단기 ATM 콜옵션 가격과 변동성의 새로운 지수 레비 모델

본 논문은 지수 레비 모델 S_t=S_0 e^{X_t}에서 로그수익 X_t가 α‑안정법(α∈(1,2))의 작은 시간 영역에 속한다는 가정 하에, 만기까지 남은 시간이 짧아질 때 ATM(At‑the‑Money) 콜옵션 가격과 내재 변동성의 1차 비대칭적 근사식을 체계적으로 전개한다. 1. **문제 설정 및 배경** - 전통적인 블랙‑숄즈 모델은 로그수익이 정규분포를 따르지만, 실제 시장에서는 급격한 점프와 비대칭적인 꼬리 현상이 관측된다. 이를 반영하기 위해 레비 과정을 로그수익으로 사용하는 지수 레비 모델이 널리 연구되어 왔다. - 기존 연구에서는 작은 만기에서 옵션 가격이 어떻게 스케일링되는지, 특히 점프 강도와 브라운 성분의 상호작용이 어떤 영향을 미치는지를 조사했지만, 대부분은 특정 레비 분포(CGMY, tempered‑stable 등)에 한정되었으며, 일반적인 정규변동성(RV) 가정 하에서는 충분히 일반화되지 않았다. 2. **주요 가정** - 레비 측도 ν가 원점 근처에서 ν(dx)≈|x|^{-1-α} ξ(x)dx 형태이며, ξ는 느리게 변하는 함수 ℓ와 결합된 정규변동성(RV) 특성을 가진다. 즉, ν∈RV_0^{-α}. - 지수 모멘트 조건 ∫_{|y|>1} e^{y} ν(dy)<∞ 를 만족해 위험중립 측도 하에서 S_t의 기대값이 유한하도록 한다. - 중심화 상수 \bar μ = sup_{0<η≤1}|μ_η| 가 유한하며, 이는 작은 점프들의 평균 기여가 제한된다는 의미이다. 3. **Share Measure 변환** - Esscher 변환 파라미터 θ=1을 적용해 dP^*/dP|_{F_t}=e^{X_t} 로 정의되는 share measure P^*를 도입한다. 이는 ATM 콜가격을 c(t,0)=S_0^{-1}E