Twisting the Baum-Connes morphism by a non-unitary representation

MORPHISME DE BA UM-CONNES TORDU P AR UNE REPRÉSENT A TION NON UNIT AIRE MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO Résumé. Soit G un group e lo alemen t ompat et ρ une représen- tation de dimension nie de G non unitaire. On dénit des algèbres de Bana h analogues aux C ∗ -algèbres de group e, C ∗ ( G ) et C ∗ r ( G ) , en onsidéran t l'ensem ble des représen tations de la forme ρ ⊗ π , où π parourt un ensem ble de représen tations unitaires de G . On al- ule la K -théorie de es algèbres p our une large lasse de group es v érian t la onjeture de Baum-Connes. a bstra t. Let G b e a lo ally ompat group and ρ a non-unitary nite dimensional represen tation of G . W e onsider tensor pro duts of ρ b y some unitary represen tations of G in order to dene t w o Bana h algebras analogous to the group C ∗ -algebras, C ∗ ( G ) and C ∗ r ( G ) . W e alulate the K -theory of su h algebras for a large lass of groups satisfying the Baum-Connes onjeture. T able des ma tières In tro dution 2 1. Algèbres de group e tordues 6 1.1. Dénitions et propriétés prinipales 6 1.2. F ontorialité 10 2. Morphisme de Baum-Connes tordu 11 2.1. Flè he de desen te tordue 11 2.2. F ontorialité 20 2.3. Desen te et ation de K K ban sur la K -théorie. 25 2.4. Constrution du morphisme tordu 27 2.5. Compatibilité a v e la somme direte de représen tations 28 3. Group es admettan t un élémen t γ de Kasparo v 33 3.1. Co eien ts dans une algèbre propre 33 3.2. Élémen t γ de Kasparo v 37 Référenes 39 2000 Mathematis Subje t Classi ation. 22D12, 22D15, 46L80, 19K35. Key wor ds and phr ases. Non-unitary represen tations, Bana h algebras, Baum- Connes onjeture. 1 2 MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO Intr odution Soit G un group e lo alemen t ompat et ρ une représen tation de dimension nie de G . Dans [ GA07b ℄, nous a v ons déni un analogue tordu par ρ de la C ∗ -algèbre maximale de G , que l'on note A ρ ( G ) , en onsidéran t la omplétion de l'espae des fontions on tin ues à supp ort ompat sur G , que l'on note C c ( G ) , p our la norme k f k = sup ( π, H ) k ( π ⊗ ρ )( f ) k L ( H ⊗ V ) , p our f ∈ C c ( G ) et où le suprem um est pris parmi les représen tations unitaires de G . Ces algèbres de group e tor dues son t des algèbres de Bana h ; e son t des C ∗ -algèbres si et seulemen t si ρ est unitaire. Elles apparaissaien t alors de façon très naturelle dans l'étude du omp orte- men t de ρ dans l'ensem ble des représen tations de G de la forme ρ ⊗ π , a v e π unitaire. En eet, nous a v ons alors déni un renforemen t de la propriété (T) de Kazhdan [Kaz67℄ en termes d'idemp oten ts dans A ρ ( G ) qui nous a p ermis de mon trer que, p our la plupart des group es de Lie semi-simples réels a y an t la propriété (T), toute représen tation irrédutible de dimension nie ρ est isolée dans l'ensem ble des représen- tations de la forme ρ ⊗ π , où π parourt l'ensem ble des représen tations unitaires et irrédutibles de G . D'autre part, dans le même artile, nous a v ons aussi déni un ana- logue tordu de la C ∗ -algèbre réduite de G , noté A ρ r ( G ) , en onsidéran t la norme sur C c ( G ) donnée par la form ule k f k = k ( λ G ⊗ ρ )( f ) k L ( L 2 ( G ) ⊗ V ) , où λ G est la représen tation régulière gau he de G . Nous a v ons alors mon tré que si le group e G est non-ompat et a la propriété (T) tordue dénie dans [GA07b ℄, es deux algèbres tordues n'on t pas la même K - théorie. Lorsque ρ est unitaire, ei est un résultat lassique : dans e as les algèbres tordues oïniden t a v e les C ∗ -algèbres de group e C ∗ ( G ) et C ∗ r ( G ) , resp etiv emen t, et la propriété (T) tordue oïnide a v e la propriété (T) de Kazhdan. C'est un résultat onn u qui dit que si un group e non-ompat G a la propriété (T), alors C ∗ ( G ) et C ∗ r ( G ) n'on t pas la même K -théorie, e qui a d'ailleurs onstitué p endan t longtemps une barrière p our la v ériation de la onjeture de Baum-Connes p our des group es innis disrets a y an t la propriété (T) (f. [Jul97 ℄). Le but de et artile est de aluler la K -théorie des algèbres tor- dues p our une large lasse de group es v érian t la onjeture de Baum- Connes. P our ei, nous allons onstruire deux morphismes tor dus , µ ρ et µ ρ,r , qui v on t du mem bre de gau he du morphisme de Baum-Connes dans la K -théorie des algèbres tordues et qui oïniden t a v e les mor- phismes de Baum-Connes lassiques, µ et µ r , si ρ est unitaire. Les MORPHISME DE BA UM-CONNES TORDU 3 algèbres tordues étan t des algèbres de Bana h, notre outil prinipal sera la K K -théorie bana hique de Laorgue (f. [Laf02b ℄). Nous allons alors mon trer que les algèbres tordues se omp orten t de la même façon que C ∗ ( G ) et C ∗ r ( G ) au niv eau de la K -théorie. On rapp elle que la onjeture de Baum-Connes prop ose une façon de aluler la K -théorie de C ∗ ( G ) p our tout group e lo alemen t ompat G (f. [BCH94 ℄). Plus préisémen t, Baum, Connes et Higson on t déni un morphisme d'assem blage µ r : K top ( G ) → K ( C ∗ r ( G )) , où K top ( G ) est la K -homologie G -équiv arian te à supp ort ompat du lassian t univ ersel p our les ations propres de G , noté E G . Ce mor- phisme, app elé désormais morphisme de Baum-Connes , p eut être déni à l'aide de la K K -théorie équiv arian te de Kasparo v (f. [ Kas88℄). La onjeture de Baum-Connes arme que µ r est un isomorphisme p our tout group e lo alemen t ompat G . La métho de la plus puissan te p our mon trer la onjeture de Baum- Connes, app elée de façon générale métho de du dual Dira-Dira a été in tro duite par Kasparo v dans son preprin t de 1981 (publié après dans [Kas88℄) p our démon trer la onjeture de No vik o v dans le as des v arié- tés don t le group e fondamen tal est un sous-group e disret d'un group e de Lie onnexe. Elle a été ensuite énonée dans une forme très géné- rale par T u (f. [T u99℄) qui onsiste à onstruire un élémen t de Dira d dans K K G ( A, C ) et un élémen t dual-Dira η dans K K G ( C , A ) , p our A une G - C ∗ -algèbre propre, tels que, si on onsidère l'élémen t de K K G ( C , C ) déni par la form ule γ := η ⊗ A d , où ⊗ A denote le pro duit de Kasparo v au-dessus de A , alors γ doit agir par l'iden- tité sur K top ( G ) ; plus préisémen t, on demande que p ∗ ( γ ) = 1 dans K K G ⋉ E G ( C 0 ( E G ) , C 0 ( E G )) , où p : E G → { pt } est la pro jetion de E G sur le p oin t. Un élémen t γ a v e es propriétés est app elé élémen t γ de Kasparo v. T u a mon tré que si un élémen t γ de Kasparo v existe, alors le morphisme de Baum-Connes µ r est injetif. Si de plus γ = 1 dans K K G ( C , C ) , alors µ r est un isomorphisme. P ar ailleurs, on p eut aussi onstruire un morphisme µ : K top ( G ) → K ( C ∗ ( G )) , (f. [BCH94℄). Les résultats de T u impliquen t que s'il existe un élémen t γ = 1 dans K K G ( C , C ) omme i-dessus, alors µ est aussi un isomor- phisme (f. [T u99℄). Dans [Kas88℄, Kasparo v a utilisé la métho de originale p our mon trer l'injetivité de µ r (et don la onjeture de No vik o v) p our tout group e de Lie semi-simple et p our tout sous-group e fermé d'un group e de Lie semi-simple. Depuis, un élémen t γ de Kasparo v a été onstruit, par 4 MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO exemple, par Kasparo v et Sk andalis et puis par Higson et Kasparo v, p our une lasse très v aste de group es, notée C dans [ Laf02b ℄. Nous rap- p elons ii, par soui de ommo dité p our le leteur, que ette lasse est onstituée par les group es suiv an ts :  les group es lo alemen t ompats agissan t de façon on tin ue, propre et isométrique sur une v ariété riemannienne omplète simplemen t onnexe à ourbure setionnelle négativ e ou n ulle (f. [ Kas88℄), ou sur un immeuble de Bruhat-Tits ane (f. [KS91 ℄),  les group es disrets agissan t propremen t et par isométries sur un espae métrique faiblemen t géo désique, faiblemen t b olique et de géométrie o-uniforme b ornée (f. [ KS03℄ et [T za00℄ p our la termi- nologie o-uniforme),  les group es lo alemen t ompats a-T-menables, 'est-à-dire qui agissen t de façon ane, isométrique et propre sur un espae de Hilb ert (f. [HK01℄). La lasse C on tien t, en partiulier, tous les group es mo y ennables, tous les group es h yp erb oliques au sens de Gromo v et tous les group es p - adiques. Dans [JK95 ℄, Julg et Kasparo v on t aussi prouv é l'égalité γ = 1 dans K K G ( C , C ) , et don la bijetivité du morphisme de Baum-Connes, p our S U ( n, 1) . Higson et Kasparo v on t ensuite généralisé leur résul- tat p our tous les group es a-T-menables (f. [HK01℄). Rev enons main tenan t aux algèbres de group e tordues. P our tout group e lo alemen t ompat (et dénom brable à l'inni) et p our toute représen tation ρ de dimension nie, nous allons onstruire deux mor- phismes µ ρ : K top ( G ) → K ( A ρ ( G )) et µ ρ,r : K top ( G ) → K ( A ρ r ( G )) . Nous allons ensuite mon trer que µ ρ et µ ρ,r son t des isomorphismes p our tout group e lo alemen t ompat p our lequel il existe un élémen t γ de Kasparo v qui est égal à 1 dans K K G ( C , C ) . Plus préisémen t, nous allons mon trer les deux théorèmes suiv an ts. On rapp elle que K top ( G ) = lim − → K K G ( C 0 ( Y ) , C ) , où la limite indutiv e est prise parmi les parties Y G -ompates de E G . Théorème 0.1. Supp osons que p our toute p artie G - omp ate Y de E G , il existe une G - C ∗ -algèbr e pr opr e B et η ∈ K K G ( C , B ) et d ∈ K K G ( B , C ) tels que γ = η ⊗ B d ∈ K K G ( C , C ) vérie p ∗ ( γ ) = 1 dans K K G ⋉ Y ( C 0 ( Y ) , C 0 ( Y )) , où p est la pr oje tion de Y vers le p oint, si bien que γ agisse p ar l'identité sur K top ( G ) . A lors, p our toute r epr ésentation ρ de dimension nie, les morphismes µ ρ et µ ρ,r sont inje tifs. MORPHISME DE BA UM-CONNES TORDU 5 Théorème 0.2. Soit G un gr oup e lo  alement  omp at tel qu'il existe une G - C ∗ -algèbr e pr opr e B , et des éléments η ∈ K K G ( C , B ) et d ∈ K K G ( B , C ) tels que si on p ose γ = η ⊗ B d ∈ K K G ( C , C ) on a γ = 1 . A lors, p our toute r epr ésentation ρ de dimension nie de G , µ ρ et µ ρ,r sont des isomorphismes. Cei implique en partiulier que µ ρ et µ ρ,r son t injetifs p our tout group e appartenan t à la lasse C et e son t des isomorphismes p our tout group e a-T-menable. Dans e as, les algèbres A ρ ( G ) , A ρ r ( G ) , C ∗ ( G ) et C ∗ r ( G ) on t don toutes la même K -théorie. Dans un autre artile (f. [GA08 ℄), qui fait partie de [ GA07a ℄, nous mon trerons que µ ρ,r est un isomorphisme p our tout group e a y an t la propriété (RD) et appartenan t à une sous-lasse de C , notée C ′ par Laorgue (f. [Laf02b , In tro dution℄). En partiulier, on obtiendra la bijetivité du morphisme µ ρ,r p our tout group e de Lie rédutif réel, p our tout group e h yp erb olique et