종양 성장 위상장 모델의 초탄성 화학 퍼텐셜 제어 최적화

본 논문은 종양 성장 모델을 위상장(Cahn–Hilliard) 방정식과 영양 물질 확산 방정식으로 구성하고, 화학 퍼텐셜 μ에 대한 초탄성(하이퍼볼릭) 이완 항 α∂ₜₜμ를 도입함으로써 기존 파라볼릭 모델을 일반화한다. 모델은 다음과 같은 세 개의 연쇄 방정식으로 기술된다. 첫 번째 방정식은 μ와 ϕ 사이의 연동을 나타내며, α∂ₜₜμ 항이 μ의 관성 효과를 반영한다. 두 번째 방정식은 위상 변수 ϕ의 진화에 대한 비선형 Cahn–Hilliard 형태이며, F′(ϕ) 항은 이중우물 포텐셜의 미분으로, 종양 세포와 정상 조직 사이의 상호 전이를 유도한다. 세 번째 방정식은 영양 물질 σ의 확산과 종양에 의한 소모를 기술한다. 제어 변수 u₁은 세포 독성 약물 투여, u₂는 영양 공급을 의미하며, 각각 위상 방정식과 영양 방정식에 분포형으로 작용한다. 포텐셜 F는 두 가지 경우를 다룬다. (i) 정규형 F_reg(r)=¼(1–r²)²는 전 구간에 C³ 연속성을 가지고, 물리적 제한이 없으며, 수학적으로는 모든 실수 r에 대해 정의된다. (ii) 로그형 F_log(r)은 (–1,1) 구간에서 정의되고, 경계에서 무한히 발산한다. 이는 ϕ가 물리적으로 허용된 구간 (–1,1) 안에 머물도록 강제한다. 로그형 포텐셜을 다루기 위해서는 “균일 분리 조건”(uniform separation)이 필요하며, 이는 ϕ가 일정한 거리 r_* > –1, r^* < 1 사이에 머무름을 보장한다. 이를 위해서는 제어 u₁에 대한 추가 정규성(L^∞∩L²(0,T;V))이 요구된다. 수학적 설정은 Sobolev 공간 H=L²(Ω), V=H¹(Ω), W={v∈H²(Ω):∂ₙv=0} 등을 이용한다. 정의된 해는 μ∈H²(0,T;V*)∩W¹,∞(0,T;H)∩L^∞(0,T;V), ϕ∈W¹,∞(0,T;H)∩H¹(0,T;V)∩L^∞(0,T;W)∩C⁰(Q), σ∈H¹(0,T;H)∩C⁰(