커널 추정 영점의 향상된 비대칭: Leadbetter‑Cryer 적분 재구성

본 논문은 커널 스무딩을 이용한 비모수 회귀에서 발생할 수 있는 허위 변곡점(또는 ℓ‑변화점)의 기대 개수를 정확히 추정하는 새로운 이론적 프레임워크를 제시한다. 연구는 크게 네 부분으로 구성된다. **1. 문제 설정 및 기본 가정** 측정점 {t_i}는 분포 F_N(t)로 정의되며, 별‑불일치 D*_N = sup_t|F_N(t)−F(t)|가 0으로 수렴한다. 가중치 w_i는 |w_i−1|≤C·D*_N를 만족한다. 관측값 y_i = f(t_i)+ε_i이며, ε_i는 평균 0, 분산 σ²인 독립 정규 잡음이다. 커널 추정식 (1)은 ℓ차 도함수 추정을 위해 (ℓ+1)차 커널 κ^{(ℓ)}와 반폭 h_N을 사용한다. **2. 커널 추정기의 수렴성 (Theorem 1, Theorem 2)** Theorem 1은 Gasser‑Müller(1984)를 일반화하여, 별‑불일치와 가중치 오차를 포함한 조건 하에서 편향과 분산을 명시한다. 편향은 O(h_N + D*_N/h_N^{ℓ+1})이며, 분산은 σ²·‖κ^{(ℓ)}‖²/(N·F'(t)·h_N^{2ℓ+1}) + O(h_N + D*_N/h_N) 형태이다. Theorem 2는 Koksma 정리의 확장으로, 비균등 가중치와 비균등 샘플링을 동시에 다룰 수 있게 한다. 이 정리는 (2)식에서 이산합과 적분 사이의 차이를 별‑불일치와 함수의 총변동량에 비례하도록 제한한다. **3. Leadbetter‑Cryer 적분의 재구성 (Theorem 3‑5)** 전통적인 Leadbetter‑Cryer(L‑C) 적분은 잡음이 작아질 때 N₀(z)라는 불필요한 항이 남아 asymptotic 해석을 복잡하게 만든다. 저자들은 L‑C 적분을 m(t)=E