두 표본 베이지안 비모수 가설 검정: 폴리아 트리 기반 베이즈 팩터

본 논문은 두 독립 표본 y^{(1)} 와 y^{(2)} 가 동일한 분포 F^{(1)}=F^{(2)} 인지 여부를 베이지안 비모수 관점에서 검정하는 새로운 프레임워크를 제시한다. 핵심 아이디어는 폴리아 트리(Pólya tree) 사전을 이용해 미지의 분포 F 를 확률 측정으로 모델링하고, 이를 통해 두 가설 H₀와 H₁에 대한 주변우도를 폐쇄형으로 계산함으로써 베이즈 팩터와 사후 확률 Pr(H₀|data) 를 직접 얻는 것이다. 1. **폴리아 트리 사전 정의** - Ω를 이진 분할하여 무한히 세분화된 파티션 {B_{ε}} 를 만든다. - 각 분할점 j 에 대해 베타분포 θ_j ∼ Beta(α_{j0},α_{j1}) 를 사전으로 두고, 트리를 따라 내려가는 확률은 θ_j 와 1−θ_j 의 곱으로 정의된다. - 파라미터 α_{j0}=α_{j1}=c·m² (레벨 m) 를 사용해 연속성을 보장한다(즉, c>0 이면 F 는 거의 확실히 연속). 2. **공액성 및 주변우도** - 관측 데이터가 주어지면 각 노드 j 에 대한 관측 수 n_{j0}, n_{j1} 을 세어 사후 베타 파라미터 α_{j0}+n_{j0}, α_{j1}+n_{j1} 을 얻는다. - 베타‑이항 결합을 이용해 전체 주변우도는 \