RMT 기반 베이지안 하한: 조밀·희소 잡음에서의 학생‑t 분포

본 논문은 베이지안 선형 모델 y = A x + e 에 대한 성능 하한을 연구한다. 여기서 x ∈ℝ^K 는 평균이 0이고 공분산이 σ_x² I_K인 가우시안 사전을 갖으며, A ∈ℝ^{N×K} 는 각 원소가 평균 0, 분산 1/N인 서브가우시안 분포를 따르는 랜덤 행렬이다. 잡음 e 는 i.i.d. 학생‑t 분포 S(0,σ²,ν) 로 가정한다. 학생‑t는 자유도 ν 에 따라 헤비테일(희소 잡음)에서 가우시안(조밀 잡음)까지 포괄한다. ### 1. 계층적 정규‑감마 모델 학생‑t는 정규‑감마(Normal‑Gamma) 계층 모델로 표현될 수 있다. 조건부로 e_i|γ ∼ N(0,σ²/γ) 이며, γ ∼ G(ν/2,ν/2) 이다. 이 결합을 적분하면 e_i 은 학생‑t 분포를 따른다. 이 계층 구조는 베이지안 정보 행렬(BIM)을 데이터 피셔 정보, 파라미터 사전 정보, 하이퍼 파라미터 사전 정보로 명확히 분리하게 해준다. ### 2. 베이지안 Cramér‑Rao 하한(BCRB) 유도 전체 파라미터 벡터 θ =