정점 최대 차수 그래프의 중앙 고유값 상한과 하한

본 논문은 그래프 스펙트럼 이론에서 상대적으로 연구가 적었던 중앙(중위) 고유값에 대한 새로운 경계값을 제시한다. 먼저 서론에서 중앙 고유값 λ_h, λ_ℓ을 정의하고, 이전 연구인 Fowler‑Pisanski, Mohar, Acharya‑Jeter‑Jiang 등의 결과를 정리한다. Mohar는 모든 최대 차수 d 그래프에 대해 |λ_h|,|λ_ℓ|≤√d 이라는 상한을 보였으며, 이를 √(d‑1) 으로 개선할 수 있는지 질문하였다. 제2장에서는 Lemma 2.1을 통해 그래프의 고유값 순간을 트레이스와 연결한다. 구체적으로 ∑λ_i=0, ∑λ_i^2=dn, ∑λ_i^3≥0(삼각형이 없으면 =0), ∑λ_i^4≥n·√(2d^2‑d)라는 네 가지 기본 부등식을 얻는다. 이 부등식들은 이후 다항식 기대값 계산의 기반이 된다. 제1절에서는 Theorem 1.1을 증명한다. ε₀=√(d‑1)라 두고, 매직 다항식 f(x)=(α‑x)(x+ε₀)^2(x+d) (α는 f(ε₀)=f(d) 조건으로 결정)를 정의한다. f는