Le theoreme de periodicite en K-theorie hermitienne

arXiv:0810.4707v1 [math.KT] 26 Oct 2008 LE TH´EOR`EME DE P´ERIODICIT´E EN K-TH´EORIE HERMITIENNE Max Karoubi La p´eriodicit´e de Bott joue un rˆole primordial en K-th´eorie topologique. Elle est d’ailleurs li´ee intimement au th´eor`eme d’Atiyah-Singer et plus g´en´eralement `a la g´eom´etrie non commutative. Dans deux articles pr´ec´edents [K1] et [K2], nous avons d´emontr´e l’analogue de ce th´eor`eme en K-th´eorie hermitienne pour des an- neaux discrets avec (anti)involution a7→a, sous l’hypoth`ese qu’il existe un ´el´ement λ du centre de A tel que λ+λ = 1 (on dit alors que 1 est scind´e dans A). Si l’anneau est commutatif et muni de l’involution triviale, ceci introduit l’hypoth`ese que 2 est inversible dans A. Si cette derni`ere hypoth`ese est anodine pour les alg`ebres de Banach, il n’en est pas de mˆeme pour des anneaux importants comme l’anneau de groupe Zπ, o`u π est un groupe discret. Une difficult´e rencontr´ee pour l’´etude de ce type d’anneau est la divergence entre les notions de forme quadratique et de forme hermitienne. Dans cet article, nous d´eveloppons une th´eorie qui d´epasse cette dichotomie et qui est d´ej`a pr´esente dans le travail fondamental de Ranicki [R]. Grˆace `a cette th´eorie le th´eor`eme de p´eriodicit´e peut ˆetre d´emontr´e pour tout anneau. Nous montrons par exemple que les groupes de Witt sup´erieurs d’un corps fini de caract´eristique 2 sont tous isomorphes `a Z/2 (exemple 5.14). Les m´ethodes de cet article sont beaucoup inspir´ees de celles de [K1] et [K2] que nous adaptons `a notre propos, ce qui nous permet d’ˆetre relativement bref pour certaines d´emonstrations. Un autre ingr´edient essentiel est un cup-produit entre formes quadratiques d´efini par Clauwens [C] . Celui-ci permet de d´efinir le mor- phisme de p´eriodicit´e dans le cas g´en´eral. L’article de Clauwens ayant ´et´e ´ecrit dans un contexte diff´erent, nous reprenons dans un appendice les lemmes essentiels dont nous avons besoin pour nos d´emonstrations. R´esumons bri`evement les diff´erentes parties de cet article (1) Description de diff´erents types de formes hermitiennes. Apr`es des rappels sur les d´efinitions classiques utilis´ees, nous introduisons un nou- veau type de groupe orthogonal, dit “´elargi” : cf. 1.6/7. Si 1 est scind´e dans A, celui-ci co¨ıncide avec le groupe orthogonal sur l’anneau des nombres duaux associ´e `a A, soit A[e]/e2, not´e simplement A(e) dans la suite de l’article. c ⃝2008 Clay Mathematics Institute 1 2 MAX KAROUBI (2) Les groupes de Grothendieck et Bass en K−th´eorie hermitienne. Nous montrons comment les th´eor`emes principaux en K−th´eorie hermi- tienne restent valables dans le cas “´elargi”. Nous pr´ecisons aussi les nota- tions utilis´ees, en suivant partiellement la terminologie du livre de Bak [?]. Par exemple, la notation “L” , utilis´ee en [K1] et [K2], est abandonn´ee et remplac´ee par la notation “KQ” , pour ´eviter toute ambig¨uit´e avec les groupes de chirurgie. (3) Les groupes εKQn(A) pour n > 0 et n < 0. Les d´efinitions essentielles sont contenues dans ce paragraphe, en utilisant des id´ees bien connues en K−th´eorie alg´ebrique. Le th´eor`eme 3.2 permet de comparer les th´eories “max” et “min”, suivant la terminologie de Bak. Nous montrons aussi comment les techniques de Quillen se transcrivent dans notre situation en une description plus g´eom´etrique des ´el´ements de εKQn(A). (4) Cup-produits en K−th´eorie hermitienne. Le cup-produit de Clau- wens. Le cup-produit en K−th´eorie hermitienne est d´efini `a l’aide de sa description en termes de fibr´es plats. Un cup-produit plus subtil, dˆu es- sentiellement `a Clauwens, est d´efini en 4.3 (cf. aussi l’appendice). Nous montrons comment tous ces produits sont reli´es entre eux dans le th´eor`eme 4.7. (5) Le th´eor`eme fondamental de la K−th´eorie hermitienne pour des anneaux arbitraires. Dans ce paragraphe, nous g´en´eralisons les r´esultats principaux de [K1] et [K2] (cf. le th´eor`eme 5.2 et la remarque 5.11). La relation avec les groupes de Witt est faite dans le th´eor`eme 5.10. (6) Les groupes de Witt stabilis´es. En utilisant les r´esultats pr´ec´edents, nous introduisons une th´eorie nouvelle de groupes de Witt “stabilis´es” g´en´eralisant ceux d´efinis en [K4]. Ses propri´et´es fondamentales sont d´ecrites en 6.1. Une g´en´eralisation dans le cadre des sch´emas a ´et´e propos´ee par M. Schlichting [S] en supposant 2 inversible. (7) Appendice. Les lemmes de Clauwens. Remerciements. Ce travail a ´et´e essentiellement accompli pendant le pro- gramme th´ematique sur la th´eorie de l’homotopie en 2007, organis´e au Fields Ins- titute `a Toronto. Je remercie ´egalement A. Ranicki pour avoir attir´e mon attention sur l’article de Clauwens [C], J. Berrick pour la d´emonstration du lemme 4 en ap- pendice, plus simple que le lemme original de Clauwens, ainsi que M. Schlichting pour des commentaires pertinents apr`es une premi`ere version de ce texte. 1. Description des diff´erents types de formes hermitiennes et quadrat

…(Full text truncated)…

This content is AI-processed based on ArXiv data.