p our tous les sous-group es disrets et o ompats de S L 3 ( F ) , où F est un orps lo al, de S L 3 ( H ) et de E 6( − 26) (f. [Laf00 ℄, [Cha03℄). Le morphisme de Baum-Connes tordu µ ρ,r est alors un isomorphisme p our la plupart des group es p our les- quels on sait mon trer que le morphisme de Baum-Connes lassique l'est. De plus, la bijetivité du morphisme tordu ne sem ble pas être plus faile à démon trer que la onjeture de Baum-Connes elle-même, l'algèbre tordue A ρ r ( G ) , à diérene des omplétions inonditionnelles in tro duites par Laorgue, n'étan t pas plus stable que C ∗ r ( G ) par le pro- duit de S h ur ([Laf02a ℄). Cep endan t, on v a mon trer (f. prop ostion 1.5) que les algèbres tordues p euv en t être très p etites, 'est-à-dire on te- n ues dans des algèbres L 1 qui son t des omplétions inonditionnelles (f. [Laf02b ℄). Cei nous fait roire que la onjeture de Baum-Connes est fortemen t liée à la bijetivité du morphisme tordu et on p eut es- p érer que les deux soien t v ériées toujours au même temps. On rap- p elle que Higson, Laorgue et Sk andalis dans [ HLS02℄ on t donné un on tre-exemple à la généralisation de la onjeture de Baum-Connes aux ations de group e (onn ue omme la onjeture de Baum-Connes à o eien ts), e qui nous laisse p enser que le morphisme tordu ne doit pas être un isomorphisme p our tous les group es lo alemen t ompats ; mais on p eut esp èrer que ça soit le as p our tous les group es de la lasse C . Dans le as des group es ab éliens, les algèbres tordues a v aien t déjà étés onsidérées par Bost dans le adre du prinip e d'Ok a (f. [Bos90℄). Remeriemen ts. Ce tra v ail fait partie des tra v aux présen tés p our l'ob- ten tion de mon Do torat réalisé sous la diretion de Vinen t Laorgue. Je tiens à le remerier p our sa grande disp onibilité et ses suggestions. Je remerie aussi Georges Sk andalis p our ses élairissemen ts et ses onseils et Herv é Oy ono-Oy ono p our ses ommen taires. 6 MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO 1. Algèbres de gr oupe tordues 1.1. Dénitions et propriétés prinipales. Soit G un group e lo a- lemen t ompat et soit dg une mesure de Haar à gau he sur G . On note ∆ la fontion mo dulaire de G ('est-à-dire que dg − 1 = ∆( g ) − 1 dg p our tout g ∈ G ). Soit A une G - C ∗ -algèbre. P our tout g ∈ G et p our tout a ∈ A , on note g .a , ou g ( a ) , l'ation de g sur a . On onsidère alors l'espae v etoriel des fontions on tin ues à supp ort ompat sur G et à v aleurs dans A , que l'on note C c ( G, A ) , m uni de la struture d'algèbre in v olutiv e don t la m ultipliation est donnée par ( f 1 ∗ f 2 )( g ) = Z G f 1 ( g 1 ) g 1 ( f 2 ( g − 1 1 g )) dg 1 , p our f 1 , f 2 ∈ C c ( G, A ) et l'in v olution par f ∗ ( g ) = g ( f ( g − 1 )) ∗ ∆( g − 1 ) , p our f ∈ C c ( G, A ) et g ∈ G . De façon générale, on représen te tout élémen t f de C c ( G, A ) par l'in tégrale formelle R G f ( g ) e g dg , où e g est une lettre formelle satisfaisan t le onditions suiv an tes e g e g ′ = e g g ′ , e ∗ g = ( e g ) − 1 = e g − 1 et e g ae ∗ g = g .a, p our tous g , g ′ ∈ G et p our tout a ∈ A . On note C ∗ ( G, A ) et C ∗ r ( G, A ) les pro duits roisés, maximal et réduit resp etiv emen t, de G et A . De plus, on note L 2 ( G, A ) = { f ∈ C c ( G, A ) | Z G f ( g ) ∗ f ( g ) dg on v erge dans A } , et λ G,A la représen tation régulière gau he de C c ( G, A ) dans L 2 ( G, A ) donnée par la form ule λ G,A ( f )( h )( t ) = Z G t − 1 ( f ( s )) h ( s − 1 t ) ds, p our f ∈ C c ( G, A ) , h ∈ L 2 ( G, A ) et t ∈ G . On rapp elle que λ G,A induit un unique morphisme de C ∗ -algèbres de C ∗ ( G, A ) dans C ∗ r ( G, A ) que l'on note enore λ G,A par abus de notation. T out le long de l'artile, une représen tation ρ de dimension nie de G sera une représen tation de G sur un espae v etoriel omplexe de di- mension nie, m uni d'une struture hermitienne. On note ( ρ, V ) toute représen tation de G sur un espae V p our simplier les notations et quand on v eut préiser l'espae sur lequel G agit. Le pro duit tensoriel de C ∗ -algèbres sera toujours le pro duit tensoriel minimal. MORPHISME DE BA UM-CONNES TORDU 7 Soit ( ρ, V ) une représen tation de dimension nie de G . On onsidère alors l'appliation C c ( G, A ) → C c ( G, A ) ⊗ End ( V ) Z G f ( g ) e g dg 7→ Z G f ( g ) e g ⊗ ρ ( g ) dg . Elle nous p ermet de donner la dénition de pr o duits r oisés tor dus suiv an te. Soit C ∗ ( G, A ) ⊗ End( V ) (resp. C ∗ r ( G, A ) ⊗ End( V ) ) le pro duit tensoriel minimal de C ∗ -algèbres. Dénition 1.1. Le pr o duit r oisé tor du p ar ρ (resp. pr o duit r oisé tor du r é duit ), noté A ⋊ ρ G (resp. A ⋊ ρ r G ), est le omplété-séparé de C c ( G, A ) p our la norme k Z G f ( g ) e g dg k A ⋊ ρ G = k Z G f ( g ) e g ⊗ ρ ( g ) dg k C ∗ ( G,A ) ⊗ End( V ) , (resp. k . k C ∗ r ( G,A ) ⊗ End( V ) ). Si A = C , alors on note A ρ ( G ) := C ⋊ ρ G et A ρ r ( G ) := C ⋊ ρ r G. On a alors la prop osition suiv an te Prop osition 1.2. L es pr o duits r oisés tor dus A ⋊ ρ G et A ⋊ ρ r G sont des algèbr es de Banah. Ce sont des C ∗ -algèbr es si et seulement si ρ est une r epr ésentation unitair e. Dans  e  as, A ⋊ ρ G = C ∗ ( G, A ) et A ⋊ ρ r G = C ∗ r ( G, A ) , à é quivalen e de norme pr ès. Démonstr ation. Il est lair que e son t des algèbres de Bana h. On v a mon trer qu'elles oïniden t a v e les pro duits roisés C ∗ -algébriques si et seulemen t si ρ est unitaire dans le as où A = C , le as général étan t analogue. Supp osons que ρ soit une représen tation unitaire de G . P ar dénition, si f ∈ C c ( G ) alors k f k A ρ ( G ) = sup ( π, H ) k ( π ⊗ ρ )( f ) k L ( H ⊗ V ) , où le suprem um est pris parmi les représen tations unitaires de G . Alors on a trivialemen t l'inégalité de normes k . k A ρ ( G ) ≤ k . k C ∗ ( G ) de sorte que A ρ ( G ) est un quotien t de C ∗ ( G ) . Soit ( ρ ∗ , V ∗ ) la représen- tation on tragrédien te de G sur l'espae dual V ∗ de V . Don, omme ( V ∗ ⊗ V ) G = Hom G ( V , V ) , la représen tation triviale 1 G de G est for- temen t on ten ue dans ρ ∗ ⊗ ρ . Cei implique que toute représen ta- tion unitaire π est fortemen t on ten ue dans π ⊗ ρ ∗ ⊗ ρ , et don que toute représen tation unitaire π est fortemen t on ten ue dans l'ensem ble { σ ⊗ ρ | σ une représen tation unitaire } . D'où k . k C ∗ ( G ) ≤ k . k A ρ ( G ) et C ∗ ( G ) = A ρ ( G ) , à équiv alene de norme près. D'autre part, p our f ∈ C c ( G ) , k f k A ρ r ( G ) = k ( λ G ⊗ ρ )( f ) k L ( L 2 ( G ) ⊗ V ) , 8 MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO où λ G : G → L ( L 2 ( G )) est la représen tation régulière gau he de G . Dans e as, le résultat vien t du fait que la représen tation régulière de G est absorban te : la représen tation λ G ⊗ ρ est unitairemen t équiv a- len te à λ G ⊗ Id G , où on note Id G la représen tation triviale G sur V ; l'op érateur d'en trelaemen t en tre es deux représen tations est donné par l'appliation L 2 ( G, V ) → L 2 ( G, V ) f 7→  g 7→ f ( g ) ρ ( g − 1 )  , (en iden tian t L 2 ( G ) ⊗ V a v e L 2 ( G, V ) ). Il est faile de v érier que, T ( λ G ⊗ ρ )( g ) = (Id G ⊗ λ G )( g ) T , p our tout g ∈ G .  R emar que 1.3 . (1) Il est lair que λ G,A induit un unique morphisme d'algèbres de Bana h λ ρ G,A : A ⋊ ρ G → A ⋊ ρ r G. (2) Si on  hoisit une autre norme sur V , omme deux normes sur V son t toujours équiv alen tes, on obtien t alors une norme équi- v alen te sur A ⋊ ρ G . En partiulier, si G est un group e ompat, omme toute représen tation de G sur un espae de Hilb ert est unitarisable, alors A ⋊ ρ G = C ∗ ( G, A ) , à équiv alene de norme près. De même dans le as de A ⋊ ρ r G . (3) Soit ρ ∗ la représen tation on tragrédien te de ρ sur l'espae dual V ∗ de V . Si ρ et ρ ∗ son t onjuguées par un op érateur unitaire de V dans V ∗ , alors A ρ ( G ) et A ρ r ( G ) son t des algèbres in v olutiv es. Exemple 1.4. Soit G = Z et soit ρ : Z → C un aratère de Z . Soit S ρ le erle dans C de ra y on | ρ (1) | . Alors A ρ r ( G ) est l'algèbre des fontions on tin ues sur S ρ . La prop osition suiv an te mon tre que les algèbres tordues p euv en t être p etites, 'est-à-dire on ten ues dans des algèbres L 1 . Prop osition 1.5. Soit Γ est un gr oup e disr et et ρ une r epr ésentation de Γ sur un esp a e ve toriel de dimension nie V muni d'une norme hermitienne et tel le que P γ 1 k ρ ( γ ) k End( V )  onver ge. A lors, p our toute Γ - C ∗ -algèbr e A , A ⋊ ρ r (Γ) ⊂ l 1 (Γ , A ) ⊂ C ∗ r (Γ , A ) . Démonstr ation. Soit A une Γ - C ∗ -algèbre. Supp osons d'ab ord par sim- pliité que A est unifère et notons 1 A son unité. Soit λ Γ ,A la représen ta- tion régulière gau he de C ∗ r (Γ , A ) dans l 2 (Γ , A ) . On note δ l'élémen t de l 2 (Γ , A ) qui en v oie l'iden tité e de Γ v ers 1 A et qui est n ulle sur γ 6 = e . Soit f ∈ C c (Γ , A ) que l'on note sous la forme P γ f ( γ ) e γ . On a alors que k λ Γ ,A ( f ) δ k l 2 (Γ ,A ) ≤ k X γ f ( γ ) e γ k C ∗ r (Γ ,A ) , MORPHISME DE BA UM-CONNES TORDU 9 par dén tion de C ∗ r (Γ , A ) . Or, k X γ f ( γ ) e γ k l 2 (Γ ,A ) = k X γ γ − 1  f ( γ ) ∗ f ( γ )  k 1 2 A = k λ Γ ,A ( f ) δ k l 2 (Γ ,A ) , don, l'appliation φ : C c (Γ , A ) → C c (Γ , A ) X γ f ( γ ) e γ 7→ X γ e γ γ − 1 ( f ( γ )) , se prolonge en une appliation on tin ue injetiv e de C ∗ r (Γ , A ) dans l 2 (Γ , A ) de norme inférieure ou égale à 1 . De plus, k X γ γ − 1  f ( γ ) ∗ f ( γ )  k 1 2 A ≥ sup γ ∈ Γ k γ − 1  f ( γ ) ∗ f ( γ )  k 1 2 A ≥ sup γ ∈ Γ k f ( γ ) ∗ f ( γ ) k 1 2 A ≥ sup γ ∈ Γ k f ( γ ) k A , don k f k l ∞ (Γ ,A ) ≤ k f k l 2 (Γ ,A ) , où l ∞ (Γ , A ) est le omplété de C c (Γ , A ) p our la norme k f k = sup γ ∈ Γ k f ( γ ) k A , p our f ∈ C c (Γ , A ) . Don, φ se prolonge en une appliation injetiv e de C ∗ r (Γ , A ) dans l ∞ (Γ , A ) qui est de norme inférieure ou égale à 1 . Soit l ∞ ,ρ (Γ , A ) le omplété de C c (Γ , A ) p our la norme k f k = sup γ ∈ Γ k f ( γ ) k A k ρ ( γ ) k End( V ) . Comme A ⋊ ρ r Γ et l ∞ ,ρ (Γ , A ) s'en v oien t de façon isométrique dans C ∗ r (Γ , A ) ⊗ End( V ) et dans l ∞ (Γ , A ) ⊗ End( V ) resp etiv emen t, on a que p our toute f ∈ C c (Γ , A ) k f k l ∞ ,ρ (Γ ,A ) ≤ k f k A ⋊ ρ r Γ . Soit C une onstan te p ositiv e telle que P γ 1 k ρ ( γ ) k < C . On a alors, p our tout f ∈ C c (Γ , A ) , k f k l 1 (Γ ,A ) = X γ k f ( γ ) k A k ρ ( γ ) k 1 k ρ ( γ ) k ≤  sup γ ∈ Γ k f ( γ ) k A k ρ ( γ ) k  X γ 1 k ρ ( γ ) k ≤ C k f k l ∞ ,ρ (Γ ,A ) ≤ C k f k A ⋊ ρ r Γ , 10 MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO don, il existe une appliation on tin ue de norme inférieure ou égale à 1 de A ⋊ ρ r Γ dans l 1 (Γ , A ) qui prolonge l'inden tité sur C c (Γ , A ) . Supp osons main tenan t que A n'est pas unifère. Soit ( u i ) i ∈ I une unité appro  hée de A . P our tout i ∈ I , soit δ i la fontion sur Γ qui en v oie l'iden tité de Γ sur u i et telle que, p our tout élémen t γ de Γ diéren t de l'iden tité, δ i ( γ ) est n ul. Dans e as, p our tout f ∈ C c (Γ , A ) , lim i k λ Γ ,A ( f ) δ i k A = k f k l 2 (Γ ,A ) , et omme k δ i k l 2 (Γ ,A ) ≤ 1 , ar k u i k A ≤ 1 , k f k l 2 (Γ ,A ) ≤ k f k C ∗ r (Γ ,A ) , e qui implique que C ∗ r (Γ , A ) ⊂ l 2 (Γ , A ) . On alors que C ∗ r (Γ , A ) ⊂ l ∞ (Γ , A ) et la même démonstration que dans le as unifère mon tre que s'il existe une onstan te C > 0 telle que P γ 1 k ρ ( γ ) k < C , alors A ⋊ ρ r Γ ⊂ l 1 (Γ , A ) .  