시뮬레이션 없이 구현하는 비선형 모멘트 매칭 기반 차원 축소

본 논문은 대규모 비선형 동적 시스템의 차원 축소를 위한 새로운 시뮬레이션‑프리 방법을 제시한다. 먼저, 선형 시불변(LTI) 시스템에서 모멘트 매칭이 “입력으로 지수 함수를 가했을 때 출력의 스테디‑스테이트 응답을 정확히 재현한다”는 시간 영역 해석을 상세히 설명한다. 이 해석은 Sylvester 방정식 \(AV - EVS_v + BR = 0\) 의 해 \(V\) 가 입력 Krylov 부분공간을 형성한다는 사실과 동등함을 보여준다. 그 다음, 이 개념을 비선형 시스템 \(\dot x = f(x,u),\; y = h(x)\) 로 확장한다. 비선형 신호 발생기 \(\dot x_v = s_v(x_v),\; u = r(x_v)\) 를 시스템에 연결하면, 비선형 시스템이 안정적인 평형점 근처에서 지수형 혹은 일반적인 비선형 입력에 대한 스테디‑스테이트 응답을 보인다. 여기서 출력 \(y(t)=h(\nu(x_v(t)))\) 를 정확히 재현하도록 설계된 비선형 ROM을 “비선형 모멘트 매칭”이라 정의한다. 기존 연구에서는 비선형 모멘트 매칭을 구현하기 위해 비선형 Sylvester‑유사 편미분 방정식(고차원 PDE)을 풀어야 했지만, 본 논문은 이를 회피한다. 대신, 원 시스템의 비선형 벡터장과 신호 발생기의 동역학을 결합한 비선형 방정식 \(\Phi(V)=0\) 을 직접 풀어 투영 행렬 \(V\) 를 구한다. \(\Phi(V)\) 는 \(AV - EVS_v + BR = 0\) 의 비선형 일반화 형태이며, Newton, Broyden 등 표준 비선형 해석기법으로 효율적으로 해결할 수 있다. 투영 행렬 \(V\) 를 얻은 뒤, Petrov‑Galerkin 프레임워크를 적용한다. 비선형 매핑 \(\nu: \mathbb{R}^r \to \mathbb{R}^n\) 와 축소 매핑 \(\omega: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^r\) 를 정의하고, \(\omega(\nu(x_r)) = x_r\) 를 만족하도록 설계한다. 이때 \(W = (V^T V)^{-1} V^T\) (또는 대칭 경우 \(W=V\)) 로 좌측 투영을 수행해 비선형 ROM \