당신의 지갑에 들어있는 동전은

논문은 “What’s in YOUR wallet?”라는 질문을 출발점으로, 일상적인 현금 거래에서 동전이 어떻게 흐르고, 개인이 어떤 전략을 취하느냐에 따라 지갑에 남는 동전의 기대값과 분포가 어떻게 달라지는지를 수학적으로 분석한다. 연구는 미국 동전 체계(¼달러, 10¢, 5¢, 1¢)를 대상으로 하며, 가격이 0~99¢ 사이에서 균등하게 발생한다는 가정(1)을 두고 진행한다. 현금인은 항상 최소 동전 수로 거스름돈을 제공하는 그리디 알고리즘을 사용한다. 저자는 0≤n≤99에 대해 25,10,5,1의 조합으로 이루어진 최소 파티션이 유일함을 증명하고, 이는 현금인이 언제든 최적의 거스름돈을 줄 수 있음을 보장한다. 소비자 측면에서는 세 가지 전략을 정의한다. 첫 번째는 ‘동전 보관자’(coin keeper)로, 거래 시 동전을 전혀 사용하지 않고 현금만 지불한다. 100번의 거래(가격 0~99¢)를 시뮬레이션하면 총 150개의 ¼달러, 80개의 10¢, 40개의 5¢, 200개의 1¢가 들어오며, 평균 보유 동전 비율은 31.9%·17.0%·8.5%·42.6%가 된다. 이는 실제 2014년 미국 주조 비율(11.9%·17.4%·9.1%·61.6%)과 큰 차이를 보인다. 두 번째는 ‘최소주의자’(minimalist) 전략이다. 소비자는 매 거래 후 지갑에 남는 동전 수를 최소화하려고 한다. 구체적으로는 현재 보유 금액 n과 가격 c를 고려해 (n−c) mod 100에 대한 최소 파티션을 선택한다. 이 전략은 상태 공간이 0~99의 100가지 정수로 제한되며, 전이 확률이 모두 1/100이므로 장기 분포는 균등하게 된다. 기대 동전 수는 1/100 ∑|s_i|≈4.7개이며, 각 동전 종류별 기대 보유량은 1.5개(¼달러), 0.8개(10¢), 0.4개(5¢), 2개(1¢)이다. 세 번째는 ‘대규모 지출자’(big spender) 전략이다. 여기서는 (3) 충분한 동전이 없을 경우 동전을 쓰지 않고 현금만 사용하고, (4) 충분히 있을 경우 최소 과지불을 목표로 한다. 과지불 금액이 동일한 경우에는 큰 동전을 우선하는 규칙(5)을 적용한다. 이 전략은 지갑에 최대 99¢ 이하만 남도록 보장하므로 상태 수는 6720가지로 제한된다. 전이 행렬 M은 6720×6720 차원이며, 100가지 가격에 대해 모든 가능한 거래를 시뮬레이션해 구축한다. 저자들은 2.6 GHz 노트북에서 8시간 정도 소요된다고 보고했으며, 전이 행렬의 지배적 고유벡터를 Arnoldi 반복을 이용해 수치적으로 계산했다. 결과는 가장 확률이 높은 5가지 상태가 각각 빈 지갑, 1~4개의 1¢ 동전이며, 각각 1%씩 차지한다는 것이다. 전체 기대 동전 수는 약 10.05개이며, 동전 종류별 기대 보유량은 1.06개(¼달러), 1.15개(10¢), 0.91개(5¢), 6.92개(1¢)이다. 이러한 결과는 현금인의 그리디 거스름돈 정책과 소비자의 지출 전략이 동전 순환 구조에 미치는 영향을 정량적으로 보여준다. 최소주의자는 이론적으로 가장 적은 동전 수를 유지하지만, 실제 인간 행동과는 차이가 크며, 대규모 지출자는 현실적인 제약을 반영하면서도 평균 10개의 동전을 보유한다는 점에서 동전 재활용 정책이나 자동 판매기 설계에 시사점을 제공한다. 또한, 전이 행렬의 크기와 희소성, 고유벡터 계산에 Arnoldi 방법을 활용한 점은 대규모 마코프 모델을 다루는 실용적인 접근법으로 평가할 수 있다. 논문은 마지막에 코드와 전이 행렬을 공개함으로써 재현 가능성을 높였으며, 다른 통화 체계에 대한 확장 가능성도 제시한다.