이차 골드리히레빈 정리와 다항시간 분해 알고리즘

본 논문은 “Quadratic Goldreich‑Levin Theorems”라는 제목 아래, 고차 푸리에 분석에서 핵심적인 두 문제—(1) 함수의 이차 위상(Quadratic phase)으로의 근사와 (2) 그 근사를 이용한 함수의 구조적 분해—를 동시에 해결하는 알고리즘을 제시한다. 1. **배경 및 동기** 고전적인 Fourier 분석에서는 함수 f:𝔽₂ⁿ→ℝ 를 큰 Fourier 계수를 가진 소수의 선형 위상들의 합과, 나머지 “무작위” 성분으로 분해한다. Goldreich‑Levin 정리는 이 분해를 효율적으로 수행하는 알고리즘을 제공한다. 그러나 4‑항 등차수열(길이 4) 같은 고차 패턴을 셀 때는 선형 위상만으로는 충분하지 않으며, Gowers가 도입한 U³‑노름이 필요하다. U³‑노름이 작다는 것은 함수가 “quadratically uniform”하다는 의미이며, 이때 구조적 부분은 이차 위상의 선형 결합으로 표현될 수 있다. 기존의 이론적 결과(Green‑Tao, Samorodnitsky 등)는 존재성을 보였지만, 실제로 다항시간에 이를 찾는 방법은 제시되지 않았다. 2. **주요 결과** - **Theorem 1.1 (Quadratic Decomposition)**: 임의의 함수 g:𝔽₂ⁿ→