Masures affines

Masures aﬃnes par Guy R ousseau Octobre 2008 Abstract. W e give an abstract deﬁnition of aﬃne ho ve ls whic h generalizes the deﬁnition of aﬃne buildings (ev en tually non simplicia l ) giv en b y Jacq ues Tits and includes the ho v els buil t b y St ´ ephane Ga ussen t and the author for some Kac-Mo o dy groups ov er ultrametric ﬁelds. W e pro v e that, in such an aﬃne ho v el I , there exist ret ra ctions wit h cen ter a sector germ and that w e can add at the inﬁnit y of I a pair of t win buildings or tw o microaﬃne buildings. F or some aﬃne ho ve ls I , we pro v e that the residue at a p oin t o f I has a natural structure of pair of twin buildings and that there exist s on I a preorder whic h induces on eac h apartmen t the preorder asso ciated to the Tits cone. R´ esum´ e. On donne une d ´ eﬁn ition abstrai te de masure aﬃne qui g ´ en ´ eralise celle d’immeuble aﬃne ( ´ even tuellemen t non simplici a l) donn ´ ee par Jacques Tits et qui inclut les masures (hov els) construits par St´ ephane Gaussen t et l’auteur p our certa i ns group es de Kac-Mo o dy sur des corps ultram´ etriques. On mo ntre q ue, dans une t elle ma sure aﬃne, i l existe des r ´ etractions de cen tre un g erme de quartier et qu’` a l’inﬁni on p eut construire une pai re d’immeubles jumel ´ es et deux immeubles microaﬃnes. Pour certaines masures aﬃnes I , on montre que le r ´ esidu en c haque p oint de I a une structure naturelle de paire d’immeubles jumel´ es et qu’il existe sur I un pr ´ eordre qui induit sur c haque appartemen t le pr ´ eordre associ´ e au cˆ one de Tit s. In t ro duct ion. Si G est un g roup e de Kac-Moo d y d´ eplo y´ e sur un corps ultram ´ etri que, St ´ ephane Gaussen t et l’auteur ont in tro duit un espace I sur lequel le groupe G ( K ) agit [Gausse n t- Rousseau-08] ; il y a en fait (pour l’instan t ?) des conditi o ns tec h niques restrictiv es sur G et K , voir § 6 ci-dessous. La construction est cal qu ´ ee, d’aussi pr` es que p ossible, sur celle des immeubles de Bruhat-Tits p o ur les gro up es r ´ eductifs sur les corps lo caux [Bruhat- Tits-72]. Cette g´ en ´ erali sation au cas Kac-Mo o dy p ose un certain nom bre de probl` emes tec hniques et r ´ ev ` ele une diﬃcult´ e ma jeure : cet espace I est r´ eunion d’appartemen ts, mais l’axiome fondamen tal des syst ` emes d’appartemen ts n’est pas v ´ eriﬁ ´ e : il p eut exister deux poi nts de I q ui ne son t pas dans un m ˆ eme appartemen t. ` A caus e de cette ma uv aise propri ´ et´ e, I s’est vu attri buer le nom de masure ( ho v el). 2 Guy Rousseau P ar ail leurs Jacques Tits a donn ´ e dans [Tits-86] une d´ eﬁnition abstraite des immeubles aﬃnes ( ´ ev en tuellemen t non discrets) sans supposer cet ax iome fondamen tal des syst ` emes d’appartemen ts (ce qui est par contre l e cas de la d ´ eﬁnition de l’auteur dans [Rousseau-08]). L’un de ses axi omes essen tiels est l ’existence d’un a ppartement con tenan t n’imp orte quelle paire de germes de q uartier. Comme cette propri´ et´ e et d’autres an alogues son t v´ eriﬁ ´ ees par les masures de [ Gaussen t-Rous seau-08], il est naturel d’en visager l a g ´ en ´ eralisation de la d´ eﬁnition de Tits aux masures aﬃnes [ l.c . ; remark 4.6]. On v a donc, dans cet art icle, essa y er de g´ en ´ eraliser l’essen t i el des r´ esultats de [ Tits- 86] dans un cadre incluan t les masures d´ ej` a construites. On in tro duit donc une d ´ eﬁnition abstraite de masure aﬃne en imp osan t comme axi omes un certain nom bre de propri´ et´ es de ces masures concr` etes, c hoisies comme de bonnes g ´ en´ eralisations des axiomes de [Tits-86] cf. 2.5. On intro duit d’ab o rd au § 1 l’ a ppartemen t aﬃne t´ emoin A de la masure a ﬃne. On part, esse n tiellemen t, de la repr ´ esen tation g´ eom ´ etrique classique d’un groupe de Co xeter ( ´ even tuellemen t inﬁni) W v dans un espace ve ctoriel r ´ eel V de dimension ﬁnie (mais pas forc ´ emen t euclidien) [B ourbaki-68 ; V § 4]. Les g ´ en ´ erateurs fondamen taux de W v son t des r ´ eﬂexions lin ´ eaires par rapp ort aux murs d’un cˆ one con vexe, ouvert et simplicial C v f (la c hambre v ectorielle fondamen tale p ositi v e). Les conjugu ´ es par W v de ces m urs son t les murs v ectoriels, leur ensemb le est not ´ e M v ; ` a c haque M v ∈ M v est asso ci ´ ee une unique r ´ eﬂexion r M v ∈ W v d’h y p erplan M v . Les conjugu ´ es par W v de C v f (ou de ses facettes) son t les c ham bres (ou les facettes) v ectori elles p osit iv es. La r´ eunion (disjoin te) de toutes ces facettes est le cˆ one de Tits T qui est conv exe. Les cham bres ou facettes n ´ egati v es son t les images par − I d V des cham bres ou facettes p ositives. De plus on est souv en t oblig´ e de consid ´ erer des m urs v ectoriels ”ima ginaires” don t l’ensem ble est stable par W v , cf. 1.1.5. L’appartemen t A est un espace aﬃne sous V , il est m uni d’un ensem ble M d’h y p erplans aﬃnes app el ´ es m urs. Si M ∈ M , sa directio n M v est dans M v et on note r M la r´ eﬂexion d’hyperplan M don t l’application lin ´ eaire asso ci ´ ee est r M v . Le gro up e de W eyl W , engendr ´ e par les r M p our M ∈ M , doit stabiliser M . Les m urs ima g inaires son t les h yp erplans de direction un m ur vectoriel i maginaire. Comme l’ ensem ble des m urs n’est pas lo calemen t ﬁni, on ne peut pas d´ eﬁnir des facettes dans A comme des sous-ensem bles de A : ce son t des ﬁltres de parties de A comme dans [Bruhat-Tits-72], cf. 1.7. Un quartier (resp. une face de quartier) de A est une partie de A de la forme f = x + F v p our x ∈ A et F v une cham bre (resp. une facette) v ectorielle. On a besoin d’ ´ epaissir ces faces de q uartier : une c hemin´ ee est un ensem ble de la forme r = F + F v (ou plus pr ´ ecis´ emen t son enclos cf. 1.10) o ` u F est une facette et F v une facette vectorielle. La face de quartier x + F v (resp. l a c hemin ´ ee cl ( F + F v )) est dite sph ´ erique (resp. ´ ev as´ ee) si F v est sph´ erique i.e. conten ue dans l’in t ´ erieur de ±T . Le germe d’une face de Masures aﬃnes 3 quartier x + F v (resp. d’une c hemin ´ ee cl ( F + F v )) est le ﬁlt re des part ies de A conten an t x + F v + ξ (resp. cl ( F + F v + ξ ) ) p o ur un certain ξ ∈ F v . Apr ` es ces d ´ eﬁniti ons techn iques, on d ´ eﬁnit au § 2 une masure aﬃne comme un ensem ble I mu ni d’un recouvremen t par un ensem ble A d’appartemen t s, t o us isomorphes ` a A . On p eut r ´ esumer l’essen tiel des axiomes en disan t que l ’on deman de de plus qu’une facette, une facette et un germe de chemin ´ ee ´ ev as´ ee ou deux germes de c hemin´ ees ´ ev as ´ ees son t conten us dans un m ˆ eme appartemen t, unique ` a isomorphisme ﬁxan t ces ob jets pr` es (2 . 1). Les immeubles de Bruhat-Tits, les immeubles aﬃnes simpliciaux (au sens classique, v o ir par exemple [Brown -89]) et vrai sem blablement to us les immeubles aﬃnes de [ Tits-86] son t des masures a ﬃnes (2.4). On d ´ eduit aussitˆ ot de la d´ eﬁnition l’existence dans une masure aﬃne de r ´ etractions de cen t re un germe de quartier (2.6). Au § 3 on commence l ’ ´ et ude des p ropri´ et ´ es ` a l’inﬁni d’une masure aﬃne. Deux germes de faces de quart ier sph ´ eriq ues son t dits parall ` eles si, dans un appartement les con tenant tous deux, ils corresp onden t ` a la mˆ eme facette vec toriell e. On mon tre que ceci d ´ eﬁnit une relat ion d’ ´ equiv alence (3.2) et q ue les classes d’ ´ equiv alences constituen t les facettes sph ´ eriques de deux immeubles jumel ´ es (th ´ eor ` emes 3.4 et 3.7). On obtient ainsi, ` a l’inﬁni d’une masure aﬃne, une paire d’immeubles jumel´ es qui g´ en ´ eralise donc l’immeuble sph ´ erique ` a l’inﬁni d’un immeuble aﬃne construit dans [Tit s-86]. Au § 4 on examine la structure de l’ensem ble des g ermes de faces de quartier sph ´ eriques posit iv es (resp. n´ egatives). On mon tre que cela constitue un immeuble mi- croaﬃne au sens de [Rousseau -06] ; les facettes de cet i mmeuble microaﬃne corresp on- den t aux germes de c hemin´ ees ´ ev as ´ ees p ositives (r esp. n ´ egati v es) c f. 4.4. Les germes de faces de quartier sph´ eriques dans une m ˆ eme classe de parall´ elisme constituen t un immeuble aﬃne ( 4.3). Dans le cas des cloisons de quart ier, on obtient ainsi des arbres qui g´ en ´ eral isen t ceux uti lis ´ es par J. Ti ts dans [Tits-86] p our d ´ eﬁnir une v aluation sur la donn ´ ee radiciell e a sso ci ´ ee (en g ´ en ´ eral) ` a l’immeuble sph ´ erique ` a l’inﬁni d’un immeu- ble a ﬃne. On n’arrive cep endan t pas ici ` a une classiﬁcation des masures aﬃnes (qui g ´ en´ eraliserait [Tits-86] ) p our (au moins) deux raisons : la classiﬁcati on des immeubles jumel ´ es n’est pas aussi g´ en ´ erale que celle des immeubles sph ´ eriques et surtout on ne sait (encore) pas construire une masure aﬃne asso ci´ ee ` a une donn ´ ee radicielle v alu ´ ee corresp ondan t ` a un syst` eme de racines inﬁni ( 4.12). Au § 5 on s’int ´ eresse aux propri´ et´ es ` a distance ﬁnie d’une masure I . On mon tre (5.3) qu’en c haque p oint de I il existe un r´ esidu sous la forme de deux immeubles. Si la masure I est ” ordonn ´ ee” (2.3), ces deux immeubles sont en fait jumel ´ es (5.6). On a donc encore une paire d’i mmeubles jumel ´ es qui g´ en ´ eralise l’immeuble sph ´ eri que qu’est le r´ esidu p our un immeuble aﬃne. Dans l’appartemen t A il y a un pr ´ eordre naturel donn ´ e par : x ≤ y si et seulemen t si y − x ∈ T . On d ´ eﬁnit une relation dans I par x ≤ y si et seulemen t si i l existe un appartement A con tenan t x et y et si x ≤ y dans cet 4 Guy Rousseau appartemen t. On montre que cette relation est bien d´ eﬁnie et que c’est un pr ´ eordre si la masure est ordonn´ ee (th ´ eor` eme 5.9). Dans l e cas des immeubles aﬃnes cette relation est triviale ( car T = V ) ; ce n’est pas le cas en g ´ en´ eral et on a donc ainsi une structure d’un t yp e nouv eau sur les masures aﬃnes. Enﬁn au § 6 on exhib e des ex emples de masures aﬃnes qui ne son t pas des immeubles a ﬃnes, en mon tran t que (presque toutes) les masures de [Gaussen t-Rousseau- 08] son t des masures aﬃnes, ordonn ´ ees, ´ epaisses et semi-discr ` etes ( th ´ eor` eme 6.11). § 1 . Appartemen ts aﬃ nes Dans ce premier paragraphe on laisse beaucoup de d ´ emonstratio ns au lecteur. Sauf indication parti culi ` ere, ce sont de simples cons ´ equences de l’alg` ebre lin´ eaire et de la th ´ eori e des in ´ equations lin´ eaires dans R n . 1.1. Le groupe de W eyl v ectoriel et les racines Dans tout cet arti cle on se donn e un q uadruplet ( V , W v , ( α i ) i ∈ I , ( α ˇ i ) i ∈ I ) form ´ e d’un espace v ectoriel r ´ eel V de dimension ﬁnie, d’un sous-group e W v de GL ( V ), d’une famille ( α ˇ i ) i ∈ I dans V et d’ une famille libre ( α i ) i ∈ I dans le dual V ∗ de V (toutes deux index ´ ees par le mˆ eme ensem ble ﬁni I ). On suppose v ´ eriﬁ ´ ees les propri ´ et´ es suiv an tes : 1) Pour i ∈ I , α i ( α ˇ i ) = 2 et donc l a form ule r i ( v ) = v − α i ( v ) α ˇ i d ´ eﬁnit une in v olution de V , plus pr´ ecis ´ emen t une r´ eﬂexion d’h yp erplan K er ( α i ). 2) Le gro up e de W ey l W v est le sous-group e de GL ( V ) de syst ` eme g´ en ´ erat eur S = { r i | i ∈ I } . C’est un group e de Coxeter, app el´ e gr oup e de Weyl ve ctoriel . Le co eﬃcien t m ( i, j ) de la matrice de Co xeter est l’ordre de r i r j . 3) On note Φ l’ensem ble des r acines r ´ eelles c’est ` a dire de s formes lin ´ eaires sur V de la forme α = w ( α i ) a v ec w ∈ W v et i ∈ I . Si α ∈ Φ , alors r α = w .r i .w − 1 est bien d ´ etermin´ e par α , ind ´ ep endammen t du c hoix de w et de i tels que α = w ( α i ). P our v ∈ V on a r α ( v ) = v − α ( v ) α ˇ p our un α ˇ ∈ V a ve c α ( α ˇ ) = 2 ; ainsi r α est une r´ eﬂexion par rapp ort ` a l’h yp erplan M v ( α ) = K er ( α ) que l’ on app elle mur (ve ctori el) de α . On not e M v l’ensem ble de ces murs v ectoriels (r ´ eels). Le demi-app artement ve ctoriel asso ci´ e ` a α est D ( α ) = { v ∈ V | α ( v ) ≥ 0 } . 4) Si Φ + = Φ ∩ ( L i ∈ I R + α i ) et Φ − = − Φ + , on a Φ = Φ + F Φ − . Le group e W v p erm ute Φ, mais seul l’ ´ el ´ ement neutre stabilise Φ + . Plus pr´ ecis ´ ement p our w ∈ W v , w ( α i ) ∈ Φ + ⇔ ℓ ( w r i ) > ℓ ( w ) o ` u ℓ d ´ esigne l a longueur dans W v relative ` a S . Les racines de Φ + (resp. Φ − ) son t dit es p ositives (resp. n ´ ega ti ves ). P our α ∈ Φ, on a Φ ∩ R + α = { α } ; ainsi Φ + (resp. Φ) est en bijection a ve c M v (resp. les demi-appartemen ts de V ). 5) On consid ` ere un ensem ble ∆ im ⊂ V ∗ de racines i maginaires disjoin t d e R Φ et sta bl e par ± W v ; on note ∆ re = Φ et ∆ = Φ ∪ ∆ im . T rois cas particuli ers son t particuli` eremen t i n t´ eressan ts : • Cas sans imaginaire : ∆ im = ∅ ; c’est un cas particuli er du cas suiv ant. Masures aﬃnes 5 • Cas mo d ´ er´ emen t imagi naire : Si ∆ + im = ∆ im ∩ ( L i ∈ I R + α i ) et ∆ − im = − ∆ + im , on a ∆ im = ∆ + im ∪ ∆ − im et ∆ + im comme ∆ − im son t stables par W v . On p eut par exemple prendre ∆ + im = ∩ w ∈ W v ( L i ∈ I R + α i ) \ R Φ. • Cas tr ` es i maginaire : R ∗ ∆ im = V ∗ \ R Φ, par exemple ∆ im = V ∗ \ R Φ. On not e M v i l’ensem ble d es murs ve ctori els i maginair es M v ( α ) =K er( α ), p our α ∈ ∆ im . 1.2. Exemple s La situatio n d´ ecrite ci-dessus se rencontre dans (au moins) deux cas (non disjoin ts) : 1) Cas Kac-Mo o dy : cf . [Kac-90] ou [Rousse au-06] On consid ` ere une r´ ealisation ( V , ( α i ) i ∈ I , ( α ˇ i ) i ∈ I ) d’une matrice de Kac-Mo o dy A (cela signiﬁe que α j ( α ˇ i ) est le co eﬃcient a i,j de la matrice A [Kac-90]) a v ec ( α i ) i ∈ I libre dans V ∗ . Alors W v en est le group e de W eyl , Φ l’ensem ble des racines r ´ eell es et ∆ im l’ensem ble des ra ci nes i maginaires ; on est dans le cas mo d ´ er´ emen t imaginaire. De mani ` ere ´ equiv alen te on p eut consid ´ erer un syst ` eme g ´ en ´ erateur de racines ( A, X, Y , ( α i ) i ∈ I , ( α ˇ i ) i ∈ I ) au sen s de [Bardy-96] av ec V = Y ⊗ R comme dans [ Rousseau- 06]. Ce cas existe si et seulemen t si l es co eﬃcien ts de la matrice de Co xeter de W v son t 1, 2, 3, 4, 6 ou ∞ . De plus on a ∆ ⊂ L i ∈ I Z α i . Si W v est ﬁni, la mat rice de Kac-Mo o dy est une matrice de Cartan et ( V , Φ , W v ) est asso ci ´ e ` a une alg ` ebre de Lie r ´ eductiv e complexe, ce cas sera dit classi que . Si A est une matrice de Kac-Mo o dy de t yp e aﬃne [Kac-90 ; IV], o n parlera de cas aﬃne . On p eut mo diﬁer ce cas Kac-Mo o dy en se pla¸ can t dans les cas sans i ma ginaire ou tr ` es imaginaire. 2) Cas Coxeter g´ en ´ er al : cf. [Bourbaki-68 ; V § 4], [Deo dhar-89], [Humphreys-90 ; V] ou [ Tits-88]. On consid` ere un group e de Co xeter quelconque W v de syst` eme fondamen tal de g ´ en´ erateurs S = { s i | i ∈ I } ﬁni et matri ce de Coxeter ( m ( i, j ) ) i,j ∈ I . On l ui asso cie un espace v ectori el r ´ eel V ∗ de base ( α i ) i ∈ I , que l’ o n mun it de l a forme bilin ´ eaire sym ´ etri q ue B , telle que B ( α i , α i ) = 1 et B ( α i , α j ) = − cos ( π m ( i,j ) ). On d ´ eﬁnit alors α ˇ i ∈ V par 2 B ( f , α i ) = f ( α ˇ i ) p our tout f ∈ V ∗ . D’apr ` es les r ´ ef´ erences ci-dessus les propri ´ et´ es de 1.1 son t v´ eriﬁ´ ees. Pou r les racines imagi nai res, on p eut en visager l es 3 cas de 1. 1.5. Bien sur on peut aussi multiplier V par un espace v ectoriel sur lequel W v n’agit pas. 3) Remarques : On p ourrait sans doute abandonner dans les h yp oth` eses de 1.1 les conditions de lib ert´ e de la famill e ( α i ) i ∈ I et de ﬁnitude de I ou de la dim ension de V . Il faudrait prendre q uelques pr´ ecautions suppl ´ ementaires, par exemple imp oser que C v f (d ´ eﬁni ci-dessous en 1.3) engendre l ’espace ve ctoriel V . Des exemples de cette sit uation et leur in t ´ er ˆ et son t expliq u ´ es dans [Mo o dy -P i anzola-95] et [ Bardy-96]. M ˆ eme sans abandonner ces deux conditions, les syst` emes g´ en ´ erateurs de racines plus 6 Guy Rousseau g ´ en´ eraux de [ B ardy-96] fournissen t des exemples diﬀ ´ erents de ceux de 1), ni mo d´ er ´ emen t imaginaires, ni sans imaginai res, ni tr` es imaginaires. Dans la suite on s’i n t´ eresse essen ti ellemen t au cas mo d´ er ´ ement imaginaire (sans l’imp oser). Le cas sans imagi nai re est id ´ eal mais souv en t sem blable, cf. 1.8.3 . 1.3. Le cˆ one de Tits Les r´ esultats de ce n um ´ ero se d ´ emon tren t comme dans [Bourbak i-68 ; V § 4] ou [Humphreys-90 ; V] ` a partir des h yp oth` eses de 1.1. La chambr e fondamentale p ositive C v f = { v ∈ V | α i ( v ) > 0 ∀ i ∈ I } est un cˆ one con vexe ouv ert non vide. Son adh´ erence est r´ eunion disjoin te des f ac ettes ve ctori el les F v ( J ) = { v ∈ V | α i ( v ) = 0 ∀ i ∈ J ; α i ( v ) > 0 ∀ i / ∈ J } p our J ⊂ I . On a C v f = F v ( ∅ ) et V 0 = F v ( I ) est un sous-espace vectoriel. Si V 0 = { 0 } , o n dit que W v est essentie l . On dit que la facette F v ( J ) ou que J est sph´ eri que si W v ( J ) = h r i | i ∈ J i est ﬁni ; c’est l e cas de la c ham bre C v f ou des cloisons F v ( { i } ) , ∀ i ∈ I . Plus g ´ en ´ eralemen t les chambr es ( resp. f ac ettes, fac ettes s ph ´ eriques, c loisons ) p osit iv es son t les transform ´ ees par W v de celles d ´ ej` a d ´ eﬁnies. Le typ e de w .F v ( J ) est J . On dit que l’ on est dans le cas ﬁni si (de mani` ere ´ equiv alen te) Φ est ﬁni, W v est ﬁni ou I (et donc toute facette) est sph ´ erique. Le cˆ one de Tits est l a r ´ eunion disjointe T des facettes w .F v ( J ) p our w dans W v et J ⊂ I . C’est un cˆ one con v exe stable par W v . L’action de W v sur les cham bres est simplemen t tra nsit iv e. Le ﬁxat eur ou l e stabili sat eur de F v ( J ) est W v ( J ). Pour x dans T , on note F v ( x ) la facette qui le contien t. Celle-ci est sph ´ erique si et seulemen t si x est i n t´ erieur ` a T : la r´ eunion des facettes sph ´ eriques est l’in t´ erieur T ◦ de T , c’est un cˆ one con v exe ouv ert non v i de, appel´ e cˆ one de Tits ouvert . De m ˆ eme l’adh ´ erence T de T est un cˆ one con vexe. On cons id ´ erera aussi le cˆ one de Tits n ´ egatif −T et toutes les facettes, cham bres, cloisons n ´ egative s obten ues par l’op´ eration Ω 7→ − Ω. Il p eut arriv er qu’une facette soit p ositi v e et n ´ egative, c’est le cas par exemple de V 0 . Dans le cas ﬁni, on a T = −T = V et toutes les facettes sont sph ´ eriq ues, p ositives et n ´ egatives . Dans le cas non ﬁni on a T ◦ ∩ −T ◦ = ∅ : une facette sph ´ eriq ue ne p eut ˆ et re p o sitive et n´ egative. Dans l e cas aﬃne T ◦ = { v ∈ V | δ ( v ) > 0 } a v ec δ ∈ ∆ + im et T = V 0 ∪ T ◦ . Dans le cas mo d ´ er´ emen t imaginaire toute racine imaginaire p o sitive est p ositive sur T . En particuli er le cas mo d ´ er´ emen t imaginaire ﬁni est un cas sans imaginai re. 1.4. L’ a ppartement aﬃne t ´ emo in A On c hoisit un espace aﬃne A sous l’espace v ectori el V m uni d’une collectio n M d’h y p erplans aﬃnes (app el´ es murs ou murs r ´ eels ) telle que : a) p our t out M ∈ M , il existe une racine α M ∈ Φ tell e q ue la direction M v de M soit le m ur v ectoriel M v ( α M ) = K er ( α M ), Masures aﬃnes 7 b) toute racine α ∈ Φ p eut s’ ´ ecrire α = α M p our une inﬁnit ´ e de m urs M , c) p our M ∈ M , on note r M la r ´ eﬂexion d’hyperplan M dont l ’application lin´ eaire asso ci ´ ee est r α M et on supp ose que le g r o up e W engendr ´ e par les r M stabilise M . d) On consid ` ere aussi l’ensem ble M i des murs imaginair e s q ui sont to us les h y p erplans aﬃnes don t la direction est de la forme Ker( α ) p our α ∈ ∆ im . Cet ensem ble M i est stable par W ( et m ˆ eme par le group e W e R d ´ eﬁni en 1.6.1) . Le group e W e st le gr oup e de Weyl (a ﬃne) de A . La dimension (resp. le r ang (v ectoriel)) de A est dim ( V ) (r esp. | I | ). On dit que A est semi-di s cr et (resp. dense ) si, p our toute racine r ´ eelle α , l’ensem ble des m urs de direction K er ( α ) est discret (resp. den se). L’ensem bl e M n’est un ensem ble discret d’h yp erplans que si, de plus, on est dans le cas ﬁni ; o n dit alors que A est discr et . Un poi n t x ∈ A est sp ´ ecial si tout mu r r ´ eel admet un m ur parall ` ele passan t par x (il existe toujours de tels p oints). Si on c hoisit un p oi nt sp ´ ecial x 0 comme origine, les m urs r´ eels ou imaginaires p euv en t ˆ etre d´ ecrits comme les M ( α, k ) = { v ∈ A | α ( v ) + k = 0 } p our α ∈ ∆ et k ∈ Γ α , o ` u Γ α est un sous-ensem ble de R ; si α est r´ eelle, Γ α est inﬁni et con tien t 0, si α est imaginaire, Γ α = R . On note D ( α, k ) = { v ∈ A | α ( v ) + k ≥ 0 } (resp. D ◦ ( α, k ) = { v ∈ A | α ( v ) + k > 0 } ) ; si α est r ´ eelle on l’ app elle un demi-app artement (resp. demi-app artement-ouvert ). On note D ( α, ∞ ) = D ◦ ( α, ∞ ) = A et, pour α r ´ eelle, r α,k = r M ( α,k ) . N.B. L’ensem ble M i des murs imaginaires ne servira en fait qu’` a d´ eﬁnir l’enclos d’une partie de A , cf. 1.7.2. 