비정상 평균 시계열을 위한 차분 기반 고차원 장기공분산 행렬 추정

본 논문은 평균이 시간에 따라 변동하는 고차원 시계열의 장기공분산 행렬(V = Σ_{k∈ℤ} Γ_k) 추정 문제를 다룬다. 전통적인 HAC(Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent) 추정기는 평균을 전역적으로 중심화한다는 전제 하에 편향이 발생할 수 있는데, 특히 트렌드, 급격한 변점, 복합적인 비정상 평균 구조가 존재할 경우 심각한 오차를 초래한다. 이러한 문제를 해결하기 위해 저자들은 차분 기반(initial) 추정량을 도입한다. 차분 연산은 D_t = Σ_{j=0}^{m_n} d_{n,j} X_{t - j h_n} 로 정의되며, 차분 계수 d_{n,j}는 Σ_{j=0}^{m_n} d_{n,j}=0, Σ_{j=0}^{m_n} j d_{n,j}=0, Σ_{j=0}^{m_n} j^2 d_{n,j}=1 을 만족하도록 정규화된다. 차분을 적용하면 평균 μ_t 에 대한 선형 결합 M_t와 잡음 Z_t에 대한 차분 U_t가 분리된다(M_t = Σ d_{n,j} μ_{t - j h_n}, U_t = Σ d_{n,j} Z_{t - j h_n}). 차분 기반 샘플 자기공분산 행렬 Γ̂_{D,k} = (1/n) Σ_{t=m_n h_n + |k| +1}^{n} D_t D_{t-|k|}^⊤ 를 정의하고, 짝수 커널 K와 밴드위스 ℓ_n을 이용해 장기공분산 초기 추정량 𝑉̂_DB = Σ_{|k|<ℓ_n} K(k/ℓ_n) Γ̂_{D,k} 를 얻는다. 이때 평균에 의한 편향은 B_{μ,n} = (1/n) Σ M_t M_t^⊤ 와 잔차 R_{μ,n} = 𝑉̂_DB - 𝑉̂_or - B_{μ,n} 로 명시적으로 분리된다. 𝑉̂_or는 잡음 차분 U_t만을 사용한 ‘oracle’ 추정량이며, 기존 고차원 이론에서 요구되는 최대노름 편향 및 Bernstein‑type 집중 불평등을 만족한다는 가정(Assumption 2.2, 2.3)을 채택한다. 주요 가정은 다음과 같다. (i) 커널 K는 짝수, 유계이며 K(0)=1, |1-K(x)| ≤ C_K |x|^{q_0} (q_0>0). (ii) 차분 차수 m_n과 간격 h_n은 m_n h_n = o(n)이며, ℓ_n →∞, ℓ_n = o(n). (iii) 평균 편향을 제어하는 B_{μ,n}와 R_{μ,n}의 최대노름이 각각 ‖B_{μ,n}‖_{max}와 r_{μ,n}=O_p(·) 로 제한된다. 이러한 가정 하에 Theorem 2.1은 𝑉̂_DB - V 의 최대노름 수렴률을 a_n = ‖B_{μ,n}‖_{max} + r_{μ,n} + ℓ_n^{-q_0} + (ℓ_n + m_n h_n)√{log p_n / n} 로 정의하고, ‖𝑉̂_DB - V‖_{max}=O_p(a_n) 를 증명한다. 평균 편향이 무시될 정도로 작다면, ℓ_n을 ℓ_n≈(n/ log p_n)^{1/(2q_0+1)} 로 선택해 ℓ_n^{-q_0}와 (ℓ_n log p_n)/n 의 균형을 맞출 수 있다. 이 경우 a_n≈(log p_n / n)^{q_0/(2q_0+1)} 가 된다. 고차원 상황에서는 V가 희소(sparse)하다는 추가 가정이 필요하다. 저자는 약한 행 sparsity(α∈