그래프 필터 역식별: 다중 희소 입력을 통한 효율적 블라인드 복원

** 본 논문은 그래프 신호 처리(GSP) 분야에서 블라인드 식별(blind identification) 문제를 새롭게 정의하고, 이를 해결하기 위한 효율적인 알고리즘을 제안한다. 전통적인 블라인드 디컨볼루션은 시간 혹은 2‑차원 공간에서의 선형 시스템을 가정하고, 입력 신호와 시스템 응답을 동시에 추정한다. 그러나 그래프와 같이 비정형적인 구조를 가진 경우, 기존 방법은 행렬 리프팅(lifting)과 같은 고차원 변환에 의존해 계산 복잡도가 급격히 증가한다. 이를 극복하고자 저자들은 **가역적인(invertible) 그래프 필터**라는 약한 전제를 도입한다. 그래프 필터 H는 그래프 시프트 연산자 S의 다항식 형태로 표현되며, H가 가역적이라는 것은 모든 그래프 고유값 λ_i에 대해 필터 주파수 응답 ˜h_i = Σ_{l=0}^{L-1} h_l λ_i^l ≠ 0임을 의미한다. 이 가정 하에 역필터 G = H⁻¹ 역시 그래프 필터 형태를 유지한다는 정리를 이용해, 원래의 이중선형 모델 Y = H X (Y는 관측된 확산 신호, X는 희소 입력 행렬) 를 **선형 모델** X = G Y 로 변환한다. X는 각 컬럼당 최대 S개의 비제로 원소를 갖는 **희소성(sparsity)** 제약을 가지고 있다. 직접적인 0‑norm 최소화는 NP‑hard이지만, 1‑norm을 대리함수로 사용한 **볼록 최적화**(문제 (7))를 통해 효율적으로 해결할 수 있다. 구체적으로, 역필터의 주파수 응답 ˜g를 변수로 두고, ‖(Yᵀ V ⊙ V) ˜g‖₁을 최소화하면서 1ᵀ˜g = 1이라는 스케일 고정 제약을 부과한다. 여기서 V는 S의 고유벡터 행렬이며, ⊙는 Khatri‑Rao 곱이다. 알고리즘 1은 **Iteratively Reweighted L1 (IRL1)** 방식을 적용한다. 초기 가중치 w^{(0)} = 1 로 시작해, 매 반복마다 현재 추정 X^{(t)}의 절대값에 역비례하는 가중치를 업데이트한다. 이 과정은 X̂가 수렴할 때까지 진행되며, 최종적으로 ˜ĝ와 X̂ = (Yᵀ V ⊙ V) ˜ĝ 를 얻는다. IRL1은 0‑norm에 가까운 해를 유도하면서도 매 단계에서 단순한 선형 프로그램을 풀어 계산 효율성을 유지한다. 논문은 **스케일 및 순열 모호성**을 상세히 분석한다. 스케일 모호성은 ˜g와 X가 동시에 λ와 1/λ 로 변할 수 있음을 의미한다. 이를 해결하기 위해 1ᵀ˜g = 1이라는 제약을 도입한다. 더 복잡한 **비순환 대칭 순열(permutation) 모호성**은 특정 무가중치 그래프에서 고유벡터가 두 노드 i, j에 대해 u(i,j) = (e_i - e_j)/√2 형태를 가질 때 발생한다. 이 경우, 부호 벡터 p에 의해 ˜h와 X를 동시에 변환하면 동일한 Y를 생성한다. 즉, 노드 i와 j를 구분할 수 없는 구조적 한계가 존재한다. 이러한 경우는 그래프가 매우 대칭적이거나, 고밀도·극히 희소 그래프에서 관찰된다. 식별 가능성 측면에서 저자들은 **Bernoulli‑Gaussian 모델**을 채택한다. 입력 행렬 X를 Ω∘R 형태로 가정하고, Ω는 성공 확률 θ인 베르누이 행렬, R은 표준 정규분포를 따르는 행렬이다. 기존 연구(