DTM 서명으로 측정‑측정 공간을 비교하는 새로운 방법

** 본 논문은 “DTM‑서명”이라는 새로운 기하학적 서명을 제안함으로써, 측정‑측정(mm) 공간을 비교하는 이론적·실용적 프레임워크를 구축한다. 1. **배경 및 문제 정의** - 현대 데이터 과학에서 관측값은 종종 거리 정보만을 갖는 점 집합 형태로 주어진다. 두 데이터 집합이 동일한 근본 구조를 가지는지 판단하려면, 임베딩 공간에 의존하지 않는 비교 방법이 필요하다. 기존에는 Gromov‑Wasserstein 거리(GW)와 같은 고차원 최적수송 방법이 제안됐지만, 계산 비용이 prohibitive 하다. - 따라서 동형동형성(isomorphism) 아래 불변이며, 계산이 효율적인 “서명”을 설계하고, 서명 간 거리를 통해 원본 mm‑공간 간 차이를 추정하고자 한다. 2. **거리‑측정(DTM)과 DTM‑서명의 정의** - 거리‑측정 d\_{µ,m}(x) 은 질량 파라미터 m∈(0,1] 에 대해, 점 x 주변에서 최소 반경 r을 찾아 µ(B(x,r))>m 인 r을 평균화한 값이다. 이는 k‑최근접 이웃 거리 평균으로도 표현된다. - DTM‑서명은 확률변수 X∼µ 에 대해 d\_{µ,m}(X) 의 분포를 의미한다. 즉, µ 로부터 샘플을 뽑아 DTM 값을 계산하고, 그 값들의 경험적 분포를 서명으로 사용한다. 3. **이론적 성질** - **동형불변성**: 두 mm‑공간이 측정 보존 동형 φ에 의해 서로 변환될 경우, DTM‑서명은 동일한 확률분포가 된다. - **안정성**: * Gromov‑Wasserstein 거리와의 관계: W₁(d\_{µ,m}(µ), d\_{ν,m}(ν)) ≤ (1/m)·GW₁((X,δ,µ),(Y,γ,ν)). * 표본 안정성: 경험적 측정 ˆµ\_N 에 대해 DTM 은 k‑최근접 이웃 평균으로 계산되며, N→∞ 일 때 d\_{ˆµ\_N,k\_N} → d\_{µ,m} (almost surely). - **구별력 한계**: 동일한 DTM‑서명을 갖는 비동형 mm‑공간이 존재함을 예시(두 9‑노드 그래프)로 보여, 서명만으로 완전한 구별은 불가능함을 명시한다. 4. **구별력 강화 조건 및 하한** - **스케일 변환**: 거리 스케일 λ가 다른 경우, W₁ 거리의 정확한 식이 |1−λ|·E\_µ