ìî æíî ¾ïåðåêèíóòü¿ ëèøíèå áèòû èç X â ïðîãðàììó àëãîðèòìà AM è ïîëó÷èòü òåîðåìó äëÿ X äëèíû k è C AM q ( A | B , X ) 6 O (log 3 n ) . 8.6. Ïðåäìåò äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé Îñíîâíûì âîïðîñîì òåîðèè ýê ñòðàêòîðîì îñò à ¸òñ ÿ ïîñòðîåíèå ïîëèíîìèàëüíî âû- ÷èñëèìîãî îïòèìàëüíîãî ýê ñòðàêòîðà. Åãî ðåøåíèå ïîçâîëèò (ïîìèìî ïðî÷èõ çàìå÷à- òåëüíûõ ïðèëî æ åíèé) ïîëó÷èòü ýåêòèâíûé âàðèàíò òåîðåìû Ìó÷íèê à ñ èñ õ î äíîé òî÷íîñòüþ. Áîëåå ñëàáîé çàäà ÷åé ÿâëÿåòñ ÿ ïîñòðîåíèå îïòèìàëüíîãî ýê ñòðàêòîðà, âû- ÷èñëèìîãî íà ïîëèíîìèàëüíîé çîíå. Íàñê îëüê î èçâåñòíî àâòîðó , ýò à çàäà ÷à íå ðåøåíà è äàæ å íå èññëåäîâàëàñü. Ïîñê îëüêó â äîê àçàòåëüñòâå òåîðåìû Ìó÷íèê à èñïîëüçîâàëîñü íå ñâîéñòâî ýê ñòðàêòîðà, à íåê îòîðîå åãî ñëåäñòâèå, âîçìî æíî, åñòü ñïîñîá ïîñòðîèòü ¾ïñåâäîýê ñòðàêòîðû¿ ñ îïòèìàëüíûìè ïàðàìåòðàìè, äëÿ ê îòîðûõ âûïîëíåíî ýòî ñëåä- ñòâèå, íî íå îñíîâíîå ñâîéñòâî. Ò àêæ å îñò à ¸òñ ÿ âîïðîñ, âåðíà ëè òåîðåìà Ìó÷íèê à äëÿ ïîëèíîìèàëüíîãî îãðàíè÷åíèÿ íà âðåìÿ â îðìó ëèðîâê àõ, îò ëè÷íûõ îò òåîðåìû 8.14. 9. Áëàãî äàðíîñòè Àâòîð áëàãî äàðåí À. Å. îìàùåíê î è À. Øåíþ çà ïîñò àíîâêó çàäà ÷è, ïëî äîòâîðíîå îáñóæäåíèå è ê îíñòðóêòèâíóþ êðèòèêó , à ò àêæ å À. Þ. óìÿíöâó çà îáñóæäåíèå ðå- çó ëü ò àò à äëÿ ñëî æíîñòè ñ îãðàíè÷åíèåì íà ïàìÿòü. Êðîìå òîãî, àâòîð áëàãî äàðåí îðã- ê îìèòåòó Òóðíèðà îðî äîâ è ëè÷íî Ñ. À. Äîðè÷åíê î çà âêëþ÷åíèå â ñîñò àâ âàðèàíò à îñåííåãî òóðà 2005 ãî äà çàäà ÷è, ñîñò àâëåííîé ïî ìîòèâàì óòâåð æäåíèÿ 2.1. Ëèòåðàòóðà [1℄ N. Alon, O. Goldrei h, J. H astad, R. P eralta, "Simple onstrutions of almost k -wise indep enden t random v ariables", Random Strutures and Algorithms, 3(3): 289303, 1992. [2℄ H. Buhrman, L. F ortno w, S. Laplan te, Resoure b ounded K olmogoro v omplexit y revisited, SIAM Journal on Computing, 31(3):887905, 2002. [3℄ H. Buhrman, T. Lee, D. v an Melk eb eek, Language Compression and Pseudorandom Generators, In 19th Ann ual IEEE Conferene on Computational Complexit y , IEEE, 2004. [4℄ R. Impagliazzo, L. Levin, M. Lub y , "Pseudo-random generation from one-w a y funtions", Pro eedings, 21st Ann ual A CM Symp osium on the Theory of Computing, A CM, 1989, 1224 34 [5℄ M. Li, P . Vit an yi, "An in tro dution to K olmogoro v omplexit y and its appliations", 2nd Edition, Springer, 1997. [6℄ An. Mu hnik, Conditional omplexit y and o des, Theoretial Computer Siene, v. 271, issues 12, 97109, 2002. [7℄ J. Naor, M. Naor, "Small-bias probabilit y spaes: eien t onstrutions and appliations", SIAM J. Comput., 22(4): 838856, 1993. [8℄ N. Nisan, A. T a-Shma, "Extrating randomness: A surv ey and new onstrutions", Journal of Computer and System Sienes, 58(1): 148173, 1999. [9℄ N. Nisan, A. Wigderson, "Hardness vs. randomness", Journal of Computer and System Sienes, 49: 149167, 1994. [10℄ N. Nisan, D. Zu k erman, "More deterministi sim ulation in logspae", Pro eedings, 25th Ann ual A CM Symp osium on the Theory of Computing, A CM, 1993, 235244 [11℄ J. Radhakrishnan, A. T a-Shma, "Bounds for disp ersers, extrators, and depth-t w o sup eronen trators", SIAM Journal on Disrete Mathematis, 13(1): 224, 2000 [12℄ R. Raz, O. Reingold, S. V adhan, "Extrating all the randomness and reduing the error in T revisan's extrator", Pro eedings, 30th Ann ual A CM Symp osium on the Theory of Computing, A CM, 1999, 149158. [13℄ O. Reingold, R. Shaltiel, A. Wigderson, "Extrating randomness via rep eated ondensing", SIAM journal on omputing 35(5):11851209, 2006. [14℄ R. Shaltiel, "Reen t dev elopmen ts in expliit onstrutions of extrators" [15℄ A. Sriniv asan, D. Zu k erman. "Computing with v ery w eak random soures", Pro eedings, 35th Ann ual IEEE Symp osium of the F oundation on Computer Siene: 264275, IEEE, 1994. [16℄ L. T revisan, "Constrution of extrators using pseudo-random generators", Journal of the A CM, 48(4):860879, 2001. 35
Original Paper
Loading high-quality paper...
Comments & Academic Discussion
Loading comments...
Leave a Comment