1.5. Le groupe de W eyl W et les relations de pr ´ e ord re sur A 1) P our α ∈ Φ, il est clair que W con tien t les translat ions de vecteurs dans ˜ Γ α .α ˇ , o ` u ˜ Γ α est l e sous-group e de R engendr ´ e par Γ α et que Γ α = Γ α + 2 ˜ Γ α (condition c), en particulier Γ α = − Γ α . P ar contre on p eut av oir Γ α 6 = ˜ Γ α si Γ α n’est pas discret [Bruhat-Tits-72 ; 6. 2.17]. On not e Q ˇ = P α ∈ Φ ˜ Γ α .α ˇ , c’est un sous-group e de V stable par W v (car Γ w α = Γ α ). On l’iden t iﬁe ` a un group e de translations de A (con ten u dans W ) . P our α ∈ Φ, M = M ( α , k ) et N = M ( α, 0), r M est le comp os´ e de r N et de l a t ranslation de v ecteur k α ˇ . Donc, si on identiﬁe W v au sous-group e de W ﬁxant l’o rigine (sp ´ ecia l e) x 0 , on a une d ´ ecomp ositi on en pro duit semi-direct : W = W v ⋉ Q ˇ . 2) R emar que : Si A est discret, quitt e ` a quotien ter par V 0 on est dans le cas essen tiel et l’ensem ble des p oin ts sp ´ eciaux est discret dans A . Ainsi Q ˇ (qui les stabilise) est un sous-groupe discret de V . Co mme W v est ﬁni, un pro duit scalaire W v − in v aria nt identiﬁe V ` a V ∗ de fa¸ con que α i soit colin´ eaire ` a α ˇ i , donc Q ˇ est un r ´ eseau de V . On sait a lors que W v est cristal lographique [B ourbaki-68 ; VI 2.5] : les ´ el ´ emen ts de la matrice de Co xeter son t 1, 2, 3, 4 ou 6. On p eut donc se ramener au cas classique de 1.2. 1. 8 Guy Rousseau 3) On not e P ˇ le sous-group e de V stabilisan t M , i l contien t Q ˇ et V 0 . Al ors W P = W v ⋉ P ˇ est le plus grand sous-groupe de W e R = W v ⋉ V stabi l isan t M . 4) Pr´ eor dr es : Le cˆ one de Tits T , son adh ´ erence T et son in t ´ erieur T ◦ son t des cˆ ones con v exes et W v in v arian t s, on obtient donc t r o is pr ´ eordres W e R − in v aria nts sur A en p osan t : x ≤ y ⇔ y − x ∈ T , x ≤ y ⇔ y − x ∈ T , x ◦ ≤ y ⇔ y − x ∈ T ◦ ∪ { 0 } . On a souv ent T ∩ −T 6 = { 0 } , ce qui implique que ≤ ou ≤ n’est pas une relation d’ordre. P ar con tre en dehors du cas ﬁni on a T ◦ ∩ −T ◦ = ∅ , donc ◦ ≤ est une relati on d’ordre. Dans l e cas ﬁni, on a T ◦ = V , donc x ≤ y et x ◦ ≤ y pour tous x, y dans A . Dans le cas aﬃne essen tiel ≤ et ◦ ≤ co ¨ ınciden t ; de plus p o ur tous x, y dans A on a x ≤ y ou x ≥ y (et l es deux ` a la fois seulemen t p our x = y ) . 1.6. Exemple s 1) On p eut consid ´ erer l’ensem ble M R de tous les h y p erplans de direction dans M v . On a donc 4 appartemen ts aﬃnes (tr` es li ´ es) A , A R , A si et A si R asso ci ´ es aux syst ` emes de m urs M ∪ M i , M R ∪ M i , M et M R . L’appartemen t A R ou A si R est dense et tous ses p oi n ts son t sp ´ eciaux. Le group e de W eyl (resp. le gro up e W P ) corresp ondan t est W R = W v ⋉ Q ˇ R (resp. W e R = W v ⋉ V ) o ` u Q ˇ R = P α ∈ Φ R .α ˇ . Un mur ou demi-appartemen t relatif ` a M R mais pas ` a M sera dit f a ntˆ ome ; par opp osition un m ur ou demi-appartemen t relatif ` a M sera parfois dit vr ai . 2) Dans le cas Kac-Mo o dy sans imaginaire o u mo d´ er ´ emen t i maginaire, on p eut c hoi si r un sous-group e ﬁx e non t ri vial Γ de R et p o ser Γ α = Γ, ∀ α ∈ Φ. Alors Q ˇ = ⊕ i ∈ I Γ .α ˇ i et donc W stabilise bien M . L’appartement A est semi-discret (resp. dense) si et seulemen t si Γ est discret (resp. dense) dans R et alors Q ˇ est discret (resp. dense) dans Q ˇ R . Le cas Γ = Z est d ´ ev elopp ´ e dans [Ga ussen t-Rousseau-08]. Dans le cas mo d´ er ´ emen t i maginaire, il est en fait naturel de p oser, comme dans lo c. c it. , Γ α = Γ, ∀ α ∈ ∆ im , ce qui est con trai r e ` a la conv en tion de 1.4.d. Mais comme tout m ultiple en tier d’une ra ci ne imaginaire α est une racine, l’ensem ble des m urs de direction Ke r α est al ors dense dans A . Comme la d ´ eﬁnition ci-dessous de l’enclos p ermet de faire i n tervenir T n ∈ N ∗ D ( nα, k nα ) p our des k β ∈ Γ, cette con ven tion et celle de 1 .4.d donnen t les mˆ emes enclos. Ceci explique la d´ eﬁnition simpliﬁcatrice de M i adopt ´ ee en 1.4.d. On notera cep endan t que les 2 conv en tions p euven t donner (en 1.7.3 ci-dessous) des facettes l ´ eg ` eremen t diﬀ´ eren tes ( car une i n tersection d ´ ecroissan t e de demi-espaces ouv ert s est un demi-espace ferm ´ e), m ˆ eme si les facettes ferm ´ ees sont l es mˆ emes. 3) Dans le cas Kac- Mo o dy sans ima g inaire, si ( ϕ α ) α ∈ Φ est une v aluation r´ eelle d’une donn ´ ee radicielle ( G, ( U α ) α ∈ Φ , T ) ( c f. [Rousseau-06]), on note Γ α = ϕ α ( U α \ { 1 } ). Si Φ est classique, on d´ eﬁnit ainsi un appartemen t aﬃne A [Bruhat-Tits-72]. Il est vraisem blable que ceci reste vrai dans le cas Kac-Mo o dy g´ en ´ eral . Masures aﬃnes 9 1.7. F acette s et autres ﬁlt re s Les face ttes de A son t associ´ ees a ux m urs et demi-appartemen ts ; mais, comme dans [Bruhat-Tits-72], ce ne son t a priori des sous-ense m bles de A que dans le cas di scret. En g ´ en´ eral on doi t l es d ´ eﬁnir comme des ﬁltres de parties de A . On adopte pour l es ﬁltres les con v en ti ons de [Rousseau-08] ou [Gaussen t-Rousseau-08]. 1) P our x ∈ A , on note V x le ﬁltre des voisinages dans A du poi n t x . Si Ω est un sous-ensem ble de A con tenant x dans son adh ´ erence, le germe d e Ω en x est le ﬁltre g er m x (Ω) = Ω ∩ V x form ´ e des sous-ensem bles de A con tenant un v oisinag e de x dans Ω. En particuli er, po ur x 6 = y ∈ A , [ x, y ) = g er m x ([ x, y ]) (resp. ] x , y ) = g er m x (] x, y ])) est le germe en x du segmen t [ x, y ] (resp. de l’in terv alle ] x, y ] = [ x, y ] \ { x } ). Ce germe est di t p osi tif (resp. n ´ egatif ) si x ≤ y (resp. y ≤ x ). Si x ≤ y ou y ≤ x , on dit que [ x, y ], [ x, y ) ou ] x, y ) et la demi-droite d’origine x con tenan t y son t pr ´ eor donn ´ es ; ils son t g ´ en´ eriq ues si la facette F v ( ± ( y − x )) est sph ´ erique i. e. si x ◦ ≤ y ou y ◦ ≤ x . Si F est un ﬁltre de parties de A et x ∈ A , on dit q ue x ∈ F si x ∈ S , ∀ S ∈ F i.e. si { x } ⊂ F Le supp ort supp ( F ) d’un ﬁltre F de part i es de A est le plus p etit sous-espace aﬃne E de A con tenan t F ; c’est aussi le suppo rt de l’adh´ erence F de F . La d i mension de F est la dimension de E . 2) L’enc los cl ( F ) d’un ﬁltre F de parties de A est l e ﬁltre form´ e des sous-ensem bles de A c on tenan t un ´ el´ emen t de F de la forme ∩ α ∈ ∆ D ( α, k α ), a v ec p our c haque α , k α ∈ Γ α ∪ {∞} (en particulier c haque D ( α , k α ) contien t F ). Un ﬁlt re est dit clos s’il est ´ ega l ` a son enclos. T out enclos est clos. N.B. a) Dans le cas ﬁni non discret, l’enclos tel q ue d ´ eﬁni ici p eut ˆ etre l´ eg ` eremen t plus gros que celui de [Bruhat-Tits-72 ; 7.1. 2]. P ar exemple l’enclos d’ une partie Ω de A p eut n’ ˆ etre qu’un ﬁltre et non une partie de A ; mais l’intersection des ´ el ´ ements de cl ( Ω) est l’enclos tel que d ´ eﬁni dans l.c. b) Cet enclos est plus p etit q ue l’enclos d´ eﬁni ` a partir de M uniquemen t (cas sans imaginaire) que l’on notera cl si ( F ). Le R − enclos cl R ( F ) du ﬁltre F est d ´ eﬁni de la m ˆ eme mani` ere q ue l’ enclos a ve c M R ` a la place de M . Dans le cas tr` es imaginaire le R − enclos n’est rien d’autre que l’en v elopp e con v exe conv ( F ) de F . On note cl si R ( F ) l’enclos de F asso ci ´ e ` a M R (sans M i ). Bien sur les enclos cl , cl R , cl si et cl si R son t en fait associ´ es ` a A , A R , A si et A si R . P our tout ﬁltre F on a : conv ( F ) ⊂ cl R ( F ) ⊂ cl si R ( F ) ⊂ cl si ( F ) et cl R ( F ) ⊂ cl ( F ) ⊂ cl si ( F ). 3) Une fac ette-lo c ale de A est asso ci ´ ee ` a un p oint x ∈ A et une facette vectorielle F v dans V ; c’est le ﬁltre F ℓ ( x, F v ) = g er m x ( x + F v ). La fac ette asso ci ´ ee ` a F ℓ ( x, F v ) est le ﬁltre F ( x, F v ) form ´ e des ensem bles conten an t une in tersection de demi-espaces D ( α, k α ) ou D ◦ ( α, k α ) (un seul k α ∈ Γ α ∪ {∞} p our c haque α ∈ ∆), cette in t ersectio n dev an t con tenir F ℓ ( x, F v ). La facette-lo cal e F ℓ et l a facette F on t le m ˆ eme enclos qui 10 Guy Rousseau est aussi la fac ette-fe r m´ e e F , adh´ erence de F . Cette d ´ eﬁnition donne des facettes plus grandes (au sens larg e) que celles de [Bruhat-Tits-72 ; 7.2.4] dans le cas ﬁn i. Ce son t les m ˆ emes facettes si l’on remplace in tersection par in tersection ﬁnie en [ l.c. ; 7.2. 4 ligne 4] ; cette mo di ﬁcati on ne c hange pas le g ro up e asso ci´ e et donc pas l’ensem ble des appartemen ts con tenan t la facette. Dans le cas discret, la facette est bien l e sous-ensem ble de A consid ´ er ´ e par Bruhat et Tits. Si t oute ra ci ne de ∆ est n ulle sur V 0 , la facette associ´ ee ` a M R , M i , F v et x est F R ( x, F v ) = F ℓ ( x, F v ) + V 0 . Dans l e cas dense on a F ( x, F v ) = F R ( x, F v ) p our x sp ´ ecial . 4) Une facette-lo cale ou une facette est dite p ositive ou n ´ egative si on p eut l’ ´ ecrire F = F ℓ ( x, F v ) ou F = F ( x, F v ) a v ec F v de ce signe ; elle p eut ˆ etre p ositive et n ´ egati ve. Cette face tte-lo cal e ou facette F est dite sph ´ e ri que si la direction de son supp ort rencon tre le cˆ one de Tits ouv ert (et donc a un ﬁxateur ﬁni dans W v ), alors son ﬁxateur W F dans W est ﬁni. Si F v est sph ´ eri q ue, alors F ℓ ( x, F v ) ou F ( x, F v ) l’est aussi et c’est ´ eq uiv alen t p our une facette-lo cal e. Si F = F ℓ ( x, F v ) est une face tte-lo cal e, on a dim ( F ) = dim ( F v ). Ce n’est en g ´ en´ eral pas vrai p our une facette ou une facette-ferm ´ ee. 5) Lemme. Si F est une facette, une facette-ferm ´ ee, une facette lo cale ou un ﬁltre clos, alors tout Ω ∈ F contien t un ouve rt non vide du supp ort de F . N.B. P ar con tre le supp ort d’un ﬁlt re clos n’est pas forc ´ emen t clos. D´ emonstration. Une base du ﬁltre F est form ´ ee d’ensem bles con v exes et il est clair qu’un ensem ble con vexe con tien t un ouvert non v ide de l’ espace aﬃne qu’il engendre. 6) Dans l e cas mod´ er ´ ement imaginaire une facette-ferm ´ ee est l’enclos d’un g erme de segmen t pr ´ eordonn ´ e. 1.8. C h am b res, cloisons... 1) Il y a un ordre sur les facettes : les assertio ns ” F est une face de F ′ ” , ” F ′ domine F ” et ” F ≤ F ′ ” son t par d´ eﬁnition ´ equiv alen tes ` a F ⊂ F ′ . T out p oin t x ∈ A est conten u dans ( l’adh ´ erence d’)une unique facette minima le F ( x , V 0 ) ; le p oint x est un sommet si et seulemen t si F ( x, V 0 ) = { x } . 2) Une chambr e (ou alcˆ ove ) est une facette ma ximale ou, de mani ` ere ´ equiv alen te, une facette que l’on p eut ´ ecrire sous la forme C = F ( x, C v ) o ` u C v est une c hambre v ectorielle. Sa dimension est n et elle est sph ´ erique. Une cloison est une facette maximale parmi les facettes conten ues dans au moins un m ur (r ´ eel), ou de mani ` ere ´ eq uiv alen te une facette que l ’on p eut ´ ecrire sous l a forme F = F ( x, F v ) o ` u F v est une cloison v ectoriell e et x appartien t ` a un m ur de direction supp ( F v ). Sa dimension est n − 1, son supp ort est un mur et ell e est sph ´ eri q ue. Un mur d’une chambr e C est le sup p ort M d’une cloison F domin ´ ee par C . Deux c hambres son t dites adjac entes (le long de M ou F ) si elles dominen t une mˆ eme cloison Masures aﬃnes 11 F de supp ort M . Mais il p eut exister une ch am bre ne dominan t aucune cl o ison, et donc n’a y an t aucun m ur. Donc, A n’est pas forc ´ emen t ” connexe par g aleries”. 3) Exemple : On se place dans l e cas (a ssez g ´ en ´ eral) de 1.2 . 1 : le cas Kac-Mo o dy (sans imaginai re ou mo d´ er ´ emen t imaginaire) av ec des Γ α comme en 1.4 (supp os ´ es seulemen t i nﬁnis). On v a mieux d ´ ecrire ci-dessous la facette F = F ( x , F v ( J )) mˆ eme quand x n’est pas sp´ ecial. On note Φ x = { α ∈ Φ | α ( x ) ∈ Γ α } , ∆( J ) = ∆ ∩ ( ⊕ j ∈ J R α j ) et Φ( J ) = Φ ∩ ∆( J ) . Si J n’est pas sph ´ erique, alors (q ue ce soit av ec ou sans imaginaires) on a dim( F ) ≤ n − 1. Plus pr ´ ecis ´ emen t supp ( F ) est con tenu dans l’intersec tion x + V ′ ( J ) des h y p erplans aﬃnes x +Ker β p our l es β ∈ V ∗ \ { 0 } tels q ue R β soit po i n t d’accum ulati on (dans P ( V ∗ ) ) des R γ p our γ ∈ Φ( J ). L’espac e V ′ ( J ) est stable par W v ( J ). De plus toute racine δ ∈ ∆ im ∩ ∆( J ) est n ulle sur V ′ ( J ) [ Kac-90 ; ex. 5.12], donc F n’est pas sph ´ erique. Si J est sph ´ erique, alors F est ´ egalement sph ´ erique. On a dim( F ) = n si et seulemen t si Φ x ∩ Φ( J ) = ∅ et alors F = F ( x, C v f ) est une c ham bre. On a dim( F ) = n − 1 si et seulemen t si | Φ x ∩ Φ( J ) | = 1 ; on p eut supposer q ue Φ + x ∩ Φ( J ) = { α j 0 } p our j 0 ∈ J et alors F = F ( x, F v ( { j 0 } )) est une cloison. Ainsi une facette de dimension n est une ch am bre et une facette de dimension n − 1 est soit une cloison soi t non sph ´ erique. Donc l’ensem ble F des face ttes de A et le cˆ one de Tits d ´ eterminent l ’ ensem ble M des murs . 1.9. Qu artiers Un quartier dans A est un t r a nslat ´ e q = x + C v d’une c hambre v ectorielle ; x est son s ommet et C v sa dir e ction . Deux quartiers on t la m ˆ eme direction si et seulemen t si ils son t translat´ es l’un de l ’autre et si et seulemen t si l eur i ntersection contien t un autre quartier. Le ge r me de quartier du quart ier q = x + C v est le ﬁltre g er m ∞ ( q ) = Q form´ e des sous-ensem bles de A contenan t un t ranslat ´ e de q ; il est bien d´ etermin ´ e par la direction C v . Ainsi l’ensem ble des classes de q uart iers de A ` a t ranslation pr` es, l’ ensem ble des c hambres v ectorielles de V et l’ensem ble des germes de quartiers de A son t en bijection canonique. Une fac e ( resp. cloison ) de quartier dans A est un translat´ e f = x + F v d’une facette (resp. cloison) v ectorielle. Le germe d e fac e de quartier de la face de quartier f = x + F v est le ﬁltre g er m ∞ ( f ) = F form´ e des sous-ensem bles de A contenan t un r ac c our ci de f i .e. un translat´ e quelconque f ′ de f par un ´ el ´ emen t de F v (donc f ′ ⊂ f ). Si F v est sph ´ erique, alors f et F son t auss i dits sph´ er i ques ( ou ´ evas´ es ). Le signe de f ou F est le signe de leur dir e ction F v . 1.10. Ch emin´ ees 12 Guy Rousseau Une chemin ´ ee est asso ci ´ ee ` a une facette F = F ( x, F v 0 ) (sa b ase ) et une facette v ectorielle F v (sa dir e ction ), c’est le ﬁltre r ( F , F v ) = cl ( F + F v ) = cl ( g er m x ( x + F v 0 ) + F v ) ⊃ cl ( F ) + F v = F + F v . La c hemin´ ee r ( F , F v ) est dite ´ e vas ´ ee si F v est sph ´ erique, son signe est celui de F v . Cette che min ´ ee est dite solide ( resp. pleine ) si la direction de son supp ort a un ﬁxateur ﬁni dans W v (resp. si son supp ort est A ). Remarques 1.11. 1) Si F v ou F est sph´ erique (resp. une c hambre), alors r ( F , F v ) est solide (resp. pleine). En particulier une c hemin ´ ee ´ ev as ´ ee est solide. 2) La pl´ enitude de la c hemin´ ee r ´ equiv aut au fait que tout S ∈ r con t i en t un ouvert non vide de A (lemme 1.7.5) , alors le ﬁxateur (p oin t par poi n t) W r de r dans W est r ´ eduit ` a l’ ´ el ´ emen t neutre. 3) Dans le cas ﬁni toute c hemin´ ee est ´ ev as ´ ee et t oute face de quartier ou facette est sph ´ erique. 4) Dans le cas ﬁni ou si F v n’est pas sph ´ erique, i l p eut arrive r que la c hemin´ ee soit ` a la fois p ositi v e et n´ egative. 5) Si F v = V 0 est la facette v ectorielle minima l e, alors r ( F , F v ) = F + V 0 ⊂ cl si ( F ) et est ´ egal ` a la f acette ferm ´ ee F si t oute α ∈ ∆ est n ulle sur V 0 ( e.g. d ans le cas mo d ´ er ´ emen t ima ginaire). T oute facette-ferm ´ ee engendre donc une c hemin´ ee (d ´ eg ´ en´ er ´ ee) qui n’est ´ ev as ´ ee que dans le cas ﬁni. 6) L’enclos d’une face de quartier f = x + F v est une che min ´ ee (a ve c F v 0 = V 0 ou F v 0 = F v ) de m ˆ eme directi on q ue f . La face de quartier est sph´ erique si et seulemen t si la c hemin´ ee corresp ondante est ´ ev as ´ ee. 7) Dans le cas mo d´ er ´ ement imaginaire et sauf si la directio n est r´ eduite ` a { 0 } , on p eut d´ ecrire l’adh ´ erence d’une face de q uartier comme le R − enclos d’une demi-droite pr ´ eordonn ´ ee et une c hemin´ ee comme l ’ enclos d’une demi-droite pr ´ eordonn´ ee et d’un germe de segmen t pr´ eordonn ´ e de mˆ eme origine. La face de quartier est sph ´ erique (ou la c hemin´ ee est ´ ev as ´ ee) si et seulemen t si la demi-droite est g´ en ´ eri que. 1.12. Germes de c h emin´ ees ou demi-droites Un r ac c our ci d’une demi-droite δ d’origine x est une demi-droite δ y d’origine y ∈ δ d ´ eﬁnie par δ y = δ + ( y − x ) = δ \ [ x, y [. Le ge rme de cette demi-droite est le ﬁltre g er m ∞ ( δ ) des parti es de A con tenan t un de ses raccourcis. Un r ac c our ci d’une c hemin´ ee r ( F , F v ) est d´ eﬁni par un ´ el ´ ement ξ ∈ F v , c’est la c hemin ´ ee cl ( F + ξ + F v ). Le germe de cette ch emin ´ ee est l e ﬁl tre R ( F , F v ) = g er m ∞ ( r ( F , F v )) des parties de A conten an t un de ses raccourcis. Remarques : 1) La direction F v est bien d ´ etermin ´ ee par r ou R (ce n’est pas vrai p o ur la base) : F v est la r´ eunion des demi-droites v ectorielles telles que t out ´ el ´ emen t du ﬁltre R con t i enne une demi-droite de cette direction. Masures aﬃnes 13 2) Un raccourci d’une c hemin ´ ee a la mˆ eme direction, le m ˆ eme supp ort, le m ˆ eme signe et donc l es m ˆ emes propri´ et ´ es (´ ev as ´ ee, solide ou pleine) que la c hemin ´ ee o ri ginelle ; ces ob jets et ces propri´ et ´ es sont donc attac h ´ es au germe. 