1.2. F ontorialité. Le lemme suiv an t dit que la onstrution des pro- duits roisés tordus est fontorielle. Nous donnons d'ab ord la dénition suiv an te Dénition 1.6. Soien t B et C deux G - C ∗ -algèbres ρ une représen ta- tion de dimension nie de G et θ : B → C un morphisme G -équiv arian t de C ∗ -algèbres. On note ˜ θ l'appliation linéaire on tin ue de C c ( G, B ) dans C c ( G, C ) telle que p our tout f ∈ C c ( G, B ) , ˜ θ ( f )( g ) = θ ( f ( g )) . Lemme 1.7. L'appli ation ˜ θ se pr olonge en un morphisme d'algèbr es de Banah θ ⋊ ρ G : B ⋊ ρ G → C ⋊ ρ G (r esp. θ ⋊ ρ r G : B ⋊ ρ r G → C ⋊ ρ r G ). Démonstr ation. En eet, k ( θ ⋊ ρ G )( f ) k C ⋊ ρ G = k Z G θ ( f ( g )) e g ⊗ ρ ( g ) dg k C ∗ ( G,C ) ⊗ End( V ) ≤ k ( C ∗ ( G, θ ) ⊗ Id V ) Z G f ( g ) e g ⊗ ρ ( g ) dg k C ∗ ( G,C ) ⊗ End ( V ) ≤ k C ∗ ( G, θ ) ⊗ Id V k Hom( C ∗ ( G,B ) ⊗ End( V ) ,C ∗ ( G,C ) ⊗ End ( V )) k f k B ⋊ ρ G , où C ∗ ( G, θ ) : C ∗ ( G, B ) → C ∗ ( G, C ) est le morphisme induit par θ . Autremen t dit, on a un diagramme omm utatif C c ( G, B ) / / ˜ θ   B ⋊ ρ G / / C ∗ ( G, B ) ⊗ End( V ) C ∗ ( G,θ ) ⊗ Id V   C c ( G, C ) / / C ⋊ ρ G / / C ∗ ( G, C ) ⊗ End( V ) . Il en est de même dans le as du pro duit roisé tordu réduit.  MORPHISME DE BA UM-CONNES TORDU 11 2. Morphisme de Ba um-Connes tordu Notre but est de aluler la K -théorie des pro duits roisés tordus. Soit E G l'espae lassian t p our les ations propres de G . P our toute G - C ∗ -algèbre A , on note K top ( G, A ) la K -homologie G -équiv arian te de E G à v aleurs dans A in tro duite dans [BCH94℄. Dans ette setion, p our toute représen tation ρ de dimension nie de G , nous allons onstruire deux morphismes de group es : µ A ρ : K top ( G, A ) → K ( A ⋊ ρ G ) et µ A ρ,r : K top ( G, A ) → K ( A ⋊ ρ r G ) . 2.1. Flè he de desen te tordue. Soien t G un group e lo alemen t ompat et ( ρ, V ) une représen tation de dimension nie de G . Soien t A et B deux G - C ∗ -algèbres. Dans [Kas88, Theorem 3.11℄, Kasparo v a déni deux morphismes de desen te, j G et j G r , qui v on t de K K G ( A, B ) dans K K ( C ∗ ( G, A ) , C ∗ ( G, B )) et dans K K ( C ∗ r ( G, A ) , C ∗ r ( G, B )) , res- p etiv emen t, et qui p ermetten t de dénir le morphisme de Baum- Connes en utilisan t la K K -théorie de Kasparo v. Nous allons ii dénir deux morphismes de desen te tor dus j ρ : K K G ( A, B ) → K K ban ( A ⋊ ρ G, B ⋊ ρ G ) , j ρ,r : K K G ( A, B ) → K K ban ( A ⋊ ρ r G, B ⋊ ρ r G ) , analogues à j G et j G r . On remarque ep endan t que, omme A ⋊ ρ G et B ⋊ ρ G son t des algèbres de Bana h, es morphismes on t néessaire- men t une image dans la K K -théorie bana hique de Laorgue, notée K K ban , et non pas dans la K K -théorie de Kasparo v. La onstrution des morphismes tordus est analogue à la onstrution de la desen te bana hique dans le as des omplétions inonditionnelles [ Laf02b, Se- tion 1.5℄. Notations. In tro duisons d'ab ord quelques notations. Si A est une C ∗ - algèbre, on note ˜ A son algèbre unitarisée. On app elle longueur sur G toute fontion ℓ : G → [0 , + ∞ [ on tin ue et telle que ℓ ( g 1 g 2 ) ≤ ℓ ( g 1 ) + ℓ ( g 2 ) , p our tout g 1 , g 2 ∈ G . Soien t A et B deux G - C ∗ algèbres et soit E un G - ( A, B ) -bimo dule de Kasparo v ('est-à-dire que E est un G - B -mo dule hilb ertien et A agit sur E par un morphisme G -équiv arian t de A dans L ( E ) f. [ Kas88℄). On note < ., . > : E × E → B la forme sesquilinéaire qui fait de E un B -mo dule hilb ertien. La norme sur E dénie par k x k E = kh x, x ik 1 2 B , fait de E un espae de Bana h sur lequel G agit de façon on tin ue. De plus, on a que k xb k E ≤ k x k E k b k B et k g x k E ≤ k x k E p our tout g ∈ G , b ∈ B et x ∈ E , don E est un G - B -mo dule de Bana h à droite (f. 12 MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO [Laf02b , Setion 1.1℄). On onsidère le G - B -mo dule de Bana h à gau he non-dégénéré déter- miné par E , que l'on note E , tel qu'il existe une isométrie C -an tilinéaire ∗ : E → E v érian t b ∗ x ∗ = ( xb ) ∗ p our x ∈ E et b ∈ B . On dénit alors un ro  het h ., . i : E × E → B , que l'on note h ., . i par abus de notation, par la form ule h x ∗ , y i = h x, y i p our x, y ∈ E . D'après [Laf02b , prop ostion 1.14℄, ( E , E ) est alors une G - B -paire et l'ation G -équiv arian te de A sur E fait de ( E , E ) un G - ( A, B ) - bimo dule de Bana h. Si T ∈ L B ( E ) l'appliation T ∗ = ( ∗ ) T ∗ ( ∗ ) − 1 dénit un élémen t de L B ( E ) . P our toute longueur ℓ sur le group e G , on note ι l'appliation : ι : K K G ( A, B ) → K K ban G,ℓ ( A, B ) , dénie dans [Laf02b , Setion 1.6℄ et déterminée par l'appliation : E G ( A, B ) → E ban G,ℓ ( A, B ) ( E , T ) 7→  ( E , E ) , ( T ∗ , T )  , où on note E G ( A, B ) l'ensem ble des yles G -équiv arian ts sur le ouple ( A, B ) (f. [Kas88℄, v oir aussi [Sk a91, Den tion 9.4℄) et E ban G,ℓ ( A, B ) est l'ensem ble des lasses d'isomorphisme de yles bana hiques ( G, ℓ ) -équiv arian ts sur ( A, B ) (f. [Laf02b , Dénition 1.2.2℄). Si B est une algèbre de Bana h, E est un B -mo dule de Bana h à droite et F est un B -mo dule de Bana h à gau he, on note E ⊗ π B F le pro duit tensoriel pro jetif de E et F au-dessus de B , 'est-à-dire le omplété-séparé du pro duit tensoriel algébrique E ⊗ alg C F p our la plus grande semi-norme k . k telle que k x ⊗ by − xb ⊗ y k = 0 et k x ⊗ y k ≤ k x k k y k p our x ∈ E , y ∈ F et b ∈ B . Si E et F son t deux B -paires, on note L B ( E , F ) l'espae des mor- phismes de B -paires. P our ξ ∈ E < et y ∈ F > , on rapp elle que l'on note | y i h ξ | ∈ L B ( E , F ) le morphisme de B -paires déni par | y i h ξ | > : E > → F > x 7→ y h ξ , x i , et | y i h ξ | < : F < → E < η 7→ h η , y i ξ . Un morphisme de B -paires de E dans F est ompat s'il est limite dans L B ( E , F ) de om binaisons linéaires de morphismes de la forme | y i h x | (f. [Laf02b , Dénition 1.1.3℄). On note K B ( E , F ) l'espae des morphismes ompats de E dans F . On onsidère l'espae v etoriel C c ( G, E ) (resp. C c ( G, E ) ) des fontions on tin ues à supp ort ompat sur G à v aleurs dans E (resp. à v aleurs dans E ) et on note x ∈ C c ( G, E ) sous la forme x = R G x ( g ) e g dg MORPHISME DE BA UM-CONNES TORDU 13 (resp. ξ ∈ C c ( G, E ) sous la forme ξ = R G e g ξ ( g ) dg ). Soien t C ∗ ( G, E ) et C ∗ r ( G, E ) les omplétés de C c ( G, E ) dénis omme dans [Kas88 , Denition 3.8℄. On onsidère alors le mo dule hil- b ertien C ∗ ( G, E ) ⊗ End( V ) déni sur le pro duit tensoriel de C ∗ -algèbres C ∗ ( G, B ) ⊗ End ( V ) et onstruit par pro duit tensoriel externe. De même, soit C ∗ r ( G, E ) ⊗ End( V ) le  C ∗ r ( G, B ) ⊗ End( V )  -mo dule hilb ertien. Dénition 2.1. On note E ⋊ ρ G (resp. E ⋊ ρ r G ) l'adhérene de l'image de C c ( G, E ) dans C ∗ ( G, E ) ⊗ End( V ) (resp. C ∗ r ( G, E ) ⊗ End ( V ) ) par l'appliation C c ( G, E ) → C c ( G, E ) ⊗ End( V ) Z G x ( g ) e g dg 7→ Z G x ( g ) e g ⊗ ρ ( g ) dg . De même, on note E ⋊ ρ G (resp. E ⋊ ρ r G ) l'adhérene de l'image de C c ( G, E ) dans C ∗ ( G, E ) ⊗ End( V ) (resp. C ∗ r ( G, E ) ⊗ End( V ) ) par l'ap- pliation C c ( G, E ) → C c ( G, E ) ⊗ End( V ) Z G e g ξ ( g ) dg 7→ Z G e g ξ ( g ) ⊗ ρ ( g ) dg . Nous allons main tenan t dénir une struture de B ⋊ ρ G -paire (resp. B ⋊ ρ r G -paire) sur le ouple ( E ⋊ ρ G, E ⋊ ρ G ) (resp. ( E ⋊ ρ r G, E ⋊ ρ r G ) ) que l'on note E ⋊ ρ G (resp. E ⋊ ρ r G ) par abus de notation. On donne alors la dénition suiv an te, qui est omplètemen t analogue à la dénition [Laf02b , Dénition 1.5.3℄ Dénition 2.2. Soien t x = R G x ( g ) e g dg dans C c ( G, E ) , ξ = R G e g ξ ( g ) dg dans C c ( G, E ) et b = R G b ( g ) e g dg dans C c ( G, B ) . On p ose x.b = Z G Z G x ( t ) t ( b ( t − 1 g )) dte g dg , b.ξ = Z G e g Z G g − 1 ( b ( t )) ξ ( t − 1 g ) dtd g , h ξ , x i = Z G Z G t ( h ξ ( t ) , x ( t − 1 g ) i ) d te g dg . Cei dénit une struture de B ⋊ ρ G -paire (resp. B ⋊ ρ r G -paire) sur ( E ⋊ ρ G, E ⋊ ρ G ) (resp. ( E ⋊ ρ r G, E ⋊ ρ r G ) ). Main tenan t, omme on a supp osé de plus que E est m uni d'une struture de A - B -bimo dule hilb ertien, p our A une G - C ∗ -algèbre, on v a mon trer la prop osition suiv an te Prop osition 2.3. L a p air e E ⋊ ρ G (r esp. E ⋊ ρ r G ) est un ( A ⋊ ρ G, B ⋊ ρ G ) -bimo dule (r esp. ( A ⋊ ρ r G, B ⋊ ρ r G ) -bimo dule) de Banah. 14 MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO Démonstr ation. Soit a = R G a ( g ) e g dg ∈ C c ( G, A ) . L'algèbre C c ( G, A ) agit sur C c ( G, E ) de la façon suiv an te a.x = Z G Z G a ( t ) t ( x ( t − 1 g )) dte g dg , ξ .a = Z G e g Z G ( t − 1 g ) − 1 ( ξ ( t ) a ( t − 1 g )) dtd g . On doit mon trer que, a v e es form ules, E ⋊ ρ G est un A ⋊ ρ G -mo dule de Bana h à gau he, E ⋊ ρ G un A ⋊ ρ G -mo dule de Bana h à droite, que es strutures omm uten t a v e les strutures de B ⋊ ρ G -mo dules qui déoulen t de la dénition prééden te et que, p our tout élémen t a de A ⋊ ρ G , h ξ a, x i = h ξ , ax i , p our tout ξ ∈ E ⋊ ρ G et p our tout x ∈ E ⋊ ρ G . Mais ei déoule immédiatemen t du fait que  A ⋊ ρ G E ⋊ ρ G E ⋊ ρ G B ⋊ ρ G  est un sous-espae de  C ∗ ( G, A ) C ∗ ( G, E ) C ∗ ( G, E ) C ∗ ( G, B )  ⊗ End( V ) et que l'inlusion est une isométrie. Le même raisonnemen t mon tre l'énoné p our les pro duits roisés ré- duits.  