그래프에서의 이산 가우시안 자유장과 하다마르 변분 공식

논문은 먼저 가중 그래프 \(\Gamma=(V,E)\)와 그 위에 정의된 전도도 \(c(x,y)>0\)를 소개하고, 정점 집합 \(U\subset V\)에 대한 이산 Sobolev 공간 \(H^1_0(U)\)와 \(\ell^2(U)\)를 정의한다. 경계 연산자 \(d\)와 그 수반 \(d^*\)를 이용해 라플라시안 \(\Delta_U = d^* d\)와 그린 함수 \(G_U\)를 도입하고, 정규화된 그린 연산자 \(\tilde G_U\)가 자기수반이며 \(\Delta_U \tilde G_U = I\)임을 보인다. 다음으로 “이산 foliation”이라는 개념을 정의한다. 이는 서로 겹치지 않는 서브그래프 \(\{\gamma_n\}_{n\ge0}\)들의 연속적인 합으로 전체 그래프를 채우는 구조이며, 각 레이어는 인접 레이어와만 인접하도록 설계된다. 이를 통해 성장 클러스터 \(\Gamma_n = \bigcup_{k=0}^n \gamma_k\)를 정의하고, 각 단계마다 라플라시안 \(\Delta_n\), 그린 함수 \(G_n\), 포아송 커널 \(P_{n}\) 등을 정의한다. 핵심 기술은 정리 4.2에서 제시된 이산 하다마르 변분 공식이다. 서브그래프 \(U\)에 한 정점 \(x\)가 추가될 때, 그린 함수의 차이는 \