3) Dans le cas d ´ eg´ en ´ er´ e o` u F v = V 0 , tout raccourci de r est ´ egal ` a r , donc r = R . 4) Un germe de quartier est un germe de c hemin´ ee ´ ev as ´ ee pleine. 1.13. Ap partements de typ e A Un app arte ment de typ e A est un ensem ble A m uni d’un ensem ble I som ( A , A ) de bijections f : A → A (app el´ ees isomorphismes ) tel que, si f 0 ∈ I som ( A , A ), alors f ∈ I som ( A , A ) si et seulemen t si il ex i ste w ∈ W v´ eriﬁan t f = f 0 ◦ w . Un isomorphi sme en tre deux appartemen t s A et A ′ est une bijection ϕ : A → A ′ telle qu’il exi ste f 0 ∈ I som ( A , A )) av ec ϕ ◦ f 0 ∈ I som ( A , A ′ ) ( i.e. f ∈ I s om ( A , A )) ⇔ ϕ ◦ f ∈ I som ( A , A ′ ) ). En particuli er un appartemen t A p oss ` ede une structure nat urelle d’espace aﬃne sous un espace vectoriel r´ eel V ( A ), a v ec des ensem bles Φ( A ) ⊂ ∆( A ) ⊂ V ( A ) ∗ de racines, des murs ou m urs imaginai res, des cˆ o nes de Tit s ±T ( A ) dans V ( A ) et des relations de pr ´ eordre ≤ A , ≤ A , ◦ ≤ A . Il con ti en t des facettes, des demi-appartemen ts, des quartiers, des c hemin ´ ees ... et plus g´ en ´ eral emen t tout ce que l’on v i en t de d ´ eﬁnir, puisque ces not i ons son t in v ariantes par W . De plus un isomorphisme d’a ppartements ´ ec hange ces structures, ob jets et relati ons. § 2 . Masures aﬃnes P our simpliﬁer on se place dor´ ena v an t dans le cas mo d´ er ´ emen t imag inaire. Il faudrait sinon ra jouter ` a la d ´ eﬁnition 2 .1 ci-dessous au moins certai nes des propri ´ et ´ es d ´ emontr ´ ees en 2.2. Le cas tr ` es i maginaire av ec enclos r´ eel ( ´ egal ` a l’en veloppe con vexe) p ourrait quand mˆ eme ˆ et r e int ´ eressan t. D´ eﬁnit i on 2.1. Une masur e aﬃne de type A est un ensemb le I m uni d’un recouvrement par un ensem ble A de sous-ensem bles app el ´ es app artements tel que : (MA1) T out A ∈ A est m uni d’une structure d’appartemen t de typ e A . (MA2) Si F est un p oin t, un germe d’interv alle pr ´ eordonn ´ e, une demi-droite g ´ en´ erique ou une c hemin´ ee solide d’un appartemen t A et si A ′ est un autre appartemen t con tenant F , al ors A ∩ A ′ con ti en t l ’enclos cl A ( F ) de F dans A et il existe un isomorphisme de A sur A ′ ﬁxan t cet enclos. (MA3) Si R est un germe de ch emin ´ ee ´ ev as ´ ee, si F est une facette ou un germe de c hemin´ ee soli de, a lors R et F son t toujours conten us dans un m ˆ eme a ppartement. (MA4) Si deux appartemen ts A , A ′ con ti ennen t R et F comme en (MA3), alors leur i n tersection A ∩ A ′ con ti en t l’enclos cl A ( R ∪ F ) de R ∪ F dans A et il exi ste un isomorphisme de A sur A ′ ﬁxan t cet enclos. 14 Guy Rousseau P ar r ´ ef ´ erence aux d´ ecomp ositions corresp ondan tes dans les group es de Kac-Mo o dy ( cf. § 6), si R est un germe de quartier et F une facette (resp. un germe de quartier de m ˆ eme signe, de signe opp os´ e) on dit que (MA3) ou (MA4) est la partie existence ou unicit ´ e de la pr opri ´ et´ e d’ Iwasawa (resp. de Bruhat, de Birkhoﬀ ) ; on a joute le qualiﬁcati f mixte si on remplace germe de quartier par g erme de ch emin ´ ee ´ ev as´ ee non d ´ eg´ en ´ er´ ee ou solide non d´ eg ´ en ´ er ´ ee. La pr opri ´ et´ e de Bruhat-Iwahori correspo ndrait au cas o ` u R et F son t des facettes ( cf. (I1 ) et (I2) en 2. 2.6 ci-des sous) ; elle est raremen t v ´ eriﬁ´ ee par les masures aﬃnes : seulemen t par les i mmeubles aﬃnes ( c f. 2.4, 2. 5). Remarque. Les d´ eﬁnitions des masures aﬃnes de type A , A R , A si et A si R ne diﬀ ` eren t donc que par l es con t rain tes plus ou mo i ns grandes imp os´ ees par l e fait de contenir l es enclos corresp ondants. Le type A si est le plus con t ra ignan t, on esp ` ere p ouv oir toujours s’y ramener. Le t yp e A R est le moins con tra i gnan t . 2.2. Premi` ere s cons ´ equence s 1) Si la conclusion de (MA2 ) est v ´ eri ﬁ ´ ee p our un ﬁlt re F , el le l’est aussi p our tout ﬁltre F ′ tel q ue F ⊂ F ′ ⊂ cl A ( F ). En particulier si (MA2) est v´ eriﬁ ´ e, il s’applique aussi bien quand F es t un germe de segment pr ´ eordonn ´ e, une facette-lo cale, une facette, une facette-ferm ´ ee ou une face de quartier sph ´ erique. De m ˆ eme ( MA2) s’applique alors aussi quand F est un germe de demi-droit e g´ en ´ erique, un germe de face de quartier sph ´ erique ou un germe de c hemin´ ee soli de. 2) L’axio me ( MA2) et la remarque ﬁnale de 1.1 3 montren t que les noti o ns de germe de segmen t (ou d’in terv alle) pr´ eordonn ´ e, facette, facette-lo cale, facette-ferm ´ ee, demi-droite g´ en ´ eriq ue, face de quartier sph ´ erique, che min ´ ee solide et les germes asso ci ´ es son t bien d ´ eﬁnis dans la masure ind´ ep endammen t de l’ appartemen t qui les con tien t. De m ˆ eme l es qualiﬁcatifs qui s’appli q uen t ` a ces ob jets ( p ositif, n´ egatif, sph ´ eriq ue, g ´ en ´ eri que, ´ ev as´ e, pleine, di mension, t y p e, c hambre, cloison) ne d´ ep enden t pas de l’ a ppartement. On utilise ceci dans les axiomes (MA3) et (MA4). 3) D’apr` es (MA2) les axio mes (MA3 ) et (MA4) s’appliquen t aussi dans une masure quand F est un p oin t, u n germe de segmen t pr´ eordonn ´ e, une facette-lo cale ou une facette-ferm ´ ee et quand R ou F est un germe de demi-droite g´ en ´ eri que ou un germe de face de quartier sph ´ erique. Bien sur ( MA 3 ) (mais pas forc ´ ement (MA4)) s’a ppli que aussi si R ou F est conten u dans l’un des ob jets indiqu´ es, par exemple si R est un g erme de demi-droite g´ en ´ eriq ue et si F est un germe de demi-droit e pr´ eordonn ´ ee. 4) Les enclos cl A ( − ) in tervenan t dans les axiomes (MA2) et (MA4) ne d ´ ep enden t ﬁnalemen t pas de l’ appartemen t A c hoisi dans la masure et son t donc not ´ es simplemen t cl ( − ). 5) U n mur (dans un appartemen t ) est l’enclos de deux germes de cloisons de quartier ; ainsi l es appartemen ts con tenant un m ur sont i somorphes et la notion de m ur Masures aﬃnes 15 est in trins` eque dans une ma sure. De m ˆ eme p our un demi-appartemen t q ui est l’enclos d’un germe de quartier et d’un germe de cloison de quartier. 6) Dans l e cas ﬁni, tout appartemen t A est muni d’une m ´ etrique euclidienne d A , W A − in v aria nte. De plus on a vu (1.11.5) q u’une facette-ferm ´ ee est un germe de c hemin´ ee ´ ev as ´ ee, une masure aﬃne v ´ eriﬁe donc dans ce cas les tr o is ax iomes habituels des i mmeubles ( cf. [T i ts-74] ou [ Bro wn-89] dans le cas discret et [Rousseau-08] dans le cas aﬃne g ´ en ´ eral) : (I0) T out A ∈ A est un appartemen t euclidi en. (I1) Deux facettes son t toujours conten ues dans un m ˆ eme appartemen t. (I2) Si A et A ′ son t deux appartemen ts, leur in tersection est une r ´ eunion de facettes et, p our toutes facettes F , F ′ dans A ∩ A ′ , il existe un isomorphisme de A sur A ′ ﬁxan t les facettes-ferm ´ ees F et F ′ . En particulier la propri ´ et´ e de Bruhat-Iwahori est v ´ eriﬁ ´ ee. D´ eﬁnit i ons 2.3. La masure aﬃne I est di t e or donn´ ee si el le v´ eriﬁe l’axi ome suppl ´ emen taire suiv ant : (MA O) Soient x, y deux p oi n ts de I et A, A ′ deux appartemen ts les con tenan t ; si x ≤ A y , alors les segmen ts [ x, y ] A et [ x, y ] A ′ d ´ eﬁnis par x et y dans A et A ′ son t ´ egaux. La masure aﬃne I est dite ´ ep aisse si to ute cloi son de I est domi n´ ee par au moins trois c ham bres. T ous les quali ﬁcatifs qui s’appliquen t ` a A s’appliquent aussi ` a I , e.g. semi-discret, discret, dense, sans imaginaire, dimension, rang ( vectoriel), t y p e ﬁni, t y p e classique, ... Remarques : 1) La seconde d ´ eﬁnition est habituelle. La premi` ere est une condition de ”con v exit´ e pr ´ eordonn´ ee” des intersections d’appartemen ts. On verra au § 5 qu’elle p ermet de d ´ eﬁnir des pr ´ eordres globaux sur I . 2) Evidemment une masure I de t y p e A est munie d’une structure naturelle I R de masure de t yp e A R ( cf. 1. 6.1), il suﬃt de ra jouter t ous les murs fan t ˆ omes ` a la structure. Mais I R ne p eut ˆ etre ´ epaisse (sauf si M = M R ). Il n’est pas sur que cette masure de t yp e A puisse ˆ etre m unie (comme on l’esp ` ere) d’une structure de ma sure de type A si ou A si R (sans imaginaire). 2.4. Exemple s 1) Soit I l’immeuble de Bruhat-Tits d’une donn´ ee radicielle v alu ´ ee (au sens de [Bruhat-Tits-72]) que l’ on mun it de son syst ` eme canonique A d’appartemen ts. L’appartemen t t ´ emoi n A e st un appartemen t aﬃne relev ant du cas classiq ue (donc ﬁni) de 1.2.1 (sans imag inaire). D’apr` es [Bruhat-Ti ts-72 ; 6.2 . 11] on p eut supp oser que la donn´ ee ra dicielle est g´ en ´ eratri ce et q ue l ’image du group e N de cette donn´ ee dans l e group e aﬃne de A est notre groupe W . De plus p our ∅ 6 = Ω ⊂ A , le group e U Ω d ´ eﬁni dans lo c. cit. ﬁxe le ﬁltre cl (Ω), mˆ eme a vec notre d ´ eﬁnition plus restrictive d’enclos. Ainsi [ l.c. ; 7.4.8 et 7.4. 9] mon tre que l’in tersection A ∩ A ′ de deux appartemen ts A , A ′ 16 Guy Rousseau est close (mˆ eme p our notre d ´ eﬁnition plus restrictive) et que A et A ′ son t isomorphes par un isomorphisme (au sens de 1. 13) ﬁxan t cett e intersection. On en d ´ eduit l es axiomes (MA1), ( MA2), (MA4) et (MA O). Le th´ eor ` eme 7.4 . 18 de lo c. cit. mon tre l’axio me ( MA3) dans les cas impliquant des facettes ou des germes de quartier. Cep endan t les c hemin ´ ees n’in terviennen t pas dans lo c. cit. Les r ´ esultat s manquan ts p our l’axio me (MA3) son t d ´ emontr ´ es dans [Rousseau-77], voir aussi [Rousseau-01]. Un immeuble aﬃne irr ´ eductible, de dimension ≥ 3 et muni d’un syst` eme d’appartemen ts v´ eriﬁan t les axiomes de [Ti ts-86], est asso ci´ e ` a une donn ´ ee radicielle v alu ´ ee, mais en un sens qui p eut ˆ etre plus g´ en ´ eral que celui de [Bruhat-Tit s-72] . On n’est donc sur d’obtenir une masure aﬃne que dans un nom bre plus restrein t de cas. Mais la d ´ emonstratio n de [ Rousseau-77] devrait p ouv oir ˆ etre adapt ´ ee ` a ce cadre, comme elle l’a ´ et ´ e ici p our les group es de Kac-Mo o dy , cf. 6.7. Un immeuble aﬃne simplicial ( i.e. discret) m uni de son syst ` eme complet d’ a pparte- men ts est une masure aﬃne ordonn´ ee. L’essen t iel des r´ esultats se trouve dans l es r ´ ef´ erences classiques : [ Bro wn-89], [Garrett -97 ], [Ronan-89], [Sc harlau-95] ou [ W ei ss-08]. Les r ´ esultats manquan ts sur les c hemin ´ ees son t dans [Chari gnon]. Les immeubles aﬃnes de [Tits-86] on t ´ et ´ e revisit ´ es par Anne P arreau [20 00], v oir aussi [Kleiner-Leeb- 97]. Si on les munit de leur syst ` eme complet d’appartemen ts, il est v raisem blable que l’on puisse d ´ emontrer que deux demi-droites sont (quit te ` a les raccourcir) conten ues dans un m ˆ eme appartemen t. Join t aux r ´ esultats connu s, ceci mon t rerait qu’un tel immeuble aﬃne est une masure aﬃne ordonn ´ ee. On obtien t ainsi de nombreux exemples de masures aﬃnes ordonn´ ees ´ epaisses de t yp e classique (qui son t aussi des i mmeubles). Mais ceci ne donne pas de nouv eaux ob jets. 2) Soit G un group e de Kac- Mo o dy sur un corps K , au sens minimal (”alg ´ ebrique”) de [T i ts-87]. Ce group e est muni d’une donn ´ ee radicielle g ´ en ´ eratrice de typ e un syst ` eme de racines r ´ eelles Φ de Kac-Mo o dy ( i .e. comme en 1.2.1) [Rousseau- 06 ; 1.4]. Si K est m uni d’une v aluation r ´ eelle ω non triviale, l a donn ´ ee radicielle de G est naturellement m unie d’une v aluati o n [Rousseau-06 ; 2.2] et on p eut d´ eﬁnir un appartemen t aﬃne A corresp ondan t (voir [Gaussen t-Rousseau-08 ; 2. 2 ] p our ω discr` ete, mais l e cas g´ en ´ eral est sem bl a ble) ; cet appartement est mo d´ er ´ emen t imaginaire. Si G est sym ´ etri sable, si la v aluati on ω de K est discr ` ete et si l e corps r´ esiduel con ti en t C , on construit dans [Gaussen t-Rousseau-08] une masure (hov el) sur l aquelle le group e G agit. Cette masure n’est en g ´ en ´ eral pas un immeuble, faute de satisfaire l’axiom e (I1 ), i.e. l a propri´ et ´ e de B ruhat-Iw ahori . C’est en fait (au moins sous la condition (SC) de 6.1) une masure aﬃne ordonn ´ ee ´ epaisse, mais certaines des propri´ et ´ es exig ´ ees dans la d ´ eﬁnition 2.1 ne son t pas prouv´ ees dans lo c. c it. Les d´ emonstrations manquan t es son t regroup ´ ees ` a la ﬁn de cet article ( § 6 ). Malheureusemen t il n’y a pas encore de construction de masure aﬃne asso ci ´ ee ` a Masures aﬃnes 17 une donn ´ ee radicielle v alu´ ee quelconque. On l’ esp ` ere au moins dans le cas pr´ esen t des group es de Kac-Mo o dy p our des corps r´ eellemen t v alu ´ es quelconques [Rousseau- ?] . 2.5. C ommentaires sur les d ´ e ﬁnitions La d´ eﬁnition de masure aﬃne a dopt´ ee ici est largemen t inspir ´ ee de celle d’immeuble de t yp e aﬃne donn ´ ee par J. Tit s [ Tits-86]. T outes les deux d ´ ep enden t d’un syst` eme d’appartemen ts c hoisi et fon t in terv enir des ´ el´ emen t s ` a l’i nﬁni : les quartiers. On a en fait ici ra jout ´ e l’exig ence de propri ´ et´ es d’autres ´ el ´ emen ts ` a l’inﬁni, les chemin ´ ees d ´ eﬁnies dans [Rousseau-77]. Cela p ermet de se passer de l’ axiome (A5) in t ro duit par J. Tits (ou de ses v arian tes, cf. [Ronan-89 ; app endice 2]). P ar ailleurs on raisonne ici av ec A plutˆ ot qu’a ve c A R comme dans [ Tits-86]. Les ax i omes pr ´ esen t ´ es i ci son t compliqu ´ es par le fait que b eaucoup de cas diﬀ´ eren ts son t consid ´ er´ es. Je n’ai pas tr o uv ´ e de formu lation plus simple qui n’exclurai t pas l’exemple f ondamen ta l de Kac-Mo o dy ci-dessus (2.4.2) et d onc ne risquerait pas de ne s’a ppli quer qu’` a l’ensemb le v ide (en dehors du cas ﬁni). Il fall ait en part iculier ´ ev iter d’exiger l’axiome (I1) (o u propri ´ et ´ e de Bruhat-Iwahori). Cet ax iome me semb lan t fondamen tal pour l es i mmeubles, j’ai adopt ´ e ici le nom de masure. J’ai simplemen t demand ´ e dans l es axiomes ce que j e sa v ais sur les masures de [Gaussen t-Rousseau-08]. Les r ´ esultat s qui von t suivre semblen t l ´ egitimer ce choix et il ne sem ble pas y a v oir d’h yp oth` ese inu tile. J’ai cependant c hoi si de s´ eparer l’ axiome (MA O) : il ne fait interv enir que des ´ el ´ emen ts ` a distance ﬁnie et p ourrait d’ailleurs p eut- ˆ et re s’av ´ erer cons´ equence des autres axio m es. Les propri´ et ´ es sp´ eciﬁques des masures aﬃnes ordonn ´ ees sont ab ord´ ees dans le § 5. La d ´ eﬁnition de masure aﬃne donn ´ ee ici est pr´ ecise. La notion g´ en ´ eral e de masure (”immeuble sans l’ axiome I1”) est b eaucoup plus v ague. Il existe cep endan t au moins un autre exemple in t ´ eressant : [B roussous-04]. Les masures , comme les immeubles, son t des exemples d’ esp ac es c ouverts , c’est ` a dire d’ensem bles mun is d’un recouvremen t par des sous-ensem bles ( appartemen ts ou pla t s) tous isomorphes par ”suﬃsammen t d’isomorphismes”. C’ est aussi l e cas des espaces riemanniens sym´ etriques m unis des plats (maximaux) ; dans ce cas (de mani` ere analogue ` a l’ a xiome (I1) des immeubles) deux p oin ts son t toujours con ten us dans un m ˆ eme pl a t. Des exemples ne v´ eriﬁan t pas cette propri´ et´ e, donc plus pro c hes des ma sures, sem blent ` a ch erc her parmi les espaces pseudo-riemanniens sym ´ etriques. 2.6. R´ e tractions Soit R un germe de c hemin ´ ee ´ ev as ´ ee pleine dans un appartemen t A d’une masure aﬃne I . P our x ∈ I , choisissons un appartemen t A x con tenant R et x (MA3). Il existe alors un isomorphisme ϕ : A x → A ﬁxan t R . Si ϕ et ϕ ′ son t deux tels isomorphismes, ϕ − 1 ◦ ϕ ′ est un automorphisme de A x ﬁxan t la chemin ´ ee pleine R , c’est donc l’iden tit´ e (1 .11.2) 18 Guy Rousseau et ϕ est unique. De m ˆ eme d’apr ` es (MA4) ϕ ( x ) ne d ´ ep end pas du c hoix de l’appartemen t A x . On p eut donc d ´ eﬁnir ρ A, R ( x ) = ϕ ( x ) . L’application ρ A, R : I → A est une r´ etraction de I sur A . Ell e ne d´ ep end q ue de A et R ; on l’app el l e l a r´ etr action de I sur A de c entr e R . Si A ′ est un autre appartemen t con tenan t R , on a ´ evidemmen t ρ A ′ , R = ψ ◦ ρ A, R o ` u ψ est l’unique isomorphisme de A sur A ′ ﬁxan t R . Ainsi, ` a isomorphisme unique pr ` es, ρ A, R ne d ´ ep end que de R . Remarque : Dans le cas ﬁni, o n retrouve ai nsi les r´ etractions bien conn ues ( d’immeubles aﬃnes) de cen tre des c hambres ou des germes de quarti er. Mais on a aussi des r ´ etra ct i ons de centre des germes de c hemin ´ ees pleines. E n fait celles-ci son t des c hambres des diﬀ ´ eren ts immeubles aﬃnes in terve nan t dans la compactiﬁcation de Sat ak e de l’immeuble ( cf. § 4). Prop osition 2.7. 1) Soi en t R un germe de chemin ´ ee ´ ev as ´ ee et x , y deux p oints dans un a ppartement A d’une masure aﬃne v´ eriﬁan t x ≤ A y . Il existe une sub division z 0 = x, z 1 , . . . , z n = y du segmen t [ x, y ] A et des appartemen ts A 1 , . . . , A n tels que, p our 1 ≤ i ≤ n , l’a ppartement A i con ti enne R et le segmen t [ z i − 1 , z i ] A . 