수정 비선형 SIR 모델의 수치 근사와 라플라스아도미안 분해법

본 논문은 컴퓨터 바이러스 전파를 수학적으로 모델링하기 위해 고전적인 SIR(감수성‑감염‑회복) 모델을 비선형 형태로 수정하고, 이를 두 가지 반분석적 수치 해법인 차분변환법(DTM)과 라플라스‑아도미안 분해법(LADM)으로 풀어낸다. 서론에서는 컴퓨터 바이러스의 사회적·경제적 위험성을 강조하고, 기존 연구에서 사용된 다양한 수리 모델과 해법(위치법, 동차동분해법, 변분법 등)을 간략히 소개한다. 이어서 수정된 SIR 시스템을 식(1)로 제시하고, 파라미터와 초기조건을 표 1에 정리한다. 여기서 λ는 감염 전파율, ε는 회복율, d는 네트워크 탈퇴율이며, 외부 감염률 f₁,f₂,f₃는 모두 0으로 설정하였다. 차분변환법 섹션에서는 함수 f(t)의 k차 미분을 1/k! · f^{(k)}(t₀) 형태로 정의하고, 변환 및 역변환 식(3)–(5)를 제시한다. 표 2에 주요 연산 규칙을 나열하고, 비선형 항 λS·I에 대한 컨볼루션 형태 전개를 설명한다. 재귀식(6)을 통해 Sₖ₊₁, Iₖ₊₁, Rₖ₊₁을 차수별로 구하고, 최종적으로 다항식 형태의 근사 해(7)를 얻는다. 논문에서는 n=5,10,15에 대한 구체적인 계수를 제시하여, 각 차수에서의 근사 정확도를 확인한다. 라플라스‑아도미안 분해법 섹션에서는 먼저 라플라스 변환을 적용해 미분 연산을 대수식으로 변환한다(식 8–9). 비선형 항 λS·I는 아도미안 다항식 Aₖ로 전개하고, A₀, A₁, … 를 순차적으로 정의한다(식 12). 이후 라플라스 역변환을 통해 각 차수의 해 Sⱼ(t), Iⱼ(t), Rⱼ(t)를 구하고, 이를 누적합(10)으로 전체 근사 해를 만든다. 구체적인 전개 결과는 S₀=20, I₀=15, R₀=10에서 시작해 차수 j 까지의 식을 제시하고, n=10까지의 전체 해를 DTM과 동일한 형태로 정리한다. 수치 실험에서는 DTM과 LADM으로 얻은 근사 해를 HATM(동차동분해법)과 비교한다. 잔차 오차 정의식(19)를 이용해 S, I, R 각각에 대한 오차 함수를 계산하고, 표 3~5에 t=0,0.2,…,0.8 구간에서의 오차값을 제시한다. 결과는 LADM이 10⁻¹⁶ 수준의 초소형 오차를 보이며, DTM은 10⁻⁸~10⁻⁶, HATM은 10⁻⁸~10⁻⁷ 수준으로 나타난다. 그래프(Fig. 1‑3)에서도 LADM이 가장 낮은 오차 곡선을 그린다. 위상 궤적 분석에서는 10차 근사 해를 이용해 S‑I, S‑R, I‑R 2차 평면과 S‑I‑R 3차 공간의 궤적을 그렸다(Fig. 4‑5). 두 방법 모두 안정적인 궤적을 보이지만, LADM은 더 부드럽고 진동이 적어 실제 시스템의 동역학을 더 정확히 포착한다는 결론을 내린다. 결론에서는 LADM이 DTM보다 높은 정확도와 빠른 수렴성을 보이며, 비선형 SIR 모델의 실용적 해법으로 적합함을 강조한다. 또한, 향후 연구 방향으로 파라미터 민감도 분석, 고차 비선형 항 도입, 실제 네트워크 데이터와의 검증, 그리고 다른 반분석법(예: 동차동분해법, 변분법)과의 비교를 제시한다.