대칭 없는 SDP 완화와 다각형 기반 아핀 서브스페이스 클러스터링

논문은 데이터 포인트를 아핀 서브스페이스(선형 변환 A_i와 편향 b_i의 조합)로 군집화하는 문제를 공식화한다. 기존의 유클리드 거리 기반 k‑means는 각 클러스터를 하나의 점으로만 표현하지만, 실제 많은 응용 분야에서는 선형 구조나 저차원 서브스페이스가 더 적합하다. 이를 수식으로 나타내면 목적함수는 ∑_{i=1}^n ∑_{j=1}^k u_{ij}‖A_i x_j – b_i‖²이며, u_{ij}는 0‑1 할당 행렬이다. 이 문제는 비선형·조합적 성질 때문에 NP‑hard이며, 특히 할당 행렬 U의 레이블 순열에 대한 대칭성이 강하게 작용한다. 기존 연구에서는 SDP 완화를 통해 대칭성을 어느 정도 완화했지만, 그 방법은 중심 x_j에 대한 닫힌 형태 해가 존재할 때만 적용 가능했고, 아핀 서브스페이스 경우에는 의사역행렬(pseudo‑inverse) 형태가 비선형으로 들어가면서 직접적인 적용이 어려웠다. 이를 해결하기 위해 저자는 두 가지 핵심 아이디어를 제시한다. 첫 번째는 feasible region을 다각형(특히 d‑차원 단순체)들의 유한 집합으로 삼각분할한다는 가정이다. 각 단순체는 내부에 정확히 하나의 클러스터 중심만을 허용하도록 설계되며, 이를 “분리 삼각분할(separating triangulation)”이라고 정의한다. 이 가정 하에 모든 중심 x_j는 V λ_j 형태로 표현될 수 있는데, V는 모든 단순체의 정점들을 열벡터로 모은 행렬이고, λ_j는 단순체 내부에서의 볼록 조합을 나타내는 확률벡터이다. λ_j는 추가적인 직교 제약(Ω 행렬을 이용)으로 한 번에 하나의 단순체만 선택되도록 강제한다. 이렇게 하면 할당 행렬 U가 필요 없어지고, 문제는 λ_j와 연속 변수만을 포함하는 다항식 최적화 문제(R₁)로 변환된다. 두 번째 아이디어는 Lasserre 순간법을 이용해 (R₁)을 계층적 SDP 완화(R₂