반복 카드가 있는 k 사이클 셔플의 급격한 혼합 현상과 한계 프로파일

본 논문은 “k‑사이클 셔플”이라는 고전적인 대칭군 위의 무작위 행보를, 각 카드 종류마다 l개의 동일 복제본이 존재하는 상황으로 일반화한다. 전체 카드 수를 n=ml 로 두고, 동일 복제본을 구분하지 않는 동치류 공간 ∼_l \ S_n 을 정의한다. 이 공간은 S_n 의 부분군 H_l = S_l × … × S_l (m번) 로부터의 좌코셋이며, 목표는 ∼_l \ P_{n,k}^{*t} 가 균등분포 ∼_l \ U_{S_n} 로 수렴하는 시점과 그 제한 프로파일을 찾는 것이다. 1. **문제 설정 및 주요 정의** - k‑사이클 셔플 P_{n,k} 은 (i₁…i_k) 형태의 순열을 확률 k/(n·(n‑1)…(n‑k+1)) 로 선택한다. - t 번 합성 P_{n,k}^{*t} 를 통해 마코프 체인을 만든다. k 가 짝수·홀수에 따라 행렬이 교대군 A_n 혹은 그 보완군 A_n^c 에 속한다는 부호 제약이 있다. - 좌코셋 ∼_l \ P_{n,k}^{*t} 은 위 부호 제약을 무시하고, 오직 고정점 통계만을 남긴다. 2. **보조 측도 ν_{t,n,k} 의 도입** - Jain‑Sawhney(2024)의 k=2 경우를 일반 k 로 확장한 보조 측도 ν_{t,n,k} 를 정의한다. - 단계: (a) 포아송(γ_t) 로부터 M_t 를 샘플링, (b) 크기 M_t 인 무작위 부분집합 S_t ⊂