Considérons main tenan t un élémen t de E G ( A, B ) que l'on note ( E , T ) . Soit T ⋊ ρ G : E ⋊ ρ G → E ⋊ ρ G, (resp. T ⋊ ρ r G : E ⋊ ρ r G → E ⋊ ρ r G ) le morphisme de B ⋊ ρ G -paires (resp. B ⋊ ρ r G -paires) déni sur x ∈ C c ( G, E ) et sur ξ ∈ C c ( G, E ) de la façon suiv an te ( T ⋊ ρ G ) > x ( g ) = T > ( x ( g )) , ( T ⋊ ρ G ) < ξ ( g ) = T < ( ξ ( g )) , (resp. T ⋊ ρ r G ). Alors, k T ⋊ ρ G k L ( E ⋊ ρ G ) ≤ k T k L ( E ) , (de même p our le pro duit roisé réduit). Ces op érateurs son t analogues aux op érateurs A ( G, T ) et ˜ T dénis dans [Laf02b , Dénition 1.5.3℄ et [Kas88, Theorem 3.11℄ resp etiv emen t. Lemme 2.4. L'élément ( E ⋊ ρ G, T ⋊ ρ G ) (r esp. ( E ⋊ ρ r G, T ⋊ ρ r G ) ) ainsi déni app artient à E ban ( A ⋊ ρ G, B ⋊ ρ G ) (r esp. E ban ( A ⋊ ρ r G, B ⋊ ρ r G ) ). Démonstr ation. On v a mon trer le lemme dans le as du pro duit roisé maximal, le as réduit étan t omplètemen t analogue. MORPHISME DE BA UM-CONNES TORDU 15 On doit mon trer que, p our tout élémen t a ∈ C c ( G, A ) et p our tout g ∈ G , les op érateurs [ a, T ⋊ ρ G ] , a (1 − ( T ⋊ ρ G ) 2 ) et a ( g ( T ⋊ ρ G ) − T ⋊ ρ G ) , son t des op érateurs ompats de E ⋊ ρ G . On remarque d'ab ord que l'op érateur | y i h η | ∈ K B ⋊ ρ G ( E ⋊ ρ G ) , p our η ∈ C c ( G, E ) et y ∈ C c ( G, E ) , agit sur x ∈ C c ( G, E ) et ξ ∈ C c ( G, E ) par les form ules | y i h η | > ( x )( g ) = Z G K > s ( s ( x ( s − 1 g ))) d s, | y i h η | < ( ξ )( g ) = Z G ( s − 1 g ) − 1 ( K < s − 1 g ( ξ ( s ))) ds, où K g = R G | y ( s ) ih g ( η ( s − 1 g )) | d s , p our tout g ∈ G , appartien t à K B ( E ) . Dénition 2.5. On note E la B -paire ( E , E ) par abus de notation. Étan t donné un élémen t S = ( S g ) g ∈ G appartenan t à C c ( G, K B ( E )) , on dénit un op érateur b S dans L B ⋊ ρ G ( E ⋊ ρ G ) de la manière suiv an te b S > ( x )( g ) = Z G S > s ( s ( x ( s − 1 g ))) d s, b S < ( ξ )( g ) = Z G ( s − 1 g ) − 1 ( S < s − 1 g ( ξ ( s ))) ds, p our x ∈ C c ( G, E ) et ξ ∈ C c ( G, E ) . Prop osition 2.6. L'appli ation ψ : C c ( G, K B ( E )) → L B ⋊ ρ G ( E ⋊ ρ G ) S 7→ b S , induit un morphisme d'algèbr es de Banah de K ( E ) ⋊ ρ G dans L B ⋊ ρ G ( E ⋊ ρ G ) , que l'on note ψ p ar abus de notation et dont l'image est  ontenue dans K ( E ⋊ ρ G ) . A v an t de démon trer ette prop osition, démon trons d'ab ord le lemme suiv an t Lemme 2.7. Pour tout a ∈ C c ( G, A ) et p our tout g ∈ G , les op ér ateurs [ a, T ⋊ ρ G ] , a (1 − ( T ⋊ ρ G ) 2 ) et a ( g ( T ⋊ ρ G ) − T ⋊ ρ G ) app artiennent à l'image de ψ . Plus pr é isément, p our a ∈ C c ( G, A ) et g ∈ G , p osons S 1 :=  t 7→ a ( t )( t ( T ) − T ) + [ a ( t ) , T ]  , S 2 :=  t 7→ a ( t ) t (1 − T 2 )  , et S 3 :=  t 7→ a ( t ) t (( g T ) − T )  , 16 MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO de sorte que S i ∈ C c ( G, K ( E )) p our i = 1 , .., 3 . A lors, [ a, T ⋊ ρ G ] = b S 1 , a (1 − ( T ⋊ ρ G ) 2 ) = b S 2 , a ( g ( T ⋊ ρ G ) − T ⋊ ρ G ) = b S 3 , où, p our i = 1 , .., 3 , b S i est l'élément de L B ⋊ ρ G ( E ⋊ ρ G ) donné à p artir de S i p ar la dénition 2.5. Démonstr ation. Soit a ∈ C c ( G, A ) . P our x = R G x ( g ) e g dg ∈ C c ( G, E ) , [ a, T ⋊ ρ G ] > ( x ) = Z G  Z G a ( t ) t ( T > ( x ( t − 1 g ))) d t  e g dg − ( T ⋊ ρ G ) >  g 7→ Z G a ( t ) t ( x ( t − 1 g )) dt  , don, p our tout g ∈ G , [ a, T ⋊ ρ G ] > ( x )( g ) = Z G a ( t ) t ( T > ( x ( t − 1 g ))) − T > ( a ( t ) t ( x ( t − 1 g ))) d t, = Z G  a ( t )( t ( T ) − T ) > + [ a ( t ) , T ] >  ( t ( x ( t − 1 g ))) d t. De même, p our ξ = R G e g ξ ( g ) dg ∈ C c ( G, E ) , on a : [ a, T ⋊ ρ G ] < ( ξ ) = (( T ⋊ ρ G ) < ( ξ )) a − (( T ⋊ ρ G ) < ( ξ a )) , = Z G e g Z G ( t − 1 g ) − 1 ( T < ( ξ ( t )) a ( t − 1 g )) dtd g − ( T ⋊ ρ G ) < ( Z G e g Z G ( t − 1 g ) − 1 ( ξ ( t ) a ( t − 1 g )) dtd g ) , don, p our tout g ∈ G , [ a, T ⋊ ρ G ] < ( ξ )( g ) = Z G ( t − 1 g ) − 1  T < ( ξ ( t )) a ( t − 1 g )  dt − Z G T <  ( t − 1 g ) − 1 ( ξ ( t ) a ( t − 1 g ))  dt = Z G ( t − 1 g ) − 1  T < ( ξ ( t )) a ( t − 1 g ) − T < ( ξ ( t ) a ( t − 1 g )) , − ( t − 1 g ) T < ( ξ ( t ) a ( t − 1 g )) + T < ( ξ ( t ) a ( t − 1 g ))  dt = Z G ( t − 1 g ) − 1  [ a ( t − 1 g ) , T ] < ξ ( t ) , +  a ( t − 1 g )(( t − 1 g ) T − T )  < ξ ( t )  dt. Don, si p our tout t ∈ G on p ose S 1 ( t ) := a ( t )( t ( T ) − T ) + [ a ( t ) , T ] , MORPHISME DE BA UM-CONNES TORDU 17 de sorte que S 1 dénisse un élémen t de C c ( G, K ( E )) , alors [ a, T ⋊ ρ G ] = b S 1 . Calulons main tenan t a (1 − T ⋊ ρ G 2 ) > . Soit x ∈ C c ( G, E ) , on a :  a (1 − T ⋊ ρ G 2 )  > ( x ) = ax − a ( T ⋊ ρ G 2 ,> ) x, don, p our tout g ∈ G ,  a (1 − T ⋊ ρ G 2 )  > ( x )( g ) , = Z G a ( t ) t ( x ( t − 1 g )) dt − Z G a ( t ) t  T 2 ,> x ( t − 1 g )  dt, = Z G a ( t ) t  (1 − T 2 ,> ) x ( t − 1 g )  dt, = Z G a ( t ) t (1 − T 2 ,> ) tx ( t − 1 g ) dt. De même, p our ξ ∈ C c ( G, E ) , ( a (1 − T ⋊ ρ G 2 )) < ( ξ ) = ξ a − ( T ⋊ ρ G 2 ,< )( ξ a ) , d'où, p our tout g ∈ G , on a : ( a (1 − T ⋊ ρ G 2 )) < ( ξ )( g ) = ξ a ( g ) − T 2 ,< ( ξ a ( g )) , = Z G ( t − 1 g ) − 1 ( ξ ( t ) a ( t − 1 g )) − T 2 ,< (( t − 1 g ) − 1 ξ ( t ) a ( t − 1 g )) dt, = Z G ( t − 1 g ) − 1  ξ ( t ) a ( t − 1 g ) − ( t − 1 g ) T 2 ,< ( ξ ( t ) a ( t − 1 g ))  dt, = Z G ( t − 1 g ) − 1  ( t − 1 g )(1 − T 2 ,< )( ξ ( t ) a ( t − 1 g ))  dt, = Z G ( t − 1 g ) − 1  a ( t − 1 g )( t − 1 g )(1 − T 2 ) < ( ξ ( t ))  dt. Si, p our tout t ∈ G , on p ose S 2 ( t ) := a ( t ) t (1 − T 2 ) , alors S 2 ∈ C c ( G, K ( E )) et a (1 − T ⋊ ρ G 2 ) = b S 2 . Prenons main tenan t g ∈ G . De la même façon, on p eut aluler a ( g ( T ⋊ ρ G ) − T ⋊ ρ G ) . P ar exemple, p our x ∈ C c ( G, E ) , a ( g ( T ⋊ ρ G ) − T ⋊ ρ G ) > x ( s ) , = Z G a ( t ) t ( g ( T > )( x ( t − 1 s ))) − a ( t ) tT > ( t ( x ( t − 1 s ))) dt, = Z G a ( t ) t (( g T > ) − T > )( t ( x ( t − 1 s ))) dt, et si on p ose S 3 ( t ) := a ( t ) t (( g T ) − T ) , 18 MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO alors S 3 ∈ C c ( G, K ( E )) et a ( g ( T ⋊ ρ G ) − T ⋊ ρ G ) = b S 3 .  Nous allons main tenan t mon trer la prop osition 2.6 qui, grâe au lemme 2.7 , implique le lemme 2.4 . La démonstration rep ose sur le lemme suiv an t analogue au lemme 1.5.6 de [Laf02b ℄ Lemme 2.8. Soit S = ( S g ) g ∈ G ∈ C c ( G, K ( E )) , où E est vu  omme B -p air e. Soit b S ∈ L B ⋊ ρ G ( E ⋊ ρ G ) l'op ér ateur déni  omme dans la dénition 2.5 . A lors, (2.1) k b S k L B ⋊ ρ G ( E ⋊ ρ G ) ≤ Z G k S g k K ( E ) k ρ ( g ) k End( V ) dg , et b S est un op ér ateur  omp at. Plus pr é isément, p our tout ǫ > 0 , il existe un n ∈ N , et p our i = 1 , ..., n il existe des éléments y i ∈ C c ( G, E ) , ξ i ∈ C c ( G, E ) tels que, si on p ose p our tout g ∈ G , K g = Z G n X i =1 | y i ( t ) ih g ( ξ i ( t − 1 g )) | d t, alors :  K = ( K g ) g ∈ G ∈ C c ( G, K ( E )) ,  si on  onsidèr e y i et ξ i  omme des éléments de E ⋊ ρ G et E ⋊ ρ G r esp e tivement, on a b K = n P i =1 | y i ih ξ i | ,  et (2.2) Z G k S g − K g k K ( E ) k ρ ( g ) k End( V ) dg ≤ ǫ. Démonstr ation. Mon trons d'ab ord que l'inégalité (2.1) est vraie. P our ei, on onsidère l'algèbre  K ( E ) E E B  . Le pro duit roisé tordu par ρ de G a v e ette algèbre v érie l'égalité  K ( E ) E E B  ⋊ ρ G =  K ( E ) ⋊ ρ G E ⋊ ρ G E ⋊ ρ G B ⋊ ρ G  . Cei implique que K ( E ) ⋊ ρ G est une sous-algèbre de L ( E ⋊ ρ G ) . Plus préisémen t, d'après [Kas88 , Theorem 3.7℄ on a que le pro duit tensoriel de C ∗ -algèbres C ∗ ( G, K ( E )) ⊗ End( V ) est une sous-algèbre du pro duit tensoriel K ( C ∗ ( G, E )) ⊗ End( V ) , et don elle agit sur le mo dule hil- b ertien C ∗ ( G, E ) ⊗ End( V ) . D'autre part, par dénition K ( E ) ⋊ ρ G est une sous-algèbre fermée de C ∗ ( G, K ( E )) ⊗ End( V ) (p our la norme de pro duit tensoriel de C ∗ -algèbres k . k C ∗ ( G, K ( E )) ⊗ End( V ) ) et E ⋊ ρ G est un sous-mo dule fermé de C ∗ ( G, E ) ⊗ End( V ) par onstrution. Cei implique que K ( E ) ⋊ ρ G agit aussi sur E ⋊ ρ G et 'est don une sous- algèbre fermée de L ( E ⋊ ρ G ) , d'où l'égalité k b S k L ( E ⋊ ρ G ) = k S k K ( E ) ⋊ ρ G . MORPHISME DE BA UM-CONNES TORDU 19 De plus, k S k K ( E ) ⋊ ρ G = k Z G S g e g ⊗ ρ ( g ) dg k C ∗ ( G, K ( E )) ⊗ End( V ) , ≤ k Z G S g e g ⊗ ρ ( g ) dg k L 1 ( G, K ( E ) ⊗ End( V )) , ≤ Z G k S g ⊗ ρ ( g ) k K ( E ) ⊗ End( V ) dg . Don, k S k K ( E ) ⋊ ρ G ≤ Z G k S g k K ( E ) k ρ ( g ) k End( V ) dg , d'où l'inégalité (2.1 ). Mon trons main tenan t que b S est ompat. En utilisan t des partitions de l'unité, on v oit failemen t qu'il sut de mon trer le résultat p our les élémen ts S dans C c ( G, K ( E )) de la forme S g = f ( g ) | y ih ξ | , p our g ∈ G , a v e f ∈ C c ( G ) , y ∈ E et ξ ∈ E . Soit f une fontion à supp ort ompat sur G . Soit ǫ > 0 . Il existe une fontion p ositiv e χ ∈ C c ( G ) à supp ort ompat on ten u dans un v oisi- nage de l'iden tité 1 de G , telle que R G χ = 1 , et telle que les onditions suiv an tes soien t v ériées 1 Z G | f ( g ) − χ ∗ f ( g ) | k ρ ( g ) k End ( V ) dg k y k E k ξ k E < ǫ 2 et Z G  Z G | χ ( t ) f ( t − 1 g ) | k ξ − tξ k E dt  k ρ ( g ) k End( V ) dg k y k E < ǫ 2 . Prenons n = 1 et p our tout g ∈ G , p osons y 1 ( g ) = χ ( g ) y et ξ 1 ( g ) = f ( g ) g − 1 ( ξ ) , de sorte que K g = R G | χ ( t ) y i h f ( t − 1 g ) t ( ξ ) | dt dénisse un op érateur b K de K ( E ⋊ ρ G ) . On a alors, k S g − K g k K ( E ) =    f ( g )   y  ξ   − Z G χ ( t ) f ( t − 1 g )   y  tξ   dt    K ( E ) , ≤    f ( g )   y  ξ   − Z G χ ( t ) f ( t − 1 g )   y  ξ   dt    K ( E ) +    Z G χ ( t ) f ( t − 1 g )   y  ξ   dt − Z G χ ( t ) f ( t − 1 g )   y  tξ   dt    K ( E ) , ≤     f ( g ) − χ ∗ f ( g )    y  ξ      K ( E ) + Z G      χ ( t ) f ( t − 1 g ) y  ξ − tξ      K ( E ) dt , ≤   f ( g ) − χ ∗ f ( g )     y   E   ξ   E + Z G    χ ( t ) f ( t − 1 g )      y   E   ξ − tξ   E dt. 1 P our que es onditions soien t v ériées il sut que le supp ort de χ soit assez pro  he de 1 . 20 MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO On a alors les inégalités suiv an tes k b S − b K k L ( E ⋊ ρ G ) ≤ Z G k S g − K g k K ( E ) k ρ ( g ) k End( V ) dg , ≤ Z G    f ( g ) − χ ∗ f ( g )     y   E   ξ   E + Z G   χ ( t ) f ( t − 1 g )   k y k E   ξ − tξ   E dt  k ρ ( g ) k End( V ) dg < ǫ. D'où l'inégalité 2.2.  En appliquan t le lemme 2.8 à S 1 , S 2 et S 3 on termine la démonstra- tion du fait que ( E ⋊ ρ G, T ⋊ ρ G ) appartien t à E ban ( A ⋊ ρ G, B ⋊ ρ G ) .  