2) Soien t F une facette ou un germe de c hemin ´ ee solide et F , F ’ deux germes de faces de quartier sph ´ eri ques dans une masure aﬃne I . On supp ose qu’il existe un appartemen t A de I con tenant F et F ’ et que, dans cet appartemen t, F et F ’ ont mˆ eme direction. Alors il existe dans A des g ermes de faces de quartier (sph ´ eriques) de m ˆ eme direction F 0 = F , F 1 , . . . , F n = F ′ et des appartemen ts A 1 , . . . , A n tels q ue, p o ur 1 ≤ i ≤ n , l’appartemen t A i con ti enne F i − 1 , F i et F . N.B. a) Bi en sur, dans l’´ enonc ´ e ci -dessus on t p eut remplacer facette par facette-lo cale, facette-ferm ´ ee, p oi nt ou germe de segment pr ´ eordonn ´ e ; germe de c hemin ´ ee soli de ou ´ ev as´ ee p ar germe de face de quartier sph´ erique ou demi-droite g ´ en ´ erique et face de quartier sph ´ erique par demi-droit e g´ en ´ eriq ue. b) On sai t de plus (MA4) que l e fait d’av oir mˆ eme direction ne d ´ ep end pas de l’ appartemen t con tenan t l es deux faces de q uartier sph ´ eriques o u demi-droites g ´ en´ eriques. D´ emonstration. Les preuves des deux r ´ esultats son t tr` es pro c hes. De plus la premi` ere preuv e est esse n tiellemen t celle de [Gaussen t-Rousseau-08 ; sect. 4.4]. On ne fait donc que la seconde preuv e. Notons f = x − + F v et f ′ = x + + F v des repr ´ esen ta n ts de F et F ′ dans A . Le cas o ` u F v = V 0 ne corresp ond ` a des faces de quart ier sph ´ eriq ues que dans le cas ﬁni et rel ` eve de la parti e 1 ). On p eut donc supposer que F v con ti en t une demi-droite g ´ en´ erique δ d’origine 0 dans V . Quitte ` a remplacer x + par x + + ξ (et donc f ’ par une raccourcie) p our ξ g r a nd dans δ , on p eut supp oser x − ≤ A x + ou x − ≥ A x + . Pou r z ∈ [ x, y ] A , l’ensem ble Masures aﬃnes 19 r ± z = cl A ([ z , x ± ) + F v ) (si z 6 = x ± ) est une ch emin ´ ee ´ ev as ´ ee. D’apr ` es (MA3 ) il existe un appartemen t A ± z con tenant F et un raccourci r ± z + ξ ± z = cl A ([ z , x ± ) + ξ ± z + F v ) p our ξ ± z assez grand dans δ ; cet appartemen t con tien t en fait une bande [ z , z + ε ± z ( x ± − z )] + ξ ± z + F v p our ε ± z > 0 p et i t. Mai s [ z + ε − z ( x − − z ) , z + ε + z ( x + − z ) ] est un v oisinage de z dans [ x − , x + ] qui est compact. On p eut donc recouvri r [ x − , x + ] par un nom bre ﬁni de tels in terv alles : il existe une sub div i sion z 0 = x − , z 1 , . . . , z n = x + de [ x − , x + ], des appartemen ts A 1 , . . . , A n et des ´ el ´ emen ts ξ 1 , . . . , ξ n ∈ δ tels que, p our 1 ≤ i ≤ n , l’appartemen t A i con ti en t F et [ x i − 1 , x i ] + ξ i + F v . Il suﬃt alors de poser f i = x i + ξ i + F v (on p eut m ˆ eme supposer tous l es ξ i ´ ega ux ). Corollaire 2.8. Dans la sit uat ion de 2.6 la r ´ etractio n ρ = ρ A, R est ”croissan te”. Pl us pr ´ ecis´ emen t, si x et y son t deux points d’un appartemen t A ′ tels q ue x ≤ A ′ y , l’image par ρ du segmen t [ x, y ] A ′ est une ligne bris ´ ee [ ρz 0 , ρz 1 ] ∪ [ ρz 1 , ρz 2 ] ∪ . . . ∪ [ ρz n − 1 , ρz n ] a v ec ρz 0 = ρx , ρz n = ρ y , ρz i − 1 ≤ A ρz i (p our 1 ≤ i ≤ n ) et donc ρx ≤ A ρy . Le mˆ eme r ´ esultat est v ala ble p our la relation ◦ ≤ . N.B. P our l es masures aﬃnes pr ´ eordonn´ ees on v erra au § 5 que l es diﬀ ´ eren tes relations ≤ A ou ◦ ≤ A se recollent en un e relation de pr´ eordre sur I ; c eci donne un s ens p lus habituel au qualiﬁcatif ”croissante”. D´ emonstration. C’est une cons ´ equence imm´ ediate de la prop ositio n et du fait que les isomorphismes d’appartemen t s ´ ec hangent les relations de pr ´ eordre (1 . 13). Prop osition 2.9. 1) Soit D un demi-appartemen t de la masure aﬃne I et M = ∂ D son mur ( i . e. son b ord). On consid ` ere une cl o ison F dans M et une c ham bre C de I dominan t F . Il existe alors un appartemen t A de I contenan t D et C . 2) Soien t D et D 1 deux demi-appartemen ts de I dont l ’in tersection est r´ eduite au m ur bordant c hacun d’eux : M = D ∩ D 1 = ∂ D = ∂ D 1 . Alors D ∪ D 1 est un appartemen t de I . D´ emonstration. 1) Soit f = x + F v une cloi son de quartier c on ten ue dans M de sommet x ∈ F . Il existe un appartemen t A 1 con tenant C et le germe F de f , donc aussi cl ( F ∪ F ) ⊃ F + F v . On note r = r ( C, F v ) et R son germe (dans A 1 ). Il est clair que cl ( F ∪ R ) ⊃ r ⊃ C . Soit f ′ = x − F v la cloison de quartier dans M de sommet x et de direction opp os ´ ee ` a f . On note q ’ l e quarti er de D de sommet x tel que f ′ ⊂ q ′ . Il existe un appartemen t A 2 con tenant son germe Q ’ et R ⊃ F . Ainsi D = cl ( F ∪ Q ′ ) est dans A 2 qui con t ien t aussi cl ( F ∪ R ) ⊃ C . 2) Soit x ∈ M , on c hoisit f , f ’ ( ⊂ M ) et q ’ ( ⊂ D ) comme ci-dessus . Soit f 1 ⊂ D 1 \ M une cloison de quarti er de mˆ eme directi o n que f et A 1 un appartemen t con tenant l es germes Q ’ et F 1 ; mon tro ns que A 1 con ti en t F (et donc D = cl ( Q ′ ∪ F )). On se ram ` ene par r ´ ecurrence, grˆ ace ` a 2.7. 2 , au cas o ` u Q ’, F et F 1 son t dans un m ˆ eme appartemen t A 2 . Si, dans A 2 , F ⊂ cl ( Q ′ ∪ F 1 ) le r ´ esultat est ´ eviden t. Sinon F 1 ⊂ cl ( Q ′ ∪ F ) = D , c’est absurde d’a pr` es l’hypot h` ese D ∩ D 1 = M . 20 Guy Rousseau Soit main tenan t q 1 le quartier de D 1 de sommet x tel que f ⊂ q 1 . Il existe un appartemen t A 3 con tenant les germes Q ′ et Q 1 ; il contien t donc une cloison de quartier f 1 ⊂ D 1 \ M de m ˆ eme direction que f . D’apr ` es l’ali n ´ ea pr´ ec ´ eden t A 3 con ti en t F et mˆ eme D . Ai nsi A 3 con ti en t D 1 = cl ( F ′ ∪ Q 1 ). Fi nal emen t D ∪ D 1 ⊂ A 3 et on a ´ ega l it ´ e car, dans un appartemen t, un mur ne b orde que de ux demi-appartemen ts. Corollaire 2.10. Si la ma sure I es t ´ epaisse, un demi-appartemen t est l’interse ction de deux appartemen t s. Cons´ equence . A insi dans une masure ´ epaisse un sous-ensem ble clos d’appartemen t est une in t ersection d’appartemen t s. Par contre on n’est pas sur que l’in tersection de deux appartemen ts soit close. Remarque. On dit q u’un m ur est ´ ep ai s si t out demi-appartemen t qu’il b orde est in tersection de deux appartemen ts. On v a montrer q u’un m ur est ´ epais si ( et seulemen t si) une ( r esp. toute) cloison qu’il con tien t est ´ epaisse i.e. domin ´ ee par a u moins tr o is c hambres. D´ emonstration. Soit D un demi-appartemen t dans un appartemen t A 1 de I . On c hoi si t une cloison F = F ( x, F v ) (a vec F v cloison v ectori elle) dans le m ur M b ordan t D . On note C (resp. C 1 ) la ch am bre de A 1 dominan t F conten ue dans D (resp. A 1 \ D ). P ar h yp ot h ` ese il existe une c ham bre C 2 dominan t F diﬀ ´ eren te de C et C 1 . D’apr ` es la prop osition il ex iste un appartement A 2 con tenant D et C 2 ; mon trons que D = A 1 ∩ A 2 . Sinon il existe y dans ( A 1 ∩ A 2 ) \ D . Calcul ´ e dans A 1 , l’enclos de { y } ∪ g er m ∞ ( x ± F v ) con ti en t une c hemin ´ ee raccourcie de r ± = r ( C 1 , ± F v ). Ainsi A 1 ∩ A 2 con ti en t les germes R + , R − et donc leur enclos : A 1 ∩ A 2 con ti en t l’espace de A 1 compris en tre M et un m ur de A 1 \ D parall ` ele ` a M . On en d ´ eduit aussitˆ ot que A 1 ∩ A 2 con ti en t C 1 , ai nsi A 2 con ti en t trois cham bres distinctes C , C 1 et C 2 dominan t F , c’est absurde. § 3 . P arall´ elisme et immeubles jumel ´ es ` a l’inﬁni On consid ` ere une masure aﬃne I D´ eﬁnit i ons 3.1. Soien t f et f ’ deux faces de quartier sph ´ eriques, il existe un appartemen t A con tenan t les germes correspondants F et F ’. On dit que f est p ar al l ` ele ` a f ’ ( not ´ e f k f ′ ) si F et F ’ on t mˆ eme direction dans A , i. e . on p eut ´ ecrire F = g er m ∞ ( x + F v ) et F ′ = g er m ∞ ( y + F v ) dans A . On di t que f et f ’ sont de dir e cti ons opp os ´ ees (o u opp os´ ees p our abr ´ eger) (not´ e f opp f ′ ) si on p eut ´ ecrire F = g er m ∞ ( x + F v ) et F ′ = g er m ∞ ( y − F v ) dans A . On dit que f domine f ’ (not´ e f ≥ f ′ ) si on p eut ´ ecrire F = g er m ∞ ( x + F v ) et F ′ = g er m ∞ ( y + F ′ v ) dans A a vec F ′ v ⊂ F v . Masures aﬃnes 21 Remarques. a) Comme A est unique ` a isomorphisme ﬁxan t F et F ’ pr ` es, ces d´ eﬁnitions ne d ´ ep enden t pas du choix de A et bien sur ell es ne d´ ep enden t que des germes. b) Si f est parall` ele ` a f ’ ou domine f ’ (resp. est opp os´ ee ` a f ’), les deux faces de quartier on t m ˆ eme si g ne (resp. des si g nes opp os ´ es). c) Pou r les quartiers, q est parall` ele ` a q ’ si et seulemen t si Q = Q ′ . d) Ces d´ eﬁnitions et la prop osit i on suiv an te sont aussi v alables p our les demi-droites g ´ en´ eriques. On p ourrait aussi parl er de parall ´ elisme et opp osition en tre un germe de segmen t pr ´ eordonn ´ e et un germe de demi-droite g´ en ´ erique, cf. [Rousseau-01]. Prop osition 3.2. 1) Le parall ´ eli sme est une relat i on d’ ´ equiv alence sur les faces de quartier sph ´ eriques. 2) La dominati o n est un pr ´ eordre (partiel) sur les faces de quartier sph ´ eriq ues qui est compatible a vec le para l l ´ elisme. Pl us pr ´ ecis ´ emen t le parall ´ elisme est la relation d’ ´ equi v alence asso ci ´ ee ` a ce pr ´ eordre. On a : f ≥ f ′ ⇔ ∃ f ′ 1 , f ′ 1 k f ′ , f ′ 1 ⊂ f ⇔ ∃ f 1 , f 1 k f , f ′ ⊂ f 1 3) L’opp ositi o n est sym ´ etriq ue et compatible av ec le parall ´ elisme et la domination : on a : f 1 k f opp f ′ k f ′ 1 ⇒ f 1 opp f ′ 1 , f opp f ′ ≥ f ′′ ⇔ ∃ f ′ 1 , f ≥ f ′ 1 opp f ′′ et f opp f ′ ≤ f ′′ ⇔ ∃ f ′ 1 , f ≤ f ′ 1 opp f ′′ . D´ emonstration. Soien t f , f ’ et f ′′ trois faces de quartier sph ´ eriques tel l es que f ′ k f ′′ et f k f ′ (resp. f ≥ f ′ , f ≤ f ′ , f opp f ′ ), il est ´ eviden t que f k f ′′ (resp. f ≥ f ′′ , f ≤ f ′′ , f opp f ′′ ) si l es trois germes son t situ´ es dans un m ˆ eme appartemen t. Mais la propo si t ion 2.7 p ermet de se ramener ` a ce cas par r´ ecurrence ; o n a donc la conclusion en g´ en ´ eral . On vien t donc de prouv er 1) et la compatibilit´ e de la dominati on ou de l’opp osit ion a v ec le parall ´ elisme. La sym ´ etrie de l’opp osit ion est claire. P our la derni ` ere a ssertio n de 2), on p eut donc remplacer f (ou f ’) par une face de quart i er parall ` ele f 1 (ou f ′ 1 ) de mˆ eme origine et dans un m ˆ eme a ppartemen t que f ’ (ou f ) et alo r s les ´ equiv alences annonc ´ ees son t cla i res. La preuv e de l a transitiv it ´ e de la domination se ram ` ene de m ˆ eme au cas facile de trois faces de quartier de m ˆ eme sommet. On a ´ egalement f k f ′ ⇔ f ≥ f ′ et f ′ ≥ f ; d’o ` u la preuv e compl ` ete de 2). P our les deux derni ` eres assertions de 3), si f opp f ′ ≥ f ′′ (resp. f opp f ′′ ≤ f ′ ), on p eut supposer f et f ’ dans un mˆ eme a ppartemen t A puis, quitte ` a raccourcir f ’, remplacer f ′′ par une face de quartier parall` ele, de m ˆ eme sommet et dans un m ˆ eme appartemen t que f ’. On a a l ors f ′′ ⊂ f ′ et les trois faces de quartier sont dans un m ˆ eme a ppartement. Les r ´ esultat s annonc ´ es son t alo rs ´ evidents. 3.3. C on s´ e quences 1) La classe d’´ equiv alence d’une face de quartier sph ´ erique f de germe F est a pp el´ ee sa dir e ction f ∞ = F ∞ . La dir e cti on d’une chemin ´ ee (ou d’un g erme de chemin ´ ee) ´ ev as ´ ee 22 Guy Rousseau est l a directi on d’un germe de face de quartier de dimension maximale qu’ i l contien t. Ces notions co ¨ ınciden t a vec les notions de direction dans un a ppartement Les directi o ns de faces de quartier sp h ´ eriq ues, aus si a pp el´ ees fac ettes ` a l’inﬁni , formen t un ensem ble I ∞ r ´ eunion de deux sous-ensem bles : I + ∞ (resp. I −∞ ) est l’ensem ble des directions de faces de quartier sp h ´ eri q ues p ositives (resp. n ´ egatives ). Ces deux sous-ensem bles son t confondus dans le cas ﬁni et disjoin t s dans les autres cas. On notera que la masure I R ( cf. 2.3.2) fournit les m ˆ emes ensem bles de facettes ` a l’inﬁni : I ∞ R = I ∞ et I ±∞ R = I ±∞ . 2) La dominati on i nduit un ordre (partiel) sur I ∞ , q ui ne m´ elange pas I + ∞ et I −∞ (s’ils son t disjoin ts). La face f est un quartier (resp. une cloison de quartier) si et seulemen t si f ∞ est max imale (resp. maximal e parmi les facettes ` a l’inﬁni non maximales) ; on dit alo r s que f ∞ est une c h ambr e ` a l’inﬁni (resp. cloison ` a l’i nﬁni ). 3) ` A un appartemen t A on asso cie l’app artement ` a l’inﬁni A ∞ = A + ∞ ∪ A −∞ , o ` u A + ∞ (resp. A −∞ ) est l’ensem ble des classes de faces de quartier sph´ eriques p osit iv es (resp. n ´ egatives) don t un repr ´ esen tan t est dans A . Par d ´ eﬁnition des relations, A + ∞ (resp. A −∞ ) est isomorphe ` a l ’ensem ble ordonn ´ e des facettes v ectorielles sph ´ eriq ues p ositives (resp. n´ egatives) de V ( A ) i. e. de T ◦ ( A ) (resp. −T ◦ ( A )). P ar ces i somo r phismes l’opp ositio n corresp ond ` a F v 7→ − F v et i nduit donc une bijection croissan te de A + ∞ sur A −∞ . Il n’est pas clair (p our l’instan t, cf . 3.9) que l’a ppli cation A 7→ A + ∞ ou A 7→ A −∞ soit injectiv e ; par contre A 7→ A ∞ l’est ( par con v exit´ e). 4) Si M est un m ur (resp. D est un demi-appartemen t) de l’ appartemen t A de I , l ’ensem ble M ∞ (resp. D ∞ ) des classes de faces de quart ier sph ´ eriques dont un repr ´ esen tan t est dans M (resp. D ) est, par d ´ eﬁnition, un mur (resp. demi-app artement ) ` a l’inﬁni (dans A ∞ ) app el´ e dir e ction de M (resp. D ). De m ˆ eme M ±∞ = M ∞ ∩ I ±∞ (resp. D ±∞ = D ∞ ∩ I ±∞ ) est un mur (resp. un demi-app artement ) dans A ±∞ . Deux m urs parall ` eles (resp. deux demi-appartements inclus l’un dans l’ autre) donnen t le mˆ eme m ur (resp. demi-appartemen t) ` a l’i nﬁni. On p eut parler de M ∞ et D ∞ m ˆ eme pour M et D fan tˆ omes (1.6.1 ) . Si M = M ( α, k ) (resp. D = D ( α, k )), M ±∞ (resp. D ±∞ ) s’ iden ti ﬁe au ”m ur” ±T ◦ ( A ) ∩ K er ( α ) (resp. au ”demi-appartemen t” ±T ◦ ( A ) ∩ D ( α )) dans ±T ◦ ( A ) ⊂ V ( A ) . Th´ eor` eme 3.4. L’ ensem ble I + ∞ m uni de sa relat ion d’ordre et de l ’ ensem ble A + ∞ de ses appartemen ts ` a l’inﬁni A + ∞ (p our A ∈ A ) est un immeuble com binato i re de t yp e W v . Si la masure I est ´ epaisse, al ors l’immeuble I + ∞ est ´ epais. Remarques. a) On a le m ˆ eme r´ esultat av ec −∞ . b) A propremen t parler I + ∞ n’est pas un complexe simplicial puisque dans l’adh ´ erence d’un quarti er o n ne garde q ue l es faces sph ´ eriques. On a cep endan t bien toutes les cham bres et cloi sons du complexe. Il para ˆ ıt donc o pp o r t un d’adopter (ci- dessous) le langage des syst ` emes de c hambres . Masures aﬃnes 23 c) D’apr` es la derni` ere assertion de 3.3 .1 et la remarq ue 2.3.2, l’immeuble I + ∞ p eut ˆ et re ´ epais sans q ue I l e soit. De plus, comme il y a une inﬁnit ´ e de murs parall ` eles, la d´ emonstration ci-dessous prouv e que, quand I est ´ epaisse, une cloison ` a l ’inﬁni est domin ´ ee par une i nﬁnit ´ e de c ham bres ` a l’inﬁni. d) D’apr` es 2.7.2 une r ´ et r a ct ion ρ de cen tre un germe de chemin ´ ee ´ ev as ´ ee pleine p ositive R est compatible a ve c le parall ´ elisme et est donc d´ eﬁnie sur I ±∞ . Si R est un germe de quart ier, cette r ´ etraction co ¨ ıncide sur I + ∞ a v ec celle d´ eduite de sa structure d’immeuble et sur I −∞ a v ec celle d´ eduite de la structure d’immeuble jumel ´ e sur I ∞ , cf. 3.7. e) L’ensem ble des classes de parall ´ elisme de demi-droites posit iv es g´ en ´ eriques est une r ´ eali sat ion g ´ eom ´ etri q ue de I + ∞ : ` a ( x + F v ) ∞ on asso cie l’ensemb le des directions des demi-droites x + R + ξ p our ξ ∈ F v . D´ emonstration. V ´ eri ﬁons les axiomes des immeubles comme ´ enonc ´ es en 2.2.6 o u, de mani ` ere plus appropri ´ ee aux immeubles com binatoires, dans [B rown-89 ; 4. 1] ou [ R´ em y-02 ; 2. 4 .1]. Chaque appartemen t A + ∞ est le complexe de Co xeter asso ci´ e ` a W v , puisqu’il est isomorphe ` a l’ensem bl e ordonn´ e des facettes (sph ´ eri ques) de T ◦ ( A ), d’o ` u (I0). Les axiomes (I1) et (I2) son t des cons´ equences imm ´ ediates des axiomes (MA3) et (MA4). Soit f ∞ une clo ison de I + ∞ et f = x + F v une clo ison de q uartier de I corre- sp ondan te. On p eut supp oser que f a p our supp ort un (v rai) m ur M d’un appartement A 1 . Si la masure I est ´ epaisse, on a construit en 2.10 un second appartemen t A 2 tel que D = A 1 ∩ A 2 est l’un des deux demi-appartemen ts de A 1 b ord ´ e par M . Notons q (resp q 1 , q 2 ) le quartier de D ( resp. A 1 \ D , A 2 \ D ) de sommet x conten an t f dans son adh ´ erence ; f ∞ est bien domin ´ ee par les c hambres ` a l’inﬁni q ∞ , q ∞ 1 et q ∞ 2 . Si f ′ = x − F v , on a cl ( F ′ ∪ Q ) = D , cl ( F ′ ∪ Q 1 ) = A 1 \ D et cl ( F ′ ∪ Q 2 ) = A 2 \ D ; donc les troi s c ham- bres ` a l’i nﬁni q ∞ , q ∞ 1 et q ∞ 2 son t bien disti nctes. 3.5. W v − distance W v est le group e de W eyl vectoriel de A ; son syst ` eme de g ´ en ´ erateurs canonique S est asso ci ´ e ` a la ch am bre fondamen tale C v f de A . La W v − distance su r les cham bres v ectorielles de A est donc donn ´ ee par d A + ( w C v f , w ′ C v f ) = w − 1 w ′ , elle est inv ariante par l’action de W v . On a d A + ( C v 1 , C v 2 ) ∈ S ∪ { 1 } si et seulemen t si C v 1 et C v 2 son t adjacen tes i.e. dominen t une mˆ eme cloison vec torielle. Soien t Q 1 et Q 2 deux germes de quartiers p ositifs et A un appartemen t l es con tenant ; on not e Q i = g er m ∞ ( x + C v i ) dans A . Si f ∈ I s om ( A , A ), on d ´ eﬁnit d A + ( Q 1 , Q 2 ) = d A + ( f − 1 ( C v 1 ) , f − 1 ( C v 2 )) ; un autre c hoix de f est de la forme f ◦ w p our w ∈ W v , donc d A + ( w − 1 f − 1 ( C v 1 ) , w − 1 f − 1 ( C v 2 )) = d A + ( f − 1 ( C v 1 ) , f − 1 ( C v 2 )), ai nsi d A + ne d ´ ep end pas du choix de f . Par ai lleurs deux choix de A di ﬀ` eren t par un isomorphisme ﬁxan t Q 1 et Q 2 , donc d A + ( Q 1 , Q 2 ) ne d ´ ep end pas de A ; c’est l a W v − distanc e d + ( Q 1 , Q 2 ) de Q 1 et Q 2 dans I + ∞ . 24 Guy Rousseau Comme cette W v − distance est associ´ ee ` a un immeuble, elle v´ eriﬁe les a xiomes des W v − distances, cf. [R ´ em y-02 ; 2. 3]. La v´ eriﬁcation directe est f acile et laiss ´ ee au lecteur : le premier axiome est clair ; pour le troi si ` eme i l suﬃt de c hoisir les germes de quartier x , y et z dans le mˆ eme a ppartemen t ; quant au second on p eut s’inspirer de l a d ´ emonstratio n de 3. 7 ci-dessous. On a bien sur l es m ˆ emes r ´ esultats dans I −∞ : pour des germes de quartiers n ´ egatifs et a vec les nota tions ci-dessus on p ose : d − ( Q 1 , Q 2 ) = d A + ( − f − 1 ( C v 1 ) , − f − 1 ( C v 2 )). 3.6. C o distance Soien t Q 1 et Q 2 deux germes de quartier de signes opp os´ es ( ε 1 et ε 2 = − ε 1 ), A un appartemen t les con tenan t et f ∈ I som ( A , A ) ; on note Q i = g er m ∞ ( x + C v i ) dans A et f − 1 ( C v i ) = ε i w i C v f p our w i ∈ W v . On d ´ eﬁnit al ors d ∗ ( Q 1 , Q 2 ) = d ε 1 ( C v 1 , − C v 2 ) = d ε 2 ( − C v 1 , C v 2 ) = w − 1 1 w 2 . P our l es m ˆ emes raisons qu’en 3.5, cette d ´ eﬁnition ne d ´ ep end pas des c hoix eﬀectu ´ es ; o n dit que d ∗ est la c o distanc e dans I ∞ . Deux germes de quart iers (de si g nes diﬀ´ eren ts) sont opp os ´ es dans I si et seulemen t si l eur co dista nce est 1. Deux germes de face s de quartier sph ´ eri ques F et F ′ son t opp os ´ es si et seulemen t si, p our tout germe de q uartier Q dominan t F , il existe un germe de quartier Q ′ opp os ´ e ` a Q dominant F ′ et in v ersemen t en ´ echangean t F et F ′ . On p eut donc traduire l’opp osi t ion par des co distances. Cas ﬁni : Supp osons W v ﬁni et notons w 0 son ´ el ´ emen t de plus grande longueur. Alo rs I + ∞ = I −∞ = I ∞ est un immeuble sph ´ eriq ue et o n retrouv e donc bien le classique immeuble sph ´ erique ` a l’inﬁni de l’i mmeuble aﬃne I . On a d ´ eﬁni trois ”distances” sur l ’ensem ble des germes de quart i ers. Pour tous germes de quartiers Q 1 , Q 2 on a : d − ( Q 1 , Q 2 ) = w 0 d + ( Q 1 , Q 2 ) w 0 et d ∗ ( Q 1 , Q 2 ) = w 0 d + ( Q 1 , Q 2 ) (resp. d + ( Q 1 , Q 2 ) w 0 ) si on cons id ` ere Q 1 dans I −∞ et Q 2 dans I + ∞ (resp. l’in v erse). On retrouv e les form ules de [Tit s-92 ; prop.1] ` a condition d’ ´ ech anger w 0 d + et d + w 0 dans ces form ules ( ce q ui sem ble n ´ ecessaire dans l.c. ) ; a i nsi dans ce cas d ∗ est le jumelage naturel de I ∞ a v ec lui-m ˆ eme. Le th ´ eor` eme qui v a suivre est donc une g ´ en ´ eralisation naturelle de ce cas conn u. ` A l’inﬁni de la masure aﬃne on trouv e un immeuble ju mel ´ e ` a la place de l’ immeuble sph ´ erique ` a l’ i nﬁni d’un immeuble aﬃne. Th´ eor` eme 3.7. La codistance d ∗ d ´ eﬁnit un jumelage de s immeubles ( I + ∞ , d + ) et ( I −∞ , d − ) . D´ emonstration. Le premier axi ome des jumelages ( cf. [Tits-92 ; 2. 