This paper shows how to use Computational Algebra techniques, namely the decomposition of rational functions in one variable, to explore a certain set of modular functions, called replicable functions, that arise in Monstrous Moonshine. In particular, we have computed all the rational relations with coefficients in Z between pairs of replicable functions. ----- En este articulo mostramos como usar tecnicas de Algebra Computacional, concretamente la descomposcion de funciones racionales univariadas, para estudiar un cierto conjunto de funciones modulares, llamadas funciones replicables, que aparecen en Monstrous Moonshine. En concreto, hemos calculado todas las relaciones racionales con coeficientes en Z entre pares de funciones replicables.
Deep Dive into Aplicacion de la descomposicion racional univariada a monstrous moonshine (in Spanish).
This paper shows how to use Computational Algebra techniques, namely the decomposition of rational functions in one variable, to explore a certain set of modular functions, called replicable functions, that arise in Monstrous Moonshine. In particular, we have computed all the rational relations with coefficients in Z between pairs of replicable functions. —– En este articulo mostramos como usar tecnicas de Algebra Computacional, concretamente la descomposcion de funciones racionales univariadas, para estudiar un cierto conjunto de funciones modulares, llamadas funciones replicables, que aparecen en Monstrous Moonshine. En concreto, hemos calculado todas las relaciones racionales con coeficientes en Z entre pares de funciones replicables.
Las funciones modulares son objetos clásicos en teoría de números, y resultan de considerar la acción del grupo P SL 2 (Z) sobre el plano hiperbólico (representado, por ejemplo, como el semiplano complejo superior). El estudio de ciertos grupos de transformaciones, conmensurables con P SL 2 (Z) (es decir, aquellos cuya intersección tiene índice finito en ambos) proporciona una clase de funciones que quedan invariantes por ellos, de las que la clásica función j es representante. En concreto, los normalizadores de todos estos grupos en P SL 2 (R) del subgrupo de matrices triangulares superiores módulo N .
En los años 70, McKay hizo notar que los coeficientes de ciertos desarrollos en serie de estas funciones (que son de hecho enteros positivos) estän relacionados con las entradas de la tabla de caracteres del grupo monstruo M. Conway y Norton ( [5]) formularon diversas conjeturas sobre estas funciones, que fueron probadas entre otras por Borcherds en [4]. A continuación presentamos brevemente algunas definiciones y resultados conocidos. Definición 1.1. Dados ω 1 , ω 2 períodos de una función doblemente periódica con τ = ω 2 /ω 1 ∈ H = {z ∈ C : Im(z) > 0}, la función J (conocida comúnmente como función modular de Klein) es
donde g 2 , g 3 son los invariantes de la función elíptica de Weierstrass con discriminante
La función j se define clásicamente como
Los primeros coeficientes de j son: j(q) = 1 q + 744 + 196884 q + 21493760 q 2 + 864299970 q 3 + 20245856256 q 4 + •
En general, hay relaciones polinomiales entre cada dos de estas funciones. En particular, cuando uno de los grupos está contenido en el otro se tiene que una de las funciones se puede escribir como función racional de la otra (si los grupos son simplemente conmensurables, puede ser necesario tomar una potencia de q en la primera función).
En particular, las funciones replicables surgen como generalización de las funciones modulares relacionadas con el grupo M (ver [1]). Nuestra aportación consiste en intentar refinar al máximo el poset de estas 619 funciones, encontrando relaciones entre ellas del tipo
, y descomponiendo estas funciones racionales para encontrar cadenas maximales en ese poset.
Nuestros cálculos permiten, entre otras cosas, comprobar si la lista de 619 funciones contiene todas las funciones replicables, o si aparecen funciones de otras características especiales como resultado de este refinamiento.
Tenemos el siguiente algoritmo elemental para encontrar relaciones racionales entre dos series en general. Entrada: dos funciones replicables j 1 y j 2 .
Salida: una función f ∈ Q(x) tal que j 1 (q r ) = f (j 2 (q)) para algún r ∈ N, si existe.
A. Calcular las áreas A 1 , A 2 de las regiones fundamentales de j 1 y j 2 respectivamente. Si e = A 2 /A 1 no es un número natural, terminar. Si lo es, sea r = 1.
Sea
Sean s 1 = 1/q + 2e+1 k=0 c k q k , s 2 = 1/q + 2e+1 k=0 d k q k las series truncadas de j 1 y j 2 respectivamente.
C. Resolver el sistema de ecuaciones lineales en las variables a i , b j dado por la anulación del numerador de j 1 (q r ) -f (j 2 (q)). Si tiene solución, devolver el f correspondiente.
D. Si r < e, incrementar r y volver a B. Si no, terminar.
Este es un algoritmo de complejidad baja, ya que las áreas de las regiones fundamentales son conocidas (fácilmente computables a partir de generadores de los grupos que las fijan) y calcular los coeficientes se hace a través de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. De esta manera construimos un grafo cuyos nodos son funciones modulares y cuyas aristas vienen dadas por pares de funciones relacionadas de la manera anterior.
El siguiente paso es utilizar un algoritmo propio de descomposición de funciones racionales univariadas, eficiente en la práctica, para refinar todo lo posible este grafo. Este algoritmo, cuyos detalles pueden encontrarse en [9], está basado en una idea presentada en [2]. Damos a continuación las definiciones y resultados más relevantes. Definición 2.2. Definimos el grado de una función racional como el máximo de los grados de su numerador y su denominador, suponiendo que no tienen factores comunes.
Una función racional f ∈ K(x) está en forma normal si gr f N > gr f D y f N (0) = 0 (por tanto f D (0) = 0).
Teorema 2.4. Si f está en forma normal, toda descomposición suya es equivalente a una descomposición en la que ambas componentes están en forma normal.
El teorema anterior nos proporciona el algoritmo de descomposición antes mencionado. Algoritmo 2.6.
Salida: todas las descomposiciones de f (es decir, al menos un representante de cada clase de equivalencia de descomposiciones).
A. Calcular unidades u, v como en el Lema 2. C. Para cada i ∈ {1, . . . , m} comprobar si existe g ∈ K(x) tal que f = g • (A i /B i ). Si es así, añadir u -1 (g), h(v -1 ) a la lista de descomposiciones.
D. Devolver la lista de descomposiciones (si no se ha encontrado ninguna, f es indescomponible).
La utilización de esta combinación de técnicas nos
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