Dénition 2.9. P our toutes G - C ∗ -algèbres A et B et p our toute représen tation de dimension nie ρ de G , on dénit un morphisme de group es de K K G ( A, B ) dans K K ban ( A ⋊ ρ G, B ⋊ ρ G ) (resp. dans K K ban ( A ⋊ ρ r G, B ⋊ ρ r G ) ) que l'on note j ρ (resp. j ρ,r ) par la form ule suiv an te : p our [ E , T ] ∈ K K G ( A, B ) , on p ose j ρ ([ E , T ]) := [ E ⋊ ρ G, T ⋊ ρ G ] et j ρ,r ([ E , T ]) := [ E ⋊ ρ r G, T ⋊ ρ r G ] . On app elle es morphismes morphisme de des ente tor du et morphisme de des ente tor du r é duit , resp etiv emen t. 2.2. F ontorialité. La prop osition suiv an te dit que les morphismes de desen te tordus son t fontoriels. Prop osition 2.10. L es appli ations j ρ : K K G ( A, B ) → K K ban ( A ⋊ ρ G, B ⋊ ρ G ) , j ρ,r : K K G ( A, B ) → K K ban ( A ⋊ ρ r G, B ⋊ ρ r G ) , dénies dans la dénition 2.9 sont des morphismes fontoriels en A et en B . De plus, ils sont tels que si A = B alors j ρ (1 A ) = 1 A ⋊ ρ G et j ρ,r (1 A ) = 1 A ⋊ ρ r G . Démonstr ation. On v oit failemen t que j ρ (1 A ) = 1 A ⋊ ρ G . Mon trons main tenan t que j ρ est fontoriel. La démonstration p our j r,ρ est om- plètemen t analogue. Soit θ 1 un morphisme de G - C ∗ -algèbres de A 1 dans A . Notons θ 1 ⋊ ρ G le morphisme d'algèbres de Bana h de A 1 ⋊ ρ G dans A ⋊ ρ G qu'il dénit. Il est faile de v oir que p our tout α ∈ K K G ( A, B ) on a j ρ ( θ ∗ 1 ( α )) = ( θ 1 ⋊ ρ G ) ∗ ( j ρ ( α )) , e qui donne la fontorialité en A . Soit main tenan t θ : B → C un morphisme de G - C ∗ -algèbres. On v a mon trer que p our tout α ∈ K K G ( A, B ) , j ρ ( θ ∗ ( α )) = ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( j ρ ( α )) , MORPHISME DE BA UM-CONNES TORDU 21 dans K K ban ( A ⋊ ρ G, C ⋊ ρ G ) . Soit ( E , T ) un représen tan t de α dans E G ( A, B ) . P ar dénition (f. [Laf02b , Setion 1.1℄), ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( j ρ ( E )) > = E ⋊ ρ G ⊗ π ^ B ⋊ ρ G ^ C ⋊ ρ G, ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( j ρ ( E )) < = ^ C ⋊ ρ G ⊗ π ^ B ⋊ ρ G E ⋊ ρ G, où ⊗ π est le pro duit tensoriel pro jetif, et, j ρ ( θ ∗ ( E )) > = ( E ⊗ B C ) ⋊ ρ G, j ρ ( θ ∗ ( E )) < = ( E ⊗ B C ) ⋊ ρ G, où ⊗ est le pro duit tensoriel in terne de mo dules hilb ertiens. On note ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( j ρ ( E )) := ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( j ρ ( E )) > et j ρ ( θ ∗ ( E )) := j ρ ( θ ∗ ( E )) > , ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( j ρ ( E )) := ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( j ρ ( E )) < et j ρ ( θ ∗ ( E )) := j ρ ( θ ∗ ( E )) < , p our simplier les notations. D'après [Kas88 , Lemma 3.10℄, l'appliation τ : C c ( G, E ) ⊗ C c ( G, C ) → C c ( G, E ⊗ C ) x ⊗ c 7→  g 7→ Z G x ( s ) ⊗ sc ( s − 1 g ) ds  , dénit un isomorphisme de C ∗ ( C , G ) -mo dules hilb ertiens C ∗ ( G, E ) ⊗ C ∗ ( G,B ) C ∗ ( G, C ) → C ∗ ( G, E ⊗ B C ) . On a alors, k τ ( x ⊗ c ) k ( E ⊗ B C ) ⋊ ρ G = k τ ( x ⊗ c ) k C ∗ ( G,E ⊗ B C ) ⊗ End( V ) ≤ k x k C ∗ ( G,E ) ⊗ End( V ) k c k C ∗ ( G,C ) ⊗ End ( V ) e qui implique que k τ ( x ⊗ c ) k ( E ⊗ B C ) ⋊ ρ G ≤ k x ⊗ c k ( E ⋊ ρ G ⊗ π ^ B ⋊ ρ G ^ C ⋊ ρ G ) . L'appliation τ dénit alors un morphisme de C ⋊ ρ G -mo dules de Ba- na h à droite de norme inférieure ou égale à 1 : τ : ( E ⋊ ρ G ) ⊗ π ^ B ⋊ ρ G ( ^ C ⋊ ρ G ) → ( E ⊗ B C ) ⋊ ρ G, que l'on note enore τ par abus de notation. On note τ l'analogue de τ p our E . On v a alors onstruire l'homotopie  her hée à l'aide de nes de la manière suiv an te (f. [P ar06, Setion 1.9℄). Soit E ⋊ ρ θ G = { ( h, x ) ∈ j ρ ( θ ∗ ( E ))[0 , 1] × ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( j ρ ( E )) | h (0) = τ ( x ) } , m uni de la norme k ( h, x ) k = max  sup t ∈ [0 , 1] k h ( t ) k , k x k  , le ne asso ié à τ . 22 MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO De même, on dénit E ⋊ ρ θ G = { ( h, x ) ∈ j ρ ( θ ∗ ( E ))[0 , 1] × ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( j ρ ( E )) | h (0) = τ ( x ) } , qui est le ne asso ié à τ . Alors le ouple ( E ⋊ ρ θ G, E ⋊ ρ θ G ) , dénit un  A ⋊ ρ G, ( C ⋊ ρ G )[0 , 1]  -bimo dule de Bana h que l'on note E ⋊ ρ θ G par abus de notation. D'autre part, on dénit un op érateur T ⋊ ρ θ G ∈ L ( E ⋊ ρ θ G ) de la façon suiv an te ( T ⋊ ρ θ G ) > ( h, e ⊗ c ) =  t 7→ ( θ ∗ ( T ) ⋊ ρ G ) > h ( t ) , ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( T ⋊ ρ G ) > ( x )  =  ( g , t ) 7→ θ ∗ ( T ) > ( h ( t )( g )) , ( g 7→ T > ( e ( g ))) ⊗ c  , p our ( h, e ⊗ c ) ∈ E ⋊ ρ θ G , et on dénit ( T ⋊ ρ θ G ) < de façon analogue. R emar que 2.11 . L'op érateur ( T ⋊ ρ θ G ) ainsi déni est le ne du ouple d'op érateurs  ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( T ⋊ ρ G ) , θ ∗ ( T ) ⋊ ρ G  , noté Z  ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( T ⋊ ρ G ) , θ ∗ ( T ) ⋊ ρ G  et déni dans [P ar06, Denition 1.9.14℄. Lemme 2.12. L'élément ( E ⋊ ρ θ G, T ⋊ ρ θ G ) app artient à E ban ( A ⋊ ρ G, ( C ⋊ ρ G )[0 , 1]) . De plus, il r é alise une homotopie entr e j ρ ( θ ∗ ( α )) et ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( j ρ ( α )) . Démonstr ation. On doit mon trer que p our tout a ∈ A ⋊ ρ G et p our tout g ∈ G , les op érateurs suiv an ts [ a, ( T ⋊ ρ θ G )] , a (1 − ( T ⋊ ρ θ G ) 2 ) et a ( g ( T ⋊ ρ θ G ) − T ⋊ ρ θ G ) son t des op érateurs ompats de E ⋊ ρ θ G . Soien t a ∈ A ⋊ ρ G et g ∈ G . P our S = ( S t ) t ∈ G ∈ C c ( G, K ( E )) , on note θ ∗ ( S ) := ( θ ∗ ( S ) t ) t ∈ G l'élémen t de C c ( G, K ( θ ∗ ( E )) tel que θ ∗ ( S ) t = θ ∗ ( S t ) . On rapp elle que, étan t donné S = ( S t ) t ∈ C c ( G, K ( E )) , on note b S l'élémen t de L B ⋊ ρ G ( E ⋊ ρ G ) asso ié à S et donné par la dénition 2.5. On onsidère l'appliation suiv an te ψ : C c ( G, K ( E )) → L ( E ⋊ ρ θ G ) S 7→  ( h, x ) 7→  t 7→ [ θ ∗ ( S )( h ( t )) , ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( b S ) x   . MORPHISME DE BA UM-CONNES TORDU 23 Lemme 2.13. L'appli ation ψ induit un morphisme d'algèbr e de Ba- nah de K ( E ) ⋊ ρ G dans L ( E ⋊ ρ θ G ) , que l'on note ψ p ar abus de notation et dont l'image est  ontenue dans K ( E ⋊ ρ θ G ) . A v an t de démon trer le lemme , remarquons que le lemme suiv an t implique le lemme 2.12 Lemme 2.14. L es op ér ateurs [ a, ( T ⋊ ρ θ G )] , a (1 − ( T ⋊ ρ θ G ) 2 ) et a ( g ( T ⋊ ρ θ G ) − T ⋊ ρ θ G ) app artiennent à l'image de ψ . Démonstr ation du lemme 2.14 . Soien t S 1 , S 2 et S 3 les élémen ts de C c ( G, K ( E )) donnés par le lemme 2.7 tels que : b S 1 = [ a, T ⋊ ρ G ] , b S 2 = a (1 − ( T ⋊ ρ G ) 2 ) et b S 3 = a ( g ( T ⋊ ρ G ) − T ⋊ ρ G ) . Il est faile de v érier les égalités suiv an tes ψ ( S 1 ) = [ a, ( T ⋊ ρ θ G )] , ψ ( S 2 ) = a (1 − ( T ⋊ ρ θ G ) 2 ) et ψ ( S 3 ) = a ( g ( T ⋊ ρ θ G ) − T ⋊ ρ θ G ) . En eet, on a par exemple, p our x ∈ C c ( G, E ) et ξ ∈ C c ( G, E ) , [ a, θ ∗ ( T ) ⋊ ρ G ] > x ( t ) = Z G ( θ ∗ ( S 1 ,s ) > )( s ( x ( s − 1 ))) ds, [ a, θ ∗ ( T ) ⋊ ρ G ] < ξ ( t ) = Z G ( s − 1 t ) − 1 ( θ ∗ ( S 1 ,s − 1 t ) < )( ξ ( s )) ds, p our tout t ∈ G , don, [ a, θ ∗ ( T ) ⋊ ρ G ] = \ θ ∗ ( S 1 ) . De même, [ a, ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( T ⋊ ρ G )] = ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( b S 1 ) . Et don, [ a, ( T ⋊ ρ θ G )] , a (1 − ( T ⋊ ρ θ G ) 2 ) et a ( g ( T ⋊ ρ θ G ) − T ⋊ ρ θ G ) appartiennen t à l'image de ψ .  Le lemme 2.2 implique alors que les op érateurs [ a, ( T ⋊ ρ θ G )] , a (1 − ( T ⋊ ρ θ G ) 2 ) et a ( g ( T ⋊ ρ θ G ) − T ⋊ ρ θ G ) appartiennen t à K ( E ⋊ ρ θ G ) . Cei implique que ( E ⋊ ρ θ G, T ⋊ ρ θ G ) ap- partien t à E ban ( A ⋊ ρ G, ( C ⋊ ρ G )[0 , 1]) . Il est lair qu'il réalise une homotopie en tre j ρ ( θ ∗ ( α )) et ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( j ρ ( α )) e qui termine la dé- monstration du lemme 2.12.  24 MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO Démonstr ation du lemme 2.2. P our tout S = ( S t ) t ∈ C c ( G, K ( E )) , on a k ψ ( S ) k L ( E ⋊ ρ θ G ) ≤ max  k [ θ ∗ ( S ) k L ( θ ∗ ( E ) ⋊ ρ G ) , k ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( b S ) k L (( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( E ⋊ ρ G ))  . De plus, on a les estimations suiv an tes k ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( b S ) k L (( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( E ⋊ ρ G )) = k b S ⊗ 1 k L ( E ⋊ ρ G ⊗ π ^ B ⋊ ρ G ^ C ⋊ ρ G ) , ≤ k S k K ( E ) ⋊ ρ G , et k [ θ ∗ ( S ) k L ( θ ∗ ( E ) ⋊ ρ G ) = k θ ∗ ( S ) k K ( θ ∗ ( E )) ⋊ ρ G , ≤ k S k K ( E ) ⋊ ρ G . Cei implique que k ψ ( S ) k L ( E ⋊ ρ θ G ) ≤ k S k K ( E ) ⋊ ρ G , et don que l'appliation ψ induit bien un morphisme d'algèbre de Bana h de K ( E ) ⋊ ρ G dans L ( E ⋊ ρ θ G ) , que l'on note enore ψ par abus de notation. Mon trons main tenan t que l'image de ψ est on ten ue dans K ( E ⋊ ρ θ G ) . Soien t S ∈ C c ( G, K ( E )) et ǫ > 0 . D'après le lemme 2.8 , il existe n ∈ N et p our i = 1 , ..., n , il existe y i ∈ C c ( G, E ) , ξ i ∈ C c ( G, E ) tels que l'élémen t K = ( K g ) g ∈ G ∈ C c ( G, K ( E )) déni par la form ule K g = Z G n X i =1 | y i ( t ) ih g ( ξ i ( t − 1 g )) | d t, v érie l'inégalité Z G k S g − K g k K ( E ) k ρ ( g ) k End( V ) dg < ǫ. L'image par ψ de K est un op érateur ompat de E ⋊ ρ θ G . En eet, p our tout s ∈ G , θ ∗ ( K s ) = R G n P i =1 | y i ( t ) ⊗ 1 ih s (1 ⊗ ξ i ( t − 1 s ) | dt , et don, p our tout x ∈ C c ( G, θ ∗ ( E ) > ) , \ θ ∗ ( K ) > ( x )( g ) = Z G θ ∗ ( K s ) > s ( x ( s − 1 g )) ds , = Z G Z G n X i =1 | y i ( t ) ⊗ 1 i h s (1 ⊗ ξ i ( t − 1 s )) | > s ( x ( s − 1 g )) dtd s, = n X i =1  | g 7→ y i ( g ) ⊗ 1 ih g 7→ 1 ⊗ ξ i ( g ) | > ( x )  ( g ) . MORPHISME DE BA UM-CONNES TORDU 25 De façon analogue, p our ξ ∈ C c ( G, θ ∗ ( E ) < ) , on trouv e \ θ ∗ ( K ) < ( ξ )( g ) = Z G ( s − 1 g ) − 1 θ ∗ ( K s − 1 g ) < ( ξ ( s )) ds, = n X i =1  | g 7→ y i ( g ) ⊗ 1 ih g 7→ 1 ⊗ ξ i ( g ) | < ( ξ )  ( g ); d'où, \ θ ∗ ( K ) = n X i =1 | g 7→ y i ( g ) ⊗ 1 ih g 7→ 1 ⊗ ξ i ( g ) | . De plus, ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( b K ) = (1 ⊗ b K < , b K > ⊗ 1) , = n X i =1 | y i ⊗ 1 ih 1 ⊗ ξ i | , et don p our ( h, x ) ∈ E ⋊ ρ θ G , ψ ( K ) > ( h, x ) =  t 7→ n X i =1 | g 7→ y i ( g ) ⊗ 1 ih g 7→ 1 ⊗ ξ i ( g ) | > ( h ( t )) , n X i =1 | y i ⊗ 1 i h 1 ⊗ ξ i | > x  , = n X i =1     t 7→ ( g 7→ y i ( g ) ⊗ 1) , y i ⊗ 1  ED  t 7→ ( g 7→ 1 ⊗ ξ i ( g )) , 1 ⊗ ξ i     . On en déduit que ψ ( K ) ∈ K ( E ⋊ ρ θ G ) . Le fait que ψ soit un morphisme d'algèbres de Bana h, implique alors que ψ ( S ) est un op érateur ompat de E ⋊ ρ θ G . En eet, on a les inégalités suiv an tes : k ψ ( S ) − ψ ( K ) k L ( E ⋊ ρ θ G ) ≤ k S − K k K ( E ) ⋊ ρ G , ≤ Z G k S g − K g k K ( E ) k ρ ( g ) k End( V ) < ǫ.  Cei termine la démonstration de la prop osition 2.10 et don de la fontorialité des morphismes de desen te tordus.  2.3. Desen te et ation de K K ban sur la K -théorie. Soien t A et B deux algèbres de Bana h. On rapp elle que dans [Laf02b ℄, Laorgue à onstruit un morphisme de group es Σ : K K ban ( A, B ) → Hom( K ( A ) , K ( B )) , qui induit une ation de la K K -théorie bana hique sur la K -théorie. La prop osition suiv an te mon tre que les morphismes de desen te tordus son t ompatibles a v e Σ . 