2] ou [ R ´ emy-02 ; 2.5.1] ) est clairemen t v ´ eriﬁ ´ e. Le troisi` eme est aussi facile : il suﬃt de choisir tous les germes de quartier dans un m ˆ eme appartemen t. Pour le second, soient Q 1 ∈ I −∞ et Q 2 , Q 3 ∈ I + ∞ Masures aﬃnes 25 des germes de quartier tels que : d ∗ ( Q 1 , Q 2 ) = w ∈ W v et d + ( Q 2 , Q 3 ) = s ∈ S , a v ec ℓ ( w s ) = ℓ ( w ) − 1. Soit A un appartemen t con tenan t Q 1 et Q 2 ; on note Q 1 = g er m ∞ ( x + C v 1 ) et Q 2 = g er m ∞ ( x + C v 2 ) dans A . On choisit une isom´ etrie de A sur A qui iden t iﬁe C v f a v ec − C v 1 et donc C v 2 a v ec w C v f . Comme ℓ ( w s ) = ℓ ( w ) − 1, le m ur M v suppor t de la cloison F v de C v 2 de t y p e { s } s ´ epare C v 2 de C v f = − C v 1 . Ainsi C v 1 et C v 2 son t du mˆ eme cˆ ot ´ e de M v dans A et C v 2 ⊂ cl ( C v 1 ∪ F v ) : tout appartemen t con t enan t Q 1 et F = g er m ∞ ( x + F v ) con t ien t Q 2 . Grˆ ace ` a la prop osition 2.7 on voit facilement que c’est encore v rai si on remplace F par un germe de cloison de quarti er parall ` ele. Mais d + ( Q 2 , Q 3 ) = s , donc les cloisons de type { s } de deux quartiers quelconques q 2 et q 3 , de germes Q 2 et Q 3 , son t parall ` eles. Ainsi tout appartemen t A ′ con tenant Q 1 et Q 3 con ti en t Q 2 ; dans cet appartemen t le calcul des co di st a nces et distances est facile et donne le r ´ esultat a t tendu : d ∗ ( Q 1 , Q 3 ) = ws . 3.8. C on s´ e quences On supp ose l a masure I ´ epaisse. 1) La constructio n d’un immeuble (combinatoire) ´ epais I ±∞ de type W v implique des limi t ations sur W v . Si J ⊂ I , on sait construire ` a partir de I ±∞ un r ´ esidu qui est un immeuble ´ epais de type W v ( J ) [Ronan-89 ; I I I 3.5] . Les li mitations conn ues sur les groupes de Co xeter des i mmeubles ´ epais sph ´ eri q ues ( cf. [ Tits-74 ; addenda], [Tits- W eiss-03 ; 40.3 et 40.22] ou [W eiss-03 ; sect. 12.3]) mon tren t donc q ue le diagramme de Co xeter de W v ne p eut con tenir de sous-diagramme de type H 3 ou H 4 . P ar con tre il n’y a, a priori, pas de limitat i on sur l es co eﬃcien ts de la matrice de Co x eter de W v , cf. [Ronan-89 ; exercice 3. 21]. 2) D’a pr ` es [Tits-92 ; 5.6 cor. 3] et [M ˝ uhlherr-Ronan-95 ; (4) p 73], le jumelage en tre I + ∞ et I −∞ mon t re que, si tous les co eﬃcien ts de la matri ce de Co x eter sont ﬁnis (cas 2 − sph ´ erique), tous les 2 − r´ esidus (sauf p eut-ˆ etre ceux facteurs directs) sont de Moufang. On obtien t alors plus de limit ations sur W v : d’apr` es [Tits-74 ; addenda] et [Ti ts-W eiss- 02 ; 17.1] les coeﬃcients de la matrice de Co x et er de W v ne p euven t ˆ etre que 1, 2, 3 , 4, 6 o u 8 (puisqu’on a exclu ∞ ), si l’on supp ose de plus toute composante connexe du diagramme de Coxeter de cardinal au moins 3. Cela ne diﬀ ` ere donc du cas Kac-Mo o dy que par la p ossibilit´ e du nombre 8. On peut am ´ elio rer l´ eg ` eremen t ce r ´ esultat. Il est clair que deux r ´ esidus opp o s ´ es de I ∞ de t yp e J ⊂ I ( cf. [M ˝ uhlherr-99 ; 6 p 135]) formen t un i mmeuble ju mel ´ e de type W v ( J ). Ainsi tous l es sous-diagrammes (du diagramme de Coxeter de W v ) connexes, ` a 3 sommets et sans co eﬃcien t ∞ ne comp orten t que les co eﬃcien t s 3, 4, 6 ou 8. 3) Si le diagramme de Coxeter de W v est connexe, sans co eﬃcien t ∞ et si | I | ≥ 3, on sait donc que tous l es 2 − r´ esidus de I ±∞ son t de Moufang. L’i mmeuble jumel ´ e I ∞ est alors lui-mˆ eme de Moufang [Abramenko-Bro wn-08 ; prop. 8.27]. D’apr ` es [Tits-92 ; 4.3 prop. 7] i l exi ste alors un group e G d’automorphismes de I ∞ qui est m uni d’une donn ´ ee radicielle ”jumel ´ ee” de t yp e W v (qui g ´ en ´ eralise la notion de donn´ ee radicielle 26 Guy Rousseau de typ e Φ de [Rousseau-06 ; 1.4] d ´ ej` a signal´ ee en 2 .4.2). De plus cette donn ´ ee radicielle d ´ etermine enti ` eremen t l’immeuble jumel ´ e I ∞ [Tits-89 ; 8.1 ]. La classiﬁcation des immeubles jumel ´ es ´ epais de Moufang est assez largemen t conn ue dans le cas 2 − sph ´ erique ( i .e. quand t ous les coeﬃcients de l a matri ce de Coxeter de W v son t ﬁnis) : cf. [ Tits-92], [ M ˝ uhlherr-Ronan-95] et [M ˝ uhlhe rr-99-02]. 3.9. A ppartements jumel´ e s Les appartemen ts admissib les de ( I ±∞ , d ± ) ou les appartemen t s j umel´ es de ( I ∞ , d ± , d ∗ ) son t associ´ es aux paires de c ham bres ` a l’inﬁni ( i.e . de germes de secteurs) opp os ´ ees, cf. [ R ´ em y-02 ; 2.5. 2 ] . Si on note A l ’appartemen t (unique) con tenan t deux germes de quartier opp os ´ es Q + et Q − , le lemme 3.10 suiv an t, compar ´ e ` a la d ´ eﬁnition de l.c. , dit que les appartemen ts admissibles (resp. l’appartemen t jumel ´ e) asso ci ´ es ` a Q + et Q − son t A ±∞ (resp. A ∞ = A + ∞ ∪ A −∞ ). In versemen t tout appartemen t A ∈ A est l’en v elopp e conv exe de deux germes de quartier opp os ´ es Q + et Q − ; donc A ±∞ est un appartemen t admissible de I ±∞ et A ∞ un appartement jumel ´ e de I ∞ . D’a pr` es [A bramenko-96 ; lemme 2iv p.24 ] l’appartemen t admissible A + ∞ (resp. A −∞ ) d´ etermine en ti ` eremen t son jumeau A −∞ (resp. A + ∞ ). On a donc des bijections canoniques entre l’ensemb le A des appartemen ts de I , les ensem bles A ±∞ d’appartemen ts de I ±∞ et l’ensem ble A ∗ des appartemen t s jumel ´ es de I ∞ . Lemme 3.10. Soient Q + ∈ I + ∞ , Q − ∈ I −∞ deux germes de quartier opp os´ es et A un appartemen t les contenan t. Pour tout germe de q uartier p o si tif Q ′ , on a : d + ( Q + , Q ′ ) = d ∗ ( Q − , Q ′ ) si et seulemen t si Q ′ est con ten u dans A . D´ emonstration. Si Q ′ ⊂ A , la relat ion est ´ eviden te par construction. Supp osons in v ersemen t que d + ( Q + , Q ′ ) = d ∗ ( Q − , Q ′ ) = w . Soit Q 0 = Q + , Q 1 , . . . , Q n = Q ′ une galerie minimale de germes de quarti ers dans I + ∞ (donc n = ℓ ( w )). Si Q ′ 6⊂ A , soit i le plus p etit en ti er tel que Q i ⊂ A et Q i +1 6⊂ A . La r ´ etraction ρ = ρ A, Q − conserv e les co distances ` a Q − donc d ∗ ( Q − , ρ ( Q ′ )) = w . P ar ailleurs, si { s } est le t yp e du germe de cloison de quartier F domin ´ e par Q i et Q i +1 et si Q ′ i +1 est le germe de quartier de A adjacen t ` a Q i le l ong de F , on a d + ( Q i , Q i +1 ) = d + ( Q i , Q ′ i +1 ) = d + ( Q ′ i +1 , Q i +1 ) = s ; d ∗ ( Q − , Q i ) = d + ( Q + , Q i ) = w i ∈ W v ; d ∗ ( Q − , Q ′ i +1 ) = d + ( Q + , Q ′ i +1 ) = d + ( Q + , Q i +1 ) = w i s et ℓ ( w i s ) > ℓ ( w i ) = ℓ ( w i ss ). Le second axio me des jumelages nou s dit alors que d ∗ ( Q − , Q i +1 ) = w i ; donc d ∗ ( Q − , ρ Q i +1 ) = w i = d ∗ ( Q − , Q i ) et ρ Q i +1 = Q i . La galerie ρ Q 0 = Q + , ρ Q 1 , . . . , ρ Q n = ρ Q ′ b ´ egay e donc et ainsi d + ( Q + , ρ Q ′ ) a une longueur strictemen t inf´ erieure ` a n , longueur de d ∗ ( Q − , ρ Q ′ ) ; ceci est imp ossible dans l’appartement A . § 4 . Immeubles microaﬃnes et arbres ` a l’inﬁni Masures aﬃnes 27 On consid ` ere toujours une masure aﬃne I 4.1. L’ a ppartement t´ emoin A J Soit J ⊂ I . Le q uadruplet ( V , W v ( J ) , ( α i ) i ∈ J , ( α ˇ i ) i ∈ J ) satisfait aux conditio ns de 1.1. Son sy st ` eme de racines est Φ J = Φ ∩ ( L i ∈ J R α i ) = { α ∈ Φ | α ( F v ( J )) = { 0 } } = W v ( J ) . { α i | i ∈ J } . On note V J = T i ∈ J K er ( α i ) le support de l a facette F v ( J ). On consid ` ere l’ ensem ble M J (resp. M J i ) des hyperplans de M don t l a di recti on est de la forme K er ( α ) a v ec α ∈ Φ J (resp. α ∈ ∆ im et α ( F v ( J )) = { 0 } ) ; ils d ´ eﬁnissen t une structure d’appartemen t aﬃne (mo d´ er ´ emen t i maginaire) sur A asso ci´ ee ` a ( V , W v ( J ) , ( α i ) i ∈ J , ( α ˇ i ) i ∈ J ). T ous ces hyperplans sont stables par translation par V J . Ainsi A J = A /V J est mu ni de syst ` emes M J et M i J d’h y p erplans ( en bijection av ec M J et M J i ) qui en fon t un appartemen t aﬃne essen ti el (mo d´ er ´ emen t imagi naire) de group e de W eyl v ectoriel W v ( J ). Le groupe W J = W v ( J ) ⋉ Q ˇ ⊂ W stabilise M J et commute ` a V J . Il induit donc un group e de transformations aﬃnes de A J qui con tien t le group e de W eyl W J de cet appartemen t (et est conten u dans l e group e ( W J ) P J corresp ondan t) . L’ensem ble A ( F v ( J )) des germes d e face s de quart ier de A de direction F v ( J ) s’iden t i ﬁe de mani` ere W J − ´ equiv ariante ` a A J . U n g erme de c hemin ´ ee R de A de direction dominan t F v ( J ) d ´ eﬁnit un ﬁlt re de parties de A J don t une base est obtenue comme suit : ` a un ´ el´ emen t du ﬁltre R on associ e l’ensem ble des F ∈ A ( F v ( J )) = A J con tenus dans cet ´ el´ emen t. Ce ﬁltre est un germe de c hemin´ ee de A J ; si R a p our direction F v ( J ) c’est une facette-ferm ´ ee de A J et toutes les facettes-ferm ´ ees sont ainsi obten ues. De mˆ eme un germe de face de quartier F de direction dominan t F v ( J ) d´ eﬁnit un germe de face de quartier (ou un p oint) de A J . On s’in t´ eressera essen tiell emen t au cas J sph ´ erique. Alors W v ( J ) et Φ J son t ﬁnis et il n’y a pas de racine imaginaire p our A J ou A J ; de plus A J p oss ´ ede un pro duit scalai re W v ( J ) − in v arian t qui en fait un appartemen t au sens de [Rousseau-08]. Si l’appartemen t A est semi-discret, l’appartemen t A J est discret. Plus g´ en ´ eralement on d ´ eﬁnit les ensemb les A ( F v ) et A F v (en bijection canonique a v ec A J ) p our une facette v ectorielle F v de typ e J ` a la place de F v ( J ). On dit que A ( F v ) est la fa¸ cade de A dans la dir e ction F v , cf. [Charignon]. 4.2. L’ e nsem ble I ( F ∞ ) Soit F ∞ une direction de face de quarti er sph´ erique (par exemple p osit iv e) de type J . On note I ( F ∞ ) l’ensem ble des germes de faces de quarti er F dans cette direction. Soit f = x + F v ⊂ A un repr´ esen ta nt d’un F ∈ I ( F ∞ ). On choisit un isomorphisme ϕ ∈ I som ( A , A ) tel q ue ϕ − 1 ( F v ) = F v ( J ). L’ensem ble A ( F ∞ ) des ´ el ´ emen ts de I ( F ∞ ) con tenus dans A est iden ti ﬁ ´ e par ϕ av ec A ( F v ( J )) et donc a v ec A J . Soit R un germe de che min ´ ee de I de direction dominan t F ∞ (donc ´ ev as ´ ee) ; consid ´ erons un appartemen t A con tenan t R . Comme en 4.1 ci-dessus, on p eut associer 28 Guy Rousseau ` a R un ﬁltre de parties de I ( F ∞ ) (not ´ e R F ∞ ) con ten u dans A ( F ∞ ) mais ind ´ ep endan t du c hoix de A . En c hoi sissan t ϕ comme ci-dessus , R F ∞ s’iden t i ﬁe ` a une c hemin ´ ee de l’appartemen t A J ; si la directio n de R est F ∞ alors R F ∞ s’iden t i ﬁe ` a une facette de A J . Remarque. Si J n’est pas sph ´ erique, la direction d’ une face de quartier f de t yp e J n’a pas ´ et ´ e d ´ eﬁnie ; il est donc a priori pl us diﬃcile de d ´ eﬁnir I ( F ∞ ) qui devrait ˆ etre une masure aﬃne. Prop osition 4.3. L’ensem ble I ( F ∞ ) mu ni de ses fac ettes R F ∞ (p our les germes de c hemin´ ees (´ ev as ´ ees) R de direction F ∞ ) et de ses app artements A ( F ∞ ) (p our A ∈ A con tenant un F ∈ I ( F ∞ )) est un immeuble aﬃne de t y p e A J (au sens de [Rousseau-08], cf. 2.2.6). Cet immeuble est la fa¸ cade de I dans la dir e ction F ∞ . Remarque. Dans le cas ﬁni et si F ∞ est la direction de face de q uartier mi nimale ( i.e. de t yp e J = I ), alors I ( F ∞ ) est l’essen tia lis ´ e I e de l ’immeuble I , c’est ` a dire son quotien t par V 0 . D´ emonstration. On a v u ci-dessus que les appartements a v ec leurs facettes sont isomorphes ` a A J ; d’o ` u (I0). D’apr` es l’axi ome (MA3) deux facettes R F ∞ et R ′ F ∞ son t dans un m ˆ eme a ppartemen t A ( F ∞ ), d ’o ` u (I1) ; et l’axiome (MA4 ) dit que cet appartemen t est unique ` a un isomorphisme ﬁxant ces deux facettes pr ` es. De plus l’inters ection de deux appartemen ts est une union de facettes d’apr` es l’axiome (MA2) ; d’o ` u (I2). 4.4. L’ a c h` ev emen t de Satake d e la masu re I On note I µ + (resp. I µ − ) la r´ eunion (disjoin te) des I ( F ∞ ) p our les directi ons de faces de q uartier sph ´ eriques p ositives (resp. n ´ egatives) F ∞ .Ainsi I µ + (resp. I µ − ) est l’ensem ble des germes de faces de quarti er sph´ eriques p o si t iv es (resp. n´ egatives) de I . L’ ach ` evement de Satake I sat de I est la r ´ eunion de I , I µ + et I µ − . Dans le cas ﬁni I µ + = I µ − con ti en t I e , on se limite au cas es sen t iel et al ors I sat = I µ + = I µ − . En dehors du cas ﬁni l a r ´ eunion est di sjointe ma is cet ach ` evemen t sem ble inachev ´ e, on aimerait lui adjoindre des masures I ( F ∞ ) p our F ∞ non sph´ erique. I sat est r´ eunion d’appartemen t s A sat = A ∪ A µ + ∪ A µ − (p our A ∈ A ) o ` u A µ ± est l’ensem ble des germes de faces de q uartier sph´ eriques de A , p ositives ou n ´ egatives. L’appartemen t A µ + est isomorphe ` a la r ´ eunion disjoin te A µ + des A F v p our F v facette v ectorielle sph ´ erique p osit iv e de V . En fait A µ + est l’appartemen t t´ emoin de l’immeuble microaﬃne de [Rousseau-06] dans sa r´ ealisation de Satak e ( i. e. A µ + = A s , cf. [ l.c. ; 4.2.1]) . ` A un germe de c hemin ´ ee ´ ev as ´ ee R on asso cie une facette R µ situ ´ ee dans I ( F ∞ ) o ` u F ∞ est la directio n de R . Si R est dans un appartemen t A , un isomorphisme de A sur A iden ti ﬁe R µ ` a une facette F s de A s ( cf. [ l.c. ; 4.2.1 ]). On p eut donc dire que I µ + m uni de ses appartements A µ + (p our A ∈ A ) et de ses facettes R µ (p our R germe de chemin ´ ee ´ ev as ´ ee po si tive ) est un immeuble micr o aﬃ n e de Masures aﬃnes 29 t yp e A µ + ( i.e. au sen s de la r´ ealisation de Satak e). Aucune d ´ eﬁnition abstraite n’a ´ et´ e donn ´ ee dans l.c. , mai s on a les propri ´ et´ es habit uelles suiv an tes : les appartemen ts son t isomorphes ` a A µ + , deux facettes R µ 1 et R µ 2 son t conten ues dans un m ˆ eme appartemen t ( cf. ( MA 3 )) et si deux appartemen ts contiennen t R µ 1 et R µ 2 , i l s son t isomorphes par un isomorphisme ﬁxan t ces deux facettes ( cf. (MA4)). Dans le cas ﬁni, I µ + est l’ach ` ev emen t de Satake ou ac h` eve men t p o ly ´ edral de l’immeuble (essen tiel) I [Rousseau-06 ; 4.3]. On v a le m unir d’une top o l ogie q ui en fait une compactiﬁcation de I , si ce dernier est lo cal emen t ﬁni. 4.5. T op ologies su r les imm eubl e s microaﬃnes P our A ∈ A , l’appartement microaﬃne A µ + est m uni d’une topo l ogie [Rousseau- 06 ; 4 . 2.4] qui est compacte dans le cas ﬁni. On p eut m ˆ eme d ´ eﬁnir cette top ologie sur A µ − ∪ A ∪ A µ + (quand W v n’a pas de facteur direct ﬁni). On v a ”recoller” ces top ologies sur les appartemen ts en deux top ologies distinctes sur I µ + . Pour F ∈ I µ + , on doit d ´ eﬁnir une base de v oisinages de F dans I µ + ; on v a m ˆ eme d´ eﬁnir des voisinages dans la r ´ eunion disjoin t e de I et I µ + . Soit f = x + F v un repr ´ esen t a n t de F conten u dans un appartement A . Le sous- group e W v F v de W v ( A ) ﬁxan t F v est ﬁni, il exi ste donc une base de v o isinages ouve rts de 0 dans V A stables par W v F v . P o ur un tel voisinage ouvert U et un ξ ∈ F v , l’ensem ble x + ξ + U + F v est un voisinage ouv ert dans A de l’adh ´ erence du raccourci x + ξ + F v de f ; on note Ω A,U,ξ la r ´ eunion de cet ensem ble et des F ′ ∈ A µ + qui son t conten us dedans. Si ma i n t enant A ′ est un appartement con tenan t g er m x + ξ ( x + ξ + F v ), il existe un i somo r phisme ϕ de A sur A ′ ﬁxan t g er m x + ξ ( x + ξ + F v ) q ui est unique ` a W v F v pr ` es (au maximu m) ; ainsi ϕ ( Ω A,U,ξ ) ne d ´ ep end pas du ch oix de ϕ , on le note Ω A ′ ,U,ξ . La base de voisinages de F p our l a to p olo gie forte (resp. f a i ble ) est form ´ ee d’ensem bles i ndex ´ es par ξ , U comme ci-dessus, c haque ensem ble ´ etant l a r ´ eunion des Ω A ′ ,U,ξ p our A ′ un appartemen t contenan t x + ξ + F v (resp. g er m x + ξ ( x + ξ + F v )). On note I µ + s (resp. I µ + w ) l’espace I µ + m uni de cette top o l ogie. Propri ´ et´ es at tendue s. Les r ´ esultats suiv an ts son t vraisem bla bles mais non d ´ emon tr´ es ici car non utilis´ es dans l a suite. 1) P our les deux top ologies les appartemen ts son t ferm ´ es et mu nis de la topo logie de [Rousseau-06 ; 4. 2.4]. 2) P our F ∞ ∈ I + ∞ et p our les deux top ologi es, I ( F ∞ ) est mun i de sa top olo gie naturelle d’immeuble aﬃne euclidien, il est ouv ert dans son adh ´ erence qui est la r ´ eunion des I ( F ∞ 1 ) p our F ∞ 1 ≥ F ∞ . 3) L’ensem ble des germes de quartier p o si t ifs est discret dans I µ + s mais pas dans I µ + w . 4) Dans le cas classique et si I est lo calemen t ﬁni, I µ + w est la compactiﬁcation de Satake de l’immeuble I , cf. [Landvogt-96], [Chari gnon]. 30 Guy Rousseau 4.6. L’ a rbre asso ci´ e ` a une cloison ` a l’in ﬁ ni F ∞ Dans la suite de ce paragra phe on v a s’at tac her ` a g ´ en ´ eraliser un certain nom bre de r ´ esultat s de [Ti ts-86]. L’un des ingr´ edien ts essen tiels est l’arbre ` a l’i nﬁni asso ci ´ e ` a une cloison de I ±∞ : si F ∞ est une cloison ` a l’inﬁni de I + ∞ , c’est ` a dire une direction de cloison de q uartier p ositive, l’immeuble aﬃne I ( F ∞ ) est de dimension 1 (la codi mension de F ∞ ) donc un arbre. On a sugg ´ er ´ e en 4.5 que la fron ti ` ere de I ( F ∞ ) (dans I µ + s ou I µ + w ) est form´ ee des I ( Q ) = { Q } p our Q = Q ∞ un germe de quartier dominant F ∞ . Si F ∞ ∈ A ∞ , la fron ti` ere de A ( F ∞ ) est r ´ eduite ` a A ( Q ∞ 1 ) ∪ A ( Q ∞ 2 ) = { Q 1 , Q 2 } , o` u Q 1 et Q 2 son t les deux germes de quartier de A dominan t F ∞ . Ind ´ ep endammen t de ces r ´ esulta t s, i l est facile de voir que Q 1 et Q 2 d ´ eterminen t les deux bouts de l’appartemen t A ( F ∞ ) de l’arbre I ( F ∞ ) : si q i = x + C v i ⊂ A est un quartier de germe Q i , l’ensem ble des germes de cloisons de quartier de A de direction F ∞ et con t enus dans q i est une demi-droite δ x i de la droite A ( F ∞ ) et les demi-droites δ x 1 , δ x 2 son t opp os´ ees. Ainsi I ( F ∞ ) est un arbre (discret ou non) m uni d’un syst ` eme d’a ppartements dont les bouts corresp onden t bijectiv emen t aux germes de q uart iers de I dominan t F ∞ . Ce syst ` eme d’a ppartements satisfait aux conditio ns de [Tits-86] : deux b o ut s di st i ncts sont toujours dans un m ˆ eme a ppartement ( qu’ils d ´ eterminen t enti ` eremen t ). Prop osition 4.7. 1) Soien t x ∈ I et F ∞ ∈ I ∞ , il existe une et une seule face de quartier f dans I de sommet x et direction F ∞ . 2) Soien t f 1 et f 2 deux faces de quartier sph ´ eriques dans I de mˆ eme direction F ∞ . Leurs adh ´ erences son t disjointes ou elles on t m ˆ eme germe. Si de plus elles on t m ˆ eme sommet, elles co ¨ ınciden t. N.B. On g ´ en´ eralise ainsi [Tit s-86 ; prop. 5 et cor. 17.4]. D´ emonstration. 