마코프 동등 클래스 크기 계산을 위한 핵심 그래프와 다항식 공식

본 논문은 인과 학습에서 핵심적인 역할을 하는 마코프 동등 클래스의 크기 계산 문제를 다루며, 기존 방법들의 한계를 극복하기 위한 새로운 이론적·알고리즘적 프레임워크를 제시한다. 먼저, 마코프 동등 클래스는 동일한 스켈레톤과 v‑구조를 공유하는 모든 DAG의 집합이며, 그 크기는 클래스 내부의 가능한 인과 모델 수를 의미한다. 기존 연구에서는 작은 클래스에 대해 전수 탐색이나 희소한 무방향 서브그래프에 기반한 재귀적 분할‑정복 알고리즘을 사용했지만, 비희소 그래프에서는 계산 비용이 급증한다. 이를 해결하고자 저자들은 ‘핵심 그래프(core graph)’라는 개념을 도입한다. 핵심 그래프는 주어진 무방향 연결 차르달 그래프(UCCG)에서 모든 지배 정점(다른 모든 정점과 연결된 정점)을 제거한 최소 서브그래프이며, 차르달이면서 지배 정점이 없는 특성을 가진다. 핵심 그래프 K와 지배 정점 수 m에 대해 확장 그래프 K⁺ᵐ을 정의하고, 클래스 크기 함수 f(K,m)=Size(K⁺ᵐ) 를 도입한다. 이때, K⁺ᵐ 은 K에 m개의 새로운 지배 정점을 추가한 그래프이며, 이는 원래 UCCG와 동형이다. 핵심 정리는 f(K,m)이 m! 로 나누어 떨어지는 다항식 형태임을 보이며, 이를 기반으로 재귀식 (4)를 제시한다. 재귀식은 현재 그래프의 크기를 이전 단계(m−1)와 각 정점 v에 대한 이웃 서브그래프 K_{N(v)} 의 크기로 분해한다. 두 번째 항을 g(K,m) 로 정의하고, g(K,m) 은 차수 d의 다항식으로 표현된다(g(K,m)=∑_{i=1}^{d+1} γ_i m^{i−1}). 이후 Theorem 7 은 γ_i 로부터 β_i 를 역계산하는 구체적 공식(7)을 제공해, 최종적으로 f(K,m)=β_0+∑_{i=1}^{d+1} β_i·m^i / m! 라는 명시적 다항식을 얻는다. 여기서 β_0=Size(K)이며, β_{d+1}=γ_{d+1}/a_{d+1,d+1} 등 a_{i,j}=(-1)^{j-i}·C(j-1,i-1) 로 정의된 계수를 이용한다. 특정 그래프 형태에 대해서는 간단한 폐쇄형 식을 도출한다. 고립 정점이 있는 경우 Corollary 8 에서 f(K,m)=f(K₁,m)+j·Size(K₁)·m^j/j! 로 분리한다. 트리, 트리‑플러스, 고립 간선 조합 등에 대해서는 Corollary 9 가 각각 f(K,m)=m!·