26 MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO Prop osition 2.15. Soient G un gr oup e lo  alement  omp at, A , B , C des G - C ∗ -algèbr es, α ∈ K K G ( A, B ) , β ∈ K K G ( B , C ) , et α ⊗ B β leur pr o duit de Kasp ar ov qui est un élément de K K G ( A, B ) (f. [ Kas88℄ ). On a alors, Σ( j ρ ( α ⊗ B β )) = Σ( j ρ ( β )) ◦ Σ( j ρ ( α )) dans Hom( K ( A ⋊ ρ G ) , K ( B ⋊ ρ G )) . De même dans le  as du pr o duit r oisé r é duit. Démonstr ation. La démonstration déoule de la fontorialité de j ρ (resp. de j ρ,r ) et du lemme suiv an t démon tré dans [Laf02b , Prop osi- tion 1.6.10℄ qui dit que tout élémen t de K K -théorie de Kasparo v est le pro duit de Kasparo v d'un élémen t qui pro vien t d'un morphisme et d'un élémen t qui est l'in v erse d'un morphisme. Lemme 2.16. Soient G un gr oup e lo  alement  omp at, A et B deux G - C ∗ -algèbr es et α ∈ K K G ( A, B ) . Il existe une G - C ∗ -algèbr e A 1 , des morphisme G -é quivariants θ : A 1 → A , η : A 1 → B , et un élément α 1 ∈ K K G ( A, A 1 ) tels que : (1) [ θ ] ⊗ A α 1 = Id A 1 et α 1 ⊗ A [ θ ] = Id A , où [ θ ] ∈ K K G ( A 1 , A ) est induit p ar le morphisme θ ('est-à-dir e que α 1 est l'inverse en K K -thé orie G -é quivariante d'un morphisme), et (2) θ ∗ ( α ) = [ η ] , où [ η ] ∈ K K G ( A 1 , A ) est l'élément induit p ar le morphisme η . La fontorialité du morphisme de desen te j ρ et de l'ation de K K ban sur la K-théorie donnée par Σ impliquen t la prop osition ( 2.15 ). La démonstration est la même que elle de [Laf02b , Prop osition 1.6.9℄ : on applique le lemme (2.16 ) à G, A, B et α . Comme j ρ et Σ son t fontoriels on a Σ( j ρ ( α 1 )) ◦ j ρ ( θ ) ∗ = Σ( j ρ ( θ ) ∗ ( j ρ ( α 1 ))) , = Σ( j ρ ( θ ∗ ( α 1 ))) , = Id K ( A 1 ⋊ ρ G ) , ar θ ∗ ( α 1 ) = Id A 1 . De même, j ρ ( θ ) ∗ ◦ Σ( j ρ ( α 1 )) = Σ( j ρ ( θ ) ∗ ( j ρ ( α 1 )) , = Σ( j ρ ( θ ∗ ( α 1 ))) , = Id K ( A ⋊ ρ G ) ar θ ∗ ( α 1 ) = Id A . Don, j ρ ( θ ) ∗ : K ( A 1 ⋊ ρ G ) → K ( A ⋊ ρ G ) est in v ersible. De plus, θ ∗ ( α ⊗ B β ) = η ∗ ( β ) dans K K G ( A 1 , C ) et don, Σ( j ρ ( α ⊗ β )) ◦ j ρ ( θ ) ∗ = Σ( j ρ ( β )) ◦ j ρ ( η ) ∗ , MORPHISME DE BA UM-CONNES TORDU 27 et ei implique que Σ( j ρ ( α ⊗ β )) = Σ( j ρ ( β )) ◦ j ρ ( η ) ∗ ◦ j ρ ( θ ) − 1 ∗ . De la même façon, on mon tre, en prenan t C = B et β = Id , que Σ( j ρ ( α )) = j ρ ( η ) ∗ ◦ j ρ ( θ ) − 1 ∗ Cei implique la prop osition. La même démonstration v aut p our la desen te dans le as du pro duit roisé réduit.  2.4. Constrution du morphisme tordu. Soit G un group e lo ale- men t ompat et B une G - C ∗ -algèbre. On rapp elle que l'on note E G le lassian t univ ersel p our les ations propres de G et K top ( G, B ) la K -homologie G -équiv arian te de E G à v aleurs dans B . On rapp elle que K top ( G, B ) est donné par la form ule suiv an te K top ( G, B ) = lim − → K K G ( C 0 ( X ) , B ) , où la limite indutiv e est prise parmi les parties fermées X de E G qui son t G -in v arian tes et G -ompates. Dénition 2.17. Soit X une partie fermée G -ompate de E G . Soit c une fontion on tin ue à supp ort ompat sur X et à v aleurs dans R + telle que R G c ( g − 1 x ) dg = 1 , p our tout x ∈ X (une fontion a v e es propriétés existe d'après [T u99℄ et elle est app elée fontion de ut-o  sur X ). Soit p la fontion sur G × X dénie par la form ule p ( g , x ) = p c ( x ) c ( g − 1 x ) , p our ( g , x ) ∈ G × X . La fontion p dénit alors un pro jeteur de C c ( G, C 0 ( X )) , que l'on note p par abus de notation. L'élémen t de K ( C 0 ( X ) ⋊ ρ G ) qu'il dénit est app elé élément de Mishenko tor du asso ié à X . On le note ∆ ρ . Soit Σ : K K ban ( C 0 ( X ) ⋊ ρ G, B ⋊ ρ G ) → Ho m( K ( C 0 ( X ) ⋊ ρ G ) , K ( B ⋊ ρ G )) le morphisme pro v enan t de l'ation de K K ban sur la K -théorie déni dans [Laf02b ℄. On a alors une suite de morphismes K K G ( C 0 ( X ) , B ) j ρ → K K ban ( C 0 ( X ) ⋊ ρ G, B ⋊ ρ G ) Σ( . )(∆ ρ ) − → K ( B ⋊ ρ G ) . De même que dans [Laf02b ℄ setion 1.7, en passan t à la limite indutiv e on dénit un morphisme µ B ρ : K top ( G, B ) → K ( B ⋊ ρ G ) , et on l'app elle morphisme de Baum-Connes tor du p ar la r epr ésentation ρ . 28 MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO R emar que 2.18 . La fontorialité des morphismes Σ et j ρ implique que le morphisme de Baum-Connes tordu par ρ est fontoriel en B . En eet, soit θ : B → C un morphisme de G - C ∗ -algèbres. Soit α ∈ K K G ( C 0 ( X ) , B ) . On a les égalités suiv an tes, ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( µ B ρ ( α )) = ( θ ⋊ ρ G ) ∗ (Σ( j ρ ( α ))(∆ ρ )) , = Σ  ( θ ⋊ ρ G ) ∗ ( j ρ ( α ))  (∆ ρ ) , = Σ  j ρ ( θ ∗ ( α ))  (∆ ρ ) , = µ C ρ ( θ ∗ ( α )) . Dénition 2.19. P our toute G - C ∗ -algèbre B , soit λ ρ G,B le morphisme d'algèbres de Bana h de B ⋊ ρ G dans B ⋊ ρ r G qui prolonge l'iden tité sur C c ( G, B ) . Soit ( λ ρ G,B ) ∗ : K ( B ⋊ ρ G ) → K ( B ⋊ ρ r G ) le morphisme induit par λ ρ G,B en K -théorie. On dénit un morphisme de Baum-Connes tor du r é duit , µ B ρ,r : K top ( G, B ) → K ( B ⋊ ρ r G ) , en p osan t µ B ρ,r := ( λ ρ G,B ) ∗ ◦ µ B ρ . R emar que 2.20 . Il est faile de v oir que, si X est une partie G -ompate de E G et si on note ∆ ρ,r l'élémen t de K ( C 0 ( X ) ⋊ ρ r G ) déni par la fontion p , alors le morphisme de Baum-Connes tordu réduit v érie l'égalité µ B ρ,r ( x ) = Σ  j ρ,r ( x )  (∆ ρ,r ) , p our tout x ∈ K K G ( C 0 ( X ) , B ) . 2.5. Compatibilité a v e la somme direte de représen tations. On v a main tenan t mon trer que le morphisme de Baum-Connes tordu est ompatible a v e la somme direte de représen tations. On utilisera e résultat dans l'étude de la bijetivité. Lemme 2.21. Soient ρ et ρ ′ deux r epr ésentations de dimension nie de G et B une G - C ∗ -algèbr e. A lors il existe des morphismes i ρ ′ : B ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G → B ⋊ ρ ′ G et i ρ : B ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G → B ⋊ ρ G, qui pr olongent l'identité sur C c ( G, B ) et tels que les diagr ammes sui- vants, K top ( G, B ) µ B ρ ′ ( ( P P P P P P P P P P P P µ B ρ ⊕ ρ ′ / / K ( B ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G ) i ρ ′ , ∗   K ( B ⋊ ρ ′ G ) , et K top ( G, B ) µ B ρ ( ( P P P P P P P P P P P P µ B ρ ⊕ ρ ′ / / K ( B ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G ) i ρ, ∗   K ( B ⋊ ρ G ) , soient  ommutatifs. On a le même r ésultat dans le  as des pr o duits r oisés tor dus r é duits. MORPHISME DE BA UM-CONNES TORDU 29 Démonstr ation. Il est lair que p our toute G - C ∗ -algèbre A et p our toute fontion f ∈ C c ( G, A ) , k f k A ⋊ ρ G ≤ k f k A ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G , don Id C c ( G,A ) s'étend en un morphisme d'algèbres de Bana h i ρ : A ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G → A ⋊ ρ G. En fait, on a que A ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G = A ⋊ ρ G ∩ A ⋊ ρ ′ G , à équiv alene de norme près. De même, si E est un A -mo dule de Bana h et f ∈ C c ( G, E ) , k f k E ⋊ ρ G ≤ k f k E ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G , et Id C c ( G,E ) s'étend en un morphisme de A -mo dules de Bana h, que l'on note aussi i ρ , de E ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G dans E ⋊ ρ G . On doit mon trer que µ B ρ = i ρ, ∗ ◦ µ B ρ ⊕ ρ ′ . P our ei, on v a d'ab ord mon trer que, p our tout α ∈ K K G ( A, B ) , les élémen ts j ρ ( α ) et j ρ ⊕ ρ ′ ( α ) on t la même image dans le group e K K ban ( A ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G, B ⋊ ρ G ) . C'est le lemme suiv an t Lemme 2.22. Pour tout α ∈ K K G ( A, B ) , on a l'é galité, i ∗ ρ ( j ρ ( α )) = i ρ, ∗ ( j ρ ⊕ ρ ′ ( α )) , dans K K ban ( A ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G, B ⋊ ρ G ) . A v an t de démon trer le lemme 2.22, remarquons qu'il implique le lemme 2.21 . En eet, p our X une partie G -ompate de E G et p our un élémen t α dans K K G ( C 0 ( X ) , B ) , µ B ρ ⊕ ρ ′ ( α ) = Σ( j ρ ⊕ ρ ′ ( α ))(∆ ρ ⊕ ρ ′ ) , don, on a les égalités suiv an tes, i ρ, ∗ ( µ B ρ ⊕ ρ ′ ( α )) = i ρ, ∗ ◦ Σ( j ρ ⊕ ρ ′ ( α ))(∆ ρ ⊕ ρ ′ ) , = Σ( i ρ, ∗ ( j ρ ⊕ ρ ′ ( α )))(∆ ρ ⊕ ρ ′ ) , = Σ( i ∗ ρ ( j ρ ( α )))(∆ ρ ⊕ ρ ′ ) , = Σ( j ρ ( α ))( i ρ, ∗ (∆ ρ ⊕ ρ ′ )) , = Σ( j ρ ( α ))(∆ ρ ) = µ B ρ ( α ) . On a alors que µ B ρ = i ρ, ∗ ◦ µ B ρ ⊕ ρ ′ , p our toute G - C ∗ -algèbre B , e qui termine la démonstration du lemme 2.21 .  Démonstr ation du lemme 2.22 . Soit ( E , T ) un représen tan t de α dans E G ( A, B ) . Alors i ∗ ρ ( j ρ ( E )) = E ⋊ ρ G, 30 MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO où E ⋊ ρ G est un ( A ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G, B ⋊ ρ G ) -bimo dule de Bana h, l'ation de A ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G étan t donnée par i ρ , et i ρ, ∗ ( j ρ ⊕ ρ ′ ( E )) > = ( E ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G ) > ⊗ π ^ B ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G ^ ( B ⋊ ρ G ) , i ρ, ∗ ( j ρ ⊕ ρ ′ ( E )) < = ^ ( B ⋊ ρ G ) ⊗ π ^ B ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G ( E ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G ) < . On onsidère l'appliation suiv an te, τ : C c ( G, E ) ⊗ C c ( G,B ) C c ( G, B ) → C c ( G, E ) x ⊗ b 7→ xb. On a alors, k τ ( x ⊗ b ) k E ⋊ ρ G ≤ k x k E ⋊ ρ G k b k B ⋊ ρ G , ≤ k x k E ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G k b k B ⋊ ρ G , et don τ dénit une appliation, ( E ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G ) ⊗ π ^ B ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G ^ B ⋊ ρ G → E ⋊ ρ G, que l'on note enore τ par abus de notation. Comme k τ ( x ⊗ b ) k E ⋊ ρ G ≤ k x ⊗ b k ( E ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G ) ⊗ π ^ B ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G ( ^ B ⋊ ρ G ) , l'appliation τ dénit un morphisme de B ⋊ ρ G -mo dules de Bana h à droite de norme inférieure ou égale à 1 . De même, il existe un morphisme de B ⋊ ρ G -mo dules de Bana h (à gau he) τ : ^ B ⋊ ρ G ⊗ π ^ B ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G ( E ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G ) → E ⋊ ρ G, de norme inférieure ou égale à 1 . On v a onstruire une homotopie en tre ( i ρ, ∗ ( j ρ ⊕ ρ ′ ( α )) et j ρ ( α ) en utili- san t les nes asso iés à es morphismes. Soit, C ( τ ) > = { ( h, x ) ∈ ( E ⋊ ρ G )[0 , 1] × i ρ, ∗ ( j ρ ⊕ ρ ′ ( E )) > | h (0) = τ ( x ) } , le ne asso ié à τ , et C ( τ ) < = { ( h, x ) ∈ ( E ⋊ ρ G )[0 , 1] × i ρ, ∗ ( j ρ ⊕ ρ ′ ( E )) < | h (0) = τ ( x ) } , le ne asso ié à τ . On p ose C ( τ ) := ( C ( τ ) < , C ( τ ) > ) , qui est un  A ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G, ( B ⋊ ρ G )[0 , 1]  -bimo dule de Bana h. Soit C ( τ , T ) ∈ L ( C ( τ )) , l'op érateur sur C ( τ ) déni par la form ule suiv an te C ( τ , T ) > ( h, e ⊗ b ) =  t 7→ ( T ⋊ ρ G )( h ( t )) ,  ( T ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G ) > e ⊗ b   , MORPHISME DE BA UM-CONNES TORDU 31 p our ( h, e ⊗ b ) ∈ C ( τ ) > et C ( τ , T ) < déni de façon analogue sur C ( τ ) > . On a alors le lemme suiv an t Lemme 2.23. L'élément ( C ( τ ) , C ( τ , T )) déni i-dessus est un élément de E ban  A ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G, ( B ⋊ ρ G )[0 , 1]  . Démonstr ation. On doit mon trer que p our tout a ∈ C c ( G, A ) et p our tout g ∈ G , les op érateurs, [ a, C ( τ , T )] , a (1 − ( C ( τ , T )) 2 ) et a ( g ( C ( τ , T )) − C ( τ , T )) son t des op érateurs ompats de C ( τ ) . Soit S = ( S g ) g ∈ G ∈ C c ( G, K ( E )) et soit b S ρ (resp. b S ρ ⊕ ρ ′ ) l'élémen t de L B ⋊ ρ G ( E ⋊ ρ G ) (resp. de L B ρ ⊕ ρ ′ ⋊ G ( E ρ ⊕ ρ ′ ⋊ G ) ) asso ié à S par la dénition 2.5 appliquée à la représen tation ρ (resp. ρ ⊕ ρ ′ ). On a alors une appliation ψ : C c ( G, K ( E )) → L ( C ( τ )) dénie par la form ule ψ ( S ) > ( h, e ⊗ b ) =  t 7→ b S > ρ ( h ( t )) , b S > ρ ⊕ ρ ′ ( e ) ⊗ b  , où S ∈ C c ( G, K ( E )) et ( h, e ⊗ b ) ∈ C ( τ ) > , et où ψ ( S ) < est déni sur C ( τ ) < de façon analogue. Lemme 2.24. L'appli ation ψ induit un morphisme d'algèbr es de Ba- nah de K ( E ) ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G dans L ( C ( τ )) , que l'on note ψ p ar abus de no- tation et dont l'image est  ontenue dans K ( C ( τ )) . A v an t de démon trer le lemme , remarquons que le lemme suiv an t implique le lemme 2.23 Lemme 2.25. L es op ér ateurs [ a, C ( τ , T )] , a (1 − ( C ( τ , T )) 2 ) et a ( g ( C ( τ , T )) − C ( τ , T )) app artiennent à l'image de ψ . Démonstr ation du lemme 2.25 . Si on p ose, p our tout a ∈ C c ( G, A ) , p our tout g ∈ G et p our tout g 1 ∈ G , S 1 ( g 1 ) := a ( g 1 )( g 1 ( T ) − T ) + [ a ( g 1 ) , T ]) , S 2 ( g 1 ) := a ( g 1 ) g 1 (1 − T 2 )) , et S 3 ( g 1 ) := a ( g 1 ) g 1 (( g T ) − T )) , de sorte que, b S 1 = [ a, T ⋊ ρ G ] , b S 2 = a (1 − ( T ⋊ ρ G ) 2 ) , et b S 3 = a ( g ( T ⋊ ρ G ) − T ⋊ ρ G ) , 32 MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO (v oir lemme 2.7 ), alors, par des aluls simples, on obtien t, ψ ( S 1 ) = [ a, C ( τ , T )] , ψ ( S 2 ) = a (1 − ( C ( τ , T )) 2 ) , et ψ ( S 3 ) = a ( g ( C ( τ , T )) − C ( τ , T )) .  