1) Soien t F ′ un germe de face de quartier de dir ecti on F ∞ et A un appartemen t con tenan t x et F ′ . Dans A la face de q uartier f de sommet x , parall ` ele ` a F ′ con v ien t : en eﬀet f ∞ = F ∞ . Si on a deux solutions f ′ et f ′′ , l a proposit ion 2 . 7 nous fournit une suite F 0 = F ′ , F 1 , . . . , F n = F ′′ de germes de faces de quart i er parall ` eles et des appartemen ts A 1 , . . . , A n tels que A i con ti enne x , F i − 1 et F i . T o ut appartement A ′ i con tenant x et F i con ti en t une unique face de quart ier de sommet x et direction F ∞ = F ∞ i ; celle-ci est dans l’enclos de x et F i , donc ne d ´ ep end pas de A ′ i , on la note f ( F i ). Ainsi on a f ′ = f ( F 0 ) = f ( F 1 ) = . . . = f ( F n ) = f ′′ . 2) Soit x ∈ f 1 ∩ f 2 , les raccourcis de f 1 et f 2 de sommet x on t m ˆ eme direction et m ˆ eme sommet, ell es sont donc ´ egales d’apr` es 1). Ainsi F 1 = F 2 . Prop osition 4.8. cf. [Tit s-86 ; 17.3] 1) Deux m urs (´ ev en tuell ement fan tˆ omes) de m ˆ eme direction M ∞ ( cf. 3.3.4) son t des h yp erplans parall` eles d’un m ˆ eme appartement. Masures aﬃnes 31 2) Soien t M ∞ un m ur de I ∞ et F ∞ ⊂ M ∞ une cloison. Al ors, p our tout germe de cloison de quartier F de direction F ∞ , il exi ste un unique m ur ( ´ even tuellemen t fan tˆ ome) M F de I de direction M ∞ con tenant F . Ce mur est un vrai m ur si l ’enclos de F est ´ egal ` a son adh´ erence. Remarque. Soient M ∞ un m ur de I ∞ et F ∞ ⊂ M ∞ une cloi son. Alors, p our tout germe de chemin ´ ee R de directi o n F ∞ et pour toute c hemin´ ee assez peti t e r de germe R , tous les murs M F (asso ci´ es aux germes de cloi sons de quartier F de directio n F ∞ con tenus dans r ) son t conten us dans un mˆ eme appartemen t ( dans l a d ´ emonstration ci- dessous de la partie 2 il suﬃt de prendre A con tenan t r et un F − de direction F −∞ ). On note r + M ∞ la r´ eunion de ces m urs. Quand r v arie, les r + M ∞ engendren t un ﬁltre R + M ∞ de parties de I (con t en u dans l ’ appartemen t A ). D´ emonstration. 1) Choisissons deux directions de cl o ison de q uartier opp os´ ees F + ∞ et F −∞ dans M ∞ . Les m urs M 1 et M 2 (de directi o n M ∞ ) con tiennen t donc des cloisons de quartier f ± i repr ´ esen tan t ces directions. Soit A un appartemen t con tenan t les germes F − 1 et F + 2 ; il suﬃt de mo ntrer qu’il con tien t M 1 et M 2 . F aisons le p our M 1 . La prop osition 2.7 nous fournit une suite F 0 = F + 1 , F 1 , . . . , F n = F + 2 de g ermes de cloisons de quart i er parall` eles et des appartemen ts A 1 , . . . , A n tels que A i con ti enne F − 1 , F i − 1 et F i . Pour tout appartemen t A ′ con tenant F − 1 et F i , le mur engendr ´ e par F − 1 ne d ´ ep end pas de l’appartemen t A ′ car i l est dans l’ enclos de F − 1 et F i ; on l e note M ( F i ). Grˆ ace aux appartemen ts A i on a donc M 1 = M ( F + 1 = F 0 ) = M ( F 1 ) = . . . = M ( F n = F + 2 ) ⊂ A . 2) On p eut supposer F ∞ = F + ∞ ∈ I + ∞ . Notons F −∞ sa cloison opp os´ ee dans M ∞ et F − un germe de cloison de quartier de direction F −∞ . Il ex iste un appartemen t A con tenant F et F − . Le supp o rt M de F dans A est un mur ´ ev en tuell emen t fan tˆ ome ; c’est un vrai m ur si cl ( F ) = F . Il est clair dans A que M + ∞ ∋ F + ∞ , M −∞ ∋ F −∞ et donc q ue le m ur de I ∞ asso ci ´ e ` a M est bien M ∞ . Soit M ′ un autre mur a vec la m ˆ eme propri ´ et´ e. D’apr` es la partie 1) M et M ′ son t parall` eles dans un m ˆ eme appartemen t ; comme ils con tiennen t le mˆ eme germe de cloison, ils son t ´ egaux. 4.9. L’ a rbre ´ ete n du asso ci´ e ` a un m ur ` a l’inﬁni 1) Soit M ∞ un mur de I ∞ , on note I ( M ∞ ) la r ´ eunion des appartements A de I con tenan t un m ur M de direction M ∞ (qui son t app el´ es app artements de I ( M ∞ )). D’apr ` es l a propositio n pr ´ ec ´ eden te, I ( M ∞ ) est r ´ eunion disjoin t e des m urs (vrais ou fan tˆ omes) de dir ecti on M ∞ . L’ ensemb le I e ( M ∞ ) de ces m urs est donc un q uotien t de I ( M ∞ ). Choisissons une cloison F ∞ ∈ M ∞ ( e.g. p ositi v e) et notons F −∞ la clo i son opp os ´ ee dans M ∞ ; en fait M ∞ est d ´ etermin´ e par F ∞ et F −∞ . La seconde partie de la prop ositi on pr ´ ec ´ eden te d ´ ecrit une appli cat ion bijectiv e de I ( F ∞ ) sur I e ( M ∞ ). Ainsi I ( M ∞ ) est un immeuble aﬃne inessen tiel don t le quoti en t essen tiel I e ( M ∞ ) est l’arbre I ( F ∞ ). Si R est un germe de c hemin´ ee de directio n F ∞ , on a vu que R F ∞ est une facette de I ( F ∞ ) 32 Guy Rousseau ( cf. 4.3) ; l’ensem ble corresp ondan t de I ( M ∞ ) est R + M ∞ ( cf. remarque 4.8). Quand R v arie, ces ensem bles R + M ∞ d ´ ecriven t donc les facettes de l ’immeuble I ( M ∞ ). 2) On v a mi eux identiﬁer les appartements de I e ( M ∞ ). Il est d’ab ord clair que tout appartemen t de I ( M ∞ ) induit un appartemen t de I ( F ∞ ), on a donc l a propri ´ et ´ e suiv an te ( axiome (A5) de [Ronan-89 ; app endix 3]) : Propri ´ et´ e du Y : Si A 1 , A 2 et A 3 son t trois appartemen ts de I tels que c hacune des in tersections A 1 ∩ A 2 , A 1 ∩ A 3 et A 3 ∩ A 2 soit un demi-appartemen t , alors A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 est non vide. En eﬀet, si les murs que sont les b o r ds de deux de ces demi-appartemen ts ne son t pas parall ` eles dans l’appartemen t A i les con tenan t, la conclusion est ´ eviden te. Le cas parall` ele d ´ ecoule de ce que I ( F ∞ ) est un arbre si F est un germe de cloi son de quartier dans un de ces m urs. 3) Un appartemen t A con tenan t un germe de clo ison de quartier F de direction F ∞ d ´ etermine deux germes de quarti ers Q 1 , Q 2 don t F ∞ est une cloison. L’appartement A ( F ∞ ) de l’ arbre I ( F ∞ ) est enti ` eremen t d´ etermin ´ e par ses deux b o uts Q 1 et Q 2 . Il y a donc (en g ´ en´ eral) b eaucoup d’appartemen ts A ′ de I d ´ etermi nan t le mˆ eme appartemen t ` a l’inﬁni A ′ ( F ∞ ) = A ( F ∞ ). La prop osi t ion ci-dessous montre que parmi eux un et un seul est un a ppartemen t de I ( M ∞ ). On d ´ ecrit ainsi la bijection en tre les appartemen ts de I ( F ∞ ) et de I ( M ∞ ). Prop osition 4.10. Dans les conditions pr ´ ec ´ eden t es, il existe un uniq ue appartemen t A ′ con tenant F , Q 1 et Q 2 , tel q ue le mur M de A ′ engendr ´ e par F ait pour di rection M ∞ . D´ emonstration. Si A ′ est tel qu’indiqu ´ e, le m ur M est l’unique m ur (´ even tuellemen t fan tˆ ome) de 4.8.2. Il est clai r q ue A ′ est r ´ eunion des enclos cl ( M ∪ Q 1 ) et cl ( M ∪ Q 2 ) donc unique. D’apr ` es 4.8.2 il existe un appartemen t A tel que, dans A , le m ur M engendr ´ e par F ait p our direction M ∞ . Soit F − le germe de cloison de quarti er oppos´ e ` a F dans M . Soit A i un appartemen t contenan t F − et Q i ; le mur M i de A i engendr ´ e par F − a donc comme direction M ∞ (puisque F ∞ ≤ Q i ). D’apr` es l ’unicit ´ e de 4.8.2 o n a M i = M . L’en velopp e con vexe ferm ´ ee de F − et Q i ( i.e. l’en veloppe conv exe ferm ´ ee de M et Q i ) dans A i est un demi-appartemen t D i ( ´ even tuellemen t fan t ˆ ome) de b ord M . Dans A 1 consid ´ erons l’image Q 3 par la r ´ eﬂexion r M de − Q 1 . On a donc Q 3 ⊂ D 1 et ( F − ) ∞ ≤ Q 3 . Soit A ′ un appartemen t con tenan t Q 2 et Q 3 , o n a F ∞ , ( F − ) ∞ ⊂ A ′∞ , donc M ∞ ⊂ A ′∞ et A ′ est r´ eunion de m urs de direction M ∞ . Par unicit ´ e des murs de direction M ∞ con tenant un germe de cloison (4.8.2) A ′ con ti en t tout le demi-appartemen t de D 1 ⊂ A 1 engendr ´ e par F ∞ et un quartier q 3 ⊂ D 1 de germe Q 3 ; en particulier A ′ ⊃ Q 1 . Comme il con ti ent aussi Q 2 il con tien t F et donc (par unicit´ e) M qui est de direction M ∞ . Prop osition 4.11. Soien t A 1 et A 2 deux appartemen ts de I tels q ue A 1 ∩ A 2 soit un Masures aﬃnes 33 demi-appartemen t D , alors il existe une r ´ etractio n ρ (de cen tre un germe de quartier) de I sur A 1 telle que ρ ( A 2 ) = D . Remarque. A part la condition de dimin uti on des distances (qui n’a un sens que p our les immeubles aﬃnes) ce r ´ esultat est l’axiome ( A5) de [ Tits-86]. D´ emonstration. Soient M le b ord de D et F un germe de cloison de quartier con ten u dans le mur M . T out se passe dans I ( M ∞ ) et donc principalement dans l’a rbre I ( F ∞ ). Il suﬃt de c hoisir le germe de quartier Q de A 1 \ D don t une cloison est F ∞ et de consid ´ erer la r ´ etraction ρ A 1 , Q . 4.12. Le probl ` e me de classiﬁcati on Le th´ eor ` eme 2 de [Tits-86 ; p 1 6 6] dit qu’un immeuble aﬃne I est d ´ etermin´ e ` a isomorphisme pr ` es par son immeuble sph´ erique ` a l’inﬁni I ∞ (supp os ´ e ´ epais) et les arbres I ( F ∞ ) ≃ I ( M ∞ ) p our F ∞ cloison de I ∞ con tenue dans un mur M ∞ . Si I ∞ est de Moufang, ces arbres d ´ eterminen t une v aluat ion de la donn´ ee radicielle G asso ci´ ee ` a I ∞ [ l.c. ; t h 3 p 170] et cette v al uation p ermet de reconstruire l’immeuble aﬃne I ; on obtien t ainsi la classiﬁcation des immeubles aﬃnes irr ´ eductibles lo calement ﬁnis de dimension ≥ 3 [ l.c. ; 14, 15] . On p eut en visager une strat´ egie semblable p our classiﬁer les masures aﬃnes. On a vu en 3.8.3 qu’` a une masure a ﬃne ´ epaisse 2 − sph ´ erique est souve n t asso ci´ ee une donn ´ ee radicielle ”jumel´ ee” et que ces donn ´ ees radicielles son t classiﬁ ´ ees dans de nombreux cas. Les r ´ esultats pr ´ ec´ eden ts sur les arbres I ( F ∞ ) ou I ( M ∞ ) doiven t permettre de d ´ eﬁnir une v aluati on de la donn ´ ee radicielle. Malheureusemen t il n’y a pas encore de construction d’une masure aﬃne asso ci´ ee ` a une donn ´ ee radicielle v alu ´ ee (hors le cas du paragraphe 6). Ainsi ce pro cessus de classiﬁcation s’arrˆ ete l` a (p our l’instant en tout cas). § 5. Propri ´ et ´ es ` a distance ﬁnie des m asures On consid ` ere une masure aﬃne I que l’on supp osera ordonn ´ ee ` a partir de 5 . 4. Prop osition 5.1. Soien t A un appartement de l a masure I , x 1 et x 2 deux p oi n t s de A t els que x 1 ≤ A x 2 . On consid` ere des facettes lo cal es de I , F 1 et F 2 de sommets resp ectifs x 1 et x 2 . Si F 1 est p ositive et F 2 n ´ egati v e, o n suppose de plus x 1 = x 2 ou x 2 − x 1 ∈ T ◦ ( A ) (cˆ one de Tits ouv ert de A ) i.e. x 1 ◦ ≤ A x 2 . Alo rs il existe un appartemen t A ′ con tenant F 1 et F 2 . D´ emonstration. Quitte ` a ´ ech anger x 1 , x 2 et changer les signes, on p eut supposer v ´ eriﬁ ´ ee l’une des trois condit i ons suiv an tes : F 2 p ositive, x 1 = x 2 ou x 2 − x 1 ∈ T ◦ ( A ). Soit q un quartier (n ´ egat if si x 1 6 = x 2 ) de sommet x 2 dans A tel q ue x 1 ∈ q ; alors, par con v exit´ e, i l ex iste un appartemen t A 1 con tenant q et F 2 et cet appartemen t est isomo r phe ` a A par un 34 Guy Rousseau isomorphisme ﬁxan t q . Ai nsi x 1 ≤ A 1 x 2 , et mˆ eme x 2 − x 1 ∈ T ◦ ( A 1 ), si c’est vrai dans A . On s’est donc ramen ´ e au cas o ` u F 2 ⊂ A . On voit facilemen t q u’ i l ex iste dans A 1 un quarti er (p o sitif si x 1 6 = x 2 ) q 1 de sommet x 1 tel q ue F 2 ⊂ q 1 . Par conv exit´ e i l existe un appartement A ′ con tenant F 1 et q 1 , donc aussi F 2 . Prop osition 5.2. Sous les hypoth` eses de la propo sition 5. 1, supp osons de plus x 1 = x 2 et les deux facettes lo cales F 1 , F 2 de mˆ eme signe. Alors deux appartemen ts con tenan t F 1 et F 2 son t isomorphes par un isomorphisme ﬁxa n t F 1 et F 2 . N.B. Il r´ esulte de la d´ emonstration qui suit que, si deux appartemen ts con t iennen t une m ˆ eme c ham bre lo cale C 0 en x , leur in tersection est (lo calemen t) conv exe par galeries : toute gal erie tendue d’une c ham bre lo cale en x ` a une facette lo cale en x de cett e in tersection est en ti` eremen t con ten ue dans cette in tersection. De plus tout i somorphisme ﬁxan t C 0 en tre les deux a ppartemen ts ﬁxe toutes les cham bres de ces galeri es. D´ emonstration. On se ram` ene par l e pro c ´ ed´ e habituel [ Bro wn-89 ; IV 1 ] au cas o ` u l’une des deux facettes ( e .g. F 2 ) est une cham bre. Soien t A un appartemen t con tenan t F 1 , F 2 et q 2 le quartier de sommet x = x 1 = x 2 dans A engendr ´ e par F 2 . Si A ′ est un autre appartemen t con tenant F 1 et F 2 , on consid` ere dans A ′ une galerie de ch am bres local es en x : F 2 = C 0 , C 1 , . . . , C n ⊃ F 1 qui est mi nimale ( de C 0 ` a F 1 ). En particuli er le type de cette galerie donne un mot r´ eduit de W v , donc dans to ut appartemen t A ′′ con tenant C 0 , C 1 , . . . , C k − 1 , ces c hambres lo cales sont toutes du mˆ eme cˆ ot´ e du mu r ( ´ even tuellemen t fan tˆ ome) de A ′′ con tenant la cloison C k − 1 ∩ C k . En utilisant 2.9.1 successiv emen t p our les m urs s ´ eparant C k − 1 et C k , on trouv e un appartement A 2 de I con tenan t q 2 , C 0 , C 1 , . . . , C n et donc F 1 ; de plus la galerie C 0 , C 1 , . . . , C n est minimal e de F 2 ` a F 1 dans cet appartemen t A 2 . D’ a pr ` es (MA4) A ⊃ cl A 2 ( F 1 , Q 2 ) = cl A 2 ( F 1 , q 2 ) ⊃ cl A 2 ( F 1 , C 0 ) ⊃ C 0 ∪ C 1 ∪ . . . ∪ C n et il existe un isomorphisme ϕ : A 2 → A ﬁxant cet enclos. D’apr ` es (MA2) a ppliqu ´ e ` a C 0 = F 2 , il existe un isomorphisme ψ : A ′ → A 2 qui ﬁxe C 0 . Mais les c ham bres l o cales C 0 , C 1 , . . . , C n son t dans A ′ et A 2 , donc, par r ´ ecurrence, ψ ﬁxe c haque C j . Finalemen t l’ i somorphisme ϕ ◦ ψ ﬁxe F 1 et F 2 , c’est l’isomorphisme c herc h´ e. 5.3. Immeuble s r ´ esiduel s Soit x un p oint de la masure I . 1) On note I + x (resp. I − x ) l’ensemb le des germes de segmen ts p ositifs (resp. n ´ egatifs) [ x, y ) de I et I x = I + x ∪ I − x . Si A est un appartemen t de I con tenan t x , on note A + x (resp. A − x ) l’ ensem ble de ces germes de segmen ts p ositifs (resp. n´ egatifs) conten us dans A et A x = A + x ∪ A − x . Dans le cas ﬁni A x = A + x = A − x (resp. I x = I + x = I − x ) est la ”sph ` ere unit´ e tangente” en x ` a A (resp. I ). Si F est une facette ou une facette l o cale de I p osi tive (resp. n ´ egative ) contenan t x dans son adh ´ erence, on note F x l’ensem ble des germes de segmen ts po si tifs (resp. n´ egatifs) [ x , y ) p our ] x, y ) ⊂ F . Masures aﬃnes 35 2) Soient ε = ± et A un appartement con t enan t x . Le choix de x comme origine iden ti ﬁe A ` a V ( A ). Alo rs A ε x est iden ti ﬁ ´ e ` a l’ensem ble V ( A ) sε des demi-droites d’ori gine 0 de ε T ( A ) ⊂ V ( A ) ; il h´ erite des deux structures de complexes de Coxeter que l ’on v a d ´ eﬁnir sur ε T ( A ) : - La structure non restreinte est celle d´ ecrite en 1.3 (p our V ), son group e de W eyl est W v ( A ) ≃ W v . Les facettes corresp ondan tes dans A ε x son t l es F ℓ x o ` u F ℓ est une facette lo cale en x de signe ε con tenu e dans A . Les m urs corresp ondants son t ´ even tuellemen t fan tˆ omes. - La structure restrein te a p our group e de W eyl le sous-group e W v ( A ) x de W v ( A ) engendr ´ e par les r ´ eﬂexions vectorielles par rapport aux directions des (vra i s) m urs de A con tenan t x . Ce group e est un group e de Co x eter p our un ensem ble de g ´ en ´ erateurs ´ even tuellemen t inﬁni [ D´ eo dhar-89] ; des r´ esultats compl ´ ementaires son t prouv´ es dans [Tits-88] ainsi que dans [B ardy-96 ; 5.1] ou [Moo dy-Pianzola-95 ; 5.7 ] (o ` u la restriction ` a un con tex t e l´ eg ` eremen t diﬀ´ eren t p eut ˆ etre lev´ ee), la meilleure r ´ ef´ erence ici sem bl e ˆ et re [H ´ ee-90], malheureusemen t p eu disp o ni bl e. Il r ´ esulte de ces rai sonnemen ts q ue A ε x est m uni d’une structure de complexe de Co x eter don t les m urs son t les (vrai s) m urs de A contenan t x et don t les facettes son t les F x o ` u F est une facette de A de signe ε don t l’adh´ erence con tien t x . Ce complexe de Co xeter p eut cep endan t ˆ etre tronqu ´ e, car l’ensem ble des facettes F x dans l’adh ´ erence d’une cham bre C x p eut ne pas ˆ etre en bijection (d ´ ecroissan te) a v ec l’ensem ble des parties de l’ensem ble des cloisons de C x . P ar contre le group e W v ( A ) x (agissan t sur A en ﬁxant x ) est bien simplemen t transitif sur les c ham bres C x de mˆ eme signe et engendr ´ e par l ’ ensem ble S ( C 0 x ) (´ even tuellemen t inﬁni) des r ´ eﬂexions par rapp ort aux m urs de l’une de ces c hambres C 0 x , voir [Tits-88 ; prop.3]. L’a xiome (MA2) et cette simple transitivit´ e mon tren t que le syst ` eme de Coxeter ( W v ( A ) x , S ( C 0 x )) ne d ´ ep end pas, ` a i somorphisme unique pr ` es, des choix de A et C 0 x , on le note ( W v x , S x ) ; bien sur W v x est un sous-groupe de W v . 3) On mu nit les appartemen ts A ε x de I ε x de l’une des deux structures de complexe de Co x eter d ´ ecrites ci-dessus. Alors les prop ositions 5.1 et 5.2 mon t rent q ue I ε x a v ec ses appartemen ts est un immeuble a u sens classique, cf . e. g. [ Bro wn-89 ; IV 1]. On note C h r ( I ε x ) l’ ensem ble des cham bres de I ε x p our la structure restreinte. Il est mu ni d’ une W v x − distance d r ε (v ´ eriﬁan t les ax i omes de [Tits-92 ; 2.1] ou [R´ em y - 02 ; 2.3 . 1] puisqu’elle traduit la structure d’immeuble) : on choisit un appartemen t A 0 con tenant x et une c hamb re p ositive C 0 de A 0 con tenant x dans son adh ´ erence. Si C x , C ′ x ∈ C h r ( I ε x ), on choisit un appartemen t A con tenan t les c hambres correspo ndantes C , C ′ et on iden tiﬁe A ` a V ( A ) par le c hoix de x p our orig ine. D’apr` es (MA2) il exist e un isomo rphisme ϕ de ( A 0 , x ) sur ( A, x ). Alors, si ϕ − 1 ( C ) = εw C 0 et ϕ − 1 ( C ′ ) = εw ′ C 0 p our w , w ′ ∈ W v ( A 0 ) x ≃ W v x , on d´ eﬁnit d r ε ( C x , C ′ x ) = w − 1 w ′ ; ceci ne d´ ep end pas des c hoi x eﬀec tu ´ es. On note C h nr ( I ε x ) l’ensem ble des c ham bres de I ε x p our la structure non restrein te. 36 Guy Rousseau Il est m uni d’une W v − distance d nr ε , d ´ eﬁnie de mani ` ere analogue ` a la pr ´ ec´ eden te et q ui traduit la structure non restrein t e d’immeuble sur I ε x , cf. [Gaussen t-Rousseau-08 ; sect. 4.5]. On suppose dans l e r este de ce § 5 la masure I ordonn ´ e e . Prop osition 5.4. Dans la masure ordonn ´ ee I , on consid ` ere deux appartemen ts A 1 , A 2 et deux p oints distincts x, y de A 1 ∩ A 2 v ´ eriﬁan t x ≤ A 1 y (resp. x ◦ ≤ A 1 y ) . Al ors x ≤ A 2 y (resp. x ◦ ≤ A 2 y ) et il existe un isomorphisme de A 1 sur A 2 qui ﬁxe cl A 1 ([ x, y ]) . Cons´ equence s. 1) On p eut donc d ´ eﬁnir des relations ≤ et ◦ ≤ dans la ma sure ordonn ´ ee I : P our t o us x, y ∈ I , on dit que x ≤ y (resp. x ◦ ≤ y ) si et seulemen t si il existe un appartemen t A de I con tenan t x, y tel que x ≤ A y (resp. x ◦ ≤ A y ) (ceci ne d ´ ep end pas du c hoi x de A ). On v a voir en 5.9 q ue ≤ ou ◦ ≤ est un pr ´ eordre. Bi en sur x ◦ ≤ y ⇒ x ≤ y . 2) Pour x ≤ y dans I , le segmen t [ x, y ] et mˆ eme son enclos est ind ´ ep endan t de l’appartemen t c hoi si con tenant x et y . On p eut en particulier parler de c onvexit´ e pr ´ eor donn´ ee dans I . D´ emonstration. 