상수 와도류를 포함한 두 성분 적분가능 파동 모델

본 연구는 얕은 물 파동의 전통적인 모델링에 상수 와도(전단) 효과를 포함시키는 새로운 접근법을 제시한다. 시작은 무점성 유체의 Euler 방정식과 질량 보존식이며, 얕은 물 가정(ε = a/h, δ = h/λ)을 도입해 무차원화한다. 기본 흐름을 선형 전단 Ũ(z)=Az 로 가정하고, 전체 속도를 Ũ+u 로 분해함으로써 상수 와도 ω=A 를 유지한다는 제약을 얻는다. 이 제약은 u_z−δ² w_x=0을 의미하며, 이를 이용해 u와 w를 z에 대해 2차까지 전개하면 u₀(x,t)만이 주요 자유도가 된다. 표면 변위 η와 u₀ 사이의 관계를 보조 변수 ρ=1+εαη+ε²βη²+εδ²γ u₀_{xx} 로 정의하고, α,β,γ를 차례로 결정한다. 여기서 α는 1+Ac²+β α 로, β와 γ는 추가적인 일치 조건을 통해 구한다. 이러한 과정은 비선형 항(ε u₀ u₀_x)과 분산 항(δ² u₀_{xxx})을 정확히 조절하여, 최종적으로 세 가지 적분가능 시스템을 도출한다. 첫 번째는 두 성분 Camassa‑Holm 시스템이다. m = u₀−u₀_{xx} 로 정의하고, 최종 방정식은 m_t + A m_x − A u₀_x + 2 m u₀_x + u₀ m_x + ρ ρ_x =0, ρ_t + A ρ_x + (ρ u₀)_x =0 이다. 이 시스템은 Lax 쌍 Ψ_{xx}= (−ζ² ρ² + ζ(m−A²)+¼)Ψ, Ψ_t = (½ζ−u₀)Ψ_x + ½ u₀_x Ψ 로 표현되며, 두 개의 Hamiltonian 구조와 Casimir을 가진다. A=0이면 기존 Camassa‑Holm 방정식으로 환원되고, A≠0일 때는 전단에 의한 선형 이동항이 추가되어 파동 붕괴와 피크온 존재 여부에 영향을 준다. 두 번째는 Zakharov‑Ito 시스템이다. 스케일링과 상수 k=A/4 를 선택하면 u₀_t + A u₀_x − A u₀_x + u₀_{xxx} + 3 u₀ u₀_x + ρ ρ_x =0, ρ_t + A ρ_x + (ρ u₀)_x =0 로 정리된다. 이는 기존 Zakharov‑Ito 방정식과 동일한 형태이며, Lax 쌍 Ψ_{xx}= (ζ−u₀²+k−ζ^{-1} ρ²/16)Ψ, Ψ_t = −(4ζ+u₀)Ψ_x + ½ u₀_x Ψ 로 적분가능성을 보인다. 전단이 존재해도 k를 적절히 조정하면 시스템이 유지된다. 세 번째는 Kaup‑Boussinesq 시스템이다. 전단이 없는 경우(A=0, c²=1)에서만 적분가능성을 갖는다. V = u₀ − δ²(½−A³c)u₀_{xx} 로 정의하고, η와 V를 결합하면 V_t + V V_x + η_x =0, η_t − ¼ V_{xxx} + (1+c²)/2 (η V)_x =0 이 된다. 이 시스템은 Lax 쌍 Ψ_{xx}= −(ζ−½V)²−η Ψ, Ψ_t = −(ζ+½V)Ψ_x + ¼ V_x Ψ 로 적분가능성을 갖는다. 전단이 있으면 추가 항이 생겨 적분가능성이 사라진다. 논문은 또한 파동 속도 c가 Burns 조건 c = (A ± √(A²+4))/2 로 결정되는 것을 보여준다. 이는 전단 강도 A에 따라 양·음 파동이 구분되며, c와 A의 관계가 파동의 비선형 전파와 분산 특성을 동시에 결정한다. 전단이 클수록 선형 이동항 A ρ_x, A u₀_x 가 지배적이 되어 파동 붕괴 가능성이 감소하고, 반대로 A=0 일 때는 피크온과 같은 특이 솔루션이 나타난다. 결론적으로, 이 연구는 상수 와도라는 물리적 요인이 두 성분 적분가능 시스템의 구조적 파라미터에 어떻게 반영되는지를 체계적으로 밝혀냈으며, 각 시스템이 원래 유체 방정식과 어떤 근사 관계에 있는지를 명확히 제시한다. 이는 향후 전단 흐름이 포함된 물 파동 모델링과 적분가능성 연구에 중요한 이론적 토대를 제공한다.