Il est lair que les lemmes 2.5 et 2.25 impliquen t le lemme 2.23 ar p our tout a ∈ C c ( G, A ) et p our tout g ∈ G , les op érateurs [ a, C ( τ , T )] , a (1 − ( C ( τ , T )) 2 ) et a ( g ( C ( τ , T )) − C ( τ , T )) son t on ten us dans l'image de ψ qui, d'après le lemme 2.5, est on ten ue dans l'algèbre des op érateurs ompats de C ( τ ) . Cei implique don que ( C ( τ ) , C ( τ , T )) appartien t à E ban  A ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G, ( B ⋊ ρ G )[0 , 1]  , e qui termine la démonstration du lemme 2.23 .  Il est lair que ( C ( τ ) , C ( τ , T )) réalise alors une homotopie en tre i ∗ ρ ( j ρ ( α )) et i ρ, ∗ ( j ρ ⊕ ρ ′ ( α )) , et ei termine la démonstration du lemme 2.22 .  Démonstr ation du lemme 2.5. Soit ( h, e ⊗ b ) ∈ C c ( G, E ) × ( C c ( G, E ) ⊗ C c ( G, B )) . Alors, k ψ ( S ) > ( h, e ⊗ b ) k C ( τ ) > = max  sup t ∈ [0 , 1] k b S > ρ ( h ( t )) k E ⋊ ρ G , k b S > ρ ⊕ ρ ′ ( e ) ⊗ b k i ρ, ∗ ( j ρ ⊕ ρ ′ ( E )) >  , et don, k ψ ( S ) k L ( C ( τ )) ≤ max  k b S ρ k L ( E ⋊ ρ G ) , k b S ρ ⊕ ρ ′ k L ( E ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G )  , ≤ Z G k S g kk ( ρ ⊕ ρ ′ )( g ) k End(V ⊕ V ′ ) dg . L'appliation ψ dénit alors un morphisme d'algèbres de Bana h de l'algèbre K ( E ) ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G dans L ( C ( τ )) , ar k b S ρ ⊕ ρ ′ k L ( E ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G ) = k S k K ( E ) ⋊ ρ ⊕ ρ ′ G , (v oir la démonstration du lemme 2.8). On v a main tenan t mon trer que l'image de ψ est on ten ue dans l'algèbre des op érateurs ompats de C ( τ ) . Soit S = ( S g ) g ∈ G ∈ C c ( G, K ( E )) et soit ǫ > 0 . D'après le lemme 2.8, il existe n ∈ N et p our i = 1 , .., n , il existe des élémen ts y i ∈ C c ( G, E ) et ξ i ∈ C c ( G, E ) tels que, l'élémen t K = ( K g ) g ∈ G de C c ( G, K ( E )) dénit par la form ule, K g = Z G n X i =1 | y i ( g 1 ) ih g ( ξ i ( g − 1 1 g )) | d t, MORPHISME DE BA UM-CONNES TORDU 33 v érie l'inégalité, Z G k S g − K g k K ( E ) k ( ρ ⊕ ρ ′ )( g ) k End( V ⊕ V ′ ) dg < ǫ. Cei implique k ψ ( S ) − ψ ( K ) k L ( C ( τ )) ≤ Z G k S g − K g kk ( ρ ⊕ ρ ′ )( g ) k End( V ⊕ V ′ ) dg , ≤ ǫ. Mais, ψ ( K ) appartien t à K ( C ( τ )) , ar ψ ( K ) =  n X i =1 | t 7→ y i ih t 7→ ξ i | , n X i =1 | g 7→ y i ( g ) ⊗ 1 ih g 7→ 1 ⊗ ξ i ( g ) |  , = n X i =1     t 7→ y i , g 7→ y i ( g ) ⊗ 1  ED  t 7→ ξ i , g 7→ 1 ⊗ ξ i ( g )     , et don ψ ( S ) est appro  hé par des sommes nies d'op érateurs de rang 1 e qui implique que ψ ( S ) appartien t à K ( C ( τ )) .  3. Gr oupes admett ant un élément γ de Kasp ar o v Nous allons main tenan t mon trer que les morphismes de Baum- Connes tordus, maximal et réduit, son t des isomorphismes p our tout group e G admettan t un élémen t γ de Kasparo v égal à 1 dans K K G ( C , C ) . P our ei, nous allons d'ab ord mon trer que les morphismes tordus à o eien ts dans une algèbre propre son t toujours des isomor- phismes. 3.1. Co eien ts dans une algèbre propre. On rapp elle qu'une G - C ∗ -algèbre B est propre s'il existe un G -espae propre Z tel que B soit une C 0 ( Z ) - G - C ∗ -algèbre au sens de Kasparo v [Kas88 , 1.5℄ ('est-à-dire qu'il existe un morphisme Θ de C 0 ( Z ) dans le en tre de l'algèbre M ( B ) des m ultipliateurs de B , G -équiv arian t et tel que Θ( C 0 ( Z )) B = B ). P ar abus de notation, si B est une G - C ∗ -algèbre propre on iden tie C 0 ( Z ) à son image dans le en tre de M ( B ) . De façon équiv alen te, B est une G - C ∗ -algèbre propre si et seulemen t si, il existe un G -espae propre Z tel que B soit m unie d'une ation du group oïde Z ⋊ G . On ren v oie le leteur à [LG97 ℄ p our la dénition de l'ation d'un group oïde sur une C ∗ -algèbre. On rapp elle tout de même, que si Z est un G -espae, on note Z ⋊ G le group oïde don t l'ensem ble des unités est Z , l'ensem ble des è hes est le pro duit artésien Z × G et les appliations soure et but son t données, resp etiv emen t, par les appliations suiv an tes s : ( z , g ) 7→ g .z et r : ( z , g ) 7→ z . On note alors ( Z ⋊ G ) (2) := ( Z ⋊ G ) (1) × ( Z ⋊ G ) (0) ( Z ⋊ G ) (1) l'ensem ble des élémen ts omp osables de Z ⋊ G . 34 MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO Si B est une C 0 ( Z ) - G - C ∗ -algèbre, on note r ∗ ( B ) la C 0 ( Z ⋊ G ) - G - C ∗ - algèbre obten ue omme image réipro que de B par l'appliation r . On rapp elle aussi que si B est une G - C ∗ -algèbre propre, alors C ∗ ( G, B ) = C ∗ r ( G, B ) (f. [KS03, page 184℄, [HG04 , page 192℄). Nous allons mon trer le théo- rème suiv an t Théorème 3.1. Si B est une G - C ∗ -algèbr e pr opr e, alors µ B ρ est un isomorphisme. R emar que 3.2 . On remarque que si B est une G - C ∗ -algèbre propre, alors B ⋊ ρ G = B ⋊ ρ r G, ar C ∗ ( G, B ) = C ∗ r ( G, B ) , don le théorème 3.1 implique que le mor- phisme de Baum-Connes tordu réduit à o eien ts dans une algèbre propre est aussi un isomorphisme. Démonstr ation du thé or ème 3.1. On a le lemme suiv an t Lemme 3.3. Si B est une G - C ∗ -algèbr e pr opr e, les morphismes i ρ : B ⋊ ρ ⊕ 1 G G → B ⋊ ρ G et i 1 G : B ⋊ ρ ⊕ 1 G G → C ∗ ( G, B ) , où l'on note 1 G la r epr ésentation triviale de G , induisent des isomor- phismes en K -thé orie. Le lemme implique le théorème 3.1 . En eet, d'après le lemme 2.21, i 1 G , ∗ ◦ µ B ρ ⊕ 1 G = µ B , où µ B est un isomorphisme ar 'est le morphisme de Baum-Connes usuel à v aleurs dans une algèbre propre [CEM01 ℄. On en déduit que µ B ρ ⊕ 1 G est un isomorphisme. Comme d'autre part, i ρ, ∗ ◦ µ B ρ ⊕ 1 G = µ B ρ et que i ρ, ∗ est aussi un isomorphisme, on en déduit que le morphisme de Baum-Connes tordu par ρ à o eien ts dans une algèbre propre, µ B ρ , est un isomorphisme.  P our mon trer le lemme 3.1, on v a utiliser un résultat de Laorgue (f. [Laf02b , Lemme 1.7.8℄. On rapp elle qu'une sous-algèbre D d'une algèbre A est dite héréditaire dans A si D AD ⊂ D . P our nous, l'in térêt de ette notion est donnée par le lemme suiv an t démon tré dans [Laf02b, Lemme 1.7.10℄ Lemme 3.4. Si C est une algèbr e de Banah, B est une sous-algèbr e de Banah dense de C et s'il existe une sous-algèbr e dense de B qui est hér é ditair e dans C , alors B et C ont la même K -thé orie. De plus, Laorgue a mon tré le lemme suiv an t (f. [ Laf02b, Lemme 1.7.8℄) MORPHISME DE BA UM-CONNES TORDU 35 Lemme 3.5. Soit Z un G -esp a e pr opr e tel que Z ⋊ G agisse sur B et soient s, r : Z ⋊ G → Z les appli ations sour  e et but, r esp e tivement, de Z ⋊ G . Soit B c la sous-algèbr e de B formé e des éléments b de B tels que f b = b p our un  ertain f ∈ C c ( Z ) . A lors D = C c ( G, B c ) , l'algèbr e des se tions  ontinues à supp ort  omp at dans Z ⋊ G de r ∗ ( B ) , est une sous-algèbr e hér é ditair e de C ∗ ( G, B ) . Nous allons donner ii la démonstration de Laorgue a v e plus de détails par soui de ommo dité p our le leteur. Démonstr ation. On rapp elle que l'on note tout élémen t f de C c ( G, B ) par l'in tégrale formelle R G f ( g ) e g dg et que dg − 1 = ∆( g − 1 ) dg . Soien t f 1 , f 3 des élémen ts de C c ( G, B ) . L'appliation C c ( G, B ) → C c ( G, B ) f 2 7→ f 1 ∗ f 2 ∗ f 3 , se prolonge par on tin uité en une appliation de C ∗ r ( G, B ) dans l'es- pae des fontions f on tin ues sur G à v aleurs dans B qui v érien t la ondition suiv an te : il existe une onstan te C telle que p our tout g ∈ G , k f ( g ) k B ∆( g ) 1 2 < C . En eet, soit L 2 ( G, B ) m uni de la struture de B -mo dule hilb ertien donnée par la form ule : h f , f ′ i B = Z G f ( t ) ∗ f ′ ( t ) dt, p our tout f , f ′ ∈ L 2 ( G, B ) . On note tout élémen t de L 2 ( G, B ) par l'in- tégrale formelle R G e g f ( g ) dg de sorte que B agisse à droite sur L 2 ( G, B ) . A v e es on v en tions, l'appliation de C c ( G, B ) dans L 2 ( G, B ) en v oie R G f ( g ) e g dg dans R G e g f ( g ) dg , don il faut faire atten tion a v e les for- m ules. Si f = R G e g f ( g ) dg , on a f ∗ = R G f ( g ) ∗ e g − 1 dg et don ( f ∗ ∗ f ′ ) = ( Z G f ( g ) ∗ e g − 1 dg )( Z G e g f ′ ( g ) dg ) , = Z G × G f ( g ) ∗ tf ′ ( g t ) dg e t dt. Si on note 1 l'iden tité de G , ei implique que f ∗ ∗ f ′ (1) = h f , f ′ i B . Don, p our tout f , f ′ ∈ C c ( G, B ) et p our tout g ∈ G , k f ∗ f ′ ( g ) k B = k f ∗ ( f ′ e g − 1 )(1) k B , = kh f ∗ , ( f ′ e g − 1 ) i L 2 ( G,B ) k B , ≤ k f ∗ k L 2 ( G,B ) k f ′ e g − 1 k L 2 ( G,B ) . 