실수와 자연수의 동등성 주장: 힐베르트 제1문제에 대한 비판적 고찰

이 논문은 “Hilbert’s 1st Problem” 즉, 실수와 자연수 사이의 동등성(Equipollence)을 주장한다. 저자는 실수 구간 (0,1)의 소수 부분을 디지털 문자열의 Kleene Closure(문자열 집합의 모든 조합)로 재귀적으로 열거하고, 이를 자연수와 일대일 대응시킴으로써 칸토어의 연속체 가설을 부정한다. 논문은 먼저 Hilbert과 Cantor의 역사적 배경을 언급하고, Schopenhauer와 Hofstadter 등 철학·문학적 인용을 통해 “의지와 표상”이라는 메타철학적 관점을 제시한다. 핵심 구성은 다음과 같다. 1. 기호 집합 S={0,…,9}와 마침표(.)를 정의하고, 이들로 만든 문자열 집합 D를 Kleene Closure로 만든다. D는 .으로 시작하고 그 뒤에 임의 길이의 숫자열이 이어지는 모든 문자열을 포함한다. 2. D에는 실수의 소수 부분으로 허용되지 않는 문자열도 포함되므로, 0만으로 이루어진 무한 문자열 등 “허용되지 않는” 부분 집합 Z를 정의한다. 3. Z를 D에서 제외하고, 빈 문자열 ε를 포함한 집합 F = (D \ Z) ∪ {ε}를 실수의 소수 부분 전체라고 주장한다. 4. F는 여전히 가산이라고 주장하며, 이를 기반으로 자연수와 실수 사이의 전단사(bijection)를 구성한다. 저자는 Cantor의 “Pairing Function”을 이용해 ℕ×F와 ℕ 사이에 전단사를 만든 뒤, 이를 실수 전체와 연결한다. 논문은 이 과정이 “수학적으로 반증 불가능”하다고 선언하고, “컴퓨터가 무한히 실행되지 않으면 답을 얻을 수 없다”는 식으로 결과를 메타적으로 포장한다. 하지만 이 주장에는 여러 근본적인 오류가 존재한다. 첫째, Kleene Closure는 기본적으로 **유한** 길이 문자열만을 생성한다. 무한 문자열을 포함하려면 ω-클로저와 같은 별도 정의가 필요하지만, 논문은 이를 무시하고 “잠재적으로 무한”이라는 모호한 표현으로 대체한다. 따라서 D와 F는 실제로는 실수의 무한 소수 전개를 모두 포괄하지 못한다. 둘째, 실수의 소수 부분은 **수렴**이라는 추가 조건을 만족해야 한다. 예를 들어 .999…은 1과 동일하지만, 논문은 이러한 동치 관계를 전혀 다루지 않는다. 또한 .000… 무한히 0인 문자열은 실수 0을 나타내지만, 저자는 이를 “허용되지 않는다”고 판단하고 Z에 포함시킨다. 이러한 임의적인 제외·포함 기준은 실수 집합과 문자열 집합 사이의 동등성을 보장하지 않는다. 셋째, 무한 문자열을 “가산”이라고 주장하는 것은 명백한 오류이다. 문자열 길이가 무한인 경우, 가능한 조합의 수는 10^ℵ₀ 로, 이는 비가산 집합이다. 저자는 “무한하지만 가산”이라는 모순된 개념을 사용해 대각선 논증을 회피한다. 칸토어의 대각선 논증은 어떤 가산 열거가 주어지더라도, 그 열거에 포함되지 않는 새로운 실수를 구성할 수 있음을 증명한다. 논문은 “F는 이미 모든 가능한 소수 문자열을 포함한다”는 전제로 대각선 과정을 무시하지만, 이는 열거가 실제 실수를 완전히 포괄한다는 가정을 부정하는 것이 아니라, 열거 자체가 불완전함을 인정하지 않는 오류이다. 넷째, 저자는 “재귀적으로 열거 가능한 집합들의 합집합은 가산”이라는 일반적인 사실을 무한 문자열이 포함된 경우에도 적용한다. 그러나 무한 문자열을 포함하는 집합은 재귀적으로 열거 불가능하므로, 가산성을 유지할 수 없다. 다섯째, 트리 t_i의 구성과 그 속성(각 내부 정점이 차수 10, 형제 정점이 서로 다른 라벨)은 문자열 생성 메커니즘을 시각화하려는 시도이지만, 무한 깊이와 폭을 가진 트리의 모든 경로를 실수에 대응시키려면 경로가 무한히 길어야 한다. 이러한 무한 경로의 집합은 비가산이며, 논문은 “각 경로는 서로 다르다”는 사실만으로 가산성을 주장한다. 마지막으로, 논문 전반에 걸쳐 형식적 정의와 실제 수학적 정의가 혼동된다. “집합 D는 모든 가능한 문자열을 포함한다”는 주장과 “F는 실수의 소수 부분 전체이다”는 주장 사이에 명확한 증명이 제시되지 않는다. 또한, “칸토어의 오류는 Gödel의 완전성 증명에 있다”는 식의 비논리적 연결은 전혀 증명되지 않은 채 인용될 뿐이다. 결과적으로, 이 논문은 실수와 자연수 사이의 일대일 대응을 주장하지만, 문자열과 실수 사이의 동등성, 무한 문자열의 정의, 그리고 칸토어의 대각선 논증을 회피하는 논리적 오류가 다수 존재한다. 따라서 제시된 증명은 수학적으로 타당하지 않으며, Hilbert의 첫 번째 문제에 대한 새로운 해답으로 받아들일 수 없다.