힌드만 정리와 엘리스 보조정리의 비결합 일반화와 톰프슨 군 F의 가량성

본 논문은 비결합 이항 구조에 대한 힌드만 정리와 엘리스 보조정리의 일반화를 시도하고, 이를 통해 유명한 열린 문제인 톰프슨 군 F의 가량성(amenability)과 연결시키는 새로운 접근법을 제시한다. 1. **배경과 동기** 힌드만 정리는 색칠된 자연수 집합에서 무한한 단색 합집합을 찾는 강력한 라마이며, 엘리스 보조정리는 모든 컴팩트 왼쪽 위상 반군이 아이디empotent 원소를 포함한다는 일반적인 사실이다. 두 정리는 베타-스톤 컴팩트화와 위상 동역학을 통해 증명되며, 특히 아이디empotent 초필터의 존재가 핵심 역할을 한다. 저자는 이러한 정리들을 비결합 이항 시스템 (T,b) 로 확장하고자 한다. 여기서 T는 하나의 생성자를 갖는 자유 이항 시스템이며, b는 이항 연산이다. 2. **비결합 구조에서의 어려움** (βT,b) 에서는 아이디empotent가 존재하지 않으며, 힌드만 정리의 직접적인 일반화는 실패한다. 구체적으로, 길이 함수 l:T→ℕ 를 정의해 짝수·홀수 길이의 균형을 이용하면, 임의의 색칠 c: T→k 에 대해 단색 합집합을 찾는 것이 불가능함을 보인다. 이는 비결합성 때문에 ‘단일 원소’를 그대로 묶을 수 없기 때문이다. 3. **측정 공간 A와 증가하는 측정열** 저자는 T의 원소들을 크기 n 에 따라 Tₙ 으로 구분하고, 각 Tₙ 위에 모든 유한 가산 확률 측정의 집합 Aₙ 을 만든다. Aₙ 은 볼록 집합이며, # 함수는 (A,b) → (ℕ,+) 를 동형 사상한다. 이 구조 위에서 ‘증가하는’ 측정열 μ₀,μ₁,… 를 구성하면, 임의의 연속 함수 c:T→