반공간 깊이 오차 확률의 새로운 경계

본 논문은 반공간 깊이(halfspace depth)라는 데이터 깊이 함수의 표본 추정값과 실제 분포 깊이 사이의 수렴 속도를 정밀하게 분석한다. 반공간 깊이는 다차원 데이터에서 중앙값과 유사한 역할을 하며, 모든 반공간 H에 대해 q가 H의 경계에 놓이는 경우의 최소 확률로 정의된다. 저자들은 이 정의를 두 가지 등가 형태로 전개한다. 첫 번째는 전통적인 “모든 반공간 H에 대해 최소 확률” 형태이며, 두 번째는 단위 구면 S^{d‑1} 위의 방향 θ에 대한 1차원 투영을 이용해 HD(q;X)=\min_{θ∈S^{d‑1}}F_θ(d_θ(q)) 로 표현한다. 여기서 F_θ는 X를 θ 방향으로 투영한 뒤 얻어지는 실수값의 누적분포함수(CDF)이다. 이 등가성은 고차원 문제를 무한개의 1차원 문제로 분해함으로써, 고차원 기하학적 복잡성을 크게 낮춘다. 기존 연구