36 MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO Or, k f ′ e g − 1 k L 2 ( G,B ) =    Z G f ′ ( tg ) ∗ f ′ ( tg ) dt    1 2 B , =    Z G f ′ ( t ) ∗ f ( t )∆( g − 1 ) dt    1 2 B , ≤ k f ′ k L 2 ( G,B ) ∆( g ) − 1 2 . Cei implique que, p our f 1 , f 3 , f 2 ∈ C c ( G, B ) et g ∈ G , on a les inéga- lités suiv an tes k f 1 ∗ f 2 ∗ f 3 ( g ) k B ≤ ∆( g ) − 1 2 k f ∗ 1 k L 2 ( G,B ) k f 2 ∗ f 3 k L 2 ( G,B ) , ≤ ∆( g ) − 1 2 k f ∗ 1 k L 2 ( G,B ) k λ ( G,B ) ( f 2 ) f 3 k L 2 ( G,B ) , ≤ ∆( g ) − 1 2 k f ∗ 1 k L 2 ( G,B ) k f 2 k C ∗ r ( G,B ) k f 3 k L 2 ( G,B ) , où on note λ G,B la représen tation régulière de C ∗ r ( G, B ) dans L (L 2 ( G, B )) de sorte que k λ ( G,B ) ( f 2 ) k L ( L 2 ( G,B )) = k f 2 k C ∗ r ( G,B ) . On a don k f 1 ∗ f 2 ∗ f 3 ( g ) k B ∆( g ) 1 2 ≤ k f ∗ 1 k L 2 ( G,B ) k f 2 k C ∗ r ( G,B ) k f 3 k L 2 ( G,B ) , e qu'on v oulait démon trer. Main tenan t, si f 1 , f 3 appartiennen t à C c ( G, B c ) , e son t des se- tions on tin ues à supp ort ompat sur Z ⋊ G de r ∗ ( B ) , vu omme  hamp on tin u d'algèbres au-dessus de Z ⋊ G ; don r (supp Z ⋊ G ( f 1 )) et s (supp Z ⋊ G ( f 3 )) son t des sous-ensem bles ompats de Z ⋊ G . De plus, omme Z est un espae G -propre, l'appliation ( r , s ) : Z ⋊ G → Z × Z , est propre et don le sous-ensem ble de Z ⋊ G K := { ( z , h ) | r ( z , h ) ∈ r (supp Z ⋊ G ( f 1 )) , s ( z , h ) ∈ s (supp Z ⋊ G ( f 3 )) } est ompat. Soit φ l'appliation qui à deux élémen ts omp osables de Z ⋊ G asso ie leur omp osée : φ : ( Z ⋊ G ) (2) → ( Z ⋊ G ) (1) { (( z ′ , h ) , ( z , g )) | z ′ = g z } 7→ ( z , hg ) . Si on dénit un pro duit ∗ en tre les parties de Z ⋊ G de la manière suiv an te : p our X , Y ⊂ Z ⋊ G , X ∗ Y := φ ( X × ( Z ⋊ G ) (0) Y ) , alors le supp ort du pro duit d'élémen ts de C c ( G, B ) est on ten ue dans le pro duit des supp orts. On a alors que, p our f 2 ∈ C c ( G, B ) , supp Z ⋊ G ( f 1 ∗ f 2 ∗ f 3 ) ⊂ supp Z ⋊ G ( f 1 ) ∗ supp Z ⋊ G ( f 2 ) ∗ supp Z ⋊ G ( f 3 ) . MORPHISME DE BA UM-CONNES TORDU 37 Or, supp Z ⋊ G ( f 1 ) ∗ supp Z ⋊ G ( f 2 ) ∗ supp Z ⋊ G ( f 3 ) ⊂ K , ar : supp Z ⋊ G ( f 1 ) ∗ supp Z ⋊ G ( f 2 ) ∗ supp Z ⋊ G ( f 3 ) = { ( z , g ) ∈ Z ⋊ G | g = g 1 g 2 g 3 a v e g 1 , g 2 , g 3 ∈ G , ( z , g 3 ) ∈ supp Z ⋊ G ( f 3 ) , ( g 3 z , g 2 ) ∈ supp Z ⋊ G ( f 2 ) , ( g 2 g 3 z , g 1 ) ∈ supp Z ⋊ G ( f 1 ) } . don le supp ort de f 1 ∗ f 2 ∗ f 3 est inlus dans un sous-ensem ble ompat de Z ⋊ G qui ne dép end que de f 1 et f 3 . On en déduit que p our f 1 , f 3 ∈ C c ( G, B c ) l'appliation f 2 7→ f 1 ∗ f 2 ∗ f 3 a p our image C c ( G, B c ) , ar sur le supp ort de f 1 ∗ f 2 ∗ f 3 la fontion g 7→ ∆( g ) est alors b ornée. Cei implique que C c ( G, B c ) est une sous-algèbre héréditaire de C ∗ r ( G, B ) . Comme, de plus, C ∗ r ( G, B ) est égal à C ∗ ( G, B ) ar B est propre, on en déduit que C c ( G, B c ) est une algèbre héréditaire de C ∗ ( G, B ) .  Démonstr ation du lemme 3.1. En gardan t les notations du lemme prééden t, l'algèbre D est une sous-algèbre dense de B ⋊ ρ ⊕ 1 G G ar B c est dense dans B = C 0 ( Z ) B . De plus, omme D est une sous-algèbre héréditaire de C ∗ ( G, B ) , alors D ⊗ End( V ) est héréditaire dans C ∗ ( G, B ) ⊗ End( V ) et omme D ⊗ End( V ) ∩ B ⋊ ρ G = D alors D est une sous-algèbre héréditaire de B ⋊ ρ G . En appliquan t les lemmes [Laf02b , Lemme 1.7.9 et Lemme 1.7.10℄, on obtien t alors que i ρ, ∗ : K ( B ⋊ ρ ⊕ 1 G G ) → K ( B ⋊ ρ G ) , et i 1 G , ∗ : K ( B ⋊ ρ ⊕ 1 G G ) → K ( C ∗ ( G, B )) son t des isomorphismes.  R emar que 3.6 . D'après le lemme prééden t, si B est une G - C ∗ -algèbre propre, l'appliation i ρ, ∗ ◦ i − 1 1 G , ∗ de K ( C ∗ ( G, B )) dans K ( B ⋊ ρ G ) est un isomorphisme p our tout group e lo alemen t ompat. 3.2. Élémen t γ de Kasparo v. On v a main tenan t utiliser le résultat obten u p our les algèbres propres p our mon trer que le morphisme de Baum-Connes tordu par n'imp orte quelle représen tation de dimension nie de G et à o eien t dans une G - C ∗ -algèbre quelonque, est un isomorphisme p our tout group e lo alemen t ompat G qui admet un élémen t γ de Kasparo v égal à 1 dans K K G ( C , C ) . Le résultat est donné par le théorème suiv an t Théorème 3.7. Soit G un gr oup e lo  alement  omp at tel que il existe une G - C ∗ -algèbr e pr opr e A , et des éléments η ∈ K K G ( C , A ) et d ∈ K K G ( A, C ) tels que, si on p ose γ := η ⊗ A d ∈ K K G ( C , C ) on a γ = 1 . Soit B une G - C ∗ -algèbr e. A lors, p our toute r epr ésentation ρ de dimen- sion nie de G , µ B ρ et µ B ρ,r sont des isomorphismes. 38 MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO Démonstr ation. Si A, B , D son t des G - C ∗ -algèbres, on note σ D le mor- phisme de K K G ( A, B ) dans K K G ( A ⊗ D, B ⊗ D ) déni dans [Kas88℄. Soien t A , η et d v érian t les h yp othèses du théorème. L'injetivité et la surjetivité déoulen t de la omm utativité du diagramme suiv an t (3.1) K top ( G, B ) µ B ρ   σ B ( η ) ∗ / / K top ( G, A ⊗ B ) σ B ( d ) ∗ / / µ B ⊗ A ρ   K top ( G, B ) µ B ρ   K ( B ⋊ ρ G ) Σ( j ρ ( σ B ( η ))) / / K ( A ⊗ B ⋊ ρ G ) Σ( j ρ ( σ B ( d ))) / / K ( B ⋊ ρ G ) . On v a démon trer d'ab ord la surjetivité. Supp osons qu'il existe γ ∈ K K G ( C , C ) v érian t les h yp othèses et tel que γ = 1 dans K K G ( C , C ) . Le fait que γ soit égal à 1 implique que Σ( j ρ ( σ B ( γ ))) = Id K ( B ⋊ ρ G ) . Or, γ = η ⊗ A d , don σ B ( γ ) = σ B ( η ) ⊗ A σ B ( d ) et don Σ( j ρ ( σ B ( γ ))) = Σ( j ρ ( σ B ( η ) ⊗ A ⊗ B σ B ( d ))) , = Σ( j ρ ( σ B ( d ))) ◦ Σ( j ρ ( σ B ( η ))) , e qui implique que Σ( j ρ ( σ B ( d ))) est surjetif. D'autre part, Σ( j ρ ( σ B ( d ))) ◦ µ A ⊗ B ρ = µ B ρ ◦ σ B ( d ) ∗ , et omme A ⊗ B est une algèbre propre ar A est propre, µ A ⊗ B ρ est un isomorphisme et ei implique que µ B ρ est surjetif. Mon trons main tenan t l'injetivité. Soit x ∈ K top ( G, B ) tel que µ B ρ ( x ) = 0 . On a alors µ A ⊗ B ρ ( σ B ( η ) ∗ ( x )) = Σ( j ρ ( σ B ( η )))( µ B ρ ( x )) , = 0 , e qui implique que σ B ( η ) ∗ ( x ) = 0 ar µ A ⊗ B ρ est un isomorphisme. Mais σ B ( γ ) = σ B ( η ) ⊗ A ⊗ B σ B ( d ) , don σ B ( γ ) ∗ ( x ) = 0 . De plus, le fait que γ = 1 implique que σ B ( γ ) = 1 et don que σ B ( γ ) ∗ = Id K top ( G,B ) . Cei implique que x = 0 . Les remarques 2.20 et 3.2 impliquen t que la même démonstration est v alable dans le as du morphisme tordu réduit.  Plus généralemen t, le diagramme (3.1 ) p ermet aussi de mon trer que l'existene d'un élémen t γ de Kasparo v implique l'injetivité du mor- phisme de Baum-Connes tordu. C'est le théorème suiv an t Théorème 3.8. Supp osons que p our toute p artie G - omp ate Y de E G , il existe une G - C ∗ -algèbr e pr opr e A et des éléments η ∈ MORPHISME DE BA UM-CONNES TORDU 39 K K G ( C , A ) et d ∈ K K G ( A, C ) tels que γ = η ⊗ A d ∈ K K G ( C , C ) vérie p ∗ ( γ ) = 1 dans K K G ⋉ Y ( C 0 ( Y ) , C 0 ( Y )) , où p est la pr oje tion de Y vers le p oint. A lors, p our toute r epr ésentation ρ et p our toute G - C ∗ -algèbr e B , les morphismes µ B ρ et µ B ρ,r sont sont inje tifs. Démonstr ation. Soit x un élémen t de K top ( G ) tel que µ B ρ ( x ) = 0 . Soit Y une partie G -ompate de E G telle que x ∈ K K G ( C 0 ( Y ) , B ) et soien t A , η , d et γ v érian t les h yp othèses du théorème. On v a mon trer que x = 0 . La omm utativité du diagramme ( 3.1 ) implique que σ B ( η ) ∗ ( x ) = 0 ar µ A ⊗ B ρ ( σ B ( η ) ∗ ( x )) = Σ( j ρ ( σ B ( η )))( µ B ρ ( x )) , = 0 , et µ A ⊗ B ρ est un isomorphisme (ar A ⊗ B est une algèbre propre). Mais σ B ( η ) ∗ ( x ) = 0 implique que σ B ( γ ) ∗ ( x ) = 0 , ar σ B ( γ ) = σ B ( η ) ⊗ A ⊗ B σ B ( d ) . D'autre part, l'égalité p ∗ ( γ ) = 1 dans K K G ⋉ Y ( C 0 ( Y ) , C 0 ( Y )) implique que σ C 0 ( Y ) ( γ ) ∗ x = x . Or, omme γ ∈ K K G ( C , C ) , on a σ C 0 ( Y ) ( γ ) ⊗ C 0 ( Y ) x = x ⊗ B σ B ( γ ) . Cei implique que σ B ( γ ) ∗ x = x et don que x = 0 . La même démons- tration est v alable dans le as du morphisme tordu réduit.  Référenes [BCH94℄ P . Baum, A. Connes, and N. Higson, Classifying sp a e for pr op er ations and K -the ory of gr oup C ∗ -algebr as , C ∗ -algebras : 19431993 (San An to- nio, TX, 1993), Con temp. Math., v ol. 167, Amer. Math. So ., Pro videne, RI, 1994, pp. 240291. [Bos90℄ J. B. Bost, Prinip e d'Oka, K -thé orie et systèmes dynamiques non  om- mutatifs , In v en t. Math. 101 (1990), 261333. [CEM01℄ J. Chab ert, S. E h terho, and R. Mey er, Deux r emar ques sur l'appli ation de Baum-Connes , C. R. A ad. Si. P aris Sér. I Math. 332 (2001), no. 7, 607610. [Cha03℄ I. Chatterji, Pr op erty (RD) for  o  omp at latti es in a nite pr o dut of r ank one Lie gr oups with some r ank two Lie gr oups , Geom. Dediata 96 (2003), 161177. [GA07a℄ M. P . Gomez-Apariio, Pr opriéte ( T ) tor due et morphisme de Baum- Connes tor dus p ar une r epr ésentation non-unitair e , Ph.D. thesis, Univ er- sité de P aris VI I, déem bre 2007. [GA07b℄ , Sur la pr opriété ( T ) tor due p ar un pr o duit tensoriel , J. Lie Theory 17 (2007), 505524. [GA08℄ , R epr ésentations non-unitair es, morphisme de Baum-Connes tor du et  omplétions in onditionnel les , preprin t, jan uary 2008. [HG04℄ N. Higson and E. Guen tner, Gr oup C ∗ -algebr as and K -the ory , Nonom- m utativ e geometry , Leture Notes in Math., v ol. 1831, Springer, Berlin, 2004, pp. 137251. 40 MARIA P A ULA GOMEZ-AP ARICIO [HK01℄ N. Higson and G. G. Kasparo v, E -the ory and K K -the ory for gr oups whih at pr op erly and isometri al ly on Hilb ert sp a e , In v en t. Math. 144 (2001), no. 1, 2374. [HLS02℄ N. Higson, V. Laorgue, and G. Sk andalis, Counter examples to the Baum- Connes  onje tur e , Geom. F unt. Anal. 12 (2002), no. 2, 330354. [JK95℄ P . Julg and G. Kasparo v, Op er ator K -the ory for the gr oup S U ( n, 1) , J. Reine Angew. Math. 463 (1995), 99152 (English). [Jul97℄ P . Julg, R emarks on the Baum-Connes  onje tur e and Kazhdan 's pr op erty T , Op erator algebras and their appliations (W aterlo o, ON, 1994/1995), Fields Inst. Comm un., v ol. 13, Amer. Math. So ., Pro videne, RI, 1997, pp. 145153. [Kas88℄ G. G. Kasparo v, Equivariant K K -the ory and the Novikov  onje tur e , In v en t. Math. 91 (1988), no. 1, 147201. [Kaz67℄ D. A. Kazhdan, On the  onne tion of the dual sp a e of a gr oup with the strutur e of its lose d sub gr oups , F unk ional. Anal. i Priloºen. 1 (1967), 7174. [KS91℄ G. G. Kasparo v and G. Sk andalis, Gr oups ating on buildings, op er ator K -the ory, and Novikov's  onje tur e , K -Theory 4 (1991), no. 4, 303337. [KS03℄ , Gr oups ating pr op erly on b oli sp a es and the Novikov  onje - tur e , Ann. of Math. (2) 158 (2003), no. 1, 165206. [Laf00℄ V. Laorgue, A pr o of of pr op erty (RD) for  o  omp at latti es of SL(3 , R ) and SL(3 , C ) , J. Lie Theory 10 (2000), no. 2, 255267. [Laf02a℄ , Banah K K -the ory and the Baum-Connes  onje tur e , Pro ee- dings of the In ternational Congress of Mathematiians, V ol. I I (Beijing, 2002) (Beijing), Higher Ed. Press, 2002, pp. 795812. [Laf02b℄ , K -thé orie bivariante p our les algèbr es de Banah et  onje tur e de Baum-Connes , In v en t. Math. 149 (2002), no. 1, 195. [LG97℄ P . Y. Le Gall, Thé orie de Kasp ar ov é quivariante et gr oup oïdes , C. R. A ad. Si. P aris Sér. I Math. 324 (1997), no. 6, 695698. [P ar06℄ W. P ara viini, K K -the ory for Banah algebr as and pr op er gr oup oids , Ph.D. thesis, no v em b er 2006. [Sk a91℄ G. Sk andalis, Kasp ar ov's bivariant K -the ory and appli ations , Exp o. Math. 9 (1991), no. 3, 193250. [T u99℄ J. L. T u, L a  onje tur e de Novikov p our les feuil letages hyp erb oliques , K -Theory 16 (1999), no. 2, 129184. [T za00℄ K. T zanev, C ∗ -algèbr es de He ke et K -thé orie , Ph.D. thesis, Univ ersité de P aris VI I, 2000. Maria P a ula Gomez-Ap ariio : Institut de Ma théma tiques de Jus- sieu, Pr ojet d'algèbres d'Opéra teurs et représent a tions, 175 r ue du hev aleret, 75013 P aris, Frane. E-mail addr ess : gomezmath.juss ieu .f r