마코프 목표 순차 탐지와 궤적 추정

본 논문은 동적 시스템의 신호 존재 여부를 순차적으로 판단하고, 신호가 존재할 경우 그 시스템의 상태 궤적을 추정하는 통합 프레임워크를 제시한다. 시스템은 유한 상태공간 S를 갖는 동질 마코프 체인 {Xₖ}로 모델링되며, 관측 {Zₖ}는 상태에 따라 조건부 독립적인 확률밀도 f(z|x) 혹은 잡음 전용 밀도 f(z|θ₀)를 따른다. 이러한 구조는 숨은 마코프 모델(HMM)로 표현된다. 검출 단계는 Wald가 제안한 순차 확률비 검정(SPRT)을 그대로 적용한다. 누적 로그우도비 Λₖ를 계산하고, 두 임계값 γ₀(0<γ₀<1)와 γ₁(γ₁>1) 사이에 머무르는 동안 샘플을 계속 수집한다. Λₖ가 γ₁ 이상이면 H₁(신호 존재)으로, γ₀ 이하이면 H₀(신호 부재)로 판정하고 정지를 선언한다. 이때 오류 확률 α(위양성)와 β(위음성)를 사전에 지정할 수 있다. 추정 단계는 “게이트” 방식으로 설계된다. 검출이 H₁으로 판정된 경우에만 MAP 추정을 수행한다. 정지 시점 τ에서 가능한 모든 상태 궤적 x₁:τ∈S^τ에 대해 사전 확률 p_τ(x₁:τ)와 조건부 우도 f_τ(z₁:τ|x₁:τ)를 곱한 뒤, 이를 Λ_τ와 결합한 값의 최대화를 통해 최적 궤적을 선택한다. 이는 정지 시점까지 수집된 데이터와 동일한 정보를 사용하므로 계산 효율성이 높다. 동적 프로그래밍(전방‑후방 알고리즘, Viterbi)으로 두 개의 통계량—∑_x p_τ(x)Λ_τ(z|x)와 max_x p_τ(x)Λ_τ(z|x)—을 선형 시간에 계산할 수 있다. 이론적 분석에서는 비 i.i.d. 관측에 대해 SPRT의 전통적 최적성 특성이 유지되는 충분조건을 제시한다. 주요 가정은 다음과 같다: (1) 마코프 체인이 정상성, 비주기성, 가역성을 만족한다(Stationary, irreducible, aperiodic). (2) 잡음 분포와 상태별 관측 분포가 거의 어디서든 동일하지 않다(Condition 4.2). (3) 로그우도비의 1차·2차 모멘트가 유한하고, (4) 전이 행렬이 가역적이다. 이러한 가정 하에 로그우도비의 평균 성장률 λᵢ=lim_{k→∞}k⁻¹E_{Hᵢ}