1) D’apr ` es l’axiome ( MA O), on a [ x, y ) A 1 = [ x, y ) A 2 ⊂ A 1 ∩ A 2 ; l’a xiome (MA2) dit donc qu’il existe un isomorphisme ϕ de A 1 sur A 2 qui ﬁxe [ x, y ). Ainsi, dans A 2 , [ x, y ) est un germe de segmen t p ositif (resp. et g´ en ´ erique) et donc x ≤ A 2 y (resp. x ◦ ≤ A 2 y ) . 2) Notons ∆ 1 (resp. ∆ 2 ) la demi-droi t e de A 1 (resp. A 2 ) d’origine x (resp. y ) et con tenant y (resp. x ). Ces deux demi-droit es son t pr ´ eordonn ´ ees et on t en comm un le segmen t [ x, y ]. On v a prouv er l’existence d’un appartement les con tenan t toutes les deu x et dans lequel leur r ´ eunion ∆ est une droite. Soit Q 2 un germe de quartier de A 2 con tenant la direction de ∆ 2 dans son adh ´ erence. D’ a pr` es (MA3) et par compacit ´ e de ∆ 1 ∪ {∞} ( cf . la preuv e de 2.7) il existe des p oints distincts y 1 = x, y 2 = y , y 3 , . . . , y n dans cet ordre sur ∆ 1 et des appartemen ts A 2 , A 3 , . . . , A n , A n +1 con tenant tous Q 2 et resp ectiveme n t [ y 1 , y 2 ] , [ y 2 , y 3 ] , . . . , [ y n − 1 , y n ], [ y n , ∞ ] = ∆ 1 \ [ x, y n [. L’appartemen t A 2 con ti en t ∆ 2 . L’appartemen t A 3 con ti en t y 2 et Q 2 et donc aussi ∆ 2 (par con vexit ´ e, cf. (MA4)). Mais y = y 2 ∈ [ x, y 3 ] A 1 et x ≤ A 1 y 3 ; d’apr ` es (MA O), [ x, y 3 ] A 1 = [ x, y 3 ] A 3 et y 2 ∈ [ x, y 3 ]. Ainsi ∆ 3 = ∆ 2 ∪ [ y 2 , y 3 ] est une demi-droite de A 3 d’origine y 3 dans l’en velopp e con v exe de Q 2 et y 3 . On est dans la situation du d ´ epart a v ec A 2 dev enu in util e. On a donc mon tr´ e, par r ´ ecurrence sur n , que A n +1 con ti en t ∆ = ∆ 1 ∪ ∆ 2 et que ∆ est une droite de A n +1 . 3) Un meilleur c hoix de l’appartement : Soit C v 1 une cham bre vectorielle de A 1 et F v 1 la facette vectorielle engendr ´ ee par la direction de ∆ 1 . On consid ` ere dans A 1 la c hemin´ ee pleine r 1 = cl ( g er m y ( y + C v 1 ) + F v 1 ) Masures aﬃnes 37 et son germe R 1 . Il est clair que cl ( x, R 1 ) ⊃ r 1 ⊃ ∆ 1 . Dans 2) ci-dessus on p eut supp oser que A ′ = A n +1 con ti en t Q 2 et R 1 ; on a vu qu’il con tien t ∆ 1 et ∆ 2 en particulier x et y . Ainsi A ′ con ti en t le quartier q 2 de A 2 de sommet y et direction Q 2 ainsi que la c hemin´ ee pleine r 1 . D’apr ` es l’axio me (MA4) on a un isomorphisme ϕ de A 1 sur A ′ ﬁxan t cl ( x, R 1 ) ⊃ cl ([ x, y ]) et un i somorphisme ψ de A ′ sur A 2 ﬁxan t cl ( q 2 ) ⊃ ([ x, y ]) . Ainsi ψ ◦ ϕ est l’isomorphisme c herch ´ e. Prop osition 5.5. Soien t A un appartemen t de l a masure ordonn ´ ee I , x 1 et x 2 deux p oin ts de A tels que x 1 ≤ A x 2 . On consid ` ere des facettes lo cales de I , F 1 et F 2 de sommets resp ectifs x 1 et x 2 . On supp ose x 2 − x 1 ∈ T ◦ ( A ) ou F 2 p ositive et F 1 n ´ egati v e. Alors, si des appartemen ts A ′ et A ′′ con ti ennen t F 1 et F 2 , ils contienn en t leur en ve lopp e con vexe et il existe un isomorphisme de A ′ sur A ′′ qui ﬁxe cette en velopp e con ve xe. Remarque. On a montr ´ e l’ existence d’appartemen ts A ′ et A ′′ comme dans l’ ´ enonc ´ e en 5.1 (sous une hypot h ` ese moins restrictiv e) . Av ec l’hypot h ` ese ci-dessus, si Ω 2 (resp. Ω 1 ) est un ´ el ´ ement assez p etit du ﬁltre F 2 (resp. F 1 ) conten u dans A ′ , alors pour tous y 2 ∈ Ω 2 et y 1 ∈ Ω 1 on a y 1 ≤ y 2 . D´ emonstration. On suppose Ω 2 et Ω 1 comme ci-dessus, conv exes et con ten us dans A ′ et A ′′ . D’apr ` es 5.4 A ′ ∩ A ′′ con ti en t [ y 1 , y 2 ] A ′ = [ y 1 , y 2 ] A ′′ p our tous y 2 ∈ Ω 2 et y 1 ∈ Ω 1 . Ainsi A ′ ∩ A ′′ con ti en t l’env elopp e con vexe de Ω 2 ∪ Ω 1 et donc de F 2 ∪ F 1 . P our construire l’isomorphisme de A ′ sur A ′′ on se ram` ene (par le pro c ´ ed ´ e habituel [Bro wn-89 ; IV 1 ]) au cas o ` u l’une des facettes lo cales ( e.g. F 1 ) est une c hambre. Soien t y 1 ∈ Ω 1 tel que F 1 ⊂ cl ([ x 1 , y 1 )) et z 1 le mili eu de [ x 1 , y 1 ]. Alors z 1 est dans un ouvert de A ′ ou A ′′ con tenu dans cl ([ x 1 , y 1 ]) ∩ Ω 1 . D’apr` es 5.4 i l ex iste un isomorphisme ϕ de A ′ sur A ′′ qui ﬁxe cl ([ x 1 , y 1 ]). Soit z 2 ∈ Ω 2 , alors [ z 1 , z 2 ] ⊂ A ′ ∩ A ′′ rencon tre cl ([ x 1 , y 1 ]) selon un voisinage ouv ert de z 1 dans [ z 1 , z 2 ]. Donc ϕ est une bijection aﬃne de [ z 1 , z 2 ] sur son i mage dans A ′′ qui est l’iden tit´ e sur un voisinage de z 1 . Or 5. 4 a ppli qu ´ e ` a [ z 1 , z 2 ] dit q ue l ’iden t it ´ e de [ z 1 , z 2 ] est une bijec tion aﬃne (p our les structures aﬃnes h ´ erit ´ ees resp ectiv emen t de A ′ et A ′′ ), donc ϕ co ¨ ıncide av ec cette bijection aﬃne ; en particulier ϕ ( z 2 ) = z 2 . Ainsi ϕ ﬁx e Ω 2 et cl ([ x 1 , y 1 ]), donc Ω 1 (quitte ` a le remplacer par un ´ el´ emen t plus p et i t de F 1 ). Pour t 1 ∈ Ω 1 , t 2 ∈ Ω 2 le m ˆ eme raisonnemen t que ci-dessus mon tre que ϕ ﬁxe [ t 1 , t 2 ]. Mais l’en veloppe con vexe de Ω 1 ∪ Ω 2 est la r ´ eunion de ces segmen ts, d’o ` u la prop osit ion. 5.6. Jume l age des immeuble s r´ esidue ls P our un p oint x de la masure ordonn´ ee I , on a d ´ eﬁni (en 5.3) deux ensem bles I + x , I − x et deux structures d’immeubles sur c hacun d’eux, l a non restrein te de g roup e de W eyl W v et la restreinte de group e de W eyl W v x . P our chacu ne de ces structures on p eut d ´ eﬁnir un jumelage de I + x et I − x . Le cas non restrein t ´ etan t trait´ e en d ´ etail dans [Gaussen t-Rousseau-08], on se concen tre ici sur le cas restreint. On d ´ eﬁnit ci-dessous une application c o di stanc e : 38 Guy Rousseau d r ∗ : C h r ( I + x ) × C h r ( I − x ) ∪ C h r ( I − x ) × C h r ( I + x ) → W v x On c hoisit un app artemen t A 0 con tenant x et une c ham bre p ositive C 0 de A 0 con tenant x dans son adh ´ erence. Si ε = ± , C x ∈ C h r ( I ε x ) et C ′ x ∈ C h r ( I − ε x ), o n c hoisit un appartemen t A con tenan t les c hambres corresp ondan tes C , C ′ et on iden tiﬁe A 0 ` a V ( A 0 ) par le choix de x comme origine. D’apr ` es (MA2) i l existe un i somorphisme ϕ de ( A 0 , x ) sur ( A , x ). Alors, si ϕ − 1 ( C ) = εw C 0 et ϕ − 1 ( C ′ ) = − εw ′ C 0 p our w , w ′ ∈ W v ( A 0 ) x ≃ W v x , on d ´ eﬁnit d r ∗ ( C x , C ′ x ) = d r − ε ( − C x , C ′ x ) = d r ε ( C x , − C ′ x ) = w − 1 w ′ ; ceci ne d ´ ep end pas des ch oix eﬀectu ´ es d’apr ` es 5.5. Prop osition. d r ∗ est un jumelage des immeubles I + x et I − x m unis de l eurs structures restrein t es. Remarque. On a de mˆ eme un jumelage d nr ∗ (co distance ` a v aleurs dans W v ) de ces immeubles m unis de leurs structures non restrein tes. D´ emonstration. Il faut v´ eriﬁer l es axiomes de [Tits-92 ; 2.2] , voir aussi [R´ em y -02 ; 2.5 . 1]. On a d r ∗ ( C ′ x , C x ) = w ′− 1 w = d r ∗ ( C x , C ′ x ) − 1 , d’o ` u ( Tw1). Soi ent mainten an t C x ∈ C h r ( I ε x ) et C ′ x , C ′′ x ∈ C h r ( I − ε x ) des c hambres telles que d r ∗ ( C x , C ′ x ) = w ∈ W v x et d r − ε ( C ′ x , C ′′ x ) = s ∈ S x , av ec ℓ ( w s ) = ℓ ( w ) − 1 (longueurs cal cul ´ ees dans le syst` eme de Coxeter ( W v x , S x ) ) . Soit A un appartemen t con tenan t C et C ′ (et donc x ) ; o n c hoi si t de r ´ ealiser ( W v x , S x ) dans A par le c hoix de εC comme c hambre fondamen tal e. Comme ℓ ( w s ) = ℓ ( w ) − 1, le (vrai ) m ur M engendr ´ e par la cloison de − εC ′ de t y p e { s } s ´ epare − εC ′ de εC ; ainsi C et C ′ son t du mˆ eme cˆ o t´ e de M . D’a pr ` es 2.9 . 1 il existe un appartemen t A ′ con tenant C , C ′ et C ′′ . Dans cet appartemen t C ′ = w . ( − C ) et C ′′ = ( w sw − 1 ) .C ′ donc C ′′ = w s. ( − C ) et d r ∗ ( C x , C ′′ x ) = w s , c’est l’axi ome (Tw2). P our v´ eriﬁer l e t roisi ` eme ax iome (Tw3 ), soi ent C x ∈ C h r ( I ε x ), C ′ x ∈ C h r ( I − ε x ), w = d r ∗ ( C x , C ′ x ) ∈ W v x et s ∈ S x . Dans un appartemen t A contenan t C et C ′ , consid ´ erons la c hambre C ′′ 6 = C ′ adjacen te ` a C ′ le long de la cloison de t y p e { s } . On a bien d r − ε ( C ′ x , C ′′ x ) = s et d r ∗ ( C x , C ′′ x ) = w s comme demand ´ e. Prop osition 5.7 . Soien t C − , C deux cham bres n ´ egatives d’un immeuble jumel´ e (de group e de W eyl W ) et C + une c hambre p o si t iv e opp os ´ ee ` a C − . On consid ` ere un appartemen t jumel ´ e A = A − ∪ A + con tenant C et la r´ etraction ρ = ρ A,C de l’immeuble sur A de centre C . On note w − et w + les ´ el ´ ements de W = W ( A ) tels que ρ ( C − ) = w − C et ρ ( C + ) = − w + C ( la c ham bre de A + opp os ´ ee ` a w + C ∈ A − ). A lors w + ≤ w − p our l’ordre de Bruhat-Chev al ley sur W ( A ) corresp o ndant au c hoix du syst` eme de g ´ en´ erateurs form´ e des r ´ eﬂexions par rapport aux murs de C (ou − C ) . D´ emonstration. On a w + = d ∗ ( C , C + ) et w − = d − ( C , C − ). La relatio n d ∗ ( C , C + ) ≤ d − ( C , C − ) o u plutˆ ot d ∗ ( C + , C ) ≤ d − ( C − , C ) est exactemen t ce qu’obtient P eter Abramenk o au cours de la d ´ emonstrat ion de ℓ ( d ∗ ( C + , C )) ≤ ℓ ( d − ( C − , C )) dans sa Remark 3 page 24 de [Abramenk o-96]. Masures aﬃnes 39 Corollaire 5.8 . Soien t Q = g er m ∞ ( x 0 − C v ) un germe de q uartier n ´ ega t if dans un appartemen t A de la masure ordonn´ ee I , ρ = ρ A, Q la r ´ etr a ct ion sur A de cen tre Q ( cf . 2.6) et x ≤ y deu x p oints de I . Alors l’ image ρ ([ x, y ]) du segmen t [ x, y ] dans A est une ligne bris ´ ee q ui est ”pli ´ ee p o si tive men t ”, c’est ` a dire : p our tout z 1 = ρ ( z ) ∈ ρ (] x, y [) , on note π + = ρ ([ z , y )) (resp. π − = ρ ([ z , x )) ) et w + (resp. w − ) l’´ el ´ ement minimal de W v tel que π + ⊂ w + ( z 1 + C v ) (resp. π − ⊂ w − ( z 1 − C v ) ), on a alors w + ≤ w − p our l’ordre de Bruhat-Chev alley . Remarques. 1) L’ordre de Bruhat-Chev alley c hoi si sur W v = W v ( A ) corresp ond au c hoi x du syst ` eme de g´ en ´ erateurs form´ e des r ´ eﬂexions par rapp ort aux murs de la ch am bre v ectorielle C v de A . 2) La relation ≤ et l e segmen t [ x, y ] son t bien d´ eﬁnis dans I (5.4). On a d ´ emontr ´ e en 2.8 que ρ ([ x, y ]) est une ligne bris ´ ee ”croissan te”, en particulier π + (resp. π − ) est un germe de segmen t posit if (resp. n´ egatif ) en z 1 . D´ emonstration. D’apr` es (MA2) on p eut supp oser que A con t i en t Q et [ z , x ), donc z = z 1 et π − = [ z , x ). Consid´ erons la c ham bre lo cale (en z ) C = g er m z ( z − C v ). Par d ´ eﬁnition de w − on a π − ⊂ C − = w − C . Dans un appartemen t con tenan t C − et [ z , y ) (5.1), on note C + la c hambre lo cale en z oppo s´ ee ` a C − et w ′ + = d nr ∗ z ( C , C + ). Il est clair que π + ⊂ ρ ( C + ) = w ′ + .g er m z ( z + C v ) ⊂ w ′ + . ( z + C v ), donc w + ≤ w ′ + [Humphreys-90 ; 5.12 p. 123] . Il est cl a ir que ρ induit dans l’immeuble jumel´ e I z (a v ec sa structure non restrein t e) la r ´ etracti on de cen tre C z . De pl us C + z et C − z son t oppos´ ees et se r´ etracten t resp ectiv emen t sur − w ′ + C z et w − C z . Enﬁn les c hoix de syst` emes de g´ en ´ erateurs d e W v = w v ( A ) eﬀectu ´ es en 5.7 et 5.8 sont les m ˆ emes. D’ apr ` es 5.7 on a w ′ + ≤ w − , donc w + ≤ w − . Th´ eor` eme 5.9. Dans la masure ordonn ´ ee I la relation ≤ ou ◦ ≤ (d ´ eﬁnie en 5.4.1) est un pr ´ eordre. Plus pr ´ ecis´ emen t si tr o is p oi nts x , y et z dans I son t tels q ue x ≤ y et y ≤ z , alors x ≤ z et en particulier les p oin ts x , z son t dans un m ˆ eme appartemen t ; de mˆ eme p our ◦ ≤ . Remarque. D’apr` es 1.5.4 la relat ion ◦ ≤ est une relat i on d’ordre en dehors du cas ﬁni (o ` u elle est t riviale). On a x ≤ y , y ◦ ≤ z , y 6 = z (ou x ◦ ≤ y , y ≤ z , x 6 = y ) ⇒ x ◦ ≤ z . D´ emonstration. On supp ose x 6 = y et y 6 = z . Dans le cas semi-discret, i l suﬃt de traduire mot ` a mot la d ´ emonstrat i on du Theorem 6.9 de [Gaussen t-Rousseau-08] en ra joutant au dictionnaire les traductions suiv an tes : [ l.c. ; sect. 4.3.4 ou lemma 6.1 1] 7→ 5.1 et 5.5, [ l.c. ; sect. 4.4] 7→ 2.7.1 et [ l.c. ; prop. 6. 1] 7→ 5.8. P our le cas g ´ en ´ eral il faut r ´ eorga ni ser les ingr´ edien ts de cette d´ emonstration : 1) Pour z ′ ∈ [ y , z [ tel que x ≤ z ′ , on c hoisit un appartemen t A con tenant [ z ′ , x ) et [ z ′ , z ) ( 5.1) ; cet appartemen t a un sy st ` eme de racines r´ eelles asso ci ´ e Φ ( A ) et on d ´ eﬁnit l’ensem ble ﬁni Φ( z ′ ) des racines α ∈ Φ( A ) telles que α ( z ′ ) > α ( x 1 ) et α ( z ′ ) > α ( z 1 ) p our certains x 1 ∈ [ x, z ′ ] ∩ A et z 1 ∈ [ z , z ′ ] ∩ A . Comme [ z ′ , x ) et [ z ′ , z ) sont pr´ eordonn ´ es, 40 Guy Rousseau 5.5 mon tre q ue Φ( z ′ ) d ´ ep end, ` a isomorphisme pr ` es, seulemen t de [ z ′ , x ) et [ z ′ , z ) mais pas de A . On raisonne par r ´ ecurrence sur | Φ( y ) | ; s’il v aut − 1 le th ´ eor` eme est d ´ emon tr´ e. 2) D’apr ` es 5.1, il existe un appartemen t A 1 con tenant x et [ y , z ). On choisit une c hambre vectorielle C v dans A 1 telle que son syst ` eme de raci nes p osi tive s asso ci´ e Φ + ( C v ) con ti enne les raci nes α ∈ Φ( A 1 ) telles que α ( y ) > α ( x ) ou α ( y ) = α ( x ) et α ( z 1 ) > α ( y ) (p our un z 1 ∈ [ y , z ] ∩ A 1 ) ; en part iculier [ x, y ] ⊂ ( y − C v ) ∩ ( x + C v ) et [ y , z ) ⊂ x + C v . Main tenan t si α ∈ Φ + ( C v ) est tel que α ( z 1 ) < α ( y ) (p our un z 1 ∈ [ y , z ] ∩ A 1 ) alors α ( y ) > α ( x ) ; donc Φ( y ) (calcul ´ e dans A 1 ) est l’ensem ble des racines α ∈ Φ + ( C v ) tel l es que α ( z 1 ) < α ( y ) (p our un z 1 ∈ [ y , z ] ∩ A 1 ). Soien t Q le germe de quartier associ´ e ` a − C v dans A 1 et ρ la r´ etraction de cen tre Q sur A 1 . 3) On note Σ 1 = [ y , Z ] le segmen t de A 1 d’origine y , con t enan t [ y , z ) et aﬃnemen t isomorphe ` a [ y , z ]. On note Z 1 le p oint le plus ´ eloign´ e de y dans Σ 1 ∩ ( x + C v ), donc ∀ Z 2 ∈ [ y , Z 1 ], x ∈ Z 2 − C v . On note enﬁn z 1 ∈ ] y , z ] le p oi n t corresp ondan t ` a Z 1 par l’isomorphisme aﬃne de [ y , Z ] sur [ y , z ] . Comme en 2.7.1 on obti en t une suite y 0 = y , y 1 , . . . , y n = z 1 ∈ [ y , z 1 ] et des appartemen ts A 1 , A 2 , . . . , A n tels que A i con ti enne Q et [ y i − 1 , y i ]. En particulier x ∈ y 1 − C v et x ≤ y 1 (resp. x ◦ ≤ y 1 ) : le th´ eor ` eme est d´ emon tr´ e si y 1 = z . Si y 1 6 = z on raisonne par r´ ecurrence sur n. On consid ` ere l’appartement A 2 ci-dessus si n ≥ 2 et un appartemen t A 2 con tenant [ y 1 , z ) et y 1 − C v (donc aussi x et Q ) si n = 1 i.e. y 1 = z 1 6 = z . On v a maintenan t comparer Φ( y ) et Φ( y 1 ). 4) La r ´ etracti on ρ en voie isomorphiquemen t A 2 sur A 1 . Ceci p ermet d’iden ti ﬁer Φ( y 1 ) av ec l’ensem ble Φ ′ ( y 1 ) des racines α ∈ Φ( A 1 ) t elles que α ( y 1 ) > α ( x ) (donc α ∈ Φ + ( C v )) et α ( y 1 ) > α ( ρz 2 ) (p our un z 2 ∈ [ y 1 , z ] ∩ A 2 ). On a ρ ([ y 1 , z ) ) = y 1 + [0 , 1) w + λ , [ y , y 1 ) = y + [0 , 1) w − λ p our un certain λ ∈ C v et certains w + , w − ∈ W v , av ec w + ≤ w − d’apr ` es 5.8. En particulier, p our α ∈ Φ + ( C v ), α ( y 1 ) > α ( ρz 2 ) signiﬁe α ( w + λ ) < 0, donc Φ ′ ( y 1 ) ⊂ { α ∈ Φ + ( C v ) | α ( w + λ ) < 0 } et (comme w + est c hoi si minimal) cet ensem ble a p our cardinal ℓ ( w + ). Mais nous av ons v u en 2) que Φ ( y ) = { α ∈ Φ + ( C v ) | α ( w − λ ) < 0 } . Donc, comme w + ≤ w − , | Φ ′ ( y 1 ) | ≤ ℓ ( w + ) ≤ ℓ ( w − ) ≤ | Φ( y ) | . Si | Φ ′ ( y 1 ) | < | Φ( y ) | l e th ´ eor` eme est d ´ emontr ´ e par r´ ecurrence. Sinon les 4 nom bres ci-dessus sont ´ egaux ; en particulier, comme w + ≤ w − , on a w + = w − et Φ ′ ( y 1 ) = Φ( y ). 5) Si y 1 = z 1 6 = z , alors, par d ´ eﬁnition, il existe α ∈ Φ + ( C v ) tel que α ( Z ) < α ( y 1 ) = α ( x ), donc α ( Z ) < α ( y ). Ainsi α ∈ Φ( y ) et α / ∈ Φ ′ ( y 1 ) ; c’est absurde. Donc main tenan t y 1 6 = z 1 . Co mme w + = w − , y et ρ ([ y 1 , z ) ) son t align ´ es dans A 1 . L’isomorphisme ρ de A 2 sur A 1 iden ti ﬁe la cham bre vectorielle C v de A 1 d ´ eﬁnie en 2) ` a celle que l ’on p eut d ´ eﬁnir de la mˆ eme mani` ere dans A 2 a v ec y 1 (en eﬀet, comme y 1 6 = z 1 , α ( y ) > α ( x ) ⇒ α ( y 1 ) > α ( x )). Si o n d ´ eﬁnit Σ ′ 1 = [ y 1 , Z ′ ], Z ′ 1 ∈ Σ ′ 1 et z ′ 1 ∈ [ y 1 , z ] comme en 3) a ve c ( A 2 , y 1 , C v ) Masures aﬃnes 41 ` a la place de ( A 1 , y , C v ), l’isomorphisme ρ de A 2 sur A 1 en voie Σ ′ 1 sur [ y 1 , Z ] et Z ′ 1 sur Z 1 ; donc z ′ 1 = z 1 . Le rai sonnemen t de l’´ etap e 3) (pour y 1 et A 2 ) fournit alors les m ˆ emes p oin ts y 1 , . . . , y n = z 1 ∈ [ y 1 , z 1 ]. On est donc pass´ e de n ` a n − 1 et le th ´ eor ` eme est prouv ´ e par r ´ ecurrence. Remarque 5.10. Ce t h´ eor ` eme est le meilleur r´ esultat de cet article p our caract´ eriser des paires de p oin ts de la masure ordonn ´ ee I q ui sont si t u ´ es dans un mˆ eme appartemen t. Dans l e cas ﬁni, on a x ≤ y (et mˆ eme x ◦ ≤ y ) p our tous x , y dans un m ˆ eme appartemen t A . Pour tous x, y ∈ I il existe un p oin t z et deux appartemen ts A 1 , A 2 tels que x, z ∈ A 1 et y , z ∈ A 2 ; on a donc x ≤ z ≤ y et x , y son t dans un m ˆ eme appartemen t d’apr ` es 5.9. D’apr` es 5.1 et 5.5 deux facettes de I son t donc toujours conten ues dans un m ˆ eme appartemen t A , qui est unique ` a un isomorphisme ﬁxant les deux facettes pr` es. Ainsi 5.9 p eut ˆ etre vu comme une g´ en ´ erali sation de [ Bruhat-Tits-72 ; 7.3. 4 et 7.3.6]. Si le group e de W eyl W v de la masure ordonn ´ ee I est aﬃne, il existe une forme lin ´ eaire δ sur V (la ”plus p etite racine imagi naire posi tive ”) qui est com bi nai son lin ´ eai re ` a co eﬃcients p ositifs des α i , in v arian te par W v et telle que T ◦ = { v ∈ V | δ ( v ) > 0 } , T = T ◦ ∪ V 0 . Chaque appartemen t A est m uni d’une forme li n ´ eaire δ A telle q ue x ≤ A y ⇔ δ A ( y − x ) > 0 ou x − y ∈ V 0 ; de plus δ A ( y − x ) est ind ´ ep endan t du choix de l’appartemen t A contenan t x et y . Choisissons un germe de quarti er p ositif Q , on p eut donc d´ eﬁnir δ Q ( y − x ) p our tous x , y dans I par δ Q ( y − x ) = δ A ( ρy − ρx ) p our tout appartemen t A con tenan t Q et p our ρ = ρ A, Q . D’a pr` es 2.7.1 on a δ Q ( y − x ) = δ A ( y − x ) d ` es que x , y ∈ A et δ A ( y − x ) 6 = 0. Donc y ≥ x et y 6 = x ⇒ δ Q ( y − x ) > 0. Ho w ard Garland [199 5 ] consid ` ere la situati on d’un group e de lacets sur un corps discr ` etemen t v alu´ e K (on supp osera ici que son corps r ´ esiduel con tien t C ). Pl us pr ´ ecis´ emen t, p our un gro up e semi-simple simplemen t l a c´ e G , il ´ etudie un sous -group e b G b de G ( K (( t )) ) qui est con ten u dans l e g roup e engendr ´ e par U max + Q et U − Q (notations de [Gaussen t-Rousseau-08 ; sect. 3 . 2 et 3.3] en consid ´ eran t le group e de Kac-Mo o dy G 1 = G ( K [ t, t − 1 ]) ⋊ K ∗ ). Il sem ble q ue b G b n’agisse que sur un espac e I ′ plus gros que la masure I construit e dans l.c . po ur G 1 , mais il ﬁx e Q . Da ns I ′ la d ´ ecomp ositio n de Cartan t o rdue que Garl a nd prouv e sem ble mon trer q ue, si x, y ∈ I ′ et δ Q ( y − x ) > 0, il existe un appartemen t con tenan t x, y et Q . On p eut donc se demander si la r´ ecipro que de la derni` ere phrase de l’alin ´ ea pr ´ ec´ eden t est vrai e dans to ut e masure ordonn´ ee de group e de W eyl W v aﬃne. Un tel r ´ esultat pr ´ eciserait b eaucoup l e th ´ eor` eme 5.9 : presque toutes les paires de p oin ts seraien t con ten ues dans un mˆ eme appartemen t. § 6. Masures asso ci´ ees ` a cer tains group es de Kac-Mo o dy Dans ce dernier paragraphe on se prop ose de mon trer q ue l es masures (hov els) construites dans [Gaussen t-Rousseau-08] (ou en t o ut cas la plupart d’en tre elles) formen t 42 Guy Rousseau des masures aﬃnes, ordonn ´ ees, ´ epaisses et semi-discr ` etes au sens adopt ´ e i ci. On ne rapp ellera pas toutes les d ´ eﬁnitions in tro duites dans lo c. cit. . 6.1. La situation On consid` ere donc un groupe de Kac-Mo o dy G d ´ eﬁni sur un corps K mun i d’une v aluation discr ` ete ω p our laquelle le corps r ´ esiduel κ con tien t C . On supp ose que G v´ eriﬁe les h yp oth` eses tech niques de lo c. cit. ; en parti culier il est d ´ eploy ´ e et sym´ etrisable. On supp ose de plus q u’il v´ eriﬁe l’ h y p oth ` ese (SC) de [ l.c. ; sect. 2.1.5] : (SC) Q ˇ = P i ∈ I Z α ˇ i est sans cotorsion dans Y . En fait , d’apr ` es l e raisonnemen t de lo c. cit. , on doit pouvoir toujours se ramener ` a ce cas sans b eaucoup c hanger l’espace I . On a construit dans lo c. ci t. un ensem ble I , muni d’un recouvremen t par un ensem ble A de sous-ensem bles app el ´ es appartemen t s. T ous ces appartemen ts sont p erm ut ´ es par G ( K ) et donc isomorphes ` a un appartemen t fondamen tal A f = A . Le stabilisateur de A f est un groupe N ( K ) (normalisateur du tore fondamen tal T f de group e de caract ` eres (resp. co caract` eres) X ( resp. Y )) qui agi t sur A par un group e W Y . L’espace A est un appartement semi-discret au sens de 1.4 ci-dessus. On le consid ` ere comme mo d ´ er ´ emen t imaginaire, car mun i des m urs d ´ ecrits en 1.2.1 et 1.4. d. Le group e W Y est un groupe de transformatio ns aﬃnes stabil i san t l’ensemb le des murs r´ eels ou imaginaires et con tenan t le group e de W eyl aﬃne W (engendr ´ e par les r ´ eﬂexions par rapp ort aux m urs r´ eels). En particulier W Y normalise W . Ainsi tout appartemen t de A est m uni d’une structure d’appartemen t de type A et l’ax iome (MA1) est v´ eriﬁ ´ e. 6.2. Le sous-gro up e G ( K ) 1 Le group e Y 1 = Y /Q ˇ est ab´ elien libre. C’est l e groupe des co caract` eres d’un tore T 1 (de group e de caract ` eres X 1 = { χ ∈ X | χ ( Q ˇ ) = 0 } ) et l’homo mo rphisme naturel δ de T f sur T 1 se prol o nge en un homomorphisme δ de G sur T 1 trivial sur tous les sous- group es radiciels : il suﬃt, p our tout corps K ′ con tenant K , de consid´ erer la pr ´ esen tati on de G ( K ′ ) donn ´ ee par J. Tit s, cf. [R´ em y -02 ; 8.3 .3 et 8.4 .2]. Si O est l’ anneau des en tiers de ( K , ω ), on a T 1 ( K ) /T 1 ( O ) ≃ Y 1 et on note G ( K ) 1 le sous-groupe distingu´ e G ( K ) 1 = δ − 1 ( T 1 ( O )) de G ( K ), donc G ( K ) /G ( K ) 1 ≃ Y 1 . Si T f ( K ) 1 = T f ( K ) ∩ G ( K ) 1 , on a T f ( K ) /T f ( K ) 1 ≃ Y 1 . On sait que l’image ν ( N ( K )) de N ( K ) dans l e group e des automorphismes a ﬃnes de A f = A est W Y = W v ⋉ Y , que ν ( T f ( K )) = Y et que Ker ν = H = T f ( O ). En fait N ( K ) ∩ G ( K ) 1 a p o ur image (par ν ) W = W v ⋉ Q ˇ ; en eﬀet, comme δ est trivial sur l es sous-group es radiciels de G , G ( K ) 1 con ti en t des repr ´ esen tan ts dans N ( K ) de g ´ en´ erateurs de W v . On sait qu’un poi n t ou un germe de q uartier a un b on ﬁxa t eur [Gaussen t-Rousseau- 08 ; sect 4.1 et 4.2.4] et qu’ un p oin t et un germe de q uartier son t toujours con ten us dans Masures aﬃnes 43 un m ˆ eme appartemen t [ l.c . ; sect 4.3 .3], le lemme suiv an t mon tre donc que G ( K ) 1 est transitif sur A . Comme l e stabilisateur dans G ( K ) 1 de A f est N ( K ) ∩ G ( K ) 1 qui agit sur A f via W , il est clair que c haque appartemen t de I est mu ni d’une unique structure d’appartemen t de type A (au sens de 1 . 13) et que tout ´ el´ emen t de G ( K ) 1 induit un isomorphisme d’un appartemen t quelconque de I sur son image. Lemme 6.3. Soit Ω ⊂ A un ﬁltre qui a un a ssez b on ﬁxateur, alors G Ω = b P Ω est con tenu dans G ( K ) 1 , en particulier il induit un isomorphisme en tre un appartemen t et son image. Bien sur G Ω p erm ute transitivemen t les appartemen ts con tenan t Ω . D´ emonstration. On a G Ω = ( G Ω ∩ U + ) . ( G Ω ∩ U − ) . b N Ω (` a l’´ ec hange de + et − pr ` es). On sait que δ est trivial sur U + et U − , il suﬃt donc de v oir q ue b N Ω ⊂ G ( K ) 1 . Mais ν ( b N Ω ) = b N Ω /H est le ﬁxateur de Ω dans W Y , on doit mon trer qu’il est dans W . Soit w = w v .y ∈ W Y = W v ⋉ Y (a v ec y ∈ Y et w v ∈ W v ) qui ﬁxe un p oi n t x de A ; comme w v ﬁxe x ` a Q ˇ ⊗ R pr ` es, y doit ˆ etre dans Y ∩ ( Q ˇ ⊗ R ) = Q ˇ : on a bien w ∈ W = W v ⋉ Q ˇ . 6.4. Group e parab olique asso ci´ e ` a une facette v ect orielle F v de A On associe ` a F v un ensem ble parabo l ique de racines Φ( F v ) = Φ m ( F v ) ∪ Φ u ( F v ) a v ec Φ( F v ) = { α ∈ Φ | α ( F v ) ≥ 0 } , Φ m ( F v ) = { α ∈ Φ | α ( F v ) = 0 } = { α ∈ Φ | F v ⊂ M v ( α ) } et Φ u ( F v ) = Φ( F v ) \ Φ m ( F v ). On en d´ eduit des sous-group es de G ( K ) : - le sous-group e parab o lique P ( F v ) est en gendr ´ e par T f ( K ) et les U α ( K ) p our α ∈ Φ( F v ), - son facteur de L ´ evi M ( F v ) est engendr ´ e par T f ( K ) et les U α ( K ) p our α ∈ Φ m ( F v ), - son radical unip o t en t U ( F v ) est le plus p eti t sous-group e normal de P ( F v ) con tenant l es U α ( K ) p our α ∈ Φ u ( F v ), et on a la d ´ ecomp osit ion en pro duit semi-direct P ( F v ) = M ( F v ) ⋉ U ( F v ), cf. [Rousseau-06 ; 1. 7 ] ou [ R ´ emy-02 ; 6.2] . Si on suppo se F v dans l ’adh ´ erence de la c ham bre fondamen tal e p ositi ve C v f , U ( F v ) est aussi le plus p eti t sous-group e normal de U + ( K ) con t enant les U α ( K ) p our α ∈ Φ u ( F v ) [ R ´ emy-02 ; 6.2]. On a d onc U ( F v ) ⊂ U + ( K ) ∩ U max (Φ u ( F v )) = G ( K ) ∩ U max (Φ u ( F v )) = U pmax (Φ u ( F v )) , cf. [Gaussen t-Rousseau-08 ; sect. 3. 3 .3]. D’apr ` es la d´ eﬁnition par g ´ en ´ erateurs et rel ations des group es de Kac-M o o dy [ R ´ emy- 02 ; 8.3. 3] M ( F v ) est le (ou a u moi ns un q uotien t du) groupe de Kac-Mo o dy G F v ( K ) de syst ` eme g´ en ´ erateur de racines ( A ( J ) , X , Y , ( α i ) i ∈ J , ( α ˇ i ) i ∈ J ) si F v = F v ( J ). Si F v = V 0 , on a M ( F v ) = G ( K ) et U ( F v ) = { 1 } . Si F v est sph ´ eri que, Φ m ( F v ) est ﬁni et M ( F v ) est un group e r ´ eductif, cf. [R´ em y -02 ; 12. 5.2] ou [ Rousseau-06 ; 1.7] . 6.5. F acette microaﬃne et group e p arahorique asso ci´ e s ` a une chemin ´ ee Soit r = r ( F , F v ) une c hemin ´ ee de A asso ci ´ ee ` a une facette F = F ( x, F v 0 ) et une facette v ectorielle F v . 44 Guy Rousseau ` A F v , on asso cie l’ ensemb le M Φ m ( F v ) des m urs de M de direction Ker( α ) p our α ∈ Φ m ( F v ) et l’appartemen t aﬃne A F v de G F v ( K ) correspondant au c hoix dans A des m urs de M Φ m ( F v ) et des m urs i ma ginaires de direction con tenan t F v . ` A la c hemin´ ee r , on asso cie la facette microaﬃne F µ = F µ ( r ) = ( F , F v ) o ` u F = F Φ m ( F v ) ( x, F v 0 ) est la facette engendr ´ ee par F dans A F v . Ainsi F est le ﬁltre des parties de A contenan t une in tersection de demi-espaces D ( α, k ) de A F v ( i.e. p our α ∈ ∆, α ( F v ) = 0 et k ∈ Γ α ) con tenant F ; en parti culier F ⊃ r . Le sous-group e parahorique P µ ( r ) = P ( F µ ) est le pro duit semi-direct P ( F µ ) = M ( F , F v ) ⋉ U ( F v ) o ` u M ( F , F v ) est le (ou l’image dans M ( F v ) du) sous-groupe b P F de G F v ( K ) asso ci´ e ` a la facette F dans [ Ga ussen t-Rousseau-08]. Remarques. 1) Si F v = V 0 , alors F = F et P ( F µ ) = M ( F , F v ) = b P F . 2) F µ n’est une vraie facette microaﬃne (au sens de [Rousseau-06 ; 2.5]) que si F v est sph ´ eriq ue i.e. r ´ ev as ´ ee. Dans ce cas F est une face tte de l’appartemen t de Bruhat-Tits A F v du group e r ´ eductif M ( F v ) ; comme nous av ons supp os´ e la v aluation discr ` ete, c’est m ˆ eme un sous-ensem bl e de A F v (un p olysimplexe). 3) En fait F , F µ , M ( F , F v ) et P µ ( r ) ne d ´ ep enden t que du germe R de r . 4) Le group e P µ ( r ) n’est parahoriq ue qu’en un sens g´ en ´ eral is ´ e, celui de [Rousseau- 06 ; 2.10] si r est ´ ev as ´ ee. En fai t M ( F , F v ) est un sous-group e parahorique de M ( F v ) ( cf. [Gaussen t-Rousseau-08 ; sect. 3. 7]), au sens classiq ue si r est ´ ev as ´ ee. Prop osition 6.6. Le group e P µ ( r ) ﬁxe ( p oin t par p oint) le germe de c hemin ´ ee R . N.B. Il n’est pas sur q ue U ( F v ) = U + ( K ) ∩ U max (Φ u ( F v )) et pas plus ´ evident que U + ( K ) ∩ U max (Φ u ( F v )) ﬁx e R . D´ emonstration. Supposons F v dans l’adh ´ erence de la c ham bre fondamen tale C v f ; alors un ´ el´ emen t u 0 de U ( F v ) est un pro duit ﬁni de conjugu ´ es v i u i v − 1 i a v ec v i ∈ U + ( K ) = U ( C v f ), u i ∈ U α i ( K ), α i ∈ Φ u ( F v ) ⊂ Φ + ; de m ˆ eme les v i son t des pro duits ﬁnis d’´ el ´ emen ts u i,j ∈ U β i,j ( K ) av ec β i,j ∈ Φ + . Donc il exi ste y ∈ A tel que u i ∈ U α i ,y et u i,j ∈ U β i,j ,y , ∀ i, j . Ainsi u 0 ∈ U pm y (Φ u ( F v )) d’apr ` es les relati ons de comm ut a tion dans le group e compl ´ et´ e U max (Φ + ). Il est alors clair que u 0 ﬁxe ( p oin t par p oin t) r ( F + ξ , F v ) p our un b on choix de ξ ∈ F v . P ar aill eurs M ( F , F v ) ﬁxe l a facette-ferm ´ ee F q ui con ti en t r ( F , F v ) et donc r ( F + ξ , F v ). Prop osition 6.7. Soien t R 1 = R ( F 1 , F v 1 ) et R 2 = R ( F 2 , F v 2 ) deux germes de chemin ´ ees de A a vec R 1 ´ ev as´ e, alors G ( K ) = P µ ( R 1 ) .N ( K ) .P µ ( R 2 ) . Remarques. 1) Ceci constitue une d ´ ecomp ositi on de Bruhat ou B irkhoﬀ mix te, cf. 2.1 et [ Rousseau-06 ; 3. 5] ou m ˆ eme une d ´ ecomp osition d’Iwasa wa mixte quand R 2 est d ´ eg´ en ´ er´ e en parti culier une facette ferm ´ ee. 2) D’apr` es la d ´ emonstration ci-dess ous, il suﬃt en fait de supp oser que, ∀ w ∈ W v Φ m ( F v 1 ) ∩ w Φ m ( F v 2 ) est ﬁni (au li eu de R 1 ´ ev as´ e i.e. Φ m ( F v 1 ) ﬁni). Masures aﬃnes 45 3) On d ´ eveloppe i ci l a remarque 4. 6 de [Gaussen t-Rousseau-08]. D´ emonstration. D’apr ` es la d´ ecomp osition de Bruhat ou de Birkhoﬀ de G ( K ), p our tout g ∈ G ( K ) il ex i ste n ∈ N ( K ) tel que g ∈ P ( F v 1 ) nM ( F v 2 ) U ( F v 2 ). Mai s Φ( n − 1 F v 1 ) ∩ Φ m ( F v 2 ) est un sy st ` eme parab oli que de ra cines dans Φ m ( F v 2 ) (asso ci´ e ` a la facette cl Φ m ( F v 2 ) ( n − 1 F v 1 ) ). La d´ ecomp osition d’Iwasa w a de M ( F v 2 ) [Gaussen t-Rousseau-08 ; prop. 3.6] donne donc : M ( F v 2 ) = ( M ( F v 2 ) ∩ P ( n − 1 F v 1 )) . ( N ( K ) ∩ M ( F v 2 )) .M ( F 2 , F v 2 ). Ainsi g ∈ P ( F v 1 ) N ( K ) M ( F 2 , F v 2 ) U ( F v 2 ) et il existe m ∈ M ( F v 1 ), n 1 ∈ N ( K ) tels que g ∈ U ( F v 1 ) mn 1 P µ ( R 2 ) = U ( F v 1 ) mP µ ( n 1 R 2 ) n 1 . Mais Φ( n 1 F v 2 ) ∩ Φ m ( F v 1 ) est un syst ` eme parab olique de raci nes dans Φ m ( F v 1 ) (asso ci´ e ` a la facette cl Φ m ( F v 1 ) ( n 1 F v 2 ) ). La d´ ecomp osition d’Iw asa w a de M ( F v 1 ) donne : M ( F v 1 ) = M ( F 1 , F v 1 ) . ( N ( K ) ∩ M ( F v 1 )) .M ( n 1 F v 2 , F v 1 ) . ( U ( n 1 F v 2 ) ∩ M ( F v 1 )), o ` u on note M ( n 1 F v 2 , F v 1 ) le sous-group e de M ( F v 1 ) asso ci ´ e au sous-syst ` eme de racines Φ m ( n 1 F v 2 ) ∩ Φ m ( F v 1 ) (par hypot h ` ese ce syst ` eme de racines est ﬁni, donc M ( n 1 F v 2 , F v 1 ) est un group e r ´ eductif ). Il existe donc n 2 ∈ N ( K ) ∩ M ( F v 1 ) tel que : m ∈ n 2 M ( n − 1 2 F 1 , n − 1 2 F v 1 = F v 1 ) .M ( n 1 F v 2 , F v 1 ) . ( U ( n 1 F v 2 ) ∩ M ( F v 1 )). La facette n − 1 2 F 1 engendre une face tte F ′ 1 de A pour Φ m ( n 1 F v 2 ) ∩ Φ m ( F v 1 ) i.e. p our M ( n 1 F v 2 , F v 1 ). Le sous-group e M ( F ′ 1 ) corresp ondan t de M ( n 1 F v 2 , F v 1 ) v´ eriﬁe donc M ( F ′ 1 ) ⊂ M ( n − 1 2 F 1 , F v 1 ). De m ˆ eme la facette n 1 F 2 engendre une facette F ′ 2 de A pour Φ m ( n 1 F v 2 ) ∩ Φ m ( F v 1 ) i .e. p our M ( n 1 F v 2 , F v 1 ). Le sous-groupe M ( F ′ 2 ) corresp ondan t de M ( n 1 F v 2 , F v 1 ) v ´ eriﬁe donc M ( F ′ 2 ) ⊂ M ( n 1 F 2 , n 1 F v 2 ). La d ´ ecomp ositi o n de Bruhat-Iw ahori classique dans le group e r ´ eductif M ( n 1 F v 2 , F v 1 ) (con t en u dans M ( F v 1 )) donne donc : M ( n 1 F v 2 , F v 1 ) ⊂ M ( F ′ 1 ) . ( N ( K ) ∩ M ( n 1 F v 2 , F v 1 )) .M ( F ′ 2 ) ⊂ M ( n − 1 2 F 1 , F v 1 ) .N ( K ) .M ( n 1 F 2 , n 1 F v 2 ). Ainsi m ∈ n 2 M ( n − 1 2 F 1 , F v 1 ) .N ( K ) .M ( n 1 F 2 , n 1 F v 2 ) .U ( n 1 F v 2 ) = M ( F 1 , F v 1 ) .N ( K ) .P µ ( n 1 R 2 ), et g ∈ U ( F v 1 ) .M ( F 1 , F v 1 ) .N ( K ) .P µ ( n 1 R 2 ) n 1 = P µ ( R 1 ) .N ( K ) .P µ ( R 2 ). Prop osition 6.8. Soit r = r ( F , F v ) une chemin ´ ee sol i de de A . Alors r et son germe R on t de b ons ﬁxa teurs. Plus pr ´ ecis´ emen t si r est ´ ev as ´ ee et F v est dans l’ adh ´ erence de la cham bre v ectoriel le fondamen t a le, ces b ons ﬁxat eurs son t G r = b N r .U nm − F + F v .U pm + F = M ( F , F v ) .U pm F (Φ u ( F v )) et G R = M ( F , F v ) .U ( F v ) = P µ ( R ) Remarque. Une face de quartier sph ´ erique f = x + F v et son germe (` a l’inﬁni) F on t aussi de bons ﬁxateurs. Il su ﬃt, dans la d´ emonstration ci-des sous, de remplacer F par { x } et cl ( F ∪ ( F + n ξ )) par cl ( { x, x + nξ } ) ∩ supp ( x + F v ). D´ emonstration. On choisit ξ ∈ F v et une c ham bre vectorielle ferm ´ ee C v con tenant − F v . Pour n ∈ N les facettes F = F ( x, F v 0 ) et F n = F ( x + nξ , F v 0 ) on t un b on ﬁxateur [Gaussen t- Rousseau-08 ; sect. 4. 2.2] ; de plus F ⊂ F n + C v et F n ⊂ F − C v . D’apr` es [ l.c. ; rem. 46 Guy Rousseau 4.4 et prop. 4.3 1 ) ], F ∪ F n et cl ( F ∪ F n ) on t de bons ﬁxateurs. Mais p our n > 0, le ﬁxateur dans W e R de cl ( F ∪ F n ) est ﬁni (puisque r est solide), donc r = ∪ n cl ( F ∪ F n ) et R = g er m ∞ ( r ) on t de b ons ﬁxateurs [ l. c . ; prop. 4.3 3) et 2)]. Il reste ` a identiﬁer ces b ons ﬁxateurs quand r est ´ ev as ´ ee. On a G r = b N r .U nm − F + F v .U pm + F . Mais U max F (Φ + ) = U max F (Φ m + ( F v )) ⋉ U max F (Φ u ( F v )) et, par h y p oth ` ese, Φ m ( F v ) est ﬁni, donc U pm + F = V + F ⋉ U pm F (Φ u ( F v )) o ` u V + F est le group e U + F (d ´ eﬁni dans [ l.c. ; sect. 3 . 2]) relatif au group e r´ eductif M ( F v ). De plus U nm − F + F v est l e group e V − F ( i.e. l e U − F relatif ` a ce group e M ( F v )). E nﬁn b N r est l e b N F relatif ` a ce group e M ( F v ). Ai nsi G r = b N r .V − F .V + F .U pm F (Φ u ( F v )) = M ( F , F v ) .U pm F (Φ u ( F v )). Le r ´ esulta t p our G R est main tenan t clair, d’apr` es 6.6. 6.9. C on s´ e quences 1) L’a x iome ( MA2 ) est v ´ eriﬁ ´ e : d’apr ` es [Gaussen t-Rousseau-08 ; sect 4.1 et 4.2] un p oin t, un germe d’in terv alle pr ´ eordonn´ e ( cf. sect. 4. 4 et prop. 4.3 1) et 2) de l.c. ) et une demi-droite g ´ en ´ erique ont de b ons ﬁxateurs. On vient de voir en 6.8 que c’ est aussi vrai p our une c hemin´ ee solide. D’apr` es [ l.c. ; remark 4.2 et prop. 4.3. 1] un sous-group e de ce b on ﬁx ateur ﬁxe l’enclos de cette partie F et est transitif sur les appartemen ts contenan t F . D’ a pr ` es le lemme 6.3, G F induit des isomorphismes en tre ces appartemen ts. 2) L’axio me (MA3) est v ´ eriﬁ´ e : on a G ( K ) = G R .N ( K ) .G F d’apr ` es 6.6 et 6.7 . V ue la transitivit´ e de G R ou G F sur les appartemen ts con tenan t R ou F (si F est une facette ou une c hemin´ ee sol i de) un raisonnemen t classiq ue prouve l ’axiome (MA3). Il reste ` a v´ eriﬁer l’axi ome (MA4). Prop osition 6.10. Soien t R 1 = R ( F 1 , F v 1 ) et R 2 = R ( F 2 , F v 2 ) deux germes de c hemin´ ees de A et Ω = R 1 ∪ R 2 . On suppose que R 1 est ´ ev as ´ e et que R 2 a un b on ﬁxateur ( ce qui est en parti culier v´ eriﬁ´ e si R 2 est soli de ou une facette). Alors Ω a un assez b on ﬁx a teur, le group e G Ω ﬁxe l’enclos de Ω et agit transitivemen t sur les appartemen ts con tenant Ω . Si de plus R 2 est ´ ev as ´ e, alors Ω a un b on ﬁxateur. D´ emonstration. On sait qu’un germe de c hemin ´ ee solide ou une facette a un b o n ﬁxat eur (6.8 et [Gaussen t-Rousseau-08 ; sect. 4.2 .2]). On note C v 1 , . . . , C v n les cham bres v ectori elles ferm ´ ees conten an t F v 1 (en nom bre ﬁni car F v 1 est sph ´ eri q ue). La r ´ eunion Θ 1 = C v 1 ∪ . . . ∪ C v n con ti en t un cˆ one ouv ert con tenan t F v 1 . Mais F 1 est b orn ´ e (` a V 0 pr ` es) donc, p our x quelconque et ξ ∈ F v 1 assez grand, on a : F 1 + ξ ⊂ x + Θ 1 et r ( F 1 , F v 1 ) + ξ ⊂ x + Θ 1 . Ainsi R 1 ⊂ R 2 + Θ 1 . D’apr` es la prop ositio n 4.3 4) de lo c. cit. , Ω a un assez b o n ﬁxateur et le group e G Ω a les propri ´ et´ es annonc ´ ees. Si de plus R 2 est ´ ev as ´ e, on note Θ 2 l’ensem ble analogue ` a Θ 1 asso ci ´ e ` a F v 2 . On a R 1 ⊂ R 2 + Θ 1 et R 2 ⊂ R 1 + Θ 2 . Mais r ( F 2 , F v 2 ) − Θ 2 = A , donc R 1 ⊂ R 2 − Θ 2 . Ainsi Masures aﬃnes 47 la remarque 4. 4 de lo c. cit. mon t re (en diﬀ´ erencian t les cas o ` u F v 1 et F v 2 son t de signes con tr a ires ou opp os ´ es) q ue Ω a un b on ﬁx ateur. Th´ eor` eme 6.11. Sous la condition (SC) de 6.1, les masures construites dans lo c. cit. son t des masures aﬃnes, ordonn´ ees, ´ epaisses et semi-discr ` etes (au sens de cet arti cle). D´ emonstration. On a d ´ ej` a vu l’axi o me (MA1 ) en 6.2 et les axiomes (MA2), (MA3) en 6.9. P our (MA4), si deux appartements A et A f = A con tiennen t R et F , alors A est t ransform ´ e de A par un ´ el´ emen t g de G R ∪ F qui ﬁxe cl A ( R ∪ F ). A insi A ∩ A con tien t cl A ( R ∪ F ). De plus g ∈ G R ; d’apr ` es le lemme 6 . 3, g induit donc un isomorphisme de A sur A ﬁxan t cl A ( R ∪ F ). P our l’a x iome (MA O), si x ≤ y dans A , on sait que { x, y } a un b on ﬁxateur et G { x,y } ﬁxe [ x, y ] A [ l.c. ; sect. 4.2.1 ] . Do nc, p our tout appartemen t A conten an t x et y , on a : [ x, y ] A = [ x, y ] A . On a indiqu ´ e en 6.1 que A est semi-discret. Si C est une c ham bre de A de m ur M ( α , k ) a v ec C ⊂ D ( α, k ), on a vu en [ l.c. ; sect. 4.3.4] que U α,k agit transitivemen t sur l es c ham bres de I adjacen tes ` a la cham bre C l e long de C ∩ M ( α, k ). De plus U α,k +1 est le ﬁxateur dans U α,k de celle de ces c ham bres qui est con ten ue dans A . Enﬁn par construction U α,k /U α,k +1 est un groupe isomorphe ` a ( κ, +). A i nsi la cloi son C ∩ M ( α, k ) est domin ´ ee par une inﬁnit ´ e de cham bres. Remarque 6.12. Les masures construites dans lo c. ci t. on t des propri´ et ´ es que ne p oss ` eden t pas forc ´ ement toutes l es masures a ﬃnes d ´ eﬁnies ici. Par exemple on a montr ´ e en [ l.c. ; sect 4.3. 3], comme cons ´ eq uence de la d ´ ecomp ositi on d’Iw asaw a, qu’un germe de quartier et un g erme de segmen t sont toujours dans un m ˆ eme appartemen t, m ˆ eme si ce germe de segmen t n’est pas pr´ eordonn ´ e. R